 Bueno pues voy a empezar hablando de la estructura de conjunto suma que va a formar parte del curso de combinatoria aditiva, ¿vale? Y bueno, estructura de conjunto suma. Y hoy un poco mi idea es que lo voy a explicar va a servir un poco de introducción a lo que vendrán en los días venideros, ¿de acuerdo? Entonces en todo lo que voy a hablar voy a tomar G, un grupo abeliano y como prototipo de grupo abeliano, esencialmente vamos a hablar de los casos en el que G va a ser el grupo de los venideros, también el caso donde G va a ser el grupo modular, y también como ya veremos los próximos días un ejemplo importante de estudio va a ser el grupo aditivo que tomamos cuando consideramos el espacio vectorial de dimensión mn sobre el cuerpo finito de pealimentos, ¿de acuerdo? Entonces aquí lo que veremos es que este grupo va a servir como prototipo como modelo de muchas de las cosas que vamos a demostrar, ¿de acuerdo? Y normalmente lo que ocurrirás que la n será un valor muy elevado y el valor para el primo p será un valor pequeño, será 2 o 3 o 5, ¿de acuerdo? Y para ello voy a ir, ¿de acuerdo? En mi grupo siempre voy a asumir que mis conjuntos son no vacíos, voy a definir el conjunto suma a más b, el conjunto que se obtiene tomando sumas de parejas de elementos a y de b, ¿de acuerdo? También utilizaremos a veces en lugar del signo más, del signo menos, tendiendo que el menos es el inverso aditivo en mi grupo, ¿de acuerdo? Entonces aquí también a veces escribiremos a menos b, donde esto es en a y esto es en b y también utilizaremos la notación para los trasladados, un g que pertenece a mi grupo, voy a denotar más a y también a veces lo voy a escribir como a más g, precisamente y esto es la definición más un conjunto que está formado solo por un elemento, este tipo de conjuntos positivos y entonces voy a escribir menos lb, entonces obtiene de k términos en a y restar términos en b, de subjota, estos son definiciones que no requieren de que mis conjuntos sean finitos, pero en el caso donde todos estos conjuntos son finitos, así por ejemplo si a y b son finitos, es decir si tienen cardinal finito, hay una primera cota que podemos dar, que es que si yo quiero estimar el tamaño de a más b, entonces esto de aquí va a ser menor o igual siempre que el producto, en el caso de que todas las sumas sean distintas y si, y en el peor de los casos cuando hay muchas sumas repetidas, lo que ocurre es que tengo que esto está cotado por el máximo de todos, ¿de acuerdo? Estos son las cotas triviales y lo que vamos a ver es con los conjuntos suma y en este contexto tenemos, digamos, dos tipos de los conjuntos suma conociendo la estructura de los conjuntos iniciales, ¿de acuerdo? Estudiar así un ejemplo filosofía, es el tórema de la Grunge, que lo que nos dice es que si yo tomo como mi conjunto a y en este caso sea un conjunto infinito, ¿de acuerdo? Los cuadrados en los enteros, ¿de acuerdo? Entonces sabemos que la suma de a, de hecho estoy obteniendo todos los enteros positivos, información sobre la estructura de los conjuntos suma, ¿de acuerdo? Estos son los problemas directos y tenemos los problemas inversos y lo que tenemos es, tenemos información sobre los conjuntos suma y queremos deducir información estructura de mi conjunto inicial, ¿de acuerdo? Entonces esto es el caminete. Filosofía de este, de esta área y que es un ejemplo muy clásico, un conjunto de enteros y aquí a partir de, luego ya me olvidaré de esto, ya menos uno. Esto no es un resultado, es que si además hecho se cumple igualdad, es decir, si el conjunto suma tiene tamaño dos veces a menos uno, esto es cierto si solo si a es una progresión aritmética, si solo si una progresión información sobre esto de aquí, vamos a suponer que a sub uno es más pequeño que a sub dos, más pequeño que a sub c, más que se llevan a ser diferentes. Entonces observad, estricto, que a sub uno más a sub dos y esto es más pequeño que a sub uno más a sub tres, etcétera, ¿de acuerdo? Y ahora una vez aquí lo que puedo es incrementar y esto es una cadena de desigualdades estrictas, términos que los que he escrito allí. ¿De acuerdo? Esto no es de vuestra de dos a menos uno, lo que sé es escribir una secuencia distinta. Entonces voy a hacer así, a sub dos más a sub tres, a sub dos más a sub pene, ¿de acuerdo? Aquí lo que vemos es que dos sub p más uno y esto es cierto para ahí desde dos hasta ahí en el menos. ¿De acuerdo? Esto es simplemente tomando cada uno de los términos y esto es precisamente la condición para que sea una progresión aritmética. A sub p más uno menos a sub p es igual a sub dos menos a sub uno que es una diferencia fija. ¿De acuerdo? ¿De acuerdo? Entonces esto es un ejercicio, en lugar de tomar donde considero a más a lo que voy a hacer es tomar dos conjuntos. ¿De acuerdo? Entonces si ahora contenidos en z entonces hay que demostrar que el caldinal de esto es igual a esto, si solo si, ejercicio, que es ahora que se mire, es que si el tamaño del conjunto suma h más h es igual a h, esto solo ocurre si solo si es una clase lateral de un y solo si h es una clase lateral. Un poco distintas que en el caso de los enteros porque en todos que en lugar de ser en los enteros son en los en los en las clases modulares módulo p. ¿De acuerdo? Entonces no hay orden aquí que es el siguiente. En z a p hay adjetos y por lo tanto puede ocurrir que cuando tomo sub conjuntos en z a p que sean grandes cuando hago el conjunto suma puede ocurrir todo el conjunto. ¿De acuerdo? Y esto es una cosa que no ocurrían los enteros. Entonces en particular aquí lo que ocurre y esto quiero que se piense porque lo discutidimos esta tarde. Si tengo dos conjuntos, el conjunto es mayor que p, mayor igual que p. Entonces aquí lo que ocurre, sacar es una desigualdad estricta. ¿De acuerdo? Aquí lo que estamos diciendo con esto es que si los conjuntos a y b son grandes en relación a p cubrimos todos los conjuntos con todo el grupo. Y una pregunta en la junta son pequeños. ¿De acuerdo? Y esto es un teorema con nombre y es el que vamos a demostrar ahora. Es el que se denomina el teorema de Cochidaven. ¿De Cochidaven por? Lo que nos dice es que si ahora tengo tenidos en z a p, entonces ahora lo que puedo decir es que el tamaño del conjunto suma a más b, aquí tengo dos valores naturales que son el p. Si los conjuntos a y b son grandes y luego tengo el cardenal de a más el cardenal de b menos uno, queda lo que aparecía aquí en los enteros. ¿De acuerdo? Y claro, aquí lo que ocurre es que si el tamaño de a y el me pase del valor de p. A ver si lo estoy diciendo bien. Exacto, porque si a y b me paso de p no puedo pasar p porque es el tamaño del conjunto. ¿De acuerdo? Vamos a utilizar una técnica combinativa. Y ahora voy a decir intersección. La primera prioridad que observamos es muy difícil, pero lo importante de esta propiedad enumerativa lo que tenemos es que el cardenal de este conjunto de aquí es igual al cardenal de este conjunto de aquí. Lo que obtenemos que será una de las propiedades que utilizaremos en lo que ahora. Bueno, entonces la primera cosa que podemos hacer es que este teorema resulta ser tributo de prueba de Cochidaben por que el tamaño de b es uno o igual que p. Entonces lo que vamos a hacer es suponer una contradicción. Entonces vamos a ver, vamos a hacer, supongamos es mayor o igual que 2 y que además y ahora voy a asumir, vamos en esta situación se tiene que cumplir esto, que el tamaño de a y b es uno y vamos a llegar a una contradicción. Y asumamos que tengan esta propiedad el b que tenga tamaño mínimo. ¿De acuerdo? Que también se cumpla esta condición y con eso llegamos a una contradicción. ¿De acuerdo? Dicho esto el tamaño de b vamos a asumir que cero estaba y un elemento en b que es distinto de cero, distinto de cero. ¿De acuerdo? Entonces aquí tenemos que distinguir dos casos, uno caso sencillo y un caso difícil. Es que tanto a más b, b, etcétera, todos estos están contenidos en a. Si pasa esto entonces el conjunto más jb, de acuerdo, con j hasta t-1, esto está contenido en a. Pero aquí ocurre una cosa que ahora la b era un elemento y por lo tanca es que este conjunto que vamos a poner un nombre, vamos a poner u, tiene que ser y que zpz y estamos diciendo que a más b era menor que p-1, por lo tanto estamos diciendo que tengo que a tiene que ser zpz y por lo tanto esto no se cumple. ¿De acuerdo? Y esto es una contraria ¿De acuerdo? Por lo tanto tenemos que ir al caso 2, que es el caso donde podemos aplicar Dyson, que lo que nos dice es que existe estrella deteneciente a, ¿De acuerdo? Bueno, aquí lo que nos está diciendo es que b no pertenece a menos a estrella. Dyson utilizando como una observación importante esta condición de, ¿De acuerdo? b no pertenece a menos a estrella, por lo tanto b no pertenece, entonces de aquí lo que deducimos es que b no pertenece a bd, bd a estrella. Y esto es importante porque ahora tiene cardinal estrictamente inferior al cardinal de D. Vamos a estimar el tamaño del conjunto suma, este conjunto está contenido en este de aquí, por lo tanto en particular el tamaño de este conjunto suma es menor igual que este de aquí, por lo tanto yo ahora lo que puedo poner aquí es directamente a más b ¿De acuerdo? y ahora como estoy en la hipótesis puedo utilizar este resultado ¿De acuerdo? y ahora aplico el de Zayman Rusia y ahora en los 20 minutos que me quedan voy a hablar en relación a lo que se denominan las desigualdas, entonces todo esto se marca en un punto suma más a, en un lado tengo que esto siempre lo puedo acotar por el carrer por el tamaño de a, cuando por ejemplo a es un desplazado de un grupo ¿De acuerdo? esto es lo que será como un subgrupo o un desplazado de él y en el otro lado de las posibles sumas que son distintas, en este caso como los conjuntos son iguales de hecho lo que puedo hacer es acotar esto por a más uno sobre dos. Bueno pues en el curso de combinatoria también se va a hablar de este caso y estos son lo que se denominan los conjuntos de Sidon específicamente de este tipo de cojo ¿De acuerdo? en el tamaño de a, ¿De acuerdo? entonces esto es una definición decimos que la constante de doblamiento es un finito porque si no no tiene sentido escribir el cápico qué cabeza ¿De acuerdo? ¿De acuerdo? y la sesión de mañana es que cuando esta constante de doblamiento es un parámetro acotado en términos del tamaño de a y del tamaño del grupo ambiente, entonces podemos dar resultados estructurales sobre el conjunto inicial ¿De acuerdo? esto es un poco la filosofía que concluirán lo que preman Rusia en el modo de el FTE ¿De acuerdo? filosofía es tanto pequeña, pequeña da resultados estructurales para mi conjunto, que en esta con esta condición ya tenemos más cosas que es que muy precisas del crecimiento en el siguiente sentido, el crecimiento de conjuntos sumas de H elementos, el crecimiento de conjuntos HA es ¿De acuerdo? ahora vamos a ver con precisión qué significa esto, este hecho es una cosa muy importante para poder demostrar resultados estructurales en este contexto, muy bien, entonces vamos a hablar de la sesión y esto es un teorema que se domina el teorema de las desigualdades de Plúnike, este es un resultado de los de finales de los años 60 que fue redescubierto a finales de los 80 por Rusia y que lo que voy a hacer es presentar una prueba y que lo vamos a poder hacer ahora en diez elementos y no vacíos, G es un grupo abeliano arbitrario ¿De acuerdo? ¿De acuerdo? entonces M veces B, pero viene dado por las constantes que tenía que tengo ¿De acuerdo? en particular lo que ocurre aquí es que cuando A está diciendo es que cuando el conjunto suma el aumento pequeña, entonces todos y uno se pone, aquí puedo poner 0 si si pongo M igual a 0 por ejemplo y L arbitraria, lo que estoy diciendo es que el tamaño del número de elementos en L multiplicado por A cuando A es igual a B lo puedo juntar en términos de esta constante de doblamiento por el tamaño de A y si caer una constante 5, 8 pues realmente el crecimiento de estos conjuntos es es letto ¿De acuerdo? lo que vamos a hacer primero, definir un subconjunto de A que maximice un cierto ratio entonces sea coger a prima, míro todos estos conscientes y tomo aquel que hace que el consciente sea mínimo y a este consciente le llamo a prima ¿De acuerdo? entonces en particular lo que estoy diciendo aquí es que a prima más B lo que se cumple claro es que presto de aquí y que si tomo a segunda contenida en A que podéis en general distinta de a prima entonces lo que ocurre es que esto que me minimiza este cociente ¿De acuerdo? entonces lema finito es el de guanio de a prima y el tamaño de este conjunto es el tamaño de prima más B por lo tanto es precisamente como hemos definido la prima, el caso que es un cierto conjunto, un cierto elemento X y suponiendo que el resultado es cierto es tenemos en mente ya, este conjunto está contenido en este, vamos a muy parecida que la más X está contenido en amasta lo que ya se ve es que E es un subconjunto de D ¿De acuerdo? un subconjunto de D y ahora lo que vamos a hacer es descontilizando la D entonces lo que hacemos es más C a prima más B más X pero claro quiero que nos disjunta porque pueden haber elementos que estén aquí o sea tengo que quitar los elementos que están aquí que no están aquí por lo tanto lo que tengo que hacer es quitar precisamente y entonces esta unión aquí es una unión disjunta, la prima más P, unión más X y para que la unión sea disjunta tengo que quitar el conjunto de un momento porque estos son D más B más X los D eran elementos de a prima por lo tanto son los que tengo que quitar y esto es E más X bueno y ahora vamos a hacer estimaciones de disjunta lo que obtengo es que esto es porque esto es simplemente trasladando y ahora por lo tanto esto es mayor porque D era un súper conjunto de una prima ¿Vale? tengo esta relación de aquí y ahora voy a aplicar esto lo que me sale es esto de aquí de acuerdo que por lo tanto tiene que cumplir esta propiedad aquí por lo tanto es más pequeño que a prima más C esto es la hipótesis de inducción esto es por el hecho de haber escondido a prima no simplemente lo que puedo poner es de que a prima y con esto demostramos, ¿sí? sí hemos ejercicio y con esto ya termino un constante del delamiento pequeño, ¿vale? y esto también lo vamos a supongamos y tengo un P primo y considero un subconjunto AFPDN que cumple esto es más pequeño que el conjunto es más pequeño que tres veces tres mitades de A, ¿de acuerdo? entonces lo que vamos a ver esta tarde es que existe un superspacio que juega el papel de un subgrupo aquí, aquí un superspacio V el cardinal de A es mayor y esto solo daré una pista que es que hay que ver esto de hecho es un superspacio y que este no es va a ser, ¿de acuerdo? Ah, sí, sí, sí, claro, claro, sí, claro, sí, no, con el fin de la prueba de plúneque y ya como se explota este resultado en un contexto estructura, ¿de acuerdo? dejamos la primera sesión, de acuerdo, muchas gracias