 Donc je commence par dire que, comme tous les articles actuels en géométrie agébrique ou arithmétique, le travail que je vais exposer repose de façon fondamentale sur l'œuvre de Grotendik et de ses élèves, donc définition functorielle, des schémas et des champs, construction quad pour bunger, topos, théorie des topos, comologie étale, formalisme anachien, la vision des motifs, et aussi indirectement par l'intermédiaire de l'école soviétique de l'angent géométrique. Donc, il y a beaucoup de travail repose de manière essentielle sur l'écrivance de cette accueil géométrique, dû à Gisbourg-Lostich-Rinfeld-Merco-Jeanade, qui est vraiment dans la lignée des travaux de Grotendik. Donc je remercie beaucoup Jean Benoît-Boste et Alain Génécier. Donc ce travail est issu d'un projet avec Jean Benoît-Boste et puis il y a énormément de discussions innombrables que j'ai au téléphone avec Alain Génécier. Je remercie aussi Denis Guiz-Gourry pour une discussion que j'ai eu avec lui. Donc dans les 41er minutes de cet exposé, je vais raconter à peu près la même chose que dans mon cours de l'automne en 2013. À Paris, j'ai eu une amélioration, en fait qui fait que ce qui était seulement heuristique à l'époque est vrai maintenant, donc c'est plus simple à raconter. Et d'autre part, dans les 20 dernières minutes, je parlerai d'un travail en cours avec Alain Génécier sur la paramétrisation de l'anglance locale. Donc je prends FQ encore fini, X, une courbe projective lisse géométriquement irréductible sur FQ. Alors G sera un groupe déployé pour simplifier, mais bon, tout marche pareil pour les groupes, essentiellement pareil pour les groupes non déployés, et même pour les groupes métaplectiques grâce à l'extension de cette aqua géométrique aux groupes métaplectiques par Finkelberg et Lysenko. Bon, mais pour l'envers exposer, j'ai ça déployé. Alors N, c'est le niveau, donc un sous-chéma fini de X. Alors je rappelle que bonne GN, bonne comme bundle, c'est le champ d'artine sur FQ, classifiant les jettorceurs avec structure de niveau sur N, trivialisation sur N, c'est-à-dire que si S est un schéma sur FQ, bonne GN de S, c'est le rouboïde des jettorceurs, c'est-à-dire G-fibré principaux, Gérande, donc j'utilise toujours la notion Gérande pour les jettorceurs. Gérande plus une trivialisation de Gérande sur le long de N fois S, sur N fois S. Ah, Gérande, voilà, sur X fois S, merci. Et donc plus une trivialisation de Gérande sur N fois S. Donc le fait que c'est représentable par un champ d'artine est bon, la consoxion quote ne le contendique. Alors lorsque j'ai déployé, comme je l'ai supposé ici, en fait, bonne GN de FQ, admets la description, on réveille, comme le double quotient de G2A, les adels sur la courbe par G2F. F, le corps de fonction, le corps des fonctions rationnelles sur la courbe, divisé de l'autre côté par KN. KN, c'est le noyau de G2O, les adels entiers, vers G2ON, la note des fonctions sur N. Voilà. En général, c'est une union finie de quotient adélique pour des formes intérieures de G, une union finie indexée par le K1 de FG, mais dans le cas de déployer, il n'y a qu'un seul terme. Pardon ? Il semble que vous considérez des torsos qui sont rationnellement triviales. Non, trivial pour la topologie étale. Pour la topologie étale. Oui. Mais le double cossette, l'espace double classe, paramétrise, les torsos pour la topologie de Nessner. Exactement, mais dans le cas de déployer, c'est pareil. Parce qu'il y a CotWit, c'est puis un Vietnamien, je n'ai oublié le nom dans le cas des fonctions, qui ont montré qu'il y a une dualité entre le K1 de FG et il y a une dualité entre K1 de FG et le K1 a valeur dans Z du groupe dual. Et dans le cas où G est déployé, c'est nul. Dans le cas où G est déployé, le K1 de FG est nul. C'est pas évident. Mais en général, c'est une union sur K1 de FG et ça n'intervient nulle part dans l'exposé. Ça n'a pas d'importance. Je serais content d'en discuter après, mais bon, je pense que c'est vrai, parce que c'est ce que j'ai bien compris, l'article de CotWit, c'est l'article de l'étudiant vietnamien, je pense que c'est vrai. Mais lorsque j'ai déployé avec un seul élément, K1 est nul. Mais de toute façon, ça n'a aucune importance pour moi. Donc, je prends toujours XI, un réseau dans Z2A sur Z2F, où Z est le centre de G. Et puis, donc, la première partie de l'exposé, a pour but d'établir une décomposition de l'espace des formes automorphques hospitales sur bonne génie de FQ. Donc on divise par XI, ça a l'avantage que ça, ça donne un espace vectoriel de dimension finie. Une décomposition en somme directe finie, donc d'espace H sigma, stable par les opérateurs de VQ, où sigma est un paramètre de l'anglance, c'est-à-dire une classe de conjugaison de morphisme de P1 de X-N et tabard en point géométrique, vers G chapeau de QL-Bain, donc une classe de conjugaison de tel morphisme qui sont supposées défini sur une extension finie de QL, continue et se mise simple, comme d'habitude. Si S est un schéma sur FQ et G est un jetor-seur sur X voie S, on note tau G, l'image inverse de G par l'identité de X fois le Frobenius de S. J'ai oublié de dire que là-haut, cette décomposition est compatible avec les homophories s'attaquées au placement ramusier, donc c'est le sens auto-mort vers Galois dans la correspondance de l'anglance-pongée. Voilà. Donc maintenant, je vais définir les chants de Stuka, dont la comologie intervient de manière essentielle. Donc c'est le même champ de Stuka que dans les travaux de D'Orinfel, de Laurent, dans le cas de GLR. Exactement les mêmes champs. Donc ces champs de Stuka pour G arbitraire avaient été considérés par Warshawski. Donc une extension finie de QL qui contient une racine de Q, en cause de l'isomorphie s'attaquée qui intervient une racine de Q. Et puis alors, I, un ensemble fini. Donc les champs de Stuka vont être indexés par I, un ensemble fini et W, une représentation irréductible de G Chapeau-Puissance Grandi. Donc G Chapeau, c'est le groupe dual de l'anglance qu'on suppose définie sur QL ou sur E. Donc W étant une représentation irréductible, c'est un produit tensoriel de représentation WI. Je mets ça comme un produit externe pour dire qu'on le voit comme représentation de G Chapeau-Puissance Grandi. Alors le cas des Stuka, de Rindfeld et de Laurent, c'est le cas où I égale l'ensemble à deux éléments. Donc G égale GLR et W, c'est la standard dans le standard étoile. Voilà, pour les gens qui connaissent. Alors en général, je vais introduire donc le champ Stuka, N, I, W. Alors I, j'ai besoin d'un champ un peu plus général que ce qu'on imagine en premier abord à cause de l'action des Frobenus partiels. Donc, j'ai besoin de choisir I, I, K. En plus, je me donne en plus un entier K et puis I, I, K, une partition ordonnée de I. C'est à dire une partition annexée par I, K, quoi. Donc le champ de Stuka, il dépend de I, I, K, même si sa homologie n'appréhend, on ne dépendra pas. Donc c'est un champ de de l'une même forme réduit dont les points sur S classifient. Alors d'abord, les pattes du Stuka, donc le 0 et le pôle dans le cas de Renfell et Laurent. Donc les pattes sont des morphys de S dans X pour I dans I. Les pattes sont annexées par Grandi. Et puis une suite de modifications de J torseur. Donc les modifications, j'ai note par des flèches, mais vous allez voir qu'elles sensent ça, exactement, la flèche. G0, G1, GK-1. Puis la dernière modification, c'est entre GK-1 et GK, mais GK, c'est taux G0, voilà. Donc je mets directement taux G0. Donc une suite de modifications, qu'est-ce que ça veut dire ? Donc les GI sont des G torseurs sur X, O, S. Mais les modifications ont lieu le long des graves des X, I. Donc plus précisément, FI est un isomorphisme. Donc FI est un isomorphisme de GI-1 vers GI. Mais une fois qu'on les arreste, T1 a X, O, S privé de la réunion des graves des gamaïs pour I dans I, J. Donc là, c'est FI, J. FI, J, excusez-moi. FI, J est un isomorphisme de GI-1 vers GI. Une fois qu'on les arreste, T1, donc là je réécris en plus gros, a X, O, S privé de la réunion des gamaïs. Les gamaïs sont les graves des X, I pour I dans I, J. Parce que si vous voulez, le FI, J, c'est une modification le long des X, I pour I dans I, J. Voilà. Et donc on suppose en plus que la position relative donc en fait c'est un champ réduit qui est défini par adhérence de risque de son lieu générique. Et donc je vais définir la condition sur les positions relatives en supposant tous les X et Distan. Et donc la condition, c'est que la position relative de G, J, de G, J, par rapport à G, J-1 en X, I, donc pour I dans I, J. Donc elle est inférieure. Alors je rappelle qu'une position relative, c'est un copoie du groupe. Donc c'est inférieur au copoie dominant. Donc c'est inférieur au copoie dominant de G égal au poids dominant de WI. Donc on s'est donné une représentation en départ WI de G-chapo. Donc elle a un poids dominant. Les poids de G-chapo sont des copoies de G par définition du groupe dual de l'anglante. Donc voilà la définition du champ de Ch'toukka. Et puis j'ai oublié de dire qu'en plus on a une structure de niveau, c'est-à-dire en fait une trivialisation de tout ce qui précède sur N fois S. Donc la structure de niveau, cette trivialisation, elle est telle que le champ Ch'toukka et NW, donc avec niveau N, s'envoient en oubliant la structure de niveau vers le champ sans niveau et que ça, c'est un G de O N torseur. Là j'ai oublié quelque chose d'important, c'est que les pattes sont en dehors du niveau. Il manque une vergule, vergule pour identier. Donc pour chaque I, la patix I, c'est un morphe de S, de S vers X privé du niveau, d'accord. Les pattes là ne touchent pas le niveau. Donc les Ch'toukka avec niveau, c'est un G de O N torseur. Donc un revêtement étal fini des gens de Ch'toukka sans niveau. Alors le champ de Ch'toukka, c'est une chante de ligne même forme, il n'est pas de type fini. Donc on introduit les troncatures. Alors en fait, pour MU, un copoie de G à de joint, parce qu'on veut garder l'action du centre pour pouvoir conscienter par XI. Donc la troncature, c'est par le copoie de G à de joint. Donc on introduit le champ Ch'toukka, bon je ne réécris pas tout, inférieure à MU. Quand on suppose que la condition, c'est un ouvert, définie par la condition que le polygône de Harder-Narrazimane de G Chapeau, enfin plutôt du G à de torseur associé à G0, et inférieure à MU. Donc je répète, je ne sais pas pourquoi je dis G Chapeau. Donc c'est ouvert, définie par la condition que le polygône de Harder-Narrazimane de G0, plutôt le G à de torseur associé à G0, et inférieure à MU. Et donc avec cette condition, alors disons quand on conscient de par XI. Donc le Ch'toukka NIW I1 et K conscienté par XI est un champ de deux lignes même fortes de type fini, inférieure à MU. Une suite d'ouvert, et puis on définit, on prend la limite inductive après des commugets à espoir compact. Tout simplement. Alors... Donc il faut comprendre, on va croire la congé d'intersection, mais en fait c'est important de comprendre les singularités, bien sûr, qui sont en fait celles des Grasmaniens à fines, et c'est ça qui fait le lien avec cette vaquée géométrique. Et les fessaux d'intersection se traitent fermés dans les Grasmaniens à fines. Donc pour ça il faut comprendre qu'on a un morphisme très naturel de ce champ Ch'toukka NIW I1 et K, vers le quotient d'une Grasmaniens à fines. Gros IW que je vais définir tout de suite, il y a un K quotient par un G som de l'infini XI, donc je vais définir. Et ça, ça s'envoie vers la même Grasmaniens, la même strat de fermé de l'infini Grasmaniens à fines, divisé par G som de l'infini NIXI pour NI assez grand, et ce morphisme sera lisse. Celui-là aussi, il lisse en un certain sens, mais bon, c'est dimension infini, donc je préfère le dire avec ce morphisme-là, la composée. Donc, qu'est-ce que c'est que la Grasmaniens I1, I1, K, la strat de fermé, la Grasmaniens, habituellement les gens mettent un bar, mais là, comment dire, ça serait la sauvabye naturelle, pas cohérent avec le reste des notations. Mais ça, ça classifie les G0, GK comme ci-dessus, exactement comme ci-dessus, mais simplement, ça arrête à GK, on met pas isomorphes à tout G0. Et par contre, on trivialise GK avec la condition sur les positions relatives. Donc ça, c'est la strat de fermé de la Grasmaniens à fines. Et alors, il y a un théorème de Bouville-Laslaw qui dit que les G0, GK, au lieu de les définir sur XOS, on peut les définir sur gamma som d'infini XI, qui est une notation pour dire le voignage formel de la réunion des XI. Donc on peut définir, on obtient la même Grasmaniens à fines, si on suppose G0, GK définis sur ce machin-là. Et ça, ça donne une action, et bien sûr, par changement de la trivialisation, ça donne une action de G som d'infini XI. C'est-à-dire en fait, quand on cautionne par ce caution-là, classifie les G0, GK sans la trivialisation et définit sur le voisinage formel des XI. Donc il y a clairement un morphisme d'oubli. En fait, c'est l'oubli de l'isomorphisme entre GK et G0. Et puis, ce qui se passe, c'est que quand on a une strade d'un Grasmaniens à fines, donc on dirait la bande sur les positions relatives, à ce moment-là, l'action de ce groupe G som d'infini XI fait factorise par l'action de G som d'infini XI, qui est la restriction de veille de G du voisinage finie des sommes d'infini XI à FQ. Donc G som d'infini XI est simplement un groupe lisse sur FQ de dimension som d'infini XI à FQ. Et qu'il n'est pas réduit, en général, à ce moment-ci ? Il n'est pas réduit ? Il y a des parties réductives et puis il est parti à fines. Non, non, le schéma en question, le schéma fini, il n'est pas réduit. Non, non, non, voilà, les NIs peuvent être aussi grand qu'on veut. Justement, il faut que les NIs soient assez grands en fonction de W pour que l'action de G som d'infini XI se factorise par l'action de G som d'infini XI. Et puis, il faut que l'action de G som d'infini XI se factorise par l'action de G som d'infini XI. Et donc, du coup, on a évidemment ce morphisme quotient, vous voyez ? Donc, par exemple, le torseur qu'on a là, qui est lié à ce morphisme, c'est simplement GK restreint à la somme d'infini XI. Voilà. Donc, ce morphisme élice, c'est pas très difficile à démontrer. Ça généralise un tout petit peu le fait que le champ de Stuka d'Erinfeld élice, quoi, d'Erinfeld l'avait démontré. C'est lié au fait que le Frobenus a une dérivée nulle, vous voyez ? Donc, du point de vue de l'espace tangent, la condition GK, c'est pareil, ils ont morphé à tout G0, c'est pareil que si on fixe GK. Donc, ça implique que pour la comogie étale, les champs de Stuka, les strates fermées de Grasseman et Nafin, c'est pareil. Voilà. Donc, en particulier, ils ont la même comogie d'intersection. Alors, l'écommologie d'intersection des strates fermées de Grasseman et Nafin ont été évidemment très étudiées. Donc, c'est la théorique de cet équivalent de sataquet géométrique. Donc, je vais annoncer sataquet géométrique avec plusieurs pattes. En général, si on a W, ça permet de rendre les choses beaucoup plus canoniques. En fait, si on a W, une représentation de G-chapot aux puissances I, ou on lui associe un faisceau S-W, bon, S comme sphérique, puisque c'est lié aux ajetes de ecosphérique, un faisceau S-W sur la Grasseman et Nafin, qui est en fait le faisceau d'intersection, en fait, qui est le faisceau d'intersection de la Grasseman et Nafin, mais qui est vraiment définit canoniquement en termes de W, quoi, c'est fonctoriel. C'est pas seulement associé à la classe isomorphise, une impression irréductive W. Elle indique. Faisceau pervers. Faisceau d'intersection, faisceau pervers sur la Grasseman et Nafin, sera se tradfermée. Donc, voilà. Et donc, qui est de la propriété, c'est que W... Donc là, je l'ai définie pour W, représentation irréductible, parce que là, c'est faisceau d'intersection, c'est se tradfermée, qui était définie par la condition que les positions relatives sont plus petites que les propoids de gestes aussi au point dominant de WI. Mais c'est à quel géométrique, on dit qu'on a un vrai foncteur qu'a W associé à SW. Donc le SW, en plus, est G, somme, des infinixi et culvariant. Et donc, il a la propriété que ça, c'est fonctoriel. Et en fait, la raison pour laquelle c'est fonctoriel, c'est que ça... il y a une équivalence de... ça vient du formaliste anachien, mais donc en particulier, je vais pas tout rappeler, mais... Plutôt, je vais tout rappeler, mais dans notre langage à nous maintenant. Donc le W, c'est là, en fait, c'est la comologie totale de cette strate fermée à coefficient en SW, comologie relative à la base. Enfin, je veux dire, la comologie relative à la base donne un faisceau constant. Comgie relative à X puissance grandie donne un faisceau constant. Donc ça dit bien que c'est fonctoriel en W, canonique. Et puis, c'est les compatibilités à la fusion. Enfin, le fait que l'équivalence attaqué géométrique est une équivalence de catégorie de temps sorielle. Ça, ça donne, en fait, la propriété de coalescence ou fusion des pattes. Donc si on se donne un morphisme de I dans J, zeta, à ce moment-là, on en déduit un morphisme que je vais appeler delta zeta, qui va dans l'autre sens, de Xj dans Xi, qui est une espèce de morphisme diagonale généralisé, qui est une famille Xj associée à la famille des X zeta de I pour I dans I. Et donc ce qui se passe, c'est que là, quand on restreint, donc la grâce manienne IW I1 IK, je vais l'énoncer avec une partition grossière, ça va plus simple. Donc gro I IW quand on restreint Xj, bon, ça, c'est la grâce manienne pour J, je vais enlever la borne, c'est encore plus clair comme ça. Et à ce moment-là, la restriction, voilà, image inverse de SW, donc c'est quelque chose qui vit là-dessus, qui est SW zeta, ou W zeta, c'est la représentation de Jj, qui est associée à W, qui était une représentation de Jj, simplement par composition, par le morphisme diagonale de Jj vers Jj, donnée par la même formule. Donc si, par exemple, il y avait juste deux pattes et qu'on prenne le SW I et le SW II, quand on fait les deux pattes égales, par restriction, on trouve le SW I et le SW II vu qu'en représentation de Jj. Donc ces deux propriétés que j'ai dites que le W, c'est la compagnie de ça et la compatibilité à la connaissance des pattes, c'est une autre façon d'énoncer les 40 attaquées géométriques. C'est le représentation à la vie ? C'est la représentation de Jj par le morphisme diagonale. Par exemple, il y a que deux pattes. Ça, c'est Jj carré. Ici, j'avais la représentation de Jj carré, puis je la restreins le diagonale. Quand les pattes fusionnent, on restreint la représentation de Jj par les morphismes diagonaux généralisés. Et ici, W n'est plus réductible. Donc W n'est plus réductible et là, c'est un vrai foncteur. Ce n'est pas seulement à une classe d'hisonmorphismes de W, on associe la faisceau d'intersection, c'est beaucoup plus précis. Grâce au fait que W, c'est la comologie. C'est le foncteur fibre dans Mercos-Vienne. Et s'il n'y avait pas cette canonicité, tout ce que je fais ne marcherait pas parce que j'ai vraiment besoin de la canonicité pour construire des opérateurs d'excursions. Donc là, je vais garder seulement ce morphisme-là que je vais appeler Alpha. Et ici, j'avais le faisceau que j'avais appelé SW, qui est juste la comgie d'intersection lorsque W est réductible. Et donc ici, j'ai le faisceau Alpha étoile de SW qui est simplement le faisceau d'intersection. Bon, je reste tombé les décalages. Mais en fait, il n'y en a pas, parce que c'est une même dimension. C'est le faisceau d'intersection du champ de Stouca, en fait. Mais c'est plus canonique de dire ça quand on fait la fusion des pattes. C'est la dérange de... C'est une strade fermée, oui. Oui, normalement, les gens, ils mettent un bar, mais en fait, ça serait pas cohérent. Et même Varshavsky, il n'y avait pas de bar. Mais dans le mercredi que j'ai donné, enfin, l'habitude... Et en l'aide d'une grâce manénafine que tu n'as pas été... Non. Là, j'avais juste écrit la strade fermée. La grâce manénafine, en fait, j'avais écrit là qu'en enlevant le W, c'était censé dire que je prenais toute la grâce manénafine. Il y a le faisceau de comologie de ce champ de Stouca. Donc, si j'appelle P, le morphisme du champ de Stouca, je vais diviser par 6. Donc, champ de Stouca N, IW, I1, IK, inférieur à mu, je l'envoie vers les pattes. Donc, le morphisme, il y a un Stouca associé à ses pattes. Donc, on peut prendre l'image directe. Donc, la comologie R0, c'est une normalisation perverse. Ça veut dire comologie médiane de alpha étoile de SW, ce faisceau d'intersection. On comprend juste le restreint à ce champ de Stouca. On comprend juste la comologie d'intersection de ce champ de Stouca, inférieur à mu, divisé par 6. J'appelle ça... C'est un faisceau constructible sur X-moi-Z, à la puissance grandie. Donc, c'est fonctoriel en W, grâce au fait que le SW était fonctoriel en W. Et en plus, ça vérifie la propriété de coalescence, comme conséquence de la bruité de coalescence que j'ai écrite là-haut. C'est-à-dire qu'en notant toujours delta Zeta, la se morphise diagonale de Xj vers Xi, ou de X-moi-Zen à la puissance J vers X-moi-Zen à la puissance I, on va le... Il y a un isomorphisme canonique de l'état étoile du faisceau H-N-I-W inférieur à mu et le H-N-J W-Zeta inférieur à mu. Donc, c'est un isomorphisme de faisceau constructif sur X-moi-Zen à la puissance J. Et c'est canonique, très important. Alors, maintenant, je dis un... C'est un isomorphisme de faisceau constructif éladique. Il n'y a plus d'intersection. La comogée est déjà faite. C'est juste un faisceau constructif. Là, il n'y a plus de faisceau pervers. Il n'y a pas de normalisation pervers. Là, c'est ainsi comme un système local sur un ouvert, quoi. Et c'est de là qu'on va tirer des rotations de galois. Nos galois, du corps de fonction. Alors, il y a quelque chose qui est magnifique, qui est dû à Brinfeld. On a le Frobenus partiel sur les Ch'touka. Donc là, je l'écris dans un cas plus général que Brinfeld, mais il n'y a aucune idée nouvelle. Donc, si on prend Iain, bon, Iain, on a le Frobenus partiel associé à Iain, qui va de Ch'touka Iain, Ika, euh... N-I-W vers le champ de Ch'touka avec une permutation circulaire d'épartition associé à Iain-I-W, pareil. Donc, il y a un champ à un Ch'touka G0 G1, GK jusqu'à, pardon, GK-1 taux G0. Donc, à ça, on a aussi un permutation circulaire. Donc, on commence par G1, etc. jusqu'à taux G0, puis après, taux G1, quoi. Donc, on voit que si on fait ça qu'à fois, on obtient le Frobenus total. C'est pour ça qu'il s'appelle euh... Donc, en général, si je... Ici, j'ai inférieur à mu. Bon, ben, ici, j'ai seulement inférieur à mu plus K, parce que, bon, ben, comme on a mu, c'était le polygon de l'ordre de la résumé de G0, on a remplacé G0 par G1. Mu plus K, qu'est-ce que ça veut dire ? Mu plus K pas, ou K pas dépend de W, quoi. C'est parce que le G1 est en une modification de G0 avec une position relative bornée. Le polygon de l'ordre de la résumé de G1 est borné en fonction de celui de G0. Du K ou du K, pardon. Oui, pardon, moi, je crois que j'ai... Et donc, euh... À part avec le terrain, c'est morpheus de Frobenus. Il s'agisse très bien sur les faisceaux d'intersection, bien sûr, et même plus canoniquement sur les faisceaux SW. Parce que les faisceaux SW, on aurait pu les définir en envoyant le champ de Stoucan. Non, pas sur une strate, mais c'est un produit de strate correspond à chaque modification. Et à ce moment-là, sur ce produit de strate, le Frobenus partiel correspond à faire Frobenus sur une strate et pas sur d'autres strates. Et d'autre part, dans la même veine, ici, le Frobenus partiel, il Frobenus, les pattes associées à la modification de G0 vergiens, et il fait identité sur les autres. Donc, si j'appelle Froben, justement, le morpheus de la courbe ou de la courbe moisaine à la puissance I vers elle-même, car XI associe X'I avec X'I égal. XI, si I n'est pas dans I1. Et Froben XI si I n'est dans I1, donc Frobenus partiel sur la puissance de la courbe à ce moment-là, donc par un changement de base propre essentiellement, on en a dû un morpheus que je note. Voici F1 de l'image inverse par Froben de ce faisceau HNIW inférieur à mu vers HNIW inférieur inférieur à mu plus capa. C'est pas exactement le même capa, mais enfin, pas près. Ça va plutôt dans l'autre sens à cause du Froben étoile, mais... Donc, les Frobenus partiels agissent sur ces faisceaux à HNIW, mais en augmentant mu, ce qui est important pour la suite. C'est une petite source de difficulté. Alors, on a un lème de Greenfeld que je vais lancer au allemand, parce que j'ai pas le temps de l'écrire. Si on a un OF et saut sur la courbe d'un morpheus de Frobenus partiel, si ce EF est constructif, il s'étend à la puissance grandie et sa fibre au point générique de la dégonale est menée d'une action galois puissance grandie. J'ai peut-être l'écrire, quand même. Et en fait, vous voyez, c'est la fibre au point générique de la dégonale, mais ensuite, on a besoin d'utiliser aussi le point générique tout court. J'appelle état un point générique de la courbe étabar un point géométrique dessus de la courbe à la puissance i et état bar i. Et alors, je choisis une flèche de spécialisation sp de état bar i vers delta de état bar, ou delta, c'est le morpheus de X vers Xi. Donc, ça permet de rendre le choix de état hierbarre plus canonique. Ça permet de rendre les fibres en état hierbarre plus canonique, le choix de cette flèche de spécialisation. Donc, le lème de Greenfeld, c'est que si on a un OE fait solice sur un ouvert de Xi plus action des frobenuses partielles que j'écris pas dans le goût de ça. Je n'ai pas le temps de l'écrire. Alors, E s'étend à un ouvert de la forme Ui avec U à un ouvert de la courbe. Et E restreint à delta de état bar. Il menit d'une action de P1 à la puissance grandie. Donc, vous voyez, le P1, c'est un P1 arithmétique qui contient une copie de Z. Donc, ici, ça a comme caution, un Z chapeau. Donc, ici, ça contient un Z chapeau puissance grandie. Et en fait, c'est les frobenuses partielles qui sont responsables de toutes les copies de Z chapeau, sauf une qui correspond à ce qu'on connaissait déjà. Faites que c'est un vaisseau, mais toutes les autres copies de Z chapeau, c'est à cause des frobenuses partielles. C'est l'idée du M. Au E, c'est l'aéros des entiers de E qui étaient une action sans finie de QL. C'est ZL, quoi. Mais je jouais une racine de Q. Alors, vous savez que j'ai noté OE, mais c'est un gros ZL. Oui, oui. Dans mon souvenir, il faut faire attention au fait qu'en question du P1 et Z chapeau. Et... Donc, on a une action pas exactement du P1, mais de... Non, mais là, c'est un haut E, voilà. Et alors... Donc, le problème pour appliquer cette énoncé c'est que... Si on prend la limite inductive, cette dimension infinie, la limite inductive des comélogeaux à l'inférieur amus, cette dimension infinie, il faut mieux se passer à l'augment de mu. Donc, à priori, on se dit, ça marche pas. Et alors, pour le faire marcher, on a besoin d'une propriété de finitude. Alors, d'abord, on impose une propriété de finitude vis-à-vis des opérateurs de VK. On va s'intéresser à des cases de coméloge. La comélogie cuspidale, vu comme comélogie des ch'toucas sans pâtes, parce que les fonctions automorphes, c'est les formes automorphes... Enfin, oui, je devrais le dire. Ça, il faut que je le dise quand même. Donc, oui. Juste pour comprendre le remarque que je viens de faire, la limite inductive, sur quoi ? Sur mu. Oui. Donc, le HN ensemble vite trivial, à l'inférieur amus, sur bonne GN de FQ sur XI. Parce que les ch'toucas sans pâtes, c'est comme les fibrés sur FQ, parce qu'à valeur dans E. Et alors, si je passe à la limite sur mu, j'obtiens une fonction support compact. Voilà. Donc, maintenant, ce que j'appelle éque finie pour une classe de comélogie, pour un élément X, disons, de la fibre de N de la limite inductive sur mu de ça. Être éque finie, ça veut dire, être inclus dans un OE module de type fini, stable par tous les opérateurs de EQ à coefficient d'en haut. Je répète, être éque finie, dans un OE module de type fini, stable par tous les opérateurs de EQ à coefficient d'en haut. Donc, c'est une propriété de finitude vis-à-vis des opérateurs de EQ. Donc, dans cette limite inductive, dans cette limite des HNUW, j'avais oublié de dire que le I1EK à haut, il a disparu parce qu'en fait, la comélogie des gens de Chouca était indépendante du choix de I1EK, cette histoire de morphisme petit dans le miroche viole non. Voilà. Donc, dans cette limite inductée, je peux considérer la partie éque finie. Et on va montrer que c'est muni d'une action du groupe de Galois, du PI1, à la puissance grandie. C'est-à-dire qu'on n'a plus appliqué le lèvres de Drinfeld à ça. Pourquoi on n'a plus appliqué le lèvres de Drinfeld, parce que grâce à la relation d'Aicher-Chimoura. C'est-à-dire qu'Aicher-Chimoura dic les Frobenus-Parciel, la version Frobenus-Parciel d'Aicher-Chimoura, dic les Frobenus-Parciel sont tués par des polynômes, en les places finies sont tués par des polynômes en les opérateurs de EQ. Donc, grâce à ça, si on a quelque chose de finir relativement aux opérateurs de EQ, il y a quelque chose de stable et de stable par les Frobenus-Parciel et encore de type fini, auquel on va appliquer le lèvres de Drinfeld. Est-ce qu'ici on considère la comologie de ZRFESO ou la comologie Modulo Torsion ? Modulo, ça revient à concilérer. On tue la torsion là. Mais on a des choix de réseaux... Je suppose qu'à un EQ fini, je suppose qu'à un... D'accord. ...un pien de état est à barre le groupe de Galois, de F bar sur F, à la puissance-y. Tout ça, c'est dans un article de survet de 57 pages, qui est sur Arki, très lisible. Il y aura une nouvelle version de l'article long, mais l'article de survet ne va pas changer, il est très lisible. Alors... Je vais annoncer Aichleur Chimura en une minute. Donc, en fait, on a... On choisit V, une place. V, une représentation de dimension finie de G Chapeau. Alors, on va définir un SVV qui agit sur la... sur cette comologie inférieure amus en... en l'augmentant un peu. La morphise de FESO, donc, qui change mu en mu plus qu'à pas. Donc, comment on le définit ? Alors, on crée deux pattes en V par le morphise de la triviale vers V tends V étoiles. Puis, on applique Frobenus partiel à la première, Frobenus partiel à la puissance de gré de V et puis on annihile... On annihile les deux pattes par le morphise de V tends V étoiles vers la triviale. On annihile un typique ? On... C'est-à-dire, on les... On les annihile. C'est-à-dire, comme elles sont au même endroit, et donc ensuite, on a un morphise de V tends V étoiles vers 1. Alors, bon... C'est... En fait, on les crée au même endroit. Puis, en fait, on fait comme si c'était différent. On applique le Frobenus partiel à la première. Puis ensuite, on les redétruit. Donc ça, c'est le SVV. Et alors, une proposition qui est capitale, c'est que SVV restreint à la courbe privée de V, privée de la, de bien sûr, et aussi privée de V C'est l'opérateur de Vque C'est donc l'opérateur de Vque associé à l'apprentation V des chapeaux par les nomophories s'attaquées et en la place V. Donc, opérateur de Vque, il y a des correspondances de Vque évidentes entre le champ de Chukka, correspondance finie. Donc, les opérateurs de Vque sont agis sur la comologie. Donc, la restriction, c'est que le SVV, en fait, prolonge l'opérateur de Vque c'est l'acheteur chez moi. Parce que l'acheteur chez moi dit que le Frobenus par... Donc, si on a une patte qu'on note zéro parce que un singleton, je le note toujours zéro Frobenus par ciel. Donc, disons qu'on regarde la la comologie d'un... Quand l'ensemble de patte, c'est I union un singleton que j'appelle zéro parce qu'il faut bien que je note séparément une patte. Donc, avec la plantation W, représentation de Géchapeau-Piensite en SV, représentation de Géchapeau. Donc, là, on fait la limite là, on fait la limite sur mu. Donc, le Frobenus par ciel associe à zéro puissance de gré de V de gré de petit V. Il agit là-dessus. Et donc, il est énoncé, c'est qu'il est tué par un polinôme en les SVV. On peut plus facilement les S, l'ambdaille tués par un polinôme et les coefficients sont les S, l'ambdaille VV. C'est énoncé d'achorcher Mora, ça généralise d'achorcher Mora classique. Et là, grâce à la définition de les SVV, c'est une preuve... C'est pareil que la... C'est vraiment très élémentaire. C'est une preuve tansorielle de Milton Kelley. Rien de plus. C'est Milton Kelley, en fait. Voilà. F, c'est le fromulus partiel. F, 0. Degré W, ça signifie quoi ? Le degré de la place. Oui, mais je veux dire, qu'est-ce qui signifie ? Oui, c'est une puissance. F, 0, c'est le fromulus partiel qu'on met à la puissance de gré de V. F, 0, c'est le fromulus partiel qu'on met à la puissance de gré de V. C'est une puissance. J'ai déjà expliqué... Je vais peut-être pas donner les détails de Milton, donc grâce à ce l'âme d'achat chez moi, l'éco-finitude implique une finitude par rapport au morphis fromulus partiel et permet d'appliquer le l'âme de Drainfell d'où une action de galois puissance. C'est une action de galois puissance sur la fibre en état hibat. Maintenant, on s'intéresse à la fibre en delta de étabard parce qu'elle est plus canonique et ensuite parce qu'elle marche beaucoup mieux pour une phase de coalescence. Non, je ne l'ai pas. C'est bien d'être sur la dégonale, déjà. Et donc, on va s'intéresser je rappelle qu'on n'a que SP, c'est une phase de spécialisation de état hibar vers delta de étabard. Donc, SP étoile... Je vais appeler ça l'image inverse par la spécialisation. SP étoile va de... la... Donc, la limite inductive des HNIW inférieure amus en delta de étabard vers la même chose en état hibar. Alors, il y a un premier renoncé qui dit que l'image contient la partie équefinie à l'arrivée. Pourquoi ? Parce que si on a un truc équefinie à l'arrivée, on sait... Il va être lisse sur un certain ouvert. On ne sait pas que l'ouvert contient delta de étabard, mais il contient un certain frebunusé de delta de étabard. Alors, à l'arrivée équefinie, on sait que les choses équefinies, on peut les prendre stab par frebunus partiel. Si on sait qu'il vient d'infrabuniser de delta de étabard par spécialisation, comme c'est stab par frebunus partiel, il va aussi venir de delta de étabard par spécialisation. L'image contient la partie équefinie. La nouveauté par rapport à l'année dernière, c'est que j'ai montré que c'est toujours injectif. Ce qui fait d'ailleurs que sur les parties équefinies, ça va être bijectif, et c'est ça qui m'intéresse. Bijectif sur les parties équefinies. Alors l'argument en 30 secondes c'est que si j'ai A dans le noyau donc A est définie en delta de étabard. Alors bien sûr, on a toujours pareil A est définie pour un nudonnet, il y a un ouvert de lisité. Donc on peut supposer que A vient d'un élément B définie en delta de V bar, dans la fibre en delta de V bar. Et ensuite, V est une place. Et ensuite, sur B, il y a une action des frobenuses partielles à la puissance degré de V. Donc je vais introduire une multisuite B&I pour A&I des entiers. C'est l'image de B par le produit des FI puissance D&I de B. Donc ça, ça appartient toujours à la fibre en delta de V bar. Et alors et puis maintenant, j'appelle A&I. Donc quand j'ai dit que B venait de bas j'ai choisi une flèche de spécialisation disons SPV V bar vers V bar et donc aussi de delta de état bar vers delta de V bar. Donc les A&I, c'est simplement SPV étoile de B&I. Et alors la suite A&I vérifie deux propriétés. D'abord, la suite A&I est multirécurante. C'est une refine relation de récurrence en chaque variable I avec la relation de récurrence donnée par des opérateurs de Hecke par des SVV simplement parce que B&I vérifie la même chose à cause de la charge et de moi en V pour chaque patte. Donc la suite A&I est multirécurante. Par ailleurs, la suite A&I est presque partout nul. Parce qu'ici, ce qu'on a fait, c'est qu'on a fait une flèche de spécialisation enfin plutôt on a tiré en arrière par une flèche de spécialisation de delta de V vers delta de état bar et ici on avait le ici on avait le frobenus partiel. On avait appliqué le frobenus partiel puisque B&I c'est l'image de B par un frobenus partiel. On peut faire commuter les deux. On peut faire d'abord une spécialisation par un frobenuset vers un frobenuset de delta de état bar puis le frobenus partiel qui permet de se ramener en delta de état bar. Mais pour presque tous les frobenusets l'image inverse par cette spécialisation va être nulle. Parce qu'on sait que l'image inverse de B par spécialisation vers A et A et bar s'envoient vers zéro. Donc s'envoient vers zéro vers presque tous les frobenusets de delta. Donc ça, ça prouve l'injectité. Donc ça, c'est une amélioration importante par rapport à la dernière. Parce que je rappelle en 2 minutes que si je note HIW maintenant la partie équefinie de la comologie voilà, je vais faire. Donc, je sais que maintenant si je prends la partie équefinie, là et là je sais que c'est un isomorphisme et je note ça HIW Donc HNIW Donc ça, c'est une représentation de galois puissance grandie avec des propriétés de coalescence qui est que HNIW est isomorph à HNJW de zeta. C'est pour chaque flèche de vide en J en notant W zeta, la plantation comme tout à l'heure. Et en plus les H ensemble vivent triviales ça, c'est égal à la comologie cuspidale parce qu'en fait, équefinie et cuspidale c'est égal aux fonctions, aux formes automorphes cuspidales. Et alors, ces propriétés des H, pardon, N, ces propriétés, en fait, permettent de définir ce que j'appelle les opérateurs d'excursions sur les HNIW Donc qu'est-ce que c'est ? Là-dessus, on va construire une famille d'opérateurs qui commutent entre eux et qui font une agence commutative dans la trigonalisation simultanée d'un lieu au paramètre de l'anglante, ça l'idée. Donc les H donc en fait, on dit que ça c'est d'abord isomorph à H en mettant un singleton à la place de l'ensemble vide ça revient à créer une patte mais qui est purement fictive donc ça change rien. Et puis là-dessus on a les opérateurs d'excursions pour la représentation de J'ai chapeau et puissance I X dans W, XI dans W étoiles qui sont invariants par l'action diagonale c'est-à-dire qu'en fait, c'est des morphices de la triviale vers W de zeta et de W étoiles de W de zeta vers la triviale ou de zeta simplement l'application de I dans le singleton c'est-à-dire qu'on restreint la diagonale et à ce moment-là singleton I par X on peut l'envoyer dans H N singleton W zeta qui est isomorph à H N I W donc on crée des pattes en fait grâce à X comme tout à l'heure dans SVV, on avait créé deux pattes donc on a créé un nombre arbitraire et puis ensuite ici on suppose en plus qu'on se donne un élément gamma I du groupe de Galois à la puissance I donc ça ça va vers H N I W par l'action des gamma I on a dit qu'on a une action de Galois puissance I et puis on revient on fait le même opération sans inverse puis on revient là donc par XI d'abord on dit que ça c'est H N singleton W zeta et puis par XI ça s'envoie vers H N singleton trivial ce qu'on voulait ça ça donne des opérateurs d'excursion I W X XI gamma I donc j'ai pas hâte qu'il commute entre eux et puis on se donne, il vérifie c'est un relation naturel et si on se donne une famille d'un système de valeur propre de ces opérateurs donc un caractère de la jacquise en gendre avec ces relations on montre à pas très c'est pas très dur qu'il existe un unique paramètre de l'anglant de sigma tel que la valeur propre de ça donc la valeur propre de l'opérateur que j'ai écrit là soit égal au coefficient de matrice entre XI et X associé à la famille des sigma de gamma I donc ça c'est un élément de gêchapeau puissance I et comme gêchapeau puissance I agit sur X on peut faire le coefficient de matrice avec XI voilà bon si tout ça c'est définit sur que le bar si il y avait une version modifique de ça ce serait définit sur que le bar enfin le LH sigma serait définit sur que le bar alors maintenant dans le temps qu'il reste je vais parler du travail en cours avec avec Alain Génestier donc l'idée c'est de montrer que ça tient en un mot que lorsque tous les gamma I sont dans le groupe de galois local en une place V inclus dans le groupe de galois S I W X XI gamma I et de nature locale donc c'est à dire est donné par la multiplication par un élément du centre de Merchstein un élément Z je vais mettre les même notations dans le centre de Merchstein en V alors d'abord pourquoi ça ça implique la paramétrisation de l'anglance locale à la soumise d'implification près et la compatibilité au global parce qu'en fait cet élément là il est déterminé de manière unique parce que le niveau en dehors de V on peut le prendre arbitraire donc du coup l'hospital avec niveau arbitraire en d'autres places il y en a plein donc il est déterminé de manière unique donc il vérifie toutes les relations qu'on veut et puis les mêmes arguments donnent le paramètre donc à chaque fois qu'on a un caractère de l'agèbre engendré par ces éléments ça donne un paramètre de l'anglance locale la soumise d'implification près donc d'où la compatibilité locale globale la soumise d'implification près et en fait il suffit de construire un élément il suffit même en fait pour un niveau donné parce que là le niveau N il est donné donc on a un niveau N qui peut contenir qui contient V maintenant le cas intéressant c'est K ou V dans N en fait lorsque V est non ramifié c'est le cas que je veux qu'on l'avait déjà fait que SVV c'était un opérateur de VQ donc ça ça généralise en quelque sorte c'est-à-dire que en général tous les orateurs de l'excursion lorsque les gamma-i sont dans un groupe de l'alocale alors ils sont donné par des éléments des sortes de mainchines qui ne sont pas explicites alors comment ils sont calculés en fait on applique simplement la théorie des cycles proches donc en fait c'est en deux étapes premièrement on ramène le calcul donc il faut montrer que l'opérateur d'excursion globale lorsque les gamma-i sont dans le groupe de l'alocale et de nature locale donc premièrement on ramène le calcul avec des cycles proches donc les cycles proches par rapport à une base qui est X, Y donc les cycles proches en dimension supérieure dû à deux lignes l'aumon il y a un très bon serviette d'illusie puis gabbert et orgogoso orgogoso a montré les bonnes propriétés de ces cycles proches donc en particulier quand on éclate la base en l'occurrence X, Y ils sont constructibles et ils commutent au changement de base donc à l'aide de la théorie des cycles proches on se ramène à des calculs dans la fibre spéciale en delta de V des champs de Ch'tucar on ramène tous les calculs en fibre spéciale et ensuite le deuxième argument c'est que c'est mais malheureusement à ce stade les champs de Ch'tucar ils dépendent encore de la courbe globale donc on a un bien objet de ramener les objets qui dépendent que la courbe locale l'objet naturel serait des Ch'tucar locaux mais ça sortirait de la géométrie agébrique et il n'y a pas de géométrie rigide donc on a utilisé des champs de Ch'tucar restreint comme des barçotiteilles tronquées donc l'exemple le plus simple de Ch'tucar restreint ça classifie d'abord GK donc GK c'est un torseur en fait sur G c'est à dire un torseur sur un certain niveau N plus sommes des nixie et puis où les nis sont assez grands et puis on se donne un élément de la grasse manienne affine Grinefeld tordu par GK et à la fin G0 c'est un torseur sur N c'est à dire que à cause des modifications on perd de l'information on a encore un torseur sur N et on se donne donc en plus un isomorphisme entre taux G0 et GK sur N ça c'est l'exemple type de Ch'tucar restreint avec en plus une minute ça va avec en plus en rajoutant des images inverses dixie par les frobenuses partielles pour ensuite avoir la réserve pour pouvoir avoir des morphices de frobenuses partielles entre champs de Ch'tucar restreint et ensuite l'idée c'est tout bête c'est que les morphices du champ de Ch'tucar global vers le champ de Ch'tucar donc je mets R pour restreint tous ces morphices me sont lisses donc tous les cycles proches en haut enfin le morphice il aurait dû être vertical surtout qu'on est dommage agroténique mais là j'avais pas la place donc c'est tous les tous les cycles proches calculent là sur les champs de Ch'tucar restreint et alors je dois dire que donc l'article de Fabrice va intervenir un éclatement et donc l'idée c'est que encore une fois on utilise les frobenuses partielles pour travailler sur la diagonale mais sur un frobenusé très grand la diagonale parce que les frobenusés très grands la diagonale pour les donc formulés par des puissances nis pour nis évidemment grands ils vont intersecter les diviseurs exceptionnels toujours au même point en fait c'est assez stationnaire voilà c'est ça l'idée et alors il se passe un truc marrant d'ailleurs c'est que le donc on applique les cycles proches à des faisceaux qui dépendent du niveau bien sûr donc le faisceau donc le faisceau dépend du niveau l'éclatement de Fabrice dépend du faisceau la lignée qu'on utilise pour les frobenuses partielles dépend de l'éclatement et comme les frobenuses partielles comme ils augmentent le support dans les champs de Jtukka ça fait que l'élément de la jette de UK qu'on obtient a un support qui augmente avec le niveau et ça c'est nécessaire parce qu'à la fin on a une distribution en variante donc l'éclatement Fabrice il n'y avait pas d'éclatement ça ne marcherait pas on aurait une contradiction dans les maths mais ça c'était déjà connu qu'il fallait un éclatement je sais plus quel sont les références et une dernière remarque c'est la stabilité de ces éléments du centre de Merchstein qu'on obtient donc c'est pas à montrer qu'ils sont dorés dans le centre de Merchstein stable, on ne sait pas le montrer mais on pense quand même pouvoir montrer qu'ils commutent aux foncteurs de Fragmentovan qui sont constants sur les L-Paquet on a un certain sens donc c'est une forme de stabilité bon comme vous savez il y a des travaux importants de Joldze et d'autres là-dessus donc ils essaient de faire la loque surcuper donc c'est très topologie c'est vraiment ça repose fondamentalement sur la notion d'oppose de Bretagne merci qu'est ce qu'il y a des questions juste une question pour les résultats de Fabrice c'est formulé pour les schémas c'est vrai c'est des quotions de schémas par des groupes algebraiques l'éclatement c'est un éclatement de la base donc après bon j'ai posé la question à Fabrice déjà on pense que tous les objets qui construisent non la catégorie dérivée j'ai écu variant pour un quotient d'un schéma par un groupe G comme tout est canonique l'idée c'est que l'éclatement c'est l'éclatement de la base si c'était l'éclatement du schéma c'est très catastrophique mais le groupe n'agit pas sur la base donc bon oui voilà c'est ça parce qu'on sait pas qu'elle est justement si on avait la construction modifique elle serait défilée sur Cuba et à ce moment là par l'argument habituel c'est que non on aurait mis c'est un diagonisable très diagonisable mais là on sait pas