 اسلام علیکم میں پھر آگیا لیکن یہ کہ مجبوری ہے اب چونکہ کالکلس پر نہیں ہے تو پھر مجھے پھر سے آنے پڑے گا تو یہ ہے کہ اب چلتے آگے نیکس لیکچر لیکچر نمبر 24 کرتے ہیں کالکلس کا اور اس میں بھی کچھ باتے کریں گے اگر ابھی تک کوئی problem ہو پچھلی دفعام نے جو بات کی تھی اس کی applied maximum minimum problem optimization اور in general theoretical جو باتے تھی وہ اگر کوئی problem ہو آپ کو پلیس make sure ابھی تک کچھ آپ نے response دیئے اس کی but again crucial ideas تھے جو ہم نے discuss کیے تھے last time make sure that you make sure that you ask questions about them I mean crucial تو سارے ہی ظاہرک course ہے لیکن چونکہ بہت سارے لوگ عام طور پہ کہتے ہیں جی مات وہوالی اچھی ہوتی ہے جس میں جس کو ہم apply کر سکیں جس کو ہم use کر سکیں جس سے کہ theoretical تو یہ جو ہم نے special lecture میں دیکھی تھی باتیں optimization کی میرے خالصے اس سے بہتر example کوئی نہیں ملے گی آپ کو math میں اور خاص طور پہ calculus میں in terms of applications of these topics that we have talked about theoretical topics کی application in real life تو that's why I'm saying that that was a crucial topic crucial lecture کوئی اس میں problem ہو تو make sure you address those problems and questions تو آگے چلتے ہیں آج کی lecture آپ شروع کرتے ہیں آج کیا ہم باتیں کریں گے آج بیسکلی topics ہمارے کچھ you ہے بیسکلی newtons method ایک ہے چیز جس کے بارے میں ہم بات کریں گے اس کے لعا کچھ تو تین چیزیں اور ہیں جو بیسک idea ہے وہ ہے جناب newtons method rolls theorem and the main value theorem یہ تین چیزیں جو آج کا lecture جس پر بیست ہوگا newtons method کیا ہوتا ہے بیسکلی newtons method is for approximating solutions to the equation f of x equals 0 یعنی f of x of course is a function and there are certain functions for which you can't find exact values in terms of which basically make the function 0 یعنی f of x equals 0 کی بات ہو رہی تو ابھی دیکھیں اس کے بارے میں تھوڑی سی بات کریں گے اس کے لعا پھر ہم ظاہر ہے newtons method جب کر لیں گے تو کچھ اس کی problems تو اس کے ہم ادرس کریں گے کیا دفکلٹیز ہو سکتی ہے newtons method میں اس کے لعا پھر ہم roles theorem دیکھیں گے وہ کیا ہوتا ہے اور پھر آخر میں mean value theorem ہم دیکھیں گے تو یہ جو mean value theorem of course another very important theorem یہ جو بلکہ roles theorem اور mean value theorem دونوں جے they basically are related to each other mean value theorem جے وہ جنولیزیشن ہے in a sense of roles theorem تو وہی بات ہے کہ خاصر بجو mean value theorem یہ کیسے theorem میں مجھے یاد ہے جب میں کافی advanced courses لے رہا تھا real analysis جیسے ایک subject ہوتا ہے اس میں تو میں بڑا ہران ہوا کہ ظاہر ہر سوکتا مجھے بھی ذاتا بطانی تھا کہ جی محاط کیا ہوتی ہے ہم بھی ایک student تھے تو اس میں یہ ہوا کہ جگہ ایک بڑا powerful theorem تھا جو لکھاوا تھا اور اس کے proof کے لئے انہیں جو میں نے وہ دیکھا mean value theorem یا انتور بجیسے mvt بھی کہتے ہیں تو میں بڑا ہران رہا ہے کہ جی اتنی high level book اور یہاں پے اور یہ جو text book میں پڑھا تھا اور اتنا high level topic اور یہاں پر یہ mean value theorem جو ہم نے بالکلوس میں پہلے course میں math 101 میں پڑھا تھا تو وہ اپلائے ہو رہا ہے تو وہی بات ہے کہ ظاہر ہے وہ جو دیکھا وہ generalization of this mean value theorem لیکن بات وہ ہمیں encapsulated ہے اس تھیورم میں بہت ہی زبادہ concept ہے hopefully we will see کہ وہ کیا ہے اور آپ اس کو appreciate کر سکیں گے کر سکیں گے philosophically بھی کہ اس کے پیچھے جو philosophy involved that's also very interesting and we should be able to appreciate it اچھا جی تو اب لیکچر شروع کرتے ہیں تو newtons method سے start کرتے ہیں کہ یہ newtons method ہوتا کیا ہے اس میں ابھی تھوڑی دے پہلے ہم نے دیکھا کہ یہ جو ہے وہ بیسکلی ایک process ہے ایک algorithm ہے جسے algorithm بھی کہتے ہیں آگے چل کیا آپ لوگ جب منہاں سے discrete math پڑھیں گے discrete structures تو اس میں algorithms کی بات ہوتی ہے کہ algorithms بیسکل کیا ہوتے ہیں these are procedures they are kind of you know ایک طرح کی ریسپی ہوتی ہے جیسا ہم کھانا پکاتے ہیں کچن میں تو جی اگر ہمیں pound cake بنانا ہے تو اس کی خاص ریسپی جس کو ہم follow کریں گے and we'll get a pound cake always یعنی جو بھی ہم وہ recipe follow کریں گے will get a pound cake تو یہ algorithm ہوتا ہے ایک طرحک algorithm basically technical meaning ہے اس کی recipe کی تو یہ جو algorithm ہے یہ بھی بیسکل وہی اسی طرح کی چیز ہے recipe ہے جس طرح ہم pound cake بناتے ہیں اس طرح سے mathematics میں technical fields میں just engineering مغار ہے اس میں ہم اس کو algorithm کہتے ہیں basically آپ نے سنہا ہوا آپ نے کہ اس کی اس کا اس word کا background کیا ہے algorithm کا یہ background جو ہے یہ بھی اپنے جو ایک ہمارے مشہور mathematician تھے in the muslim and islamic arabic culture کے al-qwarzmi تو it's basically a derivation from his name al-qwarzmi کا نام جب لیٹنائیز ہوتے ہوتے یورپ میں پہنچا تو اس کو algorithm بن چکا تھا تو جب بھی ہم کہتے ہیں جی algorithm تو کچھ کچھ یہ لوگردم سے بھی ملتے جو ہم نے جس کے بارے پہلے بات کی تھی لیکن ان دونوں کی لوگردم کی اور algorithm کی کوئی relationship نہیں آپس میں totally different things لیکن یہ کہ al-qwarzmi اور algorithm are the same thing al-qwarzmi arabic میں its name جب change ہوا into latin in Europe it turned into algorithm تو یہ ایک پڑا actually interesting بات ہے اور ہمیں اچھا فیل کرنا چاہئے کہ ہم algorithm کو تو as it's a very you know very western thing تی کے ہے تو of course they have developed this idea but the the roots of this thing are actually from our own culture تو we should appreciate that definitely اچھا جی تو اب یہ اس کی مزید بات کرتے ہیں کہ یہ خاص particular algorithm جس کی ہم بات کر رہے ہیں process newton's method یہ کیا ہے تو ابھی تھوڑیر پہلے ہم نے کہا کہ یہ solutions approximate کرتا ہے to the equation f of x equals 0 تو اب یہ کہ f of x equals 0 سے کیا مطلب ہے f of x equals 0 کا مطلب ہے کہ جی کوئی function ہے آپ کے پاس f or f of x اور اس کو آپ اگر اس کی ایک equation ہے آپ کے پاس ایک expression ہے اس کو اگر آپ 0 کے برابر سیٹ کریں گے تو وہ کیا مانی رکھتا ہے what does it mean to say f of x equals 0 تو یہ ہم نے بہت بہت پہلے بات کی تھی جو functions کی بات ہوئی تھی کہ f of x equals 0 تو اس کو find the roots of the function of the equation I'm sorry and یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ the solution roots کے لابعا ہم بھی کہہ سکتے ہیں zeros of the equation یعنی ایک ایسی equation ہے اس کو in terms of some one variable x جس کی left-hand side پے سارا کو جہا وہ ایک expression ہے algebraic expression involving x اور right-hand side پہ 0 ہے تو سوال یہ ہوتا ہے یہ اس کا مطلب یہ ہوتا ہے کہ وہ کن سے x کے جو آپ left-hand side میں ڈالیں گے expression میں تو 0 result آگا left-hand side پہ بھی اور وہ match کرے right-hand side پہ جو 0 ہے اس سے وہی بات ہوگی کہ you should get a true statement 0 equals 0 that's what it means to when you say that f of x equals 0 ہم نے اس کے بارے میں دیکھا بھی تھا پہلے جو ہم نے بات کی تھی we did actually find zeros of certain functions certain equations تو سوال یہ کہ وہ تو ہم نے دیکھی تھی کہ مثال کے طور پہ کچھ polynomials کے اگر بات کریں تو اگر میں پس quadratic equation کوئی ہے جسے کہ ax square plus bx plus c یعنی اس کو اگر آپ یہ تو خیل جنرل equation ہے اس کو اگر آپ پرٹکلور کوئی اگر آپ ایکزمپ لینا چاہیں کہہ سکتے ہیں 2x square plus 4x plus 1 for example یا minus 1 کر لیجے جو بھی اور سکوپ سیٹ کرتے ہیں equal to 0 تو سوال یہ ہے کہ کنسی x کی جو آپ اس میں دارلیں گے left-hand side پہ تاکہ result 0 آجائے تو یہ اس کا سلوشن ہمیں پتا ہے یہ quadratic formula سے آپ معلوم کر سکتے ہیں ہمیشہ real number سلوشن آتا ہے اگر کوئی violation نہ ہو رہی ہے ایک خاص کسم کی رول کی وہ ہم نے complex numbers میں لے جاتا ہے ہم اس کی بات نہیں کی تھی ہم نے ہم نے ایسی دیکھی تھین جہاں پہ result is always a real number تو quadratic formula always gives you an answer اور اس میں real numbers کی جب بات ہوری ہوتی ہے we can always specify certain conditions and we always get an answer اس کے لیے آپ a factor بھی کر سکتے ہیں اب اسی طرح سے یہ تو quadratic equation ہو گئی اگر آپ بات کریں کہ جی میرے پاس cubic equation ہے یعنی کہ ہم کہتے ہیں جی ax cube ax to the power 3 plus bx square plus cx plus d equals 0 اس کا کیا سلوشن نکل سکتا ہے یعنی how do we solve this اس میں وہی بات ہے کہ cubic equation ہے یعنی اگر کوئی پتکلو ڈیکنہ چاہتا ہے تو you could have something like 3x cube 3x to the power 3 plus 4x square plus 2x plus 1 for example and that should equal to 0 تو سوال یہ کہ اس میں کون cx کی value ڈالی جائے جو left-hand سائٹ پہ بھی 0 کا result لیا ہے تو cubic کے لیے بھی ایک formula ہے جیسے quadratic equation کا ایک quadratic formula ہوتا ہے cubic equation کا cubic formula ہوتا ہے اور کافی complicated formula ہوتا ہے یہ میرے حال سے اگر آپ نے نہیں دیکھی کبھی یہ cubic formula تو it's no wonder کیونکہ it's a very complicated looking formula to derive it it takes a lot of effort لیکن مخصد یہ کہہنے کا کہ ان دونوں کیس میں quadratic equation میں اور cubic equation میں آپ کے پاس کچھ formulas ہیں algebraic formulas جو آپ کو ہمیشہ exact value بتا دیتے ہیں ان axis کی جن کو آپ اس میں ہمیں اس میں original equation میں تو left hand side پہئے zero آئے گا تو یہ سارہ مخصد ہوتا ہے اب سوال یہ کہ اگر تھیکہ یہ ہم پہاں ہم کیوں رکیں quadratic ہوگئی power to یہ سارے polynomial کے اگر آپ ہاں اور بھر ہولا you're talking about polynomials of higher and higher degree اب اس کے رہن ہم کہی سکتے ہیں what if you have a power 4 یعنی ax to power 4 plus all the lower terms equals zero اس کا کیسے کوئی solution کوئی formula ہے ایک فارمولا ہے جو ہاکی ہے ایک فارمولا ہے اگن یہ تو ہاکی میں بہت کمپلکیٹ فارمولا اس کے لئے تو بڑی افرٹ کی گئی تھی اور اگر آپ دیکھنا چاہئے آپ دیکھنا چاہئے انٹرنٹ سرچتے ہیں اس کو عام طور پر پاور فور ایکویزن جو تھی پولنومیل کی اس طرح کی اس کو کوارٹیک ایکویزن کہتے ہیں اس پر آپ سرچ کر سکتے ہیں اور آپ ایک کچھ لیٹرچوریں اور آپ کو ایک فارمولا ہے جو ایک فارمولا ہوتا ہے آپ کو ایک کوارٹیک ایکویزن سرچتے ہیں اب آپ آتیے fifth پاور کی جو ایکویزن ہے یعنی آپ سوچ رہا ہوں گے کہ ہم کہاں تک جائیں گے یہ تو ختم نہیں ہوں گی یہاں ختم تو کبھی نہیں ہوتی لیکن fifth پے جاکے بڑا انٹرسٹنگ ایک سیٹویشن کریٹ ہوتی ہے پاور 5 کی جو پولنومیل ایکویزن ہوتی ہے یعنی a times x to the power 5 plus all the lower terms اس میں یہ خاصیت ہے کہ اس کا کوئی general algebraic formula نہیں ہے یعنی جیسے کوارٹیک ایک فارمولا ہم نے دیکھا ہم بڑے use to ہیں کہ ایک general formula ہے جو ہمیشہ آنسر دیتا ہے exact value دیتا ہے ان axis کی جن کو اگر کوارٹیک میں دالا جائے واپس تو آپ کے پاس left hand side پہ بھی zero اور right hand side پہ بھی اسی طرح سے آپ اگر کہیں کہ جی ہم نے دیکھا کہ کیوبک میں بھی ایک ایسا فارمولا ہے power 3 equation میں کوارٹیک میں بھی ہے power 4 جیسے کہتے ہیں تو power 5 میں ایسا نہیں ہے اس کے پیچھے بڑے مردہ دارک سٹوری ہے بڑی لنبی چوری سٹوری ہے اسل میں کہ ہوا یہ کہ this this problem of basically finding the zeros you're finding the solutions of a degree 5 پولنومیل اس کی جو سلوشن سے اس کا ایسا فارمولا دھوڑنے کے لیے took basically about 2000 years to figure out finally that such a formula does not exist تو اس کے پیچھے کافی پرانے زمانے میں بھی کچھ کہانیہ ہیں کچھ سٹوریز ہیں لیکن زادہ انٹرستنگ سٹوریز جو اکر ہوتی ہیں جو اکر کیا جنوں نے that took place about 1800s میں یعنی early 1800s اور اس میں دو کرکٹرز بڑے انٹرستنگ پا جاتے ہیں میں تھوڑیسی آپ کے کہانیہ سنا رہا ہوں آپ کو but we should look at this historical background کیونکہ اسے میں پر چلتا ہے کہ جی why is math the way it is کچھ اس کی پیچھے کچھ ہیومنز ہوتے ہیں جن کا ایک major role ہوتا ہے تو ان کے بارے میں بتانا چاہ رہا تھا کہ سب سے پہلے جو major character تھا وہ تھے عابل جنے کہتے ہیں یا ایبل بھی کہتے ہیں a,b,e,l نورویجن میتمتیشن انہوں نے he was the first one basically who proved that a power 5 equation پولنویل equation has no general formula which will always give you the solution یعنی always give you those x values which if you put into the original equation you get a zero تو یہ ایک major breakthrough تھی basically یعنی 2000 سال پرانی ایک problem تھی جس کو finally عابل نے settle کیا تھا اور اس کے ساتھ ان کی unfortunately عابل had a very strange life کافی غریب آدمی تھا بہت بڑا خندان تھا اس کے لعوہ he was a mathematician basically تو اس میں problem یہ تھی کہ جو problem اس نے ابھی ہم نے کہا بھی کہ solve کی وہ یہ تھی کہ جو general fifth degree equation ہوتی ہے پولنویل equation اس کا کوئی general solution formula نہیں ہوتا algebraic formula جو ہمیشہ آپ کو بتا دے کے کون سی values x کی آپ کو zero دیں گی left hand side پہ تو it was a major breakthrough unfortunately لوگوں نے recognize نہیں کیا اس کو اس کی اس بات کو لوگوں نے کہا کیونکہ جبھی کو نیا آئیڈی آتا ہے people usually say that کہ بھی یہ تو کیا یہ تو بہت یہ جی بات کر دی یہ نہیں عابل پہلے آدمی تھا جس نے actually یہ کہا کہ ہو سکتا ہے یہ possibility explore کی کہ it's possible that a fifth degree equation in general does not have a solution or does not have a formula algebraic formula that'll basically tell you what those values are for the solution تو یہ کافی بڑی breakthrough تھی جس کو ہم credit کرتے ہیں عابل کو اور interesting fellow اس کے لیوہ ایک اور character major تھا جس کا نام تھا گیلوہ it's a french name تو اس میں کوئی پرشانی کی بات نہیں ہے french names are usually like that میرے لیے تو it's a very good name کیونکہ جو صاحب تھے یہ گیلوہ صاحب he was a brilliant mathematician بہت ہی interesting character تھا he meddled a lot in the early 1800s politics of France اور اسی وجہ سے he basically got executed in a dual of sorts دول ہوتی تھی پرانے زمانے میں جب دو لوگ ایسے پیٹ سے چلتے تھے آگے جاکے and then they would turn around and shoot each other one of them would die that's what happened to گیلوہ he died and he died at the age of 21 started doing math when he was 16 and in the process he basically proved some very beautiful theorems and اس میں ایک جو تھا وہ بیسیکلی ایسا سیرم تھا جو کمپیٹ کرتا تھا آبل کے کام کو آبل نے جو کام کیا تھا اس کو گیلوہ نے بہتی جنرلی جنرل فرم میں پورٹریل کیا and that is why today we have something called گیلوہ تیوری it's a branch of mathematics named in the honor of this particular mathematician گیلوہ and it's what it is basically we won't get into لیکن point وہی جو ڈیٹیلز ہیں وہ تو ہم نہیں جانے گے اس میں کیونکہ جانا چاہیں گے کیونکہ it's beyond the scope of the course لیکن یہ بات ہے کہ it was a completion of آبل's work اچھا بات یہ کہ why are we talking about all this history why are we basically dealing with this point یہ کہ یہ جو خاص کسم کی equations ہوتی ہیں polynomial equations of degree 5 in general ان کا سلوشن نہیں ہوتا یہگر آپ ان کو function کے طور پر دیکھیں i.e f of x equals 3x to the power 5 plus some bunch of lower terms lower degree terms اور اس کو آپ zero کے برابر سیٹ کر دیں تو آپ کے پاس کوئی ایسا فوملہ نہیں ہوگا algebraic formula جو آپ کو یہ سلوشن دے دے x values کا لہذا here is where we can see the need to use newton's method تو ہی اس کو ابھی تھوڑی دیر میں explore کرتے ہیں let's look at this کہ یہ a newton's method ہے کیا what is this an algorithm what does it do how does it work let's look at that اچھا جی تو اس کو algorithm میں اس کو explain کرتے ہیں کہ یہ جو newton's method ہے یہ کیا ہے اور کیسے کام کرتے ہیں مقصد یہ کہ اگر میں آپ کو کوئی جنرلسی equation دوں جیسا بھی ہم نے کچھ کی دیکھی کہ باچید کی power 5 جو پولانومیلس ہوتے ہیں ان کا کوئی جنرل فوملہ عام طور پہ نہیں ہوتا تو اگر میں ایسی کو آپ کو equation دے دن اور اس کو سیٹ کر دوں equal to zero اور آپ سکوں کہ جی x کی values مالوم کریں جو اس کو true statement تو that will create a problem basically وہ ہمیں پاس کوئی فوملہ نہیں ہے تو ہم مالوم نہیں کر سکتے but we can approximate the solution کہ ہم اندازہ کر سکتے ہیں کہ اندازہ قریب قریب آسکتے ہیں ان values کے non-algebraic طریقوں سے جو ہمیں بتائیں گے کہ جی approximately this is the answer تو اس کو یہ approximations کے لیے newton's method استعمال ہوتا ہے تو اس کو اب دیکھتے ہیں in detail میں کہ how does it work let's look at that suppose that we have an equation f of x equals zero and we want to apply newton's method on it so the way it works is that we suppose that x equals r is the solution that solution we are looking for یعنی x equals r وہ equation number ہے جو root ہے جو solution ہے a given equation کا ابھی ہم ہم نہیں جانتے ہو equation کیا ہے but it's some equation and that's the solution to it so let's approximate the solution by an initial guess and let's call it x subscript one یعنی x one تو بات یہ کہ گیس کہاں سے آگئے آپ پوچھیں گے جی why are we guessing something تو اس کا جواب یہ کہ this is how the algorithm works this is how newton's method works we have to make a guess to actually start working with it تو ٹیک ہے ایک طرح کا drawback ہے لیکن یہ گیسنگ کے لیے بھی کچھ طریقے ہوتے آپ ایسا کر سکتے ہیں کہ آج کل تو we have calculators and graphing calculators and computers we could always graph the equation and then we can from that graph we could approximate visually approximate کہ جی کنسی جگہ ہے جہاں پے گراف جو x axis کو کر رہے کیونکہ جہاں پے graph x axis کو کرے گا وہی وہ جگہ ہوتی جہاں پے f of x equals zero remember that تو وہ ہی بات ہے کہ ہم وہاں پے اندازہ کر لیں کہ جی یہ ایک خاص انٹرول کے درمیان ہے one or two for example تو ہم کہیں گے جی two جو ہے that's our initial guess x one اور ہم جانانا ہے کہ وی آنڈیل New جو because جو اندازہ جو ہم آپ کو لگا شاہ دفعہ کے جو یا جانانا ہوں اللہ وی آنڈیل جو جاہی جو ایک آنڈیل جاہی جاہی جاہی فیرہ جاہی جاہی جاہی جودھہ جاہی جاہی جاہی جاہی جاہی جاہی ہی ایک کچھ شاہی کا اتشاہی بہت ساکتا تھے اور یہ مرسلہ میں ایک کسی بھی یہاں گاہتا ہے کہ یہ بیسکلی جو آپ نے تینجنٹ لائن رو کی تھی، اگر یہ آپ کا مثال کے طور پہلے گراف ہے، یہاں پہاں آپ نے اس point پر تینجنٹ لائن رو کی تھی، تو یہ لائن جب آپ اگر پرالل نہیں ہے اس کا، یعنی اس کا سلوب زیادہ نہیں ہیں تو ظاہرہ یہ ایک استینٹ کر جی انہوں کو اُپر کی دریکشن میں اور نیچہ کی دریکشن میں، تو جب نیچہ آپ اس کو درو کریں گے تو آگے دیکھتے ہیں اور سٹیپس کیا ہے اس کے بعد جناب next step basically یہ کہ just repeat the process یعنی we will repeat this process which we saw in the earlier steps and then we will basically take draw a tangent line to a point on the graph of the function that corresponds to x2 so basically we will draw a tangent line at f of x2 that meets the x axis at x3 and so on and on and on یہاں پہ ایک فگر بنالہتے ہیں یہ دیکھلیجی فگر ہے it's an example of what how we can use newtons method basically and i think this will tell you what we are trying to do تو یہ جناب آپ کے process step سے انوالڈ نیوٹنس method کی اندر یعنی جو آلگردم ہے اس کی یہ پورا philosophy ہے اس کی background یہ ہے کہ اس طرح کا process آپ کریں گے تو in general you'll get points which get eventually very close to the root or the solution that you're looking for to the equation for the equation f of x equals 0 اچھا اب یہ تو ہم نے کر لیا کہ جی ٹی کے آپ کے پاس now we've done this because you've got a little bit of understanding کہ مقصد کی ہے now the point is کہ how do we work with this process how do we work with this method کوئی ایسا مطر ہے کوئی ایسا فرملہ ہے جو اس مطر کو ہمیں ایک یعنی کو ایسا فرملہ بنالیں اس مطر سے جو ہمیں کالکلویشنز کرنے میں سانی کرے تو وہ بالکل ہم کر سکتے ہیں آئی اس کو ڈیٹیل میں دیکھتے یہ نوٹ کی جے کے جو ڈینجنٹ لائن ہمیں ڈرو کی تھی at x1 has the equation y minus f of x1 ایک پرپرائم ایک ڈیٹیل میں ایک بہت کے لئے تو یہ تو بیسکی ایک ویشن ہو گئی ڈینجنٹ لائن کی at the point جو ہم نے ابھی ڈروا کی تھی at the point f of x1 تو جبھی زائرہ اس ڈینجنٹ لائن کا سلوپ کیا ہوگا it will be the derivative of the function evaluated at the point x1 یہ آپ کے پاس آگی اب اس کو ڈروا اسے اس کے ساتھ کچھ manipulations کرتے ہیں ڈیٹیل میں تو آپ دیکھئے کہ سب سے پہلی کنڈشن تو یہ کہ اگر ڈریویٹف of the function یعنی fprime جو ہے وہ ڈیروں کی برابر نہیں ہے at the value x1 then the line meets the x axis at some point x2,0 چونکہ x axis پہ میٹ کر رہا ہے تو y value ڈیروں ہوگی اب اس کو اگر ہم اس ایکویشن میں ڈالنے آئے میں then we get minus f of x1 equals fprime x1 times x2 minus x1 اس کو اگر x2 کیلئے سولف کریں تو we can do that and we get x2 equals x1 minus f of x1 divided by fprime of x1 تو یہ جناب آپ کا value آگئے آپ کے پاس بیسکلی of ڈی فارملہ آگیا for finding the value of x2 in terms of the previous step یعنی x1 تو ہم نے ڈیس کیا تھا تو ٹھیک ہے اس کی value تو پتہ ہے اس کی value تو پتہ ہے x2 کی value کیسے معلوم کریں گے وہ معلوم کریں گے in terms of the initial guess اب اسی process کو اگر ہم رپیٹ کریں تو کیا ہوتا ہے تو اس سے یہ ہوگا کہ بیسکلی ہمارے پاس ایک general formula آجائے گا یعنی اگر ہم ڈی فارملہ اس کو ڈی فارملہ کریں گے تو اس جو ابھی ہم نے ڈیز کی value معلوم کرنے کیلئے اس کو استعمال کرتے اسی کو generalize اگر ہم کردیں تو کسی بھی nth point کی ہم ایک formula لکھ سکتے ہیں کیسے اس کو دیکھتے ہیں کہ اس process کو اگر ہم رپیٹ کریں for example ابھی x2 کی value آگئی تو x2 پہ ہم tangent line ڈاو کرتے ہیں x2 سے correspond جو کرتا ہے ڈراف پہ point وہاں پہ tangent line ڈاو کر کے دیکھتے ہیں کہ اگر اس کا slope 0 نہیں ہے تو وہ ایک point پہ کرے گی x axis کو let's call it x3,0 اور اس کی value اگر ڈالے ہم equation of the line میں a میں تو result آتا ہے minus f of x2 equals f prime of x2 times x3 minus x2 اور اس کو ہم simplify کر سکتے ہیں for x3 تو یہ اب ہمارے پاس x3 کی value آگئی اب نوٹ کریں کہ ایک طرح کا limiting process ہے اس کے اندر اور اس کو ہم generalize کر سکتے ہیں جو ابھی x3 کیلئے ہم نے value معلوم کی formula ڈراف کیا اسی کو generalize اگر کریں تو general formula آتا ہے x subscript n plus 1 equals x sub n minus f of xn divided by f prime xn تو جناب یہ آپ کے پاس آگیا نیوٹنز میٹھٹ کا ایک formula ایک algorithm تو ہم نے دیکھ لیا تھا کیا algorithm ہے اس کا formula بھی آگیا ہے یہ ایک طریقی سے آپ اس کے اندر values جبنی بھی معلوم کرنا چاہیں اس formula سے کر سکتے ہیں تو میں ابھی تھوڑے در پہلے گاتا ہے کہ limiting process ہے بالکل ہے کیونکہ آپ جو root معلوم کرنا چاہر ہیں جو solution معلوم کرنا چاہر ہیں وہ exact value تو کبھی نہیں معلوم شہت کر سکیں لیکن آپ اس سے بہت قریب ضرورا سکتے ہیں یہ اب تک evident ہو گیا گا کہ جو ہم نے ایک picture بھی دیکھی دی جو algorithm ہے وہ بیسکل اگر graph ایسے ہے تو بہت ساری tangent lines draw کر رہا ہے جو آسطا آسطا قریب ہوتی جا رہیں جنکہ intersection point چہیں root سے قریب ہوتے جا رہے ہیں solution سے قریب ہوتے جا رہے ہیں تو یہ سارہ process and newtons method کا اب اس کی ایک example کر لے تھے equation ہے جناب x equals cosine x اب اس میں یہ ہے کہ ہمیں معلوم ہے کہ this equation has a solution between the numbers 0 and 1 we have to approximate it using newtons method so how do we do this how do we find this number x such that that number x equals cosine of that number x تو یہ ہمیں معلوم کرنا ہے پتہ یہ ہے کہ جی 0 and 1 کے درمیان یہ اس کا solution ہے تو اب اس میں function کوئی نہیں ہے لیکن ہم function بنا سکتے ہیں if we write x equals cosine x as f of x equals x minus cosine x equals 0 تو یعنی x minus cosine x equals 0 جائے گا اور وہ ہمیں ہمارے پاس بات آجائے گی کہ اس کے roots معلوم کرنے solution معلوم کرنے تو ہی اس پر اپلائے کرتے ہیں newtons method اس میں دیکھئے کہ ڈریویٹف کیا ہے اس کا x minus cosine x کا ڈریویٹف ہے f prime x equals 1 plus sine of x تو ہمارے پاس ہمارے پاس تھا کہ xn plus 1 جو ہوگا وہ برابر ہوگا xn minus cosine of xn divided by 1 plus sine of xn اس کا گراف بھی ہے آپ کے سامنے ابھی دیکھ لی جی here's the graph of what's going on تو اس گراف کے حالے سے تھوڑے سی understanding ہو جائے گی کہ what exactly are we looking for اچھا اس گراف میں دیکھئے کہ گراف سے ظاہر ہوتا ہے کہ جو سلوشن ہم دھون رہے وہ 1 سے زیادہ قریب ہے بجائے 0 کے تو اس میں یہ کہ ہمیں initial guess جو بنانی ہے x1 کی اس کو ہم 1 لے سکتے ہیں کیونکہ گراف سے ظاہر ہو رہا ہے کہ it's closer to 1 so let's say x1 equals 1 and let's do the calculations اب دیکھئے کہ x2 معلوم کرنے x1 ہمیں معلوم ہے تو آپ کے سامنے یہ calculations ہے x2 کی value اگر ہم یہاں پر معلوم کریں x1 1 ہے تو ہمیں پاس ازالت آتا ہے 0.7503 اسی طرح سے اگر ہم next value معلوم کریں x3 کی اور اس میں ہم x2 کی جو already معلوم کر چکیں value وہ استعمال کریں گے تو result آتا ہے 0.7391 اور اس طرح سے ہم continue کرتے رہیں گے and we'll see that after a while چاہر ڈیسیمال پلیسی کے بعد and we can just pretty much say that the answer is 0.739 or something like that so that's the root or the solution to the original equation we were looking for x equals cosine x یہ نمبر 0.79 ایسا نمبر ہے جو بلابر ہے cosine of itself کے that was the point that we were trying to find out the number and we have approximated it using Newton's method چاہر اس میں کچھ problems میں ہے اس process میں تو ان کو بھی address کر لے تھے so let's look at these things Newton's method میں ایک problem سب سے بڑی یہ کہ اگر آپ کا کوئی value ہے آگے چلکے یعنی n values ہوتی ہیں یعنی بہت ساری آپ repetitions کر رہے ہیں اس formula کی تو کسی جگہ جاکے if f' of xN equals 0 یعنی tendent line کا slope 0 آگیا then your formula will basically not work اور اس لیانی کام کر رہا ہے کہ سب سے پہلے تھی کہ tendent line derivative اگر 0 ہے تو tendent line horizontal ہے it will never intersect the x axis so you're stuck جمیٹرکلی تو اس طرح بھی سوچ سکتے ہیں اس کے لیوہا algebraic formula جو ہم نے دیکھا تھا اپرکسیمیشن کا اس میں divide کر رہے تھے آپ derivative سے evaluated at a point i.e. in this case it'll be xN تو اگر آپ xN پر اگر آپ کا derivative 0 ہے you're dividing by 0 which is not allowed تو یہ پرابلم ایک ہے اس میں newtons method میں جس سے ہمیں خواردار رہنا چاہیے تو یہ ہم نے دیکھ لیا کہ ایک problem تھی newtons method میں اس کی کچھ examples ہیں اس میں ایک problem اور بھی ہے newtons method میں وہ یہ ہے کہ ہم نے جیسے ابھی دیکھا کہ ہم نے بہت سارے repetitions کیے formula کے تو عاستہ عاستہ ایک سردن نمبر پر ان جنرل یہ ضروری نہیں ہے کہ ہمیشہ ہو یعنی بہت ساری cases میں تو ایسا ہی ہوگا اور اس لیے ہمارے formula کام کرتا ہے کہ وہ پکچر جو بنیوی تھی کہ ایک tangent line پھر دوسری ایسے پھر تیسری ایسے اور آپ کے جو intercepts تھے وہ اپنے solution رہے کری بارے تھے کبھی کبھی ایسا ہوتا ہے کہ ایسا نا ہو تو اس کی examples کو جہاں وہ آپ book میں homework assignments میں بھی دیوییں ان کو کر لیجے گا and you'll see that that's another problem that newtons method suffers from تو یہ پرفٹ پروسس نہیں ہے but it's a very good one یہ بہت سارے functions کیلے کام کرتا ہے اچھا جی اب یہاں پہ ہم newtons method کی بات ختم کرتے ہیں اور ہم آگے چلتے ہیں let's start talking about roles theorem تو roles theorem کیا ہے اس کو دیکھ لیتے ہیں let's look at the statement of the roles theorem and then we'll talk about it رول سیرم بیسکلی سیس کہ let f be a differentiable function on the open interval a b and continues on the close interval a b if f of a equals f of b equals zero then there is at least one point c in the open interval a comma b where the derivative of the given function evaluated at c equals zero تو یہ جناب آپ کی سٹیٹمنٹ ہے اس سیرم کی آپ ٹیک ہے اس کو ہم یاد تو کر سکتے ہیں we can commit it to memory لیکن that'll be good لیکن ہمیں سمجھنا چاہئے کہ کیا کیا رہا ہے یہ سیرم تو تھوڑا سا اس کے بارے میں بات کرتے ہیں سب سے اچھی بات کرنے کی اس کے بارے میں یہ ہے اس کو مزیز سمجھنا چاہئے تو مرحال سے ایک سامپل کر لیتے ہیں ایک سامپل دیکھ لیتے ہیں اس سے کچھ کلاریفکیشنز ہو جائیں گی کہ یہ سیرم کیا کیا رہے تو آئیئے ایک سامپل دیکھتے ہیں ایک سامپل جناب ہے ایک فنکشن ہے f of x جو کے جس کو ہم کہتے ہیں سائن x ہے یہ the function is f of x equals سائن x and this is continuous and differentiable everywhere یعنی جو سائن x فنکشن ہے اس کی ہم نے بات کی تھی تھوڑی بات لیکن اگر آپ کو یادو پہلے سے کہ یہ differentiable بھی ہے it's a continuous function first of all on the real number line and it's differentiable everywhere تو یہ ایک طرح سے رول سیرم کے جو ہیپوٹسیز ہیں اس کو سترسفائے کرتے ہیں اس کے لعا یہ continuous ہے on the interval 0 comma 2 pi یعنی جو close interval has 0 comma 2 pi it is certainly continuous on that and it is certainly differentiable on the open interval 0 comma 2 pi اور اس کے لعا یہ بھی دیکھیں کہ f of 0 equals سائن of 0 is 0 and f of 2 pi equals سائن of 2 pi equals 0 اچھا جی تو یہ ساری کندشنز بتاتی ہیں کہ یہ ہیپوٹسیز سترسفائے کر رہا ہے یہ function of the rolls theorem تو اس کے حصاب سے ہمیں کہنا چاہیے کہ اس کا ایک جو انٹرول ہے 0 to 2 pi اس میں کوئی ایسا نمبر exist کرتا ہے سی جہاں پہ اس function کا derivative 0 ہوگا یعنی اس کا function کا derivative کیا ہے function ہے کا derivative ہے cosine x اور ایک کوئی ایسا point exist کرتا ہے c in the open interval 0 comma 2 pi such that cosine of c equals 0 تو یہ آپ بلکہ چیک کر سکتے ہیں اگر اس کو آپ ڈاو کریں گراف کریں اس کو situation کو اس example کی you can see that that is actually indeed true اچھا یہ تو ہم نے ایک mathematical example دیکھ لی a rolls theorem کی statement بھی دیکھ لی اب یہ کرتے ہیں کہ کچھ تھوڑا سی اس کی philosophy سمجھنے کو حش کرتے ہیں کہ what actually happened here یعنی کیا نا کیا چاہ رہا ہے rolls theorem تو اس کو وہی بات ہے میں ایک example کہای دفعہ دے چکوں شروع کے lectures میں بھی دی تھی اور میں حال سے پچھلے lecture میں بھی میں نے کہا تھا کہ لہور سے صلابہ دانے کی بات کرتے ہیں مجھے لوگوں نے کہا میں صلابہ سے لہور آنے کی بات بہت کرتا ہوں تو بھائی اس میں پھر ہم نے بات کی تھی اس کی example کی تھی اور ایک اور تھیورم تھا جہاں پہ ہم نے دیکھا تھا کہ that theorem made sense in regards to this example اب rolls theorem کی کو دیکھتے ہیں اسی example کے حوالے سے تو اب یہاں پہ ایسا کرتے ہیں کہ جب بات کرتے ہیں کہ جی میں بس میں بیٹ کے لہور سے روانا ہوا صلابہ کی طرف تو ٹیکہ distance travel کیا distance travel کیا تو یہاں پہ ظاہر ہے بس ایک رفتار سے جلتی ہے تو ہم رفتار کی بات کرتے ہیں لیکن بات کرتے ہیں let's not talk about distance anymore let's talk about the velocity of the bus جو مجھے یہاں سے لےکے جاری ہے صلاحور سے صلابہات تک تو اب velocity اگر آپ سوچیں it's a continuous function also یعنی with respect to time جیسے ایسے time گزرتا جائے گا bus کی بھی کوئنہ کوئی velocity ہوگی تو ہو سکتا ہے کبھی بہت زیادہ تیز ہو جائے کبھی بہت سلو جائے 90 km پہ آجائے 110 پہ چلی جائے ابھی پھر وہی بات ہے کہ motorway پہ جا رہے ہیں تو اس میں یہ ہے کہ it's a continuous function تو یعنی starting from the وہی bus ڈائبو کی ہے لہور میں جو ڈائبو کا station ہے وہاں سے اگر میں start کرتا ہوں تو initial my position کیا ہے یعنی initial velocity کیا ہے bus کی initial velocity ہے 0 کیونکہ bus رکی بھی ہے obviously جب پندی کے station پہ میں پہنچتا ہوں ڈائبو کے تو again میری جو bus کی velocity ہوگی تو یہ دیکھئے کہ سب سے پہلے تو اب جو interval involved ہے وہ کیا ہے interval جو ہے وہ ہے یہاں پہ ڈائبو ڈائبو ڈائبو سے لیکر motorway کو ڈائبو کر کر کے all the way to ڈائبو پندی ڈائبو ڈائبو ڈائبو تو یہ آپ کا interval ہو گیا اس میں I'm time ڈائبو کریں گے تو velocity ڈائبو ہے initial velocity is 0 final velocity is 0 تو rolls ڈائبو کی جو ایک condition ہے وہ تو meet ہو رہی ہے کہ جو function ہے v of t ڈائبو وہ initial value پہ بھی 0 ہے interval اگر a سے b ڈائبو کریں تو یہاں ڈائبو میں بھی 0 ہے velocity ڈائبو سلام آجا جاکے بھی 0 ہو جائے گی بس کی in between it's a continuous function and in motorway پہ جب بس رکھتی بھی any service station پہ still it's a continuous function because time ڈائبو چل رہا ہے and the output value ہے وہ 0 ہے any velocity کی value 0 ہے still it's a value function continuous ہے اب تو یہاں پہ rolls ڈائبو ڈائبو ڈائبو ڈائبو basically یہ کہتا ہے کہ اگر یہ situation فنکشن کی میں نے بات کی define کیاں situation میں it satisfies roll the hypothesis of rolls ڈیرم therefore from Lahore to Rawalpindi there is at least one point on the motorway somewhere where the rate of change of velocity which is what which is the acceleration has to be 0 آپی سوچنے والی بات ہے تو تھی کیا آپ سوچنے والی بات ہے آپ سوچنے والی بات ہے ہے تو ہم کیا کریں لیکن تھوڑا سوچیں کہ ہوا کیا یعنی کیوں گارنٹید ہے کہ جو ایک ایسا point ہے motorway پر کئی نہ کہیں کسی ایک وقت پر ایسا point آئے گا جہاں پر بس کی acceleration جو ہوگی وہ 0 ہو جائی گی تو ٹھیک ہے ایک تو ہم یہ سوچ سکتے ہیں کہ بس پوری رفتار پہ جاری ہے جو بھی اس کی maximum speed ہے تو ظاہر ہے اس سے زیادہ Accelerate نہیں کر سکتی ٹھیک ہے لیکن problem یہ ہے کہ motorway پلیس والے بڑے تیز ہیں وہ آپ کو روک لیں گے تو of course we can imagine کہ ایسی situation نہیں ہے تو پھر ایسا point آسکتا ہے کیوں آتا ہے کیوں گارنٹید ہے کہ آپ کی acceleration 0 ہوگی کیا بس ڈایورس ہے ہمارے ڈیلو ہی ہے کہ جی آپ کو کسی جاگا Acceleration 0 کرنی ضرور ہے کوئی ضروری نہیں ہے ہوسکتا ہے کبھی acceleration زادہ ہو جائے کبھی slow ڈایورس negative میں چلی جائے why does it have to be 0 it's a good question it's guaranteed by roles ڈیلو but why is it guaranteed something to think about and it's a very interesting thing to think about mathematics نستانہ کہ بہت سے مددار چیزیں ہوتی ہیں ایک تھوڑا سا ہٹکے ہے اس topic سے وہ ہے کہ جی ہای level پر ہم نے پڑا تھا کہ اگر آپ کے پاس ایک gain ہے یعنی جیسے دنیا کا sphere ہوتا ہے جس پر ہم رہتے ہیں planet earth اس پر ایک کوئی ایسا function continuous function ہو تو اس میں under certain conditions وہ گارنٹی کرتا ہے کہ given any two points on planet earth آپ کو نہیں بتا وہ points کون سے لیکن ان دو points پے temperature and air pressure will be exactly the same guaranteed یعنی we don't know what those two points are it could be north pole south pole it could be anywhere but یہ بڑے جیب سی بات ہے کہ guaranteed ہے by mathematics that at least two points exist on the planet earth where air pressure and temperature will be the same at a given moment in time because those two are continuous functions تو یہ بھی ایک مجھے کی بات ہے سوچنے والی بات ہے but again ساتھا سکوب سے بہار ہے course کے لیکن وہ بات ہے کہ roll serum والی example جو کی وہ بھی اسی سے ملتے جلتی ہے and I think I hope you see why mathematics is so interesting یہاں پر تو ہم نے بات چید رول سیرم کی اور ساری مزدار بات ہے کر لی مین والی سیرم کر لیتے ہیں جو آج کا آخری topic ہے let's talk about that اس کی ستیٹمٹ لکھتے ہیں let's see what the ستیٹمٹ says ستیٹمٹ is مین والی سیرم سیس کہ let f be a differentiable function on the open interval a and b and continuous on the closed interval ab یہ رول سیرم والی تائب کی ہے requirements then there is at least one point c in the open interval ab where the derivative of the given function at that point c is equal to another word you could say that the slope of the tangent line at that point c to the graph of the function f is equal to the secant line joining the two end points of the interval ab تو یہ ایک طرح کی جنرلائیزیشن ہے رول سیرم کی تو اس کو بھی دیکھلتے ہیں تھوڑا اس کا پروف بھی دیکھلتے ہیں بلکے تو آئی دیکھتے ہیں نوٹ کیجے کہ اگر ہم اس کی ایک طرح سے بلکے ہم نے ببی اس کی ایک پکچر دیکھلتے ہیں پہلے کہ سیٹویشن ہے کیا مین والی تھیرم کی پھر اس کو پروف کرنا شروع کرتے ہیں تو let's look at the picture پکچر میں دیکھئے کہ ایک طرح سے آپ کے پاس ایک continues function دیا با ایک interval پہ ab پہ اور ایک secant line ہے جو ab کو جوائن کر لیے اور بیچ میں ایک point c ہے جہاں پہ ایک tangent line ڈاو کریں تو secant line اور tangent line کا slope جو ہے وہ equal آتا ہے برابر آتا ہے تو اس پکچر سے ظاہر ہوگا بلکے اگر آپ خور سے دیکھیں ٹیکس بک میں بھی آپ کے کہ یہ c ایسا point ہوگا جہاں پہ vertical distance between the graph of the function and the secant line is the maximum یہاں پہ وہی بات آگئے کہ میکسیمائیزیتن کی problem ہے تو آئی اس پروف ہو کرتے ہیں اس میں ہم دیکھیں گے کہ how we apply all the stuff we learned before یہاں پہ دیکھیں کہ vertical distance کو ہم کہتے ہیں v of x let's define it as a function and let's try to maximize that تو یہاں پہ دیکھیں ایک figure بنا لیتے ہیں یہ وہی figure ہے جو ابھی تھوڑے دے پہلے آپ نے دیکھا تھا اس میں اب یہ دیکھیں پکچر میں کہ پکچر سے ظاہر ہوتا ہے وہ تھوڑے سے کمپلکیریڈ ہے لیکن اس میں پہلے اور دیکھیں گے آپ یہ چیز امپلائے کرتی ہے کہ y should equal to f of b minus f of a divided by b minus a times x minus a plus f of a یعنی بیسکلی آپ نے minus f of a on the left-hand side جو تھا وہ دونوں سائٹ اس کو ایک طرح سے آپ موف کر کے در لیں right-hand side پر تو ایک نئے ایک سپرشن آگئے اب آگئے چلتے ہیں اس کو دیکھیں اس کے سات کیا manipulations کی جا سکتے ہیں اب یہ دیکھیں کہ v of x جو vertical distance جس کی بات کی تھی ہم نے between the graph of the function and the secant line can be written as اس کا ایک formula بنا سکتے ہیں اور وہ formula کیا ہے وہ formula ہے f of x minus جو ابھی expression y کی لئے تھی وہ تو یہ expression کیا چیز ہے یہ بیسکلی آپ نے distance معلوم کیا ہے between f of x ہی رکھ چونکہ graph ہے اور جو secant line پر point ہے تو اب دیکھیں کہ since f of x is continuous on the closed interval a b and differentiable on the open interval a b so is v of x تو یہ v of x کیوں ہے differentiable and continuous on the given appropriate intervals اس لئے کہ اس کے formula میں f of x involved ہے اور ایک جو دوسرا formula تھا جو جو point تھا جو آپ نے minus کیا اس میں سے وہ بھی ایک طرح کا a continuous function in terms of x تو I think you can see that just by the formula for v of x IES کو مزید solve کرتے ہیں اب دیکھیں کہ ایک بات اور note کیجے کہ v of a جو ہے وہ 0 ہے a substitute کردنے formula میں تو 0 آجاتا ہے اور v of b جو ہے وہ بھی 0 ہے تو اس کا مطلب ہے کہ جو function ہے v of x جو measures کر رہے vertical distance وہ Rolls Theorem کی hypothesis کو satisfy کر رہے لہذا we can apply it here and when we apply this we see should be a point c in the interval open interval ab by Rolls Theorem such that the derivative of v of x v prime at evaluated at c should equal 0 but now note that the derivative is just f prime x minus f of b minus f of a divided by b minus a this implies that if you evaluate this at c you get v prime of c equals f prime c minus f of b minus f of a divided by b minus a so by this last formula جو ابھی ہم نے دیکھا at the point where v prime of c is 0 we have f prime c equals its f of b minus f of a divided by b minus a جناب یہ آپ کا پروف ہو گیا Rolls Theorem کا پروف میں کوئی problem ہوتی ہے تھوڑی سی کے لیکچر کے دوران ترہ explain کرنا بھی مشکل ہوتا ہے اور سمجھنا بھی مشکل ہوتا ہے لیکن یہ کہ تھوڑا بہاتا شہت آپ کو وہی باتا جو باقی کچھ رہ گئے you can always email and we can talk about it and we can discuss it then and there تو یہ آج کا لکچر ہمارا یہاں پہ ختم ہوتا ہے آج ہم نے کیا بات چیت کی بہت ساری کی newtons method دیکھا اس کی ساری explaination اس کی background دے کی history کیا تھی اس کے لیوہ جو زیادہ مزے کی باتے جو مجھے لگی وہ functions کی تھی وہ Rolls Theorem کی تھی جب میں نے وہ آپ کو example دیکھ جی there has to be a point where acceleration has to be 0 جو یہاں سے لاہور جانے سلام باز والی example ہے اس کی تو I hope you at least appreciate that example اس کے بارے میں تھوڑا سار سوچی ہے it's very interesting تو چلیں یہاں پہ ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو اور پھر next time تک کیلی Allah Hafiz and I'll see you next time Take care Allah Hafiz