 avant de massacrer celle de Shakespeare. Merci aux organisateurs, qui sont français, donc, et je vais bien sûr passer à l'anglais, mais je voudrais dire combien je suis heureux d'ouvrir ce colloc à l'EHS. Je suis très heureux d'ouvrir ce workshop à l'IHS. C'est un plaisir d'être ici, et c'est un plaisir de parler de l'analyse ici. Donc, le travail que je vais parler de est issu de un travail long joint avec une collaboration avec Enno Lenzmann, Oanna Pocovnikou et Pierre Raphael. Et c'est légèrement que certains d'entre vous l'ont déjà écouté à l'un de nous en les dernières années, pendant les dernières années, nous avons changé un petit peu la présentation. Nous avons fait le papier plus fort, mais j'aimerais apologiser à ceux d'entre vous qui l'ont écouté notamment pour l'attendre, parce qu'il l'a écouté à l'un de nous, mais ceci est légèrement différent. Je vais se concentrer donc la main idée est de parler d'une très simple équation de 1 dimension qui s'appelle l'équation du demi-monde. Donc, nous travaillons sur R. Il y a des versions sur le cercle, mais je ne vais pas discuter ici. Et nous nous interviendrons la notation classique D equals 1 over I d dx. Et donc, mon multiplier est mon main multiplier dans cette histoire est mod D, qui correspond dans la représentation de Fourier en multiplication par absolute valeur de C. Donc, l'équation du demi-monde est la suivante de l'une dimension donc U est une fonction complexe de variable T et X et a l'équation suivante i dt U minus mod du plus mod U squared U equals 0. Donc d'abord, vous devez observer que c'est une équation de wave si vous regardez les caractéristiques ou la relation dispersion, c'est mod C. Donc, vous avez deux velocités, groupes velocités qui sont plus ou minus 1. Donc, à moins que pour la partie linéaire, c'est vraiment la équation de wave et en fait, c'est une équation de demi-monde parce que votre relation classique est juste i dt minus mod D i dt plus mod D. Donc, c'est la raison de la demi-monde. Maintenant, ceci est d'abord avec la non-linearité, qui est cubique, qui est certainement dans cet contexte la plus naturelle non-linearité que vous pouvez avoir. Et second, vous avez ici un plus sign, ce qui signifie que nous verrons un petit peu plus tard, très rapidement. Donc, le cas de focus, et si vous connaissez le travail sur l'équation non-linear particulièrement, vous savez que le cas de focus est connu d'admettre plus d'objectifs non-linearisés dans la langue de France, par exemple. Et nous allons utiliser cela très bien, même si le cas de focus serait très intéressant et probablement plus compliqué pour ce qu'on va faire. Ok, donc, pourquoi regarder cette équation ? En fait, la main motivation sur cette équation est de regarder ce qu'on appelle parfois la turbulence de l'air, mais la turbulence de l'air est très compliquée, et pas très bien identifiée. Donc, je préfère ce qui est, pour sûr, un subjet strict de la turbulence de l'air dans le sens que ça mesure l'appearance de petites scales. Donc, pourquoi regarder cette équation dans ce contexte ? Vous pouvez, par exemple, regarder des papiers, une série de papiers par Maïda, Maclaufflin qui ont commencé dans les années 90 et aussi Zaharov, Dias, Guyane, ou beaucoup d'autres personnes, je suis désolé, en 2000, qui ont essayé de donner une description de la turbulence de l'air de l'air et ont étudié cette équation ici avec un alpha. Ok ? Et pour alpha, plus grand que le 1, pour alpha equals 2, vous avez la équation non-linear de Schrodinger, et cette équation est connue avec plein de très fortes lignes de conservation et c'est un résultat classique venant de Zaharov, en fait, toutes ces normes sont contrôles par les lignes de conservation. Si vous lowerz l'alpha, vous verrez que si vous faites des analyses résonantes, mais les analyses résonantes vont vous dire qu'il n'y a pas des termes non-trivaux si l'alpha est plus grand que le 1. Vous pouvez les trouver si l'alpha est plus grand que le 1 pour des raisons convexes. Pour alpha equals 1, vous êtes précisément dans le premier cas où vous avez beaucoup de termes résonants. Dans l'alpha equals 1, vous avez une grosse résonance qui fait je veux dire faire l'apparence de l'alpha favorisant certainement la situation favorisante pour l'apparence de l'alpha favorisant. Donc, c'est l'une des raisons qu'il y a d'autres. Et la raison pour laquelle nous regardons ces raisons, c'est que ces raisons, dans un régime, sont très proches d'une autre équation intégrable qui s'appelle l'équation de Seger que j'ai étudie avec Sandrine Grélier durant les dernières 5 ou 6 ans et que dans cet contexte j'ai étudie donc le fait que nous sommes proches d'un système intégrable nous aidera à étudier plus près de l'équation et de la solution et en particulier le régime de modulation de les waves de voyage. Donc, en fait, ce que nous allons faire est d'étudier un massage solide pour cette équation. Donc et comme la deuxième partie qui est la main, leur interaction. Et nous verrons que cette interaction va nous permettre d'être un peu plus un peu plus spécifique de vous rappeler sur la théorie de Cauchy. Donc, peut-être la théorie de Cauchy n'est pas assez classique pour cette équation. C'était complètement compréhendé par Krieger Lenzmann et Raphael dans un livre en 2013. Et le point est que essentiellement donc, premièrement les lois conservatrices qui vous aideront, nous avons 3 lois conservatrices la première est, bien sûr, l'énergie correspondant à l'améritage de cet améritage donc c'est un demi de mod du UU donc c'est le L2 dans un produit la vraie partie du L2 dans un produit, c'est le même ici minus 1,4 l'alphonon vous avez le momentum P, qui est du UU et enfin vous avez la masse qui est U in L2 square Donc, ces 3 guys sont conservatrices et en utilisant la première et la seconde exactement comme nous l'avons fait par Michael Van Steen autour de l'80s vous pouvez prouver d'abord une thème globale en Hs pour S qui correspond à l'espace de l'énergie globale pour une data initiale ou pour la masse, si vous préférez plus petit que la masse d'un grand state Q0 donc Q0 est une solution grand state de cette équation mod DQ0 plus Q0 est equal à Q0 square Q0 donc c'est vraiment la même idée que le travail de Van Steen pour L2 critical et Ls observe que c'est aussi L2 critical d'ailleurs si vous regardez la solution U of Tx et vous changez la scale de cette façon lambda t lambda x vous avez encore une solution et cette solution grand state s'est prouver d'être unique dans un bon papier par Franck et Lance Mann d'abord pour la translation etc et donc c'est la première partie la deuxième partie est de l'existence de la solution de la masse critical donc il existe une solution qui est obtenue d'une sorte de modulation de cette Q0 plus quelque chose petit et c'est bien sûr très proche pour le travail par Franck et ses collaborateurs d'exception d'une théorie par Franck de caractérisation de la solution de la masse minimal n'est pas encore disponible c'est une question née d'exemples ok et enfin la troisième résultat qui appartient dans ce beau papier par Krieger Lance Mann et Raphaël est que il existe en fait et c'est très différent d'un non-linear Schrödinger il existe une masse solide et en fait pour chaque small epsilon vous pouvez trouver un soliton de masse epsilon ok donc pour chaque positive epsilon il existe une masse un soliton de masse epsilon donc en particulier vous n'avez pas d'une sorte de scattering pour la masse small scattering phénomène et c'est bien sûr très connecté au fait que votre équation n'est pas dispersive parce que la évolution de la vitesse de groupe je vous rappelle la vitesse de groupe est plus ou moins 1 donc la vitesse de groupe n'est essentiellement pas en train de bouger d'un point c'est 0 où il a un jump mais sinon vous n'avez pas d'une sorte de dégénération donc maintenant je vais vous parler un petit peu plus de ces petites masses solides et ce sera la deuxième partie de mon talk donc l'idée pour q0, vous vous souvenez q0 est obtenu par minimiser le fonctionnement suivant qui est ici mod du u l2 q2 divided par u l44 donc c'est un classique Gagliardo Nirenberg fonctionnel donc vous minimisez et vous avez des objets qui sont essentiellement q0 à la translation et de la multiplication et de la dilation et de la multiplication par face factor maintenant il se termine que ici vous pouvez modifier un petit peu ce fonctionnel par introduire pour chaque beta entre minus 1 et 1 le fonctionnel G beta de u est minus d minus beta d u u u l2 square divided par u l44 donc je suis donné un beta entre minus 1 et 1 strictement et puis bien sûr le terme qui change ici est de mod du u d'une beta donc je peux aussi minimiser J beta sur l'espace d'énergie sur h2 donc ce qui se passe si je minimise J beta sur h2 je peux juste argumenter un petit peu avec la compagnon de concentration et je peux trouver minimiser il existe minimiser maintenant si vous write la l'équation de ces minimiseurs vous trouverez après la scale la expression suivante donc je vais diviser par y minus beta je peux toujours le faire mais c'est mieux pour moi pour ce que je vais dire c'est plus q beta equals mod q beta square c'est le l'équation de Lagrange et c'est pour vous que si vous regardez la fonction u beta de tx qui est e to the it q beta de x minus beta t divided par y minus beta cette fonction est une solution de travel c'est une solution de votre équation bien sûr je pourrais éviter cette 1 minus beta c'est absolument le même pourquoi j'ai mis ça ici ? juste parce que en fait c'est une solution de travel avec une vitesse une vitesse qui est beta et beta, en même temps c'est plus que 1 qui est parfaitement en accord avec les principes parce que la vitesse de light ici est 1 mais maintenant je suis en fait intéressé en continuant avec la métaphore avec la relative je suis intéressé dans la limite photonique donc ce qui s'est passé quand beta va à 1 parce que quand beta va à 1 en fait vous pouvez prouver que quand beta va à 1 votre q beta elle-même est bondée et on verra que c'est bondé dans tous les normes saubles donc c'est une très bonne fonction et pour que la vitesse de vue beta la vitesse de vue beta est 1 minus beta times all of 1 qui est la masse de q beta et donc, juste par change de variable et donc quand beta va à 1 la vitesse va à 0 si je peux prouver que q beta reste bondé dans hs pourquoi est q beta bondé dans hs ? parce que quand beta va à 1 vous verrez exactement ce qui s'est passé dans cette équation donc si vous avez cet opérateur mod d minus beta d ce qu'est ce opérateur en fait vous pouvez le voir exactement si vous utilisez le projecteur de Sega qui est le projecteur sur les positifs ou les négatives variables donc si vous projectez par exemple sur c positive sur c positive mod d est d mais ensuite ce terme est juste d d minus beta d divided by 1 minus beta c'est juste d donc vous avez d q beta plus plus q beta plus equals pi plus de q beta square q beta maintenant si vous avez si vous projectez x negative vous avez une équation très différente qui est 1 plus beta divided by 1 minus beta mod d q beta minus plus q beta minus pi minus de q beta square q beta donc en fait vous pouvez prouver que le q beta minus est penalisé quand beta va à 1 et c'est essentiel qu'il va à 0 alors que le q beta plus aura un limiter et c'est en fait le premier résultat que nous avons prouvé c'est que quand beta va à 1 et va à un sub-séquence on a que si je prends une solution de cette équation j'ai une translation que ça va à des gammes de q plus de x et q plus de x pour cette équation qui est précisément l'équation que j'ai par passer à la limite dans la première équation projectée donc ce q plus sera soutenu dans le espace dans c positive bien sûr donc il se termine et vous pouvez dire qu'est-ce qu'on sait de cette équation et il se termine qu'on sait tout parce parce qu'Oana a fait le travail durant sa thèse et Oana Pocovnikou dans sa thèse c'est un très bon papier en 2013 elle prouve que q plus est précisément une des translations 1 over x plus r over 2 explicitement c'est 1 over x plus r over 2 donc vous pouvez multiplier par des facteurs face par des translations mais vous pouvez caractériser toute la solution pas seulement la minimisation toutes les solutions à cette équation dans l'élection de l'élection c'est ça c'est une très bonne théorie et c'est extrêmement utile parce que même si on ne sait pas qu'à la limite qu'à la limite qu'à la limite ok donc je voudrais dire 1 over en fait c'est la première partie de la proposition 1 la deuxième partie de la proposition 1 vous dit que si vous impose 1 over que q plus est orthogonal à d x q plus donc ce sont ces gars ces gars le span de i q plus et d x q plus sur le réel à un espace réel c'est précisément le kernel de l'opérateur linearisé along q plus pour l'équation que j'ai écrit pour q plus cet opérateur linearisé joue un rôle très important dans toute cette construction de la théorie modulée le kernel ok donc si vous demandez que q beta est orthogonal à ces gars essentiellement pour beta close à 1 vous avez caractérisé q beta alors q beta est caractérisé q beta tend à q plus exactement comme beta tend à 1 pour beta entre beta star et 1 et en fait c'est un smooth map c'est un smooth map sur l'intervalle beta star 1 valué en h infinity et en fait nous savons plus de cette q beta nous savons plus de cette q beta j'ai écrit pour vous d'ailleurs q beta a une expansion pour d x donc q beta 1 a un petit peu comme q plus comme x va vers l'infinité 1 over x times some modulation factor which is very interesting which is f of minus 1 minus beta divided by 1 plus beta x plus capital O of log x divided by x cube and this function f is a special function f of tau is the integral from 0 to infinity of alpha e to the minus alpha divided by alpha minus i tau d alpha which well essentially if tau equals 0 or if tau is small close to 0 tends to 1 and if tau goes to infinity it is like i over tau so what does that mean it means that you will see some kind of multi scale competition a competition between the big x and the inverse of the small parameter 1 minus beta and so for instance this will be like 1 over x is a if 1 minus beta x smaller than 1 but on the other hand it will be i divided by 1 minus beta x square if 1 minus beta mod x bigger than 1 ok et so and of course you will have some intermediate regime some turning point regime around x equals 1 over 1 minus beta ok so this is very important of course in the calculation we are going to do ok so this is the first result and now what we are going to do is to study the two soliton interaction so for these two soliton interaction i chose to in fact offer you some comparative some comparative study so between the segure equation which is the equation i will write it down but this is the equation of which q plus is a travelling wave versus the half wave excuse me, stupid question maybe you say it already is the q beta unique yes if you demand these orthogonality conditions ok and to beta solution of the equation i wrote the Euler Lagrange equation then it's unique for beta close enough to 1 this is implicit function theorem essentially of course you could write these conditions but it should be close to that in order to apply the implicit function theorem and then you know that q beta tends to q plus it's a smooth branch of travelling waves again these travelling waves have small mass and the mass is going to 0 as beta tends to 1 ok ok so now so what is the segure equation what is the half wave we wrote it down already let me write it again for you for segure let me write it like this i dt u plus minus d u plus plus pi plus u plus square u plus equals 0 so I put a plus just to remind you that u plus has a Fourier transform supported in c non negative ok so what kind of information can I discuss the first kind of information are conservation laws so again for the half wave I already told you we have 3 main conservation law energy, momentum and mass here we also have energy but in fact in that case the energy is essentially the L4 norm to the 4 maybe 1 fourth whatever the momentum mass plus something else in fact you have something very big else because this equation as I told you is integrable but now if I'm interested in 2-soliton interactions in fact I need just one more to have a closed system of conservation laws in order to get a Hamiltonian system which is integrable in the sense of duville so these are conservation laws so one more here second point what is the 2-soliton interaction here so what is the 2-soliton solution well here the 2-soliton solution is something extremely simple it's a solution like this sum from j equals 1 to 2 of q plus oh sorry forgot the scaling factor let me write it down alpha j of t q plus minus hj of t divided by kappa j of t and what is what is really quite exceptional in such a situation is that we have exact solution of that kind no remain the term so if you start from datum which is of that kind t equals 0 where alpha j's are complex numbers kappa j's are positive numbers then you keep such a solution for all time this is of course an expression of this integrability property ok and the fact that you have these 4 conservation law will allow you to solve completely in a complete explicit way the ODE system of these 8 parameters 8 real parameters 1 et 1 4 times 2 equals 8 so you have 8 real parameters so it's a symplectic manifold of dimension 8 if you like and you have 4 you have 4 conservation laws in involutions so you have really you will integrability and you can solve it explicitly sorry don't interact at all they interact but in such a way that they don't produce something new in the remainder term but they interact because you will see that the ODE will have some special behavior for a long time so what's the special behavior of the ODE it's a system of ODE and that you can solve you don't need any kind of elliptic function of whatever you can solve it in an algebraic way it's completely explicit that was done by one or two and then what happens as t goes to infinity as t goes to infinity under some kind of resonant condition so you have a sub-manifold of this symplectic manifold of dimension 8 you have a sub-manifold of dimension 2 of co-dimension 2 which is given by this condition alpha 1 divided by x1 minus x2 minus i kappa 1 plus kappa 2 over 2 equals alpha 2 divided by x1 minus f2 plus i kappa 1 plus kappa 2 over 2 so this is a manifold which is invariant by the ODE system that I don't write but you can imagine there is one and on this sub-manifold you know that the minimum of these factors kappa j of t as t goes to infinity what does that mean well it means that as t goes to infinity imagine for instance this is the second one kappa 2 then this bubble will be extremely concentrated and if you compute if you compute a high sub-manifold so a high sub-manifold here it means hs for as bigger than a half so typically h1 for instance the h1 norm will be like t2 the h1 norm square will be like t2 you can compute this so the mechanism of this is quite interesting here the mechanism is that you have these two guys x1 and x2 and this is the first the first soliton as t goes to infinity will be the fastest and this will be the most concentrated you have that kind of thing and then if you go back and go to the past as t goes to minus infinity then they will exchange their width in some sense and then this one will be the most concentrated and will go faster to minus infinity yes there are several regimes but the one I am going to describe is this one and at some point when their distance is minimal their widths are equal ok it's perfectly symmetric now what happens for half wave so for half wave you just have three conservation laws and the theorem I am going to state more precisely in one minute is that you can find two soliton solutions of that kind so of course in that case you will have a remainder term let me write it down immediately and and then well I am going to change a little bit the description here because what is important here is the modulation of this q beta so I have this q beta j but beta will depend on time which is quite nice because I know that this branch is smooth in t I am going to review the derivative with respect to beta of that of what well again x minus xj of t divided by now 1 minus beta j of t so this this is exactly the u beta which is here except that I need some phase factor e to the i gamma j of t and then I need some other some other parameter in respect to the modulus of alpha j which I call lambda j or lambda j to the one half so here I just apply the scaling to this so I claim that there exist such solutions at least near of course near beta j is equals 1 so in fact I am going to introduce some small parameter eta and this small parameter for each such small parameter I will find families u eta of that and the main difference now is ok such that of course epsilon will be small so for instance at infinity epsilon in h1 will be well will go to 0 as t goes I mean this is just one sided I am sorry this is t going to plus infinity and so what happens now let me discuss this little more in detail so let me continue this comparison here so here I choose one of the bubbles to be faster than the other one it's possible to do that and so let's say that this is a second bubble so in the case of Seguro equation of course if you look at the h1 norm square as t goes to infinity in the case of on the resonant condition here and the resonant condition resonant condition let me call it R which is this one then have something like this ok so it's a t square it's a parabola now for the half wave equation what will happen it will happen that so I start from a time a given time whatever it would be 0 if you like so what I am doing here is that you will have some growth of time t square up to some time where you have some turning point and the turning point is strongly connected to what I now erase which is this competition between the two scales x and 1 over 1 minus beta and after this turning point you have some saturation phenomena so here you will have some turbulent evolution and after some time which depend on my parameter and we fix the parameter so that essentially this time is 1 over eta here you have saturation which means that the h1 norm is essentially a constant for all time ok so this is the comparative situation which means that we don't get a solution which is un bounded h1 smooth solution which isn't bounded in h1 but we get something which is very excited for every eta for every eta we get something such that for instance the u initial in h1 is bounded and the u initial after some time t eta the u of t after some time t eta will be very big like to some factor to some power and in fact we have even better we even have hs alpha of s for s between 1 and something like 2 thirds so this is important because for those of you who know this beautiful paper by Colliander Kils, Tafilani, Takao, Katao and what was done also by by people like like Annie Posadaire, Zvetkov Vishilya on non linear Schrodinger you get you always get results in the same energy space so for instance if you start from something which is bounded or small in h1 you will get growth in h1 but not in hs for s smaller than 1 here you have some room because you have a description which is much more precise ok you can compute the solutions just by reading compute the hs norm just by reading of this guy so it's now enough for me to state the result more precisely essentially this is this one except that I'm going to now to introduce some quantifiers so let me quantify more precisely the theorem and let's say ok the date is a little difficult to well let's say something like this ok to be absolutely honest hoping this is really the last year yes we hope some saturation also for sure so this theorem tells you that so there exists some universal small I need to fix small parameters such that for every eta between 0 and eta star there exists a solution u solution of the cubic half wave equation so a cubic half wave focusing cubic half wave equation on the time interval 1 over eta to the delta infinity so delta is a small parameter but fixed and eta small parameter arbitrary small parameter so this guy is big but ok not that big such that ok so you have this expression I already gave you so this is this expression with epsilon goes to 0 as t goes to infinity and moreover now I can explain exactly what happens for the two bubbles so again the first bubble will be essentially I mean quiet so the beta 1 all the lambda j's first of all the lambda j's will be essentially like 1 they move but not that much I need them of course in my system but they will not have a complicated and singular behavior beta 1 when 1 minus like eta ok so eta again is a small parameter so the fact that beta 1 is close to 1 up to eta means that we are close to the Zegur regime ok but now the nice thing the nice thing is of course the xj's the xj's are essentially like beta j of t times t ok and so they follow the kind of behavior like the asymptotic behavior of this and they also follow this behavior here of course beta t except that beta depend on t now and what is really important is 1 minus beta 2 so 1 minus beta 2 of t is something like this so for t smaller than 1 over eta I need in fact a parameter also here delta over eta this 1 minus beta 2 is really like t square is really t square eta so that you know it starts like like like t eta to the 1 plus 2 delta for t initial but then after the turning point so that's really this growth ok in the transient terminal situation and after this time you have something like essentially eta cube and then it's frozen, saturated of course there are constants here and these constants depend on the small parameter delta that's why we need it ok in order to close our big system so of course the main idea is here the main point is the main singular dynamics is here and this corresponds to this growth of Sobolev norm yes what is your solution is defined only on 1 over eta delta yes but I cannot describe it for t going to minus infinity so this means that sorry is that your problem delta is a small parameter no delta is a small but fixed parameter look my quantization there exist a delta such that for every eta ok no in general since I put eta very very small this guy is smaller than this one yes because I can fix after all I can fix eta in terms of delta I can fix take the quotient ok ok now given delta if eta is small enough this is big oh yes oh sorry it's a power delta yes then you agree of course otherwise I understand your question eta to the delta of course well that's the problem with the choke torque but ok it has other advantages particularly in this situation alright so this is the situation ok so now I still have something like 5 minutes or 7 or oh start in 2 minutes ok I can tell you exactly in 2 minutes what is the detail of this proof of course well as in many other results in particular in the very nice pioneering work by Martel and also works by Martel and also work with Pierre Raphael there are several authors I think the first one was in so they are essentially 2 parts which are so these were for KDV and also for NLS and the first part is construct an approximate solution so construct an approximate solution of course you plug you plug this expression that I write again here you have to write it slightly differently like this so e to the i gamma j of t divided by lambda j of t to the one of capital Vj of x minus x j of t divided by lambda j of t y minus beta j of t and depending on some parameters which are lambda 1 of t lambda 2 beta 1, beta 2 ok ok so you plug this into the equation and you extract from that a system of equation on Vj on V1 and V2 and this system starts like this mod d minus beta g d divided by 1 minus beta j plus 1 Vj minus Vj square Vj so observe that this is the starting point of this equation except that now I have of course a remainder term which is very big ok so you have a very important remainder term which is a linear combination essentially of objects which are made with qubeta j and some remainder term but ok let me write it down like this and of course you initialize so Vj will be something like qubeta j plus some remainder terms tj1 tj2 etc et en fact these guys will be really remainder term in the sense that they decay like 1 over r where r is this parameter so this is a scale the scale distance between the two bubbles so you have these two centers here you scale it with 1 minus beta 1 which will be eta finally and essentially this is like 1 over r this is like 1 over r2 and you make some kind of geometric optics expansion for doing this expansion you need to know very well what's the structure of the kernel of the linearized equation here because as soon as you put the first term here you will get the linearized equation but you know it precisely you know it if beta is close to 1 because this kernel compute it because you know the case the limit case the kernel of LQ plus so you know that the kernel of this guy is the span of i qubeta j and dx qubeta j this is extremely important so you have a co-dimension to range so applying fredholm theory you are going to solve linearized equation up to introducing 2 directions which will help you to be orthogonal to the kernel to be in the image dealing with self-adjoint operators so these 2 directions will be introduced here and the coefficients of these 2 directions will be parameters which are extremely important and you will see un système on all these parameters and in these guys you have in particular the expression of qubeta so you have something like qubeta r where r is this parameter here which plays a very important role so this is the main thing and of course a part which is extremely important in this construction is to study the system here just one minute I am already late the second part is of course the energy estimate so construct an exact solution close to the approximate solution so for that there is now some kind of roadmap I would say another one so that you have your approximate solution here and you pick a sequence of times infinity and at that time you solve the equation with u of tn equals u app of tn now what you are going to do is to write u not as u app plus some remainder term but with some other u app corresponding to other parameters here that's why I put a tilde plus a remainder term why do I put another one of course we expect that it's not that far but because essentially I need some orthogonality properties properties of this remainder term related to again the kernel of my linearized operator ok so these orthogonality properties are extremely important to allow us then to study to introduce and then I will be extremely vague localize energy functional so this localize energy what is the difficulty here in fact the difficulty is that you have two bubbles and they are strongly interacting why are they strongly interacting precisely because the profiles q beta do not decay exponentially they decay very very slowly ok so that even if they are far away from each other they interact ok so the point is that the localize energy functional should take care of that and what you do in fact is that you write everything in the frame which is connected to the slowest of these two bubbles so this is the bubble one here and you write an energy on this guy so this localize energy functional unfortunately is not completely coercive you lose a little bit of the h.1.0 for the plus part of this guy and so you have to really to propagate this by using very precise energy estimate for that and the rest will be the paper hopefully before the summer thank you very much for your attention have you tried to construct 3 or more solids yes yes we tried I mean we are trying in fact the problem is is that we need to respect this the fact that we are close to the to the resonant situation so here we assume I didn't tell you but we assume that our parameters our initial parameters are close to this this resonant manifold and this is not that easy to manufacture them in more than one and there is another problem which is if you look at the 3 solitons in the Zegur regime well of course you can make them draw like t square but never more ok so the fact that you add another soliton in the Zegur regime does not make you draw to infinity faster so this means that there is some kind of again maybe some kind of saturation in this regime too even by adding some so we still have the hope to look at more than 2 solitons and to get something which goes finally to infinity but we are not sure maybe there is something and there are some computations simulations of pure told me on some different kind of system but not that far from this one where we see rather some kind of saturation so maybe that's the generic phenomenon in that case Does the Zegur equation play any role in the proof? Yes it plays a role because of that because of the fact that you know you need to know the description of the linearized operators and of course these linearized operators are close in the terms of Fredholm estimates of the linearized operator for Zegur and the linearized operator for Zegur is completely studied because of the integrability of Zegur Ok? See it's a level of estimate it's not I mean we are a little more free with respect to Zegur and in particular in fact we need to be because the phenomenon is different but it's different after some time so the first part of the phenomenon is really like Zegur but we don't need to use your right the explicit formula from the integrability of Zegur because in fact we manufacture the system in such a way that it looks like our Zegur equation and the Zegur equation in this very particular case you can do it really elementarily this system of Zegur in that case is really elementary once you found the four conservation laws so now you can say that we were very happy we found the fourth conservation law or you could be more more honest and say that in fact there are infinity many conservation laws and we dared to do that because we knew that it was integrable then it's a matter of taste questions ? one the last one so you mentioned ok so you construct two solitons at infinity plus infinity plus infinity now you have a certain range of parameters in your construction I guess when you are like KBB3 regime when you look for all time in fact we have maybe it doesn't really matter but it's a case where we never collide yes essentially we are in this situation here we avoid the colliding of them so can you hope to do it for all time ok so for Zegur we can study collision it's completely painless in some sense but the problem is to keep the smallness the smallness of 1-beta for all time so for the moment we don't know how to do that but ok it's a very natural hope what happens to this solution for t going to minus infinity I don't know and maybe just just one small question after the last question which is t2 heta t2 eta t2 heta t2 heta t2 heta t2 heta t2 heta cube t2 heta t2 heta t2 heta cube non c'est pas votre question je suis désolé mais t2 heta c'est un petit paramètre fixé on delta 2. But then the first one, delta squared divided by eta squared times eta. No, tis... Yes? Delta squared divided by eta. By eta. Oh, there is a... Maybe there is a... No, I'm sorry. There is... Oh, you're right. It's eta divided by t squared. Sorry. Sorry, sorry, sorry. It's eta divided by t squared. I mixed this and the h1 norm. Sorry. It's eta divided by t squared. With the parameters. Yeah. Yes. Either the parameter or one of the parameters. I made the same error that they do every time. You know? Depending on the author, you play with the parameter longer. Or with the norm. Yeah. Okay. Sorry. And thank you for... Okay, so I suggest to thank the speaker. Okay, thank you very much.