 Bueno, a lo mejor también. OK, déjame hablar de nuevo. Comenzamos ahora con el minicurso número 2 de Danielo Testa y Tony Varela Alvarado. Placer tenerlos hoy con nosotros. Danielo, la pantalla es tu. Perfecto. Muchísimas gracias. Pues hoy voy a seguir hablando de de temas parecidos a los de ayer. Como siempre, por favor, preguntad cosas si tenéis si tenéis dudas. Si queréis que escriba más grande o que hable más despacio. O también, sobre todo, si tenéis dudas sobre el contenido. Vale, ayer vimos una introducción general al ámbito con ejemplos muy específicos. Hoy voy a voy a empezar por una versión un poco más abstracta de lo que estábamos diciendo porque esta parte un poco más abstracta nos ayuda a clasificar superficies que a priori no sabemos cómo están hechas. Pues entonces hoy empezaré por superficies y producto de intersección. Y voy a enfocarme en el caso de superficies, porque es el caso que realmente voy a usar. Pero realmente esto se puede desarrollar en muchísima generalidad. No tiene por qué ser una superficie, podría empezar con una variedad de dimensión en cualquiera y puede intersegar. En primera instancia normalmente va a haber sub variedades de mi variedad con sub variedades de intersección complemental. Pero realmente luego se puede definir un producto sobre algo que se llama el anillo de chao y ver que hay mucho más que se puede hacer. Entonces voy a enfocarme solo al caso de superficies y entonces simplemente no me interesará intersegar curvas sobre mi superficie. Pero es algo que se puede desarrollar mucho más en general. Más pues como se empezando. Entonces X durante a lo largo de todo el curso creo que será siempre una superficie. Tuanis. Y voy a acordar otra vez con Tuanis. Simplemente queremos decir que mi superficie es proyectiva, fométricamente íntegra y suave. Es simplemente una manera rápida de decir estas tres cosas. Entonces empezamos por una superficie que tiene buenas propiedades y queremos aprender algo sobre esta superficie y la manera que vamos a usar para acceder a propietades de esta superficie va a ser de estudiar curvas contenidas en esta superficie. Pues entonces tendremos una C dentro de X. Esta será una curva. Como empecé a decir ayer, mientras por la superficie si asumimos que va a ser suave, fométricamente íntegra y proyectiva, por las curvas dentro de una superficie como ya están contenidas en algo que tienen buenas propiedades, no vamos a necesitar asumir tanto. Entonces realmente lo que yo quiero de mis curvas es que localmente en el entorno de cada uno de sus puntos geométricos se han definida por una sola ecuación, una sola función racional sobre la X. O sea curva significa localmente C es el lugar geométrico de definido una sola ecuación. Como por ejemplo, os recuerdo que ayer vimos, teníamos una cuadrica cub entre tres y era la cuadrica dada por el lugar de los puntos que verificaban verificaban el lugar de los ceros de la ecuación XY menos ZW. Y vimos ayer que aquí está contenida una recta dada por el lugar de los ceros de X y Z, porque cuando X y Z están simultáneamente igual a cero, claramente esta ecuación está verificada. Entonces esta recta está contenida en Q y esta es una recta en P3 porque es el lugar geométrico definido por dos ecuaciones lineales independentes. Pues entonces esta recta está contenida aquí y vemos que está definida por dos ecuaciones. Estoy dando X y Z por definirla dentro de Q. Entonces no es definida por una sola ecuación. Pero lo que yo requiero no es que en general se ha definido por una sola ecuación, sino que localmente sea definida por una sola ecuación. Entonces lo que localmente significa significa que por cada punto de mi recta quiero poder encontrar una sola ecuación que en un entorno de este punto realmente solo tenga la recta como como sitio de los ceros, como conjunto de los ceros. Y por ejemplo aquí vemos que, por ejemplo, cuando X es cero, esto define cuando yo busco simplemente lugar geométrico definido por X igual a cero dentro de la de la cuadrica Q, XY igual a ZV doble. Pues realmente como X es cero, esto es lo mismo que X igual a cero y Z W doble igual a cero. Entonces vemos que hay dos rectas y seguramente una de estas dos las que corresponde al lugar geométrico definido por Z igual a cero, no sé, una es la recta que yo quiero. Y decimos que es esta. Esta es X igual a Z igual a cero. Pues entonces esta recta aquí en todos los puntos que no son el punto de intersección con la otra de las dos rectas que veo, la otra recta siendo la recta X igual a W igual a cero. Esta X igual W igual a cero. Entonces en cada punto de esta recta que no sea este punto aquí de intersección, la recta es localmente definida por la sola ecuación X igual a cero. Por todos estos puntos, simplemente la ecuación X igual a cero dentro de Q me define la recta. Hay claramente un problema alrededor de este punto aquí, donde simultáneamente Z y W son cero y lo que necesitaría verificar y que no voy a hacer ahora, pero que dejaré como nos dejo de hecho un ejercicio, no va a ser muy difícil. Es de ver que puedo modificar estas ecuaciones y encontrar una ecuación diferente por mi recta que pero en un alrededor de este punto también solo define esta curva aquí. Van a estar esta recta aquí. Van necesariamente a contener otros puntos que no me importan. Dentro de Q, pero en un entorno de este punto solo va a contener los puntos de la recta. Entonces, si vais a hacer el ejercicio, vais a ver que en lugar de tener estas dos rectas como sitio, como sitio, como lugar geométrico definido por una ecuación lineal, vais a tener una diferente ecuación lineal que va a tener como lugar geométrico siempre la misma recta que me importa y otra recta contenida en la superficie. Entonces he movido, he obtenido mover esta recta en una diferente y entonces ahora en un entorno de este punto que antes no estaba bien porque no me valía la ecuación X igual a 0, tendrá otra ecuación que si me vale. Entonces, esto está realmente es la propietad más importante que necesitamos por las curvas. Por los que no se sientan cómodo con esto, voy a decir que las curvas van a ser normalmente podemos reconducirnos al caso en que sean reducidas. No vamos a asumir que sean suaves, pero sí vamos a asumir que sean proyectivas y estarán todas contenidas en superficies y contenidas en superficies. Entonces esta clase de superficies de curvas es un poco menos general que las que son localmente definidas por una sola ecuación, porque por ejemplo, la ecuación no tienen porque ser irreducible, en particular no tienen porque ser privadecuadrados, que es lo que me implica ser reducidas. Pero estas curvas aquí y luego tener tener una una cuenta de cómo funcionan las consecutividades va a ser todo lo que pueda necesitar. OK, antes de seguir, voy a hacer una pausa. Hay alguna pregunta o alguna duda? Pues justamente como en este ejemplo vemos que si cojo en esta misma cuadrica un cualquier otro punto de la cuadrica y miro al plano tangente a la cuadrica en este punto, voy a obtener una imagen completamente parecida a la que he tenido por el sitio de los ceros de X igual a 0. Voy a ver que el plano tangente interseca mi cuadrica Q en una unión de dos rectos. Entonces, lo que quiero lo que quiero intentar intentar formalizar es que estas rectas vienen en dos familias y que cada recta de cada familia es sostencialmente lo mismo. O me gustaría que se comportara como si fuera lo mismo de cada una de la de las otras rectas en la familia y que rectas dos familias diferentes se comportan de manera diferente. Vale, esto es lo que lo que queremos hacer. Queremos estudiar la superficie Q a partir de sus curvas, por ejemplo, de sus rectas. Intentar encontrar una manera bastante bastante poco fina que pero sí me permita de hacer afirmaciones como hay dos rectas en esta superficie y todas las demás son equivalentes y una equivalencia que vamos a definir a las dos que ya conozco. En este caso, tenemos la recta X igual a W igual a 0 y la recta X igual a Z igual a 0. Y nos gustaría de poder decir que todas las demás rectas son equivalentes o la una o la otra. Para esto, vamos a tener que desarrollar un poco de lenguaje, un poco de propiedades y un poco de edificio. Entonces, vuelvo al caso general. Entonces, X será nuestra superficie tuanis y vamos a definir un espacio vectorial. Al principio, será algo de muy formal y vamos a dividir por una equivalencia linear que una equivalencia sobre este espacio que nos permita de conseguir una estructura más concreta y más parecida y que más tenga más en cuenta la forma de X y su sugeometría. Entonces, definimos de definición el grupo de los divisores sobre X es el espacio vectorial real con base en correspondencia con las curvas íntegras de X. Vale. Esto es una manera muy formal por decir voy a considerar curvas de X. Las curvas íntegras son las curvas que no puedo ulteriormente dividir, no puedo separar en una unión de dos curvas más pequeñas. Entonces, son los ladrillos de donde empiezo. Cada curva será una unión con multiplicidades de curvas íntegras. Entonces, simplemente cojo a las curvas íntegras y me permito de escribir combinaciones lineales, formales, finitas de tales curvas. Y permito que los coeficientes sean reales. Cuando veo una curva en una superficie X, una curva de verdad, como las que hemos visto aquí, normalmente imaginaría de, por ejemplo, esta que hemos visto como el lugar geométrico de X igual a cero, la pensaría probablemente en mi mente si pienso a esta definición como la suma de esta recta y de esta otra recta. Entonces, la escribiría como por favor, va a escribirlo en el lugar de los cero, en lugar geométrico de X dentro de Q. Estos sabemos que son las dos rectas. Lo escribiré como el lugar de los cero de V y Z más el lugar de los ceros de X y W. Entonces, cuando cojo combinaciones lineales a coeficientes interos, en particular, en este caso, coeficientes naturales, imagino que todo tenga un sentido bastante claro. Para lo que vamos a hacer va a ser útil de poder permitirnos de dividir por algún número. Esto que a principio puede parecer algo de raro en realidad nos va a simplificar mucho lo que vamos a decir. Entonces, admitir denominadores en nuestras combinaciones lineales va a ser muy útil. Y una vez que admitimos denominadores, estaremos por lo menos un espacio vectorial a coeficientes racionales. Pero como luego, a lo mejor mañana o quizás incluso pasado, vamos a querer ver, querer tomar la clausura de algún subconjunto de estos espacios vectoriales. Quiero poder trabajar con la clausura real. Entonces, con la clausura de un espacio utopológico que sea completo. Y por esto prefiero trabajar con los números reales. Pero durante de mucho tiempo, simplemente admitir denominadores y casi solo que trabajar con coeficientes emperos va a ser suficiente. Lo bueno de admitir, por ejemplo, coeficientes negativos es que voy a poder permitir describir ecuaciones con menos que aparecen sin tener que estar todas las veces moviendo la red, las curvas que tienen coeficientes negativos del lado correcto de la igualdad. Entonces va a ser útil de poder hacerlo porque nos va a dar más reflexividad y poder escribir cosas más sencillas. Vale, pues esto es el espacio el espacio vectorial de los divisores. Alguna pregunta? Pues me acabo de enterar que he hablado de divisores sin haber dicho realmente que eran. Esto ha sido un fallo mío porque en mi mente tenía la idea que lo había dicho antes. Como estamos en una superficie, divisor en línea general significa su variedad de codimension 1 en nuestra variedad. Como estamos en una superficie, codimension 1 significa dimensión 1 también, porque la superficie de dimensión 2 tendrá dimensión 1 menos que la superficie significa dimensión 1. Entonces realmente este espacio de divisores es también un espacio de curvas. No voy a tener bien curvas. Y esta es una de las simplificaciones que vamos a hacer nosotros. Como estamos trabajando en caso de una superficie y no de una variedad de dimensión general, no vamos a necesitar definir por separado el espacio vectorial de los divisores y el espacio vectorial de las curvas. Al definir uno, tenemos automáticamente definir el otro porque son los mismos. Esto veremos que a un momento va a llegar un momento en que será útil de poder jugar con divisores que al mismo tiempo son curvas y curvas que al mismo tiempo son divisores. Pero realmente mucha de la teoría que vamos a desarrollar no va a ver que son los mismos se podrían mantener separados y no mucho cambiaría. Vale, pues entonces ahora tenemos este espacio vectorial. Este espacio vectorial claramente es un espacio vectorial inmenso. Hay muchísimas curvas integras definidas sobre una superficie cualquiera X. Hay tantos tantos elementos en una base de este espacio vectorial, cuántas son las curvas integradas de X. Y si el cuerpo de base es numerable, van a ser una infinidad numerable de curvas. Pero si en general una base de espacio vectorial es indicizada por un conjunto de cardinalidad igual a la cardinalidad del cuerpo. Cuando el cuerpo es finido, hay igualmente una infinidad numerable de curvas. Y cuando el cuerpo es infinito, la cardinalidad de la base es igual a la cardinalidad del cuerpo. Entonces, por ejemplo, si estamos mirando a curva a una superficie sobre los números complejos, tenemos un espacio vectorial de dimensión, la cardinalidad de los números complejos definidos sobre X. Entonces, esto es demasiado grande para nuestras ideas y queremos reducirnos a un espacio vectorial de dimensión finita. Y para ello vamos a introducir una relación de equivalencia sobre los elementos de este espacio vectorial. Entonces, esta retiración de equivalencia será dada por lo que se llama la forma de intersección. Ahora voy a hablar de la forma de intersección. Intersección. Y como el nombre sugiere, con la forma de intersección voy a definir una intersección entre subvariedades de mi variedad X. Como estamos en una superficie, las solas variedades que realmente son interesantes para nosotros son las curvas. Y efectivamente puedo intersecar dos curvas. Y en mi mente, imagino que se interse con dos curvas dentro de una superficie, voy a obtener un número finito de puntos y contando estos números finitos de puntos, voy a definir un entero y este entero será lo que yo llamaré el producto de intersección de las dos curvas. Entonces, esta es la intuición. Intersecamos curvas y contamos números de puntos de intersección. Por ejemplo, si estamos en P2 y L1 y L2 son rectas distintas, pues entonces sabemos todos que L1 intersecando con L2 es un único punto. Entonces es muy natural, desde esa perspectiva, de definir la intersección de L1 y L2 como igual a uno. Vivimos que L1 intersecto producto L2 es igual a uno. Ahora, esta definición vale bastante bien por muchas situaciones. Pero como habréis visto o como os voy a a surrayar ahora, he tenido que hacer una asunción sobre las rectas. He tenido que asumir que fueran distintas. Si estoy intentando intersegar una recta con sí misma, no voy a poder contar el número de puntos que hay en esa intersección. La intersección va a tener dimensión positiva y el número de puntos de una variedad de dimensión positiva, pues tengo que trabajar mucho para ver qué significa, porque en línea general podría ser un número infinito y no voy a poder definir la producta de intersección simplemente diciendo es infinito. Entonces, lo que ahora vamos a tener que ver es cómo salir de estas situaciones que parecen degeneradas y que realmente requieren un poco de estructura posterior para poder ser solucionada. Pues entonces, lo que podemos decir en este caso específico es que si L1 y L2 son rectas que coinciden, si está intentando calcular L1 cuadro, si está intentando intersegar el uno con sí misma, pues L1 y L1 son rectas en el plano proyectivo y vienen naturalmente en familias. Puedo considerar todas las rectas de plano y todas las rectas del plano forman una variedad alfeoraica que probablemente habréis visto es el plano proyectivo actual y más en general las rectas en pie son un ejemplo de una grasa mañana. Entonces, son las rectas en el plano una variedad, son parametrizadas por los puntos de una variedad y una propiedad fundamental que la intersección tiene es que en condiciones buenas las intersecciones son o por lo menos la cardinalidades de las intersecciones son invariante por deformaciones. Entonces, si yo puedo deformar una recta en otra cosa y la otra cosa que será entonces necesariamente otra recta interseca mi recta inicial en un número finito de puntos este número finito no depende de la deformación que he dado. Entonces, la observación fundamental es que la intersección en la el grado de una intersección de curvas debilicimos porque es de nuestra situación en una superficie es invariante. Voy a escribir deformaciones. No voy a decir más explícitamente que quiero decir con deformaciones, pero espero que el ejemplo del plano sea bastante claro. En la mayoría de los casos en que los vamos a usar vamos a estar en una situación parecida en que naturalmente tendremos muchos candidatos de cómo mover nuestras curvas de una manera que no debería afectar el producto de intersección. Por ejemplo, en el caso del plano, todas las rectas son lo que se dice linealmente equivalentes. Esta es una una propiedad todavía más floja que de formación que seguramente implica de formación. Y entonces, rectas o curvas linealmente equivalentes se intersegarán con el grado. Por lo tanto, puedo definir el producto de intersección en un punto un poco más grande que en P2, por ejemplo, que simplemente las dos rectas que son distintas. Entonces, utilizando la posibilidad de formar las curvas, podemos extender el producto de intersección. Entonces, lo que obtenemos de momento es tenemos este espacio vectorial de curvas divisores contenidos en X. Hemos cogido las combinaciones lineales a coecientes reales de curvas o divisores, como estamos en una superficie, son lo mismo. Y queremos definir un producto de intersección entre este espacio y sí mismo a valores en los números reales. Esto es lo que estamos intentando definir. Y de momento lo hemos definido en un subconjunto del producto cartesiano. Lo hemos definido simplemente por las curvas por los divisores que tienen a hacer lo mismo, que se pueden deformar de manera en que cuando está intersegando una curva con un divisor y no tengan componentes, componentes comunes. Aquí dentro tenemos el subconjunto de las parejas de los pares. Cd, tales que C y D son curvas y C y D. Se pueden deformar curvas sin componentes comunes. Si estoy en este subconjunto, puedes definir el producto de intersección calculando el grado de la intersección de C y D. Y por las propiedades del grado, el grado que calculo no detiene de la deformación que iba. Entonces, esto va en R y la pareja, el par, Cd, se va en el grado de deformación de C, intersegado de formación de D. Antes de hacer una pausa por preguntas, voy a voy a enfatizar que la mayoría de las de los pares de curvas no contienen componentes comunes. Entonces, la mayoría de las veces que voy a estar intentando calcular un producto de intersección, puedo ahorrarme de deformar las curvas. Hay algunas veces como, por ejemplo, en este caso del plano del plano de 2, donde estoy intersegando dos rectas que son la misma. Allí sí, entonces, voy a tener que deformar. Pero también quiero, quiero enfatizar que, aunque estemos en esta situación, en las mayoría de los casos va a ser fácil de encontrar una deformación de curvas. Entonces, hacer una deformación normalmente no va a ser tan complicado. Antes de seguir, voy a hacer una pausa y alguna pregunta. Pues entonces, vamos a ver, vamos a ver qué es lo que tenemos de momento. Tenemos un producto de intersección casi definido, porque todavía no estamos seguros que por todos los pares de curvas, siempre voy a poder encontrar una deformación que me permita de asumir que las dos deformaciones no tienen compone. De hecho, por como lo he dicho, esto tampoco es cierto en general. Esto no tiene por qué pasar en general. Pero sí pasa en la mayoría de los casos que veremos y sí pasa muchísimo. Entonces, ya esto nos permite de desarrollar una percepción. Por lo bueno, en un subconjunto bastante grande de esto, el paso vitorial. Y hemos visto que por calcular tal producto, el producto se simplifica si podemos deformar las curvas. Voy a cambiar de página ahora, pero quiero quiero que esto, porque ahora voy a hablar más de esto. Entonces, el producto casi lo hemos definido. Por definirlo bien, hemos utilizado la posibilidad de deformar las curvas. Entonces, nos gustaría aprender algo sobre cómo podemos deformar las curvas. Y vamos a ver que esto nos llevará en un círculo. Voy a cambiar de página. Hemos hecho un apoyo de acá arriba. Entonces, vamos a ver, voy a hacer alguna observación sobre deformar las curvas. Deformar las curvas en lo que se llama equivalencia lineal. Entonces, la equivalencia lineal espero que, por lo menos en algún contexto, por ejemplo, en el contexto de curvas, ya la hayáis vista un poco. La equivalencia lineal es la equivalencia que dice que dos divisores de y en X son divisores y D es linealmente equivalente a X. Linealmente equivalente. Significa que D menos E. Aquí utilizo la posibilidad de subtraer divisores entre ellos. Es el divisor de los ceros menos el divisor divisor de los polos de una función racional de X a P1. Entonces, si lo habéis visto en el contexto de curvas, es exactamente lo mismo, excepto que lo hago a partir de una superficie más en mi caso, o más en general, una variedad más en cualquier. Entonces estoy intentando decir que D y E son tan parecidos porque existe una función de X a P1, tal que el lugar geométrico definido por esta función igual a 0 1 en P1 es E y definida igual a 1 0 en P1 es E. Y entonces digo que D y E se pueden deformar en uno al otro porque si miro todas las fibras de esta función racional son curvas en mi superficie X, una de estas curvas va a ser E, una de estas curvas va a ser D y en intermedia a D y E va a haber todas las otras fibras de este marfismo. Todas estas curvas me van a dar la deformación de D a E. Pues esto es el concepto de equivalencia al lineal. Entonces, para poder utilizar este concepto, para calcular la intersección entre curvas, me gustaría saber cómo puedo yo calcular intersección de formaciones y en particular equivalencia lineales de curvas en mi variedad. Calcular intersección es me me me lleva a la pregunta de calcular equivalencias lineales. Ahora, para poder calcular equivalencias lineales. Una estrategia muy común es la de interpretar las equivalencias, las clases de equivalencias lineales como espacios vectoriales de secciones de librados lineales. Entonces, de aquí. Vamos a secciones globales de librados lineales. Así como hemos dicho, la equivalencia lineal de dos divisores es equivalente a decir que existe una función racional de X a P 1 tal que los dos divisores sean divisores de los ceros y de los polos de esta función de esta función. Más en general, si quiero calcular la clase de equivalencia lineal de un divisor, estaré fijando un divisor y quiero encontrar todo lo que es sonible y equivalente a esto. Y esto se parece mucho a un espacio de funciones racionales y realmente es el espacio de secciones globales de un librado lineal. Entonces, para nosotros, esto va a ser simplemente una manera de decir, estoy estudiando todas las funciones racionales que me convierten un divisor en otro divisor. Entonces, esta va a ser nuestra definición así computacional de qué son las secciones globales de librados lineales. Lo que importa es simplemente que este es un espacio vectorial y que, al ser las secciones globales de un librado lineal, tiene más propiedades que nos permitirán calcular más cosas. En particular, esto, las secciones globales de librados lineales son un grupo de comología de este librado lineal, son grupos comología de un vibrado lineal. También no estás escribiendo. No podemos ver en esta. Ah, vale. Voy a voy a quitar esto. Gracias. Entonces, estamos estudiando grupos de comología de librados lineales. Sé que esto se está convirtiendo a cada paso. Parece que están empeorando. Y la razón por seguir yendo es porque vamos a ver que voy a crear un círculo. Entonces, es verdad que está pareciendo más abstracto, pero al final vamos a volver a calcular intercesión. Entonces, voy a seguir un momento y luego voy a pausar. Una vez que habré terminado el círculo, no me queda mucho. Voy a hacer una pausa para preguntar, para preguntar si hay mucho, pre-muchas preguntas. Entonces, estos son grupos de comología de un vibrado lineal y habréis visto, espero que esto normalmente se denotan como H0, X y a lo mejor habrá un vibrado lineal o XTD y habrá un H1, X o XTB y habrá un H2, X o XTB y los grupos siguen, pero como estamos en una superficie, H3, 4, 5 son todos. Entonces luego habrá 0, 0 y así. Y realmente seguían antes también y eran 0 también. Entonces, lo que ha pasado es que hemos pasado de querer calcular solo uno de estos grupos a decir, bueno, por qué prefiero solo uno y no este otro o este otro o a lo mejor uno de estos más abajo que son todavía más sencillos que estos por los 0. Y lo que vamos a hacer va a intentar calcular utilizando los topos. Y la razón por hacerlo es que resulta que cada uno de estos grupos individualmente son bastante complicados de calcular. A menos que no tenemos suerte, que va a ser el caso muchas veces, pero muchos de estos grupos van a ser complicados. Sin embargo, la característica de Hulero de estas pasos de las dimensiones de terapia vectoriales sí van a ser fácil de calcular. Entonces, ganamos al considerarlos todos que podemos calcular en lugar de separadamente H0, H1 y H2, vamos a tener fórmulas que nos permiten de calcular H0 menos H1 más H2, más H2, o sea, la dimensión de H0 menos H1 más H2. Entonces, de aquí vamos a calcular características de características de Hulero, características de, a lo mejor se dice Huler en español, no lo sé. En italiano se dice, se lee exactamente como se escribe Hulero. De hecho, se dañan de una O. En español creo que es Huler, pero no lo sé. Calcular características de Huler de fibratos lineales. Y de alguna manera esto ya puede parecer un poco más sencillo que calcular todos estos grupos de ecomología porque sólo quiero calcular una combinación lineal. En lugar de calcular H0 solo, sería realmente mi deseo más profundo, voy a a contenta, voy a como se dice, a estar contento, simplemente habiendo calculado una la suma de la dimensión que me importa a mí, menos la dimensión del H1 más la dimensión del H2. Entonces no es exactamente lo que quiero, pero es más parecido a lo que quiero que lo que estamos haciendo antes. Y esto, la característica de Huler, resulta que se calcula a través de algo que es el teorema de Riemann Rowe. Y el teorema de Riemann Rowe. Lo voy a anunciar aquí. Entonces estamos siempre en X, una superficie, Juanis. Y D es un divisor sobre X. Y lo que el teorema de Riemann Rowe me dice es que la característica de Hulero sobre X del fibrado lineal asociado a este divisor. Entonces esto que estábamos diciendo aquí, a que hemos ligado comenzando por un divisor, buscando calcular su clase de equivalencia lineal, interpretándola como una sección de lineales, añadiendo más con más grupos y calculando la característica de Hulero, este número aquí que hemos decidido que ya nos puede valer bastante. Pues este número aquí es igual a D cuadro menos KX por D dividido por 2 más otro término que voy a escribir y que pero no voy a decir mucho sobre esto ahora. Entonces la conclusión de este círculo es que el teorema de Riemann Rowe me permite de calcular esta característica de Hulero utilizando el producto que estamos intentando definir de intersección. Entonces el teorema de Riemann Rowe es lo que te permite de volver a calcular intersecciones. Entonces voy a hacer un comentario rápido sobre esta fórmula por ver que efectivamente nos está ayudando y por decir que es KX y que es esto y luego acaba. Entonces D cuadro es literalmente el cuadrado del divisor D. Cómo estamos intentando calcularlo antes? KX es el divisor canónico, divisor canónico de X. Cada superficie suave tiene su divisor canónico, cada variedad suave tiene su divisor canónico y más tampoco hace falta que sea muy suave. Entonces esto va a ser un divisor muy especial que cada X va a tener y normalmente sabremos más o menos que este divisor KX. Entonces esto es un divisor fijo de ese divisor que yo quiero realmente calcular. Aquí estoy calculando productos de intersección y esta cantidad de aquí es un entero, es una característica de Hoyler que pero como veis no depende de D. Entonces ahí está la calculo una vez para toda para mi superficie y una vez que la conozco puedo calcular todas las características de los que quiero de mis divisores D. Sabiendo calcular en productos de intersección. Entonces hemos creado este círculo aquí en que quiero calcular propietos de intersección, es lo convierto en tirados lineales, grupos de tecnología, característica de Olero, Crimán Roj y vuelvo a calcular intersección. Entonces todas las veces nosotros tendremos información parciales sobre el que conoceremos alguna intersección, alguno de estos números aquí a lo mejor se van a calcular alguna característica de Hoyler y vamos a intentar juntarlo todo, darle una vuelta entera a este círculo, nos recogemos pasando toda la información que tenemos y una vez que volvemos al punto de partencia esperamos haber conseguido suficiente para calcular lo que queríamos. Esto lo que veremos a partir de la próxima vez. Así que ahora voy a parar aquí y voy a preguntar si hay dudas o cosas que queréis que expliquen mejor. Sí, una pregunta. Si yo tengo dos divisores, la obstrucción a ser linealmente equivalentes es más que topológica, no hay algún ejemplito que se pueda ver un poco más como intuitivo de por qué dos divisores no son linealmente equivalentes. O sea que no puede existir esta función racional. Vale, justo porque me has preguntado por divisores que son topológicamente equivalentes. Voy a dar un ejemplo que sería diferente de uno que si esto no hubiese sido el caso. Pues puedo considerarse una curva de género 1. De hecho, por lo menos uno es suficiente, pero vamos a considerar una curva de género 1. La que normalmente la gente llama una curva elítica y incluso más puedo presentarla explícitamente con y asume que el cuerpo K no tiene característica igual a 2. Esto es simplemente por poder escribir una ecuación ahora sin tener que poner demasiado término dentro. Entonces esto va a ser X por X menos uno por X más uno. Entonces esta curva aquí. Espero que la mayoría de vosotros sepáis que es una curva elítica y que la multiplicación está dada por interseca o sea encontrar rectas que juntan dos puntos y que ven donde es el tercer punto de intersección y luego reflexionar y todo. Es una curva elítica. Y tiene por como le he escrito cuatro puntos muy especiales. Los cuatro puntos son los puntos que tienen orden 2 en el grupo de Picard o la curva elítica misma y son los puntos que tienen ordenada X y igual a cero y coordinada X igual a cero. X igual a uno. X igual a menos uno o Z igual a cero o o ya Z igual a cero. Entonces hay cuatro puntos aquí. Son los puntos cero X de cero y griega es uno Z de cero. X c uno Z y griega de uno Z de uno. A ver si si me equivoco. Menos uno uno uno. Estos son los puntos que que se ven que se ven fácilmente y también está el punto en que pongo Z y X igual a cero. Ah, no, esto ya lo cogido. Me falta. Me falta y igual a cero. Cuando y griega a ver, me estoy confundiendo. Cero uno uno. Cero uno uno. Gracias. No, perdón. Cero uno uno. Cero no. Bueno, voy a pasar. Esto es una buena razón para no tener que hacer ejemplos explícitos. No me hace falta saber cuál es el otro. Lo que voy a decir es que estos dos puntos son no linealmente equivalentes sobre mi curva. De hecho, ningún ninguno, ningún punto de X de C es finalmente equivalente a ningún otro punto de C. Diferente, cuando digo otro quiero decir diferente. Y la razón es porque si fuese linealmente equivalentes encontraría una función de C a P1 que tiene como fibra sobre un punto uno de mis dos puntos y como fibra sobre otro punto este. Entonces esta función aquí sería un isomorfismo entre mi curva elítica y P1. Y sabemos que una curva elítica no es isomorfa P1. Entonces dos puntos distinto de C no pueden ser linealmente equivalentes. Sin embargo, topológicamente, dos puntos cualquiera de cualquier variedad conexa van a ser topológicamente equivalentes a los otros. Entonces esto es un ejemplo sencillo de cómo la equivalencia lineal difere de la equivalencia de la equivalencia topológica. Aunque me haya ahora me avergüenza un poco haber hecho esto. Pero la coordenada ya debería ser cero en estos dos puntos. La coordinada la coordenada. Ah, sí, claro. Vale, vale. Sí, sí, sí. Me vale. Esto es el este es la que normalmente se utiliza como origen de la curva. Y las otras, los otros tres puntos son los puntos que tienen coordinada y o y en español igual a cero. Y entonces ahora voy a terminar. Cuando y es igual a cero o x es igual a cero que no he escrito todavía. Vale, ok. Ahora, ahora también me siento un poco menos de vergüenza. Ok, está claro. Más preguntas, más dudas. Este, gracias por esto. Este, por eso es que los grupos de comología no sólo dependen de la topología de x, sino de la ecuación que define x, verdad? Exactamente. La. A ver, dependen de las ecuaciones. Los grupos de comología de los librados lineales sí dependen de la acción. Hasta ahora hemos hablado de deformaciones de un divisor dentro de una superficie. Lo que la pregunta creo que se implica también que igual puedo querer deformar la superficie y deformaciones de superficies proyectivas o de variedades proyectivas en general, por extrema de Erespan, dan lugar a super variedades difiumorfas entre ellas. Por lo tanto topológicamente no son no son muy diferentes. Cambiar las ecuaciones que me definen la x. Sin embargo, esto que estamos viendo aquí tiene mucho que ver con exactamente las ecuaciones que estamos viendo. Incluso estos grupos de que estaba hablando, que vamos a definir, definiendo una equivalencia entre esto, estos grupos, estos espacios virtuales pueden tener dimensión que depende de las ecuaciones de la variedad. Creo que era esto que me estaba preguntando y sí, efectivamente, depende mucho de las ecuaciones específicas. Para esto tendría que ver ejemplos de dimensión 2, por lo menos. Con curvas no se va a haber tanto. Muy bien. Puedes sugerir. Otras preguntas o comentarios. Puedes sugerir que continuemos en el tutorial. Entonces vamos a mute nuestros micrófonos para agradecero Damiano para esta álbum número 2. Muchas gracias Damiano.