 Y sólo nos queda este ingrediente para poder presentar la solución a los dos problemas que planteamos al inicio de módulo. El ingrediente es lo que se conoce como exponenciación modular. Vimos en el módulo 1 cómo calcular potencias en los diferentes conjuntos de números naturales, enteros, racionales y reales. Veremos a continuación cómo calcular potencias en la aritmética modular. Su comportamiento es radicalmente diferente a los ejemplos que acabamos de mencionar. Y, en parte, esto es lo que hará a la aritmética modular tan atractiva para el mundo de la criptografía. Lo que veremos en este vídeo es el comportamiento de las potencias en el anillo de los enteros módulo N. Así, dados A y B, dos elementos de este anillo, la clase de equivalencia del producto de potencias que tienen igual base y diferente exponente, es igual a la clase de equivalencia de la potencia cuyo exponente es la suma de los exponentes. De manera sencilla podemos demostrar esta propiedad a partir de la definición del producto de los enteros módulo N. Esto es, si consideramos la definición, tendremos que esta es la clase producto y observar que esto sería una potencia en z, con lo cual aplicando las propiedades de las potencias en los números enteros, tenemos que este es el resultado final. De manera muy similar podemos probar que el producto de las clases de equivalencia de potencias que tienen diferente base, pero igual exponente, es la clase de equivalencia del producto de las bases elevadas al exponente común. Y, finalmente, aplicando la primera propiedad, reiteradamente podemos deducir la equivalente de las potencias. Veamos a continuación algunos ejemplos de potencias, en este caso, en el cuerpo finito z módulo 29. Comencemos con el primero de los ejemplos, 2 a la 5. El más sencillo de ellos, puesto que sabemos que 2 a la 5, ya en los enteros, es 32. Para calcular la clase de equivalencia resultante de 32 en z módulo 29, lo que haremos será calcular la división entera de 32 y 29. El resto será la clase de equivalencia que estamos buscando, que como supongo que habréis observado, es 3. Para calcular el segundo de los ejemplos, haremos uso de este resultado que acabamos de calcular. Esto es que 2 a la 5 sabemos que es congruente con 3, módulo 29. Precisamente por esto lo que haremos será calcular la división entera de 31 entre 5. El resultado es 6. Y de esta manera podemos escribir, en lugar de 31, escribiremos esta expresión de aquí. Utilizaremos las propiedades de las potencias que hemos visto al principio de este módulo, para reescribirlo de esta manera, como el producto de estas dos clases de equivalencia. Observando de que 2 a la 5 sabemos que es congruente con 3, y todo este factor de aquí, el primer factor sería 3 a la 6 módulo 29. 3 a la 6 son 729, con lo cual esto representaría estos dos productos. Podríamos calcular la división entera, el producto de los dos y ver que al final son 8. No me entretengo los cálculos, puesto que veremos a continuación, una manera mucho más sencilla de calcularlo. De hecho, si intentamos repetir el proceso que hemos hecho con este segundo ejemplo para el tercero, podríamos intentarlo, pero resultaría extremadamente largo y pesado. Con lo cual veremos una alternativa para calcular estas potencias de una manera más eficiente. Una contribución importante para la resolución de este problema se debe a Pierre de Fermat, que a pesar de que profesionalmente era abogado, es considerado como uno de los más destacados matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Sus aportaciones a las matemáticas nos han llegado gracias a su activa correspondencia con otros matemáticos, puesto que él raramente publicó sus avantes científicos. Y de todas sus aportaciones, la más conocida es el último teorema de Fermat, que anuncia que si N es un número entero mayor o igual que 3, entonces no existen números enteros X, Y y Z, tales que se cumpla la igualdad X a la N más Y a la N igual a Z a la N. La historia que acompaña a este teorema, dice que Pierre de Fermat escribió en el margen de un libro el enunciado de este teorema, añadiendo que había encontrado una demostración verdaderamente maravillosa, pero que no podía ponerla en el margen porque era demasiado pequeño. Nunca publicó tal prueba y de hecho pasaron 3 siglos hasta que en el año 1994, Andrew Wiles publicó una prueba de este teorema con técnicas que posiblemente no estuvieron al alcance de Fermat 3 siglos antes. Por el camino, en estos 3 siglos algunos de los mejores matemáticos de la historia dedicaron muchos de sus esfuerzos en una demostración satisfactoria de dicho teorema. Para aquellos de vosotros que queráis saber un poco más de esta pasionante historia, os recomendamos en el apartado para saber más un libro que a buen seguro cubrirá vuestras expectativas, el enigma de Fermat. Pero pese a que he querido aprovechar esta oportunidad para hablar de uno de los teoremas más conocidos de las matemáticas, no es de este teorema del que quería hablar, sino del conocido como pequeño teorema de Fermat y que nos permitirá calcular de manera eficiente potencias como las que hemos visto que os proponía hace unos minutos. Este teorema además es la base del test de primalidad de Miller-Rabin, que recordad que nos permitía saber si un entero era primo o no. El pequeño teorema de Fermat nos dice que dado un primo P y un elemento A del cuerpo finito z módulo P se cumple la siguiente equivalencia módulo P. Alternativamente lo podemos expresar como A a la P-1 congruente con 1 módulo P. Veremos como este teorema nos permite calcular de manera mucho más eficiente las potencias en z módulo P. Es importante remarcar que no es posible aplicar la aritmética modular directamente en el exponente. Veámoslo con un ejemplo. Supongamos que tenemos que calcular 2 a la 34 módulo 17. Si utilizamos el pequeño teorema de Fermat, sabemos que 2 a la 17 es congruente con 2 módulo 17. Ahora bien, perseguimos calcular 2 a la 34 y sabemos que 34 es 17 por 2. Utilizando la potencia de potencias que ya hemos visto al inicio del vídeo, sabemos que esta igualdad de congruencias se cumplirá así pues 2 a la 34 será congruente con 4 módulo 17. Observar que si hubiésemos intentado calcular 2 a la 34 y aplicar la aritmética modular directamente en el exponente, tendríamos que 34 es congruente con 0 módulo 17 puesto que 34 es un múltiplo de 17. Y esto nos daría 1, pero 1 no es congruente con 4 módulo 17, con lo cual claramente no es factible realizar directamente aritmética modular en el exponente. Recuperemos los ejemplos que planteábamos antes y veamos cómo el pequeño teorema de Fermat nos ayuda anormemente en su cálculo. Comencemos calculando 2 a la 31 módulo 29. Si aplicamos el pequeño teorema de Fermat puesto que 29 es un número primo, sabemos que 2 a la 28 será congruente con 1 módulo 29. Así, observando que 31 es 28 más 3, podemos expresar 2 a la 31 como 2 a la 28 por 2 a la 3, utilizando ya en este paso directamente las propiedades de las potencias que vimos al principio del vídeo. Pero ahora bien, puesto que 2 a la 28 es congruente con 1, esta expresión de aquí será congruente directamente con 2 al cubo, esto es con 8 módulo 29. De hecho, llegamos a este mismo resultado aunque no de una manera tan directa cuando lo presentamos hace unos minutos. Y siguiendo el mismo rafonamiento, utilizaremos también el pequeño teorema de Fermat para calcular 2 elevado a la 282 módulo 29. Lo que haremos será expresar 282 como la división entera entre 282 y 28, con lo cual tenemos que el cociente será 10 y el resto 2. Así pues, podemos expresar 2 elevado a la 282 de esta manera de aquí. De manera que, puesto que sabemos que 2 a la 28 es congruente con 1 módulo 29, tendremos que esta expresión es congruente con 4 módulo 29. Pero en realidad no será el pequeño teorema de Fermat el que utilizaremos para la solución de nuestro reto criptográfico, sino que una generalización de este, que se debe a Euler por lo que lleva su nombre. Euler generalizó el resultado de Fermat no solo para los números primos, sino para cualquier entero n. El enunciado dice así, dado cualquier número natural n, si a es un entero módulo n, de manera que es coprimo con n, esto es relativamente primo, entonces a elevado a la phi de n es congruente con 1 módulo n. Observar que si n es un número primo, automáticamente recuperamos el teorema de Fermat, puesto que phi de un número primo es igual, phi de p es igual a p-1, que es exactamente lo que nos decía el teorema de Fermat. Veamos cómo calcular esta potencia utilizando el teorema de Euler. Utilizaremos el teorema de Euler, aunque el razonamiento será similar al caso que hemos hecho antes con el teorema de Fermat, pero en este caso, puesto que 143 es 11 por 13, no podemos aplicar directamente el teorema de Fermat. Pero puesto que 2 y 143 son coprimos, lo que sí que podemos hacer es utilizar el teorema de Euler, el cual nos asegura que 2 a la phi de 143 es congruente con 1 módulo 143. Ahora bien, ¿cuánto vale phi de 143? Puesto que es un recordad que es una función multiplicativa, sabemos que esto phi de 143 será el producto de phi de 11 por phi de 13, pero phi de 11 y phi de 13 al ser 11 y 13 números primos será 10 por 12, esto es 120. Así, si utilizamos este resultado para la congruencia que queremos calcular para esta potencia, lo que haremos será observar que la división entera de 244 y 120 nos da como cociente 2 y como resto 4. Así pues, podemos escribir 2 elevado a la 244, sabemos que será congruente con 2 a la 120 por 2 más 4, todo esto expresado en el exponente. Ahora bien, el teorema de Euler nos dice que 2 a la 120 es congruente con 1 módulo 143. Así pues, este resultado será congruente con 2 a la 4, esto es con 16 módulo 143. Y acabamos lanzando esta pregunta rápida donde os proponemos que respondáis cuál de las siguientes afirmaciones es cierta. Bien, espero que todos hayáis visto que es la segunda la correcta, como se deduce fácilmente si utilizamos el teorema de Euler. Observar que es Euler puesto que 35 no es un número primo y no podíamos utilizar el pequeño teorema de Fermat, tanto la primera como la tercera son incorrectas. Y acabamos con la propuesta de que resolváis este ejercicio que no debería presentar ninguna dificultad si se han entendido los principales conceptos vistos hasta el momento de aritmética modular. Como siempre, en un vídeo anexo os plantearemos una posible solución. Para resolverlo os indicamos que la clave será en utilizar correctamente el teorema de Euler. Con esto tenemos ya todos los ingredientes necesarios para poder resolver los retos que nos proponíamos a principio de semana.