 Bien, entonces, como decía, gracias por la presentación, el tema de hoy parece ser distinto a lo que hablé ayer, y es por qué es distinto a lo que hablé ayer, pero se va a conectar, ya, se va a conectar, ok. Entonces, la charla de ayer, ¿qué hicimos? Hablamos de curvas elípticas, de la definición en general, y después hablamos de la ecuación de bailes tras la curva elíptica, y en el fondo son ecuaciones diafantinas muy sencillas, y al cuadrado igual a una cúbica en X. Pero, a pesar de ser sencillas, se puede hacer muchas cosas interesantes con ellas, y una de estas cosas interesantes es hablar de puntos enteros, soluciones enteras, y vimos un método elemental que, en principio, sirve para ecuaciones de la forma y al cuadrado igual X al cubo menos una constante. Hablamos, también, del teorema de finitud de Siegel, que dice que en general vamos a tener finitas soluciones, no es solamente en el ejemplo que vimos, sino que en general. Hablamos de la ley de grupo, que eso es un teorema de Poincaré, que uno traza una recta por dos puntos, corta la curva elíptica y refleja. Y eso da una estructura de grupo para los puntos sobre un campo. Y, en particular, si yo trabajo sobre los números racionales, hay un teorema de Morbell, que vino aproximadamente 20 años después del teorema de Poincaré, y que nos dice cuál es la estructura. Y la estructura es un grupo abeliano infinitamente generado. Tiene una parte de torción y tiene una parte libre abeliana. La parte de torción se controla con el teorema de Nagel Lutz. Hay otros teoremas, pero desde el punto de vista de una introducción al tema, Nagel Lutz es suficiente. Y la parte libre, que naturalmente uno quiere saber cuál es el rango, que el rango se puede calcular usando grupos de Selmer o cuando el cálculo no se puede hacer completamente, por lo menos, dan cotas superiores para el rango. Y hablamos sobre software. En particular, hablamos sobre Sage, pero también se podría utilizar magma para hacer cálculos de esta naturaleza. ¿Qué vamos a hacer hoy día? Vamos a hablar de aproximaciones racionales. ¿Cómo se puede utilizar las aproximaciones racionales para hablar sobre soluciones enteras de una ecuación de Ofantina? Parece dos cosas desconectadas. Por un lado, quiero usar números racionales para aproximar algo, y por el otro lado, tengo una ecuación de Ofantina y tiene sus soluciones enteras. El punto es que hay una conexión y esa conexión permite transformar teoremas de un tipo en teoremas del otro tipo, y eso lo quiero explicar hoy día en un caso. Entonces, bueno, los números racionales, todo número real se puede aproximar con números racionales, pero uno le gustaría saber con qué calidad. Entonces, por ejemplo, tengo la raíz cuadrada de 2, 1.4142, y esto sigue indefinidamente. Y se puede aproximar por 17 sobre 12, que da una aproximación decente, o 109 sobre 77, que da una aproximación mejor. Tiene un decimal que está más cerca, se fijan. Aquí el tercer decimal es 4, acá es 6, acá es un poco mejor, es 5. Ok, un poco mejor. Entonces, la segunda es una mejor aproximación o no. Bueno, la segunda tiene un poquito mejor el error, pero es más complicada de escribir. Bien, es un poco mejor, pero es más cara. Entonces, hay un teorema de Dirichlet de 1840 que dice que si yo tengo un número real irracional, lo puedo aproximar infinitas veces con fracciones Q, ya fracción A sobre B, donde la aproximación está controlada por la calidad. En estas aproximaciones, si el denominador es muy grande, el denominador si fuera muy grande, la aproximación es buena. No es como en el ejemplo anterior donde el denominador era grande, pero la aproximación no mejoró tanto. La diferencia de Ray de 2 con esto no mejoró tanto, a pesar que creció tanto el denominador. Dirichlet asegura que yo voy a poder encontrar aproximaciones que tienen buena calidad para la complicación de escribir. Entonces, la primera aproximación que yo les vi era de este tipo, que yo miro la diferencia de 0.0024 y el denominador al cuadrado, su recíproco, me da 0.0069, esto sigue con decimales aquí también, pero lo importante es darse cuenta que el error fue más pequeño que el recíproco del cuadrado del denominador. Y la segunda no, en la segunda si yo miro el recíproco del cuadrado del denominador me da un número muy pequeñito, sin embargo, mi aproximación no era tan buena. Y en ese sentido, la primera aproximación es mejor que la segunda, porque es muy sencilla de escribir y da una calidad aceptable, mientras que la segunda es más complicada de escribir y el error mejora, pero no tanto. Entonces, el Teorema de Dirichlet responde esa pregunta, responde si yo puedo tener aproximaciones que sean de buena calidad y sencillas de escribir. Si hay dudas a lo largo de la charla, me pueden interrumpir, pueden preguntar, pueden escribir en el chat, para mí eso está muy bien. Tenemos este Teorema de Liubil que va en la otra dirección. En la otra dirección, este Teorema me dice que si yo quiero mejores aproximaciones, voy a tener un problema y dice lo siguiente, que si yo tomo un número irracional, pero algebraico, algebraico, de cierto grado, los números algebraicos tienen un grado, por ejemplo, la raíz cuadrada de la 2, que es una raíz cuadrada, tiene grado 2, una raíz cúbica tendría grado 3, por ejemplo. Entonces, tengo un grado de, y dice que quizá pueda mejorar la calidad de mi aproximación comparada con Dirichlet, pero no tanto, porque el error jamás va a ser más pequeño que el recíproco de la décima potencia del denominador, no puede ser mejor que eso. Dirichlet me dice el error es mejor que recíproco de cuadrado del denominador, pero si el número es algebraico, la mejora a eso no puede ser tanto más, a lo más recíproco de potencia del denominador, no mejor que eso. Esta desigualdad se fija en la otra dirección, el error es más grande, la demostración está en el problem set, está en el estado de ejercicio, está paso a paso, así que háganla. Bien, un corolario es, por ejemplo, si tomamos raíz cuadrada de 2, raíz cuadrada de 2 tiene grado 2, es una raíz cuadrada, entonces yo miro el teorema de Dirichlet y digo, ¿podré mejorar el error? ¿Puede ser más pequeño, considerablemente más pequeño que recíproco de cuadrado? Y la respuesta es que no, no puede ser considerablemente mejor, porque la cota inferior es recíproco de cuadrado también. Así que el teorema de Dirichlet es óptimo en esa generalidad, porque hay ejemplos que no se pueden mejorar. Otro corolario es que este número es trascendental, eso ya está raro, que tiene que ver, aproximar números con que algo sea trascendental. Bueno, este número, si ustedes se fijan, es una serie infinita, pero cada término es muchísimo más pequeño que el anterior. Entonces, si yo trunco esa serie, el error que me queda es ínfimo, muy pequeño, muy, muy pequeño. Por lo tanto, esta serie tiene aproximaciones racionales de excelente calidad. ¿Qué tan buena es esa calidad? Si uno hace el cálculo, se da cuenta que es tan buena que no cumple el teorema de Liubil. ¿Significa eso que el teorema de Liubil está malo? No, significa que hay un hipótesis que no se cumple. Entonces, el teorema de Liubil sirve para detectar números trascendentes también. Si lo puedo aproximar demasiado bien, no puede ser algebraico. Ok, bien. ¿Y qué pasa con todo lo que hay entre medio? Porque desde exponente 2 a exponente de, hay espacio. Quizá no para D igual a 2, pero para D igual a 3. ¿Será óptimo o un 3? La respuesta es que no. Bien, y viene el teorema de aproximación de Tiu. El teorema de aproximación de Tiu dice que, bueno, esto es complicado, quizá voy a hacer aquí un pequeño espacio para preguntas antes de ver el teorema de Tiu, porque es un poco más complicado entender que los anteriores. Entonces, hay preguntas o comentarios hasta ahora. Esto es una clase, no es una charla de conferencia. Entonces, espero que los estudiantes, si tienen dudas, puedan preguntar o comentarios. Puede ser en el chat. Si no, voy a continuar con el teorema de Tiu, pero si surgen dudas, incluso de materia anterior, me pueden interrumpir. Franco nos pregunta algo muy interesante. Si esta constante, este número que aparece aquí, el C alfa, se puede construir, pues algo de existencia y uno no sabe cuánto vale. Sí, se puede construir. Y la demostración de lo que aparece en el listado de problemas aparece en una manera de construir el C alfa. Viene dado. Se construye a partir del polinomio minimal del número algebralco. Así que esto es efectivo. Es explícito y efectivo. Aquí no hay nada misterioso. Este teorema es completamente explícito. Bien. Eso es un punto importante. Voy a hacer un comentario al respecto cuando hablamos de... Una pregunta. Es algo que yo creo que me lembro más o menos, más de repente, ya se lembra. Melhor. Que usted dice que en el caso de números de orden 2, que son quadratic numbers, no puedes adorar el expoente b cuadrado en el denominador. Pero y el un en el numerador, usted puede mejorar un poco, pero tiene un tráfico. Una cosa. Entonces, la pregunta, la pregunta, déjenme decir la pregunta de otra manera. ¿Por qué el denominador? ¿Por qué? A lo mejor si yo trabajo con el numerador, la cosa mejora. Pero piensen que estamos hablando de aproximaciones a alfa. Entonces, cuando cuba aproxima a alfa, el numerador y el denominador son proporcionales y la razón de proporcionalidad es alfa. Por ejemplo, en este ejemplo, 17 sobre 12 y 19 sobre 77, ellos son proporcionales aproximadamente con raíz de 2. Por lo tanto, cuando yo miro aproximaciones de raíz de 2, si el denominador crece, el numerador también y crece en proporcionalmente. Así que uno podría trabajar con el numerador y el resultado es el mismo. O uno puede trabajar con el denominador y el resultado es el mismo. O uno puede trabajar con el mayor entre el numerador y el denominador. Y eso se llama altura. La altura de un número racional, el mayor entre el numerador y el denominador. Pero los resultados son lo mismo, porque estamos aproximando y como estoy aproximando, si se puede mejorar el 1, perdón. Ah, el numerador 1. Perdón, perdón, perdón. Con numerador me quedé pegado con el numerador de la fracción, disculpen. El numerador 1, sí, se puede mejorar. Uno sobre algo así como raíz de 5, hay un número que se puede colocar. Se puede mejorar un poquito de manera universal, una constante. No el exponente, sino que este número 1 se puede mejorar un poco. De hecho, el b cuadrado también se puede mejorar un poco. Uno puede poner b por b más 1. ¿Qué depende la mejora? La mejora depende de la técnica de demostración. Se puede demostrar esto con el principio del palomar, el principio de las cajas, y da esto. Se puede demostrar con geometría de números, con convex bodies como en Minkowski, y da algo mejor. Depende de la técnica de demostración en realidad, es un asunto térmico. Pero se sabe cuál es el óptimo, se sabe. Y el número, el número que se puede aproximar peor. Alguien sabe cuál es. Se tiene que ver con el número de oro, un número de oro. El número de oro, de golden ratio, la pasión área, bien. Ese es el número, o si quieren, raíz de 5. Raíz de 5 se puede modificar, hay pequeños error, pero el número de oro es el número peor aproximado de todos, y él da cuál es la constante. Cuando uno sabe eso, también se puede mirar la, se puede mirar la expansión en fracción continua del número de oro, y eso también permite demostrar cuál es la mejor constante acá. Ok. Héctor. Sí. En efecto, para cada alfa hay la posibilidad de multiplicar una constante por b cuadrado, y se puede definir la mejor constante para cada iración al alfa. En general, la constante es infinito, pero hay valores finitos que compone el conjunto de Markov y el conjunto de Lagrange. Y hay muchos estudios sobre los dos conjuntos actualmente. Sí, sí, sí, sí, sí. Si eso es bueno, bueno mencionarlo. José Hernández hizo la búsqueda bibliográfica y nos dice que efectivamente es uno sobre raíz de 5, así que la memoria no me estaba engañando. Uno sobre raíz de 5. Bien. Alguien pregunta si el número de oro, al ser tan mal aproximable, toda otra combinación racional de él, también lo es. En algún sentido sí, pero cuando uno toma sumas, productos, las aproximaciones tienen pequeñas variaciones. Entonces, estrictamente hablando, no. Pequeñas variaciones van apareciendo. Bien, vamos a continuar. Eso es con Dirichlet, el Teorema de Lubin. Espero que se haya entendido también. Y ahora vamos con el Teorema de Tiu. El Teorema de Tiu es una mejora del Teorema de Lubin. Mejor. Me dice que la aproximación no puede ser tan buena, ya. Y el exponente, el exponente ya no es de, sino que es de partido por 2 más 1 más éxilo. Entonces, es un exponente más pequeño. Entonces, hagamos un intento para de igual a 2. ¿Qué me dan? 2 partido por 2 me da 1 más 1 es 2 más éxilón, me da 2 más éxilón y obtenemos un Teorema peor, porque antes teníamos 2, no está del éxilón. Ok, siguiente. De igual a 3 para números cúbicos. Obtengo 1,5, 2,5 más éxilón. Ah, ahí está mejor. 2,5 más éxilón es menor que 3. Así que esto me da una cota mejor que lo que me estaba dando el Teorema de Lubin. Me dice que los números son malaproximables de una manera peor de lo que me estaba diciendo Lubin. Bien. Es siempre complicado darse cuenta si yo agrando a chico este número mejora o peor el Teorema. Bueno, el exponente si es pequeño, me estoy acercando al Teorema de Diriglet. Entonces estoy tratando de llegar. Diriglet no se puede mejorar, Lubin sí. Bien. Ese exponente, este no es el mejor Teorema. De lo que yo les cuento nunca nada es lo mejor. Todo tiene una historia sin fin. Todo lo que yo les cuento pueden detenerme en cualquier punto y va a haber una historia sin fin detrás de eso. Pero aquí les quiero mencionar simplemente que el exponente fue mejorado por Siegel, Gelfand, Dyson y después Roth. Y Roth se ganó la medalla Fields por dos cosas. Una es lo que vieron en el primer curso, que es el Teorema de las Progresiones Aritméticas. Y otro es obtener aquí el exponente 2 más épsilon. Klaus Roth, el mismo Roth. Por esos dos Teoremas ganó la medalla Fields. Bien, el exponente 2 más épsilon. Y aquí ustedes me dicen Héctor, te equivocaste. No puede ser 2 más épsilon. No puede ser 2 más épsilon porque no depende del grado. ¿Cómo va a ser uniforme? ¿Cómo va a ser el mismo exponente para un número de grado 2, un número de grado 3, un número de grado 100? Sí, es uniforme. Esto es correcto. Esto es correcto. Es muy sorprendente, pero se puede obtener aquí un exponente uniforme que no depende del grado. Y salvo el épsilon coincide con el Teorema de Birichlet. Y esto se siguió generalizando a dimensión más grande, a dimensión superior. Y hay toda una historia detrás de esto y yo no me voy a detener mucho, pero solamente para contarles que si alguna vez llegan a necesitar esta en dimensión superior se sabe. Y de hecho lo usamos todo el tiempo. ¿Alguien abrir el micrófono quiere preguntar? ¿Quieres decir dimensión superior? Puedes pensarlo como tuplas de números racionales aproximando un hiperplano. O sea, tienes una ecuación lineal con coeficientes algebraicos. La evaluas en una tupla de racionales y quieres saber qué tan pequeño puede darte si no te da cero. Vale, bien. Gracias. Y ahora vamos a conectar esto con las ecuaciones diofantinas. Y aquí viene el Teorema de Tiu para la ecuación de Tiu. Y dice lo siguiente, voy a tomar un polinomio homogéneo, ya un polinomio homogéneo irreducible de grado a tres, o más, al menos tres, no dos, de grado al menos tres. Y C va a ser un entero no nulo y miro esta ecuación y tiene lo más finitas soluciones enteras. Hay un montón de adjetivos, de nombres, a mí no me gusta esto de los Teoremas en charlas porque uno lo lee y no se entiende. Para mí, los Teoremas hay que leerlos con calma, con un café y un lápiz rojo en la mano. Así se lee un Teoremo. Pero bueno, ya que estamos en una charla, les voy a dar un ejemplo. Tomo X al cubo, menos siete, Y al cubo igual a uno. Aquí tienen ustedes un polinomio irreducible homogéneo de grado tres, mayor o igual que tres. Y al otro lado tengo uno y eso es una constante. Perfecto, ya. Entonces yo sé que esta ecuación tiene finitas soluciones enteras. Alguien ve alguna solución entera? X2, Y igual a uno. X igual a dos, Y igual a uno. En el chat también apareció uno no nos cuenta. Muy bien, yo les voy a decir otra que a mí me parece más rápida. X igual a uno, Y igual a cero. Sí. Entonces tiene soluciones enteras, pero de hecho tiene finitas. Tiene finitas. Comparemos con la ecuación de pel, en vez de un tres pongamos un dos. X al cuadrado menos siete, Y al cuadrado igual a uno. Esta ecuación de pel tiene infinitas soluciones porque la ecuación de pel tiene infinitas soluciones. Ya. Entonces y eso es algo sabido desde hace más de mil años. Entonces ahí se da cuenta uno que la hipótesis de mayor igual que tres se necesita. No la puedo borrar. Se necesita. Vamos a demostrar esto. Alguien tiene alguna pregunta antes que nos lancemos a la demostración. Ya. Yo les voy a contar cómo se demuestra esto aquí. Si ustedes dividen por Y al cubo, dividen por Y. A ver, alguien me dice si esto tiene relación con la conjetura de catalán. Esto resuelve salvo finitos casos a algunos ejemplos de la conjetura de catalán, pero no todo. Y por qué no todo? Porque la conjetura de catalán tiene incógnitas en los exponentes. Mientras que acá la incógnita está en la base, no en los exponentes. Bien. Ok. Entonces si ustedes toman esta ecuación que ahora está en azul y dividen por Y al cubo, les queda X sobre Y al cubo menos siete es igual algo pequeñito. Algo pequeñito. Uno partido por Y al cubo. Entonces X sobre Y va a ser una aproximación de raíz cúbica de siete y ahí es donde uno gana. Ahí uno conecta con el teorema de aproximación de tío. Porque esa es la idea fundamental y ahora vamos a ver los detalles sangrientos de cómo se hace Entonces primero tomo un delta fijo que me dice las raíces del polinomio están separadas, lejos unas de otras. Y el polinomio yo lo puedo factorizar usando las raíces. Las raíces cuando yo deshomogenizo, lo factorizo. Bien. Ahora esa factorización es si quieren en los complejos, no en los racionales. Entonces supongamos que hay infinitas soluciones de esta ecuación, infinitas soluciones enteras de esa ecuación. El primer paso es construir una función auxiliar. Ya y la función auxiliar es simplemente a una solución yo le voy a asociar un número racional, que es la fracción. Es muy sencilla, pero es una función. ¿Por qué? Porque primero tengo un par y después tengo un número. Entonces no es lo mismo. Hay una función acá. Toma un par que es una solución y la función me devuelve una fracción, un número racional. Bien. Ok. Y hay un pequeño cálculo y uno se da cuenta que esto puede que no sea inyectivo, pero al menos es finito a 1. Puede haber más de una solución que me da la misma fracción, pero eso viene controlado por el máximo común divisor y el máximo común divisor está acotado por esa ecuación, porque es homogénea. El lado izquierdo es homogéneo, entonces. Bien. Así que tengo una manera de tomar soluciones y obtener un número racional y eso es finito a 1. O sea, sigo teniendo infinitos números racionales después de este proceso. Perfecto. Ahora veo que esta función auxiliar me da buenas aproximaciones. ¿De qué? Bueno, vamos a ver. Entonces, si ustedes miran esta ecuación, voy a dividir por b. Por b. Entonces, me queda f de a sobre b, como a 1. Y aquí me queda c partido por b. Tengo que tener cuidado con el grado. Esto es homogéneo de grado d. Entonces, lo correcto es dividir por b a la potencia d. Y ahora el polinómio yo lo puedo factorizar y me queda un producto de a sobre b menos las raíces alfa. Ese cálculo es muy importante. Si hay preguntas, por favor háganlas. Ah, ¿por qué fijando y igual a 1? No. No es que fijemos y igual a 1. Estoy factorizando el polinómio para darle un nombre a las raíces, nada más que eso. Pero aquí se fijan rápidamente el y ya no es 1. Es una manera de darle nombre a las raíces del polinómio porque un polinómio en dos variables no tiene raíces. Tiene que ser en una variable para que tenga raíces. Es para poder factorizar los implementos. ¿Responde eso a la duda, Lesslie? Sí. Bien. Pueden tomar este ejemplo bien. El ejemplo siguiente. Ven ese ejemplo, x al cuadrado menos 7y al cuadrado. Yo lo puedo factorizar. De qué manera? X menos raíz cuadrada de 7 por y. X más raíz cuadrada de 7 por y. Y esa raíz cuadrada de 7 viene de el 7 que está acá y eso cómo lo obtuve poniendo y igual a 1. Pero me ayuda para la factorización solamente. Espero que eso aclare el proceso. Sí, escucho. O sea, lo que usted está queriendo comentar es que es la notación para la raíz 1, raíz 2 de cada uno de las variables. Estoy claro, entonces quiero yo darle un nombre a las diferentes raíces. En el ejemplo que yo tenía, en el ejemplo que yo tenía aquí con la raíz de 7, una raíz sería menos raíz de 7 y la otra sería más raíz de 7. Entonces, le estoy dando un nombre a las distintas raíces que obtengo cuando el y vale 1. En este ejemplo, x al cuadrado menos 7. Si pones y igual a 1, te queda x al cuadrado menos 7 y cuando tú resuelves esto te parecen soluciones y esas soluciones son las utilizadas en la factorización. Responde a eso, la 2. Bien. Gracias por preguntar. Es un punto importante. Si uno se pierde aquí, vamos a tener problemas con el resto. Ahora por definición del delta, el delta era pequeñito para que las raíces estén separadas unas de otras. Y eso significa que los números q, estos números q que tengo acá, los números q que ustedes ven aquí, no pueden aproximarse simultáneamente alfa 1 y alfa 2, o alfa 2 y alfa 3, no pueden porque son números distintos los alfas. Imaginen ustedes que tienen un arco y una flecha y quieren darle un blanco y tienen cinco blancos distintos y quieren apuntarle con las flechas. Puede que no la apunten a ninguno, pero ciertamente con una sola flecha no le pueden apuntar a dos. Entonces los números racionales q yo puedo hacer esta observación que de los factores que yo tengo acá, todos salvo uno son grandes. ¿Qué tan grandes? Delta. Y el mínimo bueno es el mínimo solamente, eso. Entonces todos salvo uno de los factores son grandes y el más pequeño no sé cuánto vale pero lo dejo, el mínimo de los factores. Bien, y tengo infinitos q, infinitos. Entonces como son infinitos, voy a usar el principio del palomar y el principio del palomar me dice que el mínimo se tiene que alcanzar con alfa 1, digamos, por poner un nombre, con alfa 1 infinitas veces. Podría ser alfa 5, no sé, pero le cambio el nombre si fuera necesario. Entonces tengo alfa 1, alfa 2, alfa D y tengo infinitos racionales que están alcanzando el mínimo acá, al mínimo acá, acá, acá, acá, acá. Entonces me quedo con uno solo y paso una subsecuencia. Yo tengo entonces esto. Entonces obtengo que el C partido por el denominador a la potencia D es mayor o igual que la diferencia. Y esta está constante Delta, pero el Delta viene del polinomio, el Delta no va a cambiar, está fijo. Ok, ahora estoy aproximando este alfa 1, alfa 1 tiene que ser real. ¿Por qué? Porque está siendo aproximado por infinitos números racionales. Es un límite de números racionales. Ok, entonces alfa 1 es real, es solución de un polinomio, es algebraico, el polinomio irreducible, así que es algebraico de grado D. Entonces el teorema de aproximación de Tiu me dice que la aproximación Q menos alfa 1 tiene que ser más grande que uno sobre denominador a la potencia de medios más uno más epsilon. Ya. Ok. Pero si yo tengo no sé, epsilon igual a un cuarto, por poner un número de epsilon igual a un cuarto. La aproximación entonces es mayor que recíproco de exponente de medios más uno más un cuarto. Por otro lado era mejor que ser constante, Delta, otra constante y aquí va denominador a la potencia, el grado. ¿Sí? Y eso qué dice, aquí hay un problema. Este D es más grande que de medios, más uno más un cuarto. Entonces me quedaría. Recuerden que el D es mayor igual que tres. Entonces con D igual a tres queda aquí. Me da 1,5, 2,5, 2,75. Ya ese es el peor de los casos, 2,75. Entonces ahí tengo un problema, se fijan. Esta desigualdad está mala. No puede ser correcto. Por lo menos no puede ser correcto cuando la base es muy grande. Entonces cuando uno hace el cálculo que ustedes seguramente con lápiz y papel lo han tratado de hacer aquí, llevo aquí la base a la potencia un cuarto, es menor igual que de medios, menos uno punto veinticinco, es menor que una constante. Aquí utilicé que el D es mayor igual que tres y los denominadores entonces están acotados. Y eso es imposible porque tenía infinitos de estos números racionales que estaban aproximando. Si ustedes acotan el denominador, no pueden tener infinitos racionales que aproximan el alfa. Entonces acá hay un método y el método fue paso 1 una función auxiliar. A partir de las soluciones enteras construyo un número racional. Paso 2, esa aproximación, esos números racionales son una buena aproximación. Paso 3, uso un teorema de aproximación difantina que me dice no puedo tener a aproximaciones tan buenas. Y el paso 4 es enfrento la buena aproximación con el teorema de aproximación difantina y los pongo a pelear y me doy cuenta que no pueden. Y eso me dice algo sobre las soluciones enteras que tenía en un comienzo. Y eso se llama el método de aproximación difantina. Bien, aquí la hipótesis de que el D mayor igual que tres eso no se puede sacar porque tengo la ecuación de PEL que tiene infinitas soluciones. Y este método se usa hoy bien. Y gente que trabaja en esto, yo mismo trabajo en estas cosas, se usa para demostrar que variedades algebraicas de cualquier dimensión yo miro sus puntos enteros y no están en todos lados sino que están dentro de alguna superioridad, son algebraicamente degenerados. Es la misma idea de fondo. Ese es el método que se utiliza. Bien, un comentario. Si, si, si le podías poner otra vez al teorema anterior por favor. Si, si digamos si quisiera ver este teorema con las mismas hipótesis pero quisiera preguntarme por soluciones racionales. Si uno intentara así ingenuamente seguir la línea, que debería ser muy difícil, no debería de fallar, no sé en qué parte. En la parte donde el amorfismo es finito a uno. Ah, ok, y ya. Si, hay un problema, si. Ok, si porque por ejemplo a de Fermat sería, se podría llevar a una de estas, no? Entonces tendría que ser muy difícil. Claro, es muy muy complicado trabajar con racionales, pero no se preocupen porque mañana vamos a trabajar con racionales. La irreducibilidad de fx.y es sobre los racionales? Si. O sobre los enteros, en realidad no importa mucho porque el C juega rol de constante solamente. Ok. Si. Pero sobre los racionales está bien. La irreducibilidad se utilizó acá. Acá. The right number has degree D. Esa frase usa que f era irreducible. Bien. Y el teorema de Siegel me dice que si yo tomo una curva de género geométrico cualquiera, pero si fuera cero tengo que pedir una cosita más. Pero tengo mi curva a fin y la curva a fin tiene finitos puntos enteros. Y género cero pido que al infinito tenga al menos tres puntos. Tiene que ser porque la ecuación de pel de nuevo, la ecuación de pel que tanto desdeñamos, ¿cierto? Esa ecuación de pel es una hiperbola y al infinito tiene dos puntos y aún así tiene infinitos puntos enteros. Entonces es necesario pedir al menos tres puntos al infinito. Pero salvo ese pequeño detalle y el teorema de Siegel me dice que una curva a fin tiene finitos puntos enteros. Aquí hay un ejercicio interesante. No voy a decir que es fácil porque hay que calcular algunas cosas. Pero un ejercicio interesante es ver que el teorema de Siegel implica el teorema de Tew, que de hecho esto es una curva, es suave y tiene al menos tres puntos al infinito. Eso se hace usando el test de las derivadas para ver que algo suave. ¿Se acuerdan ayer que hablamos de curvas elípticas y que tenían infinitos puntos enteros? Bueno, el motivo es este, ya con teoremas de aproximación de ofantina. Uno usa un teorema, Siegel demostró una mejora del teorema de aproximación de Tew y gracias a eso logró demostrar este teorema sobre puntos en curvas, con una mejora de teorema de aproximación de Tew. Se inspiró en el método de Tew para poder demostrar esto. Bien, eso concluye lo que quería conversar y quedan algunos minutos para preguntas, así que pueden preguntar, comentar lo que quieran. Vamos a agradecer a Héctor y ahora quien quiera preguntar puede hacerlo. Está levantando la mano, Yuri. ¿Quién está levantando la mano? Creo que palmas, son palmas. ¿Algún comentario, alguna pregunta, dudan, curiosidad, tiene por qué ser directamente de la clase? Una pregunta. Sí. La mejora de Roth, ¿qué tan difícil, qué tan diferente es de demostrarlo? Buena pregunta, mira. Sí, sí, sí, los voy a mencionar. Partimos con el teorema de Liubil, eso está en el listado de problemas y de verdad háganlo, es muy instructivo. El teorema de Liubil usa una herramienta y esa herramienta es el polinomio minimal de alfa, o sea, usa un polinomio en una variable. ¿Me sigues hasta ahí? Sí, sí. Bien. La idea brillante de Tiu para mejorar fue usar un polinomio en dos variables, un h de x, y el h de x, se tiene que anular en alfa, ok, en dos variables. Entonces, esto es redundante porque hay muchos polinomios que hacen eso. Por lo tanto lo que Tiu hace es astutamente elegir un buen polinomio, que se anula ahí y que permita imitar lo que hizo Liubil en una variable, pero ahora con más grados de libertad y eso da un mejor exponente, ¿ya? Después, Siegel, Gelfand y Dyson trabajaron en dos variables también, polinomios en dos variables, pero eligiendo de mejor manera todavía, el polinomio. Bien, Dyson me contó que cuando él era joven hizo esto y después Roth demostró el teorema fuerte y Dyson dijo, ya, la teoría de números no es para mí y se fue a física y este es el mismo Dyson de física. Bueno, ¿qué estaba yo contando? Ah, claro, ¿qué hizo Roth? Roth trabajó con polinomios con un número arbitrario de variables. O sea, el número de variables era un nuevo parámetro en la construcción. ¿Qué es tanto más difícil? Bueno, me da ya fields más difícil, así de difícil, bastante complicado. Pero es elemental, ya es una demostración complicada pero elemental. No usan teorías de ecogomología ni mucho menos. Creo que se puede estudiar sin dificultad, pero es complicado. Gracias. Una pregunta. Para curvas elípticas, en el caso de que haya un número finito de soluciones enteras, ¿todos los invariantes de la curva elíptica podrían juntarse y de contar exactamente cuántas soluciones hay o hay alguna manera de saber cuántas hay exactamente? Ya, para curvas elípticas hay dos situaciones, ¿ya? La situación fácil y la situación difícil. La situación fácil es cuando el rango es cero. Si el rango es cero, mirar los puntos enteros es lo mismo que mirar los puntos de torción y tienes el torrema de Michael Lutz. ¿Me sigues hasta ahí? Sí. Ya. La situación difícil es cuando el rango es positivo y cuando el rango es positivo, hay varias maneras de hacer esto. Una es usando un método que se llama formas lineales en logaritmos. Y formas lineales en logaritmos no voy a explicar ahora lo que es, pero es un método que viene de la teoría trascendente de números, estudia aproximación. Entonces lo que uno hace es elegir una base de la parte libre, del grupo de amor del veil, este grupo de puntos racionales, eliges puntos racionales que te den una base de la parte libre. Y después tienes que ver combinaciones lineales de ellos que te den algo muy cercano al cero, porque los puntos enteros tienen esta propiedad. Un punto cuando es entero lo haces variar y tomas otro punto entero y otro punto entero. Bueno, los enteros son discretos. Estos puntos se tienen que estar escapando alguna parte, ¿cierto? No pueden estar todos dentro de una caja. Si fueran muchos, si fueran muchos. Entonces ¿qué hacen? Están aproximando el punto al infinito. O sea, estos puntos enteros están aproximando el neutro del grupo. Y lo que tú quieres hacer es tomar una base del grupo y ver combinaciones lineales que aproximan el neutro y limitar eso. Y cuando limitas eso, por fin metes todos los puntos enteros en una caja y ahora lo puedes buscar. Ok. Es muy interesante. Claro que es muy interesante. Sí, sí, sí. Gracias. Hector, yo tenía una pregunta. Sí. En ese mismo slide que usted está ahora, ¿es posible decir algo más sobre este epsilon? Este epsilon tiene que estar ahí o no. Por ejemplo, si usted intenta probar este teorema con 1 sobre b al cuadrado, a veces log de b. ¿Sería falso? Uno sobre b al cuadrado por logaritmo de b, por ejemplo. Eso se espera uno sobre b cuadrado por logaritmo al cuadrado de b, por ejemplo. Ah, se espera, pero no se sabe. ¿Se sabe con alguna potencia de log? No, eso es una conjetura muy difícil del ángulo. Nunca ninguém probó nada mejor que 2 más epsilon, b cuadrado con una función de b. Se puede mejorar un poco el epsilon, ¿ya? Se puede mejorar un poco si permites excepciones, si permites hay salvo un conjunto muy delgado de excepciones, pero si no quieres excepciones, no se ha mejorado. Excepciones no alfa. Algunas excepciones. No, excepciones cubo. No, sí, excepciones más que finite limited. Para algunas aplicaciones eso sirve. Que la cota, este es mejor, salvo un conjunto de excepciones. Ah, pero es interesante, que es conjecturado que un sobre b cuadrado, log de b cuadrado, sería suficiente. Sí, eso es una conjetura del ángulo. Muy interesante. ¿Más alguna pregunta? Veo aquí en el chat una pregunta, una curiosidad cuando se quiere verificar alguna propiedad de un conjunto de números, por ejemplo, para encontrar primos gemelos. ¿Hay un software o se tiene que programar en algún código? Ah, depende de lo que uno quiera hacer, a veces ya está programado, a veces uno viene que hacerlo. Yo recomiendo usar Sage. Sage sirve más que para curvas elícticas, sirve para hacer teoría de números en general. Tiene comandos para verificar si algo es primo, por ejemplo. Es muy rápido. Una pregunta profe. Sí. Volviendo a la demostración de la afinitud de las soluciones de este polinomio de homogéneo, una hipótesis que sea algo importante que pasaba a ir a que todo polinomio de dos variables de homogéneo se puede escribir como producto de cosas lineales. Sí. Entonces, pensando en el caso de tres variables, uno podría agregar la hipótese de que este polinomio se puede descomponer de esa manera. Sí. No se puede seguir la demostración. Sí. Sí, se puede seguir la demostración. Se puede seguir la demostración con una hipótesis adicional, pero hay un pero y el pero es que esto, el teorema de aproximación de ti ya no te sirve, necesitas algo mejor, algo más variable. Y eso y eso que necesitas es el teorema del subespacio de Schmidt. Y eso se trabajó. Hay un teorema de Corvalla y Sanier donde ellos hacen más o menos lo que tú sugieres hacer. Muchas gracias. Carlos Catalán nos pregunta si la mejora de Roth ha dado mejoras o generalizaciones a la opción de ti. Sí. Sí, sí, sí, sí. Por ejemplo, de hecho, incluso la mejora de Siegel, que era mejor que el teorema de ti, fue suficiente para el teorema de Siegel, para este teorema. Esto no se puede demostrar con el teorema de ti. Necesita aún algo mejor. El teorema de Siegel sirve, pero es complicado. El teorema de Roth da una demostración más directa. Y además hay mejoras sobre el teorema de Roth, donde uno permite no solamente medir la aproximación. Esto es algo que nos dije, que donde está acá. Esta aproximación es en el sentido del valor absoluto usual. Pero hay más valores absolutos. Están los valores absolutos pedálicos también, que los vamos a ver mañana. Y hay una versión del teorema de Roth que funciona con valores absolutos pedálicos. Y eso permite trabajar con ese entero, que es una versión un poco más general de entero, donde se permiten algunas cosas en el denominador. Entonces, sí, se puede, esto se ha mejorado. Como les contaba, mi cursillo es una pincelada donde tomo la punta de este iceberg y la punta de este otro iceberg y la punta de otro iceberg. Y se los comento para tratar de motivarlos a que estudien esto y aprendan más. Pero, claro, esto es el inicio de la teoría, no al final. Si alguien quiere aprender más de esto, deme a un segundo, le voy a mostrar algo. Lo tengo prestado, disculpen. Era un libro que les quería comentar, es Hindre y Silverman. Lo voy a notar acá. Está también en la normativa del curso. Si alguien le gustó la clase de hoy día, ese es el libro que tiene que leer. También hay otro libro que también es muy bueno. Un libro de Jean-Pierce, Lecture on the Murder Vale theorem. Es el libro también, quizá incluso sería bueno comenzar con el libro de ser y después leer el libro de Hindre y Silverman. Eso es la dirección del estudiante, si alguien le gustó la clase de hoy día. Bien, lo vamos a dejar hasta acá que ya nos pasamos de la hora. Sí, vamos a agradecer una vez más a Héctor.