 C'est la guerre des principes, l'énergie et la découverte de la fonction de force et le but c'est un peu une thèse c'est de dire que justement le problème des n corps a été très important dans la découverte de la notion de fonction de force qui est beaucoup plus générale et qui s'applique à beaucoup plus de problèmes. Donc ce que j'indique ici c'est que la plupart des choses que je dis ici sont détaillées dans un chapitre de ce livre là qui vient de sortir aux éditions de l'école polytechnique édité par Yvette Kosman Schwarzbach et on y va. Vous avez déjà vu cette photo là deux fois je crois un peu quelques mots pour dire jouer au petit jeu qui est de situer la grande parmi les grands mathématiciens. Alors la grande se reposait depuis longtemps sur sa gloire selon Rago. Il assistait assiduement à nos séances mais sans y proférer un seul mot. Il se contentait de donner quelques soins à la réédition de ses ouvrages et d'y joindre de sa vente note. C'est nombre mémoire parmi lesquels on n'en citerait pas un de médiocre inséré dans les recueils académiques de Turin, de Berlin, de Paris lui donner des droits incontestables et incontestés au titre de premier géomètre de l'Europe. Chacun disait que de nouvelles publications ne pouvaient que le faire d'échoir de ce premier rang qui l'occupait sans partage. Évidemment vous attendez la suite mais la suite c'est le dernier transparent alors je ne sais même pas si on aura le temps d'arriver jusque là. Et on a donc des correspondances de Darbu à Jules Well plus tard puisque vous lisez forcément le Lagrange je pense qu'il s'agit de la mécanique analytique. J'espère que vous reconnaitrez qu'il était de même taille que Gauss quoique avec une tournure d'esprit plus sceptique et beaucoup moins philosophique. Gauss a même pris beaucoup de choses à Lagrange sans trop l'indiquer. Je serais curieux de savoir à quoi pense Darbu et j'essaye de faire une liste de choses qui ne sont pas attribuées d'habitude à Lagrange. Cette liste n'a pas beaucoup évolué récemment je l'avais déjà montré c'est donc on a en premier je donne des choses assez techniques pour les mécanismes célestes. Dans le problème des trois corps il y a ce qu'on appelle les variables de Jacobie qui consiste à repérer un corps par rapport au second et le troisième par rapport au centre de masse des deux premiers. Ces variables de Jacobie apparaissent dans la première édition de la mécanique analytique et pas dans la seconde donc c'est peut-être pour ça que ça n'a pas été tellement repéré mais elle devrait s'appeler variable de Lagrange. On appelle la réduction du problème des trois corps le problème de trouver le moins possible de degré de liberté de réduire le nombre de degré de liberté et en particulier de regarder les choses à rotation près. On attribue souvent à Jacobie ce qu'on appelle l'élimination des nœuds mais en fait il y a même ce mémoire de 1772 de Lagrange qui utilise les distances mutuelles et qui arrive un problème des trois corps avec cette équation, cette équation différentielle du premier degré. Il y a le célèbre vecteur de la place Rung Lenz qui est explicitement écrit dans Lagrange et dans un mémoire que la place connaissait très bien donc probablement là qu'il l'a pris. Il y a l'évaluation des intégrales elliptiques par la méthode de la moyenne arithmetico géométrique qu'on dit de Gauss et c'est une méthode de Lagrange, ça c'est un fait assez connu. On a l'invariant intégrale de point carré, ça je montrerai que c'est une formule de Lagrange si j'ai le temps. On a les théorèmes de notaires qui sont les célèbres théorèmes en mécanique qui disent que chaque fois qu'on a une symétrie on a une quantité conservée. Là il faut dire que ça commence vraiment avec Lagrange si on fait exception de peut-être le mouvement géodésique sur une surface à symétrie de révolution qui est déjà dans Newton et Cléro. Mais là on a vraiment dans Lagrange des choses beaucoup plus avancées. Ensuite les équations de Hamilton, on va voir que c'est des équations de Lagrange, Cauchy et Hamilton. Je vais faire un petit rappel sur la fonction de force parce qu'il faut avoir une formule très simple en tête qui relie la fonction de force à l'intégrale de l'énergie que tout le monde, normalement on connaît bien mais c'est bien de se rafraîchir la mémoire. On a le système qu'on attribue d'habitude à Newton, c'est un peu abusif, où on écrit les trois coordonnées à la suite avec les composantes de la force dans les trois coordonnées. X2.1 égal Fx, Y2.1 égal Fy, Z2.1 égal Fz. Et ensuite il y a une version plus sophistiquée où on remplace ces forces par les dérivés partiels d'un potentiel. Il faut bien voir que toute la première partie de la mécanique, tout le 18e siècle, ignorait ce concept et que malgré ça on est arrivé à des résultats très avancés même sur le système solaire. Donc on peut faire de la mécanique sans savoir ça. Mais quand on le sait, évidemment on entre dans un domaine beaucoup plus riche, le domaine de la mécanique conservative et on a une énergie conservée, un principe de moindre action, les équations de la grande, les équations d'amilton, une invariance de la forme sympactique, on appelle U la fonction de force ou le potentiel. Quand on pense à fonction de force, on pense à l'aspect générateur des équations, comme l'équation numéro 2 ici, et quand on pense à potentiel, on pense à une partie de la quantité conservée, à l'énergie potentielle. Ce sont deux aspects qui sont reliés immédiatement maintenant, mais évidemment on ne s'est pas aperçu d'un coup que c'était la même chose. Donc c'est important de les distinguer pour ensuite les rapprocher. Pour les rapprocher, ce qu'on fait donc en première année d'université, c'est de faire le produit scalaire de la vitesse et de l'accélération, et on s'aperçoit donc que quand on prend la formule de l'énergie ici, énergie cinétique égale moins énergie potentielle plus constante, qu'on dérive par rapport au temps, on obtient immédiatement cette équation-là avec Q2 point produit scalaire Q point, et pour toute vitesse et pour toute position, mais surtout pour toute vitesse, cette équation est satisfaite, c'est-à-dire que ça c'est une constante, on peut simplifier par Q point ici et on obtient la forme 2 des équations. Donc quand le système est défini par un champ de force et qu'en plus il a une intégrale de l'énergie, c'est que la force dérive d'un potentiel. Donc c'est ça, si on veut raisonnablement discuter ce qui s'est passé, il faut avoir bien ça clairement en tête. Alors le potentiel ça date de quand ? Le potentiel ça date de clérot mais c'est dans un autre contexte. C'est dans le contexte de l'équilibre d'une figure fluide. C'est dans le contexte de savoir que la surface des océans c'est une équipe potentielle. Donc la figure fluide, ça serait par exemple une matière de l'eau qui est dans l'espace sous l'effet de sa propre gravitation. Alors clérot nous dit d'abord qu'il sait des choses sur les formes différentielles. On a peut-être oublié aujourd'hui que clérot a fait beaucoup de choses sur les formes différentielles avant Euler. Lorsqu'on apercevra pas la première inspection si la quantité pdx plus qdy plus rdx pdz c'est inversé bizarrement, est une différenciée complète. On se servira de la méthode que j'ai donnée dans les mémoires de l'académie. C'est-à-dire on verra si dp sur dy égale à dq sur dz dérivé croisé. Lorsqu'on aura reconnu que c'est une différenciée complète, on n'aura qu'à en prendre l'intégrale et elle est égalée à une constante pour avoir l'équation de la surface de la masse fluide dont les parties sont sollicitées par les forces PQR. La raison n'est évidente puisque l'équilibre de la masse fluide demande que tous les canaux qui partent d'un même point et qui aboutissent à la surface soient d'un poids égal. Canaux, ça veut dire donc on a cette image de la masse fluide, on va mettre des petits tubes rigides à l'intérieur de la masse fluide et on va dire que si l'eau est à l'équilibre dans la masse fluide tout en terre elle est aussi à l'équilibre dans le tube puisqu'on n'a rien fait essentiellement et ça sera l'occasion d'intégrer des uniformes différentielles le long de tube, c'est-à-dire le long de chemin et on a le calcul différentiel sur les uniformes différentielles qui apparaît d'un coup dans une application en 1743. Cléro est encore le champion si je cherche à avoir le côté conservation de l'énergie disons dans un modèle assez avancé parce qu'il y a bien sûr de l'énergie, on a ça dans Huygens et le Pendule on a ça dans Newton et la force centrale mais si je veux faire le bilan de tout ce qui est avant la grande je dois dire que c'est Cléro qui est le plus avancé sur la question de la conservation de l'énergie et ça se trouve être dans le problème des n corps, des trois corps. Donc en 1759 Cléro publie ces quelques pages en choisissant de quelconque des six équations différentielles donc il a écrit six équations différentielles du second ordre pour décrire le problème des trois corps par exemple les deux dernières les équations à résoudre pour le problème des trois corps sont donc une des équations différentielles dites de Newton une autre des équations différentielles dites de Newton il faut faire attention parce que Z c'est le temps ici c'est bizarre mais ensuite M dR plus N dT plus Qdx égal à des Z donc T c'est pas le temps ça va donner les équations du centre de masse le mouvement de translation du centre de masse ensuite l'équation 5 donc c'est l'équation du moment cinétique du moment angulaire et il y a l'équation 6 qui est elle et vous reconnaissez l'énergie alors énergie potentielle avec les masses les trois planètes MNQ en pair et les distances en dénominateur grand m grand n donc ça c'est le potentiel plus F qui est la valeur de l'énergie la constante des forces vives égal à l'énergie cinétique écrite parfaitement donc Cléro aura quelques commentaires immédiatement d'abord il y a la célèbre formule intègre maintenant qui pourra et donc c'est peut-être le premier à dire les choses clairement que le trois corps c'est pas facile quand à la sixième je passe la attribution à Newton pour la centre de gravité à Chevalier d'Arcy pour le moment cinétique quand à la sixième je ne l'ai vu énoncé nulle part elle peut se regarder comme une extension du principe des forces vives elle pourrait encore être démontrée facilement en cherchant les vitesses dans les courbes réelles voilà pour les forces vives et la fonction de force quand la grande arrive sur la scène donc on va le voir arriver un peu plus tôt que ça donc 1756 il aura 20 ans il a 20 ans il est déjà en correspondance avec Euler depuis longtemps et il écrit Euler a écrit quelques mots en latin sur le principe de moindre action donc on peut dire la vitesse due à l'altitude c'est petit v la quantité de mouvement c'est m racine de petit v alors je dis que si la ligne du corps décrite par le corps est comparée à toutes les lignes avec même extrémité et soit m ds racine de v somme de ça ça c'est l'intégrale de l'action ça sera un minimum m étant la masse est en une constante c'est la même chose que somme de ds racine de v et il énonce le principe de moindre action il dit que c'est un minimum de l'action donc on compare le mouvement réel à tous les mouvements proches du mouvement réel et qui commence au même point c'est énoncé et criticable c'est pas celui que je vais critiquer c'est celui de la grange on a beaucoup dit c'est un thème classique de dire comment la grange a évolué vis-à-vis du principe de moindre action moi je voudrais diviser les choses en deux parties il y a l'opinion de la grange sur le principe de moindre action comme outil pratique et il y a l'opinion de la grange sur la question est-ce que le principe de moindre action est un principe c'est-à-dire est-ce qu'on doit fonder la dynamique sur le principe de moindre action ou sur d'autres actions c'est deux questions distinctes et on n'arrive pas très clairement à répondre en lisant la grange donc ici on a la première une des premières opinions ça s'est traduit du latin dans les œuvres de l'air au sujet du principe de la moindre action je pense pour ma part qu'on peut le considérer comme la clé universelle de tous les problèmes, tant statique que dynamique pour les questions relevant soit du mouvement des corps quel que soit leur nombre et quelle que soit la manière dont ils sont liés entre eux soit de l'équilibre et du mouvement des fluides quelconque le fait me paraît évident si l'on ajoute remarquable résultat concernant son application à la mécanique que vous avez déjà publié à mes endroits ceux assez nombreux que je vous ai communiqués donc on voit une opinion très positive mais là on a l'impression qu'on est à la fois sur les deux tableaux c'est-à-dire que la grange veut le principe de moindre action comme fondation de la mécanique mais aussi comme un outil pratique mais on ne peut pas vraiment décider autant que je vois donc on continue et on cite là voilà l'énoncé publié le premier énoncé publié du principe de moindre action par la grange soit tant de corps qu'on voudra, même prime, même seconde qu'il agisse les uns sur les autres d'une manière quelconque et qui soit de plus si l'on veut animer par des forces centrales proportionnelles à des fonctions quelconque des distances que ss prime et seconde dénote les espaces parcourues de ces corps dans le tenté et que u prime, u seconde soit leur vitesse à la fin de ce temps la formule sera toujours un maximum ou un minimum donc c'est pas... c'est une suite logique de la formule de ce que vient d'écrire Euler un peu plus ambitieux mais moi je vais surtout passer sur le mode de la critique on voit des défauts tout le monde voit des défauts mais je pense que personne ne voit tous les défauts je sais pas si je vois tous les défauts non plus on passe à la... France parlant suivant on relit le même alors d'une manière quelconque 1. ça sera le plus difficile à discuter ça parce que si je veux discuter ça j'ai besoin de discuter une autre faute mais c'est faux ça marche pas ensuite je regarde la formule ça c'est numéro 1, numéro 2 mais où sont les forces cette formule là ne contient pas les forces à aucune façon donc si vous appliquez le principe vous en concluez que quelles que soient les forces les corps iront toujours de la même façon ils sont absolument pas influencés par les forces je pense qu'on n'a pas assez dit que c'est parfaitement ridicule c'est pas pour dire du mal de la grande parce qu'il y a des raisons très compliquées pour que... en fait il dit la même chose que l'air donc bon il y a des raisons de politesse je sais pas ensuite il a oublié de dire que les extrémités étaient fixées numéro 3 et numéro 4 il a dit toujours un maximum ou un minimum l'air avait dit un minimum l'air disait un minimum parce qu'il voulait faire plaisir à mon père-tuyé qui était le président de l'académie ça peut être... oui c'est un peu lui mon père-tuyé l'air on sait pas c'est à peu près à même temps et puis il y avait l'administre avant mais c'est une histoire affrosement compliquée mais maximum ou minimum ça va toujours pas pour le mathématicien moderne pour le mathématicien moderne on dit qu'il faut que l'intégrale soit extrès mal et extrès mal en fait étymologiquement ça veut dire aussi dire un minimum ou maximum donc ça va pas non plus et c'est Hamilton qui dit les choses comme il faut Hamilton il dit qu'il faut que l'intégrale soit stationnaire ça c'est bien alors on va avoir les réponses faciles j'ai donc souvenez-vous 1, 2, 3, 4 critiques réponses faciles au 4 ben c'est pas souvent dit mais la grande j'y réponds lui-même mécanique analytique 1788 page 36 je dis généralement parlant quand je parle de maximum et de minimum généralement parlant je dis généralement parlant car on sait que l'égalité d'une différentielle à 0 n'indique pas toujours un maximum ou un minimum comme on le voit par la théorie des courbes exactement dans ce contexte donc c'est une façon de parler comme aujourd'hui quand on dit extrès mal c'est une façon de parler qui est vieille et d'ailleurs puisque Fermat l'utilisait déjà ensuite bon il n'a pas dit que les positions étaient fixées mais l'air l'avait dit alors pas besoin de le redire on passe aux choses difficiles mais où sont les forces ça a été noté aussi qu'il n'y a pas les forces dans ce truc c'était noté mais seulement par Jacobi pas avant Jacobi ou peut-être un peu avant aussi par Hollande-Rodrigue alors qu'est-ce que nous dit Jacobi il me paraît que le principe mentionné n'est pas présenté ordinairement d'une manière assez claire et qu'il est même impossible d'en saisir le vrai sens d'après la seule définition donnée et sans avoir recours à sa démonstration ça c'est très juste je dis que c'est faux mais il suffit de lire la démonstration et tout se répare puisque après on fait des démonstrations on fait des exemples et tout marche bien donc c'est juste l'énoncé qui est critiqué on sait qu'il y a quelque chose derrière cela vient de ce qu'on oublie d'ajouter dans la définition même du principe que sous le signe de l'intégral qui doit être un minimum on suppose que l'élément du temps doit être éliminé au moyen de l'équation des forces vives et là j'explique ce que ça veut dire éliminer le temps vous pouvez partir si vous voulez de l'énergie cinétique Q² d'été et puis vous avez d'été vous voulez éliminer le temps et il y a l'arc Q² d'été et on sait que d'été c'est l'arc de courbes d'es divisé par la norme de la vitesse donc d'es sur Q² ça fait Q² d'es on arrive à la forme qu'ils utilisent Q² d'es et là on doit encore remplacer Q² par sa valeur exprimer en fonction des forces vives ce qui permet d'éliminer complètement le temps puisque dans Q² c'est la dérivée de la position par rapport au temps donc c'est encore une vitesse qui va complètement éliminer le temps c'est à dire utiliser la formule des forces vives et on n'a plus que des choses de position des éléments d'espace donc on a il y a une traduction des leçons de Jacobie des leçons de dynamique de Jacobie qui est paru assez récemment en anglais un éditeur indien donc je vous donne la version anglaise ici c'est possible de comprendre on n'oublie pas qu'on doit éliminer le temps d'au bout de l'intégral en utilisant le théorème de VIVA et réduire tout pour des éléments d'espace cette critique n'a pas été récemment en reprise je crois que ça aurait été un peu plus ou moins oublié remplacé par d'autres choses puisqu'il y a quatre erreurs à la fois c'est sûr qu'on peut facilement focaliser sur des erreurs moins importantes mais par contre dans les éditions des œuvres complètes on a Bertrand et Darbou qui rebondissent l'un à la suite de l'autre sur ce défaut de le renoncer de la grande on a donc besoin de l'équation des forces vives on peut pas renoncer le principe de Mont-Pertuit sans avoir l'équation des forces vives c'est ça la première conclusion alors il me reste la première critique alors je dis pour que le système marche il faut que il respecte l'équation des forces vives il y a des systèmes où l'équation des forces vives n'est pas vérifiée quand on le voit parler de forces centrales proportionnelles à des fonctions des distances on comprend qu'il parle de l'équation des forces vives est vérifiée quand les forces sont fonctions seulement des distances à un centre il y a l'énergie mais si les corps interagissent entre eux par des forces qui n'ont pas la même propriété ou qui sont plus générales l'équation des forces vives l'énergie n'est pas conservée donc les hypothèses sont insuffisantes on voit qu'il s'en est aperçu on voit qu'il s'en est aperçu ça c'est vraiment un des premiers travail un des premiers travaux en 1700 dans la mécanique analytique il reprendra ses énoncés évidemment il y aura une petite rectification de tir un système quelconque de corps animé par des forces mutuelles d'attraction ou tendante à des forces fixes on est dans le même contexte virgule et proportionnelle à des fonctions des distances un cas de distributivité de la virgule c'est à dire que proportionnelle à des fonctions des distances ça s'applique plus seulement aux forces vers les centres fixes mais ça s'applique aussi aux forces mutuelles et là on sait ok quand les forces mutuelles dépendent de la distance et que les interactions par des centres fixes dépendent de la distance et de la direction de la force vive si on a la force vive on a le principe de moindre action qui est correct c'est pas facile tout ça alors pour voir que c'est pas facile on montre Euler qui n'y arrive pas un peu plus tôt on revient en arrière 1748 donc voilà il est devant le texte de cléro il y a la notion de potentiel dans cléro il sait qu'il faut une notion de potentiel dans la dynamique du point il fait le lien entre les deux mais au moment où il faut dire ce que c'est une force qui dérive d'un potentiel il dit ça monsieur cléro et d'Alembert ont démontré qu'une équation de cette forme qdx plus rdg plus s des z égales à zéro n'est possible que dans les cas où il y aura cette condition là c'est l'intégrabilité d'un champ de plan c'est une condition plus faible que dérivé d'un potentiel il n'y a qu'une seule condition au lieu de trois et a priori c'est pas tellement pertinent dans le contexte d'où je l'ai extrait c'est à dire dans le contexte ou en essaye de trouver les bonnes conditions pour la force pour pouvoir renoncer le principe de moindre action alors difficulté un peu plus loin qu'on retrouve dans un mémoire de la prochaine intervention de la grange dont Luigi Pepe nous a largement parlé où les les choses disons qu'il s'est aperçu des problèmes mais qu'il ne les résout pas quand on, je pense simplement au problème avec l'énergie donc il s'est aperçu que la condition qu'il avait écrite avec des interactions qu'elle conque ne va pas alors ça le remède qu'il a trouvé c'est d'éliminer les interactions qu'elle conque il dit dans son énoncé qu'il n'y a plus d'interaction qu'elle conque mais quand on applique ça évidemment à la théorie de la lune c'est pas bon mais ça fait rien c'est juste pour donner une introduction générale de la dynamique déduire quelques propriétés qui ne seront pas utilisées dans le texte voilà on reviendra sur ce mémoire un peu plus tard et il y a maintenant l'autre question qui m'intéresse c'est est-ce que la grande je veux fonder la mécanique sur le principe de moindre action est-ce qu'il dit qu'il le fait c'est pas très clair et les gens tendent à dire que en 1761 ils font de sa mécanique sur le principe de moindre action et qu'ensuite 1764 ils changent d'avis mais même ça c'est vrai mais pas trop peut-être pas complètement vrai donc en 1761 il dit remarque 1 je vais chercher dans les remarques et je dis entre les lignes parce que c'est vraiment difficile de savoir comment ils pensent les choses nous avons supposé que les forces PQR étaient comme des fonctions quelconque des distances petit P petit Q petit R cependant il est facile de démontrer par les principes de la dynamique que les équations trouvées sont générales pour toutes sortes de forces acceleratrices en fait il est arrivé à déduire les équations de Newton du principe de moindre action et là ce qu'il est en train de nous dire c'est que pour les équations de Newton on n'a pas besoin de toutes ces hypothèses on n'a pas besoin de toutes les hypothèses qu'on a mises pour le principe de moindre action ça je vous dis le contexte mais ce qui m'intéresse moi c'est que là il invoque les principes de la dynamique donc lui c'est servi du principe de moindre action et maintenant il arrive avec les principes de la dynamique donc ça veut dire que dans sa tête le principe de moindre action c'est pas un principe de la mécanique et ça continue dans le même style après on considère on continue à lire et il dit les équations qu'on trouverait alors si la force ne dérivait pas d'un potentiel les équations qu'on trouverait alors ne seraient plus les véritables équations du mouvement des corps donc il s'est aperçu aussi qu'il fallait vraiment l'équation des forces vive le potentiel sinon ça marche pas donc à la grande je sais que si on part du principe de moindre action on n'a pas accès aux forces qui ne dérivent pas d'un potentiel ça c'est très tôt des 1761 et là on a quelques textes qui donnent l'opinion de la grange sur le principe de moindre action avec j'essaie donc de distinguer est-ce que c'est un principe d'une part une question et est-ce que c'est utile d'autre part est-ce que c'est intéressant ça évidemment on ne va jamais remettre sans question le principe de moindre action est extrêmement important et efficace et il s'en sert pour changer les variables de variable a priori ce qui est important en astronomie changer de variable alors je me propose ici de généraliser ce même principe et d'en faire voir l'usage pour résoudre avec facilité toutes les questions de dynamique au reste il est clair par notre méthode que par notre méthode on pourra encore varier la solution de ce problème en plusieurs autres manières selon les différentes sortes de coordonnées qu'on choisira pour représenter pour chercher donc coordonner c'est les changements de variable qui sont très pratiques quand on a un principe de moindre action donc tel est le principe auquel je donne ici le nombre de principes de moindre action et que je regarde non comme un principe métaphysique mais comme un résultat résultat il faut insister sur ce mot simple et général des lois de la mécanique encore une fois là on a les lois de la mécanique d'un côté le principe de moindre action de notre côté donc c'est pas un principe au lieu des coordonnées x,y,z on peut employer d'autres indéterminés quelconques et tout se réduit à exprimer l'élément d'art ds en fonction de ces indéterminés alors on va le voir en 1764 comme Luigi Pépé l'a dit introduire les vrais principes pour lui le vrai principe pour lui c'est le principe qui est principe des vitesses virtuelles plus principe de D'Alembert et je passe la citation mais je vous donne deux pages où il va en fait où il va déduire le principe la conservation des forces vives du principe de D'Alembert donc dans ce mémoire donc il a cité il est en train de discuter le principe de D'Alembert c'est de ce principe que dépend la conservation des forces vives comme monsieur D'Alembert l'a remarqué en premier, le premier à la fin de sa dynamique bon les calculs, on passe les calculs on continue les calculs cette équation renferme comme on le voit la conservation des forces vives prises dans tout son étendu donc j'ai besoin des forces vives pour avoir le principe de mon pertuit et j'ai besoin de D'Alembert pour avoir le principe des forces vives donc évidemment je vais fonder ma mécanique sur le principe de D'Alembert alors donc depuis cette date-là il n'a pas varié dans tous ses écrits c'est la mécanique qui est fondée sur les deux principes celui des vitesses virtuelles et celui de D'Alembert je dois dire que le principe de D'Alembert est très méconnu aujourd'hui il faut le constater et s'il est très méconnu aujourd'hui c'est peut-être parce qu'il est très mal expliqué il a toujours été très mal expliqué alors j'essaie de faire un effort pourquoi il est très mal expliqué à mon avis parce que déjà il était décomposé en deux chez la Grange dans ses explications et ensuite on a fabriqué un principe des travaux virtuels le mot qui n'est jamais utilisé par la Grange principe des travaux virtuels à mon sens je n'ai pas les idées très claires mais c'est la combinaison des deux sous une forme de formule si vous voulez comprendre un principe il ne vaut mieux pas mettre deux choses ensemble il vaut plutôt mieux séparer un petit morceau et je vais plutôt faire le contraire c'est à dire essayer de décomposer le principe de D'Alembert en deux morceaux à vrai dire donc je décris un système de mécanique par des points chacun soumise des forces un vecteur force par point et ça varie avec le temps comme on voudra et il y a des liaisons ce que vous pouvez imaginer comme les liaisons vous mettez des tiges là entre certains points ça contraint la distance à rester la même entre les deux points mais peut-être on n'en mettra pas là par exemple c'est ça les liaisons et on regarde l'évolution du système donc par rapport à Newton on a vraiment un nouvel ingrédient qui est la liaison qui n'est pas traité par Newton donc parmi les systèmes liés il y en a qui sont vraiment très importants comme vous pouvez penser à la Terre en mouvement autour de son centre de masse comme un solide vous pouvez penser à la Terre comme un liquide tout ça c'est accessible au principe de D'Alembert donc j'ai donc un principe de vitesse virtuelle en supprimant la formule je fais exprès pour qu'on voit bien que tout est indépendant donc on peut vraiment séparer les choses alors j'appelle un champ de force neutre un champ de force qui permet l'équilibre c'est à dire si je mets aussi les vitesses égales à zéro et que le champ de force est neutre j'aurai équilibre on aura équilibre par exemple là c'est un champ de force neutre je mets une force ici une force là et là je mets zéro par exemple deux forces qui se qui se contrari qui s'opposent à la liaison par la tige rigide ce champ de force ça veut dire une force associée à chaque point évidemment ces deux forces ne font rien du tout donc on les appelle neutres on appelle ensemble un champ neutre en fait notre c'est pas la terminologie classique terminologie de l'air c'est des forces qui se détruisent il dit et je dis simplement la propriété qui m'intéresse c'est que ces champs forment un espace vectoriel dans l'espace des champs de un point de vue moderne disons et pour le définir on utilise une formule qui fait appel au déplacement virtuel déplacement virtuel ça veut dire déplacement possible compte tenu des liaisons et c'est tout ce que je dis pour mieux expliquer le principe de D'Alembert qui sera énoncé comme ça ici soit un système mécanique un mouvement sous l'action d'un champ de force f de t soit f0 de t un champ de force neutre dépendant arbitrairement du temps alors le même mouvement celui du système mécanique initial est aussi un mouvement de ce même système mécanique mais soumis à l'action du champ f plus f0 de t d'accord c'est là que j'ai besoin de l'espace vectoriel maintenant si je pourrais ajouter un autre champ de force neutre il faut bien que la somme de deux champs de force neutre soit un champ de force neutre ce que je dis donc c'est un action extrêmement facile à accepter c'est que ces champs de force neutres champs de force qui se détruisent tel qu'on les déduit par la condition d'équilibre du système sont aussi neutres dans la dynamique on a souvent dit que le principe de D'Alembert réduit la dynamique à la statique c'est une manière de dire ça et j'aurai besoin de décomposer donc D'Alembert en rajoutant un petit truc presque tautologique encore même le premier parait tautologique et celui là aussi soit deux systèmes mécaniques A et B et obtenu à partir de A en ajoutant des liaisons on prend les mêmes points matériels avec les mêmes forces mais on en ajoute des liaisons je peux par exemple ici je rajoute pour trouver le système B cette rigidité là alors un mouvement de A qui respecte les liaisons de B est un mouvement de B ça c'est vraiment très naturel si je fais tourner le système ici et que par hasard les forces sont telles que cette distance reste constante mais ça sera un mouvement du système B où on a imposé que cette distance reste constante d'accord on revient à la conservation des forces vives alors le principe de moindre action ne fronte pas la mécanique de la grange car il serait restrictif on peut pas décrire des forces qui ne dérivent pas d'un potentiel et d'autre part on ne comprend pas bien l'hypothèse de dériver d'un potentiel surtout quand il y a plusieurs corps libres qui interagissent entre eux et quand il y a des liaisons et les applications vont forcer la grange à revenir encore et encore sur la question du potentiel et c'est là qu'on va arriver un peu d'astronomie c'est la question des demi-ganzacs donc Jacques Lascar a cité le le memoire de 1776 donc l'histoire de Jacques Lascar se situe l'histoire entre la place et l'erreur de la grange se situe avant et là on est déjà dans un état assez avancé donc il y a trois mémoires de la grange consacrée à l'invariance des demi-ganzacs des planètes demi-ganzacs je vous rappelle que c'est la longueur de l'ellipse le diamètre de l'ellipse donc ça veut dire que la distance c'est pas exactement la distance moyenne mais ça veut dire qu'une espèce de distance moyenne de la Terre au soleil restera constante ce qui est rassurant il y a trois mémoires sur ce sujet donc Jacques Lascar a retracé le début avec cette erreur de la grange et je dis que le memoire de 1776 c'est le seul qui donne un argument simple à comprendre c'est à dire que la chose va continuer elle avait commencé avant, elle va continuer après mais là il y a un argument vraiment simple dans ce memoire-là et cet argument on repose sur le fait qu'il y a un potentiel donc c'est le potentiel qu'il fera par la porte et qui donne un résultat spectaculaire et très simple il y aura un autre résultat simple par la place sur les excentricités et les inclinésons un peu plus tard Jacques adore l'expliquer mais on va passer là-dessus bon quel est cet argument simple moi j'ai envie, je sais pas si on voit bien au tableau mais j'ai envie de rappeler une formule, bon j'ai envie d'écrire amintonien de P, Q et T ou ça c'est vraiment un vecteur à trois dimensions c'est un vecteur de l'espace ça c'est une position de l'espace ça c'est le temps et je veux que cet amintonien décrive le système solaire de la façon suivante j'aurai le soleil, j'aurai la planète qui m'intéresse par exemple la Terre et j'aurai les autres planètes et je vais mettre la Terre ici et je vais mettre les autres planètes ici dans le temps, c'est à dire je vais considérer que toutes les planètes sauf la Terre ont un mouvement sur des orbites elliptiques fixes ça c'est une hypothèse qui est correcte au premier ordre des masses comme on dit et je vais considérer que la Terre est attirée par ces planètes sur des orbites qu'est plériennes fixes et mon amintonien c'est un amintonien qui dépend du temps et là il y a seulement la position de la Terre et quand on pense aux amintoniens qui dépendent du temps on a une formule en tête on sait que l'énergie n'est pas conservée on a une formule très jolie qui est celle là que la dérivé totale par rapport au temps de l'énergie de H, du amintonien c'est la dérivé partielle par rapport au temps du amintonien et je dis que cette formule avec une petite arnaque, disons, au premier ordre c'est la même que celle qui est écrite là-haut là-haut j'ai dérivé de 1 sur 2a 1 sur 2a c'est 1 sur le demi grand taxe donc de la Terre ici et 1 sur le 2 fois le demi grand taxe c'est l'énergie et d'un autre moment moi j'ai quelque chose que la Grange a déduit d'une manière différente il dit produit scalaire de la force avec la vitesse divisé par F ça doit être une constante je crois on la retrouve un peu plus tard 1f sur r2 là donc voilà donc la Grange il est en train de vous dire j'ai trouvé cette formule très simple qui dit comment va évoluer le demi grand taxe et mais il n'a pas supposé que la force dérivé d'un potentiel dans mon système je dis la Terre est attirée par toutes les autres planètes par la force de gravitation donc c'est une force qui dérive d'un potentiel la formule de la Grange est valable pour des forces quelconques mais si je suppose pas que ça dérive d'un potentiel j'ai pas stabilité du demi grand taxe c'est ça qui va montrer la Grange c'est le fait très frappant on va retrouver cette formule là à la page suivante dans le cas où la force dérive d'un potentiel elle sera ici d1 sur 2a égal à d'omega omega c'est le potentiel dans mon cas divisé par S plus T j'espère que ce sont des constantes oui probablement les masses je pense là on a vraiment un truc qui ressemble à notre formule d'un côté la dérivée du demi grand taxe et de l'autre côté une dérivée cette fois avant on n'avait pas de dérivée maintenant on a une dérivée c'est ça qui est important pourquoi c'est important troisième page pourquoi je vais tout développer une série de fourriers j'ai un truc quasi périodique c'est pas une série exactement de fourriers donc je vais trouver la force perturbatrice va être quasi périodique le potentiel perturbateur le omega va être quasi périodique aussi mais la force perturbatrice c'est la dérivée du potentiel d'une manière ou d'une autre donc il n'y aura pas de termes constants donc il va dériver comme ça il va développer comme ça le second membre sinus de combinaison d'angle et on voit un petit thème qui apparaît devant qui vient de la dérivation comme j'ai dérivé d'une manière ou d'une autre quelle que soit la dérivation que j'ai choisi il apparaît entier devant la formule et si c'est m égala 0 si on regarde le terme constant de la série il y a un 0 en facteur donc il n'y a pas de termes constants alors si il n'y a pas de termes constants ça veut dire que le demi grand taxe n'évolue pas de manière linéaire le demi grand taxe va évoluer suivant des variations périodiques et c'est ça le théorème de la grande stabilité du demi grand taxe voilà donc on est impressionné par l'efficacité de supposer que ça dérive d'un potentiel l'année suivante on voit ça il est 6 heures on voit apparaître le potentiel général la force qui dérive d'un potentiel dans le problème des haines de corps pour la première fois on a un pas de plus par rapport à Cléro le problème des haines de corps maintenant s'écrit avec un second membre une force qui dérive d'un potentiel mais maintenant c'est un potentiel d'interaction entre plusieurs particules qui s'écrit dans un espace d'effaces et là beaucoup de publicité pour cette ce fait et cette manière de représenter les forces est extrêmement commode la capacité et sa généralité on distingue clairement je disais ensuite comment on peut lire les calculs de la grande j'ai envie de passer sur ça parce que c'est pas fait à trop durer l'exposé on arrive en 1808 et on voit ce calcul qui est vraiment très efficace nous donner une théorie des perturbations que je peux décrire moi en terme moderne quand je vois écrire des choses comme ça delta dx je dis d c'est la dérivée par rapport à un champ de vecteur delta c'est la dérivée par rapport à un autre champ de vecteur quel champ de vecteur d c'est le champ de vecteur qu'est plus rien c'est-à-dire la dynamique non perturbée et delta c'est la perturbation c'était le petit champ de vecteur qui vient perturber la dynamique keplerienne et cette histoire de champ de vecteur finalement c'est vraiment une façon de lire le calcul différentiel du 18e siècle même depuis la hymnite 17e donc qu'est ce que dit la hymnite il dit je vous prenais une courbe vous prenez le temps et x et une courbe comme ça et vous tracez une tangente et vous prenez un petit bout d'été un petit bout arbitraire, un segment d'été arbitraire et ça vous donnera un segment d'ex en faisant ça on va le prendre comme ça en faisant ça, en re-projetant ici j'aurai le segment d'ex donc dx et dt pour l'hymnite ce n'est pas des infiniments petits ce sont des choses finies sur d'été j'ai la pente de la chose si on regarde ça avec l'oeil de un géomètre moderne on a envie de dire mais sa tangente ce n'est pas ça qui m'intéresse c'est ce bout de segment c'est à dire en vecteur tangent et cet été peut varier d'après l'hymnite s'accepte que cet été varie après on n'est pas obligé d'avoir le même donc je suis en train de regarder des champs de vecteur tangent et voilà comment je deviens d'un coup très facile à lire D c'est l'opérateur de dérivation par rapport à un vecteur toujours delta c'est l'opérateur de dérivation par rapport à un autre vecteur après bon je... il y a eu beaucoup d'exposés récents sur l'interaction entre la grange et poisson effectivement il y en a beaucoup dans ce livre je pense qu'il vaut mieux s'arrêter là parce qu'on est... on a dépassé le programme assez largement je voulais simplement dire que des simplifications de calcul je veux dire pour un truc très concret la science de la grange la science très théorique et les fondements très théoriques de la mécanique de la grange apparaît parce que la grange est contente parce qu'il voit les calculs se simplifier ces substitutions qui me paraissent devoir être très compliquées se simplifient de manière étonnante heureusement une sidération très simple que je vais exposer qui m'avait échappé c'est justement une application qui ne laisse plus rien à désirer de la théorie de la variation des constantes donc c'est vraiment la grange qui calcule et qui voit... voilà c'est beaucoup plus simple j'ai beaucoup moins de calcul à faire et qui découvre comme ça les équations de la grange qui découvrent l'invariant intégral de point carré là haut je vous... c'est des aides de la vitesse c'est le moment là haut mais c'est ça qui découvre les équations d'amilton mais seulement avec la perturbation et pas avec la miltonienne tout entier bon il y avait le récit d'arago là il y a poisson en 1816 qui donne correctement l'hypothèse dérivée d'un potentiel je vous le passe je voulais vous montrer aussi Cauchy qui écrit les équations dites d'amilton assez généralement à le même contexte de la perturbation qui est ici de la perturbation d'une planète par les autres donc amilton c'est 1834 Cauchy c'est 1831 c'est une lithographie parce qu'il est un exil aturain donc on peut dire c'est pour ça que j'avais écrit au début équations de... non pas de amilton mais de la grange Cauchy amilton c'est vrai qu'amilton a fait un pas supplémentaire et qu'il n'est pas négligeable voilà et je... j'arrête là si vous voulez lire ce texte je pense que c'est important de faire ce travail d'exégesse parce que comme tu l'as dit c'est difficile à lire et donc merci de faire cet effort pour nous expliquer encore plus en détail ce qu'il a fait voilà si vous avez des questions peut-être on verra après pourquoi donc si vous n'avez pas de questions merci... ah une question c'est une question sur le mémoire de 1808 donc en 1808 dans son mémoire il a un potentiel qui est exprimé avec quelle variable ça commence comme celui de 1776 c'est à dire dans ce contexte là où on a un potentiel qui est pas symétrique c'est à dire on regarde le potentiel des planètes qui attirent une planète donc c'est un peu un bricolage pas symétrique c'est à dire il n'y a pas un potentiel qui est le même pour chaque corps pour chaque corps il y a un potentiel mais ensuite il rectifie le tir et il rappelle le potentiel qu'il avait déjà découvert en 1777 et et là les variables alors tu veux les variables c'est pas Jacoby en tout cas c'est pas Jacoby non c'est plutôt héliocentrique quand même votre question c'est le début de votre exposé quand vous avez raconté ce qui a été pris à l'agrange vous avez mentionné essentiellement les choses qui relèvent essentiellement de la mécanique mais j'ai écouté une vidéo qui a été présentée d'ailleurs pendant ce même séminaire sur les contributions de l'agrange à la rythmétique et où il était dit notamment que avant Gauss l'agrange avait fait toute la théorie des formes quadratiques en deux variables coefficient entier et des nombres qu'elle représentait et donc il avait classifié ces formes quadratiques par george linéaire trouvé des représentants réduits de ces formes quadratiques et montré il s'était aperçu que le discriminant était un invariant de ces formes et tout ces choses et montré la finitude du nombre de classes mais sous une forme moins élégante que Gauss le fera vers la suite c'est-à-dire sous la femme matricielle est-ce que c'est tout à fait juste ce chose-là ben tout à l'heure il y avait Jean-Luc Schabert qui aurait su répondre tout de suite mais Gauss n'ignorait pas du tout les travaux de l'agrange c'est ils étaient en correspondance ils étaient en correspondance je pensais que Gauss avait travaillé un petit peu après ces choses-là il y a eu un échange de lettres après oui quand même on s'est rencontrés pour un certain période dans la période finale de Paris et Gauss connaissait bien sûr les choses de l'agrange mais vous voyez Gauss c'est comme la place à travailler pendant toute sa vie pour son monument donc il n'est pas il n'y a pas de paix à avoir confiance excessive à ce que dit Gauss et surtout aux éditions des ouvrages de Gauss qui sont de très assez mal fait on prend des manuscrits, on l'aimait avec des mémoires imprimées Klein a fait un travail vraiment terrible pour l'édition de Gauss ils ne sont pas confiables il faut remonter un memoire original et quand quand Gauss écrit la discussion arithmetique la grange elle lui donnait tout son honneur parce que c'est un ouvrage en grande partie oui bien sûr je ne suis pas spécialiste mais bien sûr il y avait des choses déjà à la memoire de la grange mais vous savez quand on prend les choses au point de vue de l'avenir alors on s'élance aussi dans des attributions qui ne sont pas complètement exactes par exemple on peut dire que la grange a inventé la théorie des invariantes des choses comme ça oui je suis sûr que Gauss les discussions arithmetiques de Gauss sont bien au delà des choses qui avaient fait même à reconnaitre ces choses si on a épuisé les questions sur l'exégèse des travaux d'encore, dernière après on a un commentaire sur un exemple de vraies possibilités incompatibles avec une vraie possibilité macroscopique d'un exemple très simple je vous demande 2 minutes la dernière question sur la grange moi c'était pas une question sur la grange en fait c'était puisque c'est la dernière séance de ça je voulais remercier le grand organisateur Gérôme Pérez de l'ensemble de ce trimestre parce que je pense que ça a été un effort considérable pour pour organiser toutes ces interventions, tous ces différents colloques et en particulier les 3 dernières journées donc c'était un remerciement à Gérôme et à l'ensemble de l'équipe c'est un travail de 2 ans je n'étais pas tout seul Jean-Michel Alimi Roya Moyaï, Pierre Stefano Cora Saniti et Stéphane Colombi disons que j'ai géré un peu l'ensemble depuis 3 mois ça m'a pris 2 ans et maintenant je vais me reposer un petit peu parce que j'ai beaucoup de choses à faire j'ai fait tellement de choses j'ai plein de projets maintenant donc pour les courageux qui veulent je peux vous donner la parole bien entendu vous n'en faites pas je voudrais que le tableau soit monté s'il vous plaît c'est une expérience de physique tout à fait habituelle d'ailleurs vous avez 2 vaisseaux identiques qui contiennent 10 puissances 18 molécules avec la même température il n'y aura que des différences de pression on en met 7 10e d'un côté et 3 10e de l'autre bon alors les pressions sont dans le rapport 3 et 7 alors 1,4 barre et 0,6 barre bien que va-t-on faire ? on va ouvrir la communication et il va y avoir un échange de 10 puissances 15