 Bon donc on va peut-être commencer. Donc donc le but du cours va être de présenter ce qu'on appelle maintenant la méthode de pilazanie pour dire des choses sur la conjecture d'André Hort. Donc l'objet principal du cours ça va être l'espace de module des variétés abéliennes principalement polarisés de dimension G. Ce qui sera très important pour nous c'est son uniformisation au moins au début par l'espace d'Eagle. Donc des matrices symétriques de une partie imaginaire positive vers les points complexes de cet espace de module qui se réalisent comme un quotient de cet espace symétrique amiciens Hg par un réseau arithmétique sp2g2z. Donc cette description est bien sûr transcendante mais disons Hg est quasi-projective et puis provient d'une variété sur quoi. Alors de temps en temps je regarderai ce que j'appelle plutôt le baby case pour avoir des énoncés assez explicites. Je vais regarder S0 égale le demi-plan de point carré donc la courbe modulaire par elle-même donc comme variété algebraique ça sera assez croissé et on essaiera de temps en temps quand ça range d'être explicite dans ce cas là et je regarderai aussi parce que des fois c'est presque plus simple une variété de chimoura générale de quoi j'aurai besoin donc je vais utiliser qu'on construit une variété de chimoura à partir d'une donnée de chimoura c'est un couple gq c'est un groupe réductif sur q et puis x est la g de r classe de conjugaison d'amorphisme x donc du tort de deux lignes alors le tort de deux lignes c'est c étoile vu comme groupe algebraique ou si vous voulez la restriction d'escalaire de car du groupe multiplicatif et on se donne à morphisme d'angère alors évidemment enfin le l'idée sous-jacente c'est que dès qu'on fixe une représentation g dans un espace vectoriel par exemple un q espace vectoriel on obtient une q structure de hoge ou un espace vectoriel une r structure de hoge alors il y a des conditions il faut que ça vérifie les conditions de deux lignes et donc je ne vais pas les rappeler ce qui compte pour moi c'est la chose suivante donc les composantes de x donc il y a un long fini de composantes sont des espaces symétriques et amiciens donc essentiellement on aura quelque chose de la forme disons si le groupe était adjoint c'est g de r sur un compact maximal donc ça c'est un espace symétrique et on veut qu'il y ait une structure hermitienne au l'omorphe dessus et les automorphismes de l'espace x plus sont au l'omorphe pour cette structure donc il y a une classification par quartant de tous les tous les espaces symétriques et amiciens et la porte de deux lignes c'est de ça a été de voir que on retrouve tous les espaces symétriques et amiciens par une construction de cette nature donc si vous avez un groupe semi simple réel au simple réel la condition pour que son espace symétrique soit amiciens c'est simplement que le centre de cas infinie contienne un cercle et on analyse l'ensemble de tous les enfin de tous les groupes algébriques qu'on connaît on regarde si il y a un il y a un cercle dans le centre du compact maximal et ça vous dit quand c'est un espace symétrique et amiciens voilà alors une fois que on a ça on se donne aussi un compact ouvert et on forme une variété algébrique qui n'est pas connexe mais qui est intéressante qu'on appelle aussi variété de chimura j'ai expliqué pourquoi on fait ça donc il ya une description en termes de double classe donc on prend x croix g de f sur k et on quotient diagonalement par g de q alors on se rend compte que c'est une union bon en fait indexé par le groupe de classe g de f sur k sur g de q mais pour l'instant ça n'a pas l'importance de quotient d'une composante x plus de x qui est un espace symétrique amiciens par un réseau gamma y un réseau ça veut dire que le co volume ou le volume d'un domaine fondamental pour l'action de gamma y sur x plus est fini et arithmétique disons dans cette situation je vais juste dire que c'est commensurable à g de z et ceci en fait bien défini bon voilà alors le l'intérêt de regrouper toutes ces composantes ensemble c'est que l'ensemble en lui-même est définie sur un corps de nombre fixe qui ne dépend pas de cas donc c'est ce qu'on appelle le corps réflexe et donc shk de gx et en fait défini donc c'est quasi projectif c'est des variétés quasi projectives de la géométrie algébrique quand même par béli borrel mais elles sont définies sur un corps de nombre donc on appelle eux de gx donc c'est le corps réflexe qui se calcule qui ne dépend que de gx donc qui se calcule en fonction de gx alors nous en fait on s'intéresse à une composante on va c'est ça qu'on va faire donc en général ce n'est pas définition le corps de gx mais ça sera défini sur une extension en fait abélienne de ce corps donc dans dans le cours on fixe dans le cours la composante donc la composante de cet ensemble de shk gx image si vous voulez une image de x plus croix 1 quand je fais cette description et ça veut juste dire que bon essentiellement c'est alors il faudrait être un peu ça serait vrai si bon il faut mettre un petit quelque chose il faut je mets un plus pour prendre les éléments de g2q qui respectent la composante x plus mais c'est essentiellement g2q intersecté avec le compact maximal est ce que la condition que la deuxième composante est restrictive c'est-à-dire est-ce que les autres composants sont de la sont de la même façon oui les autres composantes c'est l'image de x plus croix croix alpha essentiellement avec un alpha dans le groupe de classe sur g2q bon et en changeant les niveaux on perd aucune information en faisant ça par rapport à ce que je veux faire en tout cas voilà donc bon donc dans le la conjecture d'andré hort vous le savez il y a c'est quelque chose qui relit des points spéciaux des sous variétés spéciales donc je vais essayer de dire de quoi il s'agit bon enfin donc je peux dire que aga ça correspond à général on prend gsp2g et puis là peut-être gl2 croix gl2 enfin gl2 croix gl2 il y a d'autres choix mais c'est ça que je prends bon donc point spéciaux on plus tard dans le cours ce qui va être important pour moi c'est des descriptions bihg brique mais là j'aurais donné juste la définition les plus rapide et donc disons x appartenant aga et dit spécial si la variété abélienne paramétrisée par x est à multiplication complexe donc si je prends un élément de c croissée ou de la variété que j'appelais s0 donc x1 x2 appartenant donc h sur s l2 z et spécial donc alors c'est pareil si la courbe elliptique paramétrisée par x1 et e x2 en multiplication complexe et dans ce cas là c'est des choses qu'on sait très bien xi c'est j de toi avec toi chorathique imaginaire donc pour donner un exemple disons juste en une variable j de 1 plus voilà un exemple de quelque chose qu'on considère comme spécial 23 puissance 3 29 puissance 3 si je regarde cet élément ou dans a sur s l2 de z c'est à dire c voilà ça c'est quelque chose que je considère comme spécial c'est vrai que quand vous regardez donc on verra qu'il a qu'un nombre fini des démands dans z qui sont spéciaux s'en donne un c'est vrai qu'on le regarde juste par son équation ou quelque chose comme ça il n'a rien de particulier enfin pour moi en tout cas voilà donc bon donc je reviendrai là dessus voilà maintenant en général comment on voit les points spéciaux pour une variété chimura bon donc donc un point alors je vais noter x j k la classe de un élément de x 3 g de f sur k modulo de l'action diagonale de g de q donc je dis qu'il est spécial si donc ça c'est un élément de s h k g x donc si il existe un cutor algébrique t inclus dans gq tel que le point x se factorise par l'extension à r de 2 t donc et si vous voulez construire des points de ce que j'ai appelé s donc il faut que vous trouviez des éléments bon vous prenez des éléments g dans g de q ou g de q plus et ça vous donnera ça vous pouvez le faire basculer après le g sur le x voilà donc évidemment il y a une vérification que cette définition redonne ce qu'on imagine pour ager mais voilà donc ça c'est celle qui sera utile pour moi et après j'ai besoin de la notion de sous variété spéciale de dimension positive et pour le coup je vais commencer par les variétés de chimura puis vous dire ce qui se passe pour le baby case assez explicitement et pour ager je ne peux pas tellement dire autre chose que en fait pour décrire les sous variété de chimura de l'agé je suis obligé d'utiliser les variétés de chimura enfin voilà donc c'est pour ça que je suis obligé d'introduire ça même si mon objet d'étude principale est agé alors donc comment on fait donc on parle d'une sous donnée de chimura hxh de gx bon alors bien sûr il faut que soit une donnée de chimura h est inclus dans g mais bon je vais le dire h est inclus dans g et le point le point important c'est que il existe un x dans x tel que x se factorise par l'extension à air de h et xh est la g de r classe de conjugaison de cet élément d'accord alors c'est ce qu'on a fait ici en disant que finalement pardon hr donc c'est ce qu'on a fait ici dans le cas où le groupe algébrique h est un tord et l'espace symétrique dans ce cas là est réduit à un point parce que bon la théorie fait que l'orbite enfin la classe de conjugaison par quelque chose de commutatif c'est un point et voilà donc alors donc une sous variété spéciale de s donc égale x plus sur gamma et l'image de mon xh plus crois 1 dans s pour une sous donnée hxh du gx et xh plus donc en fait on choisit d'une certaine manière une une composante de x plus et après une composante de xh qui est contenue dans cette composante voilà quand h est un tord donc ce que je disais donc bon xh se réduit à un point et alors ça ça donne un point c'est ce que j'ai dit ça c'est un point spécial de shk de gx et vous avez des conditions dans g qui est essentiellement là c'est d'être dans g de q pour que ce point soit un point de s la deuxième coordonnée donc si vous voulez vous pouvez on a le droit de multiplier par g de q ici donc et le transférer de l'autre côté donc là là on détermine juste ici on détermine juste la composante et donc voilà donc si si vous prenez x dans g enfin g dans g de q vous aurez des points à valeur enfin g de q plus vous aurez des points à valeur dans la composante s si vous prenez g arbitraire vous l'aurez dans s h 4 jx qui est adhélique g c sur q c'est un groupe algébrique sur q j is a f ok alors donc dans s 0 bon ben donc les sous-varaités spéciales sont donc si je voulais attraper des points dans d'autres composantes j'aurais utilisé les opérateurs de les que ce que je ne fais pas mais voilà donc les sous-varaités spéciales dans s 0 sont alors donc les choses évidentes s 0 lui-même c x p ou p x c avec p spéciales bon les couples de points spéciaux et là alors et ceux qui sont intéressants et la courbe modulaire y 0 de n qui paramétrisent les triplets de fiennes où les huis sont des courbes électriques et fiennes de 1 dans 2 est une isogénie cyclique de degré m donc le évidemment quand vous avez un espace de module comme ça chaque composante vous donne les coordonnées dans ces croissés donc ça vous détermine une courbe et si vous voulez le la regarder du point de vue de ce que j'explique vous prenez m 001 donc le groupe ambiant et gl2 croix gl2 disons et la variété h plus ou moins h donc c'est 2000 espaces de ziggle positif et négatif de choix donc vous prenez comme sous-groupe donc vous voulez construire ces cours modulaires avec une recette avec une soudonnée chimura donc essentiellement vous prenez h l'ensemble des couples alpha gn alpha gn moins un alpha dans gl2 et xh l'ensemble des couples x gn point x x dorage plus ou moins et vous faites les constructions que j'ai faites associé à ça donne lieu définis y02n dans ces croissés alors j'ai envie d'être encore plus explicite un tout petit peu si je trouve de quoi effacer ce qui devrait être possible donc donc disons les souverainetés spéciales les plus intéressantes sont des courbes qui sont des correspondances qui se projettent essentiellement surjectivement sur chaque facteur et bon elles sont a priori définies par des polynômes donc y0 de n est défini par un polynôme fn de x et de y en deux variables alors c'est bon pour effing c'est facile c'est x moins y alors j'ai vous donné f2 et vous allez voir que je vais être obligé de m'arrêter assez vite parce que ça se complique assez vite donc le début est tout à fait agréable alors ensuite ça va à peu près ensuite moins 162 000 x2 plus y2 et puis ça ça range pas excusez moi mais c'est la dernière fois que j'écris une équation parce que sinon je m'en sors pas x plus y et le dernier est terrible bon faut à 10 puissance 9 voilà donc dès très vite dès que vous écrivez des équations c'est épouvantable si vous écrivez l'équation pour f11 je crois que c'est la dernière qui où les gens sont donné vraiment la peine d'écrire il ya des donc c'est un polynôme de degré 12 et il y a l'écoefficient jusqu'à l'ordre 10 puissance 60 enfin la taille c'est 10 puissance 60 donc bon donc c'est disons que c'est difficile de se dire qu'une approche où on met la main concrètement dans dans les équations va donner des choses pour ce qu'on a en vue voilà alors donc maintenant qu'est ce que je donnais des propriétés absolument générale des sous varietés spéciales et des points spéciaux mais on sait que c'est un polynôme officiant entier oui que la termes de la degré d'homogénéité de la termes de plus ouais c'est chi chi c'est pas pour x 0 de p ça va être plus un en tout cas après il faut il faut effecher on sait beaucoup de choses mais en fait calculatoirement c'est compliqué il ya des gens qui ont passé du temps à essayer de trouver des algorithmes et en fait plusieurs bon on peut faire on préfère un cas je pourrais expliquer un calcul de hauteur simplement qui dirait la hauteur c'est en g log g log g enfin mais y a un 12 qui traîne et quand vous calculez ça veut dire que les coefficients sont de taille g puissance 12 g ou quelque chose comme ça et ça monte très vite quoi voilà j'ai c'est le c'est le c'est le genre quoi en fait donc c'est en puissance n oui mais c'est c'est c'est genre en puissance 6 n ou en puissance 12 n fin il faut réfléchir un peu mais c'est ça au début ça compte beaucoup fin les voilà mais ça va en tout cas ça la taille des nômes que vous trouvez est très très bon donc quand vous les regardez comme ça vous pouvez ils ont rien de spéciaux mais quand vous les regardez d'un autre point de vue c'est le lieu où vous avez une isogénie cyclique d'ordre 2 entre les coupes x et y voilà ok donc donc propriété générale alors la plus importante fin pour moi c'est que une composante d'une intersection de sous variété spéciale spéciale alors c'est pas trivial dans la définition en termes de groupe c'est plutôt en termes de choses qu'on paramétrise les sous variétés spéciales c'est le lieu où on a des symétries supplémentaires donc c'est pas totalement évident et c'est mais c'est quelque chose et une implication de ça c'est que si v est inclus dans s est une sous variété irréductible et bien il existe une plus petite sous variété spéciale alors je vais la noter v contenant contenant v et bon quand bon on dit que v et hodge générique si cette plus petite sous variété spéciale c s si v n'est pas contenu dans une sous variété spéciale plus petite et donc en particulier un point l'ensemble des points hodge générique on s'en compte que c'est le complémentaire des nombresable de sous variété algebraique propre là c'est seulement un composant connex d'une variété algebraique oui mais c'est vrai sur chaque composante parce que je dis là propre enfin excusez moi c'est pas un bon terme je veux pas je veux dire que c'est pas s tout entier alors strict c'est mieux je prends la réunion de toutes les sous variétés spéciales de toutes les composantes qui ne sont pas s tout entière et ça c'est une union des nombresable de sous variété algebraique de s hk gx si vous voulez et en les points qui ne sont pas dans cette réunion je les appelle hodge générique et bon je fais ce point maintenant parce que la plupart des raisonnements qu'on fait commencent par dire on se ramène au cas où on est hodge générique parce que ça correspond juste à réduire l'espace ambiant et c'est voilà c'est quelque chose qu'on va faire souvent donc je le dis tout de suite sous le cas j'ai pris son définé sur sur le corps de nombre tous les variétés spéciales sont sont définies sur des corps de nombre et ça sera un point extrêmement important assez vite mais j'y viens bon donc deux les points spéciaux sont dents dans une sous variété spéciale alors bon c'est pas un énoncé totalement transparent c'est-à-dire il y a des choses à prouver c'est tout à l'heure j'ai dit que s hk gx était définie sur un corps de nom qu'on appelle le corps réflexe il ya la définition de du modèle qu'on trouve sur ce corps de nombre utilise de manière cruciale cette chose là oui alors pas tout à fait rationnel mais dans dans des extensions de de gréfi dans les coordonnées locales dans les revêtements oui dans le vrai oui mais c'est ce qu'on va faire ça va jouer un rôle bien sûr mais non mais tout de façon fait ce qui est vrai en général c'est que il ya disons l'ensemble des points spéciaux une fois qu'on les a relevé comme il faut il faut faut faire un peu attention sont définies dans des extensions de degrés bornés de cuches et on va l'utiliser fin c'est au centre de la méthode que qu'on va développer voilà donc ce point et disons on a une manière de décrire l'axe de décrire une action de galois sur la variété de shimura définie par un point spécial donc et pas essentiellement c'est la théorie du corps de classe ou la réciprocité et les modèles canoniques sont des modèles sur le corps réflexe tel que quand on regarde l'action sur les points spéciaux induites par le modèle et ben c'est la même que celle qu'on construit par la théorie de la multiplication complexe ou sur cette sur cette ensemble finie avec l'action de galois donc je rentre pas là dedans mais disons c'est c'est au coeur de la construction des modèles canoniques de des variétés de shimura alors donc la conjecture d'André Hort donc au moins un des responsables de cette conjecture ici donc je vais le donner sous deux formes équivalentes soit s une variété de shimura alors un soit sigman ensemble de points spéciaux une composante de la clôture de zariski et spéciale est une sous variété spéciale et l'autre chose c'est donc c'est totalement équivalent et c'est plutôt sous cette forme que je vais raisonner donc soit v une sous variété algébrique de s l'ensemble des sous variétés spéciales de v qui sont maximales parmi les sous variétés spéciales de v donc cette ensemble est finie alors ça ça permet de visualiser ce qu'on veut démontrer donc on a une variété ambiante de shimura on se donne une sous variété et si j'avais des couleurs ça serait mieux donc et dedans on dit que il y a un certain nombre de sous variété spéciale mais en nombre fini et puis il peut aussi y avoir des sous variétés spéciales maximales qui se trouvent être des points mais il n'y en aura pas donc il va aussi en avoir qu'un nom fini d'accord voilà la situation et bon bah c'est ça que c'est ça dont on veut parler dans ce cours alors les variétés spéciales sont je les définis comme étant irréductibles souvent oui donc celles-là elles sont irréductibles les sous variétés spéciales sont irréductibles dans ma définition mais en général oui enfin une variété n'est pas forcément irréductible dans ce que je dis ok donc quel est le s c'est une convention que l'on utilise l'élément 1 oui et quand vous étiez donc je n'ai pas l'explication donc quand vous étiez vous regardez c'est pour la convention si vous regardez l'élément 1 est-ce que c'est vrai que l'élément juste pour cela implique généralement oui je pense que je veux dire si vous si vous faites pour un niveau et une chimura variété je veux parler en français donc la conjecture d'André Hort c'est sur quelque chose comme x plus sur gamma elle ne dépend que de la classe de commensurabilité de gamma c'est-à-dire que si vous savez l'approuver pour un gamma vous savez et vous prenez un autre réseau qui est commensurable à ce gamma la conjecture pour l'un ou la conjecture pour l'autre sont équivalents toutes les composantes que j'ai écrite sont dans la même classe de commensurables enfin on des gammas qui sont commensurables voilà donc de choisir de le prouver pour une composante pour toutes les autres n'a pas d'importance mais après c'est aussi voilà je m'allège la notation en regardant celle là alors donc qu'est ce qui est qu'est ce qui est connu sur cette conjecture et de quoi va-t-on parler donc ça va pouvoir pouvoir donner le plan du cours si vous voulez voilà donc donc il ya deux énoncés bon je dirais que à haut et vérifié donc André Hort est vérifié pour ag quelque soit g et l'hypothèse de Riemann l'hypothèse de Riemann généralisé permet d'en deduire à haut pour une variété de simourin général l'objet du cours va vraiment être vers plutôt sur le 1 le 2 était prouver une première fois par une méthode que j'appellerai dédix-ven-undry qui utilisait un mélange de théorie galoisienne théorie dénombre et théorie argodique et l'objet du cours c'est plus de regarder une nouvelle méthode qui est qui a été introduite par Pilat et Zanier pour une preuve de la conjecture de Malin-Memford et bon qui aboutit maintenant à démontrer ça et donne une nouvelle preuve de deux voilà donc j'essaye de donc le but du cours c'est un peu de décrire ce qui est en jeu là dedans alors je vais faire quelque chose qui j'essaye de faire un plan du cours alors je vais dire quelque chose qui est complètement naïf mais qui est malgré tout la manière dont on réfléchit donc il y a deux étapes donc on réfléchit sous l'énoncé sous cette forme alors la première étape c'est de montrer que tout point spécial de v sauf un nombre fini est contenu dans une souveraineté spéciale de v de dimension positive donc cette étape 1 qui est l'étape la plus cruciale dit que si vous regardez les points spéciaux dans v il y en a qu'un nom fini qui ne sont pas contenu enfin ça dit exactement que les souverainétés spéciales maximales qui sont des points sont un nombre fini par exemple pour une courbe c'est ce qu'on veut démontrer il n'y a pas plus donc voilà et alors donc pour faire ça il y a trois enfin il y a un peu plus que ça mais à moins il y a trois indrédients qui expliqueront ce que je vais faire le plan de mon cours donc il y a la minoration de la taille des orbites sous galois 2.cm ensuite on utilise de l'eau minimalité que je devrais expliquer et le terrain de pilawilky et un énoncé que j'appellerai de transcendance fonctionnelle qui s'appelle axe lin de man hyperbolic tout ça c'est le contexte enfin ça sera dans le contexte ce que j'appellerai la bi-algébricité que je développerai juste après et puis l'étape 2 bon bah c'est finalement bon les souverainétés spéciales maximales de dimension positive alors sont en nombre fini ou ne sont pas en nombre fini et là on verra que c'est dans cette méthode ça se déduit encore de axe lin de man en plus de l'eau minimalité que j'expliquerai et donc peut-être un point que on verra apparaître c'est que ce terrain de pilawilky qui est ici en fait il est au centre il est crucial dans la preuve de axe lin de man hyperbolic donc par certains côtés on l'utilise trois fois on l'utilise pour prouver axe lin de man hyperbolic qui sert pour cette étape 1 et aussi crucialement dans étape 2 mais on l'utilise sous une autre forme dans la stratégie quand on essaie de réaliser l'étape 1 voilà donc vraiment ce terrain de comptage au coeur de la méthode et donc voilà le plan le plan du cours donc disons que c'était une introduction donc j'ai expliqué ce que j'appelle le monde bi-algébrique alors c'est c'est l'idée que en fait quand on a l'uniformisation d'une variété de shimura on a en fait une relation entre enfin par une application transcendante on relit deux variétés qui sont de nature algébrique et les objets qui sont spéciaux sont les objets qui sont deux fois algébrique et c'est ce point de vue qui qui aide et puis je verrai là il y aura je donnerai l'énoncé comme ça de axe lin de man hyperbolic ensuite j'expliquerai l'eau minimalité et le terrain depuis la wiki ensuite d'une certaine manière j'aurai à ma disposition tous les énoncés pour expliquer comment je je peux démontrer andré orte alors il y aura l'énoncé de l'amélioration d'orbitzougalois.cm et après je donnerai des indications sur axe lin de man hyperbolic et sur les nombreux travaux qui ont emmené amélioration d'orbitzougalois.cm donc cette partie est plus théorie des nombres celle-là est plus géométrie hyperbolic et au minimalité et alors vous verrez que cette partie là utilise une idée de Tzimmermann et des résultats assez difficiles et long sur la conjecture de colmes ou au moins la conjecture de colmes en moyenne pour la hauteur de faltings des variétés abéliennes à multiplication complexe donc j'expliquerai de quoi il s'agit ce qui a démontré et je l'an prochain il y aura un cours de Zang qui peut-être développera toute sa méthode pour vous dire comment on traite en calcul en moyenne les hauteurs de faltings des variétés abéliennes.cm ce qui est un point crucial sur la fin de tout ça voilà donc c'est le plan du cours et je vais faire une petite pause et puis après je passerai au monde bialgébrique donc le monde bialgébrique en fait ça cache de notions et une notion rythmétique et une notion géométrique mais donc je vais commencer par les points point bialgébrique et donc je vais m'intéresser aux variétés Chimura mais il y a un paradigme qui est donc le paradigme c'est la fonction alors je vais je vais prendre exponentiel 2yp fois quelque chose enfin fois z de c dans ces étoiles et ça c'est en fait le groupe multiplicatif donc c'est l'exemple évident où vous avez deux variétés algébriques c'est ces étoiles et puis vous la reliez par une fonction transcendante et donc vous dites qu'un point z appartenant à ces étoiles est dit bialgébrique alors je vais dire au sens arithmétique mais je ce qu'il y aura un sens géométrique plus tard si z est dans cubar étalgébrique et pi moins 1 de z apparten aussi à cubar alors voyez pi moins 1 de z tel que je l'écris c'est quelqu'un plus z donc le fait d'être dans cubar ne dépend pas d'un représentant et voilà alors c'est une définition et ce qu'on voit tout de suite si vous voulez c'est enfin tout de suite non mais z est bialgébrique c'est la même chose que de dire que le z tel est en fait d'encu pendant cubar et c'est la même chose que de dire que z est une racine de l'unité est un point de torsion une racine de l'unité c'est pas trivial ça ça découle d'énoncer transcendance de gelfand schneider bon je pourrais donner plus de détails mais ça m'éloigner de ce que je veux dire et ce qui est intéressant peut-être par rapport à ce que j'ai en tête après c'est que comme vous le savez dans cette situation si vous rajoutez les coordonnées de z sur q donc ça c'est fait un q de exponentiel de zp sur n c'est une extension abélienne de q et on obtient ainsi toutes les extensions abéliennes de q et par cronécaire véber on obtient ainsi on engendre les extensions abéliennes toutes les extensions abéliennes de q oui c'est l'extension cyclotomique c'est oui bah c'est on engendre on engendre ça veut dire que tout sous corps enfin tout extension abélienne est un sous corps de la réunion des q de q de z que j'ai écrit là voilà donc dès que voilà donc alors maintenant ça c'est disons le paradigme alors qu'est ce qui est connu depuis toujours enfin depuis 1937 peut-être donc vous prenez à fonction j du demi-plan de point carré vers bon ce que j'ai appelé c hr sl de 2z et ça ça c'est c'est simplement l'espace affine donc on a un modèle de s on a le modèle à un q de s sur q et donc là on sait dire ce que on sait on sait ce que c'est qu'un point de s a valeur dans cubar donc un point x alors je dis dans s de cubar et dit biais gébrique bon bah si il existe taux appartenant donc à h inter cubar tel que j de taux égal x alors comme comme l'action de sl de z sur h préserve cubar bon ça dépend pas du choix du relevé donc c'est vrai pour pour tout taux qui aurait cette propriété donc si donc si x et biais gébrique j moins un de x et contre et dans les points gébrique du demi-plan de point carré alors le donc qu'est ce qu'on sait là dessus Schneider 1937 x biais gébrique donc c'est la même chose que x spéciale donc donc la couronautique associé est un point et un point cm et c'est une chose que dire que q de taux est quadratique imaginaire et dans cette situation si je regarde l'extension q de taux et de j de taux c'est donc c'est une extension abélienne et deux oui de q de taux et on obtient on engendre ainsi toutes les extensions abélienne de q de taux donc d'accord quadratique imaginaire et donc c'est c'était la première réponse au cronica jugant traum ou qui doit être le douzième prème de illberte d'essayer de décrire toutes les extensions abélienne d'accord de nombre donné comme étant engendré par les valeurs spéciales d'une fonction analytique donc dans le premier cas avec la fonction exponentielle puis dans ce cas là avec la fonction j alors on sait plus qu'à 2 ag donc là vous avez bon j'ai continu à l'appeler pi alors à mon avis on sait pas ce qu'il faudrait faire forcément mais donc vous avez toujours votre espace de zigue l bon j'ai pas envie de dire donc j'ai dit que l'espace de module des variétés abélienne à un modèle canonique sur q que j'ai appelé ag donc et bon bah encore une fois on a une défiant alors là pour le coup il faut faire des choix de normalisation mais ça existe je dis que on peut normaliser de sorte que que l'image inverse enfin que l'image inverse des points spéciaux de ag soit dans alors j'ai envie d'écrire hg de cubar bon vous êtes un sous quelque chose de mg de c donc si vous voulez c'est hg inter mg de cubar donc on peut faire ça et même faire en sorte que le le degré des extensions enfin le degré du corps de définition des images inverses des points spéciaux sont uniformément bornés et ça jouera un rôle important plus tard et donc on a une notion ici on sait ce que c'est que un point à valeur dans cubar ici aussi donc il y a une notion de bialgébrique évidente et puis donc le trem alors je pense qu'il faut vraiment mettre vu sols d'un côté et puis en utilisant les travaux de vu sols quenne et chiga volfart alors je vais pas noter l'année je suis désolé donc z à partir à hg de cubar et bialgébrique si est si est seulement si z à des spéciales donc c'est un énoncé de transcendance pas sérieux pas du tout évident et une conséquence du terrain du sous groupe analytique de vu sols le gros du travail était fait dans vu sols et après quenne à côté chiga volfart de l'autre on écrit dénoncé tel qu'il est ici dans ce que tu as été dit de ici q de tour x en fait x c'est l'image de deux donc je comprends presque q de taux et dji de taux et donc tu dis que ce qu'est ce qui bouge là engendre ainsi toutes les extensions non mais le corps quadratique est fixe mais le quoi tu fixes un corps quadratique et tu trouves plein de tu trouves plein de taux qui ont ce qui ce qu'il faut c'est comme enfin avec l'exponent enfin bon c'est ça tu vas faire ça ok bon alors le cas général pour une variété de chimura en fait c'est pas connu alors les et oui c'est ça marche aussi pour l'extension abélienne c'est ça ça engendre des extensions abélienne par exemple jq de jz pour avoir tout il faut de taux tu vas mettre plus de gilet de gamme à taux avec un ordre en gamme à zéro de elle ou les coordonnées c'est coordonnées pour l'intention d'un taux qui n'est pas dans un ordre maximale oui c'est ça non ramifiant non c'est si taux est dans un ordre max non non maximale si il est dans un ordre pas maximale il y aura des extensions abélienne bon donc ok oui la phrase d'avant on peut normaliser p ne sort que des bras spéciaux oui oui ça veut dire que je peux toujours si enfin je vais même y venir après enfin quand quand on a un groupe gsp ou quelque chose comme ça ça c'est juste g de r sur k infinie mais les compacts maximaux ils sont conjugués par g de r donc en fait je pourrais conjuguer ça par n'importe quel élément dans g de r ça donnerait une autre uniformisation donc ça donc comme je peux faire n'importe quoi évidemment il y aura des choix où les points cn ne seront pas à valeur dans cubar et d'autres bon alors c'est quand même une assertion ça dit quand même de fait qu'on puisse le normal oui c'est une assertion qui est sérieuse enfin oui non mais je n'ai pas dit que oui oui non non enfin c'est un bout c'est le sens z spécial implique vous êtes bien dit brec oui mais alors ça fin honnêtement ce n'est pas la bonne définition enfin il faudrait pas uniformiser avec ça il faut vraiment utiliser l'interprétation de deux lignes je voudrais mieux utiliser le plongement de borrel parce que c'est le seul qui a un sens thermarithmétique puis après il se trouve que on peut donc c'est pas la bonne normalisation à mon avis c'est accidentel que ça donne ce qu'il faut ce qu'il faut mais bon donc bon je je peut être bon donc dans le cas général on ne sait pas tellement plus mais donc il y a une construction donc je peux on peut plonger x plus dans un x till pour une variété algébrique définie sur cubar donc je vais faire ça beaucoup après ça peut d'importance pour moi dans la suite et on peut normaliser pi de sorte que les points spéciaux soient bi-algébriques donc la réciproque n'est pas connue en général encore une fois je détaille pas ça parce que je m'en sert pas je vais essentiellement pas m'en servir là pour le coup ce qu'il faut c'est le plongement de borrel c'est lui qui donc en termes de hautes c'est le plongement enfin c'est x dans son réseau dans son duale et en termes de hautes c'est l'application qui a une structure de hautes associe sa filtration et c'est cet objet qui est vraiment définie sur le corps réflexe et qui a une interprétation canonique et c'est celle là qui faudrait utiliser tout le temps pour la bi-algébricité des points c'est un ouvert c'est une sous variété analytique complexe un nouveau fin oui là c'est on peut le prendre comme un ouvert mais c'est un ouvert analytique dans alors le donc sous variété spéciale de dimension positive maintenant sous variété bi-algébrique et sous variété faiblement spéciale le donc là la bi-algébricité va être dans un sens proche mais pas ça fait le même ça va être au sens géométrique alors je vais commencer par le gm puissance r donc je regarde l'application xx2ypz de cr dans gm r2c égale c étoiles puissance r alors encore une fois là c'est une application qui relie deux objets algébric vraiment et maintenant je vais prendre soit v une sous variété algébrique de gm puissance r on dit que v est bi-algébrique si une composante donc si v est algébrique et si une composante analytique donc dans le monde analytique complexe depuis moins un de v est algébrique donc dans ses puissances r bon donc l'exemple évident gm r et lui est bi-algébrique puisque son image inverse c'est puissance r si vous voulez et vous prenez bon mais bon dans ce cas là vous vérifiez encore que les composantes analytiques sont permutées par l'action là de z puissance r et si une est algébrique elles sont toutes algébriques et axe en 70 et 11 montre que v donc et bi-algébrique donc dans ce sens géométrique si et seulement si v égal z fois t est un souter de gm puissance r et z un point arbitraire alors voyez on tombe pas tout à fait sur les sous variétés spéciales parce que ce qu'on appellerait une sous variété spéciale c'est vraiment v égal z t comme ça mais avec z un point de torsion donc on appelle ça une variété faiblement spéciale donc par définition v faiblement spéciale alors je vais le dire comme ça mais ça va revenir on peut donc on peut voir les variétés enfin on peut voir que les variétés faiblement spéciales sont totalement géodésiques et en fait ce sont les seuls et une variété faiblement spéciale et spéciale si est seulement si elle a un point spécial on a un peu le yoga qui qui se dessine et c'est le yoga qu'on va revoir dans le cas de qui nous intéresse vraiment alors donc quelle est la situation pour les variétés de chimura alors c'est un petit peu plus complexe parce que justement il ya quand même des on a l'impression qu'on peut faire des choix et aussi le revêtement universel n'est pas vraiment algébrique il est seulement en fait en or semi algébrique alors donc prenons cette situation je vais essayer d'expliquer quel va être le substitut pour les variétés faiblement spéciale et après je vais les caractériser comme étant celles qui sont bi algébrique donc je vais d'abord expliquer en termes de groupes théorie des variétés de chimura et ça c'est du amunan et après on verra que c'est vraiment la même chose que bi algébrique donc comment comment on fait donc on a mon exemple ma variété de chimura x plus sur gamma donc quelque chose comme ça c'est c'est meni d'une métrique enfin x plus c'est une métrique qu'est l'air yaine un variante par g de r le x plus et ça descend donc on a une structure rimanienne et il y a on peut définir ce que c'est que les sous variétés totalement géodésiques et c'est assez enfin les sous variétés spéciales sont totalement géodésiques mais en fait il y en a un peu plus comme dans le cas ici et mounon caractérise les sous variétés totalement géodésiques en termes de données de chimura et ce que ce qu'on va trouver donc les sous variétés totalement géodésiques on appellera ça faiblement spécial c'est une puste et on dira qu'elles sont oui il y a des il y a des choix mais ça pas pas sur le résultat oui enfin oui donc et on dira que ces variétés sont faiblement spéciales donc comment ça se donc ça c'est un énoncé en fait qui qui réapparaît vraiment très souvent donc donc on construit une sous variétés spéciale c'est à dire plutôt une sous donnée et ce qu'on va faire une hypothèse c'est essentiellement que ce h xh c'est en fait déjà un produit de données alors je on peut pas enfin je n'ai un peu pas qu'on a un groupe réductif on peut pas l'écrire entre en termes de vraiment comme produit de facteurs simples mais on peut le faire pour le groupe adjoint associé et on peut construire quand on passe à l'adjoint on peut construire une donnée de chimura associé adjoint que j'appelle xh ad bon juste en prenant on va de on a amorphisme du 2s vers h puis on va vers h ad puis on prend la classe la h ad de la classe conduisant de la composée des deux ce n'est pas xh alors xh les xh et xh ad ont des composants de connex isomorphes ils ont c'est il n'y a pas forcément exactement les fin des composants de connex de xh et de xh ad c'est la même chose pas de différence il pourrait y avoir plus il pourrait y avoir des composants de connex différentes mais les chaque composant de connex c'est la même chose oui c'est pas connex xh le nombre de connex le nombre de composants de connex il n'est pas forcément le même mais si on regarde la composante connex neutre si ça a un sens c'est les mêmes pour pour xh et xh ad donc c'est c'est les 20 enfin ce que ça définit c'est les choses très proches faut pas donc je suppose que là pour le coup c'est un produit et voilà donc soit y2 un point de oui on y ferait mettre des plus peut-être donc j'ai un x1 plus x2 de plus et z soit z l'image de x1 plus croix le point irac2 dans s alors c'est facile de voir que z est totalement géodésique ou faiblement spécial d'après ma terminologie et l'énoncé de moonen c'est que bon toute sous variété faiblement spéciale donc tout sous variété totalement géodésique s est obtenu par une telle construction donc essentiellement ce que ça dit c'est que une manière de fabriquer des choses totalement géodésiques c'est d'avoir une sous variété de chimura qui est un produit de variété de chimura et puis prendre un facteur croit un point et ça si le point n'est pas un point spécial c'est pas une variété spéciale mais c'est pas très loin on appelle ça faiblement spécial donc bon donc ça j'appelle ça faiblement spéciale et donc je remarque une variété faiblement spéciale et spéciale si elle seulement si alors il y a un truc que je ou j'exagère un petit peu toute sous variété totalement géodésique de s est obtenu par une telle construction ou et spéciale je devrais dire voilà c'est le cas ou le deuxième facteur est trivial et on ne sait pas si il est inclus dans ma définition donc je me méfie donc une variété faiblement spéciale et spéciale si est seulement si elle contient un point spécial ok donc maintenant passons à l'interprétation via gébrique bon on a vu par exemple jusque là on a vu hg c'est un ensemble de matrice et le problème c'est que c'est pas un ensemble à gébrique même le demi-plan de point carré c'est pas un ensemble à gébrique vous utilisez les inégalités alors bon ce type d'objet qu'est ce que qu'est ce qu'on peut dire au moins ils sont quand même analytiques complexes et donc dans le monde réel donc si vous identifiez c à r2 enfin vous faites vous regardez ça comme vous plongez ça dans une puissance de r c'est semi-algébrique au sens que vous écrire ça comme le lieu d'un certain nombre d'inégalités ou d'égalités vérifié par des polynômes en plusieurs variantes voilà donc on n'est pas dans une situation aussi belle que là où le revêtement universel est algebraique mais on a au moins ça ce qui quand même bon alors le problème c'est que il y a beaucoup de réalisation naturelle différente d'un espace symétrique armissien il ya des réalisations bornés des réalisations de borrel il ya des réalisations de ziggle et je vais définir quelque chose qui ne dépend pas de ça alors je vais déjeuner je vais je vais définir ce que c'est qu'une réalisation et après essayer de définir ce que c'est qu'un ensemble algébrique dans une réalisation ça c'est ziggle qu'est la réalisation des bornés pour ça alors la réalisation bornés donc c'est les matrices de c transposé de m et de m et puis après c'est peut-être quelque chose comme ig transposé de z bar chose comme ça ça c'est ça c'est arrichandra ça c'est la réalisation borné et après il y a la réalisation de borrel dans le dans le dual donc après on peut aussi envoyer un espace x dans le dual qui est un quotient gc sur pc pour un certain parabolique donc ça c'est disons ça c'est plutôt borrel et ça c'est plutôt arrichandra et en général arrichandra c'est la réalisation comme un espace symétrique borné un domaine symétrique armissien borné dans l'espace tangent holomorph à la variété au x donc donc il y a beaucoup de disons il y a beaucoup de choix peut-être que ce que ce qu'il faut retenir au départ c'est que par exemple pour le demi-plan de point carré vous avez deux choix naturels c'est le modèle du du du demi-plan ou le modèle du disque donc vous passez de l'un à l'autre par des choses assez innocentes qui sont des opérations en fait semi-algébriques et en fait aussi définie sur cubar donc il y a bon maire général il y a des transformations de quel est qui relient toutes ces réalisations c'est pas très important pour bon c'est une théorie mais ce que je veux juste dire je donne une définition donc une réalisation x donc de x oui bon de x plus donc associé à une donnée de chimoura avec g est un sous-ensemble analytique complexe d'une variété agébrique x tilde munie alors il faut que d'une action transitive de g de r et vous demandez en fait deux choses qui sont si vous fixez n'importe quel élément dans votre réalisation l'application de g de r qui a x associé par en qui agé associé g point x 0 et semi-algébrique alors une application est semi-algébrique si son graphe et un ensemble semi-algébrique et deuxièmement on veut que x soit vraiment le quotient alors j'ai pas bon disons g j'ai égal g à 16 localement fermé oui donc x égalgé de r sur k infini est un espace symétrique amiciens associé donc toute façon c'est tous voilà c'est tous des espaces symétriques amiciens vu comme sous espace de quelque chose et ce qu'on veut c'est que la manière dont le groupe agisse sur cet espace amiciens est donnée par des choses semi-algébrique donc typiquement quand vous faites az plus b sur ces a plus d c'est semi-algébrique mais vous êtes dans un espace qui est ambiant qui est semi-algébrique donc c'est semi-algébrique donc voilà donc oui alors ça je suis d'accord que oui enfin non si je m'équinche ça dépend c'est là je n'aurais pas mis de plus quoi mais transitive de g d r plus je suis d'accord voilà donc peut-être ici aussi g de r c'est toujours un espace symétrique c'est toujours g de r donc g disons un groupe semi simple c'est par un compact maximal et les compacts maximaux sont tous permutés par conjugaison par g de r et cet espace ne dépend pas enfin isomorphisme près de ça donc c'est ça un espace symétrique rimania et tant en tant il a cette structure holomore qu'est ce qu'on disait au début alors ok alors donc deux oui alors je continue ma définition parce que si donc c'est sur x plus sur l'avaric algebraique c'est g de c sur l'avaric algebraique c'est g de c là je fais agir non non je j'ai n'agit que dans cette définition j'ai n'agit que sur x celui là on voit pas l'espace on voit pas le x tilde non non mais x plus il est dans x tilde et c'est déjà non non le donc x x plus fin disons le voilà gx là et l'action de g de r plus il n'est que là j'ai aucune je demande pas que j'ai une action d'avardarie une action ici alors j'ai d'ailleurs plus donc l'action transitive donc elles sont transitive sur x pas sur pas sur x tilde sinon c'est trop restrictif en fait c'est à dire il n'y a qu'il n'y a que borrel ou on prolonge la g de c sur les autres non enfin donc l'action elle est que là mais je c'est pas très grave enfin finalement c'est pas très grave donc on voit quand on fait quand on fait ça on voit quand même que le le x tilde joue un rôle un peu marginal c'est le but d'une certaine manière il doit disparaître de toute la discussion on veut faire des choses intrinsèques infinies voilà donc si x1 x2 sont deux réalisations donc de x donc amorphisme de réalisation ou un isomorphisme de façon j'ai rien compte un isomorphisme de réalisation elle a donné et est un morphisme est un isomorphisme bihologmorph psy de l'un vers l'autre qui respecte la structure de g2r alors il y a un lème qui est assez simple qui dit que soit qui une réalisation de xg alors qui est semi-algébrique et soit psy un isomorphisme de réalisation alors psy et aussi psy et semi-algébrique donc typiquement je vous ai dit voilà ça c'est typiquement le genre d'action de trucs qu'on trouve z moins y sur z plus y c'est semi-algébrique il n'y a pas voilà alors donc le les non-sets que j'avais envie en vue que j'ai juste même aimé démontrer aujourd'hui mais bon et le suivant donc caractérisation bi-algébrique des sous variétés spéciales ou faiblement spéciale donc alors en fait c'est bon c'est donc soit qui une réalisation de x plus alors on va dire que un définition un sous ensemble y de cette réalisation est dit irréductible algébrique ou algébrique irréductible si y est une composante analytique complexe de y tilde inter marélyzation pour une sous variété algébrique y tilde de 2x tilde donc en première approximation j'intersecte quelque chose d'algébrique avec mon espace symétrique amiciens c'est ça que j'appelle l'algébrique alors je fais un de la notion d'irréductibilité alors on montre que une telle intersection n'a qu'un nombre fini de composantes analytiques et chaque composante analytique et semi-algébrique donc ces objets sont ces objets algébriques là sont en fait semi-algébrique et analytique complexe ok puis un algébrique c'est une union de une union finie de sous variété algébrique irréductible voilà alors un l'M c'est que y inclus dans y c'est algébrique si et seulement si y est une sous variété analytique complexe fermée de qui qui est semi-algébrique et peut-être que la deuxième partie du l'M c'est que si vous faites un isomorphisme alors si phi est un isomorphisme enfin c'est évident maintenant si phi est un isomorphisme de réalisation alors y est algébrique y est algébrique dans x1 si et seulement si phi de y est algébrique dans x2 alors donc si on résume en fait la notion d'algébrique ne dépend pas des réalisations c'est un train sec parce que vous le testez ici c'est être semi-algébrique et complexe analytique fermé et après c'est c'est par isomorphisme et toutes les réalisations que je regarde sont isomorphes entre elles donc faut pas se voilà donc faut un peu oublier l'extérieur il ya une notion bien définie de sous variété algébrique et donc le premier rénoncé que j'aurais voulu démontrer c'est que bon soit v inclus dans s une sous variété algébrique donc on dit que v est bi-algébrique donc au sens géométrique donc c'est une composante de p-1 de v dans une certaine réalisation et algébrique là pour l'instant oui c'est une définition jusque là mais j'aurais dû commencer par le... voilà donc le terrain il est ici voilà et le terrain c'est que bon ok je vais mettre définition ici en fait c'est indépendant des réalisations toutes les réalisations sont isomorphes par des isomorphismes de cette nature donc je fixe une réalisation et la bi-algébrésité enfin au sens géométrique ne dépend pas du tout des choix au sens arithmétique c'était plus délicat là ça dépend pas des choix c'est ça qui est un pain qui est utile donc une sous variété enfin v est bi-algébrique c'est la même chose que dire que v est faiblement spécial entre ventes est totalement géodésique bon il vaut mieux que je m'arrête je pense voilà la prochaine fois je démontrerai ça c'est assez rapide et je parlerai de minimalité