 En fait, par mon activité de recherche en mathématiques, je ressens un goût pour la mécanique plantique. Et du coup, au moment de préparer cette exposé, je me suis demandé si Poincaré avait eu le temps de s'intéresser à la mécanique plantique ou si, et puis, si son, ses travaux avaient influencé l'évolution ultérieure de la mécanique plantique. C'est ce que je vais essayer de raconter, même si je connais pas très bien les aspects physiques qui sont derrière. Alors, Poincaré a écrit deux articles en lien avec la mécanique plantique, sur la théorie des cantas, où en fait, il y a un peu d'exemple, il y a un peu d'exemple Poincaré a écrit deux articles en lien avec la mécanique plantique, sur la théorie des cantas, où en fait, il examine la théorie de planques, du spectre de radiation du corps noir. Mais c'est pas spécialement de ça que je veux parler aujourd'hui. Ce que je vais essayer de raconter, c'est l'influence qu'ont eu les méthodes nouvelles de la mécanique céleste sur les travaux de l'équipe de Born, Eisenberg et Jordan à Göttingen. Travaux qu'on menait à la mise à bas de la mécanique classique et à l'énonciation des règles de la mécanique quantique sous leurs formes matricielles, leurs formes opérateurs. Alors là, j'ai juste rappelé, probablement de manière, j'avais oublié, Yves Pomont m'a déjà fait remarquer que j'avais oublié des choses. J'ai rappelé quelques dates importantes pour les tout débuts de la mécanique quantique. En 1900, c'est l'article de Mads Planck sur le spêtre de rayonnement du corps noir, où il est, pour obtenir la loi du spêtre de rayonnement, il fait l'hypothèse que les fréquences émises par un oscillateur harmonique sont quantifiées. À partir de 1913, Niels Bohr applique des règles de quantification semblables pour calculer le spêtre de certains atomes. En 1925, il y a un article de Heisenberg puis un article de Heisenberg, Bourne et Yandane qui sont vraiment les deux articles fondateurs de la mécanique quantique sous leurs formes opérateurs. Et puis la mécanique ondulatoire. Donc la forme ondulatoire de la mécanique quantique, c'est Schreeninger en 1925. Mais Yves m'a dit de ne pas oublier quand même de Breuil. Voilà, ok, c'est Schreeninger. Désolé, il y aura probablement d'autres oublies du même type. Alors pour préparer cette exposé, j'ai lu deux textes de Mads Born. Je ne vais pas trop parler de l'aspect ondulatoire, je vais surtout parler des travaux de Born et ses collaborateurs. J'ai lu deux textes de Mads Born. Le premier, il date de 1923-1924. Et le deuxième, un an plus tard, 1925-1926. Ils sont qu'ils sont espacés seulement d'un an, mais entre les deux, il y a un monde puisqu'entre les deux est paru le premier article de Heisenberg sur la naissance, sur la version opérateur de la mécanique quantique. Alors le premier texte en fait, c'est une série, c'est des notes de cours basées sur des exposés que Born a fait à Göttingen devant des étudiants. Et le deuxième tel, ce sont aussi des notes de cours donnés aux étudiants du MIT. Donc dans les deux livres, à chaque fois, Born commence par des rappels très détaillés de mécaniques classiques. Il nous rappelle la formulation Lagrangienne à Miltoniane de la mécanique classique. Ensuite, il explique en détail les règles de quantification de Born et comment elles sont appliquées pour calculer le spectre de certains atomes. Ensuite, dans le premier livre, se termine par l'étude de l'atome d'Elium, qui a un problème à trois corps. Il essaie d'appliquer les règles de quantification combinées avec les calculs perturbatifs de la mécanique céleste. Et dans le premier livre, il conclut que ces calculs aboutissent, se conclut par un échec, se termine dans l'impasse. C'est un site, se termine le premier livre, alors que dans le deuxième, il y a toute une partie sur la nouvelle mécanique quantique, les équations de Heisenberg. Donc finalement, c'est l'échec des calculs sur l'atome d'Elium qui a mené à la conclusion qu'il fallait créer une nouvelle mécanique. Et puis à la fin de l'exposer, si j'ai le temps, je parlerai un petit peu de quelque chose qui est plus lié à un thème de recherche, la thématique du chaos quantique, qui est aussi un domaine sur lequel plein de l'ombre de points carrés puisque, comme on l'a entendu hier, ce sont ces travaux sur le problème des trois corps qui ont donné naissance à la théorie du chaos. Donc là, je vais raconter un peu plus en détail le contenu d'une partie de ces deux livres de Borne. Je vais dire ce que sont les règles de quantification de Borne. Je vais dire comment un certain nombre de physiciens ont pu essayer de les appliquer à l'atome d'Elium et comment ils ont conclu un échec de cette approche. Et puis je dirai quelques mots sur les travaux qui ont suivi dans les années, juste après 1926-1927. Alors pour énoncer les règles de quantification de Borne, il y a plusieurs étapes. On commence par écrire les équations du mouvement sous leur forme classique. Donc on part d'un hamiltonien H de Q et de P. Q, ce sont les variables de position, Q1, Q2, QF. Et P, les variables d'impulsion, P1, P2, PF. Donc je prends vraiment les notations de Borne. F, c'est le nombre de drès de liberté. Et puis le mouvement est donné par les équations de Hamilton. Et pour le problème pour les atomes, on utilisait un modèle planétaire, donc des interactions coulombiennes entre les électrons et le noyau. C'est un hamiltonien correspondant à un modèle planétaire. Ensuite, deuxième étape, on cherche à intégrer les équations du mouvement en essayant de trouver des coordonnées actions angles qui seront notées W et J. W1, W2, WF, ce sont les variables d'angle et J1, J2, JF, les variables d'actions. C'est-à-dire ce qu'on veut, c'est qu'on veut que le changement de variable qui a pu P associer W et J, si possible, ce qu'on espère faire, c'est que ce changement de variable transforme le hamiltonien H de Q et de P en une fonction W qui ne dépend plus que de J. Si on arrive à faire ça, les équations du mouvement, elles prennent une forme particulièrement simple, puisqu'on a J. 0, donc J est une constante du mouvement. Et WK. C'est la dérivée de l'énergie par rapport à l'Rangika. C'est une fréquence que je vais noter Nuka. Et donc autrement dit, WK, il évolue de manière affine par rapport au temps. Donc en fait, si on arrive à résoudre les équations sous cette forme-là, ça veut dire qu'on a un espace des phases qui va être feuilleté par les surfaces de niveau J égale constante, qui sont en fait des variétés de dimension F dans un espace de dimension 2F. Et on peut démontrer que pour pouvoir faire ça, il faut supposer que le mouvement est complètement intégrable. Et on peut démontrer, du coup, si les lignes de niveau sont compactes, en fait, ce sont des tords de dimension F. Alors comment on fait pour d'après-bord, comment on fait pour trouver ces coordonnées actions angles ? On cherche une fonction génératrice du changement de variable QP donne WJ. Ça va être une fonction S de Q et de J qui va permettre d'exprimer les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes par ces jeux de relations-là, Pk égale dS sur dQk, Wk égale dS sur dJk. Et ce qu'on cherche, en fait, c'est la fonction grand S qui doit être solution de l'équation de Hamilton-Jacobi. Donc encore une fois, si on veut vraiment trouver une telle fonction F, il faut que le S, il faut que le système soit complètement intégrable. Born nous explique dans certains cas particuliers comment on fait pour résoudre explicitement l'équation de Hamilton-Jacobi. C'est quelque chose qui est un petit peu surprenant, c'est qu'il discute jamais la question de savoir s'il y a une solution globale ou non. Il ne parle pas du tout de ce problème alors que c'est une question qui est importante même pour la mécanique quantique. En général, il n'y a que des solutions locales mais il ne s'occupe pas trop de cette question. Donc on cherche à résoudre cette équation. Il utilise aussi une fonction génératrice duale S étoile qui est maintenant une fonction de Q et de W qui est reliée à grand est par cette formule suivante. C'est S moins la somme des Wk jk et qui permet aussi d'exprimer les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes mais par maintenant les relations ce sont pk égale ds étoiles sur dqk, jk égale moins ds étoiles sur dwk. Avant d'énoncer les règles de quantification, il faut normaliser les coordonnées actuelles parce qu'elles sont pas uniques. Alors ce que demande Borne c'est que d'une part la variable W, j'ai dit que les lignes de niveau jk égale constante ce sont des tors. On va demander que en fait ces tors soient de la forme Rf sur Zf. Et puis on va demander que la fonction génératrice à s'étoile soit une fonction Zf périodique de W. Et sous ces hypothèses, Borne et Hund démontrent le théorème suivant. Supposons qu'on faut supposer que les fréquences nuca sont incommensurables. Ça veut dire qu'il ne doit pas exister de relations linéaires à coefficient entier entre les fréquences. Sous cette hypothèse, alors les coordonnées d'action j1, j2, jf sont définies de manière unique à une transformation linéaire inversible à coefficient entier près. Et ça c'est important pour que les conditions de quantification soient bien définies de manière intrinsèque. Et du coup alors que nous disent les règles de la mécanique quantique en 1924, juste avant l'énoncé des nouvelles règles, et nous disent qu'en fait c'est ce que Borne appelle la version semi-classique de la mécanique quantique. C'est semi-classique, ce n'est pas au sens actuel dans lequel on l'utilise actuellement mais il appelle ça une version semi-classique. Ça mélange à la fois une distribution classique et puis des règles quantiques. Il nous dit qu'en fait le système ne peut vivre que sur certains torts invariants qui forment une famille discrète. Et c'est les torts invariants que le système peut occuper, ils sont justement décrits par des conditions de quantification qui sont de dire que les JK doivent être des multiplentiers de la constante de planques H. Donc le système ne peut occuper qu'une famille discrète de torts invariants et puis quand il échange de l'énergie avec le monde extérieur il peut sauter de manière discontinue d'un torts invariant à un autre. Il a aussi besoin, comme après il veut appliquer cette théorie au problème de l'aérien, il a aussi besoin de traiter des cas dégénérés, donc des cas où les fréquences sont commensurables. Autrement dit il existe une relation entre les fréquences linéaires à clou efficient entier. Donc dans ce cas là en fait par un change, par juste un changement de clor... par application de la transformation linéaire à clou efficient entier sur les clorodonnéations, on peut toujours se ramener au cas où la fonction W ne dépend que des S, petit S, première variable d'action ou S est plus petit que F et donc c'est dérivé par rapport aux variables d'action suivantes sont nulles. Et du coup on suppose par contre que les premières fréquences nulles de nulles S sont incommensurables et donc il y a une version un peu plus généralisée du théorème précédent qui dit que sous ces hypothèses les clorodonné J1, J2, JS sont définis de manière unique à une transformation linéaire, inversible, entière près. Et dans ce cas là on a affaire à des conditions de quantification dégénérées. Il n'y en a plus que S au lieu d'en avoir F. On dit que les J1, J2 jusqu'à Js doivent être des multiplentiers de la constante de Planck. Alors après, Born traite le cas de très en détail le cas d'un mouvement à force centrale. Donc il fait vraiment tous les calculs explicites dans le cas où le Hamiltonien c'est la forme énergie cinétique plus un potentiel ne dépendant que de la distance à l'origine. Il ne peut pas forcément ne clépler rien a priori. C'est juste une force centrale. Donc il se place en clorodonné sphérique. Il y a un plan horizontal choisi de manière quelconque. Et puis il fait tous les calculs, il résout l'équation de Hamilton-Jacobi et il calcule les clorodonné actions angles auxquels on peut appliquer les conditions de quantification. Alors qu'est-ce qu'il obtient ? Donc il y a les variables d'action, c'est J1, J2, J3. Il obtient pour J3 la composante verticale du moment angulaire. Il obtient pour J2 le moment angulaire total. Et puis J1, c'est une quantité qui est un peu moins explicite mais qui dépend aussi de l'énergie. Et ce qui montre, c'est que quand on a un potentiel central, l'énergie W, elle s'exprime uniquement en fonction de J1 et de J2. Elle ne dépend jamais de J3. Donc il y a déjà toujours une dégénérescence. Et puis que sont les variables d'angles associés ? Alors W3, du coup W3, c'est une constante du mouvement puisque l'énergie ne dépend pas de J3. W3, je ne suis pas là. Alors ça c'est l'origine. Si on prend le vecteur vitesse, le plan contenant l'origine et le vecteur vitesse, il va couper le plan horizontal selon une droite. Et W3, c'est la longitude de cette droite. Donc le fait que W3 est constante, on retrouve le fait bien connu que le mouvement est dans un plan. Ensuite, qu'est-ce que c'est que W2 ? Maintenant, si on se place dans le plan du mouvement, dans le plan du mouvement, je vais appeler phi, la variable angulaire. W2, il montre que c'est de la forme psi plus une fonction de J1, J2 et R, la distance à l'origine. C'est-à-dire qu'en fait, si on regarde, j'arrive jamais à bien faire ce dessin. Donc si on se place dans le plan du mouvement et qu'on a en tête une petite perturbation du mouvement cléplairien, il faut imaginer une rosace qui est en fait comme une ellipse qui tourne. Et ce que dit cette équation, c'est que si le fait que W2 varie de manière à vitesse constante, ça nous dit que sur la trajectoire, si on regarde les points qui sont tous à même distance de l'origine, donc on regarde R fixé. Par exemple, on regarde le périlie, les points les plus proches. Bon, c'est ça que j'arrive jamais à dessiner. Les points, on peut regarder aussi le point le plus loin. En fait, le périlie tourne à vitesse constante avec la fréquence de précession nu 2 justement. Donc W2, ça correspond à la précession du périlie. Et puis finalement, le W1, le W1, toujours dans ce plan, c'est l'air balayé par le mouvement. Donc le fait que W1 varie de manière linéaire, c'est qu'on retrouve la loi désert. Et du coup, pour un mouvement à force centrale, on a au plus deux conditions de quantification. Si on applique les règles de quantification, J1 égale un entier fois la constante de Planck et J2 égale un entier fois la constante de Planck. N, c'est ce qui s'appelle le nombre quantique principal, qui correspond à la quantification de l'énergie. Et K, c'est le nombre quantique secondaire qui correspond à la quantification du moment annulaire. Après, dans le cas particulier keplerien, il y a une dégénérescence de plus. Donc le cas keplerien, c'est U2R égale une constante sur R au carré. C'est un cas encore plus dégénéré puisque dans ce cas-là, le calcul montre que W, ça s'exprie comme une constante sur J1 au carré. Donc W ne dépend pas de J2 dans ce cas-là. C'est un cas dégénéré où il y a une seule condition de quantification. On écrit simplement que J1 égale à nage. Ce qui nous permet de calculer les niveaux d'énergie quantifiés. C'est une constante sur H carré et N carré. C'est moins. Ça dépend. Et là, il y a peut-être un moins aussi, si c'est positif. Donc en appliquant ces règles que Bork calculait le spectre d'énergie de l'atombe d'hydrogène, c'est ce qui a fait le succès de cette théorie. Ça marchait bien aussi. Pour tous les systèmes, un électron, ça marche bien. Donc Lyon et Lyon plus, ça marche bien. Et apparemment, en théorie aussi, lithium plus plus. Cette théorie, elle permettait aussi, bon ça, je répète ce que dit Born, elle permettait aussi d'expliquer de manière satisfaisante le spectre des métaux alcalins qui sont la première colonne de la classification périodique. Parce que pour ces éléments-là, apparemment pour les éléments de la première colonne, on peut expliquer le spectre en considérant qu'il y a un électron et de sterne qui se met dans le champ moyen, dans la force centrale moyenne créée par tous les autres électrons et le noyau. Donc du coup, c'est plus une force plérienne, mais c'est un modèle où le U2R, c'est moins c1 sur R, moins c2 sur R2, il y a un développement comme ça. Donc en général, dès qu'il y a un terme supplémentaire, la deuxième dégénérescent s'est levée. Et puis ça donne, pour en appliquer les conditions de quantification, ça donne des formules qui s'appellent formules de Riedberg-Ritz ou les niveaux d'énergie. C'est une petite correction à cette formule-là. C'est la même constante sur h2n plus delta au carré et delta, on l'exprime comme un développement, delta on l'exprime en fonction de k et de n, les deux nombres quantiques sous forme d'un développement asymptotique et on voit que delta est d'autant plus petit que petit k est grand, donc que g2 est grand. Donc plus g2 est grand, plus on se rapproche du modèle qui n'est plus rien. Et apparemment ça marchait bien pour un certain nombre d'atomes. Il y avait quand même plusieurs questions fondamentales non résolues au moment où Born écrit son premier livre. D'une part, la question de la multiplicité des Ries observées expérimentalement. Quand on regarde l'ospect des atomes, il y a certaines Ries. Si on regarde de plus près, elles sont multiples. Il fallait expliquer ces multiplicités. Alors une idée, c'est d'introduire une petite déviation par rapport au modèle de champ central, ce qui a pour effet de lever toutes les dégénérescences, donc de rajouter des conditions de quantification et donc de faire apparaître des multiplicités. Mais en fait, les multiplicités qu'on obtient de cette manière-là, ça ne concordait pas forcément avec l'expérience. Donc Born en 1925, il avait donné une règle un peu ad hoc qui servait à prédire quelles allait être les multiplicités. Mais Born n'aime pas trop apparemment cette règle. Il a qualifié de cabalistique. Une autre question importante, c'était de comprendre comment les électrons se répartissaient par niveau d'énergie puisqu'on observait qu'il y avait l'air d'avoir un nombre maximal d'électrons autorisés par couche d'énergie. Et ça, ça a été aussi les débuts d'explication. L'introduction d'un quatrième nombre quantique, le SPIN, à partir de 24-25, donc par Paoli, Lootsmith et Ullunbeck. Donc là, on est début 1925 et d'après Born, la théorie semi-classique, elle a atteint ses limites. On ne peut pas aller plus loin et la preuve, c'est que ça échoue complètement pour l'atome d'Helium qui suit l'atome d'hydrogène dans la classification périodique. Alors qu'est-ce qu'on essayait de faire ? Quels sont les calculs que les gens essayaient de faire sur l'atome d'Helium ? Un atome d'Helium, c'est un noyau avec deux charges. Alors on ne s'occupe pas trop de ce qu'il y a dans le noyau. Et puis deux électrons avec deux charges négatives. Donc par rapport au problème planétaire, évidemment, il y a répulsion entre les deux électrons. Alors on peut déjà dire, a priori, on peut déjà dire, comme c'est un problème qui n'est pas complètement intégrable, les règles de quantification, la méthode précédente ne s'applique pas et puis on aurait pu s'arrêter là et dire, ça marche pas. C'est déjà ce que dit, il y a un article d'Einstein qui date de 1917 où il fait cette remarque. En fait, c'est un article où le but principal de cet article, c'est dénoncer de manière correcte les règles de quantification pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté parce qu'apparemment il y avait une version évidemment incorrecte qui circulait et donc le but pour lui, c'est de rétablir une version qui a un sens, qui a un trinsel. Mais à un moment, il fait cette remarque. Il dit, s'il existe moins de L intégrale du mouvement, comme cela a été démontré par Poincaré pour le problème des trois corps. Alors les variables PI ne peuvent pas s'exprimer en fonction des QI, c'est comme ça qu'il dit, ce n'est pas complètement intégrable et les règles de quantification sont en défaut, même dans la forme un peu plus générale que j'ai donnée ici. Donc on savait déjà, grâce à Poincaré, qu'il n'y avait pas de chance, ça ne serait pas possible d'appliquer de manière exacte cette méthode. Cependant, on a quand même essayé, il y a eu quand même un espoir d'utiliser les développements perturbatifs, qu'avait l'habitude d'utiliser les astronomes et en particulier qui avaient été complètement clarifiés par Poincaré dans l'espoir d'obtenir des formules approchées pour le spectre, donc des formules qui seraient au moins utiles pour des applications numériques. Donc qu'est-ce qu'on a essayé de faire les gens ? Là je vais d'abord parler de l'état fondamental de l'Elium, ce sont les travaux dont il y a Borg, c'est surtout Borg qui a travaillé sur l'état fondamental. Donc quelle est l'idée ? On écrit le Hamiltonian, donc ce premier terme là, c'est simplement l'interaction clépelérienne entre chacun des deux électrons. J'ai écrit les choses par rapport aux variables d'action, donc ce sont les interactions clépelériennes entre les électrons et le noyau, et puis il y a un terme qui s'y rajoute, qui est la répulsion entre les deux électrons, donc qui est en E² sur la distance entre les deux électrons. Et puis on a envie de dire que ce deuxième terme, c'est une perturbation du premier, donc on écrit que ce Hamiltonian c'est H0 plus lambda fo H1, et puis l'idée de la théorie perturbative, c'est de chercher la solution de l'équation de Hamilton Jacobi sous forme d'un développement en puissance de lambda, et donc quand on met S0 plus lambda S1 plus lambda carré S2, etc., quand on injecte cette formule dans l'équation de Hamilton Jacobi mais on trouve des conditions sur les assis et qu'on peut résoudre. C'était ça l'idée. Alors évidemment, on peut tout de suite penser que c'est un peu farfelu d'essayer de faire ça comme ça parce que dans le cas de l'atome d'Elium, ce terme-là, il n'est pas du tout petit devant les autres, il est vraiment du même ordre de grandeur. Mais si on veut résumer ce qu'on essaie de faire, ce qu'on essaie de faire les physiciens, ils ont dit bon, on va faire comme si ce terme-là était une petite perturbation des deux autres. On va calculer, ils ont fait en plus les calculs à l'ordre 1 ou maximum 2 parce que c'est très lourd à faire à la main. On va calculer la solution approchée de l'équation de Hamilton Jacobi en faisant comme si lambda était petit. Ensuite, il se trouve que si on applique les règles de quantification au système perturbé pour lambda petit, on voit que les règles de quantification, elles sélectionnent un état fondamental très particulier. C'est ça qui est l'état fondamental de l'atome d'Elium. Ensuite, l'étape qui est un peu douteuse, c'est qu'ils font comme si ce calcul marchait aussi pour lambda plus grand. Mais ils savent très bien de ces séries, par exemple, ne convergent pas parce qu'ils citent alors ce qu'ils frappent, c'est que vraiment Borne, il a lu les méthodes nouvelles de la mécanique céleste très en détail. Il cite point carré sans arrêt et il sait très bien que la série ne converge pas. Il dit quand même qu'en astronomie, même si la série ne converge pas, on sait que ça peut être utile pour faire des calculs numériques parce qu'on peut tronquer. En général, ça marche bien de point de vue numérique, donc il a l'espoir que ça va aussi donner de bonnes applications numériques pour l'atome d'Elium. Alors moi en disant ça, au début j'ai trouvé ça un petit peu farfelu parce qu'il fait le calcul à l'ordre 1 et donc on ne sait pas trop si ça a une chance de donner un bon résultat. Par contre, après l'exposé de Rick Mökel qui nous a montré qu'en fait ça pouvait être très dur numériquement de faire la différence entre un système complètement intégrable et un système un peu chaotique. Finalement je me dis que c'était peut-être pas si farfelu de ça d'essayer au moins pour voir si ça marchait. Alors il fait les calculs très en détail en citant toujours. Alors ce qu'on sait c'est que la méthode perturbative pour l'appliquer, le cas le plus simple c'est si les fréquences sont... Il y a des problèmes qui apparaissent quand les fréquences sont commensurables, ce qui est le cas ici, donc il y a tout un tas de difficultés techniques à surmonter et le fait en citant à chaque fois un passage des méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Il y a déjà ce qu'il appelle une dégénérescence intrinsèque qui vient du fait que le Hamiltonian non perturbé ne dépend que de J1. Donc il y a les fréquences nu 2 et nu 3 des deux électrons qui sont toutes égales à zéro. Premier problème à traiter. Il y a aussi ce qu'il appelle dégénérescence accidentelle qui vient du fait que quand on impose des conditions de quantification sur J1, les fréquences associées vont être forcément commensurables puisque les fréquences associées, c'est la dérivée de la 0 par rapport à J1. Donc ça va être en une constante sur J1 au cube et puis la même chose pour nu 1, donc du coup les deux fréquences des deux électrons nu 1 sur nu 1 c'est, ça va être n au cube sur n' au cube. Donc ça c'est une dégénérescence accidentelle qui vient du, ah oui j'ai oublié quand même de dire quelque chose, c'est que pour calculer l'état fondamental, il suppose qu'avant perturbation, l'état fondamental il va être donné par les nombres quantiques n égale 1, k égale 1, n prime égale 1, k prime égale 1 pour les deux électrons. Donc ça géométriquement, ce que ça veut dire en particulier le fait que comme n et k sont égaux, on a J1 égale J2 et si on, un petit calcul montre que ça veut dire qu'on est dans un cas où les deux atomes ont des orbites circulaires. Donc on va partir d'une situation où les deux atomes, des deux électrons ont des orbites circulaires comme état n'ont perturbé. Bon c'est pas très bien dessiné, c'est en perspective. Et ça ça donne une dégénérescence supplémentaire puisque en fait le cas J1 égale J2, ça veut dire qu'on a des orbites circulaires donc des ellipses dégénérées, ça veut dire qu'on est à un endroit où le feuilletage en tord l'agranger un variant est dégénéré. Et ça c'est aussi, alors en fait ces trois problèmes sont à chaque fois traités dans un chapitre des méthodes nouvelles qui est cité avec précision par Born. Donc il fait le calcul que je ne vous fais pas devant vous et il montre que les conditions de quantification appliqués au système perturbé à l'ordre 1, elle montre que l'état fondamental il est l'un des quatre suivants dont deux en fait, il y en a deux qui considèrent que l'on est en impossible physiquement. Soit en fait les deux cercles sont coplanaires et les deux électrons tournent en sens inverse mais ça il dit c'est pas possible physiquement parce qu'il y aurait une collision entre les deux électrons. Donc ça il l'élimine. Soit les deux orbites circulaires sont coplanaires avec les deux électrons diamétralement opposés et tournant dans le même sens. Donc ça c'est un état fondamental, c'est la représentation plane de l'atome d'Elium où haute possibilité c'est le cas justement où il y a deux orbites circulaires comme ça qui font un angle de 60 degrés et puis alors soit les deux électrons passent ici au même moment mais ça il dit c'est pas possible parce qu'il y aurait une collision entre les électrons et haute possibilité il passe simultanément pendant que l'un passe ici l'autre passe là. Donc finalement il y a une représentation plane de l'atome d'Elium et une représentation spatiale. Il fait le calcul de l'énergie de ces états toujours à l'ordre 1 perturbatif où je crois que Kramer se l'a fait à l'ordre 2 et il compare cette énergie avec l'énergie de l'état fondamental de Lyon et Lyon plus on sait le calculer parce que c'est un système à un électron il dit que la différence entre les deux c'est l'énergie d'ionisation de l'électron c'est l'énergie nécessaire à éjecter un électron il compare ça aux données expérimentales et ça marche pas du tout et il publie un article enfin bord publie un article pour dire que ça marche pas. C'est ça que j'aime bien c'est qu'à chaque fois ils ont publié des articles pour dire que ça ne marchait pas avec tous les calculs détaillés. Après il y a un article alors ça c'était les travaux de bord sur l'atome d'Elium il y a un article de Born et Eisenberg sur les états excités je vais essayer de passer un peu moins de temps il regarde des états excités ou maintenant donc ça c'est toujours le noyau il y a un électron qui est dans son état fondamental donc n'ombres quantiques n égal un qu'à égal un et puis il y a un autre électron qui est très loin et il faut une approximation qui est inspirée de la méthode des perturbations séculaires ils disent qu'en fait l'électron est externe il se meut dans un il est soumis à un milletonien qui est obtenu en moyennant la force créée par ce système sur une période et du coup il calcule en fait les niveaux d'énergie de l'électron externe pour que ça lui donne une formule encore de type Riedberg-Ritz et à nouveau ça ne compte pas du tout avec les résultats expérimentaux donc conclusion il dit alors on est arrivé dans une impasse il faut inventer une nouvelle mécanique et c'est ce que fait il y a d'abord un article de Eisenberg en 1925 il a écrit il avait 24 ans et il dit voilà je vais inventer je vais inventer des nouvelles règles pour les étoissions de la mécanique et juste je donne je donne un petit peu l'idée il dit que dans la description classique une une observable donc c'est une c'est une autre une fonction sur l'espace des phases si on l'écrit en coordonnée action angle comme c'est une fonction périodique de W elle a un développement en série de fourriers somme des cm de j exponentiel de zp m scalaire w et puis si on l'air maintenant comment une observable évolue dans le temps comme w ça varie de manière linéaire en temps en w c'est nu nu foité ou nu c'est le vecteur des fréquences de dw sur dj et puis dans la théorie classique du rayonnement en fait le système il émettait un rayonnement de toutes les fréquences m scalaire nu mais ça en fait pour les atomes on savait que les fréquences émises c'était pas donnée par cette formule les fréquences émises on savait que elles étaient données par la formule grand w indice à moins donc on fait le grand w indice à moins grand w indice m2 donc la différence d'énergie entre deux états stationnaires divisé par la constante de planque donc ce que dit en fait aizenberg c'est du coup on a qu'à dire qu'une observable c'est une collection de co-efficience un petit peu pour faire quelque chose d'analogue à la formule précédente une observable maintenant ça va être une collection de co-efficience indécée par les couples des stades d'état stationnaire et qui évolue dans le temps selon cette formule et puis il écrit il écrit comment on additionne des observables comment multiplie des observables apparemment il connaissait pas les matrices c'est écrit tout c'est c'est borne et Jordan qui dans l'article après lui ont dit que c'était des matrices en fait et puis il invente une nouvelle des nouvelles lois de la mécanique où le crochet de poisson est remplacé par le crochet des observables et dans ce et dans dans pour dans cette nouvelle mécanique en fait intégrer les équations du mouvement il montre que ça revient à savoir diagonaliser l'opérateur l'observable à mille tonnes et puis l'année d'après en fait il fait les calculs pour les systèmes à deux électrons donc l'atome des liens mais lions l'itium plus c'est donc qui calcule le spectre il fait des calculs de spectre ça à nouveau c'est des calculs approchés parce qu'un spectre ça peut parce que ça peut rarement se calculer de manière exacte et ce qui dit c'est que les résultats qu'il obtient ils sont bons qualitativement mais médiocre quantitativement que donc il faudra trouver des meilleures méthodes d'approximation enfin il est il a même l'air content de donc c'est la naissance de la version opérateur de la mécanique quantique alors depuis hier on a on s'est souvent de poser la question choré pensée point carré choré dit point carré s'il avait vu ceci ou cela là je crois que on peut rêver un petit peu à imaginer ce choré dit point carré en voyant les calculs perturbatifs qui ont été fait par les physiciens je sais pas du tout mais il aurait certainement eu son mot à dire il aurait peut-être tiré des conclusions complètement différentes de ce qu'a fait aisenberg mais en tout cas même si l'utilisation qui a été faite des méthodes perturbatifs et pas complètement dans les rails de la rigueur on peut quand même dire que c'est le genre d'utilisation qui était escompté par point carré puisque dans les méthodes nouvelles il commence par dire qu'on pourra y trouver un terrain solide sur lequel on pourra s'appuyer avec confiance et ce sera là un avantage précieux dans toutes les recherches même dans celle où on ne sera pas astreint à la même rigueur donc je pense qu'effectivement s'il n'y avait pas eu une base saine pour la mécanique céleste les physiciens des années 20 aurait pas pu s'en servir comme terrain d'exploration pour l'atome bon alors j'ai pas énormément de temps je vais dire quelques mots donc en fait c'est un sujet j'ai découvert j'ai découvert ce lien entre la mécanique céleste et la mécanique atomique cet été en préparant cette exposé mais ça me tient à coeur parce que je travaille depuis quelques années sur la thématique du chaos quantique alors qu'est ce que c'est le chaos quantique là ce que j'ai expliqué finalement ça montre que la mécanique quantique elle est plutôt née de la nécessité de comprendre des systèmes complètement intégrables ou des perturbations de systèmes intégrables mais on peut se demander ce qu'on peut dire intéressant sur l'espectre des Hamiltoniens qui au contraire sont chaotiques et souvent faire monter cette question au même article d'Einstein que j'ai déjà cité précédemment ou donc il dit il dit que les règles de quantification ne marchent seulement pour les systèmes complètement intégrables et il fait la remarque au milieu de l'article qu'en particulier elle ne s'applique pas au système de la mécanique statistique pour lequel la moyenne microcanonique est égale à la moyenne temporelle donc il parle c'est ce qu'on appelle je pense un système ergotique maintenant donc souvent on dit que c'est cette remarque qui est le début de la question du chaos quantique c'est un sujet qui a quand même dormi pendant pas mal d'années ensuite alors juste là j'écris quelques dates c'est finalement ce sujet il a pris son effort dans les années 60 et une étape importante ça a été l'introduction par Wibner en 55 de la théorie des grandes matrices aléatoires pour décrire à l'époque c'était pour essayer d'écrire la statistique spectrale des gros noyaux c'était pas des modèles atomiques c'était les noyaux donc l'idée c'est que quand on a un noyau avec énormément de protons et de neutrons de façon on n'arrivera jamais à diagonaliser de la miltonien donc on va plutôt dire que c'est le miltonien c'est une grande matrice aléatoire et puis faire une analyse statistique en 1960 porteur et rosenz five ils ont fait justement une ils ont ils ont fait une analyse statistique du spectre d'un assez grand nombre d'atomes et ce qu'ils ont vu c'est qu'il y avait certains atomes où c'est de ça se comportait plutôt comme un processus de poisson d'autres atomes pour lequel le spectre ressemble effectivement à celui d'une grande matrice aléatoire glossienne donc le modèle de Wibner puis à certains atomes pour lequel c'est ni l'un ni l'autre c'est un peu intermédiaire en 73 il y a un article de percival qui émet l'idée que quand on part d'un miltonien classique et qu'on lui associe un opérateur à miltonien quantique il devrait y a le spectre il devra avoir une allure différente selon qu'on part d'un système complètement intégrable ou d'un système chaotique et à partir de 1979 il y a les premières simulations numériques sur les billards chaotiques donc un billard c'est simplement je vais dessiner le billard en forme de stade un billard c'est le mouvement libre d'une particule dans un domaine euclidien avec rebond sur le bord alors ça c'est le système classique et puis le miltonien qui est associé d'après la représentation de Schrödinger c'est simplement le laplacien donc ces travaux numériques en fait à partir de 1979 il porte sur le spectre du laplacien pour des billards ergotides donc le billard de boonimovich et puis il y a aussi beaucoup de simulations sur le billard de sinaye et puis il y a aussi des travaux un peu plus expérimentaux à partir de 84 sur l'atome d'hydrogène dans un l'atome d'hydrogène dans un fort champ magnétique où on pense que si le champ magnétique est suffisamment fort en fait il y a une grande partie de l'espace des phases qui est occupé par un comportement chaotique et ces simulations numériques et ces expériences elles ont conclu elles ont mené à deux conjectures qui sont largement ouvertes alors que dit ces conjectures là c'est une ce qui est représenté là c'est une fonction de comptage d'un spectre donc c'est une fonction en escaliers qui croit d'une unité à chaque fois qu'on rencontre une valeur propre donc il y a un espèce il y a un comportement moyen là qui est décrit là qui est d'une manière de manière théorique où est souvent expliqué en appliquant la loi de veille et puis il y a des fluctuations par rapport à ce comportement moyen et les deux conjectures il y a d'une part la conjecture de béry est à bord en 77 qui dit que si on part d'un système complètement intégrable le spectre les fluctuations spectrales devraient être statistiquement les mêmes que celle d'un processus de poisson et puis la conjecture de boygas janonie et schmitte en 84 qui dit que au contraire si on part d'un système chaotique les fluctuations spectrales devraient être statistiquement les mêmes que celle d'une grande matrice aléatoire laussienne alors c'est bon c'est des conjectures essentiellement ouvertes sur la première il y a quand même des travaux mathématiques qui date des années 2000 qui concerne le laplacien sur le tort du travaux de sarnac et skin margoulis moses et marclove la deuxième conjecture il n'y a pas du tout d'explication mathématique il y a des explications heuristiques à partir de la formule des traces bon puis je crois que je vais devoir accélérer un petit peu moi je travaille plutôt je travaille sur les fonctions propres essayez de comprendre ce qui est un peu illustré par ce dessin essayez de comprendre la localisation spatiale des fonctions propres selon le cas où on est dans un part d'un système complètement intégrable ou d'un système chaotique alors c'est un je vais sauter ça c'est un domaine c'est un domaine dans lequel on interagit pas mal avec des physiciens alors c'est beaucoup source d'inspiration c'est aussi un petit peu source de frustration parce qu'on parle pas toujours la même langue et j'ai été en fait j'étais pour revenir aux textes de borne j'ai bien aimé ça sur les quasiment les dernières phrases du livre et qui montre en fait ce que frappant en lisant borne c'est qu'il y a vraiment une confiance en les mathématiques déjà c'est un texte très très lisible par des mathématiciens et puis il cite sans arrêt les références de point carré il donne des preuves mathématiques et puis il esprime une confiance en le rôle des mathémates l'interaction entre les maths et la physique donc la phrase est la suivante dans le développement ultérieur de la nouvelle théorie clantique le physicien ne peut pas se passer de l'aide du mathématicien l'alliance entre mathématiques et physique qui a araigné aux meilleures époques de ces deux sciences reviendra je l'espère pour bannir le nuage mystique dans le dans lequel la physique c'est nimbé c'est récemment et puis il y a quand même pour être honnête il y a aussi une phrase un peu de mise en garde à l'encontre des mathématiciens cependant l'activité du mathématicien ne doit pas le mener aussi loin que dans la théorie de la relativité où la clarté de son raisonnement en est venue à être cachée par une structure de pure spéculation si vaste qu'il est impossible de l'avoir dans sa totalité ça c'est quasiment c'est les dernières phrases du livre il dit après qu'il faut toujours que ça reste confronté au fait que l'interaction entre les maths et la physique doit toujours rester confronté au fait voilà je vais m'arrêter là merci beaucoup question remarque sorry you see that among the possible candidates for ground state some some board has excluded for physical reasons because the electrons would collide and so on but imagine that but did he and then for those who are left he made the computation and said it doesn't work but he for those he made he did not make the computations because no it would be interesting whether if you forget that by now by our nowadays intuition that electrons do not collide whether he had eliminated something that could work or yeah I don't I think he did not make the computation for for this one and for and for the one where they there's something I didn't quite understand I don't understand how you can correctly quantify a chaotic system while using the assumption well in Heisenberg's model while using the assumption that the observable is decomposable as a Fourier series no it's just he didn't assume he I think that just the way he got the intuition of the new of the new of the new notion of observable here he said I'm not saying he was assuming that the system was completely intellable or so he just started from this formula and because he knew in in in the classical theory of radiation apparently the emitted frequencies were this one and still anew but he knew that was not the correct formula that was the one so he just said let us replace Fourier coefficient by coefficient index by 2 indices but I think that just how we got the inspiration is not saying that the first one was a correct formula and then he replaced he said in in the old version if you multiply to observable you get the convolution of Fourier coefficient and if you replace the convolution operation by product of matrices etc. but that was just a source of a he was trying to keep a close analogy to to the old theory no questions il parle pas énormément de breuille il parle il parle de Schrödinger mais il parle pas c'est d'ailleurs pour ça que j'ai oublié que il parle pas beaucoup j'ai pas vu le nombre de breuille dans dans ce que j'ai lu j'ai pas lu les livres en entier mais dans ce que j'ai lu il parle de Schrödinger sans rentrer du tout dans le détail mais il parle pas de c'est possible qu'il le cite au passage comme ça mais il rentre pas du tout vous avez posé la question de savoir ce point carré aurait pensé de ça question très intéressante et il y a peut-être une réponse partielle par anticipation dans un dans un article de point carré où il fait un peu l'état de la physique et il parle donc des formules qui ont été obtenues pour le spectre de l'hydrogène et d'autres et il dit bon ces formules l'a font penser aux spectres que l'on obtient dans des problèmes plus classiques celui du laplacien par exemple mais il oui mais il dit ils ont une caractéristique très différente au lieu de que les valeurs propres sont s'éloignent à l'infini en fait elle s'accumule sur une une valeur finie et donc il dit il faudrait trouver le système vibratoire qui va conduire à un tel spectre et la réponse à cette question en fait était donnée non pas par enfin directement plus directement par Schrödinger qui a justement trouvé l'équation des riviers partiels et le fait de les considérer sur tout l'espace qui conduit justement alors à ce type de spectre donc peut-être mais c'est conjectural il aurait préféré Schrödinger à Heisenberg il faudra peut-être s'asseoir un soir autour d'une table ronde et puis invoquer l'esprit de point carré so let us thank again the speaker