 En los dos últimos vídeos de este módulo vamos a considerar los espacios vectoriales complejos y definiremos el producto interior. Primero os recordamos el espacio vectorial rk con sus dos operaciones, la suma, a partir de dos vectores obtenemos un nuevo vector y la multiplicación escalar, a partir de un escalar y de un vector obtenemos un vector. También os recordamos el producto escalar, la operación en el plano real que toma dos vectores y que da un número real, un escalar. Esta operación se puede escribir también con matrices, matrices de tamaño una vez dos y dos veces uno o con la transpuesta tal que el producto de escalar de u con v es igual a u transpuesta v. Consideramos a continuación el producto cartesiano de c con su consimismo con las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar siguientes. A partir de dos vectores definimos la suma y a partir de un escalar y de un vector definimos un nuevo vector. Y concluimos que c2 con estas dos operaciones tiene estructura de espacio vectorial sobre los números complejos. De manera similar al producto escalar definimos una función que toma dos vectores complejos y que produce un número complejo, un escalar. Tal que si u es igual a u1 u2 y v es igual a v1 u2, la imagen de estos vectores por esta función igual a u transpuesta v conjugado es igual a u1 v1 conjugado más u2 v2 conjugado. De ahora en adelante esta función la llamaremos producto interior. Unos ejemplos, tomamos vectores complejos y calculamos su producto de interior y así a partir de dos vectores obtenemos un número complejo, un escalar. A continuación os presentamos unas propiedades que satisfacen el producto interior. Primero vemos que el producto es interior de u con v utilizando las propiedades de la transpuesta de una matriz. Es igual al conjugado del producto interior de v con u. Cuidado que a diferencia del producto escalar el producto interior no con muta en general. Además el producto interior de u a vw con v es igual a la suma de los dos productos interiores siguientes y el producto interior de alfa u con v es igual a alfa a veces el producto interior de u y v. Por fin vemos que el producto interior de u con sí mismo de un vector con sí mismo es igual a la suma de dos números reales positivos y entonces debe ser que el producto interior de un vector con sí mismo es un número real positivo. A continuación vamos a generalizar el concepto de producto interior para cualquier espacio vectorial complejo. Se hache un espacio vectorial sobre c y sea la función siguiente que toma dos elementos de h dos vectores y que produce y que da un número complejo. Se dice que la función es un producto interior si se cumplen las propiedades siguientes. La imagen de u y v es igual al conjugado de la imagen de v y u. La imagen de alfa u más vw y v es igual a alfa a veces la imagen de u v más la imagen de vw y por fin la imagen de u con sí mismo es un número real positivo. Teorema para cualquier k natural la operación que toma dos vectores dos elementos de ck y que da un número complejo tal que la imagen de u v es igual a utranspuesta v conjugado es esa función es un producto interior. Para demostrar que es un producto interior tenemos que comprobar las propiedades que ya hemos visto para el caso k igual a 2 y que y así podemos deducir que la función así definida es un producto interior. Si no veis por qué la función definida es un producto interior en general os animamos de intentar de hacer los la demostración vosotros mismos. Bien de manera similar al producto escalar y gracias al hecho que el producto interior de un vector con sí mismo es un número da un número real positivo definimos la norma de un vector complejo tal que la norma de u es igual a la raíz del producto interior de u con sí mismo. Entonces si u es igual a 1 hasta k la norma de u es igual a la suma de los módulos de las coordenadas cuadradas ejemplos con k igual a 2 la norma del vector 1 y es igual a raíz de 2 la norma del vector 1 más y raíz de 2 menos y es igual a raíz de 5. Pregunta os pedimos de calcular el producto interior de los sectores siguientes no hay ningún secreto aplicáis la definición y halláis la buena respuesta os damos un momento bien espero que hayáis visto que la que sólo la primera respuesta es correcta. Acabamos el vídeo con un ejercicio hay que demostrar la identidad del paralogramo para ello tenéis que aplicar la definición de la norma y utilizar las propiedades del producto interior para deducir la identidad. Ratamos que está en el caso real esta identidad tiene la la interpretación geométrica siguiente que considerando un paralogramo la suma de los lados es igual a la suma de las diagonales.