 en los vídeos anteriores hemos visto que los polinomios los podemos sumar y multiplicar entre ellos en este vídeo os mostramos que también los podemos dividir una división que se parece a la división habitual y que tiene el mismo nombre división euclidea primero os recordamos la división euclidea de dos números naturales sean a y b naturales y sabemos sabemos que existen números enteros positivos c y de tales que a es igual a b c más de y de es estrictamente inferior a b además el par c de es único y se dice que c y de son el cociente y el resto de la división euclidea de a por b consideramos el ejemplo siguiente vamos a dividir 125 por 7 primero restamos 7 de 12 luego restamos 7 veces 7 igual a 49 de 55 y obtenemos 6 ahora ya que 6 es estrictamente inferior a 7 concluimos que el cociente y el resto de la división euclidea de 125 por 7 por 7 son iguales a 17 y 6 respectivamente a continuación vamos a ver que hay una división muy similar para los proposición sean p y cu polinomios existe un par de polinomios s r tal que p de x es igual a s de x reces cu de x más r de x y además el grado de r es estrictamente inferior al grado de cu el par así definido es único del mismo modo que para los enteros se dice que s y r son el cociente y el resto de la división euclidea de p por cu consideramos unos ejemplos antes de seguir con el caso general sea p igual a x cuadrado más x más 1 y sea cu igual a x suponemos que trabajamos en el cuerpo de los números reales queremos dividir p por cu la meta es de bajar el grado del polinomio p hasta que obtenemos un polinomio de grado cero o menos infinito es decir estrictamente inferior a uno que corresponde al grado de x entonces nos concentramos nos centramos sobre el término con el exponente más grande es decir x al cuadrado y vemos que si multiplicamos x por x obtenemos x al cuadrado que restamos de p y así obtenemos el polinomio x más 1 consideramos de nuevo el término con el exponente más grande esta vez corresponde a x y restamos una vez x del nuevo polinomio para obtener uno el polinomio igual a uno es un polinomio de grado cero y así concluimos que el cociente y el resto de la división de p por cu son iguales a x más uno y uno respectivamente otro ejemplo con nuevos p y cu y siempre en el cuerpo de los números reales nos centramos en el término con el exponente más grande y notamos que si multiplicamos cu por x cubo y restamos el resultado de p obtenemos un polinomio de grado estrictamente menor que el grado de p de manera general sean p y cu polinomios arbitrarios y consideramos la división euclidia de p por cu primero notamos que si el grado de p es estrictamente inferior al grado de cu entonces podemos deducir que el cociente es igual a cero y el resto es igual a p ya que p es igual a cero veces cu más p y el grado de p por su posición es estrictamente inferior al grado de cu sino si el grado de cu es más grande seguimos con el algoritmo anterior sin p de generalidad asumimos que a n es diferente de cero y consideramos el término con el exponente más grande en la expresión de p la meta es de quitarlo restando un polinomio que se obtiene como producto de cu y de un polinomio que tenemos que identificar de hecho a n menos 1 b n b m x a la potencia m menos n si multiplicamos este polinomio por cu y lo restamos de p obtenemos un nuevo polinomio de grado m menos 1 de manera general sean p y cu polinomios arbitrarios y consideramos la división euclidia de p por cu primero notamos que si el grado de p es estrictamente inferior al grado de cu entonces deducimos que el cociente es igual a cero y el resto es igual a p ya que p es igual a cero veces cu más p y el grado de p es estrictamente inferior al grado de cu por su posición sino si el grado de cu es más grande seguimos con el algoritmo anterior sin pérdida de generalidad asumimos que a n es diferente de cero primero consideramos el término con el exponente más grande en la expresión de p y intentamos de quitarlo restando un polinomio que se obtiene como producto de cu y de un polinomio que tenemos que identificar de hecho este polinomio es igual a n menos 1 b m x m menos n en efecto si multiplicamos este polinomio por cu y lo restamos de p obtenemos un polinomio cuyo grado es estrictamente inferior al grado de p seguimos del mismo modo con el nuevo polinomio y aquel grado del polinomio del lado izquierdo siempre baja podemos concluir que siguiendo así obtendremos un polinomio cuyo grado es estrictamente inferior al grado de cu y entonces tendremos el cociente y el resto de la división euclidea de p por cu bien nos damos cuenta de que todo esto podría no ser muy claro para algunos de vosotros y os animamos de trabajar con ejemplos para tener una idea concreta de lo que pasa bien seguimos con la demostración de unidad es decir vamos a mostrar que el cociente y el resto definidos para la división euclidea son únicos supongamos que no y sean ese erre y ese prima erre prima dos pares que satisfacen la igualdad de la división euclidea restamos una igualdad de la otra y deducimos que ese menos ese prima cu más erre menos erre prima es igual primero notamos que si ese y igual a ese prima entonces erre es igual a erre prima y del mismo modo si erre es igual a erre prima entonces ese es igual a ese prima así podemos asumir que los polinomios ese y ese prima y erre y erre prima son diferentes entre ellos ahora vamos a considerar el grado de estos polinomios sea de ese el grado de ese menos ese prima de cu el grado de cu y de erre el grado de erre menos erre prima dado que ese menos ese prima y erre menos erre prima son no nulos deducimos que de ese y de erre son diferentes de menos infinito además sabemos que de erre es inferior al máximo de los grados de erre y erre prima y que los grados de erre y erre prima son estrictamente inferiores al grado de cu esta es estoy en la división de la definición de la división euclidea bien y ahora estamos listos para concluir por un lado el grado del polinomio siguiente es igual a de ese más de cu y entonces es diferente de menos infinito por otro lado ya que este polinomio es igual a cero deducimos que su grado es igual a menos infinito hemos llegado a una contradicción lo que nos permite de concluir que ese y ese prima y erre y erre prima deben ser iguales entre ellos pregunta os pedimos de hallar el cociente y el resto de la división de p por q entre las opciones siguentes os damos un momento bien espero que hayáis visto que la tercera opción es la correcta y acabamos el vídeo con un ejercicio os pedimos de calcular la división euclidea de p por q donde p y q son los polinomios siguientes