 Merci beaucoup pour l'invitation à cette conférence. Je suis très heureux et heureux d'y parler à l'honneur de Maxime Konsevich. Nous allons parler des interactions entre deux sujets, la quantité de déformation et la géométrie de l'héraide. Pour les deux sujets, nous savons que nous connaissons l'influence de Maxime Konsevich. Pour commencer, let's mentionner que c'est un joint-work avec plusieurs collaborateurs, Tony Pantef, Michel Vacchier et Gabrielle Elevidzozzi. Et plus recentement, Damien Calac. Et le but principal de ce talk est de donner un overview de la construction de la quantité de déformation pour ce qu'on appelle le shift de sainte-pactique ou des constructeurs. Ce sera expliqué dans le talk un petit peu plus tard. Et peut-être que je voudrais mentionner que l'importance corollaire de cette construction est l'existence de la quantité de déformation de la quantité de sainte-pactique où la quantité de sainte-pactique est un espace modulé certaine de la quantité de sainte-pactique mais considérée comme un espace modulé donc une grande partie de ce talk sera concernée par la définition de cette quantité ou au moins donner quelques idées sur ce qu'est cet objectif. Et plus importantement, la quantité de sainte-pactique va être d'une dimension arbitraire. Et c'est la cause de l'introduction de ce shift ici de prendre en compte le facteur que la quantité de sainte-pactique peut être d'une dimension arbitraire. Donc, quelques références où peut-être que je peux garder ce slide très rapidement. Il y a un papier où ces structures de sainte-pactique sont définies et étudies. Et il y a deux préprints où la plupart des contenus de ce talk ici, vous trouverez des détails sur le contenu de ce talk. Et il y a un travail en progrès sur les structures de shift qui contiendront les détails de ce talk, les détails compliqués. Et ici, en progrès, je dois admettre que j'ai moins de standards qu'un déni sur ce qu'en progrès veut dire. Nous n'avons pas commencé à écrire. Mais c'est en progrès dans le sens que nous pensons que les maths sont faits. Et nous sommes très motivés à commencer à écrire. Bien sûr. Ok, donc je vais commencer avec un autre point de vue de la quantisation de déformations pour les manifolds qui seront généralisés plus tard. Donc, nous allons commencer avec les fédos de quantisation ou, au moins, c'est ce que les gens parlent de fédos de quantisation. Donc, je vais commencer avec une manifolde de smooth algebraique. Et Omega est une formule de sainte-pactique. Ici, tout est allé à l'algebraique. Donc, ce n'est pas même complexe à l'algebraique. C'est à l'algebraique sur un fil de caractéristique 0. Donc, je ne vais jamais mentionner n'importe quel argument transcendant ou analytique. Alors, basé sur les idées fondamentales des fédos, je pense que Bessard Kavnickov et Kaledin ont construit une quantisation canonique de cette perte, X Omega, où c'est réalisé comme une formule de déformation de la catégorie de la cohérentie ou de la cohérentie de quasi-cohérentie sur X. Et les deux importants des propriétés de cette construction, c'est d'abord l'algebraique. Donc, comme je l'ai dit, ce n'est pas référent à n'importe quelle machine analytique ou n'importe quoi. Il fonctionne sur un fil de caractéristique 0. Et aussi, c'est basé sur la géométrie formule et, en particulier, la formule d'Arboulemma. On verra un peu plus tard que c'est une partie importante pour ce que je vais dire aujourd'hui. Et la stratégie de la construction de cette quantisation, peut-être, je peux expliquer très rapidement. Peut-être que la Mac peut me correcter si je dis quelque chose d'accord. Donc, d'abord, tu commences à un point X et tu regardes la quantisation de la complétation formule. Donc, je prends cette haine de X, ici, c'est la complétation formule de ma variété à petit X. Et je peux quantiser cette complétation formule parce que la quantisation, ici, est réalisée comme la catégorie de modules sur des algebras viles avec respect à juste la formule symplectique sur le espace de tension. Et puis, la partie importante du travail est de coller ces constructions locales. Et pour cela, il y a un outil qui s'appelle la connexion de grottin. Au moins, j'ai vu que c'est ce qui s'appelle la connexion de grottin. Peut-être, il y a aussi des noms. Et c'est un outil pour dire comment ces familles de complétation formule varient quand X varient à X. Et pour coller ces catégories locales, qui sont des modules sur les algebras viles, ici. Et peut-être un comment important est que les algebras viles ne se collent pas, mais les catégories des modules sont aussi. Donc, c'est quelque chose que vous ne pouvez pas vraiment imaginer l'existence dans l'algebraique. Au moins, l'existence de la quantisation de déformation sur les niveaux de fonction mais seulement sur les niveaux de catégories des modules. Cela expliquerait pourquoi, plus tard, quand je vais essayer de généraliser cela, je vais toujours considérer que la quantisation a des catégories déformées et pas seulement les algebras déformées. Il y a une autre quantisation déformation qui est la quantisation déformation du poisson manifold. Donc, je commence avec une variété algebraique et j'ai un poisson structure algebraique en X. Et quand je vous prouve que P peut être utilisé pour déformer ou déformer les catégories de l'algebraique et de l'algebraique en X. Et de nouveau, c'est la construction de l'algebraique. Et c'est basé sur le thème de la formule formalité qui a une grande quantité dont je ne veux pas comprendre toutes les subtletés de cette quantité et peut-être que je vais évoquer ce que je referai dans ce talk. Je vais mentionner des généralisations mais qui sont des genres de généralisation de ces thèmes-là. Ok, donc notre goal est d'extender ces deux constructions pour le cas où l'algebraique n'est plus une smooth scheme. Donc, on veut des objectifs plus générales. Et peut-être que ce sera un objectif très stacé. C'est un objectif comme un orbeffold où les points ont de grands stabilisateurs et ces stabilisateurs peuvent être non-localement constants, la dimension peut se tromper, etc. Donc, ils vont être un objectif très stacé. Et ils vont aussi être très dérives. Donc, c'est quelque chose que je vais expliquer dans une minute. C'est-à-dire qu'ils sont très loin d'être smooths de la variété parce qu'ils sont très singulaires mais ils viennent avec un extra structure qui ressemble à un structure non-radio qui les rend un peu plus close à être smooth schemes que ce qu'ils ressemblent à. Une autre généralisation est que cette structure symplactique ou la structure poisson peut être shiftée dans un moyen qui va définir plus tard, mais l'idée est qu'à l'aide d'un isomorphisme entre le tangent-chif et le cotangent-chif de la variété X, nous avons un isomorphisme entre le tangent-complex et parce que c'est stacé ici et qu'il est dérivé ici, ce sera un complexe de vector spaces ou un complexe de chiffres de vector spaces. Nous allons avoir une identification entre le complexe tangent-complex et le complexe cotangent-complex avec un shift ici. Et n peut être qu'une entreprise nous verrons qu'elle est relative à la dimension quand nous allons appeler ces deux g-benders dans un espace. Il a une relation avec la dimension de l'espace. Ok, donc ce genre d'exemples que nous avons en mind pour X qui motivate cet esprit. La première, c'est le modulaire stac des systèmes locaux sur les espaces de dimension habituelle. Je pense que je l'ai déjà mentionné au début. Donc, bien sûr, l'exemple emblématique est des systèmes locaux sur les surfaces compactes mais nous voulons exercer peut-être deux ou trois surfaces de dimension ou de dimension de dimension en haut. Et déjà pour surfaces compactes où le shift que nous verrons est 0, ces espaces viennent déjà avec des structures et des structures de stock qui doivent être utilisées en compte. Donc, même quand le shift est un truc d'adaptation, c'est quelque chose d'intéressant. Un autre exemple est le modulaire stac de objectifs compacts dans le category Cattlebia O D G. Donc, c'est possible qu'il faut être la version non commutative d'un exemple en un, donc c'est possible que les categories de Cattlebia O peuvent être traduites comme des manifs non commutatives et ce modulaire de l'objet compact comme le modulaire de l'espace de points dans ces manifs non commutatives, en un sens. Et enfin, il y a aussi des exemples, comme BG, donc G est un groupe édictif ici, et BG est juste un espace classifiant de G, c'est-à-dire considéré comme un stack algebraique. Il y a un objectif PARF, qui est un modulaire pour les complexes parfaits. C'est un modulaire de complexes de spaces de spaces de dimension finale qui apprécient à des morphismes. Et nous aimons avoir une quantité de ce type aussi. Et des exemples plus électoraux, comme des spaces de V, qui sont de qualité, peuvent être simétriques ou anti-symétriques, en fonction du parité de N, cela aussi permet d'avoir une quantité, et cela peut être fait. Ok, pour expliquer la main-statement, je devrais commencer par vous dire quelque chose sur les schemes d'algebraic. Tout ceci est sur un fil de caractéristique 0. Et dans l'algebraic géométrie, les schemes sont localement modèles sur le spec A pour A, comme un commutative ring, ou un K-algebra, parce que tout est sur K. Et dans l'algebraic géométrie, c'est presque la même chose que les modèles locales pour les schemes d'algebraic géométrie sont mis en spec A pour A, comme un commutative d'algebra d'A, et cela peut être défendu comme ceci. Donc, premièrement, mes commutatives d'algebra d'A ne sont pas positivement gradées. C'est une convention, donc elles ressemblent à ceci. Pas de positif. C'est une convention. Et il y a une notation que j'utilise souvent. Je pense que je réalise maintenant que je n'ai jamais utilisé une notation plus tard. Donc, c'est peut-être un K-algebra. Mais c'est une convention générale que l'on peut trouver en littérature. Et dans l'algebraic géométrie, j'ai mentionné, donc A est le G-algebra, donc A est de cette forme ici, et en spec A, par définition, c'est un espace, qui est le spectrum de l'algebraic géométrie du premier commutative H-0. Donc, A est le modulo de l'image de l'algebraic géométrie. C'est un algebra. C'est un scheme correspondant à l'algebra. Et sur ça, j'ai un chiffre. Et maintenant, ce chiffre est un chiffre de G-algebra. Ce n'est pas un chiffre de ring anymore, mais celui-ci est un chiffre de G-algebra. Et c'est défini pour ceux-ci. Donc, si j'ai une vue et j'ai ouvert dans cette spec ici, c'est donné par, disons, un basis pour ouvrir, c'est donné par la façon locale de fonction f, ce n'est pas planifié. Cette fonction f, elle vit vraiment dans l'algebraic géométrie, et je peux localiser le G-algebra avec respect à f. Et j'ai un G-algebra. C'est le valeur de O-A sur celui-ci. Maintenant, peut-être que tu vas me dire que cette f ici, il y a des choix. Je peux choisir un different chiffre. Ce sera seulement quasisomorphique. Donc, ce chiffre ici n'est pas en fait un chiffre sur le espace, mais c'est un chiffre bien défini de quasisomorphisme. Vous pouvez le construire dans de nombreux différents moyens. Mais il y a des problèmes sur les choses qui ne sont pas... Vous devez coller des choses sur quasisomorphismes pour faire le sens de sa définition. OK. Et les schemes globales sont définis comme, bien, naturellement, c'est de la même manière qu'on définit les schemes, c'est juste, il y a des pairs, X, X, où X est le espace, c'est le espace d'underlie de mon scheme, et O-X qui est le chef de commutative d'Algebras O-X. Et la condition est que localement, c'est comme un modèle local qui est, localement, c'est équivalent à spec A pour A ou DG Algebras. Alors, ça vous dit quels sont ces objets qui sont appelés des schemes d'air. Maintenant, ces schemes d'air forcément forment une catégorie d'infinité. Donc, c'est l'une de l'homotopique de l'homotopique qui n'est pas quelque chose de mauvais. C'est quelque chose de bon. Je veux dire, je n'aime pas l'infinité. C'est quelque chose de bon. Je crois. Mais le bon chose est que si vraiment, vous regardez la théorie du point de vue de l'infinité, la théorie d'air d'air a beaucoup d'exemple de schemes. Donc, l'un des magasins d'Algebras de la théorie d'air d'exemple s'étend aux schemes d'air d'air dès que cette nature d'infinité est parmi les comptes. Donc, par exemple, nous pouvons définir des produits fibres. Donc, dans la même façon que nous avons des produits fibres de schemes, nous avons des produits fibres de schemes d'air. Les schemes d'air d'air ont des catégories d'air. Donc, si j'ai un scheme d'air d'air, je peux parler des chiffres et des chiffres qui sont essentiellement chiffres des modules d'air d'Algebras et d'autres. J'ai des smooths, des maps d'air. C'est juste un sample d'exemples. Ce qui est l'analogue correcte dans le set des schemes d'air d'air des chiffres d'air d'une forme, ou des chiffres d'air de smooths. Nous allons utiliser ceci en minutes. Donc, deux importants factures. Je l'ai juste mentionnée, mais je vais être un peu plus précis. Le scheme d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air d'air complexe. Donc le schéma de Dirac a un complexe cotangent, qui est un objectif dans le category de Dirac. Et vous devez penser à cela comme le chef de X de cotangent. Mais c'est vraiment un complexe dans le sens où le complexe cotangent est un peu mis-lidéant parce que c'est un module de DG. Il y a un complexe d'alimentation de chiffres derrière cet objectif. Et vous pouvez le définir localement sur un modèle affiné. C'est juste donné par le complexe de cotangent de Quillens de DG Algebra A, qui est un objectif ici. C'est un module de DG. Donc concrètement, prendre un DG Algebra A, peut-être faire cela quasi-free, up to quasi-isomorphisme, puis compter des formes de 1 à 1 sur un module de DG Algebra A. C'est un module de DG. Et c'est un modèle de l'A. Et travailler un petit peu pour prouver que cela peut être fait globalement sur X. Charactéristiques 0. Je ne l'ai pas dit. Je l'ai dit. Je l'ai dit. Tout est charactéristique 0. Ok. Donc, les déraphe-schemes sont bonnes, mais les déraphe-schemes ne sont pas vraiment suffisamment pour ce que je vais parler. Donc je vais introduire les déraphe-taques maintenant. Donc c'est une définition compliquée que je ne vous donnerai pas, mais je vous donnerai une idée de ce qu'ils sont. C'est une approximation concrète de ce qu'est un déraphe-taque. Oh, cette chose concrète est attribuée à Gabrielle. Ok. Donc le déraphe-taque s'applique par définition ou par approximation si vous voulez un bon groupe de déraphe-schemes. Donc ce que ça veut dire, c'est que j'ai un diagramme comme ça. Donc X0, ici, c'est le déraphe-schemes. C'est mon espace en anglais, si vous voulez. Et X0 est aussi un déraphe-schemes et il y a deux maps, source et target. J'ai une map d'identité de X0 à X1. Donc vous voulez penser que X0 est le déraphe-schemes d'objectifs. X1 est le déraphe-schemes de maps. Et puis vous avez une map de composition. Si j'ai deux maps qui matchent sur X0, il y a une map troisième, qui est la composition. Et etc. C'est-à-dire un nombre de actions. Je ne vais pas le faire. Si vous voulez faire ça correctement, vous devez parler d'un groupe de déraphe-schemes. C'est quelque chose comme ça. Mais il y a un moyen de... Comme je l'ai dit, c'est une approximation concrète. Oh, et j'ai oublié de dire quelque chose. Je dis que c'est un groupe de déraphe-schemes. Il y a une condition que ces deux maps sont des maps de déraphe-schemes. Ce n'est pas écrit sur cette table, mais c'est important. Et donc, les stacks de déraphe-schemes sont des cautions de déraphe-schemes. Donc ici, je prends les cautions de X0 par l'action d'un groupe de déraphe-schemes. C'est ce que ça veut dire. Ok. Donc un grand nombre d'exemples sont donné comme suivants. C'est vraiment un grand nombre d'exemples, dans le sens que beaucoup de stacks de déraphe-schemes ne peuvent pas être de cette forme, mais ont des stratifications de cette forme. Donc ça génère un grand nombre d'exemples. Ce sont des stacks de cautions de déraphe-schemes par un groupe G. Donc ici, il y a un groupe rédictif actant sur une commutative de déraphe-schemes. Donc cette action, vous pouvez faire le sens de dire que le déraphe-schemes A vit dans le groupe G. Je pense que Sacha Goncharov a déjà mentionné la représentation d'un groupe dans la catégorie de représentation d'un autre groupe. C'est un peu la même chose. J'ai un algebrame de déraphe-schemes dans la catégorie de représentation du groupe G. Et la représentation du groupe OID, parce que je vous dis que vous avez des stacks de déraphe-schemes, c'est l'action du groupe OID. Donc cet aspect A est X0. La première map est la projection. La deuxième map est l'action. C'est un groupe OID parce que je peux composer l'élément dans le groupe G. Et la map dans l'autre façon, c'est la map d'identité, etc. Et je vais revenir à cet exemple pour expliquer la catégorie de déraphe de déraphe-schemes et ce sont des exemples où tout est réservé. Donc la géométrie de déraphe-schemes, je vous dis que la géométrie de déraphe-schemes s'étend à déraphe-schemes et la géométrie de déraphe-schemes n'est pas très surprise mais par exemple, nous avons des catégories de déraphe-schemes. Donc si j'ai un déraphe-schemes de déraphe-schemes je dois avoir un déraphe-schemes de déraphe-schemes de déraphe-schemes et je dois avoir un complexe de co-tention avec les deux principaux ingrédients dans ce talk que nous avons besoin et je vais aussi mentionner le complexe de tension qui est le duo du complexe de co-tention c'est l'analogue du chief de tension Ok, donc ce qui se passe quand j'ai un déraphe-schemes de co-tion ici tout est bien et il peut être indiqué purement l'algebraic d'abord, la catégorie de déraphe-schemes c'est juste la catégorie de g équivérant des modules d'adg donc a c'est l'algebraic d'adg dans le hub g et je peux prendre les modules d'adg dans le hub g et c'est par définition si j'ai localisé l'anquoisisomorphisme qui me définit cette catégorie d'algebraic d'adg et si cela est définie correctement, et correctement, c'est toujours l'équivalent de la description pure d'algebraic ici ok il y a une définition de dq co-effects en général qui vous donne de suite ce n'est pas une définition c'est un théorème si vous voulez c'est le test exactement et le complexe de co-tention est donné j'espère que je n'ai pas fait un erref ici parce que j'ai toujours mixé les fibres et les co-fibres je pense que c'est ok donc j'ai le complexe de co-tention de l'algebra A c'est le duo de l'action le petit g est le l'algebra G c'est taxé par la derivation de A donc j'ai une map de formes de formes de A pour ces choses le duo de l'algebra A et je pense que le fibre dans cette catégorie d'équivalent de l'adg c'est vraiment le co-con le fibre homotopique de cette map et c'est mon objectif LX ici donc c'est un formula naturel je suis juste en train de prendre l'espace de spec A et j'ai plus d'outre de l'algebra A ok maintenant je vais mentionner juste pour l'application je vais mentionner les stocks hauts donc il y a une notion de l'algebra A les stocks hauts ce qui est une mixture sur ce que j'ai juste fait et les stocks hauts à l'algebra A dans le sens de Simpson pour exemple donc vous pouvez prendre des cautions des cautions plusieurs fois par prendre des actions de groupes hauts et créer même une classe large de stocks hauts et ils sont intéressants parce qu'ils vous permettent de traiter des exemples par exemple il faut inclure les exemples importants qu'on a dans la main les premiers exemples importants sont l'espace de co-con donc c'est un X pour commencer c'est un X c'est un X c'est juste l'espace de co-con maintenant je veux changer ceci il y a un formula je peux juste prendre l'algebra symétrique sur le complexe de tension avec un shift de minus j'en sais les fonctions sur la co-con c'est le... c'est négatif c'est un schéma direct oui ok donc c'est un shift d'algebra G de X c'est pas concentré dans le niveau négatif comme je l'ai dit donc vous devez s'occuper de ce que c'est mais il y a un moyen de définir ça correctement et c'est par définition le shift de co-con et il y a d'autres exemples importants pour nous parce qu'ils apparaissent les structures de structures de co-con dans la même manière que les espaces de co-con ont une forme de formule de co-con ok donc ce sont des exemples importants pour produire un shift de symétrique d'algebra et vous avez besoin d'algebra parce que dès que l'algebra est positif c'est vraiment très staché il y a plus et plus staché si l'algebra est scheme et n est 1 c'est un stack mais si n est 2 c'est un stack 2 etc donc c'est un stack leaner sur x ok et c'est intéressant quand l'axe est de l'algebra donc de l'algebra vous avez une famille de d'algebra stachés qui sont non triviales et significables juste par prendre cette formule donc de l'algebra vous créez des exemples comme ça et le second autre exemple c'est l'exemple ici donc c'était le premier shift de coté le autre est parf c'est le stack de parfaites complexes c'est un objet classifiant pour complexes avec final avec final total comologie et vous voulez prendre ces complexes pour quazizomorphiser et c'est pourquoi c'est vraiment un stack de l'algebra et pas seulement un stack je ne veux pas dire plus sur ce mais on pense que c'est un exemple fondamental pour mettre dans le jeu et vous avez vraiment besoin d'un stack de l'algebra pour faire le sens de ce stack ok, le stack de l'algebra de parfaites complexes surprise oh, et il y a un slide de généralisation ce sont les objectifs dans le category de l'algebra de K le base fil je peux aussi prendre un modulaire d'objectifs des objectifs compacts dans un dg category et produire un stack de l'algebra de parfaites complexes de cette façon ok, donc je suis maintenant en localisation formale donc je vais maintenant expliquer comment j'ai mentionné cette base de Kavnikov de Kaledin où vous commencez par faire quelque chose formale à un point et puis vous movez à un point et vous avez à coller toute cette complication formale par le sens de cette connexion donc je vais expliquer comment cela fonctionne dans cette setting de l'algebra ici c'est quelque chose que j'appelle localisation formale qui n'est pas peut-être une très bonne terminologie mais ça veut dire que nous allons regarder la famille de complication formale à chaque point et coller ces choses globalement sur le modulaire je veux faire ça dans le setting de l'algebra d'algebra que j'ai mentionné ok, donc pourquoi nous faisons ça nous faisons ça parce que le non vanishing de l'algebra je peux localiser zariski or etal local comme je peux je ne ne vais pas faire la homomologie 0 local en regardant le zariski or etal topologie et ça prévient d'avoir d'arbu lema parce que si vous avez quelque chose d'arbu formale la forme est exacte donc si vous avez une forme vous ne pouvez pas appeler la stratégie de dire j'ai l'algebra d'algebra etc donc c'est pourquoi nous utilisons cette forme de localisation c'est parce que nous devons localiser plus que juste etal local et une façon de faire ça c'est de localiser la forme de l'algebra pour laquelle la homomologie vanishes donc c'est la explication pourquoi nous faisons ça donc c'est ce que je voulais dire un type de statement pour l'algebra et l'algebra alors il y a une exception ici je dois mentionner il y a c'est un petit peu trop trop tard pour mentionner ça mais n est-il négatif je n'ai pas introduit une structure sympathique mais quand n est-ce négatif et x est un schéma peut-être c'est aussi vrai pour l'algebra en un sens les collaborateurs ont prouvé que l'algebra est suffisamment d'avoir d'algebra pour les négatifs où les formes sont toujours 0 dans la homomologie ok donc la solution est la localisation formale et ça se passe donc nous allons travailler au niveau formale donc x va être d'algebra x est un point et ça va être la complication formale de ce gros x à petit x et je vais expliquer comment c'est défini concrètement sur le next slide donc pourquoi ça va travailler première la complication formale s'acceptera que la compréhension de la homomologie se dévange la compréhension de la homomologie ici je vous dis que il y a un complexe de coté vous pouvez continuer le travail vous pouvez voir que c'est un complexe de homomologie en utilisant cette complexe et défendre la homomologie et juste prouver que la compréhension formale n'est pas homomologie parce que la homomologie ne voit les structures donc elle se réduit au point bas et la seconde c'est que je vais devoir expliquer comment cette famille de compréhension formale ou individuellement chaque compréhension formale si je fais le point x dans x il peut être collé pour reconstruire la compréhension de la homomologie elle-même ou peut-être certaines variants de la homomologie elle-même et cette colle ici que nous utilisons c'est quelque chose de la connexion que je vais expliquer est-ce la connexion de la connexion comme la connexion je ne sais pas j'ai l'impression que non j'ai l'impression que Fedosov a cette chose qu'il choisit la connexion c'est pas ça ou peut-être c'est la connexion et de ça il a la connexion infinie ok, Dima où est Dima ? non non non est-ce la même chose qu'une connexion de Fedosov ? oui oui et non ok, donc allons-y c'est un espace modélal un espace modélal un espace modélal c'est un nom formale c'est un nom formale c'est un nom formale ah, donc c'est... c'est un nom formale c'est ce que nous appelons la connexion parce que je pense que c'est un nom formale c'est ce que vous pensez de la connexion de Fedosov ok je suis désolé pour le nom de la connexion de Kotendik je ne sais pas quelqu'un m'a dit que c'est le nom de la connexion de Kotendik mais je n'ai jamais vu n'importe quel papier de la connexion de Kotendik c'est là c'est là, oui on va voir pourquoi c'est là ok donc c'est la connexion si vous voulez c'est la connexion de jet ou quelque chose comme ça je vous le défend ok donc allons-nous commencer avec le diraf d'Aljubraic possiblement un hoi on le défend jecuz mais je suis élevé sur son définition du㄃ donc je pense que c'est son public pas sure c'est un nom formale du nez d'un groom d' Bürger d'Giouan souhaite que ratio OK, donc, dirafe d'algebraic stack est un foncteur en dg-algebras, en même manière que le scheme est un foncteur en algebras. Et je define un nouveau foncteur, en sentant A2, j'ai tué le part dirafe, donc j'ai juste gardé l'algebrae sous-élevé, si vous voulez. Et je prends la partie réduite, et je prends les points de x avec la coefficient dv d'algebra. Donc, c'est une façon d'identifier en x toutes les points qui sont infinitismalement fermés. Et chaque fois que vous avez deux points en x, qui sont très fermés d'un point infinitismalement fermé, ou comportés dans la même forme de la neighborhood, vous vous identifiez juste. Est-ce que c'est un stack actuel ? C'est un stack actuel actuel. Il n'y a plus d'algebraic. Il n'y a plus d'algebraic parce que de cette formule. Si vous appliquez ça à bg, qu'est-ce que je vais dire ? Non, il n'y a plus d'algebraic parce que c'est en fait un tal sur la base. Mais ça dépend de comment vous faites le sens de ça. J'ai eu la commande et je l'ai oublié. Si ça revient, je vais le laisser. Donc, c'est un nouveau non-algebraic. Donc, ce n'est pas un stack actuel. Mais c'est un stack actuel. C'est un foncteur sur des algebras d'algebra. Et il s'agit d'une map de x-to-x-de-ram, qui est la map de la coefficient. Et vous voulez vraiment... Tony Panteff va donner une lecture après ce matin. Je vais très bien vous écouter. Allez-y, bien sûr. Et il va nous dire que ce stack actuel, c'est un espace de lèvres, de lèvres, pour une certaine notion de foliation. Et ici, il n'y a qu'une seule lèvre. Mais maintenant, ce espace de lèvres, suppose que vous avez une foliation, vous voulez identifier infinitésimally les points dans les mêmes lèvres. Et c'est ce que vous avez, si vous faites ça. Donc c'est comme... Il y a une notion générale de foliation sur des stacks de lèvres, à l'intérieur de ce x-to-x-de-ram est l'objectif final ou initial. Je veux dire, Tony va nous parler de ça plus tard. Ok, donc qu'est-ce que les lèvres? P est la projection de x-to-x-de-ram. Ce qui est intéressant, c'est que ce sont les lèvres. Les lèvres sont exactement la complication formale. Donc si je prends un point dans l'axe de lèvres, c'est juste un point k, juste un point de mon... C'est un point de mon stack de lèvres, juste un point de mon stack de lèvres. Si je prends un point de lèvres, je trouve un stack formale, qui est la complication formale de x-to-x-de-ram. Si vous ne savez pas ce que c'est la complication formale, prends ce que c'est la définition. Ça marche parfaitement bien. Et c'est un peu plus général que ceci. Je dois avoir une cartes en square, où c'est ma projection deux fois, et c'est la complication formale de la diagonale de x-to-x-de-ram. Donc, si vous ne savez pas ce que c'est, prends ce que c'est la définition, mais ce que je veux dire ici est qu'il y a une définition générale de la complication formale de la diagonale, et que vous pouvez prouver que c'est comme ça. C'est une résautatologie pour prouver ça, mais c'est juste par définition, presque. Alors que vous recouvrez cette chose, parce que si vous prends un point de x, prends le fibre, vous allez avoir le fibre de la complication formale de la diagonale, ce qui est la complication formale de ce point. Donc, c'est intéressant. Ce map ici est intéressant dans le sens que c'est la complication formale de la famille de la complication formale de x à tous les points. Et il vit sur ce x-de-ram, et le fait que ça vit sur ce x-de-ram explique exactement que ça a une connexion. Donc, il y a ce yoga ici que les objets, comme les chefs, sur le x-de-ram, sont comme les chefs avec la connexion. Donc, si j'ai un objet sur le x-de-ram, vous voulez penser à ça comme une connexion de la famille correspondante. Donc, ce diagramme est la connexion générale de la définition. Juste dire que j'ai une fabriquation, j'ai une connexion flat parce que ça vit sur le x-de-ram. Donc, c'est ma fabriquation. Il a une connexion flat parce qu'il vient de quelque chose sur le x-de-ram et les fibres sont ces choses. OK, qu'est-ce que c'est bon pour? C'est bon parce que de la formule suivante, suppose que j'ai un chef sur le x-de-ram. Il peut être un chef, mais on verra qu'il peut être un chef de catégories aussi. Je peux prendre des sections globales de la connexion avec la connexion ou eu. Sorry, e. Je dois dire. J'ai une connexion flat. Et parce que les sections globales sont compatibles avec les images directes parce qu'elles sont elles-mêmes les images directes. C'est la même chose que les sections globales de l'ex-de-ram qui coiffent dans cette connexion de la connexion de la connexion. Et la connexion de la connexion est intéressante parce que si je prends le fibres de cette connexion de la connexion à un point là-bas, j'ai obtenu le valeur de la connexion sur le fibres qui est la complication formale. Donc, c'est quelque chose que c'est quelque chose d'extrême classique qui dit essentiellement que si vous avez une connexion de la connexion les sections de la connexion de la connexion sont la même chose qu'une connexion de la connexion de la connexion de la connexion. Il y a quelque chose comme ça. J'ai dit ça correctement? Tu n'as pas peur, OK. OK. Une importante observation. Ma connexion E est une connexion de categorisation. Je posso guisir à une grande norme de calculation pourpunkter la connexion commune sur Empire dusque! C'est un current de argument classique avec moi-même. S'il me plait ce qui fut sur le dernierét degradation j'aie les sections mondiales Faute de luxe c'est trop une cr Agre et je peux l'écrire comme ça. Global sections on-ex-de-ham, avec des valeurs en v-speche-format. Dans les autres termes, les objectifs dans les categories d'arrivée sont les familles des objectifs dans les categories d'arrivée des complétions formales, qui sont flates pour la connexion de grottin. Donc, pour donner un objectif dans les categories d'arrivée de x, c'est la même chose que pour donner une famille d'objectifs sur les complétions formales pour la connexion de grottin. Et c'est ce que nous allons utiliser pour obtenir cette quantisation dans une minute. Nous allons déformer chaque de ces catégories dans une manière compatible avec la connexion flatte. Donc, par cette formule, je vais déformer cette catégorie. Ok. Ah, je vais me dire un thème. Je devais mentionner d'autres autorités pour ce thème. Donc, je vais le faire oralement. Je vais me dire, x est, de nouveau, d'algebraie d'algebraie. Il peut être plus d'algebraie d'algebraie. Il doit être avec des conditions mildes, comme localement de présentation finales. Et les statements disent qu'il y a un chef de l'algebraie d'ox dg qui vit sur x, comme la complétion formale de la connexion, qui vit sur x, dans l'algebraie d'algebraie. Et ce chef de l'algebraie d'ox est le complexe de l'algebraie d'ox dg L. Donc, il y a un complexe de complétion de l'algebraie d'ox dg. Laissez-moi éviter la complétion de l'algebraie d'ox dg. Donc, c'est juste un algebraie simétrique sur l'algebraie d'ox dg, qui vit par minus 1. Et la différence ici est la somme de la differential et comme ça, c'est un chef d'algebraie d'ox dg ou d'algebraie d'ox dg et l'algebraie d'ox dg me donne la complétion de l'algebraie d'ox dg. Donc, ce commentaire est le complexe du complexe de l'algebraie d'ox dg et l'algebraie d'ox dg est la classe de l'algebraie d'ox dg. Donc, c'est ici, Michel Capranoff, pour pour la preuve de cette expérience, quand l'algebraie d'ox dg est la somme de l'algebraie d'ox dg et cette théorie, ici, d'Algebraie d'ox dg, est une extension d'un cas de général d'algebraie d'ox dg ou d'algebraie d'ox dg et d'algebraie d'ox dg. C'est un moyen de contrôler complètement cette complétion formale de l'algebraie d'ox dg ou d'un chef d'algebraie d'ox dg. Donc, d'un chef d'algebraie d'ox dg, tu veux dire l'infinité ? Non, je veux dire d'un chef d'algebraie d'ox dg. Je suis désolé. Je veux dire d'un chef d'algebraie d'ox dg. Alors, bien sûr, tu dois être careful. Mais la chose est, ce chef d'algebraie d'ox dg est parfait, pour que le dual fait le sens. Il n'y a pas de quelque chose qui se passe. Mais si tu veux, je peux aussi penser à l'algebraie d'ox dg ou d'un chef d'algebraie d'ox dg. Ok, le théorème est un peu... Je reviens. Donc, j'ai dit que la complétion formale de l'algebraie d'ox dg est un spectrum formale. Donc, c'est comme, je le trouve, au moins comme un stack formale. Je suis un peu en train. Donc, ce n'est pas Benjamin qui est en train. C'est mon moyen de dire son théorème. Je fais des approximations ici et je m'évoile de parler de le phénomène stack. Ce formulae n'est pas assez vrai. Il faut faire quelque chose un petit peu plus compliqué. Mais encore, c'est parfaitement une bonne approximation pour performer la quantisation. Je continuerai à penser que c'est vrai. C'est pas vrai. C'est vrai. Ce statement n'est pas vrai. Ce qui est vrai, c'est que c'est bien enough pour faire la quantisation. Ce qui est vrai, c'est que quantiser ce chiffre d'algebraie est suffisamment enough pour quantiser tout l'espace. Ok, c'était juste pour être complètement honnête. Mais peut-être que je devais juste m'évoiler de dire quelque chose. C'est vrai, pour exemple, quand x est un schéma, ou quand x est un diraf, c'est complètement vrai. Ok, un autre moyen pour interpréter est de dire que le diraf catégorie de la complétion formale comme la catégorie de x est en fait la catégorie de modules sur ce chiffre d'algebraie. Et, comme nous le savons, ce que nous vivons sur x, c'est qu'il y a une connexion sur la complétion formale. Ce sont les fonctions sur la complétion formale. Donc, il y a un chiffre. C'est un chiffre complet d'algebraie d'algebraie en x de ram, qui est la catégorie de modules qui me donne le diraf catégorie de x. Parce que maintenant, si je prends d'x, ce sont flat modules al et ce sont juste modules al en x de ram si je vois que l'al vit ici. Ok, donc, ce que j'ai construit c'est un chiffre d'algebraie d'algebraie, qui est complet. Il vit sur x de ram, c'est-à-dire qu'il a une connexion flat et les modules flat me donnent un objet dans le diraf catégorie de x. Il y a une petite chose ici pour dire que l'al ne vit pas sur x de ram. Parce que l'al est complexe et ce n'est pas flat a priori. Donc, l'al ne descend pas sur x de ram, mais c'est complexe. C'est-à-dire qu'on doit déformer la catégorie et pas le chiffre de fonction, etc. Ok, donc, comment je performing la quantité de déformation maintenant, je vais déformer ce chiffre comme un chiffre d'algebraie sur x de ram. Donc, que l'algebraie d'algebraie soit peut-être plus élevé et je fixe un integer pour l'algebraie d'algebraie. Donc, la quantité de déformation de l'algebraie n de x est la formation formale de l'algebraie d'algebraie qui est considérée comme une catégorie de l'algebraie de l'algebraie n de x. Alors, c'est pas seulement une quantité de déformation de la catégorie dont nous avons vu la quantité de déformation de poisson ou de symplaques et ça signifie que j'ai besoin d'attendre le structure monolithique ici avec un certain type de symétrie sur cela. Ok, donc ce que l'EN de l'infinité c'est-à-dire ? C'est-à-dire qu'il consiste d'une catégorie de l'infinité avec des maps comme ceci. Donc j'ai pour n'importe quel k, n'est-il peut être négatif ? N'est-il pas négatif avant que je le dis ? Il y a un truc que vous n'aurez pas envie Ok, donc ce sont les maps où j'ai l'espace de configuration de k points en R&N Et les k-points sont en ligne ? C'est en ligne, et ce sont les fonctions en ligne. Ça peut être une catégorie de DG pour être plus careful. Et c'est l'espace de configuration de k points en R&N et j'ai une map avec deux fonctions en infinity et c'est le temps de producteur de T en itself. C'est-à-dire que j'ai une famille d'opérations multilineaires paramétrisées par l'espace de configuration plus d'assositivité et d'équations Donc si n'est négatif, bien sûr ce n'est pas le sens anymore et j'ai utilisé ce truc j'espère que vous n'aurez pas mal à moi Je vais faire ça. Donc, e-n de formation ne fait pas le sens donc je vais dire que la quantisation de l'E-n est une deformation de E-n mais le paramétre maintenant a un degré qui est 2n. C'est vrai ? Yn. Vous savez, je pense que le prochain truc que je donnerai sur le sujet vous demanderez la même question, je donnerai la même réponse. Je ne sais pas. C'est la naturelle chose de faire. Ce qui est derrière ici est que la deformation de l'E-n du paramétre au niveau 0 est la même chose que la deformation de l'E-n du paramétre de l'E-n plus 2 avec le paramétre shifté par 2 à la gauche. Oui, ça signifie que vous vous souvenez de la comparité. C'est exactement la même notion mais vous avez besoin d'une formalité pour faire le sens. C'est quelque chose qui utilise une formalité. Je ne sais pas comment faire le sens. Ok. Ok. Donc, peut-être que ça signifie que brutalement, vous deux périodisez la situation et vous vous rappelez juste que l'E-n du paramétre shiftait. Ça signifie un peu plus. C'est comme la période somaïe. Caractéristiques zéro. Caractéristiques zéro. Vous pouvez faire l'algebra sur l'algebra ? Je peux faire l'algebra sur l'algebra, si vous voulez. Oui. Mais puis, ces structures simplectiques, je ne sais pas comment elles travaillent. Je suis sûr que Dima le sait. Ok. Il y a un petit problème que cette A-L n'est pas boundée. Donc, je dois vraiment prendre l'expecteur des gadgets simplectiques. Juste pour vérifier, le négatif ici est la situation stachéa. C'est ça, non ? Non, le négatif est la situation de l'algebra. Le négatif est la situation de l'algebra et le positif est la situation de l'algebra. Donc, cette A-L, cette A-L va un peu sur le côté positif si vous êtes dans la situation stachéa. Ok. Donc, c'est important pour tout le N. Ok. Je ne sais pas. Oui. Je ne suis pas confortable avec ça, mais c'est la seule chose que je sais. Il y a deux exceptions quand le N est minus 1 et minus 2. Il y a des choses que vous pouvez essayer de faire. Mais quand le N est très négatif, c'est la seule notion que je sais. Oui. C'est très spécial et c'est probablement le plus difficile. Oui. Ok. Bien sûr. Non, c'est la raison de pourquoi c'est le plus difficile. Ok. Je vais le dire. Donc, ce que je veux dire, c'est la déformation de la quotatisation 2. Donc, supposons, j'ai un dérapage d'algebra peut-être plus haut et j'ai un DGLE et j'ai un A-L. Il vit sur l'ex-doram. Là, il y a un slamer qui n'est pas très difficile de prouver. Il faut travailler un peu, peut-être. Si j'ai une déformation formale de ce chiffre d'algebra comme quelque chose de l'ex-doram, comme un N plus 1 d'algebra, ça me définit une quantisation de déformation de LVLN sur ce gars. Oui. Je ne déforme pas le LVLN, le complexe de Chevalet. Le problème est que L ne vit sur l'ex-doram. C'est le problème. A-L vit sur l'ex-doram, mais pas L. L est le complexe de tension. Ok. Donc, si je veux construire la quantisation de déformation de l'ex-doram, je dois déformer ce L comme un N plus 1 d'algebra. Et encore, avec la même convention quand L est négative avec ce chiffre. Oh, oui. C'est un comment. C'est... C'est comme un statement stupide. C'est pas parce que de cette approximation que j'ai faite. Ok. Ce n'est pas intéressant. Ce n'est pas intéressant. Ah, pardon. Pourquoi est L un N plus 1 d'algebra? L est un algebra commutatif. Donc, c'est N pour N, dans une façon canonique. Vous utilisez le poisson-bracquet. Non, non, non. Vous déformez ce commutif. Oui, exactement. Vous déformez le commutif. Oui. Mais c'est comme un bébé que vous utilisez le poisson-bracquet. Plus tard. L'ex-doram est juste un stag. Il n'y a pas de poisson structurel. Il n'y a pas de poisson structurel. Oh, pas encore. Pas encore. Ok. Je vais juste dire que si je veux déformer ce gars, je dois juste déformer ce algebra. Ok. Maintenant, j'assume que l'ex-doram est un structeur de degree N. Je ne vais pas donner la définition. Mais on va dire que c'est une identification du complexe de tension avec le complexe de co-tention avec un shift comme objectif dans le category de dirac. Plus un structeur relativement non trivial de closeness. Vous devez dire que c'est la formule de l'ex-doram et vous devez dire que le satisfaire de l'ex-doram est 0. Et c'est un peu maïssi et vous avez besoin de plus de hausse et de hausse. Donc il y a des... C'est le contenu de ce papier que j'ai mentionné au début où nous donnons tous les détails sur comment faire ça. Donc maintenant je vais le plus vite ici. Mais si vous avez un structeur simple de l'ex-doram de l'ex-doram de l'ex-doram compatible avec le structeur de l'ex-doram. Et le commentaire ici c'est que c'est un statement non trivial. C'est juste une thing technique mais c'est seulement un isomorphisme dans la category d'ex-doram qui signifie que la forme est non dégénérée seulement en homologie. Donc c'est seulement un isomorphisme. Et ça fait complication quand vous voulez dualiser à un structeur. Donc ceci est vraiment une partie de l'ex-doram de l'ex-doram de l'ex-doram. Donc maintenant on a une full construction ici mais c'est compliqué en ce moment. Et il y a j'ai entendu que Rosenblum Getskuri Costello a annoncé aussi une autre façon d'aller de Sainte-Plectique à Poisson qui est plus global que la forme qu'on a en ce moment. C'est difficile mais c'est aussi un casque de papier un petit peu de des choses. Ah, il y a un comment sur ça. Oui, c'est comment faire ça dans le sens d'un DJ d'un DJ. Ah, OK. OK. OK. Et puis un upshot est que c'est que c'est que c'est que c'est que c'est que c'est que c'est que c'est que c'est qu'est que c'est que c'est qu'est-ce que j'ai Tiens anfister d'aller trустить les outils sur le j insulting au poste Panzer commutative algebra plus poisson marquette de degree minus n, which is compatible with the product. So it's an EN plus 1 algebra, because I can use formality here. So I can choose an equivalence between the EN plus 1 operade and the PN plus 1 operade, which is a theorem by Maxim Konsevich. And I can see this PN plus 1 algebra as an EN plus 1 algebra, and I can look at it trivially as a deformation of the commutative underlying algebra. And this gives me a deformation of AL, so it gives me a quantization. When n equals 0, things are getting complicated, because, of course, E1 and P1 are not equivalent. But E1 has a filtration whose associated grader is P1, and there is this famous Konsevich's formality theorem that tells us that deformations of E1 algebras and deformations of P1 algebras can be identified. But at the moment, we don't know how to make this work on LAAL due to the fact that it's DG, and it goes in the wrong direction, so it goes in the positive direction. So I have the feeling that things should go through, but it should be fine. OK, this is a feeling for us. So maybe it's a theorem. Still some technical problems to solve for us, at least. But it seems OK in the non-degenerate case, in the symplectic case, because you can write down explicitly the quantization by some vile algebra. But this depends on the Darbou lemma that was passed to me by Kevin Costello several years ago. So there is a Darbou lemma in this setting that helps dealing with the non-degenerate case, and, in general, we should be possible to do. So n different from 0 or n equals 0 seems OK. So let me state a theorem. Any derived algebraic stack possibly higher with a Poisson structure of degree n, where I didn't define Poisson structure of degree n. I did tell you what symplectic means. Admit a canonical quantization of level n, up to some universal choice of equivalence between en plus 1 and pn plus 1. OK, so now how do you construct? I have two more slides, so it should get into the two more minutes. So let me come back to this theorem. Now I want to apply this theorem. So I need some statement to construct Poisson structure of degree n or symplectic structure of degree n. I need a machine to construct examples. And this is achieved by the following theorem that if I have x and y 2 derived algebraic stacks, then there is a stack of maps. And if I assume that y, so let me see y, is symplectic of degree n. And x is oriented of dimension d. So it behaves like a topological manifold oriented of dimension d. Then this map stack has a symplectic structure of degree n minus d. And you were mentioning akz, that's an algebraic version of this akz formalism. And the other thing is that bg for g reductive path, they both have natural symplectic structures of degree 2. For bg, there are some slight choice to do. And if you put one and two together, it gives you zones of examples. So the following dirages of algebraic stacks admits a quantization of level n. Geolocal systems on a manifold, where I take log g on k, where k say is an oriented compact topological manifold dimension d. Here n is 2 minus d. Bounded covariant shifts on calabiaus, like I can take the modular space of bounded covariant shifts on z, where z is a calabiau variety of dimension d, again n is 2 minus d here. So in the first part, do you sort of use that it's a Poincaré duality space? Sure. You don't really need that it's a manifold. No. Just that it satisfies Poincaré duality at the chain enough level, I mean at the chain level. And compatible with the multiplication in homology, you need some, I don't know if Poincaré duality space is enough by definition. And flat bundles, to state the last thing, log g the ram of z, so that's the modular space of flat g bundles on a smooth and proper variety z of dimension d. So here n is 2 minus 2d, because the dualizing dimension of the ram comma g is 2d here. OK, final comments. I want to come back to Sacha's Goncharov stock, where he mentioned this quantum hodge field theory. I think there are some not understood yet relations between his stock and the quantization of this log g the ram, because this log g the ram of z has a non-ambient hodge structure by the work of Simpson, plus some thing which I don't think no one really wrote correctly at the moment. You have to include the Stackey and the derived structure of the modular space into this non-ambient hodge theory, which is not done yet, I think. And then this hodge structure probably extends to the quantization in a sense where it's not clear how to make this, but I think you have a suggestion that there is an action of an infinitesimal group on it, on the categories, eh? And the reason why it should extend is that because the simplec structure is compatible with the hodge structure, this is pretty obvious that the simplec structure on this log g is compatible with all the constructions, all the extra structure coming from non-ambient hodge theory. So that's closely related to what Goncharov told us about quantum hodge theory, even though the relation is not clear. And to finish, I would say that there are many questions remaining, like we can ask for quantization of flagrantian maps. There is a recent paper by Dima and co-authors. There is one about quantization of flagrantian submanifolds using, again, formal geometry. So this probably can be adapted or co-isotropic maps, as well as, you know, we have these maps with boundary conditions. There is a work of Damien Calac that says that this theorem saying that maps has a simplec structure extends to varieties with boundaries and so on. And there are also some two special cases, n being minus one, n being minus two, for which you can refine quantization. And the case n being minus one seems extremely important for DT, Donaldson, Thomas, and Vaughan. And that's the content of the work of Joyce and co-author these days. OK, thanks. Let's thank the speaker again.