 Bueno, empiezo. Bueno, buen día, retomamos entonces con este cursillo, la última clase. La primera cosa, como la vez pasada, capaz que si alguien quiere plantear alguna duda, si hay algún comentario, algo que hayan revisado y no les esté cerrando. Bueno, seguimos. Sí, es una buena pregunta, yo tampoco la pensé, pero sí, es otra de las tantas cosas que aparecen para poder explorar. Está lleno de ideas así que uno podría explorar. Bueno, haciendo un brevísimo resumen y remarcando alguna cosa de la vez pasada, lo que tenemos acá es la lista, digamos, los dibujos de todos los poliedros archimedianos o semirregulares, que son 13, salvo las prismas y los antiprismas, que por algún motivo pueden pensar porque a veces se dejan un poco de lado, hay una cierta razón, que tiene que ver con el tamaño de la cantidad de cimetrías o el grupo de cimetrías que tiene, que es un poquito más modesto que de estos. Entonces acá están los 13 y habíamos quedado en que la noción final a la que llegamos era que son polideros convexos cuyas caras son todos polígonos regulares, convexos, y que es transitivo en los vértices en relación al grupo de las cimetrías del poliedro. O sea, cualquier vértice puede ser llevado en cualquier otro vértice por una cimetría que deja el polidero invariante. En realidad, o sea, eso yo lo enuncié. Si uno quisiera confirmar que es así porque lo último que analizamos la vez pasada fue el dilema del demiler en relación a los otros y más o menos lo despejamos. No hicimos la verificación de que los 13 son transitivos en los vértices, pero sí vimos o dimos un pantallazo de la forma en que se obtenían los 13. Entonces si ustedes revisan, por ejemplo, en ese sitio donde está la dinámica con la que se genera, se muestra dinámicamente cómo se obtienen los poliedros, revisan ahí y es fácil confirmar, o si no directamente observando cada uno, que son transitivos en los vértices. Entonces ese concepto me interesa remarcarlo, o sea, una manera de mirar lo que pasa con el grupo de las cimetrías en relación a los vértices. Pregunto, entonces ahora, o sea, el concepto de que el grupo actúa transitivamente en las aristas es el mismo. O sea, actúa transitivamente en las aristas y de las dos aristas existe una cimetría del polidro que lleva una arista en la otra, ¿está bien? Y también eso lo puedo presentar para las caras. O sea que ahí tenemos el juego ese de la transitividad en los vértices, en las caras y en las aristas, ¿sí? Eso es importante para lo de hoy. Entonces acá hago una siguiente pregunta como para que piense en unos minutos, es si alguno de estos, o si todos, no sé, si hay chance de que haya transitividad en las aristas. A ver si podemos dar alguna respuesta afirmativa o negativa sencilla, ¿qué dicen? Entienden la pregunta, ¿no? O sea, si algunos de estos son claramente transitivos o no transitivos en las aristas. Ya veo varios que me dicen que no. Porque, por ejemplo, ¿qué pasa para mirar uno sencillo, el octahedro truncado, este? ¿Puede ser transitivo en las aristas? No, me dicen que no, ¿por qué no? Porque tenéis un cuadrado y un hexágono. Y, por ejemplo, en la del costado tenéis un cuadrado y un hexágono. En el arriba tenéis un dos hexágono. Esa arista con la octana, pues... Ahí va. Está, ¿no? ¿Tá bien? Una simple inspección. No puedo mandar una arista que es como una dos hexágono, o sea, una arista que es como una un hexágono y un cuadrado. Entonces, en realidad, si hacemos una inspección rápida, resulta que lo que predomina es eso, ¿no? Porque yo que sé, por ejemplo, el que está... Bueno, justo este no. El cubo octahedro tendría chance. Tendría chance. No tiene esa obstrucción. Pero el tetraedro truncado sí tiene esa obstrucción porque de vuelta hay aristas que son compartidas entre dos hexágonos y otras que son compartidas entre un triángulo y un hexágono. ¿Tá? Sí, quedó. ¿Se vio? Por ejemplo, no sé, pregunto, ¿tiene chance o no de ser transitivo en las aristas? ¿Tiene chance? ¿La primera obstrucción esa? No la tiene. Bueno, uno podría... No importa mucho la respuesta ahora, pero con un poquito de paciencia puede dilucidar si sí o si no. Y después creo que los demás, si no me equivoco, hacemos una inspección rápida ya que no nos cuesta nada. Los únicos dos que tienen chance de ser transitivos en las aristas son esos dos. El cubo octahedro y el icosidodo decaedro. Porque los demás tienen ese problema que dijimos que lustramos en los casos anteriores. Para todos. Este, por ejemplo, arista como una dos triángulos, arista compartida entre un pentágono y un triángulo. ¿Sí? Bien. La de la dualizar. Con las caras... Bueno, ah, y con las caras... Bien. ¿Cuáles son las respuestas? ¿Son transitivos en las caras? Casi todos me dicen que no porque hay caras. O sea, no hay caras iguales acá. O sea, no todas las caras son iguales. En ningún caso. Claro. Tendría que poder llevar cualquier cara a otra. Claro. No, no, no. Claro. Transitividad. Es otra pregunta. Bien. Repasamos el tema de la dualidad. Se acuerdan, ¿no? En este caso estamos dualizando el do de caedro. Entonces, nos ponemos en este vértice. Tomamos los puntos medios de las aristas y deciden en ese vértice. Tenemos una circunferencia y en estos tres puntos de corte de la circunferencia con las aristas tomamos las tangentes en el plano. Eso genera un polígon, en este caso un triángulo. Triángulos verdes. Eso lo hacemos en todos los vértices. Y eso es el dual de el do de caedro que ya habíamos comentado. Creo que este dibujo no lo habíamos visto, así que ahora está bueno verlo. Que el dual del do de caedro se aprecia claramente el dicosaedro. ¿Verdad? Muy bien. Entonces, ¿por qué traigo este asunto de la dualidad acolación? Porque tenemos los sólidos de arquímedes, ¿sí? Que son, lo comentamos ayer, están inscriptos en una esfera, sus vértices están en una esfera y le podemos hacer esta construcción de dualización. Ahí hay un detalle que no es menor porque el tema de la dualidad no es muy fácil de manejar a veces. Entonces, pero acá en el caso en el que estamos como todos los las aristas de los poliedros de arquímedes son iguales, esta construcción funciona tal cual. Porque se dan cuenta que hay un problema, sino si ustedes toman puntos medios de aristas y las aristas son desiguales, no son congruentes, ya no queda una cosa plana, se puede hacer el dual. Pero es otro tema, hay que manejarlo de otra manera. Lo que quiero rescatar es que como las aristas de los sólidos arquímedianos son todas iguales, tomo los puntos medios de las aristas que inciden en un vértice, eso me queda una cosa plana y ahí hago esta construcción y da algo. Entonces lo que da, si hacemos el dual a cada poliedro de arquímedes, por favor Analia, ahí va, aparece, bueno, hay dos páginas, miramos un poquito esto. No voy a hacer un análisis en detalle, eso es muy grueso. Estos, acá hay siete, son duales de alguno, cada uno es dual de alguno de arquímedes. Miramos la otra y acá están los otros, ahí para completar los tres. ¿Ven que tienen muchas caras? Entonces, solo una, no me quiero detener demasiado en esto, pero hay una observación que me parece que está buena. Tratamos de unir estas dos ideas, tenemos cómo se dualiza un poliedro y tenemos el tema de la transitividad, de los vértices para el caso de los arquímedes. Tomamos los arquímedes, los dualizamos, los arquímedes tenían la transitividad en los vértices. Eso, ¿cómo repercute en los de catalán? Los dejo pensar un minuto. ¿Cómo repercute eso en los de catalán? ¿Capaz que ponemos de vuelta el de dualizar y hacemos la extracción de que es uno de arquímedes? Imagínense eso mismo, lo hacemos con los de arquímedes. ¿Qué va a pasar con las caras de los de catalán? Si yo podía llevar un vértice en cualquier vértice y la construcción que hice respeta obviamente las simetrías, en realidad lo que estoy pudiendo hacer con los de catalán es que estoy pudiendo llevar cualquier cara sobre cualquier cara. O sea, capaz que era fácil pensando en la construcción saber que todas las caras iban a ser iguales al construir los de catalán. Pero esto de las simetrías lo que me está diciendo es un poco más. Me está diciendo que tengo transitividad en las caras. Es una linda propiedad que la sacamos bastante no con demasiado trabajo manejando el concepto. ¿Siguieron la idea? Transitividad en las caras para los de catalán. Hay un comentario histórico para mostrarlo más que en estos temas quedan abandonados durante tiempo porque esto es de 1800 y algo. No hay duda que se atribuye a catalán el haberlo descubierto. Y el estudio sistemático de los de Arquímedes es de 1500 y pico. Pasaron como 300 años y en realidad una familia se deriva de la otra en forma bastante simple y clara. Esa observación. Muy bien. Para abandonar el mundo en parte porque siempre va a estar ahí el mundo con vexo. Vamos a tener que liberarnos de la cosa con vexo. El sólido de Miller puede dualizarlo. Imagina que... Pero no, sí. En relación a esto. Miramos la presentación de las estrellas. Por favor. Ahí van las otras. ¿Qué pasa? Ahora, lo que vamos a liberarnos de esto, los polígonos que vamos a poner en las caras no tienen por qué ser convexos. Las caras vamos a permitir que se autointersecten. Y lo que sí vamos a mantener, la cosa esencial que se va a mantener, es que un arista siempre es común, o sea, es arista de dos caras. Y nada más, y es exactamente dos caras. Quiero concentrarme en eso. Después hay como un... hacer detalles técnicos que capaz que algunos los voy comentando. Ahí está. Lo que se hace es, de alguna forma, dar una idea de cómo se llega a ver cuáles son todos estos poliedros generalizados, no necesariamente convexos, que son transitivos. Totalmente transitivos. Se les dice transitivos en las caras, en las aristas y en los vértices. Sigan transitividad en los tres elementos. Pero para que eso avance, nos tenemos que liberar de la convexidad. Bueno, entonces acá el diario de lunes en parte es esto. Estas son las estrellas que aparecen, además de los platónicos que ya teníamos, cumpliendo esas condiciones de transitividad total. Creo que... Ahí va, capaz que arrancamos mirando este, para entender un poco que tenemos que adaptarnos a una nueva manera de pensar el objeto. Vamos a analizar, la tengo acá en la mano. Ahí va. Ahí hay... Espera un minutito. Ahí hay un... Un do de caedro o un icosaedro? Únicosaedro, claro, obviamente, únicosaedro. Únicosaedro, entonces la idea es que esa es la envolvente convexa. Ya aprovecho para presentar esa idea. La envolvente convexa de esto es el icosaedro. Es bastante claro. O sea, envolvente convexa es tomar el menor convexo que lo contiene. Entonces quedan únicos aedro. 5 triángulos equiláteros que cumplen en un vértice. Entonces ahora analía lo que va a mostrar va a poner, por lo menos al principio, caras por caras, ¿no? Entonces ahí va. Ahí ya, bueno, ahí tenemos dos caras. Se colocaron dos caras que son pentámonos, en este caso. Ahí tienen dos caras más. Entonces, espero un poquitito. Nos tenemos que liberar de la historia esa de que las caras se cortan. Yo no dije que las caras no se pudieran cortar. Dije que una cara está exactamente... Una arista está exactamente en dos caras. No prohibí que se cortara. Así que me tengo que liberar y dejar que se corte, porque se van a cortar mucho. No, no. Claro, no. Dale. Entonces ya vamos... bueno, ahí van. Van a ir siempre de aparez, ¿no? Ahí va. Entonces a ver, pensemos un poquito porque acá tenemos que acomodarnos, liberarnos de algunas cosas. Caras tenemos entonces cuantas tenemos, doce, ¿no? Parejas, seis parejas, doce pentámonos. Capaz que conviene también liberarse del concepto de sólido y no pensar en que lo que está dentro, o que se podría sin problema, y concentrarse... ¿Cómo que hay que concentrarse para la mirada actual en el concepto de cara y lo que pasa con las caras? Y como que el objeto, en realidad, va a terminar siendo como una proyección, una realización, le llaman, de un objeto más abstracto que en realidad no es tan abstracto, es un grafo y en donde lo que importa son las caras, que son polígonos y que tienen esa condición de intersección. Y si tenemos las caras, tenemos las aristas y tenemos los vértices. Y esos son las aristas, las caras y los vértices. Y después lo que vemos es otra cosa. ¿Me logran seguir en esa idea? Las caras son los pentámonos. Las aristas son las aristas de los pentámonos. Los vértices son los vértices de los pentámonos. Porque ahí uno ve muchas más cosas, hay un tito que le quisiera que fuera un vértice y ve estas otras cortes que quisiera que son unas aristas. Pero nos vamos a librar de eso porque eso nos da demasiada complejidad y nos entorpece. ¿Siguen? Bien. Entonces, capaz que mostramos el pequeño dedo de caberro. Si quieren, este lo pueden ir. Este está enterito. Lo pueden ir mirando. Lo prepara ahí. Acá lo tiene. Entonces, ¿qué pasa? No sé si se logra ver. Miramos la envolvente con vexa y en este caso se logran apreciar que daría la envolvente con vexa. Es un icosaedro de vuelta. ¿No? Acá tiene una cara del icosaedro. Bueno, entonces, ¿qué son las caras? ¿Qué son las caras? Los dejo un minutito más tratando de decir qué serían las caras. ¿Eh? Me lo dejo fijo. No sé qué ayuda más. Lo dejo quieto. Perdón, tenés razón. Tremiendo mareo. Triángulos equiláteros son las caras. A ver, ¿quién más? Ajá. Bueno, no resultó tan fácil la pregunta. Bueno, vamos a revelar el misterio. Despacio. Ahí va. Estrella. Polígono. No con vexo, pero regular. Bien. Bueno, entonces, una vez que uno ubicó esa estrella ahí, el jueguito es... vamos poniendo las otras estrellas capaces de espacio para que se pueda apreciar. Pasa una para atrás. Ahí va. Convencernos de que ahí hay una arista que está compartida por dos estrellas. ¿Tá? Y eso es lo que tenemos que cuidar. Las estrellas tienen que compartir una arista y nada más. Y después, lo que hagan entre ellas es otro tema. Sí. No quiero... Claro. En realidad, hay que... Para hacer esto, hay que liberarse también de algunas restricciones que uno tiene sobre los polígonos. No quiero entrar tan en detalle, pero ya se lo van imaginando más o menos por dónde van. Y a su vez, lo paralelo a nivel del polígono. Entonces, claro, hay que acomodar la noción de polígono también. ¿Tá? Pero de todas formas, en esto, como hay regularidad, no van a parecer cosas demasiado extrañas. Estas estrellas, ¿tá? Seguimos ahí. ¿Tá? Este... Y entonces... ¿La? ¿Cuánto...? No, las estrellas, ¿tá bien? Gracias por la pregunta que tenía que decirlo. Las estrellas... Perdón. Cinco lados. O sea que, si lo miro así, los lados se están cortando. Y eso no son vértices, porque si no... Cinco lados. Cinco lados, cinco vértices. Vértices, punto. ¿Tá? O sea, por un lado está la estructura combinatoria y por otro lado está la realización geométrica. Bien. Entonces ahí cerró y eran doce también. Las... Bueno... Sí, bueno, hay una manera fácil de ver porque si miran acá, lo dejo quieto, ¿no? Este... Contar las caras es fácil a ver si se dan cuenta de un conteo de las caras por lo que se está viendo acá. Los ayudo con una cosa, ahí va. Hay como encerrado adentro se la vez se le llama núcleo otro poliedro. ¿Lo ven? El más chiquito que está adentro que es convexo, que vendría a ser qué. Que en este caso está limitado justamente por las caras. Exactamente por... No. Do de caedro. Do de caedro. Entonces las caras están envolviendo ese do de caedro. Una por cara. Está el do de caedro y una estrella pegada a cada... a cada cara del do de caedro. Entonces son doce caras. ¿Siguieron? Sí. Bien. Ahora que vemos... una más. Son... Ahí va. Esta sería esta, ¿no? Ahí va. De vuelta. Acá cambió un poco la cosa porque la... la envolvente convexa es quién? Do de caedro. Ahí va. Bien. Quiere decir que se logra ver. Bien. Do de caedro es la envolvente convexa. ¿Y el núcleo? Sí. Y cosa de do. ¿Y las caras? Sí. Las caras. A ver. No sé si... Sí. Acá se complica un poco. Sí. Acá se complica un poco. Ahí tiene el núcleo. Está capaz que... Ponía una cara. Ahí va. De vuelta. Estrellas. Pentagonales. Estrellas. Está bien, ¿no? Ahora, la relación entre las caras y el núcleo no es exactamente la misma. Porque las caras no... no son bordes... no están en el borde del núcleo. El núcleo es la envolvente convexa de lo que resulta de las partes interiores de las caras. Acá, capaz que la estoy complicando un poco. A ver. No sé. Dígame algo para saber qué pasó. ¿Se vio o no se vio? Sí. A ver... Ponía de vuelta una. Una cara sola. Moví un poquito para que se vea más estar en una posición ahí. Capaz. Bien. No. O sea... Lo estamos mostrando así sólo para ver el resultado de una manera organizada. O sea, el criterio sería... A ver. Nosotros lo que queremos hacer, claro, capaz que ya entro en el asunto del análisis un poquito más detallado, nosotros lo que queremos hacer es encontrar... Tenemos esa idea de poliedro. Que son caras que pueden ser... que pueden ser no convexas, polígonos. Pueden ser no convexos. Una arista tiene que ser común exactamente de dos polígonos. Y nada. Y vamos a mirar los que son totalmente trans... que se pueda llevar cualquier cara. En cualquier cara, cualquier arista. En cualquier arista y cualquier válviz en cualquier válviz. Ese sería como el objetivo. ¿Tá? Este... Entonces el asunto es hacer un análisis que en primer lugar te va a permitir ver que consideras la envolvente convexa de tu... hipotético poliedro uás, que esa envolvente convexa tiene que ser un poliedro bastante particular. Uno podría pensar ah, agarro los platónicos y hago secciones. Claro, si no me equivoco históricamente, empezó así. O sea, buscando secciones regulares de los platónicos y ensamblando y formando poliedros con esas secciones. Pero uno... Ahí viene surge la pregunta y no habrá algún otro poliedro que no sea regular y de lugar a cosas de estas. Eso sería lo que estaría interesante. Bueno, ya adelanto que en realidad lo que pasa es eso. Es uno. El que va a aparecer esta vez es uno. Pero bueno, es algo. Capaz que uno esperaba más. Pero lo que pasa es que está el juego entre la transitividad, vértices, caras. Uno puede desglosar, puede poner dos cosas juntas, las tres por separados, ¿no? ¿Tamos bien? Bien. Entonces eso es una cosa. Capaz que miramos uno compuesto. La estrella octángulo. Ahí. Esto capaz que es bastante más conocido porque seguramente muchos ustedes vieron que en un cubo se pueden inscribir dos tetraedros regulares de esa manera. Bueno. Ojo. Capaz que conviene cuáles serían las caras del poliedro este. Capaz que es más fácil. Los triángulos que son caras de los tetraedros. Acá capaz que podemos ver, se mueve rápido el núcleo como curiosidad que queda un octaedro encerrado por todas las caras. Sería como quedarse con la parte interior de las caras y tomar la envolvente con vexa de eso. Si no me equivoco, es eso. Si no, está muy cerca. No importa mucho. Usamos como idea porque ahí va. Entonces son esos. Pero a estos poliedros se les llama compuestos. ¿Qué pasa? Se dan cuenta que dicen que generan intersecciones. Esos no son aristas. Si ustedes lo miran como sólido, es otra cosa. Acá insisto con eso porque me parece una idea importante. El proceso se da vuelta. Tengo una cosa combinatoria, una relación de incidencia entre aristas y caras y después voy al objeto. No es que agarro el objeto y miro ahí lo que estamos acostumbrados de la escuela. Me parece que es el cambio del punto de vista. Esto no es vértice ni esto es arista en esta mirada. Igual eso piense en un minuto si ustedes estarían dispuestos a llamarle propiamente poliedro a eso. Me parece que eso es una pregunta que ayuda también. Si lo miran como sólido, sí. Pero entonces ya aprovecho para mencionar otra condición que es relevante y que creo que se va a entender bien. ¿Qué es? A uno le gustaría que los que saben topología que sea con exo y los que no saben topología que sea de una sola pieza, el poliedro. Entonces una manera de pedirle que sea de una sola pieza es decir que se puede ir desde una arista cualquiera a otra pasando por caras que comparten una arista. O sea, se puede hacer una cadena de caras que comparten cada una arista con la anterior hasta llegar a la lista final. Me siguieron cadena de caras enganchadas que van de una arista a otra. Eso es razonable porque si no, empiezan a pastar cosas y no es un objeto indivisible. Entonces este no sería un poliedro propiamente. Es un poliedro compuesto en ese sentido. Se ve, ¿no? Porque yo no tengo una manera de pasar de una arista del rosado a una arista del verde concatenando caras del rosado y el verde porque las caras del rosado y el verde no se engancha, no comparten aristas. Claro. De vuelta. Todo en el gráfico. Bien. Entonces nada. La cosa es que hay igual se pueden analizar porque un poco lo que quería presentar hoy es que aparecen o sea, incluir a estos, a los compuestos entre los que voy a considerar como potencialmente totalmente transitivos. O sea, porque hay unos cuantos y son interesantes capaz que hacemos una miradita de no el último. Todos menos el último. El que no viene de un regular. Porque bueno, algunos ya lo sabemos. Bueno, este no lo sabíamos pero ahí va. Do de caedro entonces de vuelta el mismo buscan en este caso aparecen triángulos equiláteros ahí y forman este tetraedros con esos triángulos equiláteros y eso se puede hacer se pueden incluir en primera distancia 5 ahí, capaz que está bueno fijarse en que se llegó a los tetraedros tocan exactamente una vez los vértices en volvente convexa, que sería que sería el do de caedro. Bueno, ahí va. El do de caedro es la envolvente convexa. Eso se puede complicar un poquito más para los 10. Ahí va. Bueno, ahí va. Ahí lo tenemos el resultado, ya es más difícil de visualizar. Igual creo que se logra apreciar que ahí ya aparecen dos llegando a un mismo vértice. Ahí va. Así que cinco tres tetraedros regulares o diez tetraedros regulares con envolvente convexa el do de caedro. Quedó, o sea, de vuelta ¿no? Las caras entonces en este caso serían triángulos equiláteros. Entonces aparecieron pentágonos, regulares, estrellas regulares triángulos equiláteros. Está el caso del cubo que lo vimos ayer en escribir en el do de caedro. En ese caso las caras son cuadradas y esos son poliedros compuestos, pero que si nos liberamos del tema ese del que sean de una sola pieza, son totalmente transitivos en las caras sadistas y vértices. ¿Sí? Bueno, a ver, si hay algún voy a mirar la hora y a ver qué hacemos con el tiempo porque tengo que... Sí. Sí, no sé si eso se llega a ver en los dibujos que hizo Analia pero es verdad, perfecto lo que decís, que se superponen ahí va eso. Sí, claro, perfecto, ahí va. No, pero entonces o sea, las caras son esos triángulos superpuestos, está. El poliedro es compuesto, igual no es un poliedro en el sentido de que no es de una sola pieza por el problema de la conexión de las aristas. O sea, entre dos y dos sí. Sí, las cosas que están dentro de un mismo tetraedro, o sea tener esos tetraedros, las aristas que son de un mismo tetraedro, la podés ir de una otra por una cadena de caras. Sí. Sí. Y no, tampoco. Porque para conectar, para conectar aristas que están en el mismo vértice, no, esas aristas no están conectadas, porque vos no podés hacer una cadena de caras que las una, ¿se entiendes? La idea de cadena de caras, ¿no? Entonces, porque eso está bloqueado porque las caras de uno no se conectan con las del otro. Entonces, está. Sí. Sí. Claro. Sí. No. Sí. Perfecto. Sí. O sea, la pregunta, la forma de tomar tu pregunta podría ser, ¿no será que puedo formar ese políedor de otra manera con estrellas hexagonales? Esa es la pregunta. Y la respuesta es no. Pero digo, no con el diario de lunes. No, pero la respuesta es no, pero hay que analizarla. Quiero decir, pero está perfecta la pregunta. Porque, claro, está bien. Vos cambias. O sea, estarías cambiando el políedro, en realidad. Para tener la misma realización. Ver de forma combinatoria el políedor de otra manera con la misma realización. Está perfecta la pregunta. Yo digo de que lo que se desprende del teorema que tengo, que está sobrevolando, que voy a ver cómo hago para decir algo, se desprende que no. No. No quedaría regular. Capaz que lo podés armar. Pero no te va a quedar y es un ejercicio válido. Pero no te va a quedar respetando. Nos estamos entendiendo. O sea, la estructura combinatoria la podés cambiar. Está no lo bueno. Seguimos hablando después. Pero está perfecta la pregunta y se entiende. Bueno. Entonces, a ver. Vamos a hacer así. Yo digo que voy a escribir algo, escribo un poco y después veo si puedo ampliar. Una cosita, no más. O sea, que lo que tenemos es un poliedro p poliedro no necesariamente con vexo ni más más flexible. Totalmente transitivo. Transitivo. O sea, transitividad en vértices en caras vértices y aristas. El grupo que vamos a usar es el grupo de las simetrías directas. Con el grupo de sus simetrías directas. Sí. Sí. Es una correspondencia entre los grafos que preserva las relaciones de incidencia. Sí, hay un problema con la bajada a veces y eso está en su tema de estudio, yo que sé, pero en estos casos ese problema no está. Porque en la bajada, la realización se puede mandar cosas distintas del grafo en cosas iguales. Eso es necesario admitirlo. Pero eso es más bien, son cuestiones un poco más técnicas. Con el grupo totalmente transitivo con el grupo de sus simetrías directas. Entonces, a ver, aproximamos un poco. Pasamos. La idea general sería de p o sea, este admito que sea compuesto. O sea, flexible quiere decir caras que no son con vexas, con vexo y pueden tener varias partes. De acá pasamos a este. Sí. Y en grande la idea es tratar de descubrir cuáles son estos posibles poliedros y ver que las caras de estos tienen que aparecer con vértices en este poliedro. Entonces, como éstos no van a resultar ser muchos, se hace un análisis de los casos posibles acá y se sacan las posibles caras para los poliedros estos regulares. Eso es en grosso modo la idea. Entonces, la primera cosa sobre el poliedro P. A ver, propiedades que sean más o menos naturales o relativamente sencillas de verificar. ¿Los vértices del poliedro P? ¿Qué podemos decir sobre los vértices del poliedro P? Van a estar en una esfera. Eso no sé si lo llegan a ver porque los grupos posibles son los grupos del tetraedro del icosaedro de los poliedros regulares. Los grupos de simetrías posibles. Y son sistemas de ejes. Son ejes que pasan por un centro y entonces si uno rota la distancia de un punto que es movido por alguna de esas simetrías al centro del poliedro, esa distancia permanece constante. Y como el poliedro es transitivo en los vértices, o sea, los vértices se generan haciendo pasear un vértice con las simetrías del grupo. Entonces ese paseo es en la esfera. ¿Le siguieron? Entonces P tiene vértices en una esfera o es inscriptible. Tiene los vértices en una esfera. Esta es mi hipótesis. Una cosa que es más o menos clara es la siguiente. Es que las caras que creen que podemos deducir sobre las caras de mi poliedro es totalmente transitivo. Transitivo en las caras. Transitivo en las aristas. Los vértices están en una esfera como que ya estamos sobrados que va a tener que pasar con ese poliedro. Va a tener que ser regular. Podría ser una estrella. Las caras de P son polígonos regulares. Bien. Congruentes. Todos congruentes. Sí, gracias. Todos congruentes. Perfecto. Relación entre P y la envolvente de P. A ver si logramos visualizar algo. P y la envolvente. Es reimportante que los vértices de P están en una esfera. Los tengo por ahí. Si hago la envolvente de eso que puedo asegurar de la envolvente convexa de eso. Los vértices son esos los vértices. Son los mismos. ¿Logran? ¿Pero eso? Porque estamos en una esfera. ¿Eh? ¿Va a ser alguno de los sólidos platónicos? Ahí está yendo muy rápido. Para... Ya lo analizamos. Entonces lo que quería decir, lo que dijimos es que los vértices o sea de P coinciden con los de P envolvente. ¿Sí? Bueno. Entonces está planteado en el punto de si ya puedo deducir que es uno platónico. Si fuera uno platónico esto no tendría mucha gracia porque estaría haciendo todo un trabajo para encontrar las estrellas que ya las encontraron jugando con los platónicos hace bastante tiempo por lo menos. Sí, pero ya las tenía bastante dominadas. ¿Eh? La idea es que es que puede venir de otro. Entonces déjenme reflexionar un minuto en un dilema que tengo que tanto voy a decir y como lo voy a decir voy a hacer así. Voy a presentarlo de manera condensada y después si hace falta vemos más detalles para no cargar con muchos detalles. Hay una cosa que se puede ver que es la parte más técnica que es la siguiente sobre los vértices de la envolvente de P y es que esos vértices están en ejes de rotación no trivial por cada vértice de P sombrero hay un eje de rotación que no trivial. A ver. La afirmación sería por cada vértice de P pasa un eje de rotación un eje de simetría de rotación de simetría de P de la propia envolvente de rotación no trivial rotación no trivial rotación no trivial no trivial o sea no ley identidad bueno no se eso no pretendo que sea visualizable esa es la parte que se probaría lo puedo hacer después capaz metiéndose un poquito más en la acción del grupo lo que a ver componiendo el poliedro P las buenas propiedades la buena propiedad de ser totalmente transitivo envolvente con vexa, los vértices de P son los vértices de P estrella y tengo esta antoza en una esfera y tengo esta cosa adicional entonces cuáles pueden ser los órdenes de rotación que pueden aparecer bueno podrían aparecer en esos ejes el orden el orden 2 por ejemplo o sea si esta rotación tiene orden 2 yo lo que tendría que hacer es analizar que pasa con la órbita de un puntito o sea toma un vértice solo ese vértice tiene que viajar por las simetrías vas a ser llevado por las simetrías en la esfera de la envolvente entonces tendría que ver que puede pasar con ese vértice ahora si la simetría es de orden 2 supongamos que la rotación supongamos que la rotación de 180 orden 2 es 180 grados pero los grupos que tenemos para que nos hacen el paseo del vértice son los de los platónicos eso sí es cierto porque es el teorema de Klein lo dije, obviamente no lo demostré entonces lo que tendría que hacer es hacer ese análisis y no son tantos porque en realidad como los grupos de simetrías esta la dualidad hay 3 tipos y bueno y dejando de lado los más triviales, los de menos dimensión son 3 tipos, el octaedro dodecaedro y tetraedro entonces a ver, hagamos este ejercicio a ver si osea yo uso el dodecaedro para representar al sistema de simetrías osea el grupo no piensen en el objeto osea hay que pensar que lo uso para tener los ejes de rotación entonces si yo quiero agarrar un punto voy a agarrar un punto que cumpla eso que esté en un eje de rotación de orden 2 y a ver que pasa con ese punto entonces donde tomo un punto acá que esté en un eje de orden 2 lo habíamos analizado no se acuerdan no, esto es inexistente claro osea vértice de mi poliedro no tiene por qué ser vértice punto perfecto tengo que ir a un punto que sea punto medio de las alistas tome los dos está bien, esos puntos acá están en los ejes de rotación osea acá hay rotaciones de 180 solamente entonces ese punto en este caso son dos pero está lo mismo los paseo con las simetrías de mi poliedro que es uno de los tres tipos que tengo de simetrías, de sistemas de simetrías, de grupos de simetrías lo paseo, cuando paseo y ahora los dejo pensando un minuto cuando paseo ese punto con las simetrías que es lo que me da a ver si pueden no tengo dibujo para esto mis dedos marcan los puntos que van a ser movidos entonces yo a ver hagamos el ejercicio así ponganle, hay un eje de una rotación de orden 3 en el vértice superior y en el vértice inferior lo están viendo eje de una rotación de orden 3 el punto que marca mi dedo es movido por esa rotación que genera un triángulo arriba y otro abajo bien seguimos el ejercicio ahora giro respecto de un eje que está en el pentágono que está hacia mi lado en el centro del pentágono que tiene a esta lista que está casi tapa o cualquier otro pero cualquier otro giro con respecto a un eje que pasa por el centro de uno de los pentágonos que tocan a la lista en la que estoy apoyado y ahí que se genera cuando hago esas rotaciones que son de orden 5 se generan pentágonos aquí es lo que pasa en todas partes porque son las rotaciones que hay las de orden 2, las de orden 3 como generadores entonces pentágonos y triángulos ¿si? ¿siguieron? no sé si eso lo asocian algo que ya vimos el icosidode el último el último de las estrellas el de los octahedros entonces ahí va ponelo que se vea un poquito más que se vea ahí va, está, perfecto este ya lo habíamos visto, había pasado era uno de los semirregulares cuenta que lo que estuve diciendo recién o sea estos puntitos acá los vértices de este poliedro son que son la órbita del punto que tomé o sea el paseo que hizo ese puntito es el que elegí llevado por las simetrías en este caso del do de caedro entonces qué me está diciendo esto me está diciendo que ese poliedro es un poliedro a explorar o sea yo de todo ese universo posible de explorar que tendría que explorar para ver como envolventes y para ver las caras porque eso en realidad no es tan disparatado está bastante cerca pero no es un solido platónico, entonces este es uno de los que hay que explorar y si lo exploran, ahora sí lo mostramos a ver si lo tenés más despacio ya lo mentiste de una porque qué pasa claro acá hay que inspeccionar hay que mirar y ver qué se puede inscribir un octaedro o sea el análisis sería, se pueden colocar triángulos equiláteros y después se pueden compaginar octaedros y eso se puede hacer de cinco maneras de forma tal de que en cada en cada vértice haya un octaedro incidiendo y entonces lo que quise plantear es que ese sería un poliedro que es candidato a ser totalmente transitivo uno lo construyó y al construirlo fue viendo tendría que chequear que realmente es totalmente transitivo a ver si se quedan con la idea la idea es con un argumento que está oscuro por ahora vemos qué hacemos con eso yo llego a un nuevo poliedro en ese poliedro examino secciones que sean regulares y después construyo cosas con eso y eso completa, ese es el que completa la lista en realidad capaz que uno esperaría con tanto trabajo encontrar más pero completa la lista de los otros que salen de los platónicos a ver, los dejo un minuto pensando alguna pregunta que pueda llegar a contestar bueno, algo que pueda decir algo cómo se ve que no hay más claro, lo que pasa es que lo que hay que hacer está bien, esta es la parte que estaba como suelta pero puedo dar una ideita en general en realidad se analizan las posibilidades acá no son muchas más hay que mirar las rotaciones de orden 3 y de orden 5 y ahí haces el análisis o sea no te aparecería ningún otro poliedro que no sea platónico si seguís haciendo el análisis o sea el conteo ese de los posibles órdenes entonces estarían estarían todas obviamente hay que chequear que los objetos que obtenes o sea es una combinación de un trabajo como muy artesanal que está bastante limitado por la parte que no expliqué mucho pero que es la de las acciones que eso controla los casos que hay que explorar está bueno, no sé yo creo que visto y considerando, no me voy a meter en la parte técnica si alguien que comentamos afuera, si alguien quiere algún detalle de todas formas van a salir, las notas van a estar disponibles más adelante o sea la versión que está ahora tiene menos cosas que la que vimos acá pero yo voy a mejorar esa versión y en algún momento del año que viene va a estar disponible o me escribe o hablamos o lo que sé nada, para cerrar el tema de la definición como que hice también un proceso en este tiempo que un poco lo completé en estos últimos días tratando de entender algunas cosas que todavía me quedaban sueltas y obviamente me quedan muchísimas más por entender que el proceso de la definición porque uno de los autores que trabajó bastante recientemente en estas cosas es Grumbaugh yo los puse en la referencia y él en el 77 hizo una clasificación de los polideros regulares que la condición de ser regulares un poquito más que ésta es ser regular es ser transitivo en las banderas y la bandera es es simple la idea o sea si ustedes tienen un pentágono una bandera sería tomar un punto un vértice una arista que lo contenga y una arista que lo contenga y una cara que contenga esa arista eso es una bandera entonces la regularidad propiamente esto no es la regularidad propiamente es más débil es transitividad en las banderas llevar una bandera a tomar una bandera cualquiera tomar otra bandera cualquiera y llevar una en la otra en estos en realidad estos no estoy seguro los otros las primeras estrellas y los platónicos son transitivos en las banderas y lo que hizo Grumbaugh fue estender un poco la definición de polideros permitiendo cosas infinitas y entonces aparecen por ejemplo para contar rápidamente los dibujitos las representaciones que están acá este por ejemplo si ustedes miran son todos exágonos ensamblados y esto continuaría infinitamente entonces eso podría ser considerado también un poliedro ahora la restricción que cayó o sea, las caras están todo bien, son planas, son convexas la restricción que cayó es que son claro, no se ha cotado, es infinito infinitas caras pero después las cosas de incidencia de las caras van bien siempre una arista es parte de dos caras una cosa de vuelta se piensa acá en este caso lo podrías pensar como superficie pero una cosa que creo que se ve es que no tiene interior y exterior no tenes una manera natural de definir interior o exterior otro del mismo estilo es este que también es con exágonos pero es diferente exágonos también ensamblados sigue hasta el infinito y se puede hacer con cuadrados también una cosa similar que es más fácil de imaginarse porque creo que hay instrumentos de cocina que son de ese estilo para cortar cosas creo, tengo esa imagen bueno entonces esos tres familias, o sea, esta y la que no está la que se usa para cocinar y no está esas tres serían los tres de esta categoría nada más que son regulares lo que quería decir es que Grumbaugh lo que dijo es, dio una definición en el 77 hizo una clasificación, publicación, revista arbitrada todo bien la definición tuvo que ser corregida a poco después la clasificación tampoco estaba 100% bien hubo que corregirla eso fue en el 77 y ahora en el 2007 está dando otra definición que es más abstracta, claro es alguien que está en la cresta de la ola de este tema y ya había tenido toda esa evolución así que espero que eso sirva como disculpa de que no llegue a dar nunca una definición precisa de poliedad eso es todo