 Poi, vi aspettiamo per la terza, vi guardiamo per la sciocca. Ma ti mi dimede qualche pezzetto in più che si rimasti su tutte i caccoletti? Niente di grave, eh? Ok. Forse, sì, buonitè. Non è stato un break? Facciamo la foto. Ah, sì, sì, sì, ma dai assolutamente sì, è una giornata fantastica. Profettiamo. Dipende se preferisci parlare al break o alla fine? No, c'è un break. Ok. Ok, ah, va bene. Ok, quindi... È un'antica volta che non vediamo, quindi magari ho bisogno di fare il nostro capo, almeno ricordarvi dove andiamo. Quindi... Abbiamo studiato il modello sferico, come un modello semplice, ma ancora un modello interessante per il sistema di disordo. E abbiamo scelto questo modello sferico, perché, quando abbiamo un modello multispin, in realtà, il modello sferico interacta in Hamiltonian, abbiamo aspettato, come in la prima transizione, che i stati sono molto meglio definiti sul tempo critico, che ha cambiato via una transizione di transizione dal comportamento parametrico a un nuovo comportamento spinglasco. Ok, quindi, cosa che abbiamo scelto di questo modello, o, in realtà, cosa ho detto, perché non ho provato tutto, è che, a zero temperatura, se guardate al minimo di Hamiltonian, c'è esponenzialmente molto minimo di Hamiltonian, a diversi livelli energiati, e, e per definire la complessità, sigma, che ha il limite di n all'infinità, 1 over n, il log di il numero minimo di energiati, di Hamiltonian, per definire la complessità in questo modo, cosa abbiamo scelto, in realtà, cosa ho detto, perché non abbiamo compito ancora, esplicitamente, è che la complessità exista, non è zero, è ben definita, e è positiva definita in una regione di un minimo di valore, e, cosa chiamo, un valore trasferito, in min e trasferito, ok? Beyond the trasferito, essenzialmente, come vedremo oggi, there are not real roots for the equation defined in the complexity, and below the minimum value, the complexity is negative, being a counting of something, it cannot be, the log of the counting of something cannot be negative, ok? This something must be at least one, ok? Here we are. Now what we want to do we want to take back the TAP free energy that we derive and we can write this way as q to the p half the Hamiltonian ok, let me write directly the energy at zero temperature, you remember, we revert the magnetization variables as square root of q times variables satisfying the spherical constraint and so this part was the Hamiltonian computed on these variables and is enough to keep the zero energy of that state and then we had one more part that is, we call it r of q and beta and r of q and beta we have an explicit expression thanks to the platk expansion to the second order, this is the TAP free energy and is given by 1 minus 1 over 2 beta log of 1 minus q this is the entropic term so log 1 minus q is the entropic term of these Gaussian variables which we computed explicitly and here we have minus T usually in the free energy you have u minus T s so the energy minus temperature in the entropy is the entropic term and then we had one more term which is minus beta fourth 1 plus p minus 1 q to the p minus p q to the p minus 1 this also we computed together and this is the so-called on-sugger reaction term that you have to take into account a disorderen model so this is where we are so essentially at zero temperature we know what is the structure of states and now the following question we want to answer is what happened to this structure of local minima when we switch on the temperature so now we also put back this term because if you set the temperature to zero equal to infinity well this term trivially goes to zero and you can prove also this term goes to zero so the TAP free energy reduces to computing the minima of only the energetic part if you are at zero temperature now we want to put the temperature back into the problem and so we want to look really at the structure of the free energy so the structure of states so at zero temperature we know what it is is essentially there is a region here between E mean and E threshold where there are states now I would like to convince you by just doing some simple computation that the structure is this one so each state that can be say extended to finite temperature by solving the only equation so the derivative with respect to Q equal to zero because the derivative with respect to this variable equal to zero do corresponds to minima of the Hamiltonian and we try to follow these states in some way ok I draw it this way so this you have to intend as the free energy of the states and we will see that this region is full of states so there are states at any of these points which means that exist at a given temperature states in a certain range of free energies ok and so then we have to understand what is the thermodynamic of a model having so many states of different free energy levels ok each state can be a modify from the minimum of the energy function to a minimum of the free energy TAP free energy well we have to solve the equation the derivative of the TAP free energy with respect to Q equal to zero because we already solve the equation taking the derivative with respect to sigma i which is computing which is equivalent to compute the minimum of the energy function but there is still one more equation which is taking the real respect to Q if you take the derivative to respect to Q you get the following equation ok it's just simple algebra 1 over 2 beta 1 minus Q sorry 1 over 1 minus Q which is the derivative of the log then you have one more term which is the derivative of the energetic term so it's P half Q to the P half minus 1 times the energy this is the intensive energy this is why I use the lower case letter and then you take the derivative of this term with respect to Q and you simplify a little bit and you get beta quarter P times P minus 1 times Q to the P minus 2 1 minus Q equal to zero this is the equation that you have to solve it looks less in the sense that is a non linear equation in Q still if you do the following change of variables you introduce the variable Z which is defined as beta times 1 minus Q times Q to the P half minus 1 then this equation becomes equivalent to this second order equation which is very simple to solve which is 1 plus P E Z plus P P minus 1 half Z square that everybody knows how to solve because now it's a second order equation in Z ok in order to solve this equation you have to remember that Z is a function of Q and beta you are interested in computing Q so what is our interest we want to understand given a generic state of energy E where it goes when I switch on the temperature so when I switch on the temperature I also have to solve this equation for a given beta value and I want to solve it in Q but in Q this equation looks very agli because it's a non linear equation changing the variable like an easy solving Z and then I reconstruct Q from Z ok, so the solution of this equation in Z is very simple actually you have two you have to choose one of the two according to again physical requirements I don't have time to enter too much in detail but essentially you choose the solution such that the overlap Q which is remember that well I forgot in the summary to remind you that Q is defined as 1 over N sum over I magnetization square well actually comes from here but is what reminding what Q is is the self overlap so it's something that tells you how how what is the shape of the minimum you are in so if you essentially if all the magnetization are very close to 1 this means that any two any two copies belonging to that state are very similar magnetization so they are very similar if M is very small it means that each spin can fluctuate a lot and so if you take two copies in that state they are self overlaps so they are similarity this notion of similarity is very small this notion of similarity and what we expect in general is that for temperature equal to 0 the similarity is 1 in the sense that the two copies are forced to be in a minimum while when I switch on the temperature there is also an entropic term so if you take two system in a valley two copies at zero temperature they end up exactly in the same minimum so their similarity is 1 so you expect at equal to 0 q equal to 1 so they are perfectly identical then you put some temperature and so you expect the system to fluctuate at a given energy level above the minimum so you have thermal excitation above in a in a valley ok, a hot ball in a valley it fluctuates and so these two system now they are fluctuating here the size of the valley is given by this q which is a notion of similarity so when you make the temperature higher the similarity goes down so in general you expect that q as a function of the temperature starts always from 1 and then it goes down this is the physical expectation given the meaning of this overlap parameter which is nothing but a notion of similarities between two copies of the same system put in the same state now, if you look at the two solution of that quadratic equation you realize that for one solution z which is related to q brings you a function q of t which is monotonously decreasing in t the other solution gives you a solution which is monotonously increasing which is non physical so you don't expect that when you make a system when you bring a system to a higher temperature where two system can more easily correlate so more easily go to small values of the overlap the overlapping increases so by this by choosing the right root of this equation you can write z as minus e one more thing this equation looks an equation with all positive coefficient so it seems not to have any root but you have to remember that the energy is a negative quantity you see, I always plot energy on the negative side of the ax so this is a negative coefficient otherwise you will not have any root so minus e again is positive minus square root of e squared minus e threshold square divided p minus 1 where I introduce these e thresholds well, actually I recall because I already introduced in the definition of this complexity is defined this way is the definition of the threshold is just the solution of this equation and so z is related to e and they are so if in general if e increases z increases so they are the z is an is an increasing function of e and you can see that the argument of the square root must be positive in order to have a real value for z and this implies that a solution to this equation is only if so the solution exists if and only if the the absolute value of the energy is larger than the absolute value of the threshold energy you have to remember that we are working with negative quantities so asking the absolute value of the energy to be larger than the absolute value of the threshold energy in order to ask in our setting the energy to be strictly smaller than the threshold energy because we are working with negative variables so this say that is another way of saying that this equation that you are required to solve in order to find minima of the TAP free energy doesn't have any solution you start with a state which has an energy larger than the threshold value so this is another way of understanding that there is a limited region of minima stationary points of the Hamiltonian which can be followed that then leads to minima of the TAP free energy if you go too high in energy then there is no minima of the TAP free energy corresponding to that stationary value and you see from really the solution of the equation but this is an important condition then in order to understand that there is a minima of value you have to compute the complexity there is no way you have to see that the complexity becomes negative however from you understand that there is a range of energies which is the interesting one actually we know this from the zero temporal computation you understand that there is a range of z values so let me say that the range of possible energies where the complexity is non zero these maps uniquely on a range of z values since this function is monotonously increasing ok so essentially the overlap because we are interested in computing the overlap for each of these states and I want to convince you that this picture is reasonable you want to solve this equation here in q for z taking one of the values in this range which is the possible range ok and once you want you try to solve this equation in q these are again non linear equations so how can I solve it well at least I can understand up to where there are solutions and so I take the definition of z and I try to solve in q the equation one minus q q to the p half minus one equal to the temperature now if you do the plot of this for example for p equal three is a function between zero and one which has a maximum it starts like this function here so what I learn without solving the non linear equation and just plotting this function this function has a maximum so certainly I'm not able to solve the equation too high because z times t so I'm solving this equation equal to z times t if t is too high I cannot solve it anymore so there is a maximum value for t such that this equation can be solved at fixed value of z z essentially is a parameter for selecting one of the states that has a given energy at zero temperature so fixed z and compute the maximum value of t that allows you to find a solution to this equation this is very easy because you have to understand where is the maximum of this function the maximum of this function is in a value that is called qa in the lecture notes by Alain Barra so I will use this notation and computing qa is just taking a derivative is such that the derivative of this with respect to q is equal to zero well I leave you for as an exercise is very simple it has how to be 1 minus 2 over p so this is the value of qa and the maximum of the function so the this function computing in qa is equal to 2 over p 1 minus 2 over p to the power 1 minus 1 ok something there is a finite value so now what happened is that this equation cannot be solved for t to large for each value of z which means each value of the zero energy you have a maximum value of the temperature such that you can solve the equation and so from this you can find a t max for each value of z so for each energy level the zero temperature potential energy you have a maximum value of t where you can solve the equation and since z and t enters in this way if you take a larger z you have a smaller t max and if you take smaller z you have a larger t max so this picture is reasonable it says that if you take the value the states with the smallest value for the energy the smallest value for z have the maximum value for the temperature where I can solve this equation so in some sense I can follow this state up to this value which is t max of a label instead of z I use e emin well if I take these states I can follow these states for a small up to a smaller t max e so I can compute explicit expression I'm not interested in doing now for the range of validity of actually for the range of temperature where this equation can be solved so for each energy level have here a line that they call t max of e that goes from t max of e threshold max of emin that define a region in the plane free energy as a function of temperature where solution to the to the TAP equation do exist ok so essentially we uncover the region and we did the explicit computation of the region where there is an exponentially large number of minima of the TAP free energy ok and here the q which is one more physical interesting parameter to look at in order to understand how these states look like if you do the same plot but for q now since you see from here that once you once you fix z well there is a non linear equation but for each value of t you just have one value of q in z is like rescaling the temperature so you have exactly the same function but with a temperature which is rescaled by a factor z so what happened is that all the curves start from one and then you will have something like this for for the minimum energy and something which follows exactly the same curve but with a rescale temperature something like this it's not exactly something like this for the threshold states ok so all these states have this value for the self overlap and this will be t max of e threshold and this will be t max of ok so all this region is full of states exponentially many and in particular let me write the which will be useful for the for the following in general the explicit expression for the overlap or the free energy as a function of temperature are complicated non linear functions so it's not worth writing it but we'll see that threshold states will play a very important role for the dynamics we'll see that essentially the dynamics will convert to threshold states so it's worth writing now the explicit expression for q and t for the threshold state for the threshold states we can take exactly this expression but now if you take the explicit expression for for the threshold which is defined I just rewrite for you the expression for the you see if you set e equal to e threshold you have to set this to e threshold so this cancel and this expression simplifies to e e2 in britain square root of 2 over pp-1 so for the threshold state the value for z is particularly simple you plug it here and you realize that for the threshold states you have the following equation for q which is the following beta square you have to plug z threshold there and take the square beta square time 1-q threshold square pp-1 half equal sorry times q threshold p-2 equal to 1 so essentially this is the equation satisfied by the threshold states and we'll see that this is particularly irrelevant because we'll see that the dynamics tends to states having this value of the self-overlap so this is just a completely thermodynamic computation we are just computing how many minima there are for the TAP free energy but later we realize that this value for the self-overlap of threshold states has an important role also in the dynamics so this is why I've write it for you explicitly now let's come back to this picture here and now let's try to understand what happened to the thermodynamic of this model ok? so we have a model where the free energy assuming that the TAP free energy is a good description for the free energy of this system has infinitely many minima in a wide region on top of this we have to remember that there is always one more state which is the parametric state so there is always the parametric solution which is mi equal to 0 for any spin and the free energy is equal to minus beta over 4 minus ah sorry yeah in the expression for the TAP free energy I forgot to put also the term in the TAP free energy I wrote today I forgot to put this term that is absent in half of the paper in the literature so it's a completely relevant term so enough of the paper is present enough of the paper is absent but it's worth keeping it otherwise the free energy perché la funzione della temperatura non ha questa forma come una diversa forma perché un termo di lineare è messo quindi posso prendere questa foto che vedo come fare perché ho tutte le questioni e posso aggiungere a topo la parametrica free energy e se gioco la parametrica free energy cosa che ho trovato è qualcosa di così ora sarà molto difficile a portare una funzione che tocca con il stesso derivativo questo termo in un punto ok quindi questa è la parametrica è il motivo che ha questa forma perché ha bisogno di diverso come minus 1 over 40 qui ha bisogno di andare lineare per diventare lineare in T per large T quindi qui va come minus T s infinity e qui diverge come minus 1 over 40 questa forma è riuscita quindi ha bisogno di avere un maximo e cosa che trovi è che in un punto c'è la regione dove hai molta minima la parametrica free energy quindi ora la questione è ok, ho compito tutto questo minimo della free energy, ma mi interessa nella termodynamica quando faccio la termodynamica nella ensemble canonica cosa che mi interessa è in compitare la free energy canonica quindi la funzione partizione canonica quindi faccio tutte queste state per la funzione partizione o la funzione partizione è dominata da la energia free per la parametrica che accanto a questo punto è sempre la più piccola quindi se volete quali state dominano la termodynamica da questo punto devo dire sempre la grilla linea le altre state ho fatto questa computazione massima non è così massima, ma ok si tratta di tempo e poi sembra che per la termodynamica queste state hanno più free energy lo che vedremo dalla termodynamica di un sistema canonico quindi un sistema in contatto con una città di temperatura T è che sempre dovete scegliere la state con la free energy minima sì e no nel senso che questo punto non ha raccontato tutto perché dovete ricordare che mentre c'è solo uno unico c'è molte state esponenzialmente in questa regione ok? quindi se voglio capire corretto il peso della parametrica state e la chiamiamo spingla state perché sono spingla state nella funzione canonica bisogna fare attenzione del fatto che quando compitiamo la funzione partizionale essenzialmente io faccio il sumo di configurazione ma se la funzione partizionale è definita come il sumo di configurazione di il system amiltoniano ora se si gruppa la configurazione state by state quindi lo fai la spazio di tutta la configurazione e si gruppa la configurazione in state quindi queste state alfa, questa state beta e questa state gamma si gruppa la configurazione, la configurazione relevanta in state è impossibile di un gioco di un spazio in dimensione diventando due state secondo il loro peso puoi approximare questo con il sumo di state di e-beta e f-alfa di la state ok quindi la questione è come quanto abbiamo come in il modello corrivaio solo due state tre state il stato parametrico e il stato parametrico bisogna comparare questa energia libera tra due o tre quindi comparo la energia libera con l'e-beta con l'e-beta e vi faccio che è più grande ma ora abbiamo molte state perché cosa che abbiamo visto è che ogni uno di questi state che sono molte può essere completato in temperatura per aggiungere alla energia libera il termine di energia libera è solo la parte energetica e questo termine extra ok quindi hai questo termine extra che è il stesso per tutte le state di energia giocata e fai seguire la state in temperatura quindi se hai infinitivi di qui hai anche infinitivi di qui infinitivi di qui e infinitivi di qui quindi ora dobbiamo fare questo sumo e abbiamo a curare che il sumo dei state può essere convertito in un sumo attraverso un integrale su tre energetiche ok scoperto, una cosa più importante per questo modello che è extremamente semplice è che ogni state fanno una curva e la curva non è cross questo molto peculiaro di questo modello che è extremamente semplice è il motivo per cui ho imparato questo modello ma questo è unusual sicuramente le energetiche di differenze fanno una cross quindi si cross un state in cui è dominato in una temperatura non è dominato in un'altra tempura e questo fa tutto molto più messo ma per il momento in questo modello tutti i state sono in exactly the same order quindi le energetiche di due sistemi non si cross quindi questo fa la computazione semplice perché significa che la compezione che computa a zero tempura può essere transposta a una fine tempura molto semplice quindi prendete questo e approximate come, non, computo esattamente come un integrale di f di cosa? il numero di state a una tritura di tre energetiche la contribuzione per la tritura di tre energetiche per la funzione di una partizione di ogni state ok? se facciate questo, realizzate che beh per ogni livello di tritura quindi per ogni livello di tritura l'attuale quantità è il summe di questo termine e questo termine ok? quindi potete aggiungere questi due termini per ogni livello di tritura di tre energetiche tritura di energetiche identifica un state avete qualcosa che è beh, mettete anche il minus beta in fronte e avete f minus t sigma over f ok? quindi questo è la tritura di tre energetiche il total weight di un state un gruppo di state che ha una certa tritura di tre energetiche ok? quindi, come soltanto soltare il modello di quadrice dove il sigma è sempre zero è sufficiente per vedere quali tritura di tre energetiche ma ora, avete un termine extra in cui si trova il stesso ruolo come un entrope quindi normalmente la tritura di tre energetiche è l'energia interna minus t, s l'entrope interna di un state ora, avete un altro termine extra che è la complexità o la tritura di configurazione che è il motivo per cui la tritura di configurazione che spiegherà a te di quanto la tritura di configurazione hai dentro uno state di un livello di tritura di tre energetiche hai a raccontare quanto il livello di tritura di tritura di tre energetiche e quindi questo è un termine extra nella tritura di entrope ora, se vuoi fare una comparazione vera tra la soluzione paramanetica della tritura paramanetica e queste state queste stesse glassi hai a comparare questo termine qui hai a comparare con la tritura paramanetica di tritura di tre energetiche questa è la dire quantità per comparare con la tritura paramanetica quindi facciamo una comparazione di questa tritura tritura di un gruppo di state e la tritura paramanetica di tritura paramanetica quindi non hai a comparare solo cosa è tritura su questo graffino perché in questo graffino sono solo tritura f non sono inclusa la complessità quindi se fai questo puoi reddire un'altra tritura dove puoi tritura la tritura paramanetica quindi f minus t sigma e in realtà in order to make the plot even more explicitly let me draw f minus t s minus f para quindi sono già rimuovendo la tritura tritura paramanetica ok? quindi sono solo intendo la differenza tra la tritura paramanetica che è laburata dalla energia, la energia zero e la tritura paramanetica se fai questo e puoi reddire il plot cosa che trovi è che per esempio hai il minimale quindi i state che hanno energia zero energia zero è che in termini di imin le tifano a questo punto e se fai i state il tifano le tifano in un altro punto ok? e poi ovviamente questa tritura finisce On tmax di e tritura mentre questa tritura finisce causes il tmax di imin come sempre di questa curva. E, per continuazione, se prendete alcun valore di V tra l'immin e il trascolto, avete qualcosa tra le cose che accettano qui, ok? Quindi facciamo i nomi a queste due tempi importanti. Ci chiamo questo Td, che è la temperatura dinamica critical, o la temperatura condensazione, la temperatura condensazione. Quindi, cosa vediamo da questo nuovo modo di trascolto, esattamente tutto il data che abbiamo già fatto in nostra mano. Stiamo imparando che, entrando da una alta temperatura, come soltanto come stiamo qui, nella regione grida, il stato parametrico è, ovviamente, il stato parametrico è, ovviamente, l'unico con la più piccola energia totali. Qualcuno altro stato ha una energia più alta. Ok? Sì, tutti hanno una energia più alta. Ovviamente, se per alcuni di questi stati, perché ogni uno è subdominato e il peso è poi moltivato da N, se per alcun valore di F, questa quantità è più piccola, in realtà, è più grande che la energia francese, questo intero è subdominato con rispetto al valore, al contribuzione, alla funzione di partizione del punto di trascolto parametrico. A questa temperatura, le state trascolte tende come avere esattamente il stesso peso del stato parametrico. Questi sono infinitivi, perché, ricordate, la complessità per il stato trascolto è molto positiva. Questi stati sono infinitivi, in N, ma a questo punto, ora, in questo punto, la Td e Tc, a questa temperatura, a questo punto che è già arrivato a una temperatura più alta, sono subdominati, sono irrelevanti, ma a questa temperatura, la Td, diventa il stesso peso del stato parametrico. Poi, puoi andare in temperatura, e vedete che, a ogni temperatura, l'energia francese della soluzione parametrica è equivalente all'energia francese dei stati subdominati laburati da un valore particolare. E se puoi aggiungere questo, a questo punto, puoi trovare una linea come questa. Per ogni temperatura, tra la Td e la Tc, hai un valore specifico della energia francese che sceglie un stato subdominato che intende come avere l'energia francese come soluzione parametrica. In questa regione, qui, l'energia francese. Ok, l'energia francese è quella. Finalmente, sotto qui, guardando solo questa data, uno dirà, ok, e qui, ancora, il stato parametrico è subdominato, perché è la più piccola. Ok, quindi, in modo da dire, no, non voglio prendere il stato parametrico qui, ma, in realtà, cosa vedremo, cercherò di convincere che, in modo da seguire questi stati qui, in modo da avere la stessa fisica, beh, questo è impossibile da dire da questa computazione TAP. E, in realtà, il motivo per cui vi mostreremo la computazione dinamica è perché vi cercherò di convincere che, a Td, a la temperatura dinamica, a la temperatura di trascensione, in realtà, c'è una trascensione ergodistica. Che è una trascensione ergodistica? Siamo discutiti in più dettagli, ma, in realtà, in pratica, significa che non dimenticiamo la condizione iniziale, che significa che stiamo dentro di una trascensione. Se inizia la dinamica, la dinamica termale, a una temperatura di trascensione, e ho tentato di andare fuori dal punto iniziale e non posso farlo, significa che c'è una trascensione ergodistica. Quindi, io sono in una trascensione. E quindi, se la Td prende iniziale una trascensione ergodistica che fa la rilassazione a un stato pronetico impossibile, beh, è impossibile che qui, ho una trascensione ergodistica e poi, a una trascensione ergodistica, ho trovato una trascensione ergodistica. Questo è impossibile. Quindi, se una struttura di Stati già vede, io darò quella struttura di Stati anche a una trascensione ergodistica. E quindi, significa che, a una trascensione ergodistica, ho bisogno di scegliere quelle che dominano le termodynamiche. Quindi, ho bisogno di fornire la soluzione paranetica. E quindi, solo queste Stati hanno bisogno di quella di la trascensione ergodistica, la trascensione ergodistica, la trascensione ergodistica, la trascensione ergodistica, qui. E quelli della trascensione ergodistica sono questa, perché tutti i altri sono una trascensione ergodistica. Ok? Quindi, facciamo... Ok, questo è, più o meno, tutto che potete ottenere dalla soluzione TAP. Un'altra relazione più elevante che sarà utile... No, sì, facciamo più esplicamente. Sì, sei certo. Quindi, questi sono importanti in modo giusto. Quindi, io scrivo che Z ha la trascensione di strumenti di l'exponenzio di minus beta e l'energia libera della Stati. Ora, da minima della TAP, quindi, TAP libera di energia, sappiamo che ci sono molte stati possibili. C'è una che è la Stati Pranitiche. Quindi, mi raccomando, questa ha la contribuzione da Stati Pranitiche, che è l'exponenzio di minus beta e F para, plus la contribuzione da l'exponenzio di molte Stati che ha free energia in un range che è completamente determinato da la soluzione della questione TAP. Ok? Quindi, su di questo, l'integrale da F min da F threshold, che è essenzialmente questo due valori qui, quindi chiamo F min la free energia corrispondente di E min e F threshold, la free energia corrispondente di E threshold. D F, quindi, il numero di Stati è giunto dall'exponenzio di sigma F e ogni Stati ha una contribuzione beta e F. Ok? Ora, mi, quindi, vedete che cosa faccio, essenzialmente, qui. Quindi, mi metto questo termine in fronte di tutto. Quindi, posso scrivere questo con l'exponenzio di minus beta e F para x watt x 1 plus, quindi, mi metto in questo in fronte di tutto. L'integrale tra F min e F threshold, D F, l'exponenzio di minus beta n x watt è F minus T sigma F minus il termine che mi metto in fronte di qui. Qui, devo compensare F para. Quindi, la quantità dentro la quarta quarta quarta quarta quarta, io uso quarta quarta quarta, questa quantità qui è la quarta che mi metto qui. Quindi, se questa quantità è molto positiva, questo significa che la quarta quarta è esponenzialmente piccola. Quando mi metto il termine terminale, se questa quantità è sempre positiva, questa quarta è più piccola che una. Perché io faccio l'intero di minus n, qualcosa di soltanto positivo. Alla strada, quindi, puoi scrivere questo, mi scriveremo questa introduzione una quantità che sarà utile in un momento. Questa è 1 plus e faccio l'intero con la plus metodo. Quindi, essenzialmente, diciamo che l'intero è dominato dalla quarta quarta che fa l'exponente maximale. Ok? Quindi, introduzio la notazione. Mi scriveremo e poi defino beta n f star minus t sigma f star minus f para. Cosa f star è definita come quantità che minimizza l'espressione. Quindi, mi defino qui. Cosa f star è definita come l'arga min di f in questa range qui. Quindi, prendete tutte le varie tra f min e f threshold. E compute l'arga min di questa quantità. In realtà, f para è un constant in f. È solo l'energia free che mettiamo per compitare la differenza di free energie, ma la determinazione di f è solo f minus t sigma. Quindi, dobbiamo fare l'arga min di f minus t sigma di f. Quindi, se definiamo f star come l'arga min che minimizza l'energia free total. Quindi, l'energia free total ha un termo di free energie e un termo di complesso. E ora, vediamo cosa stendere a descrivere con questo posto. Questo è f star ora è il... Eh, qui in posto è già il minimo compitato di f star. Quindi, la curva più bassa corrisponde ad tutte le varie di f. La la curva più bassa è arrivata in f star. F star è la quantità che arriva il minimo di f minus t sigma. Quindi, come soltanto f star è zero qui, questo termo è uguale a questo termo che è quindi, come soltanto questa quantità compitata nel minimo è zero, che è qui, poi eh, una e l'esponenziale zero è uguale. Quindi essenzialmente il peso dei stati infinitamente, eventualmente stati uguali il peso della stati della funzione di partizione. Poi se il minimo tra quindi se f star è così questa quantità è ancora sicuramente positive, poi nel minimo determinante questa è irrelevante con il rispetto di 1 e questo significa che above il primo punto dove l'ultimo di questa curva attaccia l'axis per t più grande che d tutte le curve e quindi anche l'ultimo l'ultimo è sicuramente positive. Se è sicuramente positive, poi questa quantità è sicuramente positive, questo significa che è una struttura positive, una differenza di free energy tra la total free energy che puoi accedere con spingler stati e la total free energy che hai con una state parantica. Se questa quantità è positive questa termina va a 0 in N velocemente e quindi il state parantica è giocando il termine di legno per la funzione di partizione. Ok? Quindi per in genere ogni volta che hai una situazione come questa con un range di free energies dove hai una non zero complexity quindi queste sono una situazione generica. Quindi ogni volta che hai qualcosa come questa puoi fare questa computazione quindi puoi fare la funzione di partizione canonica di split dividendo il state parantica la state spingler con non zero complexity quindi il range è fixato con la condizione che la complessità deve essere struttura positive e deve esistere quindi tipicamente above the threshold state you have some conditions such that the complexity is not well defined and below the minimum energy the complexity becomes negative you can do this computation that essentially leads you to understand that the temperature range can be there in three regions one region where the parantics state is dominating and so the integral over all the spingler states is subdominant in the thermomic limit a region where there is a subset but still exponentially many of spingler states which have essentially the same weight as the parantics state and so this means that there is a competition between the parantics state and an infinite many spingler states they have the same weight in the partition function and then finally there is another region where you don't longer have this equality so in principle the parantics state should again dominate but actually I will try to convince you that in this region you have to take the lowest spingler states so the parantics state should be abandoned below the dynamical threshold because of something that we can better understand only via a dynamical computation that we will do so now we take a break and then we continue to show you how to compute all this with replicas ok so first of all I just want to do a comment in the sense that pictures are sometimes actually always expanded in some direction just to make the draw more clear to read but you can do it really by for example drawing this function in Mathematica and the situation maybe this is much thinner and then this curve this red curve maybe is even going up but ok if I do it this way is very exaggerated but it's just in order to allow you to visualize better where the curves meet and ok so don't take it too seriously from the quantitative point of view it's qualitatively correct but if you want to do it quantitatively just put the equation into Mathematica it's not hard to do this kind of plot because it's true that the equation for q is non linear but you can always do parametric plots so you can use q as the independent variable and then write in the template as a function of q and everything then is analytic it's really very simple expression so everything you want to do this kind of plot use q as the independent variable in a parametric plot and everything is very simple so what I would like to do now is to spend some more time to give you let me say an intuition some image that you can save in your mind about what's happening in this system because actually it's not easy to understand why and how can the parametric state be equivalent to some infinitely many states so what does it mean we started all this discussion about disorder system say disorder system have many states we want to understand how the thermodynamic changes in presence of many states and this is what we are doing now and so I want to try to be a little bit more sit and try to make maybe some cartoon that can be a little bit more and more easy to keep in mind so as a function of temperature I want to try to to give you an idea of what's happening when we meet the dynamic and the static phase transition ok yes then we discuss which kind of phase transition is from the from the point of view of the derivative of the free energy but first of all let me try to give you a picture a very simple picture of what's happening between these two temperature where we found coincidence between the parametric free energy and the free energy of this subset of spin glass states ok so the idea is that when you have a parametric solution what does it mean a parametric solution you have all the magnetization equal to 0 this means that spins are mostly uncorrelated so in the system in your system there are very weak correlation e almost all configuration let me say, I don't want to say equi-probable because they have not equi-probable but if you look at the space of configuration let me draw here the space of configuration let me draw only configuration which have a probability which is not too small by this concept not too small each point has a probability exponential beta h of s so the concept not too small is very difficult but still what we have in mind is that in a parametric state where magnetization are 0 essentially every variable can be flipped without any problem because otherwise I could not reach this so suppose that you run a Monte Carlo or suppose that you do a random work only among configuration which have a high enough probability and it's important to understand what is the topology of this space of configuration which are probable enough and what happens is that essentially all this configuration are more or less connected so let me draw something which is there are regions ok so there are some holes but essentially all the space is well connected so if you do a random work in this space of configuration which have a weight large enough you can essentially visit all the configuration of space in other words if you run a Monte Carlo I know that the students from the master they run a lot of Monte Carlo this system is ergodic there is no zero probability from any configuration to any other configuration eventually you have to wait a little bit but you can do it even in the thermodynamic limit so even for n very large you can always go from any point to any other point this is what is called ergodicity it means that you can build on this space of configuration a dynamical process which is called for example a Markov chain in order for you to visit the space according to this probability and if ergodicity is not broken you can go from any configuration to any other configuration moving according to this probability so the probability there are no regions no man's land region where you cannot enter because the probability is too small now what happened at this point essentially is that this space of let me say allow configuration so configuration which have a weight which is sensibly different from zero splits ok in sub regions exponentially many so what happened and notice the following so if you take the sum over all this region you get exactly the same result that you will get assuming that there was a parametric state ok, what I mean assuming there was a parametric state when you say the parametric state has all zero magnetization it means that you are assuming that any dynamical process that sample configuration according to this probability low can visit can flip any spin because if you start from here and you sample according to this probability low you have all magnetization equal to zero means that you can flip any spin actually sorry let me say more correctly so the free energy, the partition function of this system so this again is the space of configuration and this the probability which is now sensibly different from zero only in a subset of points if you take the sum over all these points the result as if you were assuming the parametric assumption is correct but that assumption is no longer correct it's just a coincidence that the sum actually doing the regular computation we will understand better why the coincidence holds but still it's just a coincidence that the partition function computed on this system that has been split in subsystems is equal to what you get assuming parametric assumption so all spins essentially uncorrelated but if you now run at dynamics so you start from a given configuration and you check how far you can go by doing local moves so again you build the same Markov chain that you do in Monte Carlo simulation you get stuck you don't move your maximum distance you can travel it's essentially so the correlation we'll introduce this later but the correlation between time t and time zero it goes to q q is the order parameter that we introduce before so essentially as long as q is different from zero it means that you don't correlate from the initial configuration so the coincidence with the free energy of the parametric solution is just let me say it's confusing in the sense that you believe that the parametric assumption is still correct but it's not this is why beyond below this point you have to abandon this assumption it's wrong it's completely ergodic and you can flip any variable without altering the other variables now variables are strongly correlated and if you want to flip one variable you have to go from this state maybe to this other state in order to do this you have to flip altogether maybe half of the variables of the system and this is not a local move it's a global move, very hard to do and if you run a local algorithm it's not from this state so the state is meaningful the parametric state is no longer meaningful and so since the free energy of the computation of the parametric assumption is equal to this computation we have to take this computation for true and the parametric computation wrong then you decrease further the temperature and what we realize is that ok we change the states that are dominating the thermodynamics and eventually you reach the lowest one the lowest one have zero complexity what does it mean? there are no longer exponentially many so here you have the complexity which is strictly positive at tc the states that are dominating the computation of the partition function they have the minimum free energy actually correspond to the minimum energy and to zero complexity so this means that you end up with very few maybe very few states maybe just one, two, three but a sub exponential number of states ok so now they are sigma is zero and the number of states is sub exponential it's not just one or two maybe it's a small number but it's a number which can increase exponentially in n it can even eventually increase polynomial in n but not exponentially ok so this transition is also called condensation transition it's actually the measure condensate in a very small subset of states ok so this usually also called condensation phase transition the Gibbs measure it was split in this model equally split in other models not equally split but it was split on exponentially many states when the complexity goes to zero it concentrates in a sub exponential number of states this is what produces very strong correlation because well I don't have time to tell you everything but if you take the average of any correlation function on all these exponentially many states you get again by that coincidence exactly the result that you will get under the parametric assumption so any correlation among a finite number of spins here is zero well it's trivial don't want to say it's zero because if you have an external field then it's non zero but it's as if you were in the parametric assumption so very weak correlation among variables while here and these are essentially because in each state maybe two spin if you look just at two spins they were positive correlated enough of the states and negatively correlated in the other half you take the average over all the states and you get zero even if within each state they have a non zero overlap so they are really correlated in each state but then you take the average over the state and any correlation goes to zero here no because now the number of states is very small so if you end up with three states now the probability that those two variables are exactly positive and negatively correlated in half of the state and half of the state now is improbable because with few states each state has correlation and you don't have any longer average over and so here correlation becomes really different from zero you have to look at the right correlation but anyhow here you can detect that there is a long range correlation even from a thermodynamic point of view indeed if we now try to understand so can we classify this kind of a transition from the classical which says the order of the phase transition is given by the first derivative of the free energy which is singular it's not well defined so for example in first order phase transition you have that the first derivative of the free energy is singular while in second order phase transition you have that the second derivative of the free energy is divergent so here the situation is is more complicated is more complicated essentially because the total free energy at td has not changed at all because in all this region the total free energy that you get from these states is identical to the parametric free energy so here the free energy is given by the parametric result here is given by another result which is identical to the one you get from the parametric assumption so crossing td there is no singularity at all it's the same function so if you draw it is the green line no change at all while here if you notice there are some singularities and actually you can compute it and realize that the singularity in the second derivative so you have to be careful because this is a strange phase transition because from the point of view of the free energy so there is a essentially there is a jump in the second derivative of the free energy respect to which is proportional now I don't remember to the specific heat so from the point of view of the thermodynamics the first derivative of the free energy is continuous while the second derivative has a jump so it looks like a second or the first transition but from the point of view of the order parameter is not why? well because we know that the order parameter here is the overlap is something that is telling us whether I am in the parameter what is the order parameter is a number that tells you in which phase you are so if I have a number in this case q which is equal to zero in the magnetic phase and non zero in a spinless state I can use it as an order parameter the problem is that now if I look at the plot I made before where I have this for all the TAP states I realized that the one corresponding to the lowest free energy states have the highest overlap is clear that the overlap of the parametric solution is always zero so at a certain point I will have a jump well actually you have a jump even before because the jump is already present at TD so at TD is here here is TD so already at TD have a jump then I continue up and eventually I merge at TC with this branch here so from the point of view of the overlap I have a jump both at TD and then at TC I also have another singularity but from the point of view of the parameter this is a first order transition the order parameter as a discontinuity as a jump as in a standard first order transition so it looks like a second order transition from the point of view of thermodynamic quantities but it looks like a first order transition from the point of view of the order parameter so this is a very peculiar phase transition the order parameter has a jump so there is a drastic change in the order parameter from Q equals zero so no correlation at all to Q different from zero strong correlation this usually what happens in first order phase transition when you have a first order phase transition for example the model I the classical model I was referring during my last lecture the classical ferromagnetic 3-spin model that you can solve because it's fully connected so you can write explicitly the free energy has a minus m cube plus T the entropy which is the usual entropy ok so it's very easy to solve if you look at the free energy as a function of m first you have a minimum in m equals zero and when you reach when you reach the critical point you have a jump from m equals zero to m non zero ok so the magnetization if you look at the magnetization as a function of temperature you clearly have a jump ok but in standard in non disordered models a jump in the order parameter you typically have a discontinuity in the first derivative of f y very simple because the magnetization magnetization is just given by the derivative of the free energy with respect to the one of the parameters ok so if you have a jump in this you have a jump in this and so it's always very related the order parameter to the derivative of the free energy here in disordered system the situation is much more complicated because you see that the order parameter is not directly related to any derivative of the free energy actually we spend a lot of time trying to understand what is the order parameter is the sum of this magnetization that are the minimum of the TAP free energy I don't have an external parameter to couple with the order parameter so I don't have a field to couple with the magnetization as in this case and this is the reason why the derivative of the free energy are not directly related to the order parameter because there is no field to couple with the order parameter ok actually we will see that now we will introduce a field of this type and so in that sense there are you can introduce some sorry it's not true I will show you that you can actually introduce a new parameter that is coupled to this overlap but it's not one of the standard parameters so not the temperature the external field is a new somehow more well has some meaning but it's not a parameter that you can tune in the experimental lab ok while external fields temperature you can tune in the experimental lab so this system have a phase transition the point of view of the experimentalist so people that can vary the temperature the external field the density of some particles they don't have any strong singularity in the first derivative while in the order parameter which is a strange object because it's the similarity between two copies of the two system put in the same state they have a a jump so a first order phase transition the name of this kind of phase transition is a random first order transition so if you find RF of t in the literature it means this kind of phase transition so a phase transition where you do have a first order phase transition because you clearly see in the order parameter but because of the randomness this does not immediately reflects in a singularity of first order derivative of the free energy you have a singularity in the first order derivative of the free energy only if you couple with a proper parameter that is coupled to exactly this overlap so since this temperature here and the corresponding and the corresponding self-overlap value will play an important role in the dynamics that we will solve later I leave you as an exercise to check the following just algebra but ok try to do it otherwise just believe me if you take if you take so let me call let me call qd the value of the overlap at td so the value of the overlap of the threshold states because these are threshold states at the temperature where the threshold states becomes as important as the they dominate the thermodynamics essentially ok so check that if you take qd equal to p-2 p-1 and this value for td so in principle you can derive everything but it's much simpler that I give you the values and then strange but at least explicit expression so check that the these states so the states are temperature td with self-overlap qd you can check two things they satisfy the equation for so satisfy so let me say qd is equal to q threshold for t equal to td the equation for q threshold I gave it to you in the first hour and second you can check that the the sigma of this ah yes no sorry and you can check that the total free energy so Ftap of qd and td minus td sigma so qd and td is equal to F so essentially you have to take the tp free energy plug this expression ah I give it to you in the previous lecture the explicit expression for sigma that you will see that once you plug into sigma z equal to z threshold because these are threshold you just compute these are threshold states so you just check a this temperature the states which have this overlap are actually threshold states so you can use z equal z threshold in all your analytic expression and you can compute these equality holes so you are checking that at this temperature the states with this overlap have threshold states and they have the same weight of the pranetic free energy ok e questo è utile perché queste due espressioni vi derivano da la dinamica quindi vi provo nel prossimo che se vi guida la dinamica a questa temperatura si tratta a questo valore quindi non si tratta a questo valore quindi questo giusto è che questo punto è molto importante per la dinamica ok ok, quindi iniziamo la computazione della replica vi dico no, si può fare tutto insieme no, vi dico un altro punto pratico che è l'ultimo supponiamo che vi compute la comprensione e vi mostreremo nella prossima lectura come fare la replica per il momento abbiamo un'espressione supponiamo che qualcuno ti ha computato sigma f e non è che questa espressione in principio dipende anche nella tempestione quindi posso mettere la tempestione qui per esempio perché in patria abbiamo la espressione ma hai a computare a qualsiasi tempestione perché è vero che le state le zero temperature state evolvono in tempestione ma questa sigma f può deformare un po' in realtà la dependenza della tempestione la mettiamo qui, è sempre molto migliore ok, quindi se vi intendo a questa funzione per i vari valori di tempestione l'ultimo effetto è che è cambiato per esempio a zero tempestione è così e poi a una tempestione positiva magari è così, è molto cambiato ma la forma è più o meno conserva quindi è molto migliore dipende a tempestione in principio dipende a tempestione quindi la questione è supponiamo che questa è stata computata a zero tempestione e poi computate le state TAP la temperatura e l'energia o computate da replicas come farebbiamo adesso come puoi computare TD e TC da questo punto di vista di questa funzione quindi ora vuoi capire cosa è la temperatura critica che è qualcosa di rilevante per il vostro modello e cosa devi fare devi computare questa quantità che è l'energia free minimizzata in questa range F minus T sigma utilizzerò la temperatura la temperatura inversa mi permette di perdere è impossibile usare solo beta o solo T quindi devi accettare T e beta o 1 over T sono sempre mescolati quindi essenzialmente in ordero di computare questo minimo puoi prendere la derivata con rispetto a F di questa spresa computare questo minimo è equivalente per prendere la derivata con rispetto a F e settare la derivata di sigma con rispetto a F è uguale a 1 over T quindi è uguale a beta ok? ma devi check che un punto dove la derivata di sigma con rispetto a F è uguale a beta è uguale a T quindi devi prendere la derivata di sigma f ad esempio in un punto con un non zero e quindi ci sono due spresa importanti in questo punto che sono la spresa in questo punto e la spresa guardate per un punto in questo punto per un valore di energie così che la spresa è uguale a beta ok? ma quando cambiate la spresa in realtà può succedere che la spresa con la spresa è beyond questo punto e questo è per essere escludito quindi come soltanto questa spresa può essere solta in questo punto e questo punto è bene oltre sei above Td o below Tc quindi essenzialmente Td è il primo punto dove questa spresa può essere solta per i stati struttivi mentre Tc può essere solta in questa spresa e così corrisponde a questo punto quindi se dobbiamo dare i nomi per queste spresa diciamo questa spresa Ms T e questa spresa M struttivi essenzialmente in genere da la spresa in genere hai Mt T smaller Ms per quale temperatura perché Ff è sempre una spresa come una buona entropia se non ha una spresa spresa devi devi rejectare tutte le parti di questa spresa che hanno la spresa ok quindi questo è un requerimento fisico puoi provare che questo è perché altrimenti non hai una soluzione termonomica e stabila e ma tu hai questa spresa che può variare con una spresa può variare con una spresa, ma normalmente non variare molto ok in particolare questa vary un po' quindi in pratica, quando soltasci devi soltare qualcosa come la temperatura dinamica è il primo punto dove la spresa la spresa a la spresa a Td è uguale a β ok sì e la temperatura critica è il punto in cui la spresa a Tc è uguale a β insomma, due β una per Td e questa una per Tc e vedete, il fatto che la spresa è uguale più grande che la spresa fa Tc supponere che queste due numeri sono in pratica la temperatura indipendente fa Tc più grande che la Td ovviamente che sta succedendo è che quando aumenta la temperatura si aumenta in β quindi guardate per il punto per la spresa dove la spresa è sempre più grande ok, quindi hai un primo punto dove essenzialmente eh scusate, no ho scritto qualcosa d'accordo scusate questo no, noi dobbiamo discutere no, noi dobbiamo discutere sorry scusate questo, noi dobbiamo no dobbiamo discutere solo questo punto per determinare il tempo di transizione statica per l'altro, ho detto qualcosa d'accordo e quindi essenzialmente, guardate per il punto dove la spresa è sempre più grande e più grande per soddisfare questa spresa ma a un certo punto perché questa spresa è riuscita a zero con una spresa più grande hai un punto in cui non più puoi soltare questa spresa ok, da quel punto sotto, quindi quando la spresa è anche più grande essenzialmente questo punto è dominando la spresa perché hai da ricordare che la spresa spresa rispetto alla regione dove la spresa è positive definita, quindi questa regione essenzialmente è la regione dove la spresa di f è non negativa ok, e quindi se vuoi prendere la spresa di questo punto, essenzialmente la spresa a questo punto è quello che determina la transizione termodinamica ok quindi questo è il modo in cui, quando hai la spresa f di determinare la transizione termodinamica perché la stessa transizione che hai a comparare è per la stessa transizione che hai a comparare f-t-sigma quindi non è solo relato a la spresa ok, quindi dobbiamo fare qualcosa di più complicato e proviamo a aggiungere una più informazione che potete essere utili quando facciate la spresa questo fenomeno di la complessità diventando zero a un punto è sempre chiuso nella spresa strutturale quindi le persone lavorando è chiuso nel scenario di crisis entropi scenario che significa che essenzialmente a una certa temperatura che è definita da questa condizione la entropi fa a zero e quindi essenzialmente a questo punto hai una spresa f-t-sigma perché hai una condensazione e è chiuso con questo termine era in glassformer liquids esperimentalista ha realizzato che deve essere un tipo di transizione f-t-sigma di questo tipo perché quello che hanno fatto ha computato l'entropi di un liquido che puoi fare esperimentalmente in una temperatura higha se vuoi usare questo gergon o in una densità low se vuoi riuscire al sistema che può fare denser e denser e farlo più e più spresa spresa ma parliamo in termini di tempura quindi hai un sistema high tempura dove puoi computare l'entropi anche se il sistema diventa più e più e si diventa da un punto di vista di esperimenta più e più difficile per farlo perché ovviamente devi aspettare le ore devi aspettare i giorni e poi non puoi più fare la computazione se puoi studiare un sistema che diventa più e più per un tempo diverso non più da giorni perché l'esperimentalista diventa diventa destabila ma puoi farlo puoi computare l'entropi del liquido e sopportare l'entropi del solido o del solido e supponiamo che c'è una tempura e si prende una misura e quando si riusce il sistema diventa più e più non puoi farlo quindi il sistema ma si realizza che prendendo l'extrapolazione c'è una differenza negativa nel l'entropi questo, solo per questo, sicuramente la complessità l'idea è che il sistema è più o meno in una regione limitata da un punto di vista esperimentale l'entropi del liquido non può essere più piccolo di l'entropi del solido è molto più ordinato è molto più o meno so, non può essere negativo e quindi si realizza che prima di arrivare a questo punto ci deve essere una transizione e magari un transizione di entropi dove il sistema non è più riuscito a esplorare una grande parte del spazio ma è realmente concentrata in una parte suba e quindi questo è il scenario di entropi crisis hai la differenza tra due entropi che puoi riuscire a computare quindi, probabilmente quello che è successo è che c'è una transizione dove l'entropi rimane molto più piccola, avventualmente va a zero, solo a zero tempo soddisfiando il terreno di nero ok, quindi dove deve essere una transizione per una transizione non può essere più di un liquido questo è un liquido molto slow non può essere un liquido per sempre perché altrimenti è un liquido con un entropio più piccolo non può esistere quindi il liquido deve fare una transizione fisica a una diversa di lunga range o una diversa organizzazione e questo è il scenario di minfield perché qui abbiamo andato con i modelli di minfield che è che, diciamo è una possibilità un possibile scenario quindi hai una condensazione su un subseto di sistemi quindi questo è l'energia non è più la buona e hai a muovere un'altra soluzione che è la soluzione under questa temperatura ok quindi questo è solo per dire che tutti questi film di minfield che sembra in un senso non è molto realistico in realtà può essere molto molto utile in entendere reale e molto interessante da un punto di vista di fisica il fenomeno ok, quindi ovviamente dobbiamo non oggi l'ultimo replicato ma dovremmo raccontarvi quindi ora il nostro paese è per comprare questo se abbiamo questo abbiamo tutto se possiamo comprare il complesso e quindi quanti stasi abbiamo a una tendenza di tempo a una tendenza fria siamo contenti poi vediamo le termonomiche comprimiamo questo lupo e entendiamo l'ap3 l'ap3 con l'ap3 lupo dinamico ok, quindi entendiamo tutto, dobbiamo comprare questo quindi come possiamo comprare non, ma è tempo ok, perfetto scusate vediamo il prossimo