 4, 3, 2, 1, ahora comienzo. Ok. Creo que estamos vivos. Sí, creo que estamos vivos. Sí, estamos vivos. Ok, hola a todos. Bienvenido al web número 87 de los webes de Latinoamérica. Hoy tenemos a Abelino Vicente, y en realidad, es un poco sorprendente que tenemos a los webes de 87. Él era uno de los primeros organizadores de los webes. Puedes ir al web número 6, y ver a su hostia. Así que estamos muy sorprendentes a Abelino por estar tan tarde y invitarme. No hay problema, no hay problema. Estamos tremendosamente contentos de tenerlo ahora mismo. Gracias. Así que déjame decirme algunas cosas sobre Abelino. Abelino actualmente hizo el PhD conmigo, en Valencia, muchos años atrás, en 2007, en 2010. Después de eso, Abelino le dio a Maricuri, y lo spentó un tiempo en CERN. Y luego, hizo un par de polsdokes en Borsburg, en Orsay, y en Liege. ¿De acuerdo? Entonces, probablemente, su francés es fantástico. Bueno, entonces, Abelino regresó a Valencia, y ha estado ahí, supongo, desde 2015, en varios diferentes contractos prestigiosos. Y ahora, es about to start a Ramón y Cajal, which hopefully will lead to the permanent position that we are all dreaming of. Así que, antes de comenzar, let me remind everybody that you can ask questions through the YouTube, a system through the YouTube chat. And remember, there is a lag, right, that we takes like 10 seconds or so for us to get your questions. So, please don't be shy. Don't be shy and ask your questions as soon as you get them. So, I think that's all. Let me put Abelino as the featured video here. Okay, and you can share your screen. Yes. And we're all yours. Okay. Well, really, thank you very much. I'm very happy to tell you about my work and to share this moment with so many good friends. So, thank you very much. I'm very happy to tell you about my work and with so many good friends. So, it's really fantastic to be with you guys and with everybody. So, I'm going to tell you about some work that we did by the end of last year and we're still working on it about neutrino masses. So, this is working collaboration with Isabel Cordeiro Carrion who is a professor of mathematics here in Valencia and with Martin Heer who is also a professor but in my institute in physics. So, we finished this, we finished this last year and we got it published in physical review D and hopefully, and this is something that we are trying now, we are going to have a second paper explaining in more details what I'm going to tell you in a moment that hopefully will be finished by in this month, but we don't know yet, maybe next month. Okay. So, let me start. So, let me begin with a very basic motivation for this work. So, as you know very well in the standard model, neutrinos are massless. This was something that the model was defined was a perfectly valid because all the measurements at the time were perfectly consistent with the massless neutrinos. Therefore, there were no right-handed neutrinos in the model. The lepton sector is also minimal, meaning that many scalar fields that could be added that would be also potentially leading to neutrino masses were absent. And that led to a model with the lepton number conservation and with all these ingredients neutrinos are massless. However, there were several problems, several puzzles that appear along the years. You know very well about them because there were many webinars already about this, but let me just remind you very quickly. So, several sources producing neutrinos were investigated, for example, the sun that produces neutrinos in nuclear reactions continuously. And by putting detectors on Earth, we were trying to detect these neutrinos and compared the number of neutrinos that were observed with the number of neutrinos that were expected by theoretical calculations. This is one example with the sun, but also with neutrinos produced in the atmosphere. There were also experiments trying to detect the neutrinos that are produced when cosmic rays, for example, hit particles on the atmosphere. And the problem was that in these experiments both looking at the sun or at the atmosphere, the number of neutrinos that were detected on Earth was much smaller than the number of neutrinos that were expected. So, there were missing neutrinos. And there was a big problem for many years and eventually, and this is the solution, we found that actually the problem was that neutrinos oscillated, meaning that in the propagation when they travel from the source to the detector, they change flavor. So, neutrinos carrying the standard model in three flavors. So, there are three copies. And sometimes the neutrino is produced with a given flavor, but it's finally detected with a different flavor. Or to be more precise, when it reaches the detector, it has a different flavor. So, if the detector is not ready to detect this type of neutrino, we just don't detect it and that's why we were detecting less neutrinos. This is something that is nowadays super clear. The experiment, Nobel prize was given in 2015 for this and it's, as I said, completely established. However, if neutrinos oscillate and I don't have the time to explain this, but if neutrinos oscillate, they need to have a mass. So, neutrinos oscillations are already approved that the standard model is not complete and we need to extend it in a way that allows us to have neutrino masses. So, the problem is that there are many ways to do this. In this talk, I will concentrate on a type of model that is called Majorana Neutrino Mass. Basically, that breaks the number. So, there are two ways you can conserve or break the number. This is probably the most popular one for several reasons. And I will concentrate on this possibility, but even when you take this possibility that is only one out of two, there are many ways in which you can do it. For example, you can get neutrino masses at three levels. This is the simplest way. But you can get those neutrino masses at the loop level, at the one loop level, two loops, three loops and so on. Also, neutrino masses can be produced by some high energy physics, physics that happen at very high energies or by some low energy physics very close to the standard model typical scale, to the electro-width scale. And also, the type of operators leading to neutrino masses could be of many types. So, there are many models and I like to compare this with the type of beers. So, there are also many types of beers and you have your favorite and you like yours more than the others and that's it. And actually, you have already several webinars about neutrino physics and some of them concentrated on specific models. For example, I think the most useful example is the type of beer for example, I think the most recent one was by Marco very recently, but also you have in this list a few more and probably others that I missed. So, you know already that there are many varieties there are many neutrino mass models. So, what is the goal of my talk? So, I want to do two things. First, I want to see if it is possible to unify all possible Majorana models with a master formula. So, a formula that can describe all the models. This is the first thing. And second, if we find this formula I want to find a solution for this formula that is valid for any case. So, a master solution for this formula. So, this is what I'm going to tell you today. First, I will begin by telling you about the formula, what I call the master formula. Then I will discuss the general solution to this formula which is the master parametrization and finally, because these things might be a little bit mathematical at this point I will try to give you an application to illustrate how this works in practice. So, let me begin with the first part with the master formula. So, let me go. This is the master formula. I think you already love it just by looking at this formula. It's super simple. So, let me explain what this means. First, this small m is the Majorana mass matrix for the light neutrinos for the normal neutrinos. This is a Majorana mass matrix and since we have 3 neutrinos it has to be 3 by 3. Now, this can be always written and you will be convinced in a minute about that in this way, as a product of several things. First, there is a factor that we call F which is just for convenience. So, it's a global factor which can have numerical factors for example 1 over 16 by square or some model parameters ok, it's just a global factor. Now, we have several matrices First, we have this Y1 and Y2 These are just 2 yukawa matrices Y1 is defined as a m1 times 3 yukawa matrix while Y2 is an m2 times 3 yukawa matrix with m1 and m2 2 integrers sorry, 2 natural numbers that just without loss of generality I will assume that m1 is larger or equal a than m2 ok, this is just a choice but it's just a definition and finally, this capital M that you find here in the middle ok, this capital M is just a n1 times n2 matrix with dimensions of us Now, for people who are used to work with neutrino masses with model building, who have experience with different models, I think already at this point they are convinced that this is actually a formula that is valid always any model you have in mind can always be written in this particular way but since some people need to be convinced let me go to some examples models and show you how it can be written in this particular way so let me begin with the most typical example, the type 1 season this is the model that everybody knows this is the model that we learn basically at school and everybody is familiar with it so in this particular case you have some right handed neutrinos that you add to the standard model these right handed neutrinos have a Majorana mass and you can get this type of diagram in which you generate neutrino masses at true level this is a very popular mechanism now, by looking at the general formula the master formula and the formula for neutrino masses in this particular model, you can see that there is a clear dictionary between this model and the general the general formula for example f is equal to minus 1 n1 and n2 supposing there are 3 families of right handed neutrinos n1 and n2 is 3 they are equal and they are 3 and the 2 yukahuas y1 and y2 in this model they are the same yukahuas so you can write it like this I call it just y and finally this matrix here times this d squared divided by 2 is basically this capital L so there is a very easy translation between this formula and the general master formula at this point I think this is very easy now let me go to a little bit more complicated example so in this case I'm going to tell you about the inverse iso some people maybe are familiar with this model as well it's similar in a way to the type 1 iso so you just have to add singlets to the standard model singlet fermions you have this right handed neutrino that we had before but now also we have like a second type of singlets this S fermions I call them S here now this S fermions all these S fermions have a mayor amount that I call mu and these M and S fermions they have a Dirac mass M R ok that appears here and here with these ingredients you can draw this diagram and eventually you get this expression for neutrino masses ok and now again you can establish a dictionary between this model and the general model the general formula in this case F is 1 again assuming that there are 3 families 1, 2, y 2, y 2, y 2, y 3. Los dos yucahuas son, de nuevo, los mismos. Así que y1 y y2 son iguales. Y, finalmente, m, que en el modelo anterior era solo el inverso de mr. En este caso, es una combinación que involucra un producto de tres matrices. Pero eso es todo. Así que es solo una sección simple entre este modelo particular y el fósculo de master. Entonces, vamos a un nuevo paso y considera un modelo que genera neutros mases en el nivel de la mirada. Este es el ejemplo del modelo escotogénico. Es un modelo muy popular ahora mismo. En este caso, y tú tienes, en realidad, un webinar sobre esto. En este caso, básicamente, te introduzco, de nuevo, los neutros de la mirada. También te introduzco un escalar que se llama ETA, un dobleto, y el su2. Pero estos neutros de la mirada y este dobleto, están asumidos a ser charcos bajo una set 2 parity. Un tipo de parity. Así que en este modelo, tienes un parmato, también. Ahora, el punto que es importante para nosotros es que esta parity es para meter neutros de la mirada en el nivel 2, así que solo genera neutros de la mirada en el nivel 1. Y te dices una expresión como esta. Entonces, te dices una copina de 5 que aparece aquí en esta parte. Te dices aquí. Te dices la 1 sobre 16 pi al cuadro, que es típicamente una mirada cuando tienes una mirada. Y también tienes una función de mirada que me llaman f loop. Es una matriz, porque esta función de mirada depende de los mases de los particulares en la mirada. Y si tienes tres familias de estos right-handed neutros, esta es actualmente una matriz. Es una matriz diagonal, pero una matriz. Y, de nuevo, es muy fácil establecer una adicción. Así que f es solo este ratio, lambda 5 dividido por 16 pi al cuadro. Y las dos aguas son actualmente the same. De nuevo, y, finalmente, capital M es creada por esta expresión que ahora también involucra la función de mirada. Así que es muy similar a la anterior y también a la anterior, a la primera, pero incluyendo ahora la función de mirada en la definición de capital M. Pero el resto es lo mismo. Ahora, un más ejemplo, y esto no es tan trivial anymore. Esto es el so-called linear CISO. Y en este caso, adecuas varios tipos de síngües para el modelo estándar. Tienes esta N y esta S. Así que es similar a la inversión. Pero ahora, en vez de tener una mayor mass for S, tienes un número lector que viola la caplina con los neutros, con los neutros normales. Y eso le permite que te diga este diagrama que te da este formula neutrónico. Y puedes notar ahora que, en realidad, estos dos caballos ahora son diferentes. Así que la formula contiene estos dos diferentes piezas. Una es la transposición de la otra, como debería ser, porque la expresión total tiene que ser simétrica. Y la diccionaria ahora es básicamente aquí, así que la única diferencia con el modelo de pibis es que ahora y1 y y2 son diferentes. Así que creo que con esto estás convencido. Así que puedes ir a todos los modelos, todos los modelos de Majorana en el mercado y puedes siempre encontrar una sección entre los modelos que te encuentras y esta formula de pibis. Ahora, ¿qué es el punto ahora? Así que tenemos esta formula de pibis, que es bien, pero es solo, a este punto es solo una formula general que no te da nada. Ahora, ¿qué es el problema? Típicamente, quieres estudiar la fenomenología de un modelo. Por ejemplo, quieres calcular los ratios de branching por algunos casos o quieres estudiar la producción en el LHC o esa fenomenología. Y en order para hacer eso, necesitas tener algunos observables que dependen de estos caplines de Y1 y Y2. Sin embargo, los caplines de Y1 y Y2 no son gratuitos. Ellos están preparados para seguir esta expresión, esta formula de pibis, porque quieres explicar las observaciones en experimentos de neutrinosilación. Quieres para que la observación de neutrinosilación e mezclos de mezclos. Por lo tanto, debes asegurar que cualquier caplina de Jukawa que usas en tu estudiación es una solución para esta ecuación. Entonces, el objetivo de este parámetro y este trabajo en general es establecer una parametriz para Y1 y Y2 que garantiza que esta ecuación sea actualmente valida. Ahora, hay tres cosas que queremos para esta parametriz. La primera es que queremos esta parametriz para ser general. General significa, en este caso, que es valida para cualquier modelo. Así que, debido a esta fórmula, es valida en general para cualquier modelo, consideraremos estas fórmulas como el primer punto. Entonces, la formula general será el primer punto para la parametriz. Segundo, queremos esta parametriz para ser completo. Y aquí, completo significa que queremos la parametriz para contener todos los posibles grados de libertad de tu modelo. Entonces, es posible, por ejemplo, decir aquí, ok, si tengo M, puedo decir que por ejemplo, me take M para ser diagonal, solo por la opción y me take una solución posible para Y1 y luego me solve para Y2. Ok, no quiero hacer eso, porque ya he elegido algunos casos particulares para capital M y para Y1. Y esto no es lo que quiero. Quiero encontrar todas las posibles soluciones para esta ecuación para que no lo perdiera cualquier parametriz en el modelo. Y esto, les mostraré en el final por qué es importante. Y, finalmente, me gustaría si esta parametriz es programable, porque si quiero hacer un estudio numerico de un modelo, quiero usar esta parametriz para dar un scan, por ejemplo, del espacio paramétrico. Ok, entonces, este es el objetivo y esto es lo que voy a mostrar. Ahora, también para las personas familiarizadas con este negocio, probablemente, seas consciente de una parametriz que es superfamous y por muy buenas razones, que es el so called Casasivara parametriz. Esto es un caso particular, así que, en un sentido, no es general, porque es solo valioso para el año pasado. Entonces, verás un paralelismo con la casasivara parametriz, pero verás que, porque queremos ser más generales, también nuestra parametriz será más complicada. Entonces, vamos a encontrar esta parametriz master. Esta es la parte principal de la conversa. Así que, espero que already voy a mostrarles la parametriz master. Está aquí. Ok, esta es la solución para la cuarta secuencia. Así que, primero, no entiendes nada. Así que, vamos a ver las diferentes métricas que aparecen en esta expresión. Y verás todo. Aunque, voy a decirles que esto va a ser un poco matemático por ahora, por un par de luchas. Así que, estoy muy orgulloso de eso, porque va a ser un poco técnico, pero tengo que explorar la parametriz. Esto es el canal de la conversa. Así que, primero, déjame definir estas métricas que aparecen aquí. Ok? Así que, la secuencia de M y U aparecen en la diagonalización o, para ser más precisos, la factorización de M. Así que, puedes siempre llevar M a una forma diagonal por el significado de una matriz unitaria llamada U. Esa es la matriz de la mezcla leptónica o de los PMS. Y esto te da los tres valores de eigen y estas mezclas que aparecen en las naciones neutrinas. Ok? U y DM aparecen en esta definición y están muy conocidos. Ahora, aquí escribí esta m² porque escribo las naciones neutrinas de los valores de eigen, no los valores de eigen. Y, segundo, pido esta barra aquí porque voy a considerar dos casos posibles. Los experimentos de la neutrinosilación nos informan que al menos dos de los valores de eigen tienen que ser non-zero. Ok? Y esto, básicamente, nos dice que el rank de M, así que lo llamé Rm, Rm, perdón, tiene que ser either 2 o 3. Es uno de los dos. Entonces, en order to consider both cases, definí esta cantidad en este particular modo. Cuando Rm es igual a 2, perdón, cuando Rm es igual a 3, perdón, tengo esta expresión, así que solo la ruta de la escuadra de los valores de eigen diferentes. Pero cuando Rm es igual a 2, entonces cuando hay sólo dos valores que son diferentes de 0, definí esta cantidad aquí, estas mezclas aquí. Entonces, yo tengo, básicamente, las mismas cuantos que sienten el gato, sienten el valor de eigen con una escala que usan solo para referencia. Y esta p no es nada, pero es una mezcla permutación en caso de que tengas que considerar la ruta de la escuadra de Inver. Si quieres considerar la ruta de la normal para los neutrinos, p es la identidad. Si quieres considerar la ruta de la ruta de la neutrinos, quieres poner este tipo aquí, en el primer elemento. Así que solo tienes que poner el primer y tercer ruta. Ok, nada más. Ok, déjame ver. Ya sabéis el significado de estas mezclas aquí. Están actualmente vinculadas de experimentos. Así que puedes measure estas cuantas. Ahora, también hice algo con capital M. Hací un valor singular de la composición. Puedes siempre escribir capital M, que es, en general, una matriz rectangular en este modo. Así que puedes llevarlo a una forma particular, que es diagonal. Ok, diagonal es un modo general, porque esto es en principal rectángulo. Pero tienes que el principal diagonal es el único que contiene la entidad non-zero. Y puedes hacer eso siempre por la medida de dos matrices unitarios. Que se llama aquí V1 y V2. Y esto es lo que aparece aquí. V1 y V2. Ok, tienes estas dos matrices unitarios. Ahora, también me permito la posibilidad porque quiero ser completamente general. Que algunos de los valores de capital M es 0. Esto es posible, así que me permito la posibilidad. Y por eso distinguido entre sigma hat y sigma. Sigma es el subblock dentro de sigma hat que contiene la entidad non-zero. La entidad non-zero de eigenvalues y usan eigenvalues con marcas de marcas de capital M. Y esto me da el número M, que es el número de non-zero eigenvalues. Ahora continuo. Entonces, ya que introduzco M puedes ver fácilmente que, ya que esto debe ser un valor cuando M es igual a M1 y M2 o cuando están diferentes hay algunas matrices que puedes convencer muy fácilmente que sienten estas entidades cuando no son las mismas. Así que introduzco X1, X2 X3 X4 X5 X6 X6 X6 X6 X6 X6 X6 X6 X6 X6 X6 X6 y en ese caso, W bar no es presentado, pero tienes posibilidades. Entonces, puedes dar para un rango que es menor que N, y en ese caso, tienes que completar esta matriz para obtener una matriz cuadrada que es unitaria. Eso te permite definir W y W hat, que en principal son diferentes, que podría ser lo mismo si N y R son lo mismo. Ahora, vamos a esta matriz aquí, A. A es una matriz con dimensiones A, R x 3, y puedes escribirlo de esta manera. T x C1. T es una matriz anapertanagular con estas dimensiones, con todos los elementos en el diagonal positivos y real. Una matriz anapertanagular. C1 es una matriz, voy a mostrarles un ejemplo más tarde, que depende de las valores particulares R, M y R, y puede contener tres parámetros. Voy a mostrarles un ejemplo más tarde, que no tiene una matriz anapertanagular. Pero es solo una definición. Usamos esta matriz en nuestro papel, así que puedes ver para tu particular caso lo que es la forma de esta matriz. Y finalmente, B hat aquí es definida de esta manera. Puedes definir B hat, de nuevo, como la unión de dos matrices, B y B bar, con estas dimensiones. C es R x 3 y B bar es el resto, M-R x 3, para que B hat es N x 3. Si N y R son lo mismo, B hat desaparece, se evita. Por el otro lado, B puede ser computado de T, que introdujo antes porque es dentro de A, C1, y dos nuevas matrices que introdujo aquí, K y C2. C2 es solo una matriz anumérica, que es la forma de esta matriz. Y finalmente, K es una matriz antisymmétrica R x R. Y eso es todo. Para tu particular caso para C1 y C2, como prometido, en el caso típico, que todos piensan siempre, hay tres valores de la matriz neutro de 0 y el rango de W es igual a 3, o el máximo rango de W, entonces C1 y C2 adjazan la identidad y todas las expresiones previas simplifican mucho. Pero, de nuevo, debido a que estoy intentando hacer la solución más general, tengo que, en principal, dar una debilidad para cualquier posibilidad. Entonces, déjame sumar, porque estoy seguro que estás perdido. Esta es la solución para la fórmula de la matriz, tienes una expresión por Y1 y otra expresión por Y2 que están en términos de varias matruchas que introdujo. Algunos de estas matruchas, por ejemplo, U y D bar de la fórmula de M, estas dos matruchas aquí, son solo input experimentales, que van por medidas de experimentos de nitrenosilación. Ahora, de los modelos tienes estas factores globales que aparecen aquí y también tienes capital M. Y capital M te da sigma y v, solo por tomar la composición de los parámetros que están encodidos en estas matruchas aquí. W, A, T, K, y todo el método que discutí antes. Así que, típicamente, introducirás algunos parámetros gratuitos, usarás los datos de input experimentales, usarás tu modelo para obtener estos parámetros, y luego compras Y1 y Y2. Espero que no estés perdido en este momento, estoy seguro que si lo miras, verás como esta, hay que hacer estas definiciones. Las definiciones están terminadas, os prometo eso. Ahora, déjame decir un par de cosas para convencer que lo que hice es correcto. Primero, déjame compras parámetros. ¿Cuántos parámetros tenemos? En general. El número de dos parámetros puede siempre ser computado haciendo esta operación simple. El número de dos parámetros en tu modelo será la suma de dos parámetros en Y1 y dos parámetros en Y2 de las consensas o las equationes que tienes y menos el número de restricciones que puedes tener en tu modelo particular. Por ejemplo, Y1 es un métro 3XM1 que te dará 3XM1 compres cuantos o 6XM1 reales. Así que siempre he contado reales. El mismo aplica en Y2. De nuevo, puedes computar el número de tres parámetros en Y2 y esto es 6XM2. Ahora, el número de equationes puedes contar. M es simétrica. Entonces, el método de forma mástica te da, típicamente, 12 restricciones porque quieres estas metas para ser simétricas. Pero puedes ver que cuando sólo uno de los valores es diferente. Sí, exactamente, cuando uno de los valores no... cuando el rango de W es 1 actualmente puedes ver que hay 2 reales restricciones y 2 reales equationes que son actualmente equivalentes. Entonces, no tienes que contar. En ese caso, solo tienes 10 equationes. Y finalmente, aquí es una cantidad dependiente de modelo. Por ejemplo, imagino que tienes un modelo en el que las yucahuas son antisymmétricas. En ese caso, hay restricciones adicionales que tienes que tomar en cuenta para computar el número de tres parámetros. Ok, así es la calculación simple pero puedes hacer una calculación más complicada con nuestra parámetro de métodos. El número de tres parámetros tiene que ser exactamente lo mismo que el número de tres parámetros que hay en las metas que aparecen en la parámetro de métodos. Y estas metas, algunos de ellos todos ellos tienen un número de tres parámetros bien definidos. Por ejemplo el método X1 tiene este número de parámetros y X2 es el número de parámetros. El W debe ser una matriz unitaria que reduce la cantidad de parámetros en este modo. En general, puedes computar estas metas y estas son modelos independientes. Vale, puedes calcular por ver en tu modelo la aplicación de las parámetros de métodos puedes calcular cada una de estas caras y puedes always ver que esta suma es exactamente model y aquí tenemos una mesa. Así que puedes ver que, dependiendo de M1 y M2, y dependiendo de M y R, hay varios escenarios que puedes considerar. No tengo tiempo para definir esto, así que quiero convencer que hicimos esto correctamente. Puedes calcular el número de tres parámetros. Por ejemplo, el caso típico, que es escenario 1, cuando y1 y y2 son tres parámetros, cuando el rango de W es 3, que es el número máximo, cuando el rango de M es también una mesa, así que tienes tres diferentes neutrinos masivos, entonces el número de tres parámetros en tu modelo es 24, 24 parámetros reales, ¿ok? Y se distribuye en diferentes matrices como este. Así que, en este caso, x1, x2, x3, bbar y c1 no contienen ningún tres parámetros, y en realidad algunos de ellos son actualmente absentes. Ellos son totalmente absentes, porque algunas cualidades entre estos números son presentadas, ¿ok? Entonces, puedes adaptar este parámetro a cualquier modelo. Ahora, esto es, digamos, la prueba matemática, que es lo que hicimos, es correcto. También tenemos una prueba matemática, que vamos a presentar en el documento seco. Pero ahora hay otro argumento para las personas trabajando en la física neutrina también es muy bueno, que es el so called Casasibara Limit. Entonces, déjame considerar nuevamente el tipo de ciso, que es el modelo típico que todo el mundo sabe. Hemos already told you in a previous slide that the general, the formula in this particular case is here, and when you do the matching to the general formula, you get this dictionary. So, you already saw this, so you are already familiar, I don't need to explain anything. Now, using this and the formula for the master parameterization that I just told you about, you can derive some conclusions. So, the fact that capital M, if you take M1 and M2 to be the same, capital M is actually and also for this particular model has to be symmetric. When this matrix is symmetric, you can always go to a basis in which this basis, this matrix is diagonal by using v1 equals to b2. So, diagonalize with only one matrix, you don't need two. This is very well known by people who have experience with this. And also, if you work in the mass basis, so if you suppose that your starting point is a basis in which this matrix is diagonal, then these matrices are just the identity, you don't need to diagonalize anything. Also, if you take these choices here, so all the matrices are 3 by 3, all the runs are maximal, then these matrices are just absent, they just disappear from the master parameterization. And now, in this particular model, you have y1 equal to y2. You can use now our master parameterization, make both Yukawa couplings equal, and then derive some conclusions. With some algebra that is not very hard, but I don't have the time to do it, you can get to this conclusion by having both Yukawa's to be the same. Also, you can do a bit more algebra, and then you actually reach this conclusion, which, when you put it back, you conclude that WA, this product of matrices, is actually orthogonal, meaning that you can define a matrix R, which is just the product of W times A, which is an orthogonal 3 by 3 matrix, such that you have this equality over here. So R transpose R is equal to R, R transpose is equal to 1. So for some people, this is already very familiar. So you just put all the ingredients back in the master parameterization, and then you get that for this particular case, the master parameterization reduces to this expression, which is nothing but the Casasibara parameterization. So this R that I introduced here, as the product of these two matrices, is the so-called Casasibara matrix. You can also do parameter counting, and actually that is very illustrative, because I told you before, let me go back one slide, I told you before that in this case, in this scenario 1, you had 24 parameters. However, if you say now that Y1 and Y2 are equal, you get exactly 18 restrictions, because 18 real restrictions, because you are basically having 18 additional equations in your problem. So Y1, Y1 is equal to Y2, Y1, and so on. This gives you 18 equations. 24 minus 18 is 6, and 6 is the number of parameters that you have in the Casasibara parameterization, because everybody in the field knows that R can be parameterized by three complex angles. Three complex angles has six parameters. So you see that the counting also works here very well. So I guess with this, you are already convinced that this master parameterization is correct, but if not, you can also go to the paper that is going to be out hopefully this month, and you will see the proof, the mathematical proof. Now, to conclude, let me give you an application to give you a little bit of a motivation, because so far it was just a mathematical discussion of how this general parameterization could be useful. For this, let me use a new model that I didn't introduce before. This is the so-called BNT model, and it comes from these three gentlemen here. In this model, you have basically a simple extension of the standard model with basically one exotic scalar, which is a four plate of S2 left. It's given here, this capital phi. This is not the X boson, so this is a new scalar. And you also have some triplets, some triplets fermions with minus one hypercharge. With these ingredients, you can write these three additional terms in the Lagrangian. So you have a Yukawa coupling with the standard model leptons, the Higgs tablet, and this fermion that you have introduced here. You have a different coupling. This is important. This is a different coupling involving not the Higgs tablet but the new four plate, the new S2 left four plate capital phi. And finally, you can also write down, of course, a Dirac mass for these fermions. So this is actually another example. I mentioned before the linear seesaw. This is a non-trivial example of a model in which Y1 and Y2 are different. Now, in this model, you can also write this. This is just for completeness. In this model, you can write this scalar coupling, this coupling, the scalar potential, involving the new scalar capital phi and the Higgs tablet. So when this guy gets a BF, the neutral component of this guy gets a BF, it's given by this expression. Left hand number, you can check immediately that left hand number gets broken by two units. And that gives you neutrino masses, Majorana neutrino masses. And this is why this model is interesting for us. So this is the dictionary slide for this model. So you get again here the master formula. You get the formula for neutrino masses in this particular model that you can understand easily by looking at this diagram. So you get one of the couplings here, the coupling that connects to the Higgs boson directly. And you get the other coupling here. So this is the coupling that goes through this new scalar and that connects to the Higgs boson with this quadratic coupling in the scalar potential. So this is an example of a model that generates neutrino masses at dimension 7, not dimension 6. And a model in which this yukawa is not exactly the same as this yukawa. They are different. And because of that, y1 and y2 in our master formula are different. Okay, one is this website and the other is the website bar. And the rest can be defined here. So f is this global factor here without one health. One health is actually introduced here in capital M. Very simple. The dictionary again is very simple. You can always find this machine. Now, why is this interesting? So in order to show that the master parametrization is relevant, we did some numerical calculations for some particular observables just for with the intention to show that numerics could be very tricky if you are not working with the master parametrization. So imagine you get this model and you want to use the casasivara parametrization that is valid for the type one system. Of course, you cannot use it because the casasivara parametrization is only valid for that particular model and in particular it only works when both yukahuas are the same. So you may be tempted to consider that this yukawa is equal to this yukawa. Why not? This is a simplification that I can do. And in that case, the only problem is that you will be exploring a region of parameter space that is not the full parameter space because they are in principle allowed to be different matrices. Ok, so in order to show what happens when you do that which is in principle this is correct but it's not completely general we did some numerical calculation. So we implemented the model in some very well known tools like SARA, SSP and Flavorkit and computed the branching ratio for mu2 y gamma. So a mu decay into an electron and a photon. This process violates lepton flavor and is a typical example of a process that people look at when they study the phenomenology of these models. Here I show you two different plots so let me tell you what they mean. First to the left you have the branching ratio of mu2 y gamma as a function of the best of this forplet, this exotic scalar. And we did actually two scans. In black we have what we call a trivial scan. So we assume in our master parametrication that z is the identity which in principle could be more general than the identity and this anti-symmetric matrix we take it to be zero which in principle is not general this is a particular choice. In purple in contrast you have a general scan. So we allow these two matrices to get any particular entry any value that is allowed by the structure of these matrices. So for example this has to be anti-symmetric and this has to be triangular but that's it. And you see the result. So this scan was made for neutrino data within 3 sigma so you see results from global feeds and by randomly taking this particular value so the mass of the the new fermions in this range. And you see the difference. So for example imagine you just do the trivial scan the black points. You would conclude that there is a very clear correlation between this branching ratio which is an observable quantity and this bed which is a model parameter. However when you do the general scan you see that the points can actually spread out from this line a lot actually and the correlation is lost. So it would be wrong to conclude that there is a correlation in this model between this observable and this parameter. But you can only do that. You can only conclude that when you do the general scan using a master parametrization. Now on the right I have another example of how things could be simplified too much when you just look at very particular regions in parameter space. So this is a plot a control plot that shows the branching ratio for V2γ again in log scale in a plane of T11 and T12. So two elements of this matrix T that appears in the master parametrization. You can easily convince yourself by looking at the expressions that I presented before that when both Yukawa couplings are chosen to be the same so when you make this particular choice then T has to be the identity and in that case T11 is 1 and T12 is 0. So in this plane the only point that we survive if you take both Yukawa's to be exactly the same is the 1, 0. So this point over here. So you see that you will miss a huge parameter space an infinite parameter space of course if you make this simplification which is a valid simplification again. I'm not against this simplification but prevents you from having a look at the complete parameter space. So this is one of the points we wanted to make. So if you want to make a full parameter scan you cannot do that without a master parametrization. And that brings me to my final summary of the talk. So I hope I was able to convince you that this master parametrization is useful because it allows you to explore the parameter space of any model any Majorana model in a complete way. So you cover any corner of the parameter space. Now I didn't have time to discuss this but it has a potential limitation if you have a model with some additional restriction the implementation of this restriction might not be trivial and we discussed in our second paper some examples in which we managed to find how to implement the restriction but since the restrictions are in principle infinite you can come up with any restriction you may have in mind we cannot give a general solution so you have to be aware of this potential limitation. Also let me say that this potential limitation is also present with the Casas Ibarra parametrization. If you impose an additional restriction the Casas Ibarra parametrization cannot be used directly anymore. Now I, well, I didn't show you but I tell you you can believe me that this is very easy to program so we did our numerical scans without my future effort just using this our expressions. And finally, even though maybe it's not so trivial but you can also do that you can use the master parametrization to get analytical insight on some scenarios because now you have an expression that allows you to write the Yucagua couplings in any matrix in any model, sorry. And that's it. Thank you very much. Thank you for your attention. Okay, thank you. Thank you very much, Elino. Let me cancel your spotlight video. Okay, here we go. So, oh my god we already have a question on YouTube. So, let's go to that first. Okay, I have a lot of questions. The first one being why? Why did you do this to us? No, I'm kidding. It's a very nice question. There were many technical parts but I hope I convince you that you don't need to look into them. Interesting, it's tremendously interesting. But let's go first with Elino. So, he's asking a question about slide 42. 42, 42. Good number. Yes, actually. All right. And he's asking why did you choose three sigma instead of just a central value? Okay, well that was just because I wanted to see also spread in the black points. If you just take the central value the black point would be just a straight line. And then you would say, okay, come on, but you are cheating. You are taking only the best fit values and that's why you get a correlation. But you see that even when you take in three sigma the parameters from the two oscillations you get a correlation in this particular case, which is fake. So, the correlation is fake when you allow for a more general scan. I see. I see. Okay, great. So, hopefully, Diego is satisfied and let's wait a bit before we see if he replies. So, let me ask you one of my questions. So, for instance, in the case of Sibara you can have an issue if the heavy and the utrimos do not decouple, right? So, in that case you can have non-unitary effects on the PMS. So, what do you do in that case? That's a very good question. That's a very good question. So, we are working under the assumption that the CISO approximation is very good. So, in that case you don't get this unitary violation or the unitary violation to be more precise is tiny so you can't just neglect it. If the right-handed neutrinos are very light and they have huge mixing with the normal neutrinos then I completely agree. This is an issue and then this parametrization is not good anymore. Or alternatively you could include the heavy neutrinos. Yes, yes. Exactly, exactly. You can work out a similar parametrization but instead of having three neutrinos you would have four or five the number of neutrinos you have in your model. Yes, yes, yes. So, we just concentrated on the minimal case with three neutrinos but you can always extend similar techniques you can always extend the parametrization to more neutrinos but then some expression will be very different. So, for instance about neutralinos or arbitrary violation in Susy where you can add the neutrinos together you would have the same thing but not three times three but several times several, right? So, yes. Exactly the same conclusion. Exactly the same conclusion. No directamente, porque hay unas métricas que necesariamente están relacionadas con el caso de tres familias, ok, por ejemplo, me, en realidad, me acabo de comentar, pero me voy a comentar de nuevo, así que si vas a estas métricas aquí, C1 y C2 que aparecen en algunas de estas expresiones, estas tienen que ser computadas por cada caso, ok, así que no tenemos la solución para cualquier patrón, digamos, a cuatro familias o a cinco familias, necesitas computar esas métricas por cada caso, pero la misma técnica puede ser usada. Entonces, puedes ir a nuestra prueba, seguir exactamente los mismos pasos, y mirar cuáles son las formas para estas métricas para esas casas. No tenemos la expresión, pero puedes usar la misma técnica y obtener la forma para esta particular caso que te interesa. ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! ¡Fantástico! es decir, el ejemplo numerico que le permití, ¿no? Este ejemplo. Ok, básicamente, en este particular caso, estamos tomando n1, n2, n3 y también estamos tomando, no lo dije aquí, pero estamos tomando n3 igual y en ese caso déjame volver en ese caso aquí x1 es absente, así que sólo salga x2 es absente, salga x2 es absente, bbar que tiene aquí en b, en bhead es absente, así que sólo salga w, a, t, k c1 y c2 así que tienes estas matrices así creo que sería mejor si voy a un slide que tengo en backup este slide ok, así que este es el listo de todas las matrices que tenemos en la parametriz del master así que algunos de ellos, como pueden ver aquí, son absentes cuando algunos de los cuantos son iguales solo porque son definidos para completar las matrices que tienes en la metra son bloques entonces, cuando estas cualidades son validas entonces algunos de estos matrices son absentes así que en este caso que considero solo tienes que considerar w, t, k, c1 y c2 los otros son absentes ok, fantástico bueno ok, así que no hay más preguntas de Diego hasta ahora, así que antes continuo con un par de más preguntas vamos a ver si alguno de los otros participantes aquí tienen alguna preguntas sí, tengo una pregunta una pregunta por Abelino ok, entonces por Abelino es muy divertido thank you Roberto, thank you es muy inteligente de la manera en la que te encodo todo a ti y a todos los que participan en el mundo pero ¿cómo puedes extender esto en el caso de direct neutrinos o por ejemplo, CKM matrix si alguien es interesado en extender el cuarco sector y quiere agregar otros features beyond the neutrino scheme that you are testing here ok, esta es una muy buena pregunta así que en principio para un caso de direct neutro el problema es más simples porque típicamente vamos a regresar al al inicio entonces quieres básicamente solucionar esta fórmula master esta es la fórmula que quieres solucionar y en esta fórmula los yukahuas aparecen cuadraticamente pueden ser diferentes o pueden ser los mismos, dependiendo de tu modelo en el caso directo el direct mass matrix, o m puede ser proporcional linearmente al coupling de yukawa ok, el coupling de yukawa puede ser el producto de los yukawa o puede contener algunas complicaciones, algunas funciones puede ser muy complicado pero en el final, siempre va a ser un yukawa coupling que puedes ver que la pregunta es linear para este coupling entonces la parametrización no es necesaria porque puedes siempre solucionar para este particular yukawa coupling porque es solo una línea de metriz no necesitas una parametrización por este caso si quieres solucionar el coupling de yukawa, la pregunta es linear así por eso no nos concentramos en ese caso, pero solo consideramos el mayor en un caso por ejemplo usamos el ejemplo de los yukahuas en el caso de los yukahuas puedes siempre solucionar los yukawa de yukawa porque esta es una línea de metriz proporcional el yukawa coupling directamente sin ninguna dependencia cuadrativa no hay necesidad para una parametrización en este caso es solo linear sería diferente si quieres parametrar no este yukawa coupling que aparece linearmente en tu equation pero algunos yukawa coupling que en tu modelo puedes tener que aparece cuadrativamente entonces, por supuesto, esto sería un problema una técnica como yukawa o otra técnica pero tienes que encontrar una manera de solucionar el problema pero eso es muy moderado no tienes eso siempre con Majorana, siempre tienes las dependencias cuadrativas en yukahuas este es el diferencio ok, gracias ok, entonces antes de proceder bienvenido entonces me gustaría saber que para los simples casos de dos diferentes yukawa como en el yukawa puede ser mejor para invertir el problema analiticamente ok, el yukawa es un poco especial entonces no hablábamos en el primer papel hablábamos en el segundo papel porque en el yukawa hay una restricción adicional uno de los dos yukawa coupling es antisymmétrico porque el modelo es constratado en una manera en la que una de las contracciones tiene que ser antisymmétrica en sabor por lo que tiene que ser antisymmétrica entonces no es trivial más cuando hay una restricción adicional en yukawa no es trivial más porque la parametrización del master que te doy no contiene ninguna información sobre estas restricciones entonces si en el top del formular master tienes restricciones adicionales entonces tienes que ser clever implementar estas restricciones de alguna manera en nuestro segundo papel vamos a discutir explícitamente infortunadamente no tengo un slide para ese caso pero lo que pasa en esos casos es que estas métricas que aparecen aquí por ejemplo supongo que y1 es el caplín antisymmétrico y y2 es general, podría ser cualquier métrico y2 será given por esta expresión pero y1 todavía será given por esta expresión pero con algunas restricciones adicionales de w y a entonces las métricas que aparecen aquí están todavía validas, porque es una solución para la ecuación pero con restricciones adicionales para w y a ahora entiendo que es interesada en saber si puedes soltar el problema por componentes puedes escribir la ecuación en componentes y soltar las ecuaciones analiticamente eso es, por supuesto, posible y eso funciona mucho no diría mucho mejor que nuestra solución pero funciona más directamente en algunos modelos particulares por ejemplo en el model C en el model C funciona más directamente que nuestra solución así que completé con la ecuación si tienes un modelo que es muy específico con algunas restricciones particulares entonces puedes tal vez encontrar una manera para parametrar tu caplín que es más directa que nuestras ves, queremos encontrar la solución general y particularizar la solución a un particular modelo y en ese caso, a veces estás trabajando tal vez mucho, hay una manera más directa para hacerlo lo propósito es esto y es totalmente correcto para el modelo C, puedes hacerlo con nuestro método y luego tienes estas condiciones extra en estas métodas o puedes tomar una manera más directa soltar en componentes y luego encontrar la solución que es más simple que nuestra solución pero son completamente equivalentes son completamente equivalentes no sé si respondo a su pregunta vamos a encontrar en un par de minutos ok vamos a ver si hay otras preguntas de los participantes still have a couple questions ok, una de las cosas es so I assume that from your talk that your favorite model is in versus why because of course you have equated to the Cusquena beer I don't want to compromise myself that is a huge responsibility ok ok, we'll just wink wink wink wink no, a more serious question is there any all of the models that you've presented have got N1 equal to N2 so in what kind of scenario do you have N1 different than N2 I right now I cannot think of any situation so I showed two examples but I understand that they are not the most popular models so in most popular models both Yukawa copies are the same so and in that case you can use some sort of sorry so it's not that the Yukawas are the same it's that they're dimensionals ok ok ok well for example let us consider the linear CISO in the linear CISO you have two types of fermions so let me share the screen again and then I can show you the slide to set the context a little bit so in the linear CISO you have this capital N and capital S these are in principle two types of fermions oh so you can have three families of this and two families of this one ok and then they are different and they have different dimensions right yeah that works ok sorry I was just too lazy ok so let's see Diego's back and he's saying ok thank you ok ok ok so I don't think there are any questions from the participants so I think that we are done so thank you very much Avelino for being here we're very sorry once again for the delay just a few minutes and anyway so we'll be back next year I don't remember who is the next speaker but he or she should be on our web page so check it out if you're interested we should be back on the second week of January probably ok so that's it I hope everybody has got happy holidays and everything and we'll see you see you soon thank you very much everybody