 Donc en fait je veux faire une série de cours qui est un peu basée sur des travaux que j'ai mené dans un premier temps avec Carlos Kenning, donc l'université Chicago et Thomas. Dans un deuxième temps ça serait des travaux avec aussi Carlos Kenning mais avec Thomas Duccaertes, donc qui était avant à Sergi et qui est maintenant à l'université Paris-Nord. Alors notre objectif initialement c'était de trouver une situation donc objectif général. Je vais donc tout à fait interagir pendant le cours et ne pas hésiter si je vais trop vite ou pas de m'arrêter ou de reprendre des choses. Aussi mon cours est basé en grande partie sur une autre série de lectures qui ont été données par Carlos et en fait il a écrit, il a fait une photocopie de ses notes donc en fait si vous voulez vous revoir après des détails de démonstration que je peut-être que je vais pas donner complètement dans les grands, je vais juste donner en grande ligne mais pas préciser peut-être pas les calculs exacts exacts donc vous pouvez trouver ces notes de cours qui sont en anglais d'ailleurs dont je donne mon cours en français mais les notes de cours sont en anglais. Voilà donc c'est en anglais, in American in fact, so you find them on this website. C'est en effet des travaux qu'on a conclus il y a peu près deux ans voilà et donc c'est ce serait. Alors objectif c'était de trouver une situation c'est-à-dire une équation non linéaire essentiellement une équation non linéaire dans un cadre non intégrable dans un cadre non intégrable on peut disons pour une donne initiale arbitraire alors dans dans un certain espace bien sûr plus 0 arbitraire dans dans un espace ad hoc adapté en particulier pour des grandes donnes initiales on peut prédire enfin pas prédire excusez moi que expliciter le comportement asymptotique de la solution alors pour une solution globale donc pour une faisons par exemple pour une solution globale le comportement quand est en verre plus infini alors et ceci dans un cadre amytonien pas dans un cadre dissipatif donc c'est ce principe là qu'on essaye de trouver le cadre dissipatif de l'énergie des croix c'est parabolique et donc ce cadre là a été déjà pas mal abordé dans les travaux parabolique et géométrique donc où en fait l'analogue des résultats que je vais vous donner a été fait aussi dans certains cas disons alors je vais rappeler donc donc quand on veut expliciter un soucis les comportements il faut avoir en particulier des solutions explicites que je vais appeler soliton fait donc mais c'est une sorte de de termes un peu vague voilà et le but ça va être de dire essentiellement trouver une condition où on peut dire que la solution se comporte comme une somme découplée de soliton plus une solution de l'équation linéaire donc des effets localisés des effets localisés non linéaires plus essentiellement une solution linéaire qui s'étale quand est envers l'infini voilà alors voilà c'est le but le but alors bon ce problème c'est pas un problème neuf et donc rapidement on s'est aperçu que le fait que le nombre de soliton devait être contrôlé était un problème et en particulier il y avait un cadre plus simple qui était le cadre un cadre critique le nombre de soliton était naturellement contrôlé donc cadre critique alors je vais tout de suite expliquer ce que ça veut dire donc c'est la première chose donc c'était un peu un peu pour le guess de l'équation qu'on pouvait aborder alors il faut j'ai oublié de préciser mais je le préciserai au cours de mon cours ce résultat en fait a été démontré dans un certain sens dans le cas intégrable typiquement c'est l'équation de kdv pour p égal 2 donc je reviens un peu donc ce résultat a été même pas complètement mais en grande partie abordé dans un cadre intégrable j'y reviendrai pour l'équation de kdv classique x appartenait voilà le cadre critique je vais expliquer ce que ça veut dire critique donc ça va être en fait un cadre ou l'équation on aura une invariance de scaling qui est reliée une loi de conservation donc l'équation une invariance de scaling ou d'échelle en français reliée à une loi de conservation dans l'espace résout l'équation et en fait on avait aussi besoin de comprendre des interactions non linéaires pour donner grande et en quelque sorte le cadre qui nous a semblé le le plus simple était l'équation des ondes alors c'est pour ça que je introduis donc l'équation sur lequel je vais travailler au cours de ce de mon exposé le principe c'est de comprendre les outils qui vont faire qu'on peut résoudre ce genre de problème en dehors du cadre non intégrable donc voilà le protétif de l'équation c'est l'équation des ondes dans tout l'espace c'est en dimension 3 voilà x dimension 3 et le cadre critique pour ceci c'est la non linearité u 5 donc de l'initial pour l'équation des ondes c'est en t égal 0 c'est u et ut de 0 voilà et comme je veux travailler dans l'espace d'énergie c'est je prends l'énergie de pour l'équation linéaire la loi de conservation c'est donc l'espace sur lequel je vais travailler donc l'énergie pour l'équation linéaire je vous rappelle que pour l'équation des ondes linéaires cette quantité est conservée e l donc si je résous cette équation sans ce terme non linéaire cette quantité est conservée pour l'équation alors voilà donc je vais travailler dans cet espace là alors ça veut dire quoi ça veut dire u de t je le mesure dans h1 point c'est à dire je ne regarde pas la norme l2 je regarde juste la norme du gradient l2 alors je vais prendre la norme au carré donc la norme de mon espace h.croix l2 au carré c'est la norme de la de la donnée u dans h1 point c'est celle ci plus la norme de ut la dérivé en temps dans l2 au cas alors pourquoi maintenant le terme non linéaire fait que cette équation non linéaire est critique c'est la chose suivante je vais aller là dessus c'est que l'énergie non linéaire que je noterai tout simplement e de t qui est conservée formellement pour l'équation non linéaire c'est celle ci donc c'est l'intégral de ut carré alors ça va donc le terme non linéaire qui va intervenir c'est la norme l6 donc ça c'est un demi de tout ça alors moins ou plus ou moins la norme puissance 6 alors dépendant du signe ici alors en particulier je vais distinguer tout de suite les deux cas mais le premier cas si le signe est plus dans l'énergie donc si l'énergie c'est plus je vais mettre ça comme ça moins un sixième de plus qu'on appelle un problème défocalisant et l'énergie en quelque sorte est coercive c'est qu'une somme de termes positifs et si le signe est moins on a une compétition entre deux termes donc une partie positive qui l'énergie de l'équation linéaire moins un sixième de l'équation du terme non linéaire et ça c'est une équation focalisante alors ceci correspond à l'équation le premier cas correspond en cette équation là donc là c'est le moins dans l'équation et le signe plus ici correspond l'équation focalisant alors le fait qu'on va travailler sur un problème critique va rajouter des problèmes qui vont être en fait utiles à résoudre notre problème initial donc on rajoutait difficulté mais à la fin on va gagner beaucoup c'est à dire qu'on va démontrer ce qui n'était pas a priori ce qui n'est pas du tout évident par aucune par aucun argument simple que toute solution définie globalement est bornée dans l'espace critique a priori dans le cas focalisant il n'y a aucun argument simple qui peut dire que si on a une solution qui existe globalement alors la solution reste bornée elle pourrait être pas bornée sur des séquences de temps qui tendent vers l'infini et est toujours être définie en fait il n'y a pas d'argument simple qui permet d'esclure ce qu'elle a sonné que jusqu'un corollaire de notre démonstration alors maintenant le fait contre donc en particulier le fait d'être borné impliquera de façon indirecte que le nombre de solitons qui interviennent est bornée sinon on a 600 ce théorème on n'aurait pas le fait que le que le que le nombre de solitons qui apparaît dans l'équation pour une séquence de temps reste bornée donc voilà donc en fait c'était un pari initial qui s'est avéré payant mais c'est à priori donc voilà donc le fait que ça va être critique rajoute des problèmes et finalement c'est dans la nature du problème et de la question donc en fait ça l'air d'être dans le bon cadre pour étudier ce genre d'équation et problème alors donc donc les cadres critiques donc l'espace sur lequel je vais travailler pour résoudre mon équation c'est donc l'espace c'est l'espace e fin b qui est h3 pour la donnée h point h point et l2 pour la dérive en temps alors les quatre critiques ont été utilisés dans le historiquement dans les e dp d'abord dans les problèmes géométriques équation élyptique non linéaire et on va voir d'ailleurs que même en fait pour certains derniers travaux on se pose on est amené à se poser des questions des questions sur ces problèmes élyptiques associés le problème élyptique associé qui est le problème relié au problème de gamma b donc c'est un problème critique dans h point voilà et donc ce problème va être alors qu'est ce qu'on va utiliser sur ce problème c'est la chose suivante donc il existe beaucoup de solutions de cette équation par contre il y a un cadre net éclair où il existe qu'une famille de solutions si on prend u solution de cette équation là avec u gal u de modus de x à dire uradial alors essentiellement il n'y a qu'une solution enfin il y a zéro et toutes les solutions de cette équation zéro plus ou moins double v lambda de x ou double v lambda c'est lambda puissance 1 demi double v de lambda du x avec double v du x 3 oui c'est 3 puissance 1 demi voilà par contre si vous êtes dans le cadre non radial en particulier vous avez d'autres solutions qui nous posent beaucoup de problèmes en fait pour étendre le ce résultat on a on aurait besoin de comprendre l'ensemble des solutions dans le cadre non radial de cette équation voilà alors qu'est ce que ça veut dire critique je vais tout de suite l'écrire explicitement mais c'est la même principe que là si u de t est solution de cette équation u de t de x est solution de cette équation voilà le problème le relié enfin c'est le problème et l'avantage en même temps parce qu'on va utiliser cette propre cette propriété à qui a priori est négative on va l'utiliser de façon positive c'est que si u de t du x est solution de cette équation on peut en construire d'autres c'est l'anda puissance un demi u de l'anda t l'anda x et aussi solution pour tout l'anda quel que soit l'anda positif enfin on peut mettre plus ou moins devant ça ne pose pas de problème et en fait si on calcule l'énergie et ça on se ramène à la créticité de l'équation elliptique et donc l'énergie reliée je vais appeler ça une lambda de t et de x bon je peux faire le calcul en fait je vais juste le faire pour pour t égale 0 ça donne donc u lambda c'est quand je fais le gradient je sors j'ai un 3 demi je l'élève au carré et pour u de t je j'ai le même principe donc c'est u1 enfin u1 c'est la donne initiale en 0 de l'anda de x dx l'anda 3 au cas et là par changement de variable donc j'ai un demi de tout ça moins le terme puissance 6 mais en fait le terme puissance 6 c'est quand vous élevez l'anda puissance 3 demi je tiendrai l'anda 3 bon je vais l'écrire je vais pas sauter les étapes donc c'est u6 u0 6 de l'anda dx l'anda puissance 3 et donc on fait le changement de variable y égale l'anda x on re on retombe sur alors comme l'énergie est conservée le calcul que je fais en t égale 0 suffit c'est égal donc après changement de variable à un demi de gradient de u0 carré plus u1 carré moins un sixième de u0 puissance 6 enfin si vous voulez dé y dé y et donc ça aussi c'est aussi e de u0 u1 qui est égal à e de u2 t et de x donc l'énergie est invariant par ce changement d'échelle alors qu'est ce que alors maintenant si on revient à la théorie des équations différentielles ce n'est pas bon alors pourquoi donc c'est pour ça que c'est quand on travaille sur les équations critiques on s'écarte de la théorie des équations différentielles qu'est ce qu'on dit pour les théories des équations différentielles ce que l'on dit c'est que pour toute solution bornée inférieure à peut trouver un temps d'existence indépendant indépendant de la solution codépendant de la sur un sur un intervalle de temps 0 t 0 ou t 0 qui dépend de la donc posé les e d o y prime égal f de y f de 0 égal y 0 norme b inférieure à ça donne il existe t 0 dépendant de 2a uniquement strictement positif tel que je peux définir une solution sur 0 t 0 de mon équation alors là ça marche pas pourquoi tout simplement parce que l'andaille un paramètre libre donc supposez que vous vous résolvez une équation non linéaire qui explose en temps fini si le temps le temps d'explosion de u de t et 1 le temps d'explosion pour cette solution sera donc sur l'anda et comme un sur l'anda paris entre 0 et plus infinie ceci n'est pas donc ça c'est le le défaut mais qui va se révéler à un avantage de cette équation c'est qu'on s'écarte de la théorie des e d o mais c'est pas grave donc il y a des choses qui sont qu'on qu'on typiquement qu'on peut qu'on dit en général qu'on résout des équations des réparciels qui sont fausses la chose la plus simple et la plus essentielle c'est la chose suivante donc je m'écarte encore plus c'est à dire qu'on dans pour cette équation je vais vous montrer il existera des solutions j'en prends une il existe 0 u1 telle que la solution explosera en temps fini mais restera borné dans l'espace donc le fait d'être borné dans l'espace n'exclut pas l'explosion en temps fini alors que dans ces dans ces cas là l'explosion en temps fini sera très particulière c'est ce qu'on appellera une explosion de type géométrique ça se c'est qu'il y aura une bulle qui se formera mais tout ça il faudra le démontrer bien sûr mais en fait voilà donc là on s'écarte réellement du principe des équations différentielle ordinaires et on rentre dans un monde un peu différent mais qui en fait aura des propriétés reliées en fait à notre problème qui feront que on aura par exemple la bornitude par d'autres raisons c'est à dire une solution globale je pourrais dire qu'elle est borné c'est pour ça je dis ceci est hautement non trivial donc il y sera u0 u1 qui explose en temps fini tel que u2t h1 croix l2 est inférieure à une constante par contre c'est pour ça je vous dis le challenge si vous avez une solution globale elle est bornée si u2t on démontrera un corollaire du résultat principal mais qui est dans la démonstration enfin qui est une des une des parties essentielle la démonstration si u2t est une solution définie globalement alors il existera m0 tel que ceci et voilà enfin rien n'est contradictoire j'ai juste dit si c'est définit globalement c'est-à-dire pour t est positif alors c'est borné j'ai pas dit que si c'est borné c'est défini globalement attention alors je vais le dire c'est-à-dire qu'on peut résoudre l'équation dans un dans les espaces en espace temps ad hoc que je vais introduire pratique dans maintenant voilà alors donc mais c'est important de savoir qu'on peut exploser pas en format en formant une bulle et donc l'espace dans lequel on va résoudre l'équation et un espace relié à l'espace temps donc qui est en fait j'aurai bien qu'une certaine norme si il y a explosion une certaine norme explose mais ça sera pas une norme reliée à t uniquement ça sera relié une autre norme qui est qui est en définie en espace temps donc il ya quand vous avez compris ce défaut dans les la norme énergétique vous comprenez qu'il faut introduire une nouvelle norme et ça ça a été fait en fait c'est dans les années 80 90 sur l'impulsion de gens d'analyse harmonique et ça s'appelle les identités de stricards alors alors comme c'est pas l'objectif de mon cours je vais juste vous donner les résultats essentiels mais je vais pas les démontrer donc je vais supposer ceci comme admis parce que c'est toute une théorie qui est liée à définir des solutions localement en temps et pas que regarder le comportement asymptotique donc je vais donc je vais vous donner la boîte à outils donc on résout bon je vais quand même vous écrire juste les identités clés donc le principe c'est de résoudre l'équation par méthode d'itération dit de picard alors on peut commencer par en pour T appartenant R pour petite donnée alors W en zéro égale W0 W dérivée en temps WT de zéro W1 alors maintenant on va juste utiliser H ça va être notre terme non linéaire mais je vais le supposer comme donner donc on va faire par hittération de picard et en fait si H était donné vous avez des formules explicites pour l'équation des ondes en dimension 3 je vais pas vous les rappeler je vous les écris juste sous forme condensée ça pas tellement d'intérêt de mon point de vue pour pour mon cours bien que je n'utiliserai T moins T prime H de T prime Pt prime voilà ce que je contracteurais tout simplement par S de T la solution linéaire appliqué en W0 W1 plus D de T appliqué H de H de T alors donc les fameuses identités de Strykarts qui vont être qui vont relier qui vont être l'équivalent pour ce problème elliptique des identités de Sobolef seront les suivantes supe pour T appartenant R voilà dont je vais faire la norme L8 ça c'est l'espace essentiel en espace temps d'accord donc c'est la norme qui va en fait être infini quand on ne saura plus définir mais c'est une norme c'est pas une norme ponctuelle en temps c'est pas une trace c'est juste une norme en espace temps alors plus la norme alors je crois c'est un tiers je je mettrai un demi pourtant bon je me souviens plus de cette partie là je vais la laisser soit 2 soit 3 mais de façon ça pas d'utilité pour mon cours est inférieur à la norme des données initiales dans l'espace d'énergie je le précisais donc W0H.1 plus la norme W1L2 plus la norme espace temps du terme de forcing si vous voulez Tx voilà et ceci me permet de résoudre donc maintenant si je remplace H par U5 je peux faire une théorie de petite donnée déjà donc dans le cadre critique donc dans le cadre critique donc si je remplace H par plus ou moins U5 on peut faire une théorie petite donnée c'est-à-dire on peut trouver des solutions globales en temps pour cette équation et on a le je vais juste vous donc il y a un premier c'est plutôt une proposition donc si vous avez alors je vais définir la S par L8 alors je vais préciser ça si la norme de l8 de la solution linéaire est petite alors ceci est vrai au de facto donc vous pouvez remarquer c'est si je fais H égale 0 j'obtiens que ceci est petit si la norme énergétique de la donnée initiale pour l'équation linéaire est petite donc ceci sera vrai en particulier si U0H1 plus U1L2 est petit alors il existera une solution unique dans l8 définit globalement quel que soit T appartenu à R alors de l'équation non linéaire que je vais noter nLW plus ou moins telle que la norme L8 de la solution non linéaire bon elle n'aura pas tellement augmenté donc ça sera de même taille et la norme machin reste aussi petite voilà donc on a une existence des théorèmes d'existence globale pour donner petite voilà et de plus on a bien de plus dans l'espace où on travaille on a bien continuité par rapport aux données initiales alors je vais dans le futur je noterai la norme S dans I par la norme L8 X appartenant à R3 et T appartenant à I pour I est un intervalle de R contenant 0 voilà alors on a on a mieux donc il existe une solution globale et en plus le comportement de cette solution est sans surprise c'est la solution linéaire et donc ce qu'on appelle scattering donc ceci ça c'est la première propriété et la deuxième propriété et la deuxième propriété c'est que il existe de nouvelles données initiales que je vais noter 0 plus et moins qui dépendent de T égale plus infinie et T égale moins infinie plus un plus et moins appartenant à l'espace d'énergie telle que la solution non linéaire moins la solution linéaire appartenant partant de cette nouvelle donnée initiale dans l'espace d'énergie tant vers 0 quand T tant alors plus et moins infinie voilà ceci on appelle scattering c'est à dire que le comportement en plus infinie de la solution colle avec celui d'une solution linéaire c'est essentiellement ce que ce qu'on n'est pas intéressé nous on est intéressé par autre chose mais c'est un bon début voilà alors maintenant on peut maintenant quel que soit la taille de la donnée initiale il y a notre proposition donc quel que soit maintenant on prend u0 u1 appartenant de grande taille si vous voulez on peut définir une solution maxi oui pour résultats précédents c'est vrai indépendamment de toutes les potés sur h non h égale plus ou moins u5 plus ou moins u5 c'est non sinon parce que sinon ça serait pas de sens donc c'est-à-dire on peut tripatouiller les faits non linéaires pour qu'ils soient de plus en plus fort alors maintenant si je prends maintenant non plus de petits données mais de données quelconque je peux toujours définir une solution u2t solution dans l'espace d'énergie et en fait et u2t appartenant localement en temps appartiendra à s de i à certains i et maintenant j'aurai la chose suivante je peux définir un temps d'existence maximale que je vais noter témoins des plus ou chaque t contenant zéro donc ces éléments sont strictement positifs et strictement négatifs telle que la solution est maximale donc je ne pourrais pas étendre plus loin alors maintenant si t plus est fini je dirais qu'il y a explosion en finie en français et vous verrez qu'il y aura des exemples où le et dans ce cas là la norme donc je vais tout de suite l'écrire l 8 donc pour x appartenant r 3 et t appartenant à 0 t plus est égal à plus infinie par contre cette norme espace temps est égal à plus infinie mais ça ça ne se traduit pas ça ne se traduit pas donc ça ça paraît des difficultés supplémentaires en fait vous voyez bien que travaillé dans un espace critique ça pose ça implique le fait qu'on doit travailler que le temps joue un rôle similaire ou à celui de l'espace et ça n'implique pas que la norme de la trace dans l'espace d'énergie explose il y aura des exemples où la norme est bornée et où on a bien explosé en voilà par contre et demain pour l'état négatif j'ai toujours me concentré juste sur d'un côté je vais pas travailler et par contre je vais peut-être changer de tableau de ce côté là je vais je vais alors si je vais trop vite ou des ou trop lentement vous pouvez me dire le forcément ce le premier cours je dois aller assez vite pour pas m'attarder sur des théories qui sont déjà entre guillemets connues mais je j'essaye de rappeler l'essentiel de ces théories alors par contre ce que je voulais dire si t plus égal plus infinie et la norme est bornée dans l'h8 donc pour x appartenant à r3 et t appartenant à 0 plus infinie donc est fini typiquement on va travailler toujours à norme infinie c'est parce que ce qu'elle a est éliminé par cette théorie de relier à 3 cartes alors automatiquement u scat à l'infini c'est-à-dire qu'on retrouve le résultat des petits données c'est-à-dire on n'est pas petit donné mais il existera bien il existera bien une donnée des données initiales telle que la solution moins la solution linéaire tendra vers 0 dans l'espace d'énergie et donc là u est un comportement linéaire en t égale plus infinie donc tout notre travail va être de comprendre l'autre cas c'est-à-dire comprendre les solutions t'as que la norme à h8 alors je vais toujours préciser mais après je ne préciserai plus x appartenant à r3 et t appartenant à 0 plus infinie t'égales à plus infinie voilà ça va être notre travail de comprendre ce comportement là si vous voulez on a défini par la théorie critique des objets abstraits maintenant en fait on va essayer de clarifier alors ça c'est le comportement sans surprise et on va essayer de clarifier les comportements qu'on a créé et c'est le ça et c'est ceci qui va être le challenge donc on a déplacé les questions de comportement asymptotique spécifiquement dans ces cas là donc on va tout de suite voir là c'est ce qu'on appelle des comportements non linéaires à l'infini et on va essayer de les classifier alors maintenant qu'est ce qu'on peut attendre je vais tout de suite écrire une série d'exemples de comportement qu'à défocalisant bon ben en fait ce cadre là et sans surprise en quelque sorte c'est qu'il n'y a pas d'objets non linéaires à priori à se mettre sous les dents et en fait il y a toute une théorie qui a été faite pour démontrer que en fait le cadre de petite donnée s'étend à grande donnée donc quel que soit la donnée initiale u0 c'est à dire quel que soit la taille grande donnée le cadre de petite donnée il existe donc u0 plus u1 plus dans l'espace d'énergie tel que alors u2t est d'abord défini globalement 1 et 2 u2t mais en fait c'est démontré en même temps en fait ce n'est pas une des démonstrations en fait toutes les démonstrations là on rentre dans l'ère du qualitatif pas du quantitatif c'est on explicite le comportement force brut et donc en fait le comportement à expliciter en force bus c'est celui là c'est en fait on démonte que ça s'ascade moins la solution linéaire qui part de u0 plus u1 plus tant vers 0 quant est envers plus infinie alors ça c'est les résultats donc dans le cadre radial de bourguin et dans le cadre non radial pardon non excusez-moi je vais parler d'équation des ondes alors il y a en fait un petit micmac donc excusez-moi pour l'équation des ondes c'est grillakis qui démontre l'existence globale et le scattering baourich châta voilà dans le cadre focalisant on a de nouveaux nouveaux comportements alors c'est important c'est important d'avoir le maximum de comportement possible et en fait il n'y a très peu il y a le premier comportement qui correspond à l'équation je vais récrire l'équation dans le cas focalisant donc c'est utt moins laplacien de u égale u5 il y a le premier comportement qui quand on enlève le laplacien donc c'est utt égale u5 alors ça c'est le comportement type ode et donc la solution explicite c v de t égale bon peu importe et constante à 1 demi alors comme l'équation des ondes à vitesse propagation finie on peut toujours voilà si on part de cette donne initiale en t égale 0 on la coupe pour t assez grand et le comportement le comportement au voisinage de 0 x égale 0 la x égale 0 x égale modus de x égale a si a est grand va pas interférer jusqu'en t égale 1 donc ça c'est x et là si je mette voilà donc j'aurai le petit comportement type ode jusqu'en t égale 0 donc on arrêt explosion de la de la norme car ça impliquera des factos que la norme 6 elle 6 tendra vers la fin donc la norme énergétique tendra vers l'infini donc ça c'est le premier comportement de donc c'est explosif donc il existe plus 0 u1 explosif alors il ya un résultat oui je vous ai compris précisément ce bout d'éticile donc il y a une classe de conditions initiaires tel qu'à symptomatiquement la solution au voisinage de x égale 0 va se comporter comme v2t c'est ça tout à fait alors j'aurais dû faire un dessin en 3d donc là où faisons ça en 2d dont je prends une solution constante sur un grand plateau je la coupe donc elle est dans mon espace où je résout les questions constantes arbitraire arbitraire je vais rentrer dans les détails je donne juste des exemples donc et là vitesse propagation finie je reste égale au voisinage de 0 si a est grand enfin si a égale est plus supérieur à 2 par exemple alors vous voyez que ma solution v2t explose en t égale et donc j'aurai un comportement type au de voisinage et il vous ça sera facile démontrer qu'il y a explosion en t égale en fait c'est pas trivial c'est normal 8 oui tout à fait c'est pas complètement évident car en fait on pourrait exploser avant mais pour agrand on peut démontrer ça en fait il ya une subtilité dans ce que je dis mais je vais pas je fais des je fais des maths à la main là pour l'instant voilà alors ça c'est le premier comportement et ça c'est le comportement typique de ce qu'on va en fait bien que ça soit pas un théorème actuellement de explosion de type 1 c'est-à-dire explosion type ou le terme non linéaire emporte sur la dispersion on résout cette équation là maintenant il ya des termes comportement et non linéaires différents le plus simple c'est w qui est ma solution stationnaire là si je prends ceci comme d'un initial u 0 égale w et u1 égale 0 bah faut connaître ma solution c'est ma solution va ne pas bouger c'est u2t égal w donc en particulier elle n'aura pas du tout un comportement linéaire à l'infine quand t'étend à l'infine donc ça c'est un point stationnaire de mon de mon flow donc c'est un comportement différent par contre ceci c'est le comportement essentiel là donc là dessus à cause de ses de cet exemple là maintenant donc ça c'est ce qu'on appelle une bulle donc le but maintenant ça va être de de gai entre guillemets géométriser ce type d'équation et de démontrer que tous les comportements qui me reste à classer sont essentiellement des comportements de type géométrique relié à cette solution particulière alors l'exemple prototype alors j'allais un peu trop vite je vais quand même préciser un théorème pour le type 1 là pour pour ce type d'explosion c'est l'évine de 94 démontre par une identité qu'on ou sur lequel je reviendrai un peu plus tard qui si l'énergie de la donne initiale est négative strictement et du 0 et dans l2 alors forcément t est fini donc à explosion on t'en finit le terme non linéaire va finir pas emporté maintenant nouveau théorème qui est dû à Krieger Schlag tata roue alors si si regardez les notes je pense vous avez toute la biographie qui est dans là dessus je pourrais même vous donner à la fin du cours un un servet plus général pour l'instant je vais juste concentrer mon cours sur un seul exemple mais là vous aurez une biographie absolument complète donc en tout cas c'est notre du cours donc là vous avez un papier de Krieger Schlag tata roue qui était paru à inventionnes ou adieu je m'en souviens plus enfin il y en a deux donc il y en a un qui est inventionnée c'est de l'autre adieu et donc il existe des solutions explosives alors il existe deux initiales u01 tel que t égale t plus égale 1 c'est à dire la solution va exploser en 1 dans le sens où j'ai défini norme l 8 donc la norme l 8 est telle que u2 t moins l'anda puissance un demi l'anda qui va dépendre de t l'anda 2 va tendre quand t tend vers le temps d'explosion vers une solution que je vais dans l'espace d'énergie alors j'ai juste l'écrire pour les solutions pas pas les h points donc si vous soustrayer donc alors pouvez faire plus ou moins prendre u2 t égale et moins u2 t dont j'ai pris juste double v double v c'est ma solution explicite là qui est aussi relié au à la meilleure constante de l'inégalité de saubelèves chose qu'on va bientôt utiliser et donc alors voilà essentiellement à l'explosion vous allez avoir la formation d'une bulle là on pronompte en x égale 0 plus une solution tout à fait régulière husta tout ça dans l'espace d'énergie donc vous avez un phénomène de concentration sur une solution particulière qui est solution de cette équation là donc essentiellement l'explosion et cette fois si non pas relié à cette équation là mais très formellement elle est reliée à des effets secondaires reliés à l'équation elliptique voilà donc vous avez un fait une solution de l'équation dépendant de t qui a symptotique à une branche de cette équation elliptique et donc mon landa de t j'ai oublié de préciser alors comme on a explosion donc ça veut dire sur l'anda de t tend vers 0 donc l'anda de t t tend vers plus infinity alors ce que je vais appeler ce type de blow up on l'a appelé par rapport à la momentclature en géométrie bien que ça soit pas 100% démontré que c'est une notion équivalente mais en fait dans l'espace critique oui c'est explosion de type 2 alors ceci est une explosion de type plus géométrique ceci et plus une solution une explosion de type équation différentielle voilà maintenant le but ça va être de montrer que en fait dans ce cas là on a la réciproque c'est à dire toute solution par exemple qui est définie globalement va se comporter comme une somme découplée de de W je vais expliciter un peu plus ce phénomène mais peut-être je vais faire une pause de 5 minutes voilà il est dans le cas radial tout à fait bon alors on peut faire l'orance là dessus et faire mais à l'orance près oui c'est radial tout à fait mais c'est pas lié forcément à la radialité dans sur d'autres problèmes avec pierre affaire on a construit des solutions non-radiales qui explosent comme ça donc c'est pas c'est juste que leur leur leur analyse a été fait dans le cadre radial comme si l'analyse constructive en fait pour on ne travaille pas du tout dans cet espace d'énergie on travaille à grande des on des on travaille à grande régularité on a besoin de calculer des beaucoup d'interactions de calculer etc et en particulier ils travaillent dans des espaces très réguliers pour construire ce genre de choses en fait ça serait bien ça soit h10 mais en fait c'est enfin c'est pas un c'est un nombre un peu qui existe et qui est fini mais qui n'est pas h10 je pense que on m'avait dit pour donc pour l'équation de schroninger en dimension il m'avait dit 16 tu pouvais descendre à 16 mais pour ceci je sais pas je sais pas s'ils ont calculé le coefficient qui sort exactement de leur école de leur démonstration est-ce que vous supposiez qu'il y a une décroissance des données les données sont vraiment seulement régulière alors là pour l'équation des ondes le fait de la décroissance à la finie ne joue pas parce que c'est juste vitesse propagation finie donc on n'a pas ce problème bon faisons cinq minutes de repos ok alors maintenant je vais reprendre le cours là dont je vous ai explicité un peu mes buts et maintenant je vais commencer à rentrer dans la la en quelque sorte la méthode la méthodologie et je vais juste vous résumer une étape qu'on avait franchie avec carlos kenning et moi même il y a à peu près en 2006 voilà et je vais essentiellement vous résumer les les les les étapes principales de cette partie là pour me concentrer en fait sur la partie cette partie là pour grande donnée voilà mais on aura besoin bien sûr de cette théorie qu'on a développée et d'autres arguments voilà donc la première partie c'est ce qui a été appelé par la suite grand state conjecture alors qu'est ce que ça veut dire ben ça veut dire que essentiellement ce qui est vrai pour l'équation sous critique reste verré pour l'équation critique alors qu'est ce que c'est un peu vague alors c'est relié à des résultats de pelle et sa tingueur pour les équations sous critique c'est la chose suivante donc on a une théorie elliptique pour le le problème alors l'énergie je l'ai effacé mais je vais la réécrire donc je me place toujours dans le cas focalisant donc la partie énergétique juste dépendant de u de t et vous avez aussi une partie dépendant de ut carré voilà donc ceci c'est de 2 on s'est conservé vous allez la chose suivante c'est que c'est relié à la une pour l'équation variationnelle sous critique à la méthode ce qu'on appelle du col ou la méthode qui a été développée par abhi novi s'éclende dans les années 80 et même 70 et qui est la chose suivante si u de t et u 0 est petit alors vous avez en quelque sorte un sort de puits de potentiel autour de zéro et donc l'énergie est coercive voisinage de zéro et vous avez un col pour la première la première solution ici que je vais noter f0 alors maintenant ça c'est le cadre sous critique et ce qui est classique pour l'équation des ondes sous critique c'est que si vous partez dans cette cuvette la norme reste bornée et comme pouvez résoudre si la norme reste bornée vous pouvez en fait vous avez ce que ce qui est vrai ce qui est ce qui est fou pour les causes équations critiques et vrai pour les équations sous critique c'est la norme à chien reste bornée alors la solution est définie globale bon alors maintenant on se place dans le cadre critique alors essentiellement on a presque la même chose dans l'espace d'énergie dont je vais mettre w donc si et je me place à niveau d'énergie inférieure à w donc voilà donc si l'énergie de la donne initiale est inférieure à l'énergie de w 0 et je suis à l'intérieur de la cuvette alors tant que j'existe alors je vais un peu préciser ça je vais mettre u12t pour éviter des problèmes ceci reste bornée et reste toujours inférieure à cette quantité là donc je reste dans la cuvette par contre je n'ai plus le résultat sous critique que si je suis borné je suis défini globalement et donc on imagine que que la solution peut pas faire grand chose d'autre que tendre faiblement vers 0 ou une façon de dire dans notre théorie avoir un être global et avoir un comportement de scattering à l'infini maintenant pour démontrer ça on n'a pas à priori on n'avait pas d'outil c'est à dire la théorie qu'on apprend à par la méthode type stricarts fait intervenir des constantes qui sont plus reliées au constant de sobolef mais au constant de relier à la norme de stricarts qui n'est pas du tout la même faire vous aviez et donc a priori le terrain de petit données que j'ai n'est pas du tout ne va pas du tout jusqu'à ceci donc par la théorie des équations la théorie de stricarts des intérêts ou ce que j'appelle intégrale oscillante vous avez juste que si la donnée initiale est inférieure à un certain delta alors la solution est globale et plus 4 bon alors le grand stake conjecteur c'est de dire qu'en fait par d'autres arguments que juste des méthodes de point fixe on peut dire que ceci est vrai que ce grand state c'est de relier les théories intégrale oscillante et théorie elliptique par le voilà donc si on est dans le dans le puits de potentiel alors je vais préciser un peu plus donc c'est un théorem qu'on a démontré avec Carlos Kenney si on est dans le puits de potentiel alors plusieurs choses peuvent se produire soit là on est à l'intérieur alors on peut pas être égal parce que juste par les conditions de sobelève bon mais je vais préciser alors j'ai ceci ceci reste vrai faudra le démontrer parce que du coup c'est légèrement différent le piège est légèrement différent alors on a eu existe globalement plus 4 y alors juste par méthodes énergétiques on verra que ceci est impossible et en fait par un raffinement de la méthode de les vines si on est de l'autre côté on a explosion tant fini donc ça c'est le théorem que j'ai appelé peut-être un voilà qui est en 2008 bon alors je vais qu'est ce que ce théorem est équivalent si on rajoute bien carré au gradient de 0,4 alors oui bien là implique l'autre c'est-à-dire que si on en met eu un cas on se met dans l'autre sens ah là d'accord donc là je l'ai vraiment écrit avec u0 mais il y a des petits soucis quand on rajoutait un carré il y a un petit problème à ce niveau là c'est un peu logique parce que on pourrait avoir un comportement proche proche du scattering non là il y a un petit soucis mais tel que je l'ai écrit là elle est correcte j'essaie de l'écrire juste pour u en fait j'essaie toujours de travailler q dans mes résultats voilà alors je vais peut-être expliciter un peu la méthode de démonstration bien que ce n'est pas finalement ça va être assez peu relié à mon cours mais par contre je vais d'abord vous écrire plusieurs résultats alors par contre quelque chose qui sera vraiment utile pour pour pour pour la démonstration que je vais faire c'est en fait le théorème suivant qui est aussi en 2008 qui est de moi-même éduqueur alors c'est de voir que la situation est plus compliquée que juste l'existence des solutions w alors c'est je vais me placer au niveau critique énergie et donc je vais la première partie du théorème c'est l'existence d'une solution w et moi et w plus et toute leur scaling parce que dès que je construis une solution je peux utiliser mon invariance par scaling tel que alors excusez moi je vais prendre les mêmes notations que non alors c'est à tout alors tel que w est moins tant vers moins la finie vers w w moins scat quand t tend vers plus infinie et w est moins en particulier des finis globalement donc il existe une solution qui converge fortement vers w quand t t'envers moins la finie donc à point alors en fait c'est plus précis c'est dans à point cruel 2 si je regarde juste mais là j'écris en simplifiant un peu les notations juste avec les fonctions non pas les dérivés elle se comporte de façon linéaire en plus infinie donc elle relie essentiellement 0 à w et en fait aux invariances de l'équation prix le théorème fondamentale c'est qu'il n'y a pas d'autre et w plus ça le même comportement en moins l'infini ça tend vers w mais w plus lui explose en temps fini prenons t égale 0 donc vous avez deux nouvelles nouveaux types de solutions qui relient d'un côté w essentiellement plus infinie d'une explosion en temps fini et w à 0 c'est-à-dire scat ring scat ring c'est la solution qui s'appelati se se comporte comme une équation linéaire et donc voilà localement en temps les choses sont très différentes et ce qu'on va voir et qui est très important c'est que w et moins et w plus sont des fonctions très importantes dans l'anéïce qu'on va faire donc les fonctions telles qu'elles donc il y a trois fonctions qui vont intervenir w w plus w moins alors le théorème maintenant c'est que le théorème se généralise à énergie 0 sauf dans ces cas là parce que ça c'est des alors je vais préciser alors peut-être si j'ai ça alors je suis défini globalement u est défini globalement il n'y a pas de raison que u soit défini globalement mais c'est donc une vraie démonstration démontré que c'est c'est défini globalement et soit u de t scat c'est-à-dire un comportement linéaire en plus quand t est envers plus ou moins la fin et plus et plus et moins la finie donc comportement temps vers une solution linéaire différente en plus infini en moins la finie ou soit aux invariants d'équation près c'est-à-dire éventuellement on prend place en t par moins t 1 u de t est exactement égal à w moins parce qu'en effet w moins est dans cette configuration là et donc c'est scatterie d'un côté et convergence vers w de l'autre donc soit on a scattering en plus infini et en moins infini donc c'est un comportement linéaire linéaire soit on a w la j'aurais dû inverser plutôt soit on a w quitte inversé avec l'invariance de temps t également t est linéaire comportement linéaire et il n'y a pas d'autre possibilité il n'y a aucune autre possibilité maintenant si on a égalité c'est très facile de voir avec les aînés égalité de saubolève que la seule possibilité c'est u égal w aux invariants de l'équation près donc translation en temps scaling ainsi de suite et si u0 est plus grand que w alors soit u de t explose en temps fini pour t positif et t négatif les deux ou alors donc ça c'est des alternatives soit u de t est exactement égal à w plus ou aux invariants de l'équation près donc ça peut être donc c'est scatterie d'un côté non c'est pardon explosion d'un côté et convergence vers w de l'autre donc il est défini sur un globalement pour t positif ou t négatif mais c'est exactement égal à cette fonction il n'y en a pas d'autre il n'y a pas d'autre possibilité donc vous voyez que c'est ce ces et ces solutions particulières sont essentielles et en fait démontré certain on aura besoin de démontrer certaines propriétés de solutions en particulier là on démontrera que w plus et une solution de type 1 c'est l'explosion et de type 1 c'est une comportement explosion en fait de type 1 voilà alors donc j'arrive donc ça c'est la théorie ce que j'appelle la théorie du type l'onsteck conjecture voilà c'est relié de façon optimale alors tous ces théorèmes sont optimaux vous pouvez voir théorème comme théorème ce théorème là donc c'est relié la théorie des intégrales oscillantes avec la théorie elliptique et en fait l'étape suivante c'est de travailler pour grande donnée et donc il y a deux théorèmes et c'est ça va être ceci l'objectif de mon cours dont je vais commencer peut-être par par ici quand le gradient de musée au carré est un feu à la gradient de le v carré où on a donc ce théorème ou ce théorème lequel en haut ou en bas non on n'a pas on a défini globalement mais on n'a pas ce qu'à trier des deux côtés soit on a ce qu'à trier des alors c'est où ce qu'à trier des deux côtés ou soit w exactement égal à w moi c'est une alternative w plus et dans c'est dans ce cas là w moins dans ce cas là mais w moins essentiellement le seul contre exemple à au fait qu'on se caste pas pour tes positifs et tes négatifs c'est une seule solution le contre exemple alors je continue d'accord alors alors c'est le théorème suivant et en fait voilà bon il y a une série de théorème qui est dû donc maintenant tous les théorèmes sont du sans dû à moi même carlos kenny et tomah du kaertz à j'excusez moi donc là donc ça c'est le théorème de krieger chaque tata où d'accord alors je vais préciser excusez moi je vais quand même maintenant on se place en en dehors de ce cadre là et là donc je vais préciser le théorème de krieger chaque tata où ça c'est krieger chaque tata où 0 9 donc ils construisent une solution radiale alors en fait je précise ce n'est il le démontre pas mais c'est plutôt une une une une remarque en en reprenant leurs papiers qu'on peut démontrer ce résultat là il existe une solution radiale et explose en temps fini à t égale de type 2 tel que donc le supe pour t compris entre 0 et 1 strictement donc les pas définis en t égale du gradient de u2t et inférieur ou égale à la norme de w plus état 0 alors quel que soit état 0 strictement positif il existe une solution radiale dépendant de état 0 alors comme vous voyez on peut pas descendre à état 0 égale 0 bon je vais pas rentrer dans ce détail là non en fait ce n'est ce n'est pas inclus dans ce dans ce dans ceci tel que il existe v0 v1 dans l'espace d'énergie l'anda de t égale 1 moins t égale 1 plus nu nu plus grand que 0 tel que u2t se comporte dans l'espace d'énergie comme la bulle alors je vais peut-être faire une grande parenthèse plus v0 v1 et tout ceci envers 0 en l'espace en orménage étique donc vous avez une bulle voilà donc j'ai inversé par rapport à ma notation précédente l'anda 1 sur l'anda voilà donc ceci est bien comme 1 sur l'anda va tendre vers plus infinie et là ce l'anda va tendre vers 0 et ça se comporte sous cette forme c'est une bulle plus un un background une sorte de background fixe autant d'explosion donc ils ont construit une telle solution et la construction est faite de telle façon qu'on peut c'est ça qu'on a juste remarqué faut juste suivre les calculs qu'on peut faire ça pour tout état 0 strictement positif voilà donc on peut trouver une solution qui forme une bulle et qui est pas très grande en fait qui est juste un peu plus grande que que que tout ça donc l'énergie dépasse les germes alors comme elle ne rentre pas dans cette configuration là on sait des factos que l'énergie de cette solution est plus grande que l'énergie de W sinon ça rentrerait dans ces dans ce cadre là d'accord donc pour fixer les idées énergie de cette donnée initiale et quelque chose comme énergie W plus quelque chose strictement positif et de type état 0 enfin de petit donc petit donc on manque juste ce cadre là ce cadre là et donc là du coup on a une on a une explosion de type différent voilà avec une formation de bulle donc ça c'était le résultat de Kruecker-Scharja et Tataru alors il y a eu un théorème préliminaire à notre théorème de classification sur lequel qui dit essentiellement dans ce cadre là si on suppose ça on a automatiquement ce résultat c'est la réciproque et vrai maintenant supposons qu'on ait une ce donc théorème en radial c'est onze 2011 et en non-radial c'est 2012 mais je vais peut-être pas écrire le résultat non-radial et donc si u est radial et qu'on a bien état 0 avec état 0 petit alors bon je vais tout je et que t plus c'est fini je prendrai gala pardon alors bah la réciproque est vrai u de t il existe v 0 v 1 il existe l'anda de t tel que u de t moins donc je vais prendre une bulle l'anda de t qui est qui est maintenant une inconnue de notre problème j'ouvre la parenthèse plus v 0 plus v1 en norme h1.2 tant vers 0 quand t tant vers le temps d'explosion donc en fait la réciproque est vrai c'est à dire donc la seule différence c'est que je n'ai pas précisé le l'anda de t voilà donc si on a explosion alors voilà c'était le premier signe sérieux comme quoi on pouvait espérer démontrer par la théorie critique le résultat qu'on cherchait et je vais finir cette série de théorème donc par le théorème qu'on voulait réellement démontrer et c'est donc là je vais vous rappel dans les notes que j'ai précisé sur le situat où j'ai écrit il y a beaucoup plus de détails donc en particulier pardon non alors ceci on peut toujours démontrer dans ce résultat là que l'anda de t sur un moins t tant vers 0 quand t tant vers 1 donc c'est forcément quelque chose de plus rapide alors c'est juste un cas critique en fait mais mais le fait que le fait non la norme de stricard serait toujours égal à plus infinie donc il faudrait que ça soit égal à un moins t puissance un moins un moins un nombre positif donc un un peu une puissance légèrement inférieure un mais on peut démontrer par un autre argument que ceci doit être plus rapide que à moitié c'est la vitesse du son de l'équation pour l'équation des ondes a priori sinon non c'est a priori c'est pas trivial tout à fait mais je voulais pas rentrer dans pour l'instant dans tout ceci et donc je vais vous donner les l'énoncé principale qui est la chose suivante alors l'énoncé a priori on le cherche dans le cadre non radial mais c'est beaucoup plus complexe car en fait notre déjà notre objectif c'est des terremes de classification et la seule façon qu'on arrive à comprendre ces classifications c'est quand les tout est très petit c'est à dire à l'infini et à l'infini on essaie de démontrer que les solutions n'ont pas des comportements comme l'équation des ondes linéaires mais comme l'équation elliptique en particulier on doit avoir une compréhension complète des terremes de classification pour l'équation elliptique on doit utiliser ceci alors ceci on sont très simple dans le cas radial mais dans le cadre non radial il ya beaucoup de problèmes donc c'est pour ceci que en fait le résultat que je vais vous donner est dans le cas radial u radial par contre on sait tout dire dans le cadre non radial dans le cadre radial donc il y a que trois possibilités dont je considère une initiale u 0 u 1 de taille quelconque quelle que soit la taille la première possibilité c'est qu'il y a explosion et je regarde la solution pour t positive en plus je peux faire la même chose pour t négatif mais là je c'est type 1 c'est à dire t plus et fini et la limite quand t envers t plus c'est à dire que je retrouve le cadre sous critique de la norme énergétique temps vers plus infinie 2e alors les 2e et 3e sont similaires il n'y a que le temps qui joue un rôle différent donc soit t plus et fini et alors l'explosion va être de type géométrique c'est à dire il existe v 0 v 1 dans donc radial 1 à chancre l2 il existe un nombre de de bulle strictement positif c'est à dire ça peut j ne peut pas être égal à 0 et des nombres y j égaux soit un ou moins un tel que il existe des concentrations dépendant de t ordonnés vivant des échelles différentes au voisinage de l'explosion grandit cette fois ci et ceci aussi inférieur à t plus t tel que u de t j'ouvre la collade alors j'ai toujours écrit je peux écrire v 0 v 1 d'abord plus une somme de j égala à grand j alors petit y donc les signes plus ou moins l'endagie de t puissance 1 de mi w de x sur l'endagie de t 0 je ferme la norme à chien croyez le 2 tant vers 0 tant t tant vers t plus et donc à l'explosion qu'est ce qu'on a je vais simplifier je vais prendre le pronom j égale 2 donc à quoi quel est le comportement de u de t j'ai un premièrement une solution background j'ai un premier soliton là et en fait peut-être j'en ai un autre plus concentré donc ces échelles sont différentes donc à chacun prend un paquet d'énergie fixe l'énergie des solitons ne dépend pas de l'enda l'énergie est totalement un invariant du mouvement donc c'est un variant par le changement d'échelle donc j'ai un paquet d'énergie vivant à l'enda 2 de t là c'est l'endagie de t voilà et j'ai des profils explicites c'est mes profils w c'est les solutions de l'équation elliptique donc on décompose la solution dans l'espace d'énergie comme essentiellement bon les solutions linéaires quand t est proche d'une constance c'est juste une donne initiale plus des débules alors maintenant l'équivalent en t égale plus infinie qui correspond vraiment à la ça c'est un ersace de la démonstration donc on mais le comportement qu'on cherchait nous c'est quand la solution est définie globalement mais c'est le même c'est qu'en fait troisième possibilité maintenant si t plus égal plus infinie alors j'ai exactement le le même résultat donc il existe v 0 v 1 il existe j mais qui peut être égal à 0 donc ça inclut le scattering en particulier tel que u de t moins alors maintenant c'est la solution linéaire qui part de v 0 v 1 plus une somme de bulle avec certains signes je vais mettre 0 dans l'espace d'énergie il n'y a pas d'autre temps vers 0 quand t est envers plus infinie donc il existe j et en particulier j est fini ce n'est pas un chose de évident a priori il existe j finit tel qu'on est ça et alors attendez je vais tout de suite et en fait on peut avoir une estimation de j en fonction de l'énergie la donnée initiale et dans ce cas là c'est juste on a les landages qui vivent à nouveau dans des échelles différentes et cette fois ci c'est négligeable devant t et t est envers plus infinie dans ce cas donc qu'est ce qu'est ce qu'on a alors on a la somme d'une solution linéaire alors les solutions linéaires en dimension 3 on l'a propriété de se disperser en dehors d'un certain con c'est des paquets d'énergie de ce côté là et vous avez un w qui vit à une certaine donc très loin de t ça c'est x c'est x égaleté là donc qui vit à un certain l'an d'un de t l'an d'un d'eux et par exemple un plus concentré l'an d'un de t là donc ça c'est des échelles différentes quand t est envers plus infinie donc en particulier vous avez une solution linéaire plus une somme de bulles qui vivent à des échelles différentes alors juste une petite remarque après coup le g peut être contrôlé par l'énergie et donc mettre une remarque ici comme l'énergie d'une solution linéaire est positive par une solution le terme l 6 juste par des estimations assez simples pour une solution linéaire temps vers zéro donc l'énergie d'une solution linéaire est toujours posi strictement positive enfin sauf si il est nul bien sûr voilà alors ça s'excusez moi ça c'est dans c'est dans le cas t égale plus t plus égale plus infinie car dans le cas t finir le bas grand peut avoir une énergie négative mais là dans le cas dans ce comportement là j'ai j qui est voilà qui contente chez ses propriétés là pardon je suis non non non excusez moi j'ai confondu elle et j dans mes notations et donc j j est inférieure ou égale à énergie donc pour avoir des multisoulitons c'est-à-dire plusieurs bulles il faut prendre des énergies de plus en plus grande donc ça c'est une remarque un remarque dans le cas global voilà alors je vais donner dans la suite les éléments de essentiellement pour avoir une démonstration à peu près complète ce résultat là et les premiers théorèmes je donnerai juste des éléments pas explique pas pas détaillé car c'est le voilà je me concentrerai sur ce résultat là donc en fait en fait dans le on a réussi dans le cas radial dans un cadre purement non linéaire à relier l'équation dispersive à essentiellement au problème stationnaire aux équations linéaires près voilà et donc c'était un peu le but qu'on s'était fixé initialement alors je donc c'est le premier cas concret où on peut démontrer ça en dans un cadre non intégrable alors ce je vais faire une autre marque voilà c'est dans le cas donc dans le cas intégrable et dans le seul le seul cas où vraiment c'est connu c'est dans ce cas là alors pour des données initiales cette fois-ci régulière et à des croissances rapides pour limiter le fait que le nombre de solitons est fini en fait le fait que le nombre de solitons peut croître semble un problème essentiel dans tout ça et donc on doit isoler par certaines conditions soit dans l'espace ou soit voilà donc en particulier dans le cas dit intégrable là qu'est l'équation de kdv classique donc si 0 il y a des croissances rapides donc les solutions sont définies le toujours globalement décroissance rapide plus régularité alors on peut faire des transformations non linéaires sur cette équation pour se ramener une équation linéaire en fait pour l'étude à l'étude d'une équation linéaire et donc il y a ce qu'on appelle les paires de l'axe ça se ramène à certains variants du mouvement qui sont les valeurs propres d'un problème relié à la fonction et ces valeurs propres sont reliées au nombre de solitons en fait tout simplement et on peut démontrer ce théor m alors il y a l'équivalent des solitons pour ça dont c'est des solutions particulières sous la forme xq c-ct et on peut démontrer ce type de résultat pour x inférieur supérieur à alpha t dans cette zone là donc dans la zone un peu en dehors de l'influence de l'équation linéaire l'équation linéaire pour les questions de kdv a tendance à pousser la masse vers la gauche quand t est positif et donc là on s'écart de l'influence de l'équation linéaire on s'aperçoit que la solution alors dans l'espace d'énergie pas dans l'espace où on travaille mais dans l'espace juste d'énergie se se décompose comme une somme finie de solito voilà et ça c'était le cas le cas qui était connu précédemment ça a été donc c'est pu c'est plusieurs personnes qui sont intervenues mais ça a été clarifié par alors tout ça c'est dans les notes voilà je me souviens plus des noms et que c'est chaud voilà et que c'est chaud voilà tout à fait mais en fait ça a préexisté de façon formelle avant en fait mais ils ont justifié de façon rigoureuse mathématiquement dans des espaces très réguliers se fait donc voilà je vais m'arrêter là je me rends compte que je avance bon je vais on va prendre notre temps on va s'arrêter là si vous avez des questions si vous avez des questions on s'attend à quoi si par exemple pour le bloc de type 1 on s'attend à quoi alors type 1 par définition donc c'est la norme qui t'en va à la finie et ce n'est pas démontré c'est que c'est plutôt un type bloc de type odu mais on sait ce n'est encore c'est encore un problème ouvert et est-ce qu'on s'attend à ce que il y ait ces grands stades interviennent pour les blocs de type 1 on s'attend à ce que la patient soit négligeable voilà négligeable par rapport aux termes non linéaires et donc c'est plutôt une espusion de type sous-critique mais ce n'est pas démontré rigoureusement oui mais ça c'est pour l'équation de la chaleur ah oui oui en fait il y a des correspondances tout à fait oui tout à fait en fait c'est il y a toute une série de problèmes donc là ce que je présente c'est des résultats pour l'équation des ondes maintenant il y a aussi l'équation des la chaleur critique et il y a toute une série alors l'équation comme il y a un effet parabélique il y a plus de choses qui ont été démontrées qui préexiste en particulier et donc il y aurait un ajustement à faire en quelque sorte donc tout à fait il y a des choses qui sont impliquées par ce genre de méthode qui n'ont pas été faites et il y a des choses qui ont été faites par la chaleur qui ne sont pas connues pour ceci est-ce que l'on peut penser qu'on peut en dire plus alors il en a un thé, il en a deux thé ah ben est-ce que par exemple il y a un peu s'attendre à ce que quelques lendas s'approche de constante alors il y a un cas qui a été construit avec un soliton alors attendez je réfléchis constante non nul c'est ça je pense qu'il constante non nulle oui tout à fait a priori il y a aucun il semblerait qu'il n'y a aucune contradiction mais là il y a vraiment un problème de construction c'est-à-dire que là on a avancé dans la classification maintenant il faut comprendre et on a les objets mais maintenant il faut comprendre le système dynamique dimension finie qui relient à l'an d'un l'an d'à deux l'an d'agis et donc là il n'y a pas de classification de ce système dynamique donc on est pour l'instant sur des problèmes comme ça c'est pas clair qu'il y a d'autres conditions ou si même si l'an d'un et l'an d'à deux il n'y a que deux les régimes possibles sont explicites complètement classifiables ou pas c'est je dirais que la classification complète au niveau maintenant du système dimension finie l'an d'un l'an d'agis n'est pas faite c'est forcément très difficile parce que déjà c'est cette façon c'est même pas fait en parabolique le projet de vos papiers c'est évidemment négligé c'est négligé bon c'est dire que dès qu'on commence on a la machine pour améliorer certaines choses mais on n'a pas le point de voilà le point d'éparer là mais on n'a on peut pas pousser beaucoup plus loin surtout que en fait on s'aperçoit quand même l'air de rien que dans ce cas là dès que on a une puissance un puce lambda on a des compo on a des solutions bon c'est il y a la marge mais en effet il n'y a pas de là il y a vraiment toute une partie à défricher dont c'est les points de départ mais maintenant il faut se on est réduit un 6ème dimanche dynamique dimension finie oui tout ce qu'on sait c'est que le reste epsilon va être petit dans les interactions mais on sait pas aussi petit que l'on veut à quelle taille et donc on peut pas justifier que le système dynamique des landains l'an d'agis est est justifiable et donc on ne peut pas classifier leur comportement mais ça c'est voilà ça c'est dans les problèmes pour les années futures oui juste ce que je voulais dire les gens parlait beaucoup du parabolique en fait à ce niveau là tous les résultats paraboliques on n'est pas plus avancé en parabolique qu'un hyperbole c'est qu'il n'y a pas en parabolique il n'y a aucun terme de classification on a ce type de résultats je sais pas je connais rien parce qu'on est aussi un analog de cette espèce de conjecture des alors en fait un donc j'ai un résultat avec matano qui démontre ceci dans le cas parabolique mais qui n'est pas encore fini d'être écrit voilà où on pousse un peu plus loin là mais à nouveau les landais on ne sait pas démontrer leur taille mais là je crois qu'on est en avancé la théorie le plus loin qu'on pouvait voilà on a rattrapé le parabolique essentiellement le parabolique au même niveau aussi le parabolique n'a pas n'a pas du tout utilisé ces notions d'espace critique et en fait même ces résultats là telle qu'elles ne sont n'étaient pas connues bon après une fois qu'on sait ce qu'il faut faire c'est pas non plus difficile de démontrer mais voilà voilà donc c'est le point de vue qui a changé et en fait donc on a poussé un peu plus loin les choses très bien alors donc vous avez ces notes où il ya toutes les références et en particulier là moi je vais suivre une version plus allégée de ces notes donc je vais pas parce que là il y a plus de choses démontré etc donc je m'intéresse à démontrer disons un résultat fort et marquant dans ces notes là il ya un peu toute la théorie qui est exposée voilà un peu ça donc c'est un peu le ça correspond plus au double de mon cours voilà donc c'est pas donc il suffit de pas besoin de tout lire mais il y a par exemple tous les références à deux bon