 Merci d'avoir tenu jusqu'au bout, et j'en reste quatre. Alors, aujourd'hui, je vais vous présenter l'argument en fait central dans la démonstration du théorème que j'ai mentionné depuis le début. C'est-à-dire, c'est un argument qu'on a inventé avec Yves Benoit, et quelque part, tout le reste s'est brodé autour, c'est-à-dire que le reste, c'est des choses assez classiques. Il y avait deux arguments qui sont neufs dans ce travail. Il y en a un qui est celui qui a montré que, si nu, ne chargez pas les points, alors nubé, ne chargez pas les points, et puis il y a ce deuxième argument. Le reste, c'est des constructions qui sont assez classiques à partir de ça. Vous avez eu raison de venir jusqu'au bout, parce que c'est ça qui est nouveau. On a appelé ça la dérive exponentielle. Je vais vous redire où on en est, et ça sert à combler le trou. La dernière fois, j'ai annoncé une proposition. J'ai dit que je la montrerai aujourd'hui, et donc je vais la redonner. Donc, la situation, c'est la suivante. G est un groupe de lits. Lambda est un réseau de G, et mu est une mesure de probabilité sur G. Donc, je devrais toujours x égager sur Lambda. Mu est une mesure de probabilité sur G à support compact, et donc aujourd'hui, on va voir exactement où ça sert. A chaque fois que j'ai mentionné cette hypothèse, c'est pour dire aussi tôt que je n'en avais pas besoin, mais aujourd'hui, on va voir à quel endroit elle intervient. Et je suppose que si je note gamma-mu, le sous semi-groupe fermé engendré par le support de mu, je note ça comme ça, comme ça, c'est pas si c'est sous mu ou semi-groupe, mais ça n'a pas l'importance de ce que je dis. L'action adjointe de gamma-mu, qui est maintenant un sous semi-groupe du groupe linéaire de l'Algebe de lits, a une adhérence de Zarizki semi-simple, sans facteur compact. C'est un trou. Donc, ça, c'est les hypothèses. Et maintenant, je me donne une mesure de probabilité, donc à chaque fois, ça veut dire mesure de probabilité borélienne, sur x, qui est mu stationnaire et est ergodique, c'est-à-dire c'est un point extrêmement parmi les mesures de probabilité stationnaire. Et je veux montrer, donc il y a une hypothèse de non-dégénérescence, dont on a pas mal parlé pendant les précédentes séances. Je suppose que quel que soit x dans x, la mesure de la L orbite de x est nulle ou L, c'est le centralisateur d'Angers de gamma-mu. Donc, quand il n'y a pas de centralisateur, quand le centralisateur est discret, je suis juste en train de dire que la mesure n'a pas d'atome. Voilà, et d'ailleurs j'ai pas mal parlé de ce qui se passait quand le centralisateur a été discret. Il y a une complication technique en général, c'est qu'il faut tenir compte d'un éventuel centralisateur, et c'est ça la bonne hypothèse. Et alors, je vous rappelle que à la situation dont je viens de parler, j'ai associé donc B, je note toujours B, qui est l'espace des suites indexés par les éléments de G, des suites à coefficient d'Angers, pardon, beta sur cet espace qui est la mesure produit, et j'ai noté aussi B donne VB, donc c'est une application qui va de B dans les mesures, pardon, les sous-algèpes de l'I, admis le potent de l'algèpe de l'I de G, qui est défini comme étant l'espace qui a la somme, des espaces qui apparaissent dans le théorème de Fürstenberg, quand on coupe l'algèpe de l'I, quand on s'intéresse à la partie, dans l'algèpe de l'I, on s'intéresse à chaque composant iriductible non-trivial pour l'action de Gabamu, et à ce moment-là, il y a une application qui apparaît dans chaque composant iriductible non-trivial, et c'est la somme de toutes ces applications. Et elle vérifie une relation d'équivariance, donc on va voir aujourd'hui, on va jouer en permanence avec cette relation d'équivariance, on l'a déjà vu un peu vu qu'elle intervienne souvent, alors aujourd'hui ce sera tout le temps, tout le temps. Donc VTB, c'est l'action adjointe de B1, puissance moins 1, appliqué à VB. Et je vous rappelle aussi que dans la situation qui m'intéresse, j'ai ma mesure nu, et donc il y a des mesures limites, nu B, son VB elle a été construite en disant des mesures limites, et j'ai aussi donc, si je note, quand je pousse la mesure nu par un mot qui est écrit dans ce lance-là, ça tend vers une mesure nu B, qui dépend d'un paramètre aléatoire là, et nu de TB vérifie toujours la même relation d'équivalence, d'équivariance nu B. Et donc dans l'idéal, j'aimerais conclure que si jamais je donne pas de masse au centralisateur, eh bien nu B va être invariante par l'exponentiel de cette sous-algebraie de l'unipotente, qui est un sous-groupe adunipotente de G, et ensuite on a vu qu'on pouvait appliquer le terme de Ratner, donc ce n'est pas tout à fait vrai, parce qu'il faut éventuellement recouper un morceau. Donc il existe une décomposition, donc il y a une partition de la mesure, la mesure nu B s'écrit comme l'intégrale des nu BX, des nu B2X, donc ça peut être une partition finie, je peux couper un nom finie de morceau, ça peut être une partition infinie, et on va voir dans une minute, je vais bien écrire ce que c'est de couper une mesure en morceau, dans le cas où il y a un nombre infinie de morceaux, donc on va voir dans une minute ce que veut dire précisément cette écriture, donc il existe une décomposition dans laquelle on a encore la propriété d'équivariance qu'on aime bien, mais maintenant comme il y a un paramètre X, il faut agir sur X aussi, donc une personne qui a exactement la même géométrie, la même retaillée d'équivariance que les nu B et les VB, mais en plus le paramètre X, il doit bouger avec B1 et P1-1, et il existe une application BX, donc à chaque fois c'est des applications durable, donne VBX, qui est une sous-algebra de VB, qui vérifie la même propriété d'équivariance, égale l'action adjointe de B1-1, appliqué à VBX, et qui est constante nu BX, presque partout, j'ai coupé ma mesure en morceaux, et maintenant sur chaque morceau, j'ai un morceau de l'algebra de l'IVB qui est constant sur le morceau, sur chaque morceau de nu BX, c'est prendre un morceau de la mesure de nu B, et sur ce morceau de nu BX, il y a un algeable VBX qui dépend que du morceau, qui est constant, et tel que nu BX est invariante par l'exponentiel de cette sous-algebra de nu BX, et donc la dernière fois, j'ai admis ce résultat, et j'ai montré comment, avec des manipulations, j'ai qualifié de relativement standard dans la théorie des actions de groupe sur l'espace homogène, la dynamique des actions de groupe sur l'espace homogène, on pouvait en déduire le théorème général, avec un argument de récurrence. Donc aujourd'hui, j'ai montré ça, et donc il y a cette hypothèse qui était le départ de ma récurrence, j'ai soigneusement expliqué ce qui se passait l'année à fois quand on avait une mesure, une orbite du centralisateur qui avait de la base, et donc toute par incodicité, et dans les séances précédentes, j'avais aussi montré que ça, ça a impliqué la même hypothèse, presque sûrement, mais sur les nu BX. Ça, c'est ce qu'on a fait dans la séance, peut-être la troisième séance, je crois, donc on a montré que cette hypothèse surnu, sous les hypothèses que j'ai données là, cette propriété de nu se transmettait au nu BX. Donc pour commencer la récurrence, j'ai utilisé cette propriété, et maintenant pour démontrer ma proposition, j'vais partir de ça. Et je sais que ça, ça implique ça, ça, j'ai déjà fait. Voilà. Donc j'ai pas donné la démonstration dans le cas général aujourd'hui, sauf si vraiment vous voulez rester un peu tard, mais parce que ce qui se passe, c'est que j'ai démontré dans un cas particulier, et je vous expliquerai rapidement comment on passe le cas général. Donc quand on a établi ce résultat avec Yves, donc ça, je vous l'ai dit, c'est vraiment le point central de la démonstration. Et au début, on l'a montré dans un cas particulier, parce qu'il y a quand même deux démonstrations différentes. Quand vous prenez le cas où G est typiquement un groupe de lits simples, et Gamamu, les arrises qui dansent dans G, il y a une grosse simplification dans la démonstration. Enfin, je veux dire, c'est-à-dire que nous on l'a démontré dans ce cas-là, et ensuite on l'a passé trois ans et on a réussi à trouver un argument, il y a vraiment quelque chose, il y a plus de travail, en tout cas nous, ça nous a donné plus de travail, peut-être que c'est facile, mais en tout cas nous, nous on a vraiment eu du mal à passer au cas général, donc j'ai présenté en détail le cas que j'ai mentionné. G est un groupe de lits simples, Gamamu et l'arrise qui dansent dans G. Mais pour l'instant, je le formule sous une formulation qui est commune à la fois à cette situation particulière et à la situation générale, il n'y a pas de différence. Voilà, donc ça c'est mon but aujourd'hui, et donc j'ai commencé par donner des préliminaires qui sont purement théories de la mesure. Donc ça démontre sans cette proposition, elle s'appuie sur une construction qui est vraiment très théorie de la mesure où on utilise peu la structure de l'espace homogène, on montre des propriétés d'écu-distribution abstraites dans des espaces mesurés, et au dernier moment on rentre ça dans le cas où G est un groupe de lits et ça donne le résultat, j'espère que vous comprenez mieux dans deux heures, mais donc pour l'instant il faut que je vous explique des choses sur de purement de théorie de la mesure. Donc là je fais juste de la théorie de la mesure, donc déjà je vais rappeler ce que c'est qu'un espace de Le Beg. Donc c'est juste, ce qui m'intéresse c'est à voir des espaces pour voir les coupés en morceaux, faire des choses comme ça, et ça c'est des propriétés d'espaces de mesure qui ne sont pas trop méchants, et alors ils ne sont pas trop méchants, mais en fait tous les espaces de mesure que vous connaissez sont comme ça, c'est juste, donc il y a une notion particulière d'espace mesuré, qu'il y a une notion d'espace de Le Beg, et cette notion en fait il n'y en a qu'un d'espaces de Le Beg, essentiellement c'est 01 avec la mesure de Le Beg, et tous les espaces que vous pouvez construire sont comme ça, c'est juste une façon d'éviter des contre-exemples absurdes, donc c'est une notion mais qui n'est pas une notion, mais bon on a besoin quand même. Voilà, donc si x a mu, donc s'il y a une notion en mesure finie, qui est à peu près la même, et je vais me construire sur le cas de mesure finie, si ça c'est un espace de probabilité, c'est-à-dire que x est un ensemble, a est une tribu, l'ensemble de x, et mu est une mesure définie sur cette tribu, eh bien je dirais qu'on dit que x a mu, donc il y a plein de définitions équivalentes, comme c'est bon, on pourrait passer 2 heures sur l'espace de Le Beg, c'est une notion assez fantastique, parce qu'une fois qu'on l'a bien caractérisée, on se rend compte que c'est la bonne notion pour faire marcher les preuves, c'est très pratique. On dit que x a mu est un espace de Le Beg, si et seulement si, il existe une famille dénombrable, donc une suite d'ensemble mesurables, qui a la propriété que, il y a 2 propriétés, c'est-à-dire que les ak engendrent à, et c'est aux ensembles de mesures zéro près. Vous savez quand on fait la théorie de la mesure sur R, il y a 2 tribus qui jouent un rôle, il y a la tribu des Boréliens, c'est la tribu engendrée par les ensembles ouverts, et il y a la tribu des ensembles de Le Beg, c'est la tribu des ensembles qui s'écrivent comme union d'un Boréliens avec un ensemble de mesures nul. Et c'est pas la même tribu, la tribu du Boréliens, elle est engendrée comme tribu par une partie dénombrable, la tribu des ensembles Le Beg, non. D'accord. Donc il faut penser, quand tu parles l'espace de probabilité, j'ai pas dit si il était complet ou pas, un espace de probabilité est complet, si à chaque fois qu'il y a une partie de X qui est contenue dans un ensemble de mesures zéro, elle est mesurable. Donc la tribu des ensembles de Le Beg, elle est complète. Pour la mesure de Le Beg, la tribu des ensembles Boréliens n'est pas complète. Voilà. Donc je ne veux pas m'embêter à parler de complet, pas complet, etc. Donc à chaque fois que je n'en suis une propriété, elle est aux ensembles de mesures zéro près. C'est-à-dire que ce que ça veut dire, c'est les AK engendrent une sous-tribus de A, et tout ensemble de A s'écrit comme un ensemble de mesures zéro, union, un élément de la sous-tribus, je n'aurais pas parlé AK. Il y a cette difficulté technique, en tordu de la mesure, que des fois on aime bien les tribus complètes, parce qu'on n'aime bien pas avoir de problème de tous les ensembles qui sont contenus ensemble de mesures zéro, et des fois on aime bien les tribus, je n'aurais pas parlé partie de nombreable. C'est généralement, ça ne pose pas tellement de problèmes, mais bon, on est obligé de jongler entre l'attribus engendré qui est des nombreables ou bien à l'heure, la complété de l'attribus, il y a cette petite difficulté. Il n'y a pas tellement de difficultés posées par ça, mais dans le langage du coup on est obligé d'être prudent. Dans les AK engendrent l'attribus A, et puis je ne veux pas de gag du type, essentiellement je veux pouvoir zoomer sur les points, donc je demande que l'attribus voie bien les points, ce que je veux dire c'est qu'il existe un ensemble E inclus dans X de mesure totale, tel que pour tout XY dans E, si X est différent de Y, il existe un K, tel que X appartient à AK, et Y n'appartient pas à AK. Je sépare les points à l'aide de mes ensembles, et donc essentiellement vous voyez tout de suite que regarder une mesure sur un espace comme ça, c'est regarder une mesure sur zéro à un puissant Seine, parce que regardez, et si vous connaissez les fonctions caractéristiques via AK évaluées en chaque point, vous connaissez le point, et l'attribus est engendré par ça, donc essentiellement je suis en train de dire que une mesure comme ça c'est une mesure sur zéro à un puissant Seine, et en fait, comme les mesures sur zéro à un puissant Seine c'est aussi les mesures sur l'intervalle zéro à un, dire qu'on a un espace de Le Beg, c'est équivalent, à dire qu'il existe un nombre T entre zéro et un, et il existe une mesure nu, une mesure de masse, une mesure de masse totale un point T sur n, tel que x à mu est isomorphes comme espace mesuré, à l'intervalle zéro T munie de la mesure de Le Beg, union l'ensemble des entiers, munie de cette mesure nu, c'est-à-dire qu'il y a des atomes, les atomes, vous ne pouvez pas les attraper, ce n'est pas continu, et puis sinon la partie continue, c'est juste la mesure de Le Beg sur l'intervalle. Donc essentiellement, et maintenant si vous prenez n'importe quel espace localement compact, dénombrable à l'infini, maîtrisable, et que vous le munissez d'une mesure de priorité boréalienne, du point de vue stric de la théorie de la mesure, c'est ça que vous récupérez. C'est-à-dire en fait, je dis x est à un espace de Le Beg, mais isomorphisme prêt, et en fait je suis en train de dire qu'il c'est l'espace de Le Beg, bon, aux atomes prêts, les atomes, voilà. Mais essentiellement, évidemment c'est le cas continu qui nous intéresse, et il n'y en a qu'un, voilà. Et simplement, ce qui est assez magique, c'est ça, c'est que quelle que soit la situation, si on pense juste en termes de théorie de la mesure, quelle que soit la situation géométrique dont on est parti, l'espace mesuré qu'on récupère, c'est ses éroins avec l'espace de Le Beg, voilà. Alors j'ai une notion, ça c'est une notion, donc je vais essayer d'être très précis, ça c'est une notion pour les espaces mesurés. Il y a une notion analogues pour les espaces, donc cette définition elle est du harauchline, et tout ce que je vais dire là sur la théorie de la mesure abstraite, c'est des constructions qui sont du harauchline, qui avaient déjà, qui étaient dans les années 50 qu'il a fait ça, et il avait en tête des applications dynamiques, la construction de la théorie de l'atropie, etc., voilà. Donc j'ai une deuxième définition qui est le versant mesurable, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de mesure. Donc si y, donc je prends un ensemble y et je prends une tribu dessus, donc maintenant c'est un espace mesurable, donc c'est un espace mesurable, et je dirais que y est standard, si et seulement si y est isomorph, y l'unit de sa tribu a un espace, enfin ça va, on va le dire comme ça, si et seulement si, il existe d'une distance sur y, tel que yd soit un espace métrique complet de tribu boréliène y. Voilà, donc un espace métrique standard, un espace mesurable standard, c'est un espace métrique complet muni de sa tribu boréliène. Et à nouveau, il n'y en a qu'un, c'est-à-dire que c'est... Donc c'est isomorph à 0,1 muni de la tribu boréliène, r muni de la tribu boréliène, là maintenant c'est une notion qui ne dépend pas de la mesure, donc ça peut être r aussi, ou an muni de la tribu discrète, la tribu totale, la tribu qui contient tous les ensembles. C'est ça les espaces, il y a deux espaces boréliens standard, soit il est discret, soit il est continu, voilà. Et donc à nouveau, si vous prenez un boréliens standard, un intérêt de la notion, c'est que si vous prenez un boréliens standard et puis vous prenez un sous ensemble qui est dans la tribu boréliène, vous restreignez la tribu boréliène à sous ensemble, vous récupérez un boréliens standard. C'est pas complètement évident comme théorème. Moi c'est l'arbre l'autre ou ça peut être un mélange des deux ? Non mais un mélange des deux c'est le suivi de gauche. Si tu rajoutes des points, c'est 01 fermé, c'est aussi 01 ouvert, donc tu rajoutes un point, tu le mets en 1, c'est plus facile dans ce cas-là, il y a moins de cas possible. J'ai d'accord c'est surprenant au début. Voilà, donc ça c'est les bons objets, quand on fait de la théorie de la mesure, c'est les espaces mesurés qu'il faut prendre, c'est l'espace de le bec, les espaces sans mesure qu'il faut prendre, c'est les boréliens standard. Les espaces mesurés standard, les espaces mesurables standard, je me plante. Voilà, alors maintenant je vais voir ce que c'est de découper une mesure. Qu'est-ce que c'est de découper une mesure ? Alors ce que je veux dire, ce qui m'intéresse c'est la chose suivante. J'ai donné un espace de le bec et puis c'est coupé suivant les cibles d'une application. Donc j'ai donné une application et il ne faut pas qu'elle soit trop méchante, donc elle va vers un espace boréliens standard. Et alors quand j'ai cette structure, je peux découper la mesure. Donc le théoran, donc c'est théoran d'orocline, je suppose que lui c'est un espace de le bec, que lui il est standard. Alors sous cette situation, il existe. Alors si je veux être précis, c'est obligé d'être horrible. Il existe une tribu B, inclus dans A, tel que, comment je vais le dire ? Alors il existe B inclus dans A, tel que A égale B presque partout. C'est-à-dire que les aimants de A, c'est des réunions d'ensemble de mesure nul avec des aimants de B. D'accord ? C'est-à-dire que L c'est borrel et L c'est le bec. C'est ça que je suis en train de dire. Il existe un ensemble E inclus dans A. Tel que quand je prends E, nuis la restriction de la tribu B, c'est standard. Parce qu'évidemment, dans les ensembles de mesure zéro, on a toujours le droit de rajouter à peu près ce qu'on veut. Donc je suis obligé de me restreindre. Dans le veuille ensemble de zéro, tout peut être très, très moche. Et à ce moment-là, ce que je vois, c'est un espace borrelien standard. Et il existe, c'est surtout ça. Alors ça, c'est juste la technique de teurer la mesure, des problèmes un peu bizarroïdes qui ne sont pas importants. Surtout ce qui est important, c'est ce que je dis maintenant. Il existe une application x, donne mu x, on peut mettre mu xp, si on tient à garder la dépendance sur la fibration, ici. Donc, une application qui va de x dans les mesures de probabilité sur, disons, xB. Donc à chaque point, je peux associer une mesure de probabilité sur x. Et c'est sur une mesure de probabilité, en fait, sur cette sous-tribu qui est dénombrablement engendrée. C'est pour ça que ça marche, parce que je peux travailler avec un nombre dénombrable d'ensemble. Il existe une application, quelle est la propriété suivante, que pour tout de fonction phi appartenant à l1, quand je regarde l'application x, elle donne l'intégrale sur x de phi. Alors je devrais dire, je vais le dire plus précisément. Si j'ai une fonction phi qui est mesurable pour la grosse mesure, eh bien, mu presque pour toute x, phi est intégrable, elle est intégrable pour la grosse mesure, elle est intégrable pour les petites, d'accord ? Et l'application x donne l'intégrale de phi par rapport à cette mesure. Elle est mesurable et elle est égale à l'espérance conditionnelle de phi contre l'attribut image inverse de y. Donc qu'est-ce que je veux dire ? J'ai une base qui est y et au-dessus de chaque point, j'ai une fibre, d'accord ? Et mu x, qu'est-ce que c'est ? J'ai une mesure sur l'espace total de la fibration et mu x, c'est la valeur de la mesure sur la fibre, d'accord ? Donc quand j'écris comme ça, ce que je vous rappelle, on avait fait des calculs de théorème de Martin Gall, de choses comme ça. Donc quand j'ai une application measurable, une application measurable, ça me vend une sous-tribu. C'est-à-dire qu'elle est mesurable, c'est que j'ai cette inclusion sous-tribu. Quand j'ai une sous-tribu, j'ai un opérateur d'espérance conditionnelle. Et ce qu'on sait, de l'espérance conditionnelle, c'est partir d'une fonction qui est définie partout et on veut en faire une fonction qui est mesurée pour cette sous-tribu. C'est-à-dire qu'on va en faire une fonction sur cet espace. Donc ce qu'on a envie de dire, c'est que c'est l'intégrale sur la fibre. L'essence conditionnelle, c'est intégrale sur la fibre. Donc dans le cas des espaces de Lebesgue, ça marche. C'est ça que dit ce théorème. C'est-à-dire qu'on peut vraiment définir cet objet qui est une mesure sur la fibre, c'est-à-dire que prendre l'espérance conditionnelle, c'est-à-dire, moyenné, c'est vraiment intégré contre cette mesure. C'est ça que dit ce théorème, d'accord ? Qu'est-ce que ça veut dire ? C'est-à-dire que quelque soit psy, dire que c'est l'espérance conditionnelle, c'est-à-dire que quelque soit psy qui a une fonction mesurable sur Y, et bien l'intégrale par rapport à la mesure de phi de X, psy de pi X des mu, l'intégrale sur X, c'est égal à l'intégrale sur X de toujours, de l'intégrale sur X de phi par rapport à la mesure mu X. D'accord ? Fois. Alors j'aurais écrit l'intégrale sur Y, on l'intégrale sur X, ça ne sera pas grave, de psy de X, des mu de X, c'est-à-dire qu'on commence par intégrer sur les fibres, et maintenant il y a une fonction qui dépend pas que des... On intégrale, maintenant on a deux fonctions qui dépendent que de la fibre. Mesurable, et je veux là, et j'ai... si pi X, avec g mu X, implique une mu. Voilà, donc cette décomposition, elle est essentiellement unique. Si j'ai deux décompositions comme ça, si j'ai deux décompositions comme ça, elles coïncident sur un ensemble de mesures. Voilà, donc là, l'opérateur d'espérance conditionnelle, il existe toujours sans hypothèse sur les espaces de mesure. Mais le fait qu'il puisse s'écrire comme une intégrale contre une mesure qui dépend du point, ça c'est une propriété de fait, donc on a tout été dénombrable, donc on a juste à tester un nombre dénombrable d'objets, etc. Bon, voilà, ça c'est... Voilà, alors des exemples quand même de cette situation. Attendez, je vérifie, voilà. D'une part, alors d'une part, donc à ce problème qu'on est obligé de se restreindre à une sous-tribu. Alors, mais si vous partez de n'importe quel prébu, si vous voulez, je vais l'écrire là. C'est vraiment pas un problème, c'est juste qu'on veut pas définir des... Comme la mesure elle bouge, on a besoin de fixer quand vous prenez les mesures boréliennes, c'est pas les mesures sur la tribu de Lebesgue. Quand vous faites bouger la mesure, il faut travailler sur des espaces standards, sinon ça n'a pas de sens. La mesure, quand vous complétez une mesure, dès que vous changez de mesure, la tribu de Lebesgue n'est pas forcément mesurable quand vous travaillez sur R. Donc la bonne tribu sur laquelle cogné des mesures qui varient, c'est la tribu borélienne. C'est ça que ça veut dire dans cette théorade. C'est ça que je suis obligé de prendre une sous-tribu. Donc, par contre, ce qui est vrai, si vous partez de n'importe quel sous-tribu de A qui est dénombrablement engendré, on peut supposer, dans ce théorème, que B contient Bécero. C'est-à-dire qu'il n'y a pas de problème. Si vous voulez rajouter un nombre dénombrable d'ensemble, A, B, vous pouvez. On reste dans le monde des tribus dénombrablement engendrés. Donc c'est pour ça qu'il n'y a aucun problème dans la vie. Parce que si on a besoin que les mesures mesurent un certain nombre d'événements, on peut toujours les rajouter et on peut toujours supposer qu'ils t'enlevent un ensemble de mesures zéro, que les MUX mesurent tous les événements qu'on veut. Donc ça, c'est une première propriété. Il y a une autre façon de dire ça. Là, j'ai parlé d'applications P. Il y a deux langages équivalents. Soit on parle d'applications vers un ensemble standard, soit on parle de partitions de l'espace de départ. Donc souvent, le langage traditionnel pour parler de ça, c'est de regarder la partition xi ou xi de x, c'est pi moins 1 de pi x. Et ça, ça fait une partition de l'adolescence passée. Et dans les bouquins, vous pouvez voir la notion de partitions mesurables. Et on définit les mesures conditionnelles. On les appelle comme ça, la MUX xi, d'accord. C'est les mesures conditionnelles sur les atomes d'une partition mesurable. Mais c'est exactement équivalent. Désormais, la définition qu'il y a dans les livres pour partitions mesurables, c'est exactement de dire que quand vous prenez le l'espace caution de la partition, vous munissez la tribu image, vous récupérez un Borenguin standard. C'est complètement équivalent comme notion. Voilà. Donc ça, c'est juste parce que là, je dois lui le présenter comme ça, parce qu'à un moment, je vais raisonner en ce type de langage. Et une autre chose importante, c'est que l'unicité est garantie que si jamais il y a un groupe qui agit sur toute la situation, tout est équivalent sous l'action du groupe. Donc l'unicité est garantie que si j'ai un groupe localement compact, donc avec mes hypothèses habituelles, c'est parable, dénombrable à l'infini. Voilà, ce que les anglais appellent secondes comme table. Et bien, si j'ai agi sur X par une action mesurable, si j'ai agi aussi sur Y par une action mesurable, si j préserve la mesure mu, si pi, l'application est G équivalente, eh bien, ça implique que quelque soit G, mu presque pour tout X, quand vous prenez mu de GX, c'est rien d'autre que l'image par G de muX. Ça, c'est relativement naturel, c'est-à-dire que si le groupe préserve la mesure de l'espace, si il préserve la fibration, il préserve les mesures dans les fibres. Voilà. Et alors oui, quand même, j'ai donné deux exemples de cette situation, c'est un décomposition, et une fois que vous avez vu deux exemples, vrai, ce thérème n'est pas méchant. La puissance de thérème, c'est qu'il a cet énoncé général. Et la puissance aussi, c'est qu'il n'y a pas 36 exemples, c'est-à-dire des exemples de Lebesgue. Je vous ai dit des exemples d'espace de Lebesgue, je vous ai dit essentiellement, si on revient les atomes, il n'y en a qu'un, c'est un tarval zéro. Des exemples de partition, il n'y en a pas 36. Il y a deux exemples extrêmes, c'est que si Y est un ensemble fini, eh bien, la partition, la mesure muX, qu'est-ce que c'est ? C'est rien d'autre que la mesure mu restreinte à l'atome de X, donc à pi moins 1 de piX, divisé par la masse totale. C'est ça. Quand on prend l'espérance conditionnelle, la probabilité avec un nombre fini d'ensemble, l'espace productionnel, c'est comme ça qu'on la définit. C'est la mesure de 1 à B divisé par la mesure de B. Donc voilà ce qui se passe quand c'est fini. Et puis un exemple, c'est X égale 0,1 au carré, munis de la mesure de Lebesgue, Y c'est 0,1, et pi d'un point XY, c'est juste X. Je projette sur la première composante. Et à ce moment-là, qu'est-ce que c'est que la mesure conditionnelle ? La mesure conditionnelle d'un point, eh bien, c'est la mesure de Lebesgue sur la fibre du point. Et le theorem, en fait, qui dit, c'est que c'est la seule possibilité. C'est que si jamais vous avez le theorem, ce qui dit, par exemple, c'est que si vous avez un espace de Lebesgue sans atome et que vous avez une projection vers un Y qui est fichu de telle sorte que chacun, chacun des ensembles pi moins un piX, là, à mesure 0, eh bien, il y a un isomorphisme qui envoie ça sur ça. C'est ça que dit le theorem. Est-ce que je triche ? J'ai rien oublié comme cas. Oui, c'est ça. Non, je triche. Il faut que l'image inverse, l'image inverse de chaque point en Y n'est pas dénombrable. C'est-à-dire, il faut faire attention de ce que je pourrais avoir aussi. Juste une application, je pourrais co-scienter par deux valeurs. Je pourrais prendre un ensemble à deux éléments, croix, zéro, un, et identifier mes deux éléments. C'est-à-dire que la mesure de l'espace serait continue, la mesure de la projection serait continue, mais les conditionnels seraient des mesures discrètes. Voilà. Donc ce que dit le theorem, c'est que l'exemple, essentiellement quand même l'exemple, le cas difficile, c'est le cas où tout est continu et c'est ça. C'est vraiment ce que dit le theorem. Il n'y a pas de... Voilà. Donc en fait, cette construction permet de montrer que c'est ça la seule situation, d'un point de vue mesurable. Je vous ai dit un espace mesurable, essentiellement, c'est zéro, un espace mesuré de quand qu'il y avait pareil à la vie, et une part, un co-scient d'espace mesuré avec des mesures conditionnelles continue, c'est juste celui-là, c'est Foubini. Voilà, c'est pour ça que l'élancé ressemble à Foubini, parce qu'en fait, on en rende dire qu'il n'y a que ça à la vie. Voilà. Qu'est-ce que... Monsieur, maintenant qu'il y a des variétés instables, un oseuf, il ne marche pas, ce n'est pas une mode de vibration. Voilà, parce que la feuille, la feuille, elle est ergodique, quoi. Ça ne barchera pas, c'est ça, c'est si tu prends une dynamique sur X, et tu prends l'espace des orbites, le co-scient n'est pas standard. On va voir ça dans une minute. Donc maintenant, précisément, j'ai m'intéressé à décrire des mesures conditionnelles, mais quand le co-scient n'est pas standard. Et dans un... Alors, effectivement, ça ne pourra pas marcher, pour les raisons que j'ai à d'expliquer à l'instant. Mais... Donc, l'idée, c'est la suivante. C'est que je n'ai plus à vous... Imaginons précisément qu'on a une variété, là. Et puis, sur cette variété, on a un feuilletage. On a un feuilletage, en droite, comme ça. Donc, quand j'ai un point maintenant, localement, je peux toujours regarder des boîtes qui définissent mon feuilletage. Donc, si j'ai une mesure sur ma variété, localement, je peux toujours définir des mesures conditionnelles sur les feuilles. Le problème, c'est que si je veux un objet global sur la feuille, il faut que je puisse les recoller. Alors, quand je les recole, il y a un choix. Parce que si je fixe la normalisation, si je fixe une première boîte, quand je recole, j'arrive avec une autre boîte. Donc, je sais que j'ai deux mesures sur chacun de mes intervalles, mais elles coincident à une constante près. Ici, j'ai normalisé, quand je prends les conditionnelles, je normalise pour que la masse totale fasse 1. Donc, j'ai une mesure de masse totale 1 sur une boîte, j'ai une mesure de masse totale 1 sur une autre boîte, et sur l'intersection, elles vont avoir tendance à être proportionnelles l'une à l'autre. Mais si je veux définir un objet sur la réunion des deux boîtes, je suis obligé de décaler par un coefficient de proportionnalité. Là, il y a un choix. Donc, c'est ça qui arrive. Si maintenant je veux définir des objets globaux, non pas quand je travaille avec des partitions mesurables, mais quand je travaille avec des orbis d'une action de groupe, avec un feuilletage, des choses comme ça, je récupère des objets globaux, mais ces objets globaux ne sont pas des vraies mesures, mais des mesures à une constante multiplicative près. Je suis vivant dans un espace projectif de mesure. Donc, je vais faire ça. Donc, je vais énoncer la situation. Alors, je ne vais pas le faire pour les feuilletages, parce que là, moi, ce qui m'intéresse, c'est les problèmes d'action de groupe. On pourrait faire la même chose pour entendre le feuilletage. Donc, je vais me donner X. Ce sera un Borrelien standard. Je vais le noter R. Je ne sais pas pourquoi on le note R. Bon, je vais le noter. Donc, ce sera un groupe comme avant là. Ce sera un groupe localement compact. Et puis, je vais l'écrire à l'anglais, là. À l'anglais, secondes-quarts de table, c'est-à-dire maîtrisables, dénombrables à l'infini. Et je vais supposer que R agit sur X. Et donc, je vais définir cet objet global, là, sur l'orbis d'un point. Et donc, essentiellement, c'est ce que je viens de dire. Donc, pour définir les objets, je vais introduire l'espace dans lequel vit cette mesure conditionnelle. C'est-à-dire, je prends des mesures conditionnelles sur des petites boîtes et puis je recole. Et là, je obtiens une mesure définie à une constante près. Donc, je vais noter M de R. M de R, ce sera l'espace des mesures de radon sur R. C'est les mesures de radon. Maintenant, ce que j'ai, parce que je recole des mesures de probabilité sur chaque boîte, mais il n'y a aucune raison, je récupère une mesure finie. Donc, je sors du monde des mesures finies. Donc, je récupère une mesure sur mon groupe localement compact, qui est finie sur les compacts. C'est ce qui s'appelle une mesure de radon. Alors, je triche un tout petit peu une mesure de radon. Normalement, quand on fait de la théorie de la mesure, là, si on regarde dans le bouquin de Rudine, etc., les mesures de radon, il y a une propriété de régularité, en plus. C'est que la mesure d'une partie, c'est le 1, des mesures des ouvertes qui la contiennent, des choses comme ça. Mais ici, mon espace, il est maîtrisable et il n'y aura pas l'infini. Donc, cette hypothèse de régularité, elle est automatiquement satisfaite. Dès qu'une mesure est finie sur les compacts, elle est régulière. Donc, je prends l'espace des mesures de radon. C'est-à-dire, juste l'espace des mesures boréliennes finit sur les compacts. Et là-dessus, il y a une tribu naturelle. Lui-même, on peut lui mettre une structure d'espace mesuré. Et c'est juste, par exemple, il y a la tribu engendrée par toutes les applications de la forme. On va y noter rôles et mesures. Rôles donnent, rôles de K. Ou K, c'est un compact de R. Donc, à chaque fois que je prends un compact, ça me définit une application mesurable. J'aurais pu prendre la tribu, j'en ai pas les intégrales quand les fonctions continuent par compact. C'est la même. Et cette tribu, elle est standard. Tout ça, c'est facile, c'est l'exercice élémentaire de zoologie. Voilà. Donc, cette tribu, elle est standard. Et maintenant, je peux définir un quotient de cet espace. C'est M1 de R. C'est les mesures. C'est M1 de R. Mais quotienté par l'homothécie. Donc, j'identifie de mesures si elles sont proportionnelles. Et maintenant, j'ai un quotient. Donc, j'ai une application quotient comme ça. Je munis M1 de R de la tribu image. Et elle est encore standard. Pourquoi ? Parce que, en fait, cette application naturelle, elle a une section. Si vous prenez R, quand j'ai une mesure, une classe d'homothécie de mesure, dès que j'ai un compact, soit les noms nuls, ma classe, je peux normaliser en disant que ce compact, il est une mesure 1. D'accord ? Donc, j'écris mon groupe comme union des nombreurs de compacts. Quand j'ai une mesure, je regarde le premier compact sur le cas des noms nuls. Et ça, ça me fait une façon de remonter ce truc-là. Voilà. C'est ce que... Une application, quand vous avez deux espaces boréliens standard, si vous avez une application mesurable de l'un en l'autre surjectif, elle a toujours une section. Et c'est quasiment... Voilà. Un quotient, dire qu'un quotient d'un borélin standard est encore borélin standard, c'est dire qu'il a une section. C'est précisément pour ça que, quand vous prenez un quotient par une action ergotique, ça a tendance à pas du tout être standard. Ça n'a pas du tout une section. Enfin, bref, c'est que du langage à ce que je dis. Voilà. Alors, donc, une fois que j'en suis là, j'ai un bel espace boréliens. Et qu'est-ce que je dis ? Eh bien, je dis que, sous les hypothèses, maintenant, si mon groupe R agit sur un espace, donc j'ai x qui est donné, donc le théorème, c'est quasiment pas un théorème. C'est si mu est une mesure, disons, de probabilité, sur mon boréliens, x, eh bien, alors... Alors, attendez, j'ai bien tout écrit, donc j'ai vérifié parce qu'il ne faut pas se planter. Il existe... Donc, j'ai noté... Ah oui. Et je vais noter pour chaque point x dans x, là, eh bien, j'ai une application alpha x, qui est une application mesurable, de R dans x, qui est l'application R, dans le Rx. Je donne l'application orbital. Donc, il existe. Ah, peut-être qu'il faut que je fasse qu'il a fait un truc. Je vais supposer que cette action est la stabilisateur discrète. En fait, essentiellement, je pourrais rajouter une stabilisateur, une immodulaire. Bref, on ne va pas commencer à faire les fous. Donc, il existe une application qui va de R, apparence de x dans un main de verre qui est définie mu presque partout et qui est essentiellement qui est unique aux ensembles de mesures prêts, aux ensembles de mesures nulles prêts, qui a x associé une certaine mesure que je vais noter mu xR. Et donc, c'est plutôt une mesure. Ça note encore mu, mais en fait, c'est une mesure à une constante multiplicative prêts. Donc, c'est cette mesure-là que j'obtiens par recollement. Et quelle appropriété que quelle que soit, tel que quelle que soit que si une partition mesurable de xmu, donc je vous rappelle, une partition mesurable, c'est la partition associée à un quotient standard. Je vous ai dit, il y a les deux langages, qu'on parle de quotient, qu'on parle de partition, et c'est suivant ce qui est le plus pratique dans le contexte. Donc, à chaque fois que je me donne une partition mesurable. Quand j'ai une partition mesurable, qu'est-ce que c'est ma partition mesurable ? J'ai envie de dire que c'est donner une petite boîte dans chaque orbite. D'accord ? C'est ça que je vois comme une partition mesurable. Donc, je vais le dire comme ça. C'est une partition qu'elle appropriait si mu presque pour tout l'x. Quand je regarde l'élément de 2R, il appartient à alpha x puissance moins 1 de 6x à l'intérieur, pardon, à l'intérieur, c'est-à-dire que je voudrais dire, voilà. Alpha x, c'est l'application orbital. Donc, là, moi, mon... ça, c'est l'orbite du groupe, Rx. Donc, ce que j'ai envie de faire, c'est quand j'ai un point x, il a un atome par ma partition. Maintenant, je le tire en arrière par l'application d'orbite, c'est un sous-ensemble du groupe. Et alors, si je veux que ma mesure soit pas trop moche, il ne faut pas que je sois. Il faut quand même que mes atomes ne m'appartissent quand je regarde dans le groupe. Ce sont des intervalles, des choses comme ça. Ça veut dire, quand général, les points sont à l'intérieur de leur atome pour la topologie de la feuille. Donc, ce que je suis en train de dire, c'est que quand je prends l'image inverse de l'atome du point, eh bien ça, ça va être un voisinage de E, de l'élément neutre dans le groupe R. Que ma mesure, elle voit les bords de mes intervalles. Donc, si j'ai cette propriété, alors, eh bien, quand je prends la mesure conditionnelle pour la vraie partie, la vraie mesure conditionnelle pour la partition XI, eh bien, ça doit être égal à quoi, à la mesure, la fausse mesure de la feuille divisé, que je renormalise cette fois-ci avec la normalisation ici. Alors, sauf que mu XR, là, c'est pas une mesure sur l'espace, c'est une mesure sur le groupe. D'accord ? Donc, il faut pousser tout ça par l'application de dormite. C'est-à-dire que, à chaque fois que j'ai une partition en boîte, tel que les points sont toujours à l'intérieur des atomes dans leur feuille, qu'ils partent sont subordonnés à la feuille. D'accord ? Pardon, excusez-moi, j'ai une partition en mesure abe de X, tel que mu presque pour tout X, CX est inclus dans l'orbite de X et, voilà, c'est ça que j'ai oublié. C'est une partition qui est subordonnée à la partition en orbite. Et c'est une partition en ouvert dans sa courbite. Donc, ce que je dis, c'est qu'est-ce que c'est que la mesure, il y a un modèle unique pour toutes les partitions qui sont subordonnées aux feuilles. Il y a un modèle de ces mesures. C'est ça que je suis en train d'écrire. C'est immonde à écrire, mais ce que je veux dire, c'est quand j'ai une partition qui n'a pas de problème de bord à l'intérieur des orbites du groupe, je l'obtiens avec ma mesure du groupe que je restreins aux atomes de la partition. Donc, le mu XR, c'est pas tout à fait une mesure, c'est une mesure à normalisation près, mais que j'ai là, c'est un caution. Donc, il n'y a pas de problème. C'est défini. Ça dépend pas du multiple de mu XR que je choisis. Voilà, donc, il y a cet objet qui apparaît qu'il n'a l'air de rien. Mais le point, c'est que cet objet, une fois qu'il est défini, il est complètement un train sec, donc ça sert à estimer ce qui se passe quand on a un groupe qu'agissant un espace qui a une mesure de probat sur le groupe, mais qu'elle n'est pas invariante. Si elle est invariante, qu'on récupère ici, c'est juste la mesure de l'art du groupe. Et c'est un test, en fait. C'est à dire qu'on peut vérifier que dire que mu et r invariante, c'est équivalent à dire que mu XR et la mesure de art. Mu presque sûrement. Mu presque pour tout le tix. Dire que la mesure est invariante par l'action du groupe, c'est-à-dire que quand on conditionne la mesure aux orbites du groupe, ce qu'on voit, c'est la mesure de art du groupe. Donc, ça me fait un test. Ce machin-là, ça me fait un test pour savoir si la mesure est invariante par un groupe. C'est vraiment... Non. Ces objets, ils sont apparus... Je dirais, à la fin des années 90... Dans les années 90, les gens commençaient à décrire des phénomènes de système dynamique. Typiquement, la théorie de Rapier-Jung, tu le connais, je pense. Tu vois, même voir très bien, on a eu l'utilice, cet objet. Il y a des théories de général, de la structure d'un dynamique hyperbolique. Ils décrivent des propriétés cette mesure. Et puis, à la fin des années 90, il y a eu des travaux de rigidité des mesures invariantes, en particulier catoc et spatier, qu'on commençait à utiliser cet objet, utiliser le critère qu'est là. C'est-à-dire, on veut montrer qu'une mesure est invariante par des groupes unipotents, des choses comme ça. On introduit les conditionnels le long d'actions du groupe unipotent. Ça fait une vraie fonction. Et maintenant, on étudie cette fonction et on essaie de montrer qu'elle a des propriétés qui font qu'en réalité, cette mesure est nécessairement la mesure de art. Et on en déduit que la mesure de départ est invariante. Donc, c'est ça que je vais faire. Voilà. Ce que je veux dire, c'est que c'est relativement classique. Ensuite, qu'est-ce que je voulais dire d'autre ? Donc voilà. Ça, c'est le critère d'invariance et puis, l'unicité, qu'est-ce qu'il y a ? L'unicité me dit que, du coup, si je me place là, quand j'ai deux points qui sont sur la même feuille, il doit avoir la même mesure puisqu'ils sont sur la même feuille. Alors, à ceci près que la mesure, je ne veux toujours pas la considérer comme une mesure sur l'espace, je vais la considérer comme une mesure sur le groupe KJ. D'accord ? Donc, quand je change de point, je change d'origine sur le groupe. Donc, ce que je dois voir, c'est la même mesure mais translatée. Donc, c'est vrai. C'est-à-dire qu'il existe un ensemble E qui est inclus dans X tel que la mesure de E est égale à 1 et tel que quel que soit X appartenant à E, quel que soit R, un élément de R, tel que Rx appartient encore à E. Donc, j'ai deux points. Évidemment, à chaque fois, les propriétés que j'ai sont vraies sur les ensembles de mesure pleines. À chaque fois, il faut que je vienne ensemble de mesure zéro. Donc, c'est pour ça que je prends un ensemble E de mesure totale. Et maintenant, quand j'ai deux points qui sont dans E et qu'ils sont sur la même feuille, la mesure conditionnelle doit être la même Rx, la mesure conditionnelle en Rx vu de... La conditionnelle sur cet orbite, mais vu de Rx, eh bien, c'est la translation par R à droite appliqué à MUXR. Je veux dire que l'application orbitale en Rx, c'est essentiellement l'application orbitale en X mais avait composé par une translation à droite dans le groupe. Si je tire en arrière ma mesure qui moralement vit sur l'orbite du point, j'ai un décalage entre ce qui se passe en Rx et ce qui se passe en X qui est une translation à droite dans le groupe. Voilà. Et alors, tout le jeu dans cette théorie, quand on veut montrer que des mesures, il y a ce groupe R qu'agit sur une mesure, on veut montrer que la mesure R est invariante, eh bien, on essaie de montrer que MUXR est égal à MUXR. D'accord ? Parce qu'une fois qu'on sait ça, bah comme Rx, c'est aussi une translation à droite de MUX, nécessairement, ça veut dire cette petite translation préserve la mesure. Donc toute la stratégie pour montrer qu'une certaine mesure va être invariante par un groupe, ça va être étudier cette fonction et se débrouiller pour fabriquer des points X, Rx tels que la mesure en X et la mesure en Rx c'est la même. Parce que seulement c'est une fonction dans cette application, c'est une application de X dans un espace boréliens standard, enfin, c'est une belle application et on veut montrer qu'il y a un moment, un machin qui est ergodique, un truc qui fait que nécessairement la valeur en Rx c'est la valeur en X. Et du coup, automatiquement, ça force la mesure à avoir une invariance par translation. Voilà. C'est-à-dire que cet outil, vous allez dire, bon, se formalise tout ça, c'est un peu lourd, c'est pas tellement puissant parce que c'est très, enfin, tout ça, c'est vraiment, je vous fais parler des montrations mais c'est délic, quelques lignes, il y a juste des arguments mais la puissance, c'est là. La puissance, c'est vraiment cette relation ici qu'il y a un outil pour montrer que des mesures ont une propriété d'invariance. C'est ce que je vais faire. Voilà. Alors, donc maintenant, je rentre dans, donc je reviens à la théorie ergodique. Pour l'instant, il n'y avait pas de transformation. Tout ça, c'était de la structure des espaces mesurés. Et bon, il y avait des mesures conditionnelles et choses comme ça. Donc maintenant, je reviens à mon cadre où j'ai des groupes qu'agis, c'est une mesure invariante de la stratégie. Ça va être d'obtenir ces points rx et x. Là, on va essayer de les obtenir comme des limites de suite. Et on va les forcer. Le but, c'est des limites de suite mais il faut qu'elles tombent dans un certain ensemble. Dans cet ensemble, eux, qu'il y a une mesure pleine ou peut-être qu'il faudra qu'elles tombent dans un sous-ensemble de eux pas une grosse mesure. Là, j'ai un ensemble de mesures pleines. Maintenant, si je prends dedans un compact de mesures et bien, les x et les rx qui sont là, je vais les avoir comme des limites de suite. Je sais qu'ils resteront dans mon ensemble de mesures presque 1 parce que je suis prudent, je prends un compact de grosses mesures dans un ensemble de mesures 1. Ok? Mais maintenant, il faut que j'arrive à garantir qu'ils tombent dans mon compact de mesures 1-epsilodes. Et pour ça, j'utilise une théorème d'équipe distribution. type théorème de Birkhoff, des choses comme ça qui me disent je prends l'orbite d'un point qui va avoir tendance dans mon même si je prends que la masse 1-epsilode là-dedans il va quand même y avoir beaucoup de chances que sur mon orbite j'arrive à tomber dedans. Et en passant à la limite j'aurai des situations comme ça. Donc, la stratégie maintenant, c'est la stratégie d'un raterneur, c'est la stratégie d'un cathox pas dier, des trucs comme ça. La stratégie, c'est fabriquer un théorème, sortir de son chapeau un théorème d'équipe distribution qui garantise que pour certaines suites on arrive à forcer certains parties, on a des certaines morceaux d'orbites de groupes qui s'équilitribuent et donc il y a des parties de l'orbite du groupe qui tombent dans les ensembles de grosses mesures. Donc il faut que je fabrique des théorèmes d'équipe distribution. Donc dans la théorie d'raterneur le théorème central, c'est le théorème de Birkhoff. C'est-à-dire on a un flot unipotant et on lui applique le théorème de Birkhoff. Dans ce qu'on fait ce n'est pas du tout le cas et on va utiliser les propriétés de Martin Gall. Donc on avait déjà vu il y avait un lien très fort entre les mesures stationnaires et le théorème de convergence des Martin Gall dont j'ai parlé lors de la deuxième séance. Donc je vais revenir dessus et ça va être des Martin Gall dans l'autre sens. Donc c'est d'abord je parle d'un phénomène général donc j'introduise ce qui s'appelle la tribuque. Donc je veux dire c'est quand on a un système dynamique abstrait il y a deux gros théorèmes d'équipe distribution associés. Classiquement on parle beaucoup du théorème de Birkhoff mais il se trouve qu'il y a un phénomène de Martin Gall dans n'importe quel système dynamique apportement il n'est pas inversible. Donc je prends un système dynamique donc x a mu c'est un espace disons de Lebesgue et t c'est une transformation qui préserve la mesure. Donc t ça va de x dans x et t est mesurable et préserve la mesure voilà. Mais là ce qui va m'intéresser c'est le cas où t n'est pas bijectif. Alors quand t n'est pas bijectif t moins un a c'est pas a c'est essentiellement ça c'est-à-dire que t n'est pas bijectif. Ici il y a une inclusion stricte de sous-tribu et alors je vais noter q n c'est la tribu image inverse au cran n alors qu'est-ce qui se passe ma q n plus 1 c'est un clou non q n j'ai une famille décroissante de sous-tribu et alors il y a un objet qu'on appelle la tribu queue q c'est l'intersection sur n des témoins n a l'intersection sur n des q n et automatiquement déjà un phénomène quand j'ai une suite monotone de sous-tribu j'ai le théorème de convergence des martingales alors la dernière fois que j'en ai parlé c'était dans le cas des suites croissantes de sous-tribu là c'est plutôt une suite décroissante donc c'est le théorème de convergence de martingales me dit que si j'ai une fonction qui est une fonction L1 quand je considère l'espérance conditionnelle de phi contre la tribu q n et ça c'est vrai mu presque sûrement c'est une convergence point par point c'est aussi une convergence dans L1 dans LP quand elle a fonctionné dans LP etc voilà alors le point c'est que dans les systèmes dynamiques qui vont apparaître qui vont m'intéresser eh bien je vais très très bien savoir calculer parce qu'évidemment quand on l'explique comme ça on ne voit pas où on va je veux dire on ne va pas voilà mais il se trouve que cette espérance conditionnelle dans les systèmes qui m'intéressent eh bien je peux la calculer avec une formule très simple alors pourquoi c'est vrai eh bien parce que les systèmes que j'utilise depuis le début sont des systèmes qui sont fivrés au dessus d'un décalage de Bernoulli je me donne une suite d'éléments du groupe qui est une suite d'aléas et puis j'applique mes éléments aléatoires du groupe et pour le décalage de Bernoulli ces objets la sont très facile à décrire donc comme le cas c'est un exemple et qui est un exemple en fait c'est fondamental pour nous quand x c'est l'espace que j'ai noté b que mu c'est la mesure que j'ai noté bêta et que t c'est l'application de décalage qu'est-ce que c'est que l'attribut qn un t c'est le décalage qu'est-ce que c'est l'attribut qn eh bien l'attribut qn donc l'attribut témoin n de l'attribut total eh bien c'est l'attribut des ensembles qui ne dépendent que des coordonnées bn plus un bn plus deux etc puisque quand je tire en arrière par l'application t au cran n eh bien j'oublie les n premières coordonnées donc qu'est-ce qu'il me reste bah les n suivantes mais ici ce qui se passe alors aussi et aussi une minute avant de donner la formule je peux aussi décrire l'attribut q c'est rien d'autre que l'attribut trivial l'attribut trivial c'est l'attribut des ensembles de mesures zéro ou un c'est j'ai une ensemble une fonction qui ne dépend que des coordonnées bn plus un bn plus deux etc mais que c'est vrai pour tout n quand la mesure est une mesure produit eh bien l'attribut intersection c'est l'attribut trivial ça s'appelle la loi du zéro un colmogorov c'est un truc classique en théorie des probabilités c'est que si on a un événement qui ne dépend que de ce qui se passe après le temps n et que c'est vrai pour tout n alors cet événement pour mesure zéro ou un et donc une interprétation en termes de dynamique on dit qu'un système dynamique est exact quand l'attribut q l'attribut q c'est l'attribut trivial ça est bon c'est une notion une notion quand les gens c'est classé un système dynamique il y a cette notion qui apparaît et l'attribut du zéro un colmogorov en théorie ergodique on dirait les décalages de Bernoulli sont des systèmes dynamiques exacts voilà c'est que du langage mais ce qui est important c'est qu'on a cet objet et ce qui va nous intéresser nous c'est que on se moque complètement en réalité de la loi du zéro un colmogorov j'ai pas l'utilisé on sait quand même que c'est vrai c'est sympathique mais on va pas s'en servir et ce qu'on va utiliser c'est le fait qu'on a une formule qui vient précisément du fait que l'attribut est une tribu produit et alors qu'est-ce que c'est cette formule elle dit que si j'ai une fonction phi que je veux calculer son espérance conditionnelle donc qu'est-ce que je veux faire et bien je veux moyenné c'est encore c'est un raisonnement une type mesure conditionnelle je veux moyenné les valeurs de phi sur les n première coordonnée je veux récupérer quand j'applique cet opérateur je veux une fonction qui ne dépend plus des n premières coordonnées donc je vais moyenné les valeurs de phi mais justement l'espace c'est un produit de ce qui se passe sur les n premières coordonnées avec le suite donc ça ça va juste être l'intégrale sur g puis sans saine les coordonnées elles vivent dans mon groupe g bon ce serait général j'utilise pas du tout le fait que l'alphabet ici de mon décalage de Bernoulli c'est un groupe de phi de g1 g1 donc je l'évalue en 1.b ça c'est une fonction les n premières coordonnées je mets n'importe quoi puisque j'ai le droit de moyenné donc je mets n'importe quoi et puis à partir du coin attention ça doit dépendre des coordonnées suivantes de b donc je mets bn plus 1 etc et ça maintenant je moyenne justement c'est une mesure produit donc je moyenne par rapport à la mesure naturelle sur les n premières lettres d'accord j'ai un alphabet pour avoir un espace produit il faut un alphabet puis on fait le produit ce qui se passe sur chacune des lettres et donc si on s'amuse à vouloir oublier la dépendance sur les n premières lettres c'est une mesure sur chaque lettre alors donc ce point là il va souvent apparaître donc j'ai envie de dire ce qui vient après c'est le décalage puis sans scène appliqué à b et que je rajoute des lettres devant donc symboliquement je vais noter comme ça ce point là pour éviter de mettre des virgules des traits etc c'est là la suite donc les lettres à partir du coin plus 1 c'est les lettres de b et puis sur l'écran 1 a n c'est les g1 g2 gn c'est pas une action groupe c'est ça que je veux dire c'est juste une notation d'une suite voilà alors ça c'est la formule donc on peut reformuler la loi du 01 de Kolmogorov en disant que si je prends n'importe quelle fonction pour presque tout de suite b quand je prends cette suite d'intégrale là eh bien elle converge vers l'intégrale de phi l'inspérence conditionnelle et une fonction contre la tribu triviale c'est juste l'intégrale de la fonction d'accord donc la loi du 01 de Kolmogorov elle dit quand je prends cette suite là presque sûrement elle converge vers l'intégrale de phi on va pas l'utiliser mais c'est ça que c'est dit voilà alors maintenant j'en viens à la situation dynamique qui m'intéresse c'est la situation d'un système dynamique fibré et là vous allez comprendre pourquoi je veux pas utiliser étudier nu mais étudier les nubés depuis le début je vous dis quand j'ai mon groupe G là pour l'instant j'utilise juste vous voyez il n'y a pas d'espace homogène ni rien maintenant je vais dire bon espace mon système dynamique sur lequel je veux regarder les tribuqueux ça va être un système qui va être fibré au dessus du bernouilly et la fibre elle vient du fait que j'ai un espace X que j'ai une action de mon groupe G sur X il y a une mesure de probabilité donc j'ai mu sur G là j'ai nu et j'ai le produit de convolution mu étoile nu là qui est égal à nu j'ai une mesure stationnaire alors depuis le début je vous dis une mesure stationnaire et bien je préfère la regarder je traduis les nubés donc je pousse par b1, bn la mesure nu ça converge à la nubé c'est cette magnifique relation d'équivalence nu tb égal b1,1 nubé et depuis le début je dis en fait je préfère utiliser nubé et donc là je vais vous dire précisément pourquoi pourquoi et bien parce que c'est de formule d'espérance conditionnelle que j'ai écrite là et bien cibré elle va encore être vraie et ça c'est une propriété qui est associée à la relation d'équivalence donc je vais introduire j'ai introduit on a vu la dernière fois que toutes ces relations d'équivalence qui apparaissent ici là vb, tb, bn, 1,1x etc c'est des relations en-dessus d'une certaine dynamique je décale la suite et j'applique b1,1 au lieu d'appliquer b1 j'applique b1,1 si j'applique b1 la mesure naturelle à la regarder c'est à la mesure beta-tenseur nu mais moi j'ai envie de regarder la mesure fibrée ou sur chaque fibre que je vois c'est nubé donc ça veut dire j'introduis bx j'ai déjà introduit ces notations la dernière fois c'est b x mais simplement je mets cette notation là parce que la mesure que je vais mettre dessus n'est pas une mesure produit je veux bien insister sur le fait que cette espace n'est pas un espace produit par contre c'est un espace fibré c'est à dire que je le munis la mesure beta x c'est alors je l'ai noté comme ça la dernière fois je le remets des beta de b c'est une intégrale sur b donc qu'est-ce que c'est cette mesure maintenant qu'on sait parler mesure conditionnelle j'ai une base qui est b la fibre au-dessus de chaque point cx et donc on sait que d'écrire une mesure quand on a une situation fibrée d'écrire une mesure c'est d'écrire une mesure sur la base et une mesure conditionnelle sur chaque fibre donc qu'est-ce que je suis en train de dire je regarde la mesure dans la projection et la mesure beta sur la base et la conditionnelle au-dessus d'un point b c'est la mesure c'est la mesure du b maintenant qu'on a ce langage et mesure conditionnelle j'avais rapidement fait ce dessin dernière fois mais il s'insère dans ce vocabulaire des mesures conditionnelles j'ai une fibration donc donner une mesure sur la fibration ça revient exactement donner une mesure sur la base et une mesure sur la fibre donc c'est ça que je note symboliquement comme ça c'est cette mesure fibrée voilà maintenant du fait donc il y a une transformation sur cet espace qui est celle qu'on voit apparaître dans toutes ces relations d'équivalence qui sont écrits au-dessus qu'on a utilisé déjà donc on a dit qu'elle était ergodique quand la mesure nu est mu ergodique c'est la transformation tx de bx égale tb mais un moins un x donc cette transformation eh bien du fait de la relation d'équivalence elle va préserver cette mesure beta x mais la relation d'équivalence c'est pas équivalent au fait qu'on préserve c'est plus fort et précisément parce que je pourrais si je faisais la même chose mais qu'au lieu de b1 vous voyez c'est quand je m'intéresse au cas au système dans le bon sens c'est à dire que au lieu d'appliquer b1 moins un j'applique b1 je préserve une mesure produit que la mesure produit de beta avec nu et précisément bah dans cette mesure produit on n'a pas une relation d'équivalence pour les conditionnels dans la fibre pourtant on a une mesure qu'est un variant de pas la dynamique produit fibré d'accord donc cette relation c'est pas équivalent si la base c'est à dire quand j'ai une relation de ce type si la base est objective si j'ai une relation de ce type sur une mesure fibrée elle est équivalente au fait qu'on préserve la mesure fibrée mais quand la base n'est pas objective c'est pas équivalent c'est plus fort et en fait c'est équivalent au fait que si on a une formule d'espérance conditionnelle sur la base elle se remonte dans la fibre c'est absolument équivalent c'est un exercice de terrain de la mesure on l'a rédigé dans l'article avec qui c'est illisible tout le monde a ralé parce qu'on avait mis ça c'est parce que à un moment voilà mais ce que je veux dire c'est que la proposition c'est qu'à cause de ma relation d'équivalence si j'ai une fonction phi qui appartient à l1 de bx pour la mesure beta x si je note qnx c'est l'attribut j'ai pas donné le nom à l'attribut l'attribut completé de l'attribut produit je l'appelle bx ici qnx c'est l'attribut inverse par tx autant n dans la mesure beta x d'accord et bien l'espérance conditionnelle de phi contre l'attribut qnx évalue en un point bx c'est rien d'autre et bien c'est la même formule elle est où la formule je l'ai effacé non elle est là-haut vous avez la formule là-haut c'est la même formule c'est là c'est grave surgir et puis s'en saignent de phi du point donc que j'ai dit que dans rien avant je l'appellerais comme ça et puis là il faut mettre un x d'accord ben alors qu'est-ce que c'est que le x ben une fois que j'ai changé le x ça doit être quelqu'un qui quand je lui applique le x prime qu'il faut mettre ici c'est quelqu'un qui commence qui quand je lui applique la dynamique au cran n doit tomber au même endroit que bx hein l'attribut que autant n c'est l'attribut qui dépend que des images des points autant n de la dynamique d'accord donc le gars que je dois mettre là autant n quand je prends le gars donc la première composante c'est ça et la seconde composante c'est ce que je vais mettre dans une minute autant n il doit arriver au même endroit que bx donc il n'y a qu'une seule formule possible c'est g1 gn bn-1 b1-1 x donc le point c'est dans la fibre j'ai une dynamique fibrée mais dans la fibre j'agit par des bijections d'accord donc une fois que j'ai dit comment je changer le début du mot ici je suis coincé pour arriver au même endroit que bx au cran n de la dynamique je suis obligé de mettre ça hein et le point ici c'est que la mesure que je mets là je moyenne ça par rapport à la même mesure que sur la base hein c'est-à-dire j'ai cette formule qui marche sur la base de ma dynamique fibrée et nécessairement quand je regarde la formule dans la dynamique fibrée bien quand j'ai calculé une espérance conditionnelle quand je l'avais pris but que autant n je dois moyener les valeurs de la fonction contre les gens qui autant n de la dynamique rejoignent bx hein les gens qui autant n de la dynamique rejoignent bx ben c'est cela hein ils s'écrivent nécessairement sous cette forme mais maintenant la mesure mais maintenant je dois moyener la fonction hein sur ces gars là pour une certaine mesure vivant sur l'ensemble des gars qui sont de cette forme c'est ça l'expérience conditionnelle hein j'ai une tribu je sais que j'ai une mesure conditionnelle qui vit sur l'ensemble des gens qui s'écrivent de cette façon là et le point c'est que la mesure conditionnelle ici elle dépend pas du x c'est ça ici c'est vraiment le point important dans tout ce que je vais faire aujourd'hui c'est que si je change de x en ce que j'ai fixé le b sur la base si je change de x ben j'ai paramétré la fibre d'une façon je vois toujours la même mesure sur la fibre d'accord et cette propriété là qu'il y a quelque chose ici le fait qu'il y ait une mesure qui vérifie ça c'est normal c'est juste le fait qu'on a une espérance conditionnelle quand on a une espérance conditionnelle dans des espaces de Lebesgue ben ça a des mesures conditionnelles le fait que la mesure dépendent pas du point alors ça c'est absolument crucial et c'est complètement équivalent la relation d'équivalence c'est parce que j'ai la relation je le fais pas parce que ça fait des intégrales énormes mais c'est comment formel c'est complètement équivalent la relation d'équivalence voilà donc ça c'est c'est vraiment un point important et c'est pour ça qu'on a obligé de travailler avec les nubés c'est que si on essayait d'écrire une formule comme ça mais pour la dynamique dans l'autre sens ben on aurait une formule comme ça on pourrait essayer de décrire un petit peu la masse qui apparaît la distribution qui apparaît mais elle dépendrait a priori du point X voilà et donc ça c'est un phénomène on a étudié ces systèmes on a essayé de faire des choses là-dessus pendant des mois avant de comprendre qu'il fallait pas justement que c'était dans cet espace qu'il fallait travailler que c'était avec les nubés et pas avec la mesure nu et là vraiment j'insiste parce que c'est un point essentiel dans tout ça c'est parce qu'il y a cette formule et cette formule elle est équivalente à la relation d'équivalence ici c'est une traduction de la relation d'équivalence c'est pas évident mais je veux dire une fois qu'on l'a une fois qu'on se dit c'est équivalent il n'y a aucune subtilité dans la démonstration c'est que des calculs formels mais je veux dire le point c'est qu'on va exploiter la relation d'équivalence sous la forme de cette formule parce que maintenant j'ai le théorème de convergence des martingales donc je sais que ça a une limite et donc c'est la fonction caractéristique d'un ensemble de grosses mesures cette limite elle est partout grosse en tout cas sur un ensemble de grosses mesures elle est grosse et donc ça veut dire que quand je pars d'un point si je regarde à première composante fixée j'ai des familles dans une orbite sous le groupe j'ai des familles d'éléments qu'on tendance à s'équilitribuer et c'est exactement les propriétés du type de celles que je vous ai annoncées quand je vous ai dit comment on allait exploiter les propriétés des mesures conditionnelles donc c'est cette formule que je vais exploiter ok parce que maintenant la gratuite vous voyez tout ça c'est que du langage donc gratuite par théorème de convergence martingale je sais que ça a tendance à s'équilitribuer donc je sais que dès que j'ai un groupe c'est très général j'ai un groupe qui a une mesure mu et ben par rapport à la mesure nubée ce genre d'objet là ça a tendance à s'équilitribuer c'est ça que je vais voilà ça c'est le même abstrait général de théorer de la mesure et donc maintenant je vais essayer de comprendre le point c'est que maintenant vous voyez ce qui se passe c'est que si je suis dans une situation elle se passe homogène donc je travaille voilà il faut toujours penser B il va être fixé et donc j'ai des points qu'on sait être là alors ce que je vais faire c'est que maintenant nubé je vous ai dit si nubé si nubé si nu ne charge pas les points nubé ne charge pas les points donc en particulier ben cette théorème puisqu'il est vrai à B fixé il est vrai nubé presque partout il est vrai sur des points proches donc j'ai l'appliqué points proches alors au début évidemment il n'y a qu'un seul élément du groupe que j'agis pas lequel j'agis donc ça ça bon ben il y a deux trajectoires mais il y a un moment là le gars que j'applique c'est un mot aléatoire pour un produit de matrice aléatoire et donc si j'ai deux points qui diffèrent par une tristée de translation du groupe ben ce que je suis en train de faire c'est que j'applique à cette petite translation un produit aléatoire de matrice et ça par la théorie de Furstenberg c'est exactement comment ça se comporte je vais jouer avec ça pour l'instant je ne peux pas dire exactement comment j'ai l'appliqué mais c'est ça la stratégie c'est vraiment l'idée de la dérive exponentielle c'est qu'on a cette formule d'espérance conditionnelle et quand on l'applique à des points proches dans Ratner on prend le terrain d'ergotique de Birkhoff on l'applique à des points proches on regarde comment les orbites divergent et ici cette partie là on sait pas comment la traiter c'est un mot du groupe en tout cas c'est le même et puis alors quand on arrive là alors là c'est vachement bien une matrice aléatoire pour la mesure de probabilité c'est ça qui dit cette formule c'est que c'est la mesure de probabilité puis s'enseignent là et on a un produit de matrice aléatoire qu'on applique et bien ça c'est très bien comment ça a tendance à développer les vecteurs on a la théorie de Fleur-Somberg que je vous expliquais en long, large, en travers pendant les premières séances parce que j'avais ça en tête quand même c'est pour ça que j'ai joué autant passer de temps dessus voilà alors donc maintenant je vais rentrer dans la dérive elle-même je vais appliquer cette formule et je vais faire des hypothèses ce que je vous avais dit c'est que maintenant je vais faire des hypothèses pour... je vais commencer par traiter un cas particulier peut-être que je vais garder ça donc qu'est-ce que c'est que mes hypothèses et bien je veux pas être embêté avec le fait que la jeppe de lit peut avoir plusieurs composants tiréductibles donc je vais supposer que l'action adjointe donc ça c'est une hypothèse que j'ai fait à la fin aujourd'hui je vais supposer que quand je prends l'action adjointe de gamma u sur la jeppe de lit cette action est irréductible ou fortement irréductible c'est pareil parce que je vais supposer que l'adhérence de la risquée était connex et donc ça essentiellement il y a 2 cas bon adhervêtement prêt il y a 2 situations où ça se produit parce que c'est quand même gros on a un sous-groupe d'un groupe de lit on demande que son action adjoint soit irréductible puis lui-même son action adjointe est irréductible en particulier donc il n'y a pas 36 cas en fait ça veut dire essentiellement adhervêtement prêt ce que je suis en train de dire c'est que soit g est simple et gamma mu est la risquée dense dans g donc ça c'est un exemple dont j'ai déjà parlé par exemple un g égale SL2R conscienté par un réseau voilà lambda égale SL2Z et puis gamma mu c'est un sous-groupe de la risquée dense de SL2 l'autre cas où ça se produit c'est adhervêtement prêt encore une fois g on peut dire g c'est gamma mu produit smidirect le tort et d peut-être non on va dire essentiellement g c'est un sous-groupe de SL2Z produit smidirect le tort et d lambda c'est SL2Z intergé voilà et à ce moment-là gamma eh ben il agit par automorphisme gamma mu ça partit d'une erve à la risquée dense dans SL2Z et il agit par automorphisme à fin non enfin gamma agit par automorphisme à fin sur ce tort sur Td et gamma mu l'hypothèse d'irritibilité dit que gamma mu agit fortement irréductiblement sur Rd c'est à dire c'est les deux situations essentiellement où on a un groupe de lits et un sous-groupe gamma du groupe de lits qui agit fortement irréductiblement sur l'algebra de lits voilà dans ces situations donc c'est ça qui m'intéresse un soit je vais classer les mesures stationnaires encore une fois soit pour un sous-groupe à risquée dense d'un groupe simple g agissant dans g sur lambda soit pour un groupe d'automorphisme d'un tort qui agit de façon irréductive fortement irréductive sur le Rd alors donc dans ce cas là j'ai toujours mon application B donne VB mais j'ai aussi ce que j'ai appelé tau la dernière fois tau c'est quoi c'est une application qui va de B dans R et j'ai dit que quand je prenais un V qui était dans VB ça se remettait parce que ça c'est un V gothique ça se voit pas beaucoup quand j'écris quoi c'est un vecteur dans un V gothique c'est pas terrible V différentes zéro j'ai dit que quand je faisais la norme de B1 moins un V divisé par la norme de V c'était à une constante près c'est universel égal à exponentiel moins tau B j'ai introduit une fonction qui vérifiait ça peut-être pas la dernière fois avant la dernière fois j'ai dit quand j'ai une action fortement irréductible c'est cet espace VB et je sais que j'ai une fonction qui vérifie cette propriété quand VB dimension 1 c'est immédiat et quand VB dimension plus grande j'ai dit que c'était ça qui se passait et l'intégrale de tau d'Ebeta elle est strictement positive et c'est l'exposant il y a plus d'offre donc j'ai une fonction comme ça et voilà qu'est-ce que je voulais dire c'est tout alors pourquoi où je veux utiliser fortement irréductible eh bien j'ai utilisé pour dire qu'elle n'a qu'une fonction comme ça parce que quand la représentation n'est pas fortement irréductible quand elle est somnirac d'irréductible eh bien chaque composante VI me donne une fonction il n'y a pas il n'y a pas de raison que ces fonctions se comportent pareils d'accord donc c'est là que j'ai utilisé fortement irréductible c'est pour dire que j'ai qu'une fonction à traiter le comportement asymptotique de la norme des matrices est donné par une fonction et là on repartit alors oui parce que j'ai écrit ça mais en fait j'aurais pas dû l'écrire comme ça excusez-moi c'est que quand je prends le temps N ici c'est encore égal à une constante près à exponentiel moins la somme de Birkhoff il y a une fonction qui vérifie ça et voilà c'est que la constante elle dépend pas du N et voilà et l'intégrale de taux d'Ebeta est strictement positive c'est à dire que cette somme de Birkhoff elle va partir linéairement vite vers l'infini donc cette norme là quand j'agis de cette façon là elle a tendance à diminuer exponentiellement vite voilà donc j'ai cet objet qui arrive et maintenant donc on va voir dans une minute ça quoi il sert et ce que j'ai aussi envie de dire c'est d'écrire maintenant c'est des mesures conditionnelles donc des mesures conditionnelles pourquoi eh bien j'ai ce groupe VB et j'ai envie de montrer que la mesure Nubé c'est ça tout mon truc au dessus c'est de montrer que la mesure Nubé elle a essentiellement des propriétés de la variance sous VB d'accord ces propriétés de la variance je vais détecter comment avec le petit critère que j'ai donné tout à l'heure et je vais donner donc je vais étudier les conditionnelles de ma mesure Nubé sous l'action du groupe VB donc je peux définir et alors ce qu'il va se passer c'est que donc j'ai cette action là du groupe VB et je vais définir Robix donc qu'est-ce que c'est eh bien c'est une mesure de radon sur le groupe alors sur le groupe j'ai noté grand VB grand VB c'est l'exponentiel de l'algebraie de l'I petit VB donc c'est la conditionnelle pour l'action pour l'action pour l'action naturelle de VB sur X j'ai sur lambda mais ni de la mesure Nubé j'ai une action d'un groupe sur un espace boréliens standard mais ni d'une mesure l'action n'a aucune raison pour l'instant de préserver la mesure mais je peux détecter les obstructions à préserver la mesure par cette mesure conditionnelle et la relation des cuvariants s'applique encore c'est-à-dire que comme tout est unique rho TB B1-1X eh bien c'est rien d'autre que l'action adjointe de B1-1 appliqué à Robix c'est-à-dire puisque l'action adjointe envoie VB sur VTB elle envoie les mesures de radon à normalisation près sur VB sur les mesures de radon à normalisation près sur VTB donc pour l'instant cet objet n'est pas génial parce que j'aimerais bien voir ça comme un objet vivant au-dessus de toute la dynamique TX et là vous voyez le problème c'est que l'espace cette application BX donne Robix elle arrive à un certain espace mais qui dépend de B donc je vais tout normaliser parce que pour faire la torre ergodique je préfère avoir des applications qui arrivent vers un espace fixe j'aime pas les sections donc je préfère l'application vers un espace fixe alors c'est ce que je vais faire parce que tous mes VB ils sont conjugués les uns entre les autres dans le groupe G pourquoi ? parce qu'à cause de la relation des cuivariances si vous regardez on a déjà fait ce raisonnement là la dernière fois comme vous avez VTB que l'action adjointe de B1 puissance moins 1 de VB eh bien quand vous regardez l'orbite de cet algèbre de l'I dans la grâce manienne dans toute l'action du groupe des automorphistes de l'algebra de l'I eh bien vous voyez un point fixe et quand vous avez un groupe algébrique qu'agit sur une variété algébrique l'espace caution est toujours standard il n'y a pas d'ergodicité pour les actions de groupe algébrique ce qu'on appelle un terme de l'icité si vous avez G qu'un groupe algébrique qui agit de façon G il agit sur une variété algébrique par une action qui est un morphisme d'écroivée dans V sans morphisme de variété eh bien l'ensemble V sous G c'est un espace point de vue de la structure boréenne c'est une structure boréenne standard il peut y avoir des orbites dont l'adhérence qu'on tient d'autres orbites etc. la topologie n'est pas forcément bonne mais la structure borélienne il n'y a aucun problème ça c'est un espace standard donc ça veut dire que si je regarde l'application qui a B la dimension à cause de cette relation de l'équivariance et de l'ergodicité du shift G elle dépend pas de B d'accord et si je regarde l'application qui a B associé le je vais de B B B donne l'orbite sous le groupe des automorphistes de G de l'algète de l'ISB donc ça ça va de B dans la grâce manienne des R sous espace de l'algébrique co-scienté par le groupe des automorphismes cette propriété me dit que cette application est invariante d'accord donc toutes ces algèbes du décalage elles sont conjugées les unes entre les autres donc je veux en fixer une je veux j'ai une section de fibré quelque part au BX c'est une section de fibré j'ai envie d'en faire une vraie application donc il faut que je trivialise mon fibré c'est ça que je suis en train de dire voilà c'est ce que je suis en train de faire point de vue mesuré un fibré c'est toujours trivial voilà donc qu'est ce que je dis ici je dis que je vais choisir une fois pour toutes une sous-algèbre de l'IV0 et et je vais choisir une application S qui va de B dans le groupe des automorphismes de G tel que VB c'est S de B V0 voilà et puis alors bon ben là c'est un peu de terroristes structures des groupes de lits mais c'est assez facile de voir qu'en fait S de B on peut supposer que c'est une isométrie vous voyez si vraiment l'orbite ici dans le cas abélien l'orbite les automorphismes de l'Algebe de l'I ce serait juste SLDR et l'orbite ce serait toute la grâce manienne et donc le groupe le SOD il agit transitivement sur la grâce manienne voilà et l'orbite en fait elle est toujours fermée l'orbite qui joue un rôle ici c'est pas très difficile c'est essentiellement des raisonnements proches de ce qu'on a fait la dernière fois enfin ou alors c'est juste la théorie d'implantation voilà l'orbite est toujours fermée et donc en fait ici ce n'est pas très dur de montrer qu'on peut supposer qu'S2B c'est une isométrie je ne vais pas le faire parce que sinon je ne vais jamais terminer voilà donc le S2B c'est une isométrie et du coup maintenant bah mon action ici je peux l'écrire comme l'action d'un je peux l'écrire voilà et dans le même goût excusez-moi je prends une minute ici là j'ai dit que ça c'était à une constante près mais en choisissant bien la norme je peux supposer que c'est égal j'ai supposé là je reviens en arrière une minute que vraiment l'action de mes matrices là dans cet espace VB c'est une similitude je commence à faire des simplifications là voilà c'est pas ce que vous êtes en train de dire c'est que vous avez quelque part un machin qui est égal à quelque chose un cocicle borné prêt donc le cocicle une fois qu'il sait qu'il est borné bah il est homologue une constante fin il est homologue hein c'est pas très difficile enfin je vais dire c'est la structure mais il n'y a pas de problème on peut supposer que c'est égal donc qu'est-ce que c'est c'est un théorème de point fixe pour des actions des espaces symétriques quand on a un groupe compact d'isométrie c'est sur train de dire essentiellement que quand on a ce groupe compact de GLN eh ben il présente un produit scalaire c'est quelque chose comme ça que je suis en train de dire quand je dis que c'est égal c'est juste ça j'entreprends les détails mais il n'y a pas de problème de dire que c'est égal voilà alors maintenant du coup mon action de VB je veux la voir comme une action de V0 sur l'espace B x et donc je vais définir quand j'ai U qui appartient à l'exponentiel de V0 que j'ai noté V0 eh bien je vais définir Phi U de B x qu'est-ce que c'est ben je suis à la place B donc il faut que j'asise par le groupe VB donc ce sera B et je prendrai S de B U de X qu'est-ce que j'ai écrit c'est ça ça va ça fait sens que j'ai dit peut-être pas de taffé je veux agir je veux remettre le groupe donc c'est plutôt U il s'écrit comme exponentiel de V d'accord et c'est S c'est exponentiel de S de B V appliqué à X voilà ça a du sens et alors maintenant le point c'est que cette application ben du fait de cette relation ici je veux traduire la propriété d'équivalence maintenant je vois plus la propriété avant j'agissais à la place B j'agissais par VB et j'avais un bon lien entre le shift Tx agissant sur Bx et l'action de ce qui se passait à la place B d'accord et ça se traduit donc ça c'est immédiat par le fait que si vous prenez Tx de Phi U Bx et bien ça qu'est-ce que c'est et bien c'est si U s'écrit exponentiel V c'est l'exponentiel c'est Phi de l'exponentiel de exponentiel moins Tb le fait le point c'est que quand j'agis quand j'agis par B1 je passe de VB à VTb mais quand je passe de VB à VTb ben la norme je l'ai changé je l'ai multiplié par exponentiel moins Tb d'accord donc puisque je l'ai multiplié par exponentiel moins Tb mais que j'ai dit que mon S2b la section c'était une isométrie d'accord quand je pousse je dois avoir d'une façon ou d'une autre contracter mes vecteurs par exponentiel moins Tb si vous faites le calcul en fait c'est exactement ça c'est-à-dire que vous avez poussé mais U vous l'avez multiplié par exponentiel moins Tb et puis peut-être que vous l'avez fait tourner donc il y a un Theta de B ici et puis là c'est U qui agit sur Tx de Bx ça c'est juste ou dit le fait que puisque j'ai normalisé tous les Vb par une isométrie et puisque l'action de B1 puissance moins 1 eh ben ça prend la norme de Vb et ça la contracte en exponentiel moins Tb nécessairement l'action du shift ici eh ben elle va contracter le U alors Theta qu'est-ce que c'est une application qui va de B de V0 essentiellement c'est juste S2Tb puissance moins 1 S2B ou quelque chose comme ça U il est dans V0 ouais normalement c'est bon ça c'est un nombre ça c'est une isométrie ça c'est un vecteur donc ah pardon de V U il s'écrivait exponentiel V merci ce que j'ai dit c'est que j'ai contracté l'isométrie par exponentiel moins Tb voilà ça c'est vraiment juste la traduction de cette propriété bon j'ai pensé j'ai enlevé le A assez près parce que à un moment si je ne mets plus un assez près ça va devenir absolument illisible parce que je veux déjà que là c'est pas très lisible voilà donc ce que je dis c'est que qu'est-ce que c'est cette action FIU c'est j'ai une dynamique Tx et j'ai envie de dire que les feuilles Vb là c'est des feuilles stables c'est-à-dire que sur ce feuilletage la dynamique Tx a tendance à contracter le fait que c'est vrai c'est à cause de ça d'accord quand Tx agit il multiplie ce qui se passe sur la feuille Vb par ordre par exponentiel moins Tb donc si je renormalise tous les Vb de manière uniforme c'est-à-dire que j'ai écrit tous comme unisométrie pour un V0 je dois voir que la dynamique elle contracte un exponentiel moins Tb c'est juste que j'ai dit un Ttab qui est une isométrie donc je vous le dis c'est juste S2Tb puis sans ce moins un S2b voilà parce que un truc comme ça peut-être S2Tb enfin bon je sais plus mais non c'est bien il y a le b1 quand même bon bref vous l'écrirez voilà donc en tout cas j'ai cette propriété voilà donc qui va m'être utile c'est-à-dire que je vois vraiment la feuille stable d'une dynamique alors comment varie maintenant à cause de cette propriété à cause de cette propriété eh bien je peux suivre maintenant les mesures que j'ai appelées robéix je vais les transformer en des mesures qui vivent sur V0 c'est-à-dire que je vais noter Cbx ce sera juste S2b puis sans ce moins un robéix ou encore c'est juste la mesure conditionnelle le long de l'orbite du groupe fu pour cette action ici et la relation des cuivariants ça me dit exactement que si de Tb b1 puissance moins un x eh bien qu'est-ce que c'est c'est rien d'autre que exponentiel moins Tb Tb Cbx donc en quel sens je rappelle ça c'est une mesure de radon à normalisation près sur le groupe X V0 d'accord donc ça c'est une relation sur le groupe V0 eh bien il y a l'action des isométries et il y a les contractions d'accord et donc ça ça agit sur les mesures à normalisation près donc le long de la dynamique c'est comme ça que ça se passe et alors eh bien eh bien maintenant imaginez que Tb est constant égal à 1 une minute et que Tb est l'identité allez on imagine des têtes de trucs imaginez ça eh bien là vous êtes en train de dire que si vous connaissez que Tb B1-1x vous savez calculer Xbx d'accord donc en particulier dans ce cas-là eh bien la fonction Bx avec cette hypothèse la fonction Bx d'un Xbx eh bien elle est mesurable par rapport à la tribu que puisque vous savez qu'elle ne dépend en fait vous savez la reconstruire c'est important de ce qui se passe au cran 1 de la dynamique donc au cran 2 au cran 3 etc donc ça je vais ça c'est la stratégie c'est pour ça que j'ai fait toutes ces constructions c'est que ma mesure c'est là là il y a un input c'est que la mesure conditionnelle quand on l'a bien calculé elle les mesura par rapport à tribu que alors évidemment sous ces hypothèses donc si vous avez dans les situations que j'ai mentionné c'est jamais vrai que Tb est égal à 1 Tb on peut se débrouiller mais Tb c'est un genre de cossic donc on peut toujours se débrouiller il y a des cas pardon c'est pas vrai mais il y a des cas où on peut se débrouiller pour avoir Tb égal à 1 Tb n'est jamais égal à 1 donc maintenant ce que j'ai fait c'est que j'ai fait comme si Tb était égal à 1 j'expliquerai après comment on fait pour traiter le cas général qui est en fait le vrai cas par contre ce qui est vrai c'est que si vous travaillez dans le Kp adique alors là il y aura aucun problème pour faire des exemples où Tb est égal à 1 d'accord donc je vais continuer je vais faire comme si Tb était égal à 1 Tb est égal à 1 c'est-à-dire Tb est l'identité comme isométrie de l'espace B0 et de toute façon historiquement si je veux se dire nous c'est comme ça qu'on a fait c'est-à-dire on a commencé par traiter le cas Tb égal à 1 parce que de toute façon on savait qu'il y avait des exemples concrets c'était vrai c'est des Kp adique donc on peut se dire qu'au lieu de travail dans SL2R sur SL2Z on entre un travail dans SL2QP qu'au sur Tb on peut se débrouiller pour avoir toqué égal à 1 il y a des exemples qui marchent et donc on va déjà traiter ce cas là donc dans ce cas là il n'y a pas de problème on a une fonction qui est mesurée pour la tribuque et donc là dérive maintenant j'ai fait la dérive à partir de ma formule d'expérience conditionnelle là j'ai mis en place tout ce qu'il me fallait pour faire la dérive dans ce cas auto est égal à 1 et donc avant de le faire j'ai résumé maintenant ce que je vais faire exactement j'ai oublié la fonction d'expérience conditionnelle je voulais juste faire saigé enfin ensuite je vais l'appliquer à ça mais je voulais faire saigé pour vous montrer comment en renormalisant en prenant des sections etc la faim se récupérer quelque chose qui était mesurée pour la tribuque donc maintenant la proposition c'est sous toutes les hypothèses que j'ai dites jusqu'à présent et en plus en supposant to égal à 1 et theta égal à l'identité presque sûrement et bien je vérifie sur mon papier parce que je ne veux pas me planter j'ai droit à une antisèche donc je vais me donner un Y qui sera un Borelian standard et je vais me donner une application P qui va de l'espace que j'ai donné BX dans Y je vous rappelle X et G sur lambda il y a une mesure mu elle agit de façon irréductible sur la jeppe de lit du groupe j'ai la fonction tau la fonction theta que j'ai construit donc il y a une classe de comologie en réalité et je suppose que cette classe de comogie s'incombe au bord et que ce tau est partout égal à 1 et je me donne maintenant une application comme ça et qui me mesura pour la tribuque donc ensuite quand je l'appliquerai je l'appliquerai à ça moralement c'est mon application mesure conditionnelle et donc ce que j'ai fait c'est que je vous ai dit donner une application mesurable c'est donner une partition donc l'idée c'est que j'ai envie de montrer donc donner une application comme ça ça veut dire que j'ai partitionné un orbite et ce que j'ai envie de construire c'est la chose suivante j'ai envie de montrer que dans mon orbite à un endroit j'ai l'action de mon groupe V0 et quand j'ai un point X il y a son atome pour la partition et ce que j'ai envie de construire c'est un autre point X prime qui est dans le même atome et tel qu'il y a aussi un certain exponentiel U X prime qui est toujours dans l'atome j'ai envie de réaliser ça c'est à dire que si la mesure elle est invariante si la partie tribuque est triviale et que la mesure est invariante par translation par ce groupe exponentiel U là eh bien il n'y a pas de problème d'égalice prime etc ok mais donc j'ai envie de cette proposition c'est un premier pas vers l'invariance c'est de dire bon alors si j'ai un atome de la tribuque qui est à changer de point dans l'atome je peux trouver un point tel que en le poussant un peu par un temps de cette action là de V0 je reste encore dans le même atome et en fait ça ça suffira c'est ça la dérive ça c'est le résultat de la dérive et encore le résultat de façon plus fine le résultat c'est ça maintenant je vais donner un énoncé formel mais c'est exactement ça que j'ai en tête vous allez voir parce que c'est formel vous allez déguster alors cette application est mesurable donc je dis qu'il existe une constant de C plus grand que 1 et ça ça va être associé au fait que la mesure est compact la mesure est un support compact qu'à l'appropriéité que pour tout ensemble inclut dans Bx de mesure totale eh bien pour tout epsilon bon on va le mettre comme ça en fait pour tout Bx qui appartient à Bx et pour tout epsilon strictement positif il existe un point Bx prime qui appartient tel que P de Bx est égal à P de B prime X prime donc c'est-à-dire là je dis les atomes c'est les fibres de cette application donc je dis qu'il y en est en train de parler de ce X prime d'accord et j'ai dit que si j'avais une propriété qui était vraie presque partout je peux aussi supposer qu'elle est vraie en X prime d'accord je peux le choisir dans l'atome et puis dans n'importe quelle d'ensemble de mesure 1 c'est ça que je dis vous allez voir dans une minute qui c'est E et il y a un point qui est dans le même atome et il existe un vecteur V donc je vais le prendre dans la jette de lit V0 tel que la norme de V est comprise entre epsilon et c'est faux epsilon je peux faire ça, ce que je vais faire en fait c'est que je peux avoir des translations arbitrairement petites ou arbitrairement grandes je m'en fous un peu voilà tel que exponentiel donc B prime exponentiel V alors comment l'appeler, j'appeler ça que phi euh quand je prends phi exponentiel V appliqué au couple B prime X prime eh bien c'est encore dans E et pi de ce point eh bien c'est égal à pi de B prime X prime qui est aussi égal à pi de B d'accord donc c'est exactement le dessin qui est là j'ai mon point et j'aimerais bien que ma mesure elle ait des petites propriétés de stabilité par translation par cette action phi U bon alors ce que je sais je sais pas si c'est vrai mais je peux soin que si je change dans l'atome si je remplace mon point par un autre point dans le même atome pour la tribu que alors il y a une petite propriété de stabilité très faible voilà et en fait ça a l'air vraiment pas beaucoup mais il se trouve que avec tous les propriétés les mesures conditionnelles que j'ai données je vous ai dit quand j'ai 2 points si ils sont sur la même orbite dire que la mesure conditionnelle prend la même valeur ça veut dire que la mesure conditionnelle est une propriété d'invarence si pi c'est l'application de la mesure conditionnelle c'est exactement ce que j'ai fait d'accord j'ai construit 2 points pi ça va être l'application mesure conditionnelle qui est là et donc j'ai construit 2 points où pi prend la même valeur et pourtant il diffère d'une petite translation donc j'ai montré que la conditionnelle avait une propriété d'invarence donc j'ai montré que la conditionnelle ici avait une propriété d'invarence j'ai construit une mesure et elle a une variante par la translation arbitrairement petite donc elle a une variante par un groupe connex et c'est ça une fois que j'ai ça je vais dérouler le groupe connex qui va préserver la mesure c'est celui que j'ai appelé VBX d'accord ? c'est ça la stratégie donc je pense que là je vous ai à peu près convaincu qu'une fois qu'on a montré un résultat comme ça c'est super technique comme formulation mais on a gagné grâce aux constructions qu'on a faite de mesures conditionnelles etc donc j'ai le démontré alors la preuve, l'idée c'est d'appliquer la formule d'espérance c'est de construire ce B prime X prime en partant de BX c'est en appliquant la grosse formule d'espérance conditionnelle pour être sûr de choper les points dans des ensembles de grosses mesures etc je vais le faire en détail alors l'argent de trucs il y a toujours des passages à la limite ça c'est vraiment des schémas de preuve standard dans cette théorie ça va être la limite d'une fuite de points qu'on prend dans l'orbitre etc donc qu'est-ce qu'on fait ? en fait on va dès le début on va s'assurer qu'on peut passer à la limite donc on va prendre, on fixe un nombre alpha strictement positif qui va être arbitrairement petit ensuite et puis on prend K1 un cul dans, je sais pas qui un cul dans BX donc je minis BX de la topologie produit en fait on s'en fout un peu de la topologie qu'on met mais je prends K1 et puis c'est un compact ça soit les limites que je vais prendre fibrafibre donc ça pourrait être un ce qui compte c'est que l'intersection avec chaque fibre soit un compact d'accord ? c'est un compact de mesure plus grande que un mois alpha et alors sur ce compact je vais supposer maintenant que toutes les applications qui apparaissent c'est-à-dire BDNVB qu'est-ce qu'il y a d'autre il n'y a que ça BX DnPBX les applications, toutes les applications que j'ai construites je suppose qu'elles sont continues ça n'est absolument pas un problème quand j'ai un espace mesuré alors vous allez me dire il n'y a pas de topologie sur Y je m'en fous, je mets n'importe quelle topologie pour laquelle la structure borélienne c'est la structure à laquelle on pense ça a rien dans le même donc j'en choisis une et à ce moment-là je sais qu'il y a un ensemble de grosses mesures où mes fonctions sont continues il y a un compact de grosses mesures où mes fonctions sont continues ça n'est pas le terme de l'usine c'est un exercice de teurer de la mesure donc je choisis un compact qu'à cette propriété là et maintenant mon jeu ça va être d'arriver à fabriquer des points avec des théorèmes d'écu-distribution et aller forcer à être dans mon compact alors oui je vais pas le prendre dans BX je vais être dans E j'ai joué à faire atterrir des points dans K1 avec mon théorème d'écu-distribution et à passer à la limite donc ce qui va m'intéresser c'est de regarder l'espérance conditionnelle ce que je sais fabriquer c'est cette quantité là j'ai une formule pour ça qui me garantira que je regarde les points qu'on rejoint quelqu'un et je regarde la proportion de ceux qui sont dans K1 d'accord donc ce que je vais lui appliquer je sais que cette quantité elle a tendance à être grande pourquoi elle a tendance à être grande parce que ça ça tend vers K1 tend vers l'infini ça tend presque sûrement vers l'espérance conditionnelle de K1 contre la tribu que ok et maintenant je prétends que cette fonction sa moyenne c'est 1 moins alpha d'accord et elle est partout comme c'est l'espérance conditionnelle d'une fonction qui est comprise entre 0 et 1 elle est partout plus petite que 1 donc quand vous avez une fonction plus petite que 1 dans la moyenne c'est 1 moins alpha et ben vous savez que la mesure de l'ensemble si j'ai appelé sa phi ou phi est plus grande que 1 moins racine de alpha ça c'est plus grand que 1 moins racine de alpha vous avez une fonction plus petite que 1 l'intervalle est grosse ben nécessairement elle a beaucoup de points mais elle est grosse voilà alors donc du coup ce que veut dire que j'ai cette limite ici qui est plus grande que 1 mois racine de alpha et ici j'ai quelque chose qui tend vers 1 mois racine de alpha donc ça veut dire que à partir d'un certain cran ça va être plus grand que 1 mois de racine de alpha sur un ensemble de grosses mesures d'accord donc je choisis K2 K1 ça c'est juste pour garantir que les fonctions sont encore continues sur K2 tel que et N0 un entier plus grand que 1 tel que l'espérance conditionnelle de phi pardon de la fonction caractéristique de K1 contre la tribu QANX ici et bien elle est plus grande alors j'en suis où dans mes racines de alpha mes machins elle est plus grande que 1 moins 2 racines de alpha sur sur quoi sur K2 et simplement ce qu'il me manque c'est la mesure de K2 je vais supposer que alors je veux K2 donc je perds un petit peu je vais dire que la mesure de K2 est plus grande que 1 moins 2 alpha puisque j'ai une suite qui converge simplement et bien ça veut dire qu'il y a un moment ou quand je prends une petite marge ici il y a un moment où c'est uniforme sur K2 voilà donc ça je peux fabriquer ça c'est juste et les mains de taris Miser Syri j'ai repas l'en anglais et maintenant j'applique ma formule je prends un X qui appartient à K1 à K2 pardon là d'où je veux partir donc je sais que cette quantité qui rejoigne X aux terrennes il y en a une masse très très grande alpha il est minuscule donc il y a une masse très très grande de gens qui vont tomber dans K1 c'est à dire alors maintenant je vais l'écrire je suis en train de dire que l'intégrale N quand je prends une plus grande que N0 d'accord l'intégrale sur G de la fonction caractéristique de K1 appliqué à ce que j'ai appelé G1 GN TNB alors ça je le connais par coeur j'ai un GN BN-1 BN-1X D N 2G1 GN ça c'est plus grand que 1 moi je suis juste en train de récrire ça avec ma formule pour l'espérance conditionnelle c'est plus grand qu'un mois de racine d'alpha donc ces gars là pratiquement tous ils sont dans K1 et alors le jeu maintenant c'est que j'ai envie de prendre une suite xp qui est une suite de points qui est incluse dans K2 et tel que xp est envers x et de comme c'est dans K2 ça c'est vrai je peux remplacer x par xp là dedans mais xp il s'écrit exponentiel d'un petit vecteur vp x ou vp vp est envers zéro donc quand je vais faire ma formule je récupère exactement les mêmes points g1, gn c'est tout le point c'est que cette formule d'espérance conditionnelle ici la mesure dépend pas de x ce que je vous ai dit depuis le début c'est fondamental et donc ici je vais appliquer d'une part ce mot là le même je vais l'appliquer d'une part à x et une part à xp donc qu'est ce que je veux obtenir je veux obtenir des bons hommes là dès que quand j'applique les mots qu'apparaissent dans l'espérance conditionnelle dès que 1-2 racine de alpha est strictement plus grand qu'un demi j'ai des mots de ce type qui appartiennent à K1 à la fois pour x et pour xp puisque j'ai un ensemble de mesures c'est deux ensembles de mesures strictement plus grands que un demi c'est la propriété fondamentale de la théorie de la mesure c'est que quand deux ensembles sont strictement plus grands quand la mesure est 1 si il y a deux ensembles dont la mesure c'est strictement plus grand que la moitié nécessairement il s'intersecte tout tourne autour de ça les connaissances de ça c'est de la blague en fait le point clé c'est celui là vraiment donc si je vais arriver à fabriquer c'est une suite g1 gn d'accord tel que et quand je vais regarder le point associé donc je vais l'écrire tel que g1 gn de tnb appliqué à g1 gn bn-1 bn-1x il appartient à K1 mais la même chose avec xp ok donc je commence à avoir ce que je veux c'est-à-dire que je veux avoir des points entre les deux pourquoi ? parce que la distance entre les deux c'est exactement la translation qui passait de l'un à l'autre c'est l'action adjointe c'est l'exponentiel de l'action adjointe g1 gn bn-1 bn-1 appliqué à vp il a dit x ce gars là il s'écrit quand je le fais avec xp c'est ça fois ce que je fais avec x qu'est-ce que c'est que ce vecteur ? alors j'ai noté wvp j'ai un premier vecteur dans ce vecteur il y a deux moitié il y a une première moitié c'est g1 gn j'oublie l'action adjointe pour que ce soit plus clair ça c'est un mot aléatoire c'est un produit de matrice aléatoire et puis après il y a bn-1 bn-1 vp alors celui là par contre il est fixe il n'y a que b qui compte c'est pas très bien comment il se comporte on va voir dans une minute mais celui là il n'y a pas de problème parce que dès que je donne un ensemble de grosses mesures ben eux ils dilatent tous et comme la fonction taux est égale à 1 depuis le début c'est important c'est que la fonction taux est égale à 1 ceux là ils vont tous dilater de la même façon en exponentiel n l'exposant miapouneuf est égale à 1 et tout le monde dilate de la même façon il n'y a pas de fluctuation c'est ça que ça a dit le fait que la fonction taux est égale à 1 et là la norme essentiellement c'est exponentiel n au cran n donc la norme de ce vecteur je la comprends très bien et la direction aussi parce qu'elle est donnée par un vecteur vb je vais écrire ça dans une minute voilà la seule chose donc celui ça s'agrandit en exponentiel n d'accord la norme est exponentiel n et ben comme j'ai droit à un ensemble de mesures strictement positives de mots et ben si je donne un vecteur la plupart des mots dans mon ensemble de mesures strictement positives puisque j'ai droit j'ai droit à toute la mesure qu'il me reste entre 1 moins 2 racines de alpha et 1 demi donc je sais que je vais dilater les vecteurs en ma norme ça va gros dire en exponentiel n donc la seule chose qu'il faut que j'ai garantie c'est que ça ça ne tente pas vers 0 voir que ça ne tente pas vers 0 plus vite que exponentiel pour l'instant j'ai juste dit je vais prendre n'importe quelle suite xp qui tente vx donc vp ça peut même être 0 donc la seule chose qu'il faut que je garantie c'est que celui-là ne tente pas vers 0 ça c'est une propriété linéaire donc j'attrodu double vb c'est l'ensemble des vecteurs v dans l'algebra de l'i tel que bn-1 bn-1v tend vers 0 donc c'est donc un sous-espace strict dans l'algebra de l'i en fait c'est la feuille stable tout à l'heure j'ai dit que le vb c'est une partie de la feuille stable la feuille stable complète c'est ça d'accord donc maintenant là j'ai encore droit à effacer ça là il faut juste j'ai mon x je suis là ta son b est fixée je travaille par rapport à nubé j'ai mon x et je veux l'approximer par un xp d'accord et quelque part j'ai exponentiel double vb x j'ai mon xp qui n'appartient pas à cette feuille ok et ça c'est parce qu'il y a quand même une hypothèse c'est qu'il y a l'hypothèse que nubé n'est pas égal à 0 si nubé était une masse de dirac je ne pourrais pas faire ça d'accord et donc je sais que nubé de x est égal à 0 voilà et c'est pas très difficile d'en déduire que nubé de exponentiel double vbx est égal à 0 pourquoi c'est vrai ? une mesure qui charge une feuille fortement stable et charge le point à cause du théorème de récurrence de point carré si vous avez un peu de mesure ici quand vous suivez la dynamique ici ça se rapprocherait c'est un petit c'est juste c'est immédiat par le théorème de récurrence de point carré il faut juste l'écrire mais c'est vraiment pas difficile que comme vous avez ces points-là ces points construits ça se rapprocher de bx et bien nécessairement le fait que si il n'y a pas de masse sur x il n'y a pas de masse sur sa feuille fortement stable si vous avez un différement fixe vous avez une mesure qui charge une feuille fortement stable et bien nécessairement c'est une mesure atomique c'est une mesure atomique c'est une orbite périodique voilà donc du coup je n'ai pas utilisé encore cette hypothèse que nubé de x est égal à 0 donc c'est l'istique à se faire vous savez que nubé de x est égal à 0 vous vous en déduisez que nubé de exponentiel double vbx est égal à 0 donc ça veut bien dire que quand je travaille pour un b fixé et bien ce que je dis c'est que dans k1 btax quand je travaille dans k1 btax presque pour 2x parce que tout pour vous bx appartenant à k1 et bien comme la mesure de k1 là elle est grosse dans la fibre et bien puisqu'il n'y a pas de mesure sur la feuille fortement stable ça veut dire que je peux approximer ici il existe une suite xp c'est-à-dire que xp xp est envers x et bxp appartient à k1 mais xp n'appartient pas à exponentiel de double vb que multiplie x du fait que nubé de exponentiel s'assait vous avez un ensemble de mesures nulles donc vous pouvez approximer par l'extérieur puisque k1 une mesure strictement positive quand vous approximer c'est comme ça que ça se passe voilà donc du coup dans ce calcul ici si je reviens là je peux supposer que celui-là il ne t'en pas versé et maintenant mes gngn vivent dans un ensemble de mesures minorées de points c'est 1 mois de 4 acines d'alpha ou je ne sais pas quoi l'ensemble de la mesure est uniformément minoré donc il faut que je réécrive les propriétés de produits de matrice aléatoires j'ai dit rapidement que c'était en exponentiel n je vais finir excusez-moi maintenant j'ai bien écrit le fait que là j'ai un vecteur, j'ai une suite qui ne t'en pas vers 0 et là il faut bien dire que quand je lui applique ce mot aléatoire ça va carrément faire grossir ce que je veux ici c'est vraiment atteindre une time macroscopique pour ma petite dérive qui appartira ici donc les propriétés de produits de matrice aléatoires que je veux je vais les écrire là je vais les exprimer avec la fonction taux pour que ce soit bien clair ce qu'il se passe donc qu'est-ce que je vais dire je vais supposer que taux n'est pas forcément égal à 1 parce que de toute façon le taux n'est jamais égal à 1 mais comme ça on verra six phases donc la propriété c'est que quand j'ai je sais que pour tout epsilon strictement positive là c'est je vais dire il existe c plus grand que 1 tel que quand je regarde tel que quel que soit n quand je regarde la mesure de l'ensemble des G1, Gn tel que quel que soit le plus grand que 1 et quel que soit v un vecteur non nul dans l'algebra de l'I j'utilise que l'algebra de l'I maintenant est irréductible pour dire ce que je vais dire tel que la norme de G1 Gnv divisé par l'ordre 9 c'est égal à une constance assez près à une constance assez près de l'ensemble de Gn ah oui alors je vais pas dire comme ça excusez-moi parce que la fonction tout qui apparaît alors je vais regarder pardon excusez-moi je vais regarder beta de l'ensemble des b dans b tel que la norme alors il faut l'écrire dans le bon sens c'est un Gn là pourquoi c'est dans ce sens là ouais ouais j'ai envie de dire quoi il faut que ce soit là je vais le dire comme ça non je vais pas mettre la fonction tout excusez-moi je regarde mutanceur N excusez-moi de l'ensemble des Gn tel que la norme de G1 Gn appliqué à v j'essaie de garder les mêmes symboles des deux côtés un v c'est le vecteur c'est quand je commence à appliquer G1 Gn ce soit plus grand que 1 sur c la norme de G1 Gn c'est essentiellement des calculs qu'on a déjà fait ça c'est plus grand qu'un mois épsilon en général quitte à rajouter une constante ça c'est le fait que la mesure stationnaire vous savez ne charge pas sous l'espace vectoriel on avait automatiquement déduit les propriétés comme ça ça veut nous permettre on sait que la norme ce que j'ai en train de dire la norme de ce truc c'est à peu près puisque j'ai droit j'ai prendre epsilon très très petit et je sais que j'ai droit à une mastrictement positive de GI donc je peux toujours choisir le GI de façon à ce que la norme de ce gars soit la norme de V1 Vn soit la norme de Bn-1 Bn-1 Vp et puis celle-là n'étant pas vers le 0 donc ça c'est une première propriété et puis maintenant j'ai un vecteur je veux contrôler mon vecteur donc je vais savoir contrôler sa norme à assurer ici que je suis entre epsilon et c'est fois epsilon que j'ai un gars qui a une norme non nulle d'accord et puis maintenant il faut que je contrôle sa direction je veux que mon vecteur soit dans le groupe V0 et donc ce que je vais dire ici c'est que il faut que je contrôle la direction et donc là je vais dire aussi qu'il existe un n0 d'accord pour tout n plus grand que n0 mutant sereine et pour tout vecteur VW quand je regarde mutant sereine de l'ensemble des G1 Gn tel que la distance entre G1 Gn appliquée à la droite en jonderais par V et G1 Gn appliquée à la droite en jonderais par W soit plus petit que epsilon ça c'est plus grand qu'un mois epsilon donc ce que je dis c'est que quand j'ai un vecteur j'ai tendance la façon dont je le dilate c'est juste la norme de la matrice d'accord et là où j'ai tendance et quand je prends 2 vecteurs ils ont tendance à aller au même endroit ok alors maintenant ce que je vais faire c'est qu'ici j'ai plus de place je vais effacer et annoncer la proposition la distance dans le projectif c'est des droites donc ça c'est juste c'est juste des traductions dans les notations qui sont ici de tout ce qu'on a fait sur les produits de matrice aléatoires je regarde ce vecteur moi ce que je veux contrôler c'est G1 Gn d'accord donc maintenant je sais que la norme de ce vecteur c'est à peu près la norme de G1 Gn fois la norme de BL-1 BL-1 VP mais je peux aussi appliquer la même propriété quand je replace le vecteur V par la droite VTNB d'accord la droite ou je suis arrivé quand j'ai tué la droite ou sous-espace ce qui s'appelle VTNB donc je sais aussi ça va tout de suite me donner que pour beaucoup de mots cette quantité est de l'ordre de l'exponentiel de la somme qui m'intéresse puisque ça pardon c'est pas vrai c'est de l'ordre d'une somme de Birkhoff c'est là que tout est là la façon dont G1 Gn agit sur cette droite d'accord si je fais agir G sur la droite VB il va agir par multiplication par exponentiel tout de GB ok donc si j'applique ça mais avec TNB ce que je récupère c'est quelque chose qui est taux de G1 Gn TnB plus taux de G2 Gn TnB plus de Gn TnB c'est la cette formule me donne la norme de G1 Gn pour la plupart des mots d'accord à cause de la relation d'équivalence le fait que si vous faites GtB c'est G VtB et le point ici c'est que j'ai supposé taux égale 1 d'accord donc vous savez que cette norme c'est exponentiel N donc c'est pas gratuit le fait que j'ai supposé taux égale 1 ça finit c'est pas seulement une simplification c'est qu'il va falloir changer les choses quand taux est pas égal à 1 donc la norme et en particulier la norme dépend pas de G1 donc ces mots là ils ont tous la même norme et puis maintenant et ben en appliquant la même chose à la droite en genrée par V et la droite en genrée par TnV je sais aussi que la plupart du temps la distance entre la droite en genrée par ce vecteur que je vais appeler WP là et V de G1 Gn TnB elle est très petite donc là je récapitule c'est un peu compliqué grâce à ma formule d'espérance conditionnelle j'ai un compact K1 où j'ai envie d'envoyer des gens grâce à ma formule d'espérance conditionnelle que j'ai appliqué en 1.xp j'ai réussi à y envoyer deux bonhommes et qui diffèrent d'une petite translation et quand le temps grandit cette translation la tendance à se coucher dans une direction qui est exactement la direction que je veux c'est une direction du type VB parce que c'est ça les VB c'est des feuilles ou fortement stables c'est des directions dans lesquelles on a tendance à aller le long de la dynamique donc la direction qui apparaît tendance à se coucher et la norme je la contrôle elle dépend de rien ok qu'est-ce que je vais faire je sais que si je fais ça, ça ne tente pas vers zéro donc quand je le multiplie par exponential N les valeurs d'adhérence sont si grandes que je veux moi j'ai tendance à... j'ai envie de rendre la norme macroscopique faut pas que la norme soit immensément grande faut pas qu'elle soit immensément petite donc ce que je vais faire c'est que je vais choisir je choisis un N tel que ça, ce soit dans un intervalle epsilon c'est fois epsilon un NP et ça c'est possible parce que la mesure est à support compact parce que quand je change de BI ici j'applique un élément qui vit dans un compact et donc entre deux crans ici la différence est bornée c'est ça la constante C entre deux crans de cette suite là, quand N bouge quand j'ai pas mis de P quand je fais grandir N au début pour N égale 1, j'ai la norme de VP qui est tout petit et puis maintenant je fais grandir N je sais que ça ça ne tente pas vers zéro donc comme là je multiplie par exponential N je sais qu'il y a une valeur d'adhérence qui est infinie mais comme je me balade avec des sauts bornés ça veut dire qu'à un moment je tombe là-dedans d'accord donc je sais qu'il y a un NP qui vérifie ça ok et nécessairement comme VP est envers zéro le NP est envers l'infini nombre de mots que j'ai un GN je vais rajouter c'est envers l'infini donc nécessairement ici mon vecteur comme ça il va se coucher puisque là le N0 qui apparaît là-dedans est grand donc je peux arriver à me coucher vers cet espace là et comme tout est continu sur tous les espaces que tout c'est des gens qui sont dans K1 où l'application B de VP est continue que au départ XP est envers X d'accord par construction l'application Pi comme elle est que mesurable elle a la même valeur en tous ces points là quand BX d'accord et donc maintenant comme XP est envers X et que je me suis passé un endroit où l'application est mesurable les gens que je récupère à la limite ils sont tous égaux ça va continuer comme tout est continu je travaille dans des compacts où tout est continu je passe à la limite et ici ce que j'ai c'est que Pi de BXP il tend vers Pi quand Pi est envers l'infini par continuité il tend vers Pi de BX d'accord mais Pi mon point là j'ai mon point mon point B1 mon point pardon B1 GN TNB GN Moisan GN Moisan c'est GN GN GN Moisan B1 Moisan X l'application Pi elle a la même valeur en lui qu'en BX puisqu'elle est que mesurable Pi d'accord donc l'application Pi elle prend la même valeur là que là et puis si je mets XP l'application Pi du même truc elle a la même valeur que Pi de BXP ok maintenant tous ces gars là ils appartiennent à K2 ils appartiennent à K1 où l'application Pi elle est continue je passe à la limite et puis là j'obtiens un mec qui se rapproche de sous l'espace vectoriel donc lui il va attendre vers un certain B prime en passant à la limite et comme l'application B donne VB continue sur K1 bah c'est bon ok donc j'ai exactement terminé je sais pas si je vous écripe pas tous les détails et c'est comme ça que ça marche si je vous prends encore une minute j'ai terminé formellement la démonstration de la proposition donc là j'ai terminé les lancées de dérives qui étaient un peu incompréhensible donc je vous rappelle la conclusion voilà c'était ça d'accord et maintenant je vais appliquer ça à l'application que j'ai noté BX DUNC6 BX et je vais noter E qu'est-ce que ce sera bah c'est exactement les ensembles que j'ai introduit quand j'ai parlé une mesure conditionnelle sur les groupes j'ai dit quand on a une mesure conditionnelle pour une action de groupe, il y a un ensemble E tel que si j'ai BX qui appartient à E et FIU de BX qui aussi appartient à E à ce moment là et bah le XI de FIU de BX c'est une certaine translation par U du XI de BX j'ai dit ça quand j'ai construit une mesure conditionnelle donc c'est l'ensemble E que je mets là et maintenant l'application P c'est l'application mesure conditionnelle d'accord donc qu'est-ce que ça me garantit bah je prends B'X le XI B'X c'est la même chose que le XI BX mais comme il diffère d'une translation c'est mieux comme ça c'est exactement ce que je vous avais dit je vous annonce exactement ce qui est passé c'est-à-dire que je viens de fabriquer 2 points où l'application mesure conditionnelle prend la même valeur et en même temps, parce qu'ils sont dans cet ensemble E où les mesures conditionnelles sont bien définies etc les mesures conditionnelles doivent différer d'une translation ça veut dire que la mesure conditionnelle ici le XI quand j'applique ça à l'application BX que je suis en train de dire le XI de B'X il égale à la translation par ce U de XI de B'X ok mais il est si égal au XI de BX de départ d'accord donc ce XI de BX, il est invariant par une petite translation ok donc maintenant, là on se rend compte qu'on a gagné un truc donc si vous le fais formellement ou plus personne suit je vous le fais à la main j'écris plus vous avez une mesure sur un espace vectoriel donc j'ai un truc de valeur j'ai écrit quand même un tout petit peu je retransuit ça sur les XI B'X c'était des mesures sur l'espace modèle mais maintenant il y a les roues B'X qui sont des mesures sur l'espace VB je reviens à celle-là parce que c'est celle-là les bonnes mesures et une fois que j'ai dit ça j'ai montré que roue B'X était invariant par des translations arbitrairement petites de VB donc si les groupes sont stabilisateurs dans VB sa composante connex est non trivial et donc j'introduis VBX je confonds les groupes et les algèbes de l'I mais VBX c'est exactement le stabilisateur dans VB d'euro B'X je prends sa composante connex parce que je vais appliquer Ratner ensuite donc je préfère des groupes connex et ça me fait l'application B' de VBX que j'annonce au début et comme tout est défini de choix tout est équivariant et donc maintenant qu'est-ce que c'est que nu B'X là j'ai défini VBX j'ai une application B'X donne VBX je prends les fibres si VBX si cet espace VBX il était constant de valeur VB je serai en train de dire que nu B est VB invariant j'ai dit dire que la conditionnelle est la mesure de art c'est-à-dire que la mesure est invariante manque de bol, ici la conditionnelle ça pourrait être inventée par une partie du groupe qu'est-ce que je fais ? j'éclate ma mesure le long des parties du groupe qui laissent invariant apparemment j'ai cette propriété c'est un exercice d'autorité de la mesure que montrer que si nu B'X c'est la conditionnelle le long des fibres de cette application B'X donne VBX et bien elle est VBX invariante là c'est juste formel il n'y a plus de... le plus dur a été fait c'est un peu pénible et donc un mot peut-être et puis je vous laisse tranquille pour vous dire ce qui se passe quand tout n'est pas égal à un tout n'est jamais égal à un en carrière et donc là c'est assez standard ce qu'on fait quand tout n'est pas égal à un donc la géométrie c'est qu'on a une dynamique c'est à contracter des feuilles mais la contraction n'est pas uniforme elle est donnée par cette fonction tout B et donc là ce qu'on fait c'est qu'on change le temps quand on a une dynamique qui ne contracte pas de façon uniforme on change le temps et on la rend uniforme alors une façon de changer le temps c'est à dire que vous avez votre dynamique qui est B là avec le décalage vous avez une fonction alors cette fonction c'est une fonction intégrale positive et essentiellement ça se ramène au cas où c'est une fonction strictement positive formellement c'est une fonction intégrale positive et comologue est une fonction strictement positive et là si on a une fonction strictement positive sur un système dynamique on peut faire la suspension par la fonction c'est à dire quand j'ai un point X et TX je rajoute un intervalle de temps dont la longueur c'est tau X et je remplace ma dynamique par un flow et le flow le temps qui met pour aller de X à TX c'est exactement le temps de tau X et ça c'est un petit truc qui a l'air de rien mais tout ce que j'ai fait avec le Bernoulli tout ce que j'ai fait la formule pour l'espérance quand on essaie de la tribuque etc tout ce que j'ai fait depuis le début d'aujourd'hui avec le Bernoulli faut tout remplacer le Bernoulli mais par sa suspension par la fonction temps je pense ça que je l'ai pas fait parce que si j'attaque comme ça c'est monstrueux tout ce que j'ai fait c'est que ça ne marche que dans le cateau égal toutes ces formules d'espérance conditionnelle etc elles ont un analog quand au lieu de travailler avec comme base le Bernoulli on travaille avec sa suspension par la fonction tau parce que c'est elle est comologue à une fonction une fonction la mesure est super compact mais c'est très général tu as un système dynamique tu as une fonction L1 d'intégrale strictement positive elle est comologue à une fonction strictement positive il y a un petit truc c'est qu'en fait si tau n'est pas positif pour faire ce dessin là il suffit d'écrire tau égale finit ou affironté plus tau plus avec tau plus strictement positive et ça marchera pareil il y a un jeu comme ça c'est classique aussi c'est du terminé amique ça apparaît tout le temps on a l'habitude de genre d'horreur et il y a aussi le teta le teta c'est un cosycle dans un groupe compact c'est pareil quand vous avez un cosycle vous avez une fonction teta 2b dans un groupe compact k il y a un système amique naturel qui apparaît c'est le système b3k avec bk donne tb tout ça c'est des trucs pour dérouler c'est pas grave on remplace le système teta bk voilà et alors je vous le fais pas parce que vous allez exploser mais il suffit de travailler avec celui là on a un cosycle dans un groupe compact on a une fonction qui devrait être égal à un et on remplace par le système on a intégré le cosycle à l'intérieur du système et fait la suspension par la fonction alors bon il faut tout remontrer ça marche pareil vous faites confiance je crois et tout ce qu'on a fait il faut le faire avec ce système on a la suspension on a ce produit croisé avec le groupe compact on fait ça suspension par la fonction taux il faut remontrer les formules d'espérance conditionnelle mais elle marche pareil il n'y a pas tellement de différence et ça va marcher alors ça c'est le cas irréductible ça rajoute pas de direction neutre ça doit rajouter un cosycle et puis rajouter de passer de l'advocation à la suspension ça rajoute donc des directions neutres mais ça rajoute pas c'est pas au niveau des symboles c'est pas au niveau de l'action d'enrix parce que au niveau de l'action d'enrix on avait cette propriété qui ont été multipliées par t'état et contractées c'est surtout ça qui compte à le moment qu'on a la contraction on se fout un peu qu'on puisse tourner en même temps qu'on contracte le point c'est qu'on contracte vraiment donc ça c'est pas tellement gênant par contre là où ça devient terrible c'est quand la représentation n'est pas irréductible parce que là il y a plusieurs fonctions parce que vous voyez tout ce truc parce que tout ce truc à quoi ça sert c'est que je vous ai écrit une relation j'espère que je l'ai encore regardé vous voyez c'est que là j'ai rajouté des produits, j'ai un GN ou j'ai fixé le nombre de lettres que je rajoutais mais en fait je me fous de fixer le nombre de lettres ce que je veux fixer c'est cette quantité là et quand je fais la suspension c'est ça que je dis c'est qu'en fait je rajoute des lettres et je vais laisser flotter le N mais en fait parce qu'au lieu de regarder le temps qui est le nombre de coups que je fais par la dynamique je vais faire le nombre de le temps que j'ai parcouru sur le flow donc le nombre de fois je serai revenu sur la base c'est le N là et lui il va se mettre à bouger, à dépendre on s'en fout un peu parce que par contre ce qui va plus bouger c'est cette somme de Birkhoff c'est exactement ça pour la suspension c'est que j'aurais fixé la valeur de cette somme de Birkhoff ce qui va faire que tous mes raisonnements avec l'exponential aide c'est la valeur fixe de cette somme de Birkhoff ça va marcher pareil c'est ça le point en faisant la suspension et alors par contre quand il y a deux fonctions taux on peut plus faire ça parce que ici ce que je suis en train de dire c'est que si je travaille avec une seule fonction taux quand je me balade sur B je fais des sommes de Birkhoff de ma fonction et elle est d'intégrale positive donc elle est envers l'infini donc si à un moment je veux qu'elle soit très grande je vais y arriver tandis que quand vous avez deux fonctions taux quand vous faites ces sommes de Birkhoff sur chacune des composantes vous avez une marchatoire qui part à l'infini si vous donnez une cible vous n'êtes pas sûr de l'atteindre d'accord ? et donc ce qu'il va faire il va falloir regarder simplement on va conditionner tout en conditionnant le fait de taper la cible et ce qu'on perd c'est ici c'est qu'au lieu de travailler avec tous les mots dans ces propriétés on va travailler avec des mots à chacune il y a deux fonctions taux il y a deux représentations du clim et j'ai demandé que la fonction taux tape dans une cible d'accord ? et donc au lieu d'avoir un ensemble l'ensemble de tous les mots au lieu d'être de mesure 1 il est de mesure très petite mais c'est un peu indépendant parce que vous voyez ce que j'ai demandé c'est quelque chose là j'ai demandé que les mots grossissent un vecteur donné tandis que là je demande que les mots aient une norme de nez donc on a envie de dire ces deux informations indépendantes donc il y a un et c'est ce qu'on va montrer c'est à dire d'access ça nous a pris deux ans à comprendre si c'était ça qu'il fallait montrer puis elle le montrait que ces propriétés elles sont encore vraies exactement les mêmes le même est non c'est mais au lieu de prendre tous les mots on prend parmi on regarde tous les mots et on regarde la proportion de mots qui vérifie ça parmi ceux auxquels on a imposé de taper une cible pour la norme d'avoir une norme donnée et les mêmes propriétés restent vrais donc ça c'est une fraction très petite c'est une fraction très petite mais tu vois tu demandes à la matrice d'avoir une taille tu vois tu demandes que que cette norme qui apparaît ici soit fixée dans un petit intervalle et tu regardes parmi celles qui ont une taille tu vois c'est un peu indépendant tu dis finalement fixer la taille de la matrice et fixer les mots qui ne marchent pas pour V c'est le vecteur instable tu vois et fixer la taille fixer le vecteur instable les matrices sont aléatoires t'as envie de dire que c'est indépendant elles sont asymptotiquement indépendantes c'est bien ce qui se passe ça utilise pas mal de théorème limite de probace dans tout ce que je vous ai raconté j'ai juste utilisé la positivité du premier exponent de la Pouneuf je suis désolé j'ai encore débordé merci beaucoup, merci d'être venu jusqu'au bout