 Avant de commencer, je voulais vous dire qu'il y a deux livres que j'ai recommandé sur les topics d'aujourd'hui. Il y a un livre qui a été terminé l'année dernière par Yvonne Chocke-Brouillard à l'âge de 1991. C'est la seule personne que je sais qui a discuté avec Van Steijn parce qu'elle était la première à prouver l'existence de la solution de Van Steijn, des équations, des propagations par les waves. C'est un excellent livre pour les étudiants, mais aussi très rigoureux, mais aussi avec la physique. Et plus sur le sujet précis, c'est le premier volume du livre excellent de Michele Maggiore. C'est maintenant terminé le deuxième volume sur la partie plus expérimentale. En tout cas, c'est le premier volume plus sur la théorie. Ok, donc, ici je vous ai rappelé que, en 1916, en novembre 1915, Einstein, pour cette partie, avec de l'aide d'Hilbert, a trouvé une action générale pour la compagnie de Matheur Koppel. Et juste pour les gens qui n'ont jamais vu mon accident, je vous remercie. Je vais utiliser la convention avec le signateur, plus en plus. La lettre G, ici, dénote le minus, le déterminant de la métrique de Pseudo-Riemannian spacetime. Donc, la définition de la curvature du spacetime est, selon la métrique, le tensor, vous avez cette combinaison de la dérivé de la métrique, la connexion de Lévi-Civitta. Ensuite, vous définissez le tensor Riemann et la connexion, qui est la tensor riche. Les équations de Einstein, sur le côté gauche, ont un tensor riche minus 1,5 de la trace de R times la métrique. Et, sur le côté droite, il y a la dérivé fonctionnelle de la action de Matheur, avec respect à G mu nu, avec la métrique, qui est la tensor de Matheur de stress. Juste des conventions. Parce que je vais... Donc, le rêve de la course est d'aller, de ces équations, à des résultats récents, qui sont ici. Ce qui est que, en septembre 2015, les deux détecteurs LIGO, ont donc un signal bruyant. Et ce signal est en excellent accord avec des prédictions théoriques. La première prédiction théorique était une prédiction analytique, qui a été faite ici, à IHES, en 2000, avec un méthode appelé Effective One Body, que je vais expliquer en détail, et comment ce méthode peut prédiquer, c'est-à-dire que c'est la formule émise. Donc, je vais expliquer ce qu'est la formule gravitationale, ce qu'est la formule émise. C'est la formule émise comme fonction de temps. Dans le méthode Effective One Body, il y a la première partie, qui est l'inspirale, quand les deux corps sont encore bien séparés. Et ensuite, ils sont plus près et plus près. Et ensuite, le méthode définit un mélange. Et ensuite, attaché au signal, qu'est-ce qui se passe après les deux corps bleus coalescés, ce qui est, et je vais expliquer comment vous construisez ça, ce que l'on appelle le « ring down ». Donc, c'était la première prédiction, cinq ans avant que la relative numérique existait, et 15 ans avant que l'expérience existait, pour détecter. Mais cela a été refusé après la existence de la simulation de la relative numérique. Et maintenant, cela signifie « numérique de la relative numérique ». Nos groupes, ici, avec Alessandro Naga, et le groupe de Alessandra Buannano, dans les États, ont décédé l'improvement de la formule Effective One Body, qui a été extractée d'informations du numérique de la relative numérique. Et ici, il y a un sketch du fait que, après ce type de tuning de l'analytique au numérique, il y a un agreement exquisit entre la relative numérique et Effective One Body. Et ces choses ont été utilisées pour extracter ce signal du bruit, même si il y a d'autres stages d'extraction. Ce sont ces choses qui ont été utilisées pour extracter les massages, par exemple. Le fait que vous dites que les massages sont 29 et 36 est parce que vous êtes traitées à quelque chose qui dépend continuously sur deux paramètres, et puis vous maximisez l'overlapage. Donc, le cours de la course sera deux goals. Maintenant, expliquez-moi des choses basées avant d'entrer des détails techniques. Donc, après la création de la générité en novembre 1915, en juin de 1916, quelques mois plus tard, Einstein a travaillé sur la structure des waves gravitées. Tout le monde a dit que la générité était une théorie qui était de la générité de Maxwell. Donc, il y aurait des waves. Il n'y avait pas de question. La question était, qu'est-ce que la structure de ces waves et quelle était la quantité de génération de ces waves par matière. En fait, le premier livre en juin de 1916 est de l'eau. Il y a un erreur qui n'est pas un erreur minoritaire. Et l'answer correcte a essentiellement été donnée en 1918. Et dans ce livre, Einstein a aussi donné une formule qui donne l'amount de l'énergie émettue par les masses de mouvement qui dépendent d'une certaine dérivé de l'élément quadruple du système. Mais ce que je veux décrire est que, à partir de ce travail, c'est après le 1980 que tous les méthodes modernes qui ont été développées pour ces choses. Donc, je vais mentionner deux types de travail qui ont commencé dans le 1980. Un travail était sur la dynamique, la dynamique des systèmes binaires. Donc, le cours sera sur la motion de deux corps avec les masses M1 et M2 qui orbitent entre eux par la force gravitationale. Et ce sont les waves gravitationales qui émettent. Et ce sont les réactions de l'émission gravitationale sur la motion. Et ensuite, l'émission gravitationale et la coalescence de ces deux objets quand ils sont bleus. Et je ne vais pas discuter le cas où Neutron s'occupe. Donc, l'histoire de la dynamique des systèmes binaires a commencé en 1917 quand Laurence Sandrost a computé la première approximation d'aujourd'hui. Vous savez que les deux objets devraient s'attrairent par la force gravitationale de Neutron. Mais ensuite, vous avez des corrections par rapport à la générité. Les corrections sont proportionnelles pas seulement à la force gravitationale par rapport à la force gravitationale mais aussi par rapport à l'effet non-lénére. Et ça a été travaillé par Laurence Sandrost et ensuite par Einstein la prochaine approximation V over C4 et ensemble avec V over C5 a été première travaillée donc c'est 2 et 2.5 pn en 1981-1982 par Nathalie Derriel qui est ici et parmi puis la prochaine approximation 3 pn ce qui signifie V over C6 a été première travaillée par Jarnowski Schaeffer et moi-même en 2000 et à la fois où nous avons terminé ce travail je pensais que ce serait suffisant et que c'était assez compliqué en meantime Mathématica a existé et puis la calculation d'algebraie a été réalisée après ça je pensais vraiment que c'était la fin mais Piot Jarnowski est très entreprise et puis en 2014 oui donc Jarnowski Schaeffer et moi-même nous avons la première fois la approximation de 4 pn qui est V over C à 8 pn et ces ingrédients sont importants ingrédients pour la histoire donc ce sont les ingrédients sur les equations de motion d'un système binary un autre très important ingrédient est le génération de formalisme et le meilleur génération de formalisme pour générer les waves de gravitation et le meilleur formalisme est le so-called Blanche d'Amour Aïe de formalisme qui a commencé un petit peu avant que je suis venu ici quand j'ai travaillé avec Blanche qui était mon étudiant de Ph.D et puis qui a été approché quand Bala Aïe est venu ici en 1989 quand je suis arrivé donc je vais expliquer ce qu'est ce formalisme et ce formalisme est ce qu'on veut conclure toutes ces choses sont la théorie post-Newtonian donc ces utilisateurs qui signifient une théorie perturbation en général vous utilisez une expansion dans un petit paramètre et le petit paramètre essentiellement est la velocité de la velocité orbitale dividée par la velocité de la lumière mais dans le coalescence de deux collons à la mergers donc le petit paramètre disparaît et la proximité arrive mal avant que vous atteignez la mergers et c'est pourquoi je vais expliquer qu'il y avait un autre secteur qui est d'aller sur la théorie perturbation pour utiliser la technologie resommation et c'est dans cette chose qu'une des plus efficaces et actuelles en 1999-2000 était l'éub l'éub formalisme que je vais décrire en détail maintenant donc c'est essentiellement le plan de la course maintenant je vais me rapprocher des factes basiques à la hauteur c'est-à-dire des choses qui étaient connues dans les années 60 avant ce travail a commencé et les factures basiques que je fais c'est le travail de Peter Peter et ma foule donc il y a deux papiers Peter et ma foule en 64 et un papier de Peter seul en 1964 maintenant c'est une approximation que Einstein a travaillée en 1918 que je vais décrire qui dit que la forme de la gravitation émise d'un système mais c'est d'un système proportionnel à la dérive seconde du moment quadruple du système donc si le système s'étend le moment quadruple il est en temps que le flux de l'énergie émise à l'infinité est donc c'est un modulo, peut-être un facteur 2 que Einstein a étendu mais conceptuellement il l'a étendu correctement donc c'est peut-être un autre site le nombre d'énergie par unité émise à l'infinité dans les formes de la gravitation il y a un certain facteur avec Newton's constant je n'ai pas dit que c'est Newton's constant c'est la vitesse de lumière le troisième dérive du moment quadruple du système évidement tout à l'heure je vais utiliser Einstein's summation convention chaque fois qu'il y a un index répété donc le square signifie que vous mettez ce truc deux fois, vous l'utilise sur les indices i et j entre 1 et 3 Peter et Matthews ont ajouté une force de momentum angular dans le système dans la forme de la gravitation à l'infinité et ils ont une formulae similaire qui contient 2G over 5 C5 l'antisymmétrique levit chivita symbole qui signifie que epsilon ijk est plus 1 si ijk est même permutation de 1,2,3 si c'est une permutation odd de 1,2,3 et ici vous avez le deuxième dérive du moment quadruple et le troisième dérive avec des indices contractus de cette façon puis ils ont juristiquement assumes que si vous perdez l'énergie d'un momentum angular à l'infinité ce momentum angular sera pris du système pour que un système de binary soit en elliptique orbit donc vous avez deux corps envers leur centre de masse envers comme ça envers comme ça et envers comme ça c'est l'énergie de ce système de l'énergie mécanique sera pris du système parce que de l'infinité vous write que vous avez de l'énergie de la fluxure à l'infinité je dois dire que c'est parce de cette raison indirecte que vous dites que le système perd l'énergie de l'énergie donc le système devrait payer que les gens disent que l'observation de binary pulsage que vous avez checké est indirecte de l'existence de la radiation en fait dans notre travail avec Nathalie nous avons fait une calculation directe que je ne vais pas décrire aujourd'hui de l'interaction dans le temps spatial de deux corps incluant les effets non-linear de gravité donc quelque chose qui ne parle pas de l'infinité émettante mais qui dit que ça prend un certain temps pour l'interaction pour protéger de l'un de l'autre de l'autre parce que ça protège avec la vitesse de la lumière dans l'Ange-Tin Theory c'est une rétardation dans la calculation qui donne un extra terme dans l'équation de la motion et puis de cet extra terme en fait vous recouvrez ça donc vous n'avez pas besoin d'être heuriste c'est directement lié à la facture que la gravité propagandise à la vitesse de la lumière donc puis Peter et Matthews utilisent la relation entre l'énergie du système comme par exemple et le momentum angular du système, je vais juste dire que le système est lié quand j'ai deux masses à l'axis semi-major de l'orbite relative entre les deux par un formulaire de ce type un formulaire similaire pour le momentum angular puis vous vous dites que le dérivé du temps pour cela, le dérivé du temps de l'axis semi-major devrait être équatorie à moins de ceci vous computez l'avantage de ceci vous computez ce qui est un moment quadruple vous avez des formuleurs explicites disons deux formuleurs la première formuleure je ne dois pas mettre ça je vais le mettre ici la première formuleure c'est que le période orbital du système diminue séculément parce que par Kepler's law Kepler's third law dit que le total mass du système est lié à la fréquence orbital omega où omega est 2pi divisé par la période orbital donc c'est la fréquence orbital A est le axis semi-major donc c'est le fameux 1, 2, 3 law où la masse est power 1 la fréquence orbital est power 2 et l'axis semi-major est power 3 et alors cela relève la période à A mais ici vous avez le axis semi-major qui est lié à l'énergie donc vous savez la masse de l'énergie donc finalement vous avez le changement de période et encore avec Natalie, on l'a dit directement sans utiliser cette raison par une calculation dynamique directe que la propagation de gravité et la vitesse de lumière impliquent un changement de période du système binary par une formulae explicite 192pi par contre la raison pour laquelle il y a 1 par 5 dans tous ces formuleurs c'est parce que la vitesse de gravité est 2, c'est l'hélicité 2 et 2s plus 1 avec s equal 2 est 2 x 2 plus 1 donc c'est 5, c'est pourquoi il y a toujours 1 par 2s plus 1 qui sont les facteurs de spin de l'an-dé, toute la formulae donc donc vous avez en fait la frequency orbital ici 2pi par p mais c'est p donc je mets p x Newton's constants pour le 5 thirdes puis il y a le producteur de la masse divisé par la summe pour le power 1 thirde et puis vous avez une certaine fonction de la concentricité ici, qui est 1 la concentricité E squared plus 37 over 96 E4 divided by 1 minus E squared to the 5 half non, yes, 5 half maintenant ce changement de la période orbital d'un système binary par rapport à la propagation de gravité entre les deux objets a été vérifié expérimentalement pour une très haute accuracy une partie de 1000 dans plusieurs systèmes, donc nous savons que c'est vrai et quelles sont les conséquences les premières conséquences c'est qu'il y a un minus sign donc ceci dit le système va vite et vite, ok, la période orbital est diminuant ce qui veut dire que les deux objets vont plus loin et plus loin parce qu'ils sont plus loin, ils s'attraient plus loin et puis ils vont vite et vite et c'est pourquoi j'ai commencé pour 500 millions d'années vous savez, si vous avez deux corps séparés de très grandes distances ils vont autour, mais la période orbital diminue, ils arrivent plus loin et plus loin donc ils vont vite et plus loin et à la fin, quand ils sont très très loin ils coalescent, ils diffusent pour faire un objet final de les deux objets c'est ce qui a été vu cet événement s'est passé il y a un million d'années, c'est fantastique pour pouvoir le voir le temps scale ici est 0,2 secondes donc, ces sont les dernières trois objets qui ont été vu, les dernières trois objets ils vont vite et vite la vitesse de lumière, les dernières trois objets il y a deux objets de 100 km, ils vont autour donc c'est 0,1 seconde pour 1 obit à la fin, mais avant il existait pour 100 millions d'années mais nous ne pouvons pas le voir maintenant, ce que je voulais dire c'est que la première chose, nous savons que la période orbitale va diminuer mais par cette autre formule par rapport à Peter le changement de momentum angular va impliquer un changement de concentricité aussi et quand vous travaillez sur le changement de concentricité Peter est capable de se solver dans l'approximation la quantité de concentricité dépend de la période c'est une fonction de concentricité et de période et vous avez dp over dt c'est une fonction, une autre fonction de concentricité et de période mais si vous avez la ratio des deux vous avez une équation différente pour e comme fonction de p et en fait, il est capable de se solver, c'est séparable et surprisément la solution est très simple et surprisément compliquée parce que la solution exacte c'est e squared divided by 1 minus e squared to the 196 times 1 plus 121 over 304 e squared to the power this power is always really surprising it's the power 145 divided by 121 I mean how can simple things generate a power like that and this thing is proportional to the period to the power 99 actually these exact powers are not very important what is important is as I said, the orbital period decreases it goes faster and faster and therefore the eccentricity because there is e squared here decreases even if you start with large eccentricity it will decrease and at the end the eccentricity is small so what you get is that e squared is proportional to the power of p and therefore as the period decreases the eccentricity decreases which means that you have circularization actually the circularization is rather effective if you start with systems which are very elliptic the losses of angular momentum first make them large and wide systems they stay wide but they are nearly circular and then after being they get circular first and then this circular thing gets smaller and smaller so we have a spiral and this is an important simplification because one could do all those theory because at the end the orbit is circular so it simplifies many things and one can compute high order things because it is a circular orbit ok if I go at this space finish thing so I've already shown now we'll go faster some technical things so let me solve now gravitational waves at linearized approximation so I solve Einstein's equations at linearized approximation this means what one assumes that g mu nu the curve spacetime metric is the flat eta mu nu denotes the Minkowski metric diagonal minus plus plus plus on the diagonal most of what I will do will be in four dimensions here I have written Einstein's equation in spacetime dimension d you see that in any dimension there is one half here on the left but when you put it on the right there is the dimension which comes in it's only in spacetime d equal four that on the right hand side you have also minus one half but I will be in d equal four and then you have a perturbation in spacetime of this curve metric and you assume that h mu nu is small compared to one this is plus one minus one so h mu nu is dimensionless now you take this formula you compute things you plug this here it's very easy you have dh you can take this eta to lowest order then gamma is linear in derivative of h here Riemann and Richey contains two derivatives of h mu nu when you write explicitly the linearized Einstein tensor I will do like you go ok you find there is a one half because there is this one half there is no one half here and then you find the d'allon version of h mu nu d'allon version means a flat d'allon version ok so it is eta mu nu d mu nu where d mu nu means the partial derivative repeated with respect to x mu x nu then you have a second term with the same sign minus which is d mu nu h where h means the trace eta mu nu of h mu nu ok or eta alpha beta h alpha beta summed and then you have two terms two extra terms h alpha nu plus d nu alpha h alpha nu where the index alpha is raised by the flat Minkowski metric now linearized so in empty space you look for solution of at linearized approximation of Richey equals 0 when I have no matter this form of Einstein equations tell me it's Richey flat and now there are two ways of two ways of solving and that's what Einstein did in 1916 and 1918 we want to find solution of these equations propagating as waves in empty space a simple thing is to immediately look for plane waves that is to say let me like Maxwell equations look for solutions where this is a function of x I have an amplitude which is a tensorial amplitude and then I have kx where kx means k lambda x lambda ok so it means if I decompose in space and time it means kx minus omega t k special frequency and omega the circular time frequency and you plug this here so immediately you're saying that this is equal to 0 tells you that you get the equation so this gives k squared where k squared means et amuniu k mu k nu ok you move everything with things so the block operator a mu nu plus k mu k nu a where a denotes the trace so again it is et amuniu a mu nu and then you have the other terms which are minus k mu k lambda a nu lambda minus k nu k lambda a mu lambda everything equal to 0 ok but now how do you solve that first you say let's assume if k squared which means this where different from 0 I could solve for a mu nu so I will get a mu nu equal 1 over k squared of what I would get something like a mu nu I have k mu b nu plus k mu b mu plus 1 half of this ok I will get a combination of this type but now we have to remember that Einstein equations are invariant under all coordinate transformations and therefore the linearized Einstein equations are also invariant under infinitesimal coordinate transformations taken around flat space so if I take an infinitesimal coordinate transformation change of coordinates from x mu to x prime mu this is a xi ok you find that the effect on a linearized gravity is that the metric changes by h mu nu minus d mu xi nu minus d nu xi a is a better one xi mu if I am in the realm of plane waves that is to say if I do a coordinate transformation this means like for instance if xi mu is equal to you know how did I denote it ok ok if it is eta mu exponential i k x then this thing will be minus i k mu eta nu minus i k nu eta mu et a therefore a change of coordinate as the effect of a gauged what is called gauged transformation on h mu nu which is of the type k mu a vector plus k nu the same vector but we have found here that if k square is different from zero m mu nu would be of this type therefore any wave which does not propagate with the velocity of light is of this type which is a coordinate wave and therefore necessarily the waves must propagate with the velocity of light so this is a simple way of saying we must have for gravitational waves k square equals zero ok but now once you have k square equals zero otherwise this is not a real wave it's an artifact of changing coordinate system the same equation tells me more that is to say not only it propagates with the velocity of light but I must have these conditions to write these conditions let me define let me define I will define two things given any tensor I define h bar mu nu like h mu nu minus one half the trace of this tensor with eta times eta mu nu ok with the minus one half ok and in particular a bar mu nu is a mu nu minus one half a the trace of a mu nu times eta mu nu if I use just this definition these two terms simplify now k square equals zero and then I get the condition that zero is equal to k lambda times a bar mu lambda which is so I get the first condition for gravitational waves k square equals zero and the second condition so the first condition says the propagate with the velocity of light it's a transversality condition because it says that the contraction of the amplitude slightly modified with the vector of propagation in spacetime is zero so it's a transversality condition but now I can do even ok so this is one way of getting plane waves there is another way that I will not do in detail but just mention which is before solving Einstein's equations directly here I have not chosen any coordinate system by the way there is something surprising here which is that even if you don't fix the coordinate system at all if you have waves they must satisfy this condition which is characteristic of a special way of fixing coordinates which is called the harmonic gauge so the other proof is to go to harmonic coordinates which is to to change the coordinate system of this type to solve an equation for psi mu of the type something such that the following condition is satisfied d lambda h bar mu lambda equals zero you can show in general that it is always possible independently of saying I discuss waves I can fix the coordinate gauge that I use in Einstein equation by this condition when you do that you recognize that these two terms actually because here you can write this is twice one half and then you put one half here and one half here and you find that these two terms are actually this now I can absorb this term and therefore if this is zero these two terms disappear and then in this harmonic coordinate system the linearized Ritchie tensor is minus one half d'Alembert de h mu nu this is analogous to considering Maxwell equations if you take Maxwell equations you know d nu f mu nu equals zero in vacuum with f mu nu d mu a nu so then you have an extra d mu Maxwell equations they become minus d'Alembert of a mu plus d mu of the divergence so it's very similar to this if I go to the Lorentz gauge and by the way apparently this Lorentz is not the famous Lorentz it's supposed to be a Lorentz without t anyway Lorentz gauge where this is zero then in Lorentz gauge Maxwell's equations become the field equation is minus d'Alembert of a mu equal the source let's say if there is a source and nothing if you have no source and you have the condition d mu a mu equals zero so you see Einstein equations are very similar with one index more so this is what is the structure of gravitational waves here I can still do something because I said if I do a coordinate transformation I have this effect I said here I can I have already used a coordinate transformation to simplify things but I can still do another coordinate transformation because if I do a second coordinate transformation let's say psi prime mu in addition to the one I did before and if psi prime satisfies d'Alembert equals zero then I will not change the condition before and you can check that this thing is invariant under a coordinate transformation if the coordinate transformation propagates with the velocity of light so I can further reduce this solution and a nice way is to go to so-called TT transverse traceless gauge now let me write gravitational waves in transverse traceless gauge this is a gauge where you impose that the the zero zero and the zero i components where zero is the time coordinate i is the space coordinate r0 and you only have the spatial components of a plane wave amplitude and when you do that and when you plug in this formula this thing simplifies you find immediately that the trace a must be zero and therefore the spatial trace must be zero so once you have imposed this the spatial trace must be zero and then the spatial tensor is transverse in the usual sense that is to say this is a tensor and it is orthogonal when I contract it with respect to the direction of propagation in space of the gravitational wave so this is a plane wave in transverse traceless gauge with the condition k square equals zero if I now make a super position of these waves so we are in France we have the Fourier theorem so any thing can be expanded in Fourier integrals and so I recombine a general solution of Einstein's equation in vacuum now h mu nu you find that in TT gauge the zero zero by convention is zero as well as the zero i component the only components that exist are the ij component but their trace is zero also and the equations of propagation are first a transversality condition this condition becomes when I consider for a general function of x transversality and this condition becomes that d'Alembert of h ij TT equals zero so this is what a gravitational wave looks like now let me actually I can use this blackboard now so in practical terms what it means is that if I consider a wave which propagates in the direction k then which will be the z axis when we take some axis then I have a plane so let's say this is the z axis then I have a plane orthogonal to this which is an x y plane gravitational waves has only components in the x y plane so in that sense the wave itself is transverse and so let me write that k is times the unit vector e z then h ij TT which is now it's a 3 by 3 matrix h ij has two special indices and it is a function of t and z in that case for a plane wave if I look at the amplitudes then it will have because of the transversality condition all those things that contain a z index will be zero I will have only x x y y and x y but this is symmetric and the trace the trace must be zero which means the sum of this, this and this is zero so it means I have one thing here I have minus the same thing here and then I have something else there and then I have the exponential I write this just explicitly so that you see what it means plus complex conjugate because we are interested in the real solution of Einstein's equation and the Fourier modes are complex which means that this wave has a component here as a function of t of z when I reconstruct this h tz tz and minus h plus tz so this symbol here 0 0 0 0 means plus and cross so these are so called two linear dimensions of gravitational waves this is analogous to the fact that when I have Maxwell electromagnetic wave I can go not only in Lorenz gauge but in a gauge where a0 is zero one can further impose this I have only ai which must be transverse also and then when the wave propagates in the z direction an electromagnetic wave has only the component ax ay and zero so let me write the first thing here I have ax ay zero and then exponential akx plus cc and explicitly this means I have ax as a function of t and z ay a function of t and z and zero so gravitational waves is very similar to electromagnetic waves in the sense that there are only two independent functions given a wave propagating in some direction I have two arbitrary vectors that I give this one and this one like and it is transverse like an electromagnetic waves but there is a big difference and the big difference to see it you need to define LECT amplitudes this is a name but we are going to understand why and LECT amplitudes means taking a linear combination of the two amplitudes with a complex coefficient so in electromagnetism you define a LECT amplitudes for plus 1 or minus 1 LECT and the definition is ax and because of some convention when there is a plus here you need to put a minus but it's just a convention so you take the complex combination of the two amplitudes if you do the same thing for gravity you define an amplitude with a 2 instead of a 1 which is these amplitudes with the same combination so it is a of the gravity wave minus or plus ia the other thing and now the fact is that so here we have two mathematical objects which are waves living in the plane xy orthogonal to the propagation of the wave I can do still I can act on this wave by rotation in the plane I can leaving fix the direction z I can rotate the coordinate system or rotate the wave if you are passive or active when you do that if you rotate the coordinate system by an angle theta you find that this thing, the electromagnetic one will so there will be cosine and sine but now I have taken complex combination and by the Moivre formula I will have an exponential so you find that this is exponential plus or minus i theta the LCT amplitude for electromagneticism with a coefficient 1 here why if you do that for gravity you find that a plus or minus 2 for gravity after rotation is exponential plus or minus 2 i theta a plus or minus 2 so this is saying that the mathematical object which represents the gravitational wave in the transverse plane when you rotate by an angle theta it turns by an angle 2 theta why an electromagnetic wave turns by an angle 1 theta ok and this is in general if something rotates by exponential i s theta you say that it has LCTs ok so this is just a simple without doing quantization of the thing saying that the LCT of gravitational waves is plus or minus 2 why the LCT of electromagnetic waves is plus or minus 1 move this up apparently in the old days at the time of Poincaré when Poincaré was giving lectures there was an assistant that was raising things autre temps, autre honneur ok so this was the LCT gravitational wave now I want to very briefly mention the fact that 2 things when I have an electromagnetic wave finally the object that represents the wave is made of a vector in the plane transverse to the propagation so in the XY plane so in this plane I have coordinate system XY and then the object I talk about is a vector and now if you compute at one point of space this vector is a sum of exponential i omega t and things like that so it rotates ok it is a sum of cosine and then you find that AX, AY, which are these two components they draw in general an ellipse if you take the real part you have two ellicities you have two complex numbers a wave is described by two complex numbers A plus 1 and A minus 1 in general if these two complex numbers do not have the same magnitude they are not proportional to each other you have an ellipse so this is an elliptically polarized electromagnetic waves if you do the same thing for gravity actually you have essentially the same thing because here you can consider the object so here we can say this is a complex plane so this arrow in the complex plane is AX plus I, AY with the gravitational waves you can do the same thing you can take H plus but H plus means what ? it means HXX, it's the XX component this is minus it's YY which is minus HA and this is HXY so you take you can take these things this is a real quantity complex quantity et in general it is a combination of A plus 2 and A minus 2 and then again you have an elliptic you have an ellipse really in this plane it's a Lissajou simple thing which is an ellipse but you have special cases like if for instance one of the two these things are proportional as complex number to each other you will have a line the ellipse will degenerate in a line so this is called a linearly polarized waves this would be a a circularly polarized wave and the general condition is an elliptically polarized wave so it's exactly the same thing as for electromagnetism I mean visually at least except there is this factor 2 floating around let me also mention something here I was in space to say I have the direction K of propagation let's call it Z and then I have the plane XY if you are more Minkowski you can say a gravitational wave is described by what an electromagnetic wave also it's described by first the K vector which is the wave vector of the wave which is on the light cone so I have K mu ok and now if I have an electromagnetic wave I have an amplitude K mu which is orthogonal to K mu so this means that I must consider the plane orthogonal the plane orthogonal to the light cone is also tangent to the light cone hyper surface orthogonal to a null vector K mu is null K square equals 0 is isotropic as one said in french in the old days and the plane orthogonal to K mu is also the plane tangent hyper plane tangent here I am in 3 plus 1 dimension you need to add 1 dimension and now I know that an electromagnetic wave is described by some polarization vector orthogonal with epsilon mu K mu equals 0 and then the electromagnetic wave would be a mu equals let's say sub-amplitude epsilon mu exponent ikx in particular I can take a complex ok there are 2 vectors orthogonal I am in a 4 spacetime dimension so this is a 3 dimensional hyper surface the set of vectors here they have 3 vectors K mu is orthogonal to itself and then I have 2 more vectors so I can choose for instance epsilon mu is I can take a basis and of 2 vectors E1 and E2 which are orthogonal K dot E1 equals 0 like K dot E2 so I take 2 vectors orthogonal to K and such that they have units magnitude equal 1 E2 square et they are orthogonal to each other ok, it's just a basis ok, now let me take a particular polarization vector which corresponds to a circular polarization so if I take this combination it is a circularly polarized electromagnetic waves now why am I saying that I am saying that because if you do the same thing with gravity with the same polarization complex polarization epsilon mu construct also circularly polarized gravitational wave which is simply an amplitude coefficient times epsilon mu epsilon nu akx in spacetime ok, and then therefore you see that the polarization tensor of a gravitational wave in this simple thing is just the product of two electromagnetic waves and this thing plays a role in string theory in fact that in string theory and now also in quantum field theory gravity is like the square of electromagnetism actually you can see it already at the level of of plane waves now to finish the first hour there will be a 15 minutes break let me say that here I have done really the naive things a linearize first order wave propagating around a flat background because the mathematics is easier we are interested this wave here which has been observed last September was emitted a billion light years away and then traveled in a cosmological spacetime it had to pass through galaxies and things like that in a curved spacetime this is not flat space between and this thing so the full theory of gravitational waves has to combine two things locally in a system around the source you can use flat spacetime calculation but then when the wave propagates far in spacetime you have to use another technique and the way to do that is to so to compute gravitational waves in curved space is to use kb or high frequency approximation which means that a general gravitational waves you can say is a spacetime which is the sum of a background spacetime which only contains like slow frequencies like something which varies on cosmological times or galactic times you add to it a small wave which will also it's a two time method it also varies with a slow time scale but it varies with a fast time scale so you introduce like a fast varying phase which means you take a large parameter one and then you look for a solution of Einstein equation as approximation in inverse powers of omega wkb approximation and when you do that actually it's subtle because it depends how small is epsilon compared to the omega if omega is first order if epsilon is first order or second order in one over omega it changes the back reaction of this wave on this I refer you to the recent book of Yvonne Chockebruya because indeed this is something that Yvonne Chockebruya herself worked as a research paper long ago and this is carefully explained in her book so let's stop now for a break ok so now that Yvonne Chockebruya is with us a person who first proved mathematically the existence of solution of exact solution of Einstein equations including domain of dependence which means gravitational wave propagation and who discussed with Einstein in 1952 in Princeton now let me go to multipolar so now I will enter more technical details in order to be able to compute things to higher curacy we need actually to go beyond I reminded you that Einstein had worked out the lowest order so-called quadrupole approximation and even the quadrupole approximation was done to lowest order in post-nutrient expansion but we are not going to reproach him not to have done the full thing he left us something to do and now I want to discuss the question of multipolar expansion in linearized gravity and surprisingly surprisingly the in the time domain the first full correct discussion of multipolar expansions in linearized gravity was done by Bala Ayer and myself here in 91 following work that I will explain at length later by Blanchet and myself Annal Harry Poincaré 89 so let me let me introduce because I always consider if you open a textbook and even for electromagnetism if you open a textbook which means Jackson and you look at multiple expansions of electromagnetic fields I consider it a mess I cannot understand what is going on there are strange objects you don't know what is going on actually there is a way and it is in the Fourier domain you don't even compute what is emitted by your time varying source you have to Fourier transform everything and then you have best cell function actually the work that was done by us starting in 8990 and use a technical tool that keeps on at suggested would be good which is to use the symmetric trace free Cartesian tensor representation of multiple expansions so let me explain this what is a multiple expansion multiple expansion is an expansion in irreducible representations of SO3 so don't let your mind block I will explain what it means so and I will if you have for instance if you have a field which is just a scalar field but we will do the vector field and the tensor field which satisfies a wave equation of this type with some source minus 4 pi but I consider the field outside the source so that it satisfies d'Alembert pi equals 0 and I am interested in the retarded waves generated by the source but the important thing is that this operator here is invariant under rotations in space it's invariant under more but as the source usually defines a certain tube an origin somewhere in space which continues to exist in time and then you are interested in rotations acting in space now what does it mean this is invariant in space it means that if I have a solution phi of this equation with 0 on the right hand side and if I define it's a function of time and space and if I define a new function phi prime x r of t nx which is phi of t and r minus 1 of x where r is a it's an orthogonal matrix it's a rotation in the usual sense let's say an active rotation active which rotates points in space you make it act with the inverse so that it is a good representation on the space of function the point is that if this function phi is a solution of phi equal 0 this new function phi r for any orthogonal matrix is again a solution of the same equation ok remember that here I'm really rotating the solution in the sense that if I look at a function phi for instance at a given t n r equal modulus of x as a function of angles n so I define x equal rn where r is the modulus n is the unit vector on the unit sphere so this becomes a function of the unit sphere like for instance there is a blob here rotation means I really rotate where the blob is so it's a different function now if I continue considering this phi as a function of t r let's say fix and the unit vector on the unit sphere this becomes a function on the unit sphere now any function on the unit sphere can be expanded in an infinite series labeled by an integer l going from 0 to infinity to plus infinity where such that each building block here is such that when I act on this by this rotation I rotate it then this block here rotated by r navigue in a finite dimensional space with dimension 2l plus 1 ok that there is a vector space with finite dimension such that all the solutions when I act with rotation they are linear combination of some basis so this is and now let's be practical what is a member of and this is the irreducible representation of the group of rotations viewed on the sphere and what is a practical way of parameterizing this thing a function so if I take now a function fl in this space as a function on the unit sphere and it satisfies square I am in space when I put an arrow it means I have a three dimensional reclide in space ok there are several ways of representing it but a nice way is the stf way it means I can parameterize a general element by a tensor with l indices so I have i1 i2 up to il contracted with ni1 ni2 nil so it is something which is a polynomial of elf order in the unit vector constrained by this thing that means that this tensor is symmetric so if I intervait if I exchange indices it does not change and trace free if I take any trace on any pair of indices it is zero ok so it's called stf symmetric trace free it is relatively and now if I act with the rotation let me put it as an action on the left acting on fl what does it mean when I act on it what it means is that I change I leave ni1 I can convert the action on this that's why there is r-1 then it means this tensor becomes a new tensor il where f' with l indices il is obtained by the rotation matrix i1 j1 etc il jl the original tensor j1 jl ok so it acts on the tensor as a usual rotation and the space of these all these tensors is of dimension 2l plus 1 now which one can see in various ways and this is as I will explain later this is equivalent to ylm but the ylm confuse things because for the reasons I will explain now a simple way of understanding why symmetric trace free tensors enter in the game as a nice way of parameterizing this is to consider for instance not the Laplac equation Laplac equals 5 equals 0 and let me consider the general solution of Laplac equation in a ball for instance a ball with regular at the origin but with some conditions on the boundary of the ball and don't ask mathematical question about that let me formally say this is an elliptic equation so the solution is analytic actually and because it is analytic I can write that phi at point x separated from the origin can be expanded in a power series Taylor series so it's phi of 0 phi the derivative of phi at the origin plus 1 half of xi xj dij phi plus 1 over factorial 3 x 3 derivatives now let me immediately introduce a convenient notation that we introduce with Luc Blanchet which is that when I have a tensor with l indices you don't want to write always I1, I2, IL the only information which is useful is that there are l indices and therefore the convention is that you write just a capital L if it had p small indices you would put the capital p so it's just a symbol for saying there are l indices and then the product of a vector the same vector l times you just denoted lL, nL ok, c'est juste un notation mais ça signifie l indices donc c'est une convention d'Anstein-Sommation et maintenant, ceci peut être écrit par l from 0 to infinity d'une over factorial L parce que c'est la formulae xL dL of phi 0 ce qui signifie x1, x2, up to L indices dL means a repeated derivative mais vous voyez que ceci est un summe d'L of xL des objets avec L indices fL, ce qui est divisé par ceci mais cet objet est symétrique parce que c'est multiderivatif et c'est plus ou moins parce que si je prends le trait de l'indice comme c'est la place equals 0 c'est 0 la solution de l'indice peut être, effectivement la solution générale de l'origine peut être élevé de cette façon maintenant, je peux aussi en le faire en summe d'L j'ai le vector x c'est R, le vector n pour cela, c'est R pour lL j'ai le modulo en front le vector n comme un multi-n1, n2 etc ni1, ni2, niL dfl et maintenant, je peux écrire l'équation Laplace de phi equals 0 décomposant Laplace comme un dérivatif radial plus 1 over R squared le dérivatif angular actant sur les angles theta phi sur la sphère c'est le formula de la place où cet opérateur peut être élevé par 1 over R squared dR, R squared dR dR squared R ou dR dR plus 2 over R dR c'est tout equal et maintenant, je sais que c'est la solution générale de Laplace donc quand vous plugz cette information ici vous trouverez facilement que l'opérateur angular actant sur NL oui, je dois expliquer cet objectif, quand je mets un objectif, ça signifie symétrique trace-free si je contracte un objectif symétrique trace-free par quelque chose d'autre il projette le autre objectif aussi symétrique trace-free donc ce objectif est aussi maintenant, j'écoute un objectif symétrique trace-free pour faire un objectif réduisable puis je trouve que l'opérateur angular actant sur ce objectif a une question différente let's find what is the general solution now of Laplace equals 0 between two shells not regular at the origin but between R1 and R2 I expand it, so what do I do I expand it I write phi equals sum over L of NL I decompose it when I write let me write it I can write it this way as a function on the unit sphere I can decompose in a multipolar series in the symmetric trace-free projection of NL this is equivalent to a YLM decomposition in spherical harmonics when I do that and I use this equation I write Laplace of phi equals 0 I get a differential equation for FL and you find easily that this differential equation has two solutions one which is the well-known R to the plus L, which is regular at the origin and the other one which is 1 over R to the L plus 1 indeed L and minus L plus 1 are the two roots of SS plus 1 equals LL plus 1 you find it's a second order equation for the power of law you know that so the conclusion is that the general solution of Laplace equals 0 between two shells will be of this type where this object FL of R which is symmetric trace-free so it's a tensor with L indices and it's a function of R but I just argued quickly that this function will be the sum of R to the L and 1 over R to the L plus 1 will be a certain symmetric trace-free tensor which is a constant times R to the L plus another thing which is D to the R to the minus L plus 1 now before I had only the first term because the other term is singular at the origin so this is the general solution of Laplace equals 0 between two shells and this is equivalent to so let me write this now let me consider the general solution of Laplace equation in vacuum which is decaying at infinity now I impose the other condition I want something which is regular at infinity now I need to cancel this term because this term grows at infinity ok so I keep only the other term so just to just to understand what we are talking about so this reasoning I propose that the general solution of Laplace equals 0 which decays at infinity is the infinite series over L ah by the way this series on the sphere they converge under weak conditions of differentiability like being C2 on the sphere I remember one day I discussed with Barry Simon I was in Caltech when we were developing this so I asked him can I write this series do they converge Barry and they said ah don't worry you are C2 it's ok anyway physicists don't care too much but it's a weak condition what does it mean this thing to the R L plus 1 if I write it explicitly it means I have an object for L equals 0 which has no indices so it is a constant let's say D0 over R L plus 1 plus I have an object with 1 index Ni over R square plus I have an object with 2 indices which is symmetric and trace free Ni, Nj let me write what is Nij like that it means Ni, Nj symmetric trace free so it means Ni, Nj I must take it symmetric already so what I need is to take away the trace so it's minus 1 third delta ij because N square equal to 1 so you see that the second term a cube plus etc but this is the usual multipolar expansion you know this is the monopole 1 over R this is the dipole di a vector this is a quadrupole an object symmetric trace free with something there so you recover the usual multipolar expansion but one can write even better in the sense that there is a useful formula which is that elf repeated derivative of 1 over R ok without doing any calculation what do we know about this 1 over R satisfies Laplace of 1 over R equal minus 4 pi delta but this means outside the origin 0 outside the origin so it is harmonic if I take derivative of an harmonic function it is again harmonic so this thing will be by dimension 1 over R to the L plus 1 N is harmonic therefore it must be one of the harmonic functions I have written there and indeed if you do a calculation you just need to find what is the coefficient in front it's minus to the L by the way yeah I never understood why for 50 years when people write they write always minus 1 to the power L you don't need the 1 it's the sin minus to the power L but it means ok so it's minus to the L 2L minus 1 double factorial what is a double factorial a double factorial means you do only half of the thing like double factorial 5 is 5 times 3 times 1 ok double factorial 7 is 7 times 5 etc ok you don't make half of them it should be a half factorial but it is a double factorial NL which means the generalisation of this with many indices you take the product, you take away all traces divided by R to DL plus 1 ok and therefore modulo a change of notation by absorbing this factor in D this thing can be written sum over L slightly modify DL which is still symmetric trace 3 DL of 1 over R now we have something which is very easy to understand because finally the general solution of Laplace equals 0 outside the source is simply the repeated derivative of 1 over R which is evidently harmonic and it is symmetric trace 3 with some tensor in front and as this is symmetric trace 3 the tensor is projected to be symmetric trace 3 so this can be generalized ok yes so now let us apply so these are field multiples in the sense I said maybe I am discussing in fact I am now discussing this equation not Laplace equation but Poisson equation which means the source and I put a minus 4 pi because I remember the delta so I prefer to put the minus 4 pi the green function let me actually write this better the green function for Laplace equation is 1 over X minus Y in the sense that this is equal to minus 4 pi delta function 3 dimension X minus Y ok because of this I can solve Poisson equation as Poisson discovered long ago here in France by writing that phi of X is equal to the integral over space so now let me draw I have a source and I consider a point inside the source I call Y I consider a point X outside the source I compute the solution phi of X outside the source as a function of the density in the source so I just have the Poisson integral which is rho of Y divided by 1 over X minus Y ok but now this is a function of X and Y where Y the origin is here I take the origin here if X is outside the source this distance Y is smaller than 1 compared to X the ratio of Y the distance compared to X therefore I can expand this in a convergent series in powers of Y it's an analytic function and then it converges in this domain but when I do that what do I get actually so let's write this I have Taylor's theorem which says that 1 over X minus Y you see the advantage of this notation is that things becomes very simple 1 over X I mean they look simple 1 over X minus Y can be written as sum over L of minus because there is a minus here to DL Y to DL DL of 1 over X ok this is as if Y was you know one variable and you were expanding 1 over X minus Y except that this means tensor with L indices this means repeated derivative but this is correct this is Taylor's theorem with L variables it's more elegant this thing here I will get that Phi outside the source so now I take it outside is equal to sum over L from 0 to infinity of minus 1 to DL over factorial L times m hat L DL of 1 over X but this is plus of X is what I call before R so this is DL of R so it's the same it's exactly what I was writing here this thing here is this thing and therefore the coefficient I have in front is what I was calling before the field multiple moments what parameterizes the field in multiple experiments but now it is expressed in terms of the source so I have the result I wanted the result is that the field multiple correct tensor ML is when I consider this I put the coefficient then you find that this is the usual well-known formula it's D3Y inside the source because this has compact support in the source times YL you see this is the simple formula we all know the multiple moments is the integral over the source of the density times I repeat Y1 for the dipole YI YJ but I take away the trace it's just generalization for any L ok and if L equals 0 I have what the total mass if L equals 1 I have the dipole moment of the source if L equals 2 I have the quadrupole moment of the source ok now let me make the connection between these expansions and Legendre polynomials and YLMs actually there is something nice that I discovered when reading Maxwell because the book of Maxwell has very nice insights about physics in general and multiple expansions and why are they called multiples because actually what Maxwell does he says let's consider the general solution of Laplace equals 0 which dk is at infinity and he is saying the general solution will be obtained as follows I take on the sphere ok each vector ok you take a first vector that you call d for dipole ok because what is a dipole a dipole is an infinitesimal displacement between a minus charge and a plus charge so it is a direction ok let me normalise this direction to something so it defines also on the unit sphere it defines where this dipole pierces the sphere so it defines a point on the sphere but now let me take other points ok so I take points on the spheres which means vectors d1, d2 for instance they can be unit vectors but we can put a norm later ok I take L of them then Maxwell explicitly ok I take this vector I take the first vector I make the product so it's a tensor product of L vectors ok I contract this with the L derivative of 1 over r ok this is harmonic ok so this is this is also an harmonic function which depends on what ok 1st if I write it it is 1 over rL plus 1 just by dimensional analysis therefore on top of this I will have a polynomial which depends on L vector but a polynomial in N the unit vector on the sphere ok if I take all those vectors coincident at one point so I take the same vector this polynomial is the Legendre polynomial where the z axis is the Legendre axis ok but if I take them arbitrarily I get a polynomial for instance if I take L equal 2 you find that P2 for 2 vectors if you do the computation is 1 half of 3 d1N the scalar products d2N minus d2N which is a contraction of the tensor product of the two vectors times 1 half of 3 N iN j minus delta i j and now you see immediately the 3 minus 1 this is the Legendre polynomial if the d are in the z axis ok but here we have a generalized Legendre polynomial which depends on vectors on the sphere and now if you take Ok, on va prendre tous les vectors unis, simplement pour qu'ils soient sur la sphère. Sur la sphère, j'ai choisi des points L. Ok, 1, 2, 3, L. Comment beaucoup de data j'ai ? Un point est deux coordinates theta5 sur la sphère. Si j'ai des points L, j'ai deux paramètres continuous de L. Je mets une magnitude en front, normalisant le facteur. Il donne 2 L plus 1 paramètres arbitraux. Ici, j'ai un objet qui contient 2 L plus 1 paramètres arbitraux, qui est harmonique, qui satisfait le tout. Et puis, en fait, c'est la solution la plus générale de la plastique. Et c'est la façon dont Maxwell est paramétrisant un multiple. C'est pourquoi ils sont appelés multiples, parce qu'ils sont faits de pols. L pols, ok, sur la sphère. Maintenant, qu'est-ce qui est le lien entre celui-ci et l'un des normes YLM ? Donc, j'ai juste dit rapidement, que si je prends tous les vectors... Oui, donc, expliquez-moi les choses. Ce qui est confusant sur les YLMs, c'est que quand vous avez des expansions multiples comme ça, vous paramétrisez-les par une tension de frein symmétrique, sans écrire cette tension. Cette tension est une tension générale dans un espace linéaire. Cette espace linéaire a 2 L plus 1 dimension, parce qu'il y a beaucoup de conditions. Mais vous ne devez pas écrire ça sur un basis. C'est comme quand vous faites une géométrie, vous pouvez dire que vous avez un vector V. Vous ne devez pas dire que vous avez un Vx, un Vy, un Vz, avec des numéros explicits. Vous travaillez abstraquement. Et l'approche STF est comme ça. Si vous dites que vous voulez exprimer des choses dans les X, Y, Z axes, ok, alors vous choisissez un basis. C'est la chose des YLMs. Le business de YLMs est de choisir un basis de la possible tension de frein symmétrique à rank L. Et la façon dont vous choisissez le basis, c'est la suivante, c'est le Maxwell Way. Vous utilisez L-poules sur la sphère. Mais qu'est-ce que ces poules? Elles sont obtenues dans la suivante façon. Tout d'abord, vous devez choisir un axis EX, EY, EZ, en sphère. Alors vous devez dire, ok, je vais prendre un axis X, Y, Z. Maintenant, vous devez appeler EZ, vous devez appeler E0, juste pour le plaisir, parce que 0 signifie qu'il a 0 élicité dans le sens que si je fais des rotations dans le plane de X, le axis Z ne bouge pas, ok? Donc, comme représentation du subgroupe de rotation dans un plane de 2 dimensions, c'est un eigenvalue 0, ok? Y, si je veux quelque chose qui est un bon eigenvector dans le plane de X, j'ai besoin d'une combinaison complexe qui, traditionnellement, est définie comme ça. Donc, c'est maintenant EX plus ou minus I, EY par la route square de 2. C'est juste une normalisation. C'est aussi une normalisation pour une raison historique. Maintenant, le plus et le minus sont dans le même ordre comme l'EY, avant qu'ils ne soient pas dans le même ordre, ok? Donc, c'est un vector complexe qui n'est pas, par contre. Ces vectors sont comme qu'ils sont isotopiques, square. Mais encore, formule, vous pouvez considérer par utiliser ces formules qu'un YLM est obtenu par prendre l'HELPOL, vous utilisez ces formules, vous voyez? Vous définissez une solution de la plate-équation par activer sur ça, parce que mathématiquement, ce sont les mathématiciens qui savent que un vector est un opérateur différentiel, en fait. Ok. Et donc, je prends des vectors actifs sur 1 over R, successivement. Donc, vous avez le vector EZ, vous avez le vector EZ, donc, let's check this, sorry, EZ, which I call E0, you take it L minus M times, and then you take the vector E plus 1, that you take M times, which means that I write this formula and here L minus M of these vectors are E0 and M of them are E plus 1, ok, in this formula. It defines a solution, anharmonique solution. This thing is proportional to, so let me write this, this object when I act this way, so this differential opérateur, even mathematically I could say I act with E plus 1 as a vector, as a differential operator M times, ok, and E0 L minus M times, I act on 1 over R and modulo a coefficient that I don't want to write here. This thing is YLM of theta 5, ok, the usual spherical harmonics and, but in explicit form, YLM means it is an object which is a polynomial with L indices in NL, ok, with my notation. So, the conclusion is that the usual YLM they define and how many of these do I have? I have 2L plus 1 because M goes between minus L and plus L, ok, that's the usual thing. I've, by the way, written the formula for positive M. One needs a formula with minus 1 for negative M. The point I want to make here is that the usual YLMs, if you open a textbook Landau-Liffschitz or the book of Michele Maggiore, you will find definition of YLMs. These things can be written as polynomials like this, like Legendre is a polynomial in N, contracted with the vectors in front. Therefore, this defines a symmetric, this thing is a symmetric trace-free tensor and the set of 2L plus 1 for given L and M varying between minus L and 1, so I have 2L plus 1 tensors, symmetric trace-free tensors and these tensors is a basis. It's an orthogonal basis with respect to the integral over the sphere of the set of independent symmetric trace-free tensor in this 2L plus 1 dimensional space and therefore the conclusion is that what is confusing with when you expand multiple expansion in YLM is you are doing two things. You are expanding intrinsically in terms of representations but you are also computing the components of this representation in a specific basis which actually confuses the thing more than I find personally. Now, let's go, this was Laplace equation and Poisson equation. We are interested in Einstein's equations but I have explained this at length just to say how you use this technology to compute the multiple expansion for linearized gravity for Einstein's equation. And, let me repeat, it's a surprising fact that this was first done by me and Bala Ayer here in 91. It did not existed correctly in the literature and not in the, there was something which was wrong and not in STF tensors. And this, why do I explain this? Because this multiple expansion in linearized gravity is the basis of what is used for non-linear gravity. Ok? And all the calculations in the Blanchet d'Amour Ayer formalism they have been done using the non-linear version of what I am going to present. I should not have erased this. So, what I have explained for the Laplace equation, the Poisson equation, now we do for Einstein's equation. Ok? But first, we have to do it for the, how is it called, the Klein Gordon or the, for the relativistic massless scalar field, that is to say, let us consider the equation which is the relativistic Poisson equation, which is this equal minus 4 pi S tx. Ok? So, you take, I should not have erased this. In spacetime, you take a source which is spatially, with spatially compact support. So, it persists in time, but it moves in space, sorry, it does not move on average on space, it is zero here, non-zero along the tube, like that. Ok? Now, how do you, and we are interested in the retarded solution. Ok? The retarded solution is obtained by phi is the retarded green function convoluted with the source, S, where the retarded green function has a function of two points in space and time. So, the retarded green function is a function of a point in spacetime here, which has a time component and a space component. And I'm going to have here a, so this is a field point, this is a source point. Ok? The green function, TYY, is equal, as everybody knows, is the retarded potential, it is delta TX minus TY minus, for the retarded thing, X minus Y divided by C, divided by X minus Y. So, you have the usual Poisson 1 over R, but you have the retarded propagation at the velocity of light, we are in a four spacetime dimension, this is well known. Now, but now, and therefore, what you want, you have a source here. So, you compute this convolution, so you say ok, the integral will be over the light cone, so I will have an integral here. But now, how do I expand in multiples? What does it mean multiples? But remember, multiples, it's written here. For the Laplace equation, it was very simple. Multiples, where a sum over repeated special derivative of the basic harmonic function 1 over R. Ok? Can I write immediately what will be the form of a general multiple expansion? Yes, because outside the source, phi, also function t of x, will be a sum over L from 0 to infinity. I can conventionally, it's convenient to keep the same, this is just a numerical factor, but this way, it takes away numerical factors later. Of what? I want now something which is a solution of d'Alembert equals 0. Which is now emitted by the source. So it is like a function. What is the basic function of t and R emitted by the source? We all know this. This is F of t minus R over C divided by R. Ok? This is a retarded wave emitted by a line. Ok? So if I consider this and I take L special derivative of this, this is a solution of d'Alembert equals 0. So if I put L indices here, it's still a solution. And therefore, I expect that the general solution will have multiples defined by symmetric trace-free tensor. So F is something with L indices and symmetric trace-free. But it's also a function of time and I write it as function of t minus R over R. Therefore it is a solution of what I want. And now, first you prove that this is true. C'est-à-dire, le retarded solution que vous compuyez par la function peut être expliqué de cette façon. Mais la chose importante c'est que vous voulez que vous compute. Qu'est-ce que c'est fL en termes de source? Ce qui est l'analogue de la formule ici qui dit que l'ML était l'un des multiples intégrés sur la source. Mais maintenant, tout est dépendant de temps. Donc ça devient une calculie non trivial. Et c'est la calculie qui a été faite par Luc Blanchet et moi-même en 89. Et l'un obtient une simple answer finale mais pas aussi simple que l'autre. Il y a un petit truc. Et la réponse c'est fL c'est une answer symétrique avec l'indice c'est une fonction d'une variable temps et en fait je vais write une formule qui est la même chose. fL est un intégré sur la source d3x par contre maintenant juste pour la simplicité je n'appelle y je n'appelle x mais x est y je suis dans la source d'une fonction s bar l qui est la fonction de tnx xl Donc c'est la même formule que cette formule. Je prends plusieurs moments comme les moments quadruples symétriques mais j'ai une certaine source sl qui n'est pas s donc ce n'est pas la source rôme c'est un peu modifié mais c'est s bar l donc j'ai cette formule et s bar l qui est la fonction de tnx est equal à un intégré entre minus 1 et plus 1 par contre une variable d3x de delta l de z par contre la source l'un qui est ici la source réelle ok mais computé à x t plus z x par contre c x où ici vous avez un avantage entre donc vous êtes en train d'établir des choses en temps t la variable t prime dévié de t par quelque chose entre minus r de c et plus r de c la raison physique est que d'ailleurs si je compute t et t c'est ici j'ai des fluctuations qui sont la saison dans la source donc je dois avancer au time dans la source et delta z est une fonction qui est C'est un avantage. L'interroge de delta L de z d z entre minus 1 et plus 1 est equal à 1. Pourquoi est-ce qu'il s'appelle delta L ? Si tu prends L très large, cette fonction delta L ressemble à une fonction delta. Dans le sens où, pour large L, elle est concentrée autour de 0. Elle reste entre minus 1 et plus 1. L'arrière ici est 1, mais elle est concentrée autour de z equals 0. La formula explicite est très simple. Il y a un coefficient numérique, qui est 2L plus 1 double factorial divisé par 2L plus 1 factorial L. C'est juste coefficient. Times 1 minus z square to the power L times the step function of 1 minus z square, which means it is 0 outside this interval. Donc, vous voyez, il dégage exponentiellement quand z is different from 0 by 1 minus z square to the power L when L is large. Donc, c'est un formula très convainc qui permet d'expliciter les moments relatives pour l'escalier massif. Et c'est ce formula que maintenant, vous appliquez pour le solver. Vous voulez solver essentiellement la même équation, d'exception que vous allez ajouter des indices. Si vous voulez solver une équation Maxwell, vous dites que la source est J mu, la courante pour vector. Si je solves l'Einstein équation, j'aurai deux indices, nu nu. Mais pour chaque solution, je peux utiliser ce formula. Mais il y a quelque chose d'autre. Donc, je vais discuter ceci rapidement. Je vais discuter. Dans le papier avec Bala, nous avons fait ça pour l'électromagnétisme et la gravité. J'ai immédiatement fait la gravité parce que j'ai 15 minutes. Et je vais mettre ça. Juste la question. Dans ce formula, quand vous appliquez le dérivé d'un L, vous avez tous les pouvoirs d'un L. Dans le point où le R est dans l'FL. Oui, quand vous différenciez ceci, la puissance maximum est 1 d'un R à l'un plus 1. Et le minimum est quand vous différenciez dans le temps. Mais, d'ailleurs, c'est pourquoi ceci est une courante, parce qu'il a une composante quand l'R va à l'infinité, le termaine du délicat qui déclare plus lentement est le termaine de 1 d'un R. Le termaine de 1 d'un R à l'un plus 1 qui déclare plus lentement est le termaine de 1 d'un R. Et donc, à l'infinité, ceci est un 1 d'un R à l'un plus 1 qui contient le temps dérivé de l'FL. Et c'est ceci dans tous les jours, point carré et long-jevain qui s'appelle l'accélération de l'avion. C'est l'avion qui est 1 d'un R, qui radiate. Donc, c'est un avion aussi. Ce n'est pas seulement un multiple dans le sens statique. C'est un multiple de plus de plus de plus de plus de plus de plus. Maintenant, quand vous appliez ces deux gravités, vous devez utiliser l'équation de Einstein, l'équation de l'analyse de Einstein. Si vous utilisez ces équations, et comme j'ai expliqué avant, si vous allez au gage harmonique, vous vous rappelez que j'ai défini h bar mu nu, c'est h mu nu minus 1f de h eta mu nu. Le gage harmonique d'un gage, l'équation de Einstein, si je le dis en termes de l'analyse de h bar mu nu, c'est minus 16 pi g over c4 t mu nu. Ok? Donc, vous avez exactement une séparation de la équation de la source. Donc, je peux appliquer cette formule immédiatement. Mais si je fais ça, je vois que l'équation de h bar 0, 0, a une source de scale, t0, 0. Donc, je peux faire cette formule pour... maintenant, je vais faire ce qu'il faut. Donc, l'équation de h bar 0, je vais faire comme le sum over l d l, d quelque chose qui serait comme fl t minus r d r, où cette fl est obtenue avec le t0, 0 replacant la source s. Ok? Et, cette fl sera donnée comme fonction de la source par cette formule, où s est t0, 0. Ok? Donc, ça ressemble à quelque chose qui est généré par t0, 0. Mais, si je fais la même formule avec h0, i, je le fais, en premier, naïvely, dire que je vais juste mettre les indices. Les indices sont là, c'est 1, 2, 3. Ok? C'est juste un numéro. Alors, je peux faire la même chose. J'ai encore une formule où j'ai un dl. Mais maintenant, le objectif, qui est ici, va avoir des indices l, comme ça. Mais il y aura un index x, index i, venant de la source, parce que la source s sera maintenant d t0, 0. Juste, j'ai un index qui s'étend. Ok? Donc, je vais avoir quelque chose qui contient un index i et l, c'est la solution de t-r par c, par c, par r. Ok? Je le fais, encore pour h, i, j. J'ai la somme, mais maintenant, j'ai la source, t, i, j. J'ai deux indices, mais donc, j'ai la même formule, mais j'ai h, i, j, l, t-r par c, par r. Ok? Donc, vous pouvez dire, ah, ok. Donc, j'ai expliqué la solution de Einstein's de multiples. Ils ressemblent à multiples, mais ce n'est pas multiples, parce que la définition de multiples est une représentation irréducible de la groupe de rotation. Mais maintenant, ce qui est irréduciable, comme je l'ai dit, c'est un tensor symétrique avec des indices l, considérez cet objectif, g, i, l. Maintenant, dans les mécaniques quantes, vous direz, je veux dire, comme un tensor, c'est le product tensor d'un vector, comme un élément de l'espace, x, quelque chose qui est un tensor symétrique avec des indices l. Ok, c'est un tensor, j'ai ajouté un index. Dans le terme de mécanique quantes, ou, pardon, dans le terme mathématique, cela correspond à la représentation d'un tensor d'l. L était une transformation irréduciable, mais maintenant, je fais un product tensor. Ce n'est pas irréduciable. Donc, je dois décomposer ceci en tensor irréduciable. Mais, techniquement, qu'est-ce que ça veut dire? Ça veut dire, j'ai cet objectif, et je veux l'écrire comme des blocs de construction de tensor symétrique. Et, c'est facile de le faire, parce que, pour exemple, vous pouvez dire que c'est, d'abord, je prends la projection symétrique. Donc, c'est partie de la chose. Et puis, le reste sera, quoi ? Le reste, vous trouvez, peut être expéré en termes qu'est-ce que le tensor invariant de tensor 3. J'ai deux tensor invariants de tensor 3. J'ai le tensor Lévi-Civita et j'ai delta ij, la métrique. Donc, vous buildez de ces objets, blocs de tensor invariant que vous pouvez faire avec ces objets. Et, vous les fréquentez symétriques, et puis vous reconstruisez l'objet. Donc, à la fin, vous pouvez écrire, je n'ai pas la formule détenue ici, mais vous utilisez le epsilon. Ici, vous faites un objectif intermédiaire, qui, oui, je dois le dire. Dans les mécaniques quantes, nous savons que ceci est dL plus 1 plus dL plus dL minus 1. Qu'est-ce que ça veut dire dans les transformations symétriques ? C'est la formule normale pour la addition de spin. Et donc, ce qui veut dire est que cet objectif, qui n'est pas irréduciable, devrait être le summe d'un tensor qui a L plus 1 irréduciable. Donc, il devrait être une transformation symétrique avec L plus 1 indice. Il devrait contenir une partie qui est faite d'un tensor symétrique avec L indice et une partie avec L minus 1 indice. Le objectif avec L minus 1 indice est très facile d'imaginer. Il est obtenu par la trace. J'ai un objectif ici qui a L indice ici et 1 indice ici. Si je fais un trace, ce qui veut dire que je prends l'indice de L minus 1 alive, ok? Et une de l'indice L, je l'appelle S et je fais le summe sur S. Donc, si je prends un trace entre... Ok, je vais le faire. Si j'ai GK, pour exemple, ok? Si je prends le trace GSSK, j'ai un vector qui est... si j'ai un autre index, j'ai un tensor. Comme c'était une trace symétrique avec respect à ces indices, c'est une trace symétrique de l'indice que je n'ai pas trace. Donc, cette opération immédiatement me donne un objet qui est dans cet espace. Ok? Maintenant, pour obtenir un objet qui est dans cet espace intermédiaire, j'ai besoin d'utiliser le epsilon. Parce que le epsilon, tu contrates des choses, mais tu as 3 indices, tu contrates 2. Donc, finalement, tu as des indices que tu commences avec. Et donc, il y a un formula d'indices ici, comme tu as A, B, tu as A ici, un B ici, tu as L-1, tu as un I, et puis, ce I, tu le parles I, L, et tu prends une trace symétrique entre ce et ce, et tu mets le epsilon devant, et puis, le dernier objet est celui-ci, qui est un objet avec juste des indices L-1, et tu mets delta ij, i1, i2, et puis, et puis, ceci, finalement, les indices L-1 ok? Donc, c'est juste un simple algebre, mais, cette chose d'abstractique est très concrètement réalisée de cette façon. Et, je vais jeter le résultat final, le résultat final, 5 minutes, jeter le résultat final, ce qui est ce que j'ai voulu y avoir, c'est que, à la fin, donc, ici, j'ai beaucoup de multiples, par exemple, quand j'ai un field scaler, la expansion multiples contient une séquence infinie de multiples moments, comme, il y avait un monopole, un dipole, un quadruple, mais, juste un dipole, un quadruple, ok? J'ai une séquence, un squeleton, comme ça, de l'objet. Ici, j'ai un monopole f0, j'ai un dipole, j'ai un quadruple, qui vient de l'F type. Ici, j'ai, again, g i, qui est un vector, j'ai g ij, donc, j'ai beaucoup d'objets, ici. Actuellement, beaucoup d'objets, tu peux ganger, comme tu l'as dit, maintenant, tu shameless pas les équations, ces équations sont encara sous la transformation ordinate. Si je respecte le gage harmonique, ça veut dire que l'on est maxime, ok? Mais, que est la solution générale de delta à maxime? C'est, encore une expérience multipole. Je peux décomposer la solution générale de ces multiples. Il me donne 4 types de multiples, parce que j'ai un index ici, 1, 2, 4. Donc, de cette façon, je peux supprimer, j'ai pu gager les multiples. Et à la fin, vous trouverez que la solution générale de Einstein peut être élevé en termes seulement de deux types de multiples, qui sont les multiples masses et les multiples de spin. Et je vais finir par écrire la formule explicite. Donc, h bar 00 est 4G over c². Sum over L, vous gardez ça juste pour que, dans l'approximation de Newtonian, ce sont les multiples usuales de la source, c'est juste une convention de normalisation. C'est dL of IL of U over R, where U means T minus R over C, where now these capital letters denote the field points. Plus gauge termes, so plus dxi, d0xi0, a general gauge termes, which has itself multiple expansions. H bar 00I has minus 4G over c³. Sum of minus L over factorial L dL minus 1, so it's a repeated derivative with L minus times. The time derivative of this multiple, so this multiple appears here, not differentiated in time, and here it appears with L indices this way, divided by R. Then there is an extra multiple, which appears c³. Sum over L minus LL, divided by L plus 1 factorial L, epsilon IABDAL minus 1, JBL minus 1 of U over R. Let me write and then I will plus gauge termes, plus d0xiI plus dixi0. Hij bar is equal to plus 4G over c³. Sum minus L over factorial L dL minus 2. Second derivative of this multiple, the same object with ij L minus 2 of U over R. And then there is a term with Hg over c³. Sum of minus L over L, L plus 1 factorial L. I refer for the paper to have the correct formula, but just let me write epsilon ABIJG dot derivative BL minus 2 U over R. Which means that I have expressed the general solution of linearization equation outside the source in terms of two sequences of multiple moments, IL and GL. And then you have explicit formulas that I will write here for these multiple moments as a function of the source. And this was the main result of this paper with Balas. And you will recognize what they mean. So anyway, it's a theorem, it's just a result. ILU is an integral over space, over the source. There is the integral over Z because there is always this delta L of Z. And then here you have something. Let me define. It's convenient to define the sum T00 plus TSS over c². And then sigma I is T0I over c. It's just a notation, the sum of T00 and the trace. Because the main term here you find is delta L, which is delta L of Z that I have defined here. XL, which means multiple moments of what source, of the source sigma, taken at the same argument that appeared here. The argument has to be shifted by Z. So I indicate this by a tilde, but this means this formula. So this gives the usual Newtonian multiple moments when I neglect 1 over c because I can expand this is 1 over c. But I have more terms now. 4 times 2L plus 1 over c², it's a 1. L plus 1, 2L plus 3, sorry. Yes, I remember 2L plus 3. Delta with index L plus 1, it's a function of Z. XL time derivative of the T0A plus 2 2L plus 1 over c4. L plus 1, L plus 2, 2L plus 5, delta L plus 2, XABL, second time derivative of TAB. OK? Source, and then I will not write the full thing, but we have a similar formula for GL of U, except I will write just the first term. It's STF projected over L and the first term is delta L XL minus 1 epsilon IL AB XA sigma B. OK? Minus a term with delta L plus 1. OK? Time derivative of TBC. OK? So these are explicit formulas, which if you take something which is static, which does not depend on time, these formulas reproduce the usual multiple moments. What happens here is that here you recognize what is this thing? This is the cross product. It is XA. So it is X cross T0I as a vector. OK? But T0I is the momentum density locally. So this thing is X cross P. It's the amount of momentum in a small volume. So this is the angular momentum density. So this object is a multiple moment of the angular momentum density. That's why these objects are called J. If I take only one index, this quantity is the total angular momentum of the source. If I take more indices, it is a multiple moment associated to the current of momentum. So that's why it's called a spin moment. If the source rotates, I have moments of this type. If the source does not rotate, I have only mass type moments. OK? OK, let me stop here. So this is the basis for being able to compute in non-linear generativity, but now I was in linearized gravity. But this is the starting point of the wave. I have written the explicit formula which gives the decomposition in irreducible representation of SO3 of the general wave emitted by a source in linearized gravity. OK, thank you for your attention. Everybody is dead, yeah, Natalie. But you can choose your gauge now, completely. Yes, so I am in harmony gauge here. This is an harmony gauge transformation that can gauge away. And then you go in what is called a canonical harmony gauge where the metric is only expressed in terms of two types of multiple moments. Mass and spin, yes. No, no, no, all these things, yeah. The technical thing to compute these, they are obtained by going changing the gauge. No, these are gauge invariant objects, yes, sorry. These multiple moments are canonically fixed. They express the physical degrees of freedom which are radiated. For instance, later we will find that the amount of energy and angular momentum emitted by the system is a function of these two types of multiple moments. These are physical things. They generalize the lowest order quadrupole formula of Einstein. Einstein said, at lowest approximation, the wave is a quadrupole object and the energy flux is a function of this quadrupole. Here we are saying the wave is decomposed in mass quadrupole, mass octupole, etc. And also spin quadrupole, spin octupole. And the energy loss is the sum of square of derivative of the mass octupole, mass quadrupole, spin, etc. They are physical objects.