 Goeiemorgen, welkom bij jullie allereerste collegeanalyse. Wat is analyse? Jullie vermoeden het al, het is natuurlijk een wiskundevak. En samen met de lineare oogwaar zijn analyse en lineare oogwaar de steunpillaren van de wiskunde... waarop de hele wiskunde is gebouwd. Jullie hebben natuurlijk al die wiskunde nodig, waarom? Nou, jullie gaan natuur kunnen studeren. En als je het aan mij vraagt, wat is natuurkunde? Dan is mijn antwoord natuurkunde, dat is de wetenschap... die de natuur beschrijft in wiskundige termen, dus met behulp van wiskunde. En ja, als je dus geen wiskunde hebt, geen kennis hebt... dan kan je helemaal geen natuurkunde bedrijven. Want als je waarschijnlijk weet zijn alle belangrijke natuurwetten... geformuleerd met wiskunde, ESMC-quadraat, FIS-MLA. En wiskunde is dus een taal, we gaan een taal leren van de wetenschap. En ja, daarbij komt heel veel kijken. Wiskunde is logisch van de aard, dus je moet leren logisch redeneren. En dus, behalve de, wat komt er nog meer bij kijken? Ik heb een lijstje gemaakt. Je leert natuurlijk een basis voor de vervolgvakken... maar ook alle technieken om snel en efficiënt te kunnen rekenen. Dus je leert metoden en technieken die je heel efficiënt problemen leert oplossen. Vandaag gaan we het hebben over factoren en factorekening. Dat zijn de in-product en uit-product-formules. Ik heb een lijstje van concepten, die staat links boven. Dat zijn alle onderwerpen die we gaan behandelen vandaag. Dat is een enorme lijst. Dus moeten we één voor één afvinken, maar het is voor jullie handig om te kijken van... heb ik nu al die concepten, zijn ze voorbij gekomen, begrijp ik wat het betekent. En dus, op de begining ga ik vertellen wat is een vector eigenlijk. Ja, wat is een vector? Een wiskundige zegt, een vector is een element van een vectorruimte. Maar dan moet je uitleggen wat een vectorruimte is. Een informatiekist zegt, een vector is eigenlijk een lijst van getallen. Zoals in een computer, als je meer dan getallen achter elkaar zit, die je op slaat. Maar voor een natuurkundige is een vector iets anders. Een natuurkundige heeft het idee dat een vector is een variabel, een grootheid... die een richting heeft en een sterkte. Dus een vector, we zeggen ook wel simpel, is een peltje. Dus we noteren ook alle vectorgrootheden als natuurkundige. We noteren wel een peltje boven. En als we werken in de drie-dimensionale ruimte, dan heeft dit peltje drie componenten. Dus dan kan je zeggen, het heeft een x, een i en een z component. En ik schrijf dat dan tussen als een kolon met haakjes. Dus dan is de x component u1, de i component u2 en de z component u3. Maar dat betekent in de ruimte dit. En het teken nu de x, i en z als, van de drie-dimensionale ruimte. Stads die vectorruimte, waar de miskundigen het over hebben, die noemen dit r3. Maar in de ruimte zijn eigenlijk punten. In eerste instantie heb je x, i en z. En dan kan je een punt hebben, hier of een punt daar. Laten de punten, die worden genoteerd met p1, p2, p3. En hier we een ander punt, q. Die heeft natuurlijk drie koordinaten. Dus het subtiele verschil tussen een vector en een punt is een vaste locatie. Maar een vector is alleen maar een richting en een lengte. Dus je kan de p en de q verbinden natuurlijk en dan kan je die vector u maken. En dan is de u, de vector, die loopt van p naar q. Maar als ik een vector laat beginnen in de oorsprong en ik maak hem even weidig... en even lang, dan is dit ook vector u. Dus dit is geen twee vector, dit is maar één vector. Want een vector is alleen maar een object met een richting en een lengte. En zoals je weet kan je die uitrekenen. Stel dat u de vector is van p naar q, dan moet je natuurlijk... om de componenten te vinden, moet je de eindpunt min beginpunt hebben. Want het idee is als je zegt u gaat van p naar q, dan kan je de q1 krijgen... door bij p1 de x-coordinate van u1 op te tellen. Dus je moet onthouden dat je de eindpunten moet nemen. Dus eigenlijk q1, q2, q3, min het begin. p1, p2, p3. Dit is de vector die je op de middelbare school pqp'l zou noemen. Maar om voor efficiënt zich gebruiken we gewoon één letter. En we zijn nog wat efficiënter, want je kan ook zeggen... waarom noem je dit niet ook een vector? We spreken ook wel van de positie vector... als je het hebt over de vector van de oorsprong naar het punt p. En dan kan je zeggen, dit is dan eigenlijk op. En dat is dan natuurlijk de vector die gaat van 000 naar p1, p2, p3. Dus dat is dan natuurlijk gewoon p1, p2, p3. Dus vaak maken we niet echt verschil tussen het punt p... en de vector van de oorsprong naar p. En dan noteren we gewoon p, p'l. Maar in principe is een punt niet hetzelfde als een vector. Want vector kan je gewoon zo parallel schuiven. Lijft dezelfde vector. En de reden is dat je je vector gebruikt. Want in de natuurkunde heb je eigenlijk twee grootheden. En groothijd is een observable, iets wat je kan meten. Iets wat een eenheid heeft. En een groothijd is ofwel een getal. Dat noemen we een scaler-groothijd, een scaler. Of het is een vectorgroothijd. En dan moet je er dus een pijltje boven zetten. Dan heeft die een richting. Eens kijken of je die begrijpt wat ik bedoel. Laten we een lijstje maken van de scaleren... en de vectorgrootheden die je misschien ook kent. Dus ik heb alleen maar voorbeelden gegeven van punten... maar dat is niet echt een groothijd. En die verschilvector, dat zou je een groothijd kunnen noemen... kan iemand een vectorgroothijd geven. Kenden jullie een voorbeeld van vectorgrootheden? Kacht. Dat is de beroemde F in de formule FSMOA. Dus dan moet je een pijltje boven zetten. Kan iemand nog een groothijd geven die een vector is? Versnelling. Dat is die A van FSMOA. Dat is heel goed. FSMOA. Nou, laat ik hem zelf wat invullen. Die M is natuurlijk niet een vector, want dat is gewoon een getal, zelf een kilogram. Dus je ziet, het is ofwel een scaler of wel een vector. En als A, dat is de versnelling zoals je al zei... dat is de afgelijde van de snelheid. Dus de snelheid is ook altijd de typische vectorgroothijd. Die noemen we dan V. Nou, en zo kan je elke groothijd uit de natuur kunnen wel klassificeren. Het is ofwel een scaler of wel een vector. Dus ik zeg hier, de energie, dat noemen we dan maar een scaler en groothijd. Oké. Gaan we nu kijken naar hoe je moet rekenen met factoren. En we kunnen factoren optellen. Dat heb je op school gehad. Dat is de kopstaartregel. Dus laat ik die in het volgende scherm doen. Stel, we hebben dus twee factoren. De ene noem ik U1, UU, en de andere noem ik V. En de U heeft componenten U1, U2, U3. En V heeft componenten V1, V2, V3. En dan kan je op twee manieren optellen. Je kan je voorstellen dat je dat pijltje U hebt... en dat je het pijltje V erin vast plakt. Stel dat de groene vector V is en de witte vector is U. Dan is U plus V blauwe vector met de kopstaartregeling, regel. Maar wat je natuurlijk doet, is de x-component van U. Daarbij tel je op de x-component van V en dan krijg je de x-component van de zon. Dus U plus V is gewoon componentsgewijs optellen. Dus ik spellet het helemaal voor je uit. We mogen het zo opschrijven. U1, U2, U3, plus V1, U2, U3. En dan krijg je dus de nieuwe vector U1 plus V1. Dat is de x-component van de zon, vector, enzovoorts. U2, U2, U3, plus V3. Dus dit is de optelling, de definitie van de optelling van factoren... in de drie-dimensionale ruimte, in R3. Nou, moet ik ook invoeren een hele bijzondere vector. Er is natuurlijk een vector die helemaal geen lengte heeft. En die lengte nul heeft. Die wijst van de oorsprong naar de oorsprong, dus dat noemen we de nul-vector. Dat is weer een van die lijstjes, die we een van die begrippen uit het lijstje. De nul-vector heeft ook een symbool, nul, maar het een peiltje erboven. Zodat je ziet, het is niet het getal, nul, maar het is een vector. En die is natuurlijk nul, nul, nul, die heeft geen x- en i, z-component. Dus dat is een begrip. En dan zijn er nog andere speciale vectoren die handig zijn. En dat noemen we dan de basis-vectoren van de ruimte. En die, dat zijn de vector i, j en k. En laten we gewoon de definitie opschrijven. Dat zijn deze, de vector i. En ik schrijf er een hoedje op in plaats van een peiltje... maar je mag kiezen wat je de beste notatie vindt. Als je maar iets erop zet, dat je ziet dat het niet een getal is... maar een vectorgrootheid, i is gewoon de vector 1, nul, nul. Dus die wijst vanuit de oorsprong eigenlijk naar het punt 1, nul, nul op de x-as. Dus dat is een standaard richting, de richting van de x-as. En de lengte is 1, want er gaat van nul, nul, nul naar 1, nul. En ze heb je ook j en k. En dit zijn handige basis-vectoren, zoals dat heet, omdat je... hier kan je gebruik van maken en je kan optellen. Laten we i plus i plus i doen. Dan ga je die, kopstaart, plus die, plus die. Nou, i plus i plus i is natuurlijk drie keer i. Dus dan kan je drie keer i hoedst. Heb je eigenlijk dit gedaan, drie keer 1, nul, nul. Maar dan wordt die drie keer zo lang, dus dan wordt de eerste component drie. En zo kan je ook in de i richting, laten we één keer j erbij optellen. En dan bijvoorbeeld twee keer k. K hoed is de vector die langs de z al staat, met lengte 1. Maar dan zie je dat je optelt, dan kom je dus in het punt 3,1,2 uit. Dus als je gewoon zegt drie keer i hoed plus één keer j hoed, j hoed dus, plus twee keer k hoed, dan kan je die basis-vectoren gebruiken op een compacte manier, op één regel, zeg maar, de vector 3,1,2 te noteren. En dan drie keer 1,0,0, plus één keer 0,1,0, dus twee keer 0,0,1. En je ziet al wat ik doe, je mag het misvermenigvuldigen. Dan worden alle elementen drie keer zo lang. En de optelling die heb ik al hier op uitgelegd. Dus dan krijg je natuurlijk 3,0,0, plus 0,1,0, plus 0,0,2. Is de vector 3,1,2. Dus dit is veel voorkomende, de meest gebruikte notatie om een vector te schrijven. Kom vaker voor dan de kolom, want die kolom neemt veel ruimte in, in een tekst. En je kan ook, soms is het zelfs korter, met die i hoed, j hoed, k hoed notatie. Want je kan ook zeggen, j hoed, min k hoed. Wat is dat dus? Nou ja, j hoed was dus 0,1,0. K hoed is 0,01, dus het verschil is 0,1,1. Dat is iets wat je moet weten. Ik heb steeds gebruik gemaakt van de drie-dimensionale ruimte. Je kan ook in de twee-dimensionale ruimte gaan, maar dan is het enige verschil dat we in het vlak zitten. Dat doe ik even kort hier. De twee-dimensionale ruimte is R2. Dan heb je alleen een X en een I. En dan heb je vector maar twee componenten natuurlijk. Dus dat is echt iets anders. Dus ik heb hier de vector, dan was zeggen de vector 2,1. Dat is natuurlijk ook twee keer i hoed plus j hoed. Dan zie je niet echt het verschil. Maar een vector in de R2 heeft twee elementen en een vector in de R3 heeft drie elementen. Oké, wat we nu willen gaan doen, is uitrekenen hoe lang een vector is. Want ik zei al, een vector heeft een lengte en een richting. En we hebben de volgende notatie. Als u dus, ik doel me weer drie-dimensionaal, u1, u2, u3 is... ...dan schrijven voor de lengte van u... ...schrijven, ja, ofwel, je zet er absolute waarde strepen om als het waarde, twee rechte strepen. Dan geef je aan, dat maakt dus van de vector een getal hoe lang is die nou eigenlijk. En vaak korten we het af door gewoon dezelfde letter te nemen zonder streepje, zonder pijltje. En dan zie je van, oké, het is geen vector nu, het blijkt wel eens de lengte van de vector. Terwijl voor de richting, nemen we, noteren we u van u. Ja, dat noteren we vaak met, ik zet maar geen is neer, u hoed. Maar u hoed is een vector in de richting van u, maar die heeft lengte 1. Dus dan moet je dit bij voorstellen, als ik dus deze u heb, dan is de, dat is denkte van deze pijl... ...hoe lang die is, dat is dan de u zonder pijl, dat is dus een getal, dus dat is een skaderengrootheid meteen. Terwijl je kan je voorstellen dat je, vanuit hier begint, als je 1 meter, een afstand 1 in de richting van u gaat... ...dan heb je die 1 netse vector, zoals dat heet, u hoed. 1 netse vector wil zeggen, het is een vector met lengte van 1. Die dezelfde richting staat, dus dat is eigenlijk een vector die op een bolletje ligt zo rond dat punt met straal 1. Alle 1 netse vectoren hebben lengte 1, dus die gaan zo die eindig op een bolletje... ...maar er is er 1 die dezelfde kant op wijst als u, en die noemen we u hoed. Dat betekent dat je de volgende formule krijgt. Als je natuurlijk de vector u hoed neemt, die heeft lengte 1... ...en je maakt hem langer, zodat die even langer, zoals de u, gaat hem uitrekken. Hoe ver moet je die u hoed uitrekken om op u uit te komen? Nou, dan moet je natuurlijk een vermenigvuldige met u. Dus dit is een ontbinding van een vector in termen van zijn lengte en richting. Een vector heeft een lengte en een richting, en dan kan je dat zo noteren. Voorbeeld, laten we deze vector nemen. 0, 3, min, 4. Weet iemand hoe lang deze vector is? Is 5, dus dan moet je zeggen u is... Echt, u is gewoon 5. Hoe kom ik aan die 5? Ja, met pitageras, hè. Je gaat 3 naar rechts, 4 omlaag in het x-eivlak, en dan de z-coordinate is 0. Dus als je hier de x-als hebt, en hier de i-als hebt, dan is dit de vector. Dan heb je natuurlijk een 3, 4, 5, 3-doekje. Min, 4, dus dan is deze afstand 5. 3,4, 4, 4, 5, 5,5. Dus je weet nu hoe je een lengte van een vector met twee elementen... ...die niet 0 zijn kan uitrekenen. Maar hoe zit het eigenlijk met drie elementen? Eerst maar die richting. Wat is de u hoed? Hoe moet je nou de richting bepalen? Nou, er staat hier dat een vector is een lengte in richting. Met andere woorden, als je een u hoed wil vinden... ...dan moet je natuurlijk het volgende doen, dan moet je de vector u nemen... ...en delen door de lengte. Je moet hem kort maken. Je moet hem vijf keer zo kort maken, right? Dus u peil, dat is dus de vector 0, 3, 4. Als je die deelt door zijn lengte, vijf keer korten maakt. Als je een vijfde doet, dan krijg je een vector met lengte 1. Ik gebruik gewoon deze vermullen natuurlijk. Dan ga ik delen links en rechts door u. Dan krijg je u hoed, is u gedeelde u. U peil gedeelde u. Dat is dan 0, 3, min, 4. Ja, je kan zeggen gedeelde 5 of keer en vijfde. Laat ik maar zeggen keer en vijfde, zo. En dan gebruik je de regel dat als je een vector vermenigvuldig met een getal... ...dan moet je alle componenten vermenigvuldigen met dat getal. En dan doe je 0 keer en vijfde, dat is 0. 3 keer en vijfde, dat is 3, vijfde, 4 keer en vijfde is 4, vijfde. Dit is je u hoed. Ga maar naar, soms van die kwadrate, 3, vijfde kwadrate... ...mys 4, vijfde kwadrate is weer precies 1. De lengte van u hoed is natuurlijk automatisch 1. De lengte, dat moet wel, maar je ziet dat het klopt. Ik schrijf het maar even uit, 3, vijfde kwadrate... ...plus min 4, vijfde kwadrate, maar met pitaaglas moet je niet vergeten... ...ik ook nog de wortel moet nemen. Want de schuinenzijde heeft als lengte, soms van de x-kadrate, soms van de i-kadrate... ...daar de wortel van. De wortel 1 is 1, dus die is inderdaad 1. Dus zo bepaal je de richtingsvector of de richtingsenijdsvector. Een vector die lengte 1 heeft, maar dezelfde kant opwijst als u. Oké? Maar hoe bepaal je nu de lengte van een vector? Met drie elementen. Ik heb hier wel pitaaglas gedaan, maar hoe zit het met deze vector? Wat is de lengte van een vector u met drie componenten, u1, u2, u3? Nou, laten we dat gaan afleiden, formule daarvoor. Deken even een blok, drie-dimensionaal. We hebben nu of een ruimtelijke vector. Kijk, dit gaat lukken. Hier is de oorsprong, hier achter. Dus die u gaat van hier naar dit punt schuimt tegenover. Dat is mijn u, en ik wil weten hoe lang u is. Maar dat kan je als volgt uitrekenen. Je kan deze drie ook maken. Dus deze lijn, deze vector staat verticaal. Dus dat is eigenlijk de vector 0,0, u3. Geen x-component, geen i-component en de derde components u3. Terwijl deze vector, niet maar roodmaak, die is horizontaal. Dus dat is eigenlijk de vector u1, u2, 0. En de rooie plus de groen is de blauwe. Maar je ziet dat je hier een hoek hebt van negen te graden. Want deze drie uken is eigenlijk verticaal en zo. En dat betekent dat ik de lengte van de vector u kan uitreken... met pitageras in dit drieokje. Dus dat ga ik dan maar doen. Dus de lengte van u, de schuine zijde, dat is de blauwe in het quadraat. Dat is de lengte van die rooie in het quadraat. Plus die groen in het quadraat. Nou, ik heb er geen letters voor gegeven. Dus dan ga ik maar gewoon zeggen dat die rooie is u1, u2, 0. Die moet je kwaliteren met pitageras. En die andere is inmiddels uitgeveegd, die had een u3. Dat was de lengte van de vector 0, 0, u3. Ik heb nu pitageras voor de staande drieok opgeschreven. Maar die eerste is het quadraat van de lengte van de rode... maar die zit natuurlijk ook in een rechtdoekige drieok, want die zit hier. Dus die heeft als rechtdoek zijde u1 en u2. Dus dan kan je opnieuw pitageras doen in de horizontale drieok. Dus dan krijg je u1-quadraat plus u2-quadraat. En die groener heeft natuurlijk lengte u3. Dat heb ik al zo simpel opgeschreven, maar ja, 0-quadraat plus u3-quadraat. Dus je ziet, de lengte van u en het quadraat is gewoon... de som van de quadraten van de drie componenten. Dus dat geeft je natuurlijk meteen een vermule voor u. Hoe bereken je de lengte van een vector? Neem de componenten, neem de quadraten, tel ze op. En aan het einde moet je de wortel nemen. Dus schrijf op, u is de wortel van u1-quadraat plus u2-quadraat plus u3-quadraat. Zie je dus gewoon, de stelling van pitageras zit daarin, want als je u3-0 is... dan houd je natuurlijk over wortel u1-quadraat plus u2-quadraat. Oké? Ja, voorbeeld. Stel nu eens dat je moet bepaalden... bepaalden ene eens richtingsvector. Dat heet ook wel het normeren van een vector. Dat je dan vector vindt, dus de u-hoed. Die lengte 1 heeft, dat is dus u gedeelte als een lengte, voor deze vector u. En dan is het een voorbeeld dat je, om te laten zien hoe je handig moet rekenen. Want als je ziet dat de componenten min 6, min 9 en min 18 zijn... ja, je hebt net geleerd van, oké, dan moet je de som van de quadraten nemen... maar dat is niet echt handig, want dan krijg je dus 6-quadraat, 9-quadraat, min 18-quadraat. Die weet ik niet eens. Maar je kan deze vector manipuleren, want ze hebben een minnetje allemaal gemeenschappelijk. Dus je kan eigenlijk zeggen, het is gewoon de tegenstelde van de vector 6, 9, 18. Maar als je toch bij je zult zijn, kan je zeggen, oké, er zit natuurlijk een 3 in. 8, 9 en 6 zijn veel verder van 3. Dus laat ik maar zeggen, het is eigenlijk gewoon de vector 2, 3 en 6. Drie keer 6 is 18 en min drie keer 6 is min 18. Het is gewoon deze vector 2, 3, 6, maar dan keer 3 gedaan. En die min, die zorgt natuurlijk voor dat die omklapt. Als je vector met min 1 vermenigvuldigt, dan gaat hij juist de andere kant op staan. Dat is de tegenstelde vector. Dus ik ga bepalen die u hoed, dus dan moet je eerst uitrekenen u. Dus de u is de lengte van deze vector. Maar dan moet je dus bepaal de lengte van de vector min 3 keer 2, 3, 6. Nu kan je een regel gebruiken die je het vertelt, maar je kan aanvoelen... ...dat als je een vector drie keer zo lang maakt, door met drie te vermenigvuldigen... ...dat de lengte drie keer zo lang is als die vector die daar binnen staat, die ik binnen de aakjes heb gehaald. Dus eigenlijk gebruik je gewoon deze regel. Dat u is, als je u kan schrijven als c keer een andere vector v. We zien het, dus u vector is vector v keer een constante c. Dan volgt natuurlijk dat de lengte van u, dus de lengte van c keer v, dat is eigenlijk de lengte van v... ...zou ik zeggen keer c, dat is niet helemaal goed. Kan iemand vertellen waarom dit niet klopt, als ik het niet opschrijf? Want je had de min 3 beter worden. Ja, als ik hier heb ik hem in drie genomen. En wat moet ik dan doen? Dat kan handig. Kan iemand anders, heeft iemand anders een idee? Ja? Ja, maar een lengte is altijd positief, dus wat moet je doen? Oh, je wil hem binnen de aakjes halen. Maar deze haakjes te lijnen, dat is het symbool voor de lengte van een vector. En ik heb hem dan juist buiten gehaald, omdat ik dat denk, dat is makkelijker. Wat ik wil zeggen is, als je een vector v vermenigvuldig met c, hoeveel langer wordt je dan? Hij wordt niet per c zeker zo lang, want c kan min 3 zijn. Als je in keer min 3 doet, wordt hij plus drie keer zo lang. Dus je moet de absolute waarde van de c nemen. Dus dit is natuurlijk... Je moet goed weten wat er staat, want deze strepen... dat is de absolute waarde van een getal. En die andere strepen, dat is de lengte van de vector. En omdat het bijna hetzelfde is, hebben we geen andere notatie ervoor... maar het is iets anders in principe. Dus dit is de echte regel. Dan kan je zeggen, oké, het is de absolute waarde van min 3. De lengte van 2, 3, 6. En de absolute waarde van min 3 is 3. Maar je ziet nu voor het geleden nog maar 2 kdp, 3 kdp, 6 kdp te doen. 2 kdp, 3 kdp, 6 kdp, dat is 49. Dus dat is precies 7 kdp. Dus het is een vector met lengte 21. Als ik nu u hoed moet uitrekenen... had ik eigenlijk niet eens die 3x7 moeten doen, want ik had gewoon dit is u. u hoed is u gedeelde in lengte. u is min 3, keer 2, 3, 6. Dan moet ik delen door 3x7. Dus natuurlijk gaat die 3 wegvallen, want ik ga het alleen om de richting. Dus ik had ineens die 3 in de rekening mee hoef te nemen. Het is gewoon een richting die dezelfde kant op staat. En van die vector moet je de lengte uitrekenen, dat is dan toevallig 7. Dus het antwoord is 2, 7, 3, 7, 6, 7. Oké. Waar zijn we in het programma aangeland? Ja, afstand. Jij hebt een vraag? Heel goed. Die mag je niet weggelaten. Nee, die moet erbij. Dus we gaan me neerzetten. We maken het helemaal niet uit waar we neerzetten, dus laat ik hem maar hier staan. En die 7 hoef je ook helemaal niet binnen de haakjes te zetten. Dus zelf zei ik gewoon, laat ik gewoon dit staan. Dit is geen vreemdvoudiging, want dit is eigenlijk korter. En hoe korter hoe beter. Dank je wel voor de verbetering. De u-hoeet staat min in de richting van de negatieve x als negatieve i als in de negatieve z, als naar achteren dus eigenlijk. Afstand. Normaal dat jullie nu ook als je lengtes kan berekenen, kan je natuurlijk afstanden berekenen. Dus de afstand tussen twee punten. Laat ik P en Q noemen. En dan schrijf ik appeltjes voor en boven. Dan bedoel ik dat is eigenlijk de vector van de oorstpoong naar het punt P, P dus. Dan schrijven we dan als, nou ja, is... Wat moet je doen? Je moet natuurlijk de verschilvector maken. Je hebt hier punt P, hier punt Q. Je maakt de vector van P naar Q. Hoe doe je dat door het verschil te nemen van P met Q, maar eindpunt min beginpunt. Hoewel voor de afstand maakt het niet uit. Dit is de verschilvector van P, deze wijst van P naar Q. En dan moet je daarvan de lengte nemen. Dus dit stukje is wat hier binnen staat, maar dan ga ik de strijdijke streep omheen. En dan bereken ik de lengte van die vector, dat is de afstand. Oké. Laten we eens naar een, kijk of je iets begrepen hebt, wat ik net gezegd heb, halverwege. Hier zijn slides in het Engels met de definitie, die krijg je misschien nog uitgedeeld. Maar hier is een vraag. Hoe zit het nou, wat is nou het verschil tussen twee- en drie-dimensionale factoren? Kunnen we bij een twee-dimensionale vector een drie-dimensionale vector optellen? Is dat nee, want dat kan niet, want ze leven in een andere ruimte. Of kan dat wel? B, ja, want twee-dimensionale vector is gewoon... een vector die in het x-ijflak zit van de drie-dimensionale ruimte. En is dit een beetje... wat is de definitie-vraag? Hoe hebben wiskundigen afgesproken wat de bedoeling is? Dus wat denken jullie? Wie van jullie denkt, A, nee, je mag niet een twee-dimensionale vector optellen... bij een drie-dimensionale vector? En wie van jullie denkt, B, je mag wel een twee-dimensionale vector optellen... bij een drie-dimensionale vector? Oké, weet je vanaf nu, dat, of dat mag of niet, B is het goede antwoord. Dat mag dus niet. Je kan natuurlijk, het is misleidend, maar een drie-dimensionale vector... dat is een vector ABC. En als je daar plus CD achterzet, dit mag niet, want dat past helemaal niet bij elkaar. De eerste vector is een element van de R3, de tweede is een element van R2... en ze zitten in verschillende ruimtes, dus je mag ze niet optellen. Natuurlijk kunnen we een vector defineren CD0... maar dat is weer, dat is niet de vector CD. Misschien was dat je aanvraag. CD0 is een vector in de R3, CD is een vector in de R2. Ze zijn niet dezelfde vector, ze zitten niet eens in dezelfde ruimte namelijk. Niet horen niet bij dezelfde verzameling van vectoren. Oké, nu gaan we naar den zijde vragen zijn. Dan gaan we naar het belangrijkste onderwerp. De dot-product of het in-product. Je kan vectorenvermenigvuldigen eigenlijk op drie manieren. Eentje heb wel gezien, dat heb ik niet echt verteld, maar je kan natuurlijk C keer U doen. Dat heet de scalervermenigvuldiging, want we hebben een getal keer een vector. En enige wat ik bedoel, is dat ik hem zeker zo lang maak... als C negatief is keer min 1, maar dat is dus gewoon CU1, CU2, CU3. Dat is de definitie van de scalervermenigvuldiging. Hebben we een paar keer gezien. Voorbeeld drie keer J hoed. Dat is een 030. Dan hebben we de in-product, waar het nu over gaat. Die maakt van twee vektoren U en V een vermenigvuldiging. Dan schrijf je een dikke punt op, want dat heet ook wel dot-product. En ja, deze punt moet je opschrijven. Dat kleine puntje daar hoef je niet op te schrijven, want het zijn verschillende dingen. Je wilt eigenlijk geen puntje opschrijven, behalve als het een dot-product is, dan moet die er staan. Want dan zie je dat je dus blijkbaar een speciale vermenigvuldiging aan het doen bent. Het dot-product maakt van twee vektoren een getal. Van een paar vektoren, twee dus één getal. Namelijk welk getal als volgt gedefineerd. Dus laat ik het voorbeeld doen van vektoren in de drie-dimensionale ruimte. Dit is de definitie van het in-product tussen de vektoren U1, U2, U3 en V1, V2, V3. Dat is U1, V1, dus U2, V2, dus U3, V3. Dat moet je termschewijsvermenigvuldiging maar optellen. Dat blijkt een hele bijzondere combinatie te zijn. Het is natuurlijk heel erg symmetris. Je ziet dat het niet uitmaakt of je de V eerst doet en dan de U verwisselt. Dus je kan zeggen dat een van de rekenregels is dat U2, V1, V2, U hetzelfde zijn. En een andere opvallende is dat als je een vektor met zichzelf vermenigvuldigd met de dot-product. Dus U dot U. U was U1, U2, U3. Dus dan krijg je U1, U1, dus U2, U2, dus U3, U3. Dus dat is de zon van de elementen van U. Ik vervang gewoon... Als je U2, U2 doet, moet je de letters V door U vervangen hier. Krijg je dat. Maar dit is de lengte in het quadrat. Dus dat is ook een bijzondere rekenregel. De inproduct van U met zichzelf is de lengte van U in het quadrat. Dus tijdens het ook weer die pitagodas inverborgen... je kan de lengte natuurlijk uitrekenen met het inproduct... door met zichzelf te vermenigvuldig en dan niet vergeten word te ontnemen. Een andere belangrijke eigenschap is de volgende. Stel nu eens dat je twee factoren neemt die onderling loodrecht zijn. Ik neem een voorbeeld dat het inzichtelijk maakt. Stel nou eens dat ik heb deze factor 710. Teken hem ook meteen en dan kan je het voorstellen. 7 rechts 1 omhoog als zoiets. En de z-component is 0. Dus ik doe express alles toch maar in de drie-dimensionale ruimte... maar z als die staat zo uit het bord. Kan iemand een factor bedenken waarvan je meteen ziet... oh, die staat hier loodrecht op. Kan je een factor construeren die loodrecht staat op 7 rechts 1 omhoog? Ja? Nee, ik heb geen andere factor nog. Dus ik vraag aan jou om een andere factor te verzinnen. Ja, dat is een keuze natuurlijk, zoals dit je u is. Maar als ik dan de v neem, min 1, 7, 0... kijk, die staat daar loodrecht op. Dat zie je in het plaatje. 7 rechts 1 omhoog en dan ga ik 1 naar links 7 omhoog. Volgens mij is die loodrecht. Maar daarom heb ik dit voorbeeld, want je ziet dat als je het inproduct uitrekt... dat dan krijg je 7 keer min 1 plus 1 keer 7. Dus 0 en 0. Maar dat is 0. Dat is algemeen zo. Dan ga ik zo uitleggen dat je altijd kan zien... of twee factoren loodrecht zijn door te kijken naar het inproduct. Dat heet ortegronaal. Eén van de dingen van de concepten. Twee factoren heeten ortegronaal als het inproduct 0 is. Bijna hetzelfde is loodrecht dus. Dus je kan je afvragen waarom we wiskundigen dan die term ortegronaal ingevoerd. Nou, wat denk je van dit inproduct? U met de 0-vector. Zijn dat ortegronale factoren? U1, U2, U3... tot 0, 0, 0. Ja, dus U1 kan 0, dus U2 kan 0, dus U3 kan 0. Dat is 0 natuurlijk. Maar je kan niet echt zeggen hoe ik van 90 graden heb. Dat slaat nergens op. Maar ze zijn dus ortegronaal, want het inproduct is 0. Dat sowieso. Dus we zeggen ortegronaal wil zeggen dat product is 0. Ik ga het niet eens opschrijven. Ik denk dat je dat kan houden. Nou, waarom is het inproduct zo interessant? Je hebt de volgende eigenschap. En eigenlijk moet ik teruggaan naar wat een vector nou is. Een vector is een grootheid die zich zo gedraagt dat je het kan roteren... en dat het niet uitmaakt hoe je assestelste gecoos is. Als je een experiment doet, je hebt op deze tafel een opstelling gemaakt... en die ga je wiskundig beschrijven en dan zeg je... oké, dit is de x als dat is de ijas. En dan ga je alles formuleer. Ga je de versnelling en de krachten opstellen. In termen van de componenten langs x en ijas. Maar als ik nu die tafel 90 graden ga draaien, dan heb ik nog steeds hetzelfde experiment. Dus dan heb je een rotatie uitgevoerd, maar er is eigenlijk niks veranderd. In het bijzonder, als ik zeg u is een vector... dan wil zeggen hij transformeert op zo dadige manier dat alle andere vectoren meedraaien. En als ik zeg een inproduct maakt van twee vectoren scalar... dat betekent dat als ik u en v op dezelfde manier draai... dat het inproduct gelijk moet blijven. En dat zie je natuurlijk, want ik heb hier bijvoorbeeld... inproduct van i hoed met je hoed. Ja, i hoed is 1, 0, je hoed is 0, 1, 0. Die zijn onderling dat recht. Die zijn ortegonaal, dus het inproduct is 0. Als ik mijn assestelste ga draaien, blijft het inproduct natuurlijk 0. Dan gaat de i hoed misschien naar je hoed toe. En die je hoed gaat naar mini hoed toe. Maar ja, het inproduct van je hoed met mini hoed is ook 0, dus dat blijft zo. Dus dat is het bijzondere van het inproduct. Als ik u en v roteer, geroteerd worden in de drie-dimensionale ruimte... zeg dat ik naar roteer dat de u u accent wordt en de v v accent wordt... dan heb ik nieuwe factoren. Je hebt ze in de ruimte gedraaid, maar dan het inproduct blijft hetzelfde. Dus dat komt dus omdat zo'n mooi symmetische combinatie is u1, v1... dus u2, v2, plus u3, v3. Dus dat ga ik niet bewijzen, maar dit is waarom het inproduct zo belangrijk is. Het maakt echt een scalar en dat betekent dus als je roteert... veranderd de uitkomst niet eens. Maar dat kun je wel gebruiken, want dan kan je zeggen... ik wil het inproduct, ik wil kijken wat is nu precies de betekenis van het inproduct? Hoe kan je het ook anders zien? Wat is het inproduct? Eigenlijk is er niet een handige formule, relatie voor. Nou, als we zeggen dat het inproduct van u en v dat het niet afhankt... van hoe je je orientatie hebt, hoe je je as hebt gekozen... dan kan ik gewoon een u-vector horizontaal kiezen langs de x-as. Dus ik roteer nu de u naar de x-as toe, dus dat het u1, 0, 0 is. Mijn v, die roteer ik dus mee. Dus stel v is dan in het x-ijvlak, v1, v2, 0. En dan kan ik beter zien wat het inproduct nu eigenlijk wordt... want kijk, als ik u tot v voor deze makkelijkere situatie uitreken... u1, 0, 0, dat v1, v2, 0, dan krijg je gewoon u1, v1... en de rest is verdwijnt, 0, v2, 0, 0, 0 is 0. Dus het inproduct is blijkbaar gewoon u1, maar u1, dat is eigenlijk deze afstand. Dat is gewoon de lengte van u. Midst ik u naar rechts heb gekozen... maar laten we dat maar doen, want dat heb ik ook gezellig getekend. En wat is die v1 eigenlijk? v1 is de x-component van v. Dus dat is deze horizontale afstand natuurlijk. Ik had misschien de v iets kleiner moeten tekenen, maar dit is natuurlijk v1. En v2 is deze verticale afstand. Deze ook is 90 graden. Dit is de lengte van v. We hebben weer een rechthoekige driehoek. En deze hoek tussen u en v, als we die even terta noemen... die kan je gebruiken, want je ziet nu... dat die v1 is te aanliggen de zijde van die rechthoek. Dus ik kan de v1 en de terta en de v aan elkaar uitdrukken... met de gewoon nummer drievermiddels. Dus je hebt een driehoek met hoek terta. De cosiness van de hoek terta... is te aanliggen de zijde, dat is de schuinenzijde. Maar de aanliggende zijde is v1. De schuinenzijde is de lengte van v, dat is dus v. Dus je hebt deze relatie. Dus v1 is natuurlijk gewoon de lengte van de vector v... keer de cosiness van de hoek. V1 is kleiner. En die factor waarmee die kleiner geworden is, dat is de cosiness. Cosiness is kleiner dan 1, dus v1 is kleiner dan v. Dus je dit even invult hier. Dan zie je dat je krijgt v1 is v, maar dat is de lengte van de vector v. De cosiness van de hoek. Blijkbaar is deze formule geldig voor deze situatie. Inproduct van u met v is de lengte van u... keer de lengte van v, keer de cosiness van de hoek tussen de vector u en v. En ik heb het nu laten zien voor deze situatie, maar ik heb net gezegd... dat maakt niet uit. Je kan de vector roteren, het inproduct blijft toch hetzelfde. En dus dit geldt altijd. Dus dit is de, zeg maar, de inproduct-formule. Je ziet wat het betekent. Het gaat al wat hieruit komt. Het is kleiner dan het product van de lengtes, want die cosiness is kleiner dan 1. En je ziet ook, als de hoek 0 graden is, dan is het gelijk aan het product van de lengtes. Als de hoek 90 graden is, dan is de cosiness van de hoek van 90 graden 0... en dan is het inproduct blijkbaar 0. Als je een ortegonale vector hebt, in product 0. En je ziet dat je deze formule kan gebruiken om hoeken uit te rekenen. Dus wat kunnen we de inproduct voor gebruiken? Wat al gezien we kunnen, pita-grasvocht eruit, maar je kan ook hoeken uitrekenen. Dus dat is het volgende punt op de lijst. De hoek theta tussen u en v. Je kan je vinden met deze formule, maar laat ik hem iets anders schrijven. Je kan het zeggen, cosiness theta is, als we links en rechts deden door de lengte van u en v... dan is het blijkbaar de inproduct van u met v gedeelde product van de lengtes. En dat heb ik noterig met uv. Dus je kan het nog simpeler maken. Maar dit is de praktische formule om de hoek uit te rekenen. T theta is eigenlijk de arc cosiness, maar soms weet je de hoek al als je de cosiness weet. Dit is het beter om het zo te schrijven. Kijk, we weten dat elk effector u een lengte u heeft en een richting u hoed. Dus als je u deelt door u, krijgt je u hoed. Dus je kan dit nog anders schrijven. Je kan hier natuurlijk van maken u gedeelde u... keer v, pijl, gedeelde v. En dan zie je dat het cosiness van de hoek is ook precies het inproduct. Dit is nu mijn inproduct natuurlijk. Ja, het is een beetje gemene, want die inproduct zit eigenlijk in de teller. Maar je hebt natuurlijk... je hebt die rekenregels die ik niet heb verteld. En daar heb je niet zoveel tijd voor, maar laat ik ze hier maar even erbij zetten in een box. Als je natuurlijk effector u zeker zo lang maakt... en dan het inproduct met v doet, dat is hetzelfde. Dat vocht eigenlijk hier al uit, dus ik ga u keer c doen. En ik ga hier u keer c doen, dan kan de c er buiten halen. Hoe ik verandert niet, dat is het inproduct van c... Oh, sorry, dat is zeker het inproduct van u en v, dus je kan het zo schrijven. Dus dat is wat ik hier gedaan heb natuurlijk. Misschien moet ik straks nog een keer anders uitleggen, maar ik kan het zeggen... u keer v, en dan ga ik delen door u en ik ga ook nog delen door v. Maar die eengedeelde u, volgens die regel kan je er binnen halen. Dus dan kan je zeggen, oké, dat is eigenlijk u gedeelde u en dan inproduct met v doen. En dan ga je ook nog delen door v, maar die kan je er ook binnen halen. Dus dat is gewoon een regel, dat je eigenlijk u hoed krijgt. En die andere v, pijl, gedeelde v, dat is v hoed. Dus het inproduct is ook, het inproduct van de ene effectoren is ook de cosiness. Dus dat is misschien nog wel makkelijker vermullen. Laat ik die op de volgende bord zetten. We hebben de volgende vermudders gezien. u, zoals je gewoon alleen maar het inproduct van de ene effectoren neemt... krijg je gewoon de cosiness van de hoek. Als je het inproduct van de echte effectoren neemt... kijk, die u was natuurlijk u lengte keer u hoed en die v was v keer v hoed. Dus dan krijg je u keer v en de inproduct van de hoedjes was cosiness. Dus dit is een andere manier om het uit te leggen. Dat je deze regel hebt. En zo heb je dus ook nog de regels van... als je nou een vector zeker zo lang maakt en dan het inproduct neemt. Dat is hetzelfde als eerst het inproduct nemen. En dan kun je ze doen. En ze heb je een hele lijst van regeltjes en die moet je eigenlijk bestudeer. Want als je een berekening uitvoert, heb je steeds dit soort regeltjes nodig... om het slimmer en korter te maken. Je vermulles. Oké. Dus even kijken of we nog vragen hebben. Hier staan op de slijtse definities. Hoe zit het nu met dit? Kijk of jullie al in de war zijn geraakt. We hebben hier een i gegeven door het inproduct van a met b en a met c. Kan je concluderen dat i dan b g of c is? Is dat a correct of b misguided? Dat wil zeggen misleiding of zo. Wie denkt er a? Wie denkt er b? Het antwoord is b. Je kan niet delen door een vector. Hier staat gewoon een c-nummer, maar dat mag niet. Want een vector is geen getal. Je kan niet delen door een vector. Hier staat een inproduct in de nummer, maar een inproduct tussen twee vectoren... is een getal. Want a k c, dat was a1 k c1, a2 k c2, a3 k c3. Hier staat gewoon een getal in de nummer, dus dat kan wel. Dit is een onzinuitdrukking. Het kan niet gelijk zijn aan i. Hoe zit het hiermee? Inproduct a en b tussen h is inproduct c. Komt daar nu uit een getal of een vector of is dat ook onzin? Wie denkt er a? Een getal. Wie denkt er b? Komt een vector uit. Wie denkt er c? Dat is onzin. Undefined. Een undefined betekent dat we het niet gedefineerd hebben, maar de reden is dat het niet gedefineerd hebben is omdat dit nergens op slaat. Het is undefined, want je moet eerst tussen de haken doen, uitwerken. Hier komt de getal uit, maar dan staat er getal dot vector. Maar die dot slaat alleen maar op links een vector, recht een vector. Maar links dan een getal, dus dit is niet gedefineerd. Dit mag je niet opschrijven eigenlijk. Oké, nog eentje. Wat komt hier nu uit? Nu staat er a, c, a, b, c. Is a, b, c een scalar, een vector of... Net als net ook weer niet gedefineerd. Wie denkt er... Dit is a een scalar. Wie denkt er... Is b, vector, a. Wie denkt er undefined? Nu gaat het goed, want a, b is een getal, dus het is gewoon de vector c vermenigvuldig met dat improduct als getal. Vector. a keer b dot c is dat... Scanner, vector, ongedefineerd. Wie denkt er a? Wie denkt er b? Wie denkt er c? Dit is een scanner. Het is goed allemaal, want b dot c is een getal en de lengte van a... Dat is een getal, en een getal, dat is een getal. Laten we de volgende over slaan. Je kunt dit nog later bekijken. Hier zie je ook weer iets wat niet kan, getal dot is dat undefined. Wat het is gezien dat je dat product als eigenschappen heeft... dat als je roteert dat het improduct niet eens verandert... en dat het improduct tussen één netseffectoren... die ik dus uhoed en veld noem, dat dat de koosdienis van de hoek is... maar als het niet één netseffectoren zijn, dan moet je dit doen. Dit heb ik ook verteld. Nu gaan we projecteren. Dat is dan voor het improduct het laatste wat we er aan hebben. We konden de hoeken uitrekenen, kijken of ze loodrecht zijn. Lengte ze uitrekenen. Ik heb geen tijd om bijvoorbeeld van die hoek te doen. Misschien dat het bij de sommige nog komt. Maar als je nou een vector u hebt... vaak wil je stel dat dit een richting is in de ruimte... maar je wilt een vector v ontbinden... en dan wil je dus een evenwijdige en een loodrechte component hebben. Dat gaat natuurlijk met ortegonale projectie heet dat. Dan ga je eigenlijk zo'n rechterhoek gedrieuw maken. Dan neem je de lijn van het punt van v... kortste lijn naar de vector, of de lijn langs u. En dan is deze rolje vector, dat is de geprojecteerde vector. Dus dat heet dan. In het boek noemen ze die rolje... ze noemen hem u. Nee, dat moet ik even spieken. De notaties zijn vervelend, ze moeten echt goed gaten houden. En ik denk dat ik een schrift natuurlijk verkeerd andersom geprojecteerd heb. Dus laat ik toch maar de andere kant de letters verwisselen. En dus we gaan u projecteren op v. Dan schrijf ik dat bij. Projectie van u op v. Want het is natuurlijk niet hetzelfde projectie van v op u. Die moet in de richting komen van v. Dus dat is dan u sub v. Dit is een notatie van het boek van Adams. En ik denk dat in de... dat is de rolje vector. In de opgave staat er de projection. Op v, dus de kleine index, is er waar je langskomt. En tussen de haken is de vector die geprojecteerd wordt. Dus die staat in de richting van v, maar het is eigenlijk component van u. Dus dit willen we uitrekenen. Hoe ziet deze vector er nu uit? Nou, om te beginnen, kan je zeggen... ik wil eigenlijk weten hoe lang is de vector. Dus de u geprojecteerde vector heeft natuurlijk een lengte en een richting. Dus dan zeg ik, wat is de lengte? Die willen we bepalen. En wat is de richting van die projectie? Nou, die richting is de makkelijkste, want de richting van u... geprojecteerd op v is in de richting van v. Dus die richting is natuurlijk v-hoed. En wat is de lengte? Nou, we hebben weer die coosienis nodig van deze hoek. Dus deze component, die afstand, noemen we maar de component. Component. Als je die component deelt door de lengte van u, krijg je de coosienis van de hoek, net als net. De coosienis van de hoek is de component gedeeld door u. De andere woorden, de component is... u keer de coosienis van de hoek-terta. Maar net hebben we gezien... dat die coosienis van die hoek-terta... dat is weer het inproduct van de ene-etsvectoren. Dus dan krijg je e is... e staat component, is u... en die coosienis kan je maar handig schrijven... als het inproduct tussen de ene-etsvectoren. Dus dan heb je eigenlijk hier een lengte, een ene-etsvector, hier een ene-etsvector, zit je dus op een cirkeltje... en dan is op de cirkel, is de coosienis van de hoek, is deze component. Ja, dat wordt dus dan kleiner gemaakt. En maar je staat, wat is de component? Blijkbaar, u keer u hoed tot v hoed. Maar u keer u hoed, dat is u. Dat is u tot v hoed. Dat is de component. Of, maar die v hoed was natuurlijk weer v gedeeld door zijn lengte. Dus ik kan ook zeggen dat is v gedeeld door zijn lengte. En dan kan je weer die regel gebruiken... dat je gewoon het getal uit de inproduct kan halen. Dus je kan ook eerst het inproduct doen... en dan delen door v. Dus dat is die vermullen die daar staat, die ik heel snel nu behandeld heb. Als je de lengte wil weten of hoe lang is dit stuk nou, de component langs v, dan moet je de inproduct nemen en delen door v. Dus eigenlijk is het inproduct de component, hè? Alleen je moet natuurlijk wel een ene-etsvector nemen. Dit mag natuurlijk als je de v twee keer zo lang maakt... en wordt de component in de richting van v niet twee keer zo lang, die blijft gewoon gelijk. Dus gewoon alleen maar in die richting. Je wilt de evenwijdige component nemen langs v van de vector u. Dus je ziet aan de vermullen, v twee keer zo lang maakt... krijg je een tweeëntje in de teller, maar ook een tweeëntje in de noemmer. Daaraan kun je onthouden dat er dus een v in de teller en een v in de noemmer moet staan. Zo kan je de vermullen een beetje onthouden. Dit is de component. En de lengte is dus, ja, dat was die component, dus dat ga ik dan hier opschrijven. Wat is de lengte? Lengte is u dot v gedeelde v. En de richting was v hoed, maar dat is ook v pijl gedeelde v. Dus wat is de geprojecteerde vector? Die ga ik hier naar beneden halen. Dat is het product van de lengte van de geprojecteerde vector. Kier de richting van de geprojecteerde vector, de v hoed. Dus dan krijg je deze vermullen. En dat kan je natuurlijk bedenken, dus dat hier een getal staat. Maar daar is het een vector. De getallen kan je samen nemen, maar die vector niet. Dus dat laat ik alle getalen samen nemen, dan staat er u dot v gedeelde v². Eer v, of je kan ook zeggen die v², als de lengte in het quadraat van v, dat is natuurlijk eigenlijk het inproduct van v met zichzelf. Dus je mag er ook dit voor maken, als je dat mooier vindt. Dus dit is de beroemde, de bekende, projectie vermullen. Als je tweeën effecten op de andere beprojecteerde, dan moet je dus het inproduct nemen, in de lengte van de v, dat is het inproduct van v met zichzelf en dat allemaal keer v doen. Laten we een voorbeeldje doen om dat te illustreren. Op de ander bord, dus we hebben een punt, p, 2,3,4, en naap er een lijn door, 1,1,1, en de oorsprong. En dan wil ik op de lijn projecteren, dat punt op de lijn projecteren. Dus dan gaan we tekenen even die lijn. Hop, hier is ergens het punt 1,1,1. Dan hebben we een punt, p, wat ga ik nou doen? De lijn gaat door de oorsprong, dat betekent eigenlijk dat ik de vector van de oorsprong naar p, dat is de vector p, ga projecteren op de richting van de lijn. Dus dan moet ik zo, loot recht, wil ik deze geprojecteerde vector weten. Dus die blauw vector staat natuurlijk evenweilig aan de lijn of langs de lijn en dat is dan de projectie op de vector 1,1,1 van de p. En p is dus 2,3,4. Dus dan moeten we het volgende doen. Dan moet je dus blijkbaar in product nemen van p. Ik ga hem helemaal uitspelen, hoor je. Dat is projectie op 1,1,1, die v, zeg maar, zoals een subscript. Dit is de notatie van de opgave, 2,3,4. Dus wat moet je doen? In de teller stond het in product van u met v. u dot in dit geval p. Dus dan heb je al een component te pakken natuurlijk, maar je moet delen door die lengte van v in het quadraat, dus door het in product van 1,1,1,1,1. En dan komt de getal uit en dat moet je vermenigvuldigen met de richting van de lijn 1,1. Dus dit is de berekening en je kan dus, je ziet maar op één plek die p, die geprojecteerde, maar op vier plekken staat dan die vector v, zeg maar, en dat is verlogen, zeg maar, want als het naar 1,1 was of 2,2,2, dat maakt niet uit, want er staan er één tweende teller en één tweende noemer en natuurlijk is die projectie op 1,1 ook hetzelfde als projectie op 2,2,2, de lijn door de oorsprong en 2,2,2, dus dat mag niet uitmaken, dat is wat ik bedoel. Maar dan is het verder simpel uitrekenen, 1,2,1,3,1,4, 1,1,1,1,1,1,1, keer 1,1,1. Dus dan krijg je in de teller 5,4 als 9 gedeelde, 3,3, dus 3 keer 1,1 is 3,3,3. Zie je, tuurlijk, 3,3,3 ligt op die lijn, want het gaat in de richting 1,1. Blijkbaar is de 1,1, dus als ik het getekend heb, blijkbaar zit die hier op een derde of de p is langer, maar ik heb soms maar wat getekend natuurlijk. Zo breek je de projectie. Oké, dus het component is alleen maar hoe lang eigenlijk dat stukje is, maar als je de projectie doet, dan moet je deze vermule te passen. Zie je het component, keer de richting, want een geprojecteerde facte heeft een lengte en een richting, maar dat wordt dan deze vermule. Oké, oké, deze slaan we over en deze slaan we ook over. We moeten naar uitproduct toe. Dus dit is alles wat we over het inproduct hebben. Ik kan nog een, twee, één kort voorbeeldje geven. Namelijk het opstellen van een vergelijking van een vlak. Stel eens dat we dit vlak hebben. Vlak door 3,0,0. Als ik drie punten heb, dan gaat er precies één vlak doorheen. Ze niet op een lijn liggen tenminste. En dus dit vlak kan je voorstellen. Hebben jullie gehad de standaard vorm van een plat vlak in de drie-dimensionale ruimte? Dat is een vermule met een x en een i en een z erin. Zodat als je de x en een i en z invult, en het klopt, de vergelijking, dan zit je in het vlak. Ik weet niet of je die vermule gehad hebt, maar ik wilde zijn vergelijking hebben van deze vorm. AX, dus BR plus CZ is D. Dat is een lineaire vergelijking in de coordinaten. En dat stelt een vlak voor. En dan kan ik nog even dit bijvoorbeeld laten zien, want als ik heb twee dingen nodig, ik heb eigenlijk een normaal nodig, dus dit is een vlak, kan je een richting verzinnen die loodig staat op dit vlak? Ik teken een peiltje zo naar buiten, en ik wil dat deze hoek 90 graden is. Dus dat betekent eigenlijk dat als je een punt hier in het vlak hebt en een ander punt in het vlak, en ik teken daar weer een verbindingslijn in het vlak, dat die hoek 90 graden is met die normaal n-hoeds of n-pel. Ik kan één van jullie een normale vector van dit vlak, dat door 3, 0, 0, 0, 3, 0 en 0, 0, 3 gaat verzinnen. 1 en 1, omdat het symmetrisis is. Je ziet, dit is even ver van de oorsprong, die is even ver van de oorsprong, die is even, dit staat onder, ja, ik weet niet eens wat van de hoek, maar wel symmetrisis, dus er gaat ook een loodrechte vector op staan die ook symmetrisis in X, I en Z. 1 en 1 is een normaal. Nou, als ik nou wil de keurgepunt heb, X, I, Z, in het vlak, dus laat ik even een vector van maken. En ik heb een vast punt, laten we dat vaste punt gewoon dit punt nemen. Dus ik ga nu, dit is een willekeurgepunt en dat vaste punt, dan zet ik hem maar hier neer, is het punt 3, 0, 0, dan is het de verschilvector, de vector die wijst van 3, 0, 0 naar X, I, Z, dat is natuurlijk X, I, Z, min, 3, 0, 0. Dat is deze vector, die ligt in het vlak en dat betekent omdat de normaal lotigtaat op het vlak, dat die normaal ook lotig staat op die vector, right? Dus deze vector 1 en 1 moet lotig staan op deze verschilvector wat X, I, Z ook is, zolang je maar in het vlak blijft met je punt, is dit lotig op 1, 1, 1. Dus in het vlak geldt dat deze vector X, I, Z, min, 3, 0, 0 vastpunt genomen, maakt niet uit welk punt, dus ik heb maar één van de drie punten genomen die ik weet. Met andere woorden, in product is 0, he? Lootrecht wil zeggen. En het verschil kan ik ook uitreken, omdat het natuurlijk gewoon X, min, 3, I, min, 0, Z, min, 0, dat laat ik die er ook maar bij zetten voor de duidelijkheid. Dus dit wil zeggen dat het in product van deze verschilvector met 1, 1, 1, dat dat 0 is. Maar als ik dat uitwerk, krijg ik dus 1, 3, min, X keer 1, plus X, min, 3 keer 1, moet ik zeggen, I, min, 0, keer 1, plus Z, min, 0, keer 1, is 0. Maar dat is precies wat ik wil. Er staat 3, er staat X, plus I, plus Z, en de 3 kan ik naar rechts halen, is gelijk aan 3. Dus er staat een vergelijking van de vorm AX, plus BI, plus CZ, is D. Dus je kan, als je een plat vlak hebt, dan zijn de A, B en C componenten van een vector, kan het zo zien, van de normale vector. Een normale vector. Dus dit is de standaard manvlak te vinden. We hebben alleen maar een vector die de lootrecht op staat en een vast punt. En dan is dit je normale vorm. Ten slotte, hoe vind je nu die lootrechte vector? Want net moest je gokken, of toevallig was het wel wat mooi uit. Als het niet mooi uitkomt, heb je een formule nodig voor een lootrechte vector. En daarvoor hebben we dan het laatste nodig van deze les, namelijk het uitproduct. Uitproduct is in de derde manier van vermenigvuldigheid. Je kon skalen van vermenigvuldigheid, zeker U, in product U dot V, en dan hebben we nog U cross V. En uitproduct maakt van twee vectoren weer een vector. Dat is deze hele vervelende formule. Nu moet ik drie componenten geven. De X-component, de eerste component van het uitproduct, dat is een kruisleksvermenigvuldiging. Dan doe je tweede keer derde, min derde keer tweede. Dus dat is het enige wat je moet moeten houden. Voor de eerste component is het dus U2V3 min V2U3. En de andere gaan net zo. Als je de tweede component wil uitrekenen, dan moet je bij de derde beginnen. Na twee komt immers drie. En het is volledig periode ik cyclies heet had. Dus van twee moet je drie en dan hier komt dan weer U1. En na drie komt één en na één komt weer twee. Na twee komt drie, na drie komt één. Na drie komt één en na één komt twee. En dit is ook nog eens om en om, maar dus U cross V min V2U. Dit is het uitproduct. En het uitproduct van een vector U en een vector V, die heeft net als het inproduct hele mooie eigenschappen. En de belangrijkste eigenschap is, staat low-techt op de twee vektoren U en V. Dus onder andere kan je het gebruiken om een normaal te vinden. Als je die driehoek hebt, dan kan je twee factoren in de driehoek vinden. En dan is het uitproduct dus low-techt erop. Dus dat is de eigenschappen. Ik zal ze nog even snel samenvatten. U cross V, als je het inproduct neemt met U, komt er nul uit. Kan je een beetje zien, want dan moet je dit eerste ingewikkelde component keer U1 doen. Dan staat er bijvoorbeeld U1, U2, U3. Maar hier ga je weer, de tweede component, ga je U3, U1 met U2 vermenigvuldig, dus dat houdt er weer af. Dus als je gewoon uitschrijft het inproduct van deze lange formule, met U1, U2, U3, krijg je zes termen en die gaan allemaal wegvallen tegen elkaar, want er komt nul uit. En hij is low-techt op V. Dus doordat het zo, met cyclies permuteren met het verwisselen van de indices naar 2, 3, 3, 1, 1, 2, dat is 1 met het minnetje. Daardoor gaat alles steeds wegvallen. Daarom is dit een mooie combinatie. Dit is ook nul. En ten slotte, de lengte. De richting is ook van belang, want welke kant staat hij op? Hij staat low-techt, maar je kan twee manieren low-techt, naar boven en naar beneden. Maar hij staat low-techt met de rechte handregel. Dus ik heb het niet helemaal duidelijk getekend, laat ik het zo zeggen, maar als je van U naar V draait, zal ik hier de U opstreven en hier de V, dan draai je met je vingers van U naar V, dan ga je duim in de richting van het uitproduct staan. Dus de rechte handregel geeft je de richting aan. Wat een minnetje. De lengte van U met V, ten slotte willen we nog weten, dat is de lengte van U keer de lengte van V, keer de cinis van de hoek. Dat ga ik niet bewijzen, maar dat komt later. Maar daar hebben we alle eigenschappen van het uitproduct. Oké, dus dat was een hele drukke 1 uur en 1 kwartier, bijna. Dus de tijd zit erop, we gaan rustig even op adem komen, pauzeren, 10 minuten, en dan gaan we verder in de studerklasroom om de instructie te doen, opgaven over deze stof. Succes met de opdrachten en met jullie studie.