 آسلام علیکم. آج لیکچر نمبر 35 شروع کرتے ہیں اور اس میں وہی طوپکs جو ہم نے پشتہ لیکچر میں دسکس کیے تھے ان کو تھوڑا سا فردر دیویلپ کریں گے تو وہی بات ہے کہ جو ہم نے پہلے دسکس کی تھی volume جو ہے وہ طوپک ہے فوکس کا ہمارا اور اس کو اب ہم پشتہ لیکچر میں ہم نے اس کو دسکس کیا تھا کہ یہ جو volume ہوتا ہے یہ کس طرح سے ہم معلوم کر سکتے ہیں جہاں پہ ان چیزوں کی ان شیپس کا جن کا کوئی خاص فکس پٹر ناو جن کے اندر یعنی ایسے solid objects جن کی جن کو ہم بیسک جوامیٹری سے استعمال کرتےے وہ ان کا ہم volume نہیں معلوم کر سکتے تو ان کے لیے ہم نے ایک theory develop کی تھی پشتہ لیکچر میں اس میں تھوڑا سا رویوہ بھی کر لیتے ہیں کیا تھا لیکن یہ ہے کہ اس لیکچر میں وہی چیزیں ہم further develop کریں گے اور ایک نیا طریقہ دیکھیں گے جو ہمیں help کرے گی in terms of finding volume of various shapes various solids basically تو جی پشتہ لیکچر میں ہم نے کیا بات کی تھی اس کا تھوڑا سا recall کر لیتے ہیں تھوڑی سی باتیں وہی بات ہے کہ volume جو تھا وہ تھا ہمارا topic پشتہ لیکچر میں بھی اس میں بھی volume ہی ہوگا تو اس میں پشتہ لیکچر میں ہم نے دیکھا تھا کہ یہ جو volume ہوتا ہے ایک طرح سے 3 dimensional analog of area 2 dimensional area یعنی ایک طرح سے ہم نے کہا تھا کہ بلکہ دو باتیں میں نے کہیں تھی کہ area جو ہوتا ہے اس کا جو proper کہنا چاہیے analog third dimension میں وہ surface area ہوتا ہے of solids وہ topic ہے next lecture کا لیکن ایک طرح سے roughly speaking ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ جو area ہوتا ہے اس کو ہم جب third dimension میں اس کا analog دیکھتے ہیں یعنی اس کا corresponding concept دیکھتے ہیں third dimension میں تو وہ concept ہم volume کے طور پر بھی لے سکتے ہیں یعنی اس لیے کہ ہم نے جو بلکہ discussion کی تھی پشتہ لیکچر میں کہ جیسے آپ نے جو ہم نے بات کی تھی کہ 0 dimension سے 1 dimension کیسے بناتے ہیں and so forth تو اسی idea کے ذریعے area جو ہم کہہ سکتے ہیں volume is the analog of 2 dimensional area in 3d تو پیچھلیکچر میں ہم نے دیکھتے سلنڈرز کی بات کی تھی کہ سلنڈرز کیا چیز ہوتی ہیں یہ basically simple geometric objects ہوتے ہیں جن کا ہم volume کافی آسانی سے معلوم کر سکتے ہیں یعنی سلنڈرز ایسی چیز ہی جس میں definition ہم نے اس طرح بنای تھی کہ جی کوئی بھی اگر 2 dimensional آپ ایک figure لیں object لیں figure اور اس کو پھر ایک ایک ایسی line اس پر امپوز کریں جو اس کے perpendicular ہو یعنی اگر یہ ایک میرے پاس circle ہے اس طرح سے تو اس کے through میں ایک ایسی straight line گزارتا ہوں اور پھر جب اس circle کو خیشتا ہوں ایسی case درکشن میں اس درکشن میں تو میرے پاس ایک cylinder بن جاتا ہے basically that was the concept of cylinders اور یہ بات ہی کہ یہ جو بیسک جو 2 dimensional جو objects ہوتے ہیں figures ہوتے ہیں جن کو آپ خیشتے ہیں perpendicular to a certain line to get a cylinder to get a cylinder have those don't have to be necessarily nice things like circles triangles squares یہ کوئی ایسی چیزیں ہونا ضروری نہیں ہے ایسا بھی ہو سکتا ہے کہ بہتی irregular سا اجیب وغریب کیسام کی flat shape ہو کوئی جیسے پان کا پتہ جو ہوتا ہے جب ہم تاش کھلتے ہیں تو وہ ایک اجیب سی shape ہے لیکن 2 dimensional shape ہے اس کو اگر میں خیچوں تو ایک طرح کا اجیب وغریب کیسام کا cylinder بنے گا اس کا volume کیسے معلوم کریں گے یہ ایک بڑا سیکٹرسٹنگی تھا کیونکہ جو بیسکی شیپس ہوتی ہیں سرکل ہو گیا واشر ہم نے دیکھتا ہے اس کے لیوہا ایسے جو اپنے سکویر ہو گیا یا ٹرائنگل ہو گیا ان کے ذریعے جو آپ کے بنطے ہیں solids cylinders ان کا volume معلوم کرنا بڑا سان ہوتے یہ سیمپل اسی بات تھی کہ ان کا جو شیپ ہے بیسک شیپ جس کو پھر ہم نے کہا تھا کہ جس کو extend کیا ہےپنے across the perpendicular اس کو آپ ایک طرح سے کراس سیکشن بھی کہہ سکتے ہیں تو کراس سیکشن سے کیا مرات تھی؟ کراس سیکشن سے مرات یہ تھی کہ اگر میرے پاس دو طریقے بات کرنے کے جب ہم بات کرتے ہیں سلنڈر کی یا volume کی کہ یا تو میں شروع کر سکتا ہوں ایک flat object سے 2 dimensional object سے اور اس کو extend کر سکتا ہوں to get a cylinder and then I can say کہ یہ اس کا volume بڑے سانی سے معلوم ہو سکتا ہے یہ جو میں نے object لیا تھا جس کو extend کیا ہے اس کا area معلوم کر لیں اور multiply کر دیں by the height of the cylinder جو آپ نے generate کیے اس طرح بھی ہو سکتی اس طرح بھی ہو سکتی ہے یا یہ کہہ سکتے ہیں کہ میرے پاس ایک cylinder ہے اور اس کا میں a cross action لیتا ہوں ایک طرح سے میں a mathematics میں plane کہتے ہیں لیکن planes کو اس طرح سوچیں کہ آپ ایک چھوری سے لے کے آپ اس کو cylinder کو card دیتے ہیں تو جب آپ کرتے ہیں اور اس سے separate کرتے ہیں دو pieces تو pieces کے جو ends ہوتے ہیں end points ان میں جو شیپ بنی ہوتی ہے that is called a cross section of the cylinder اور یہ وہی شیپ ہوتی ہے جس کے ذریعہ آپ actually generate کرتے ہیں اپنے cylinder کو to begin with تو یہ دو طریقیں ایک چیز کہنے کے لیکن بات صرف یہ اس میں فرق ہی ہوتا ہے کہ جب cross section کی بات ہوتی ہے تو ہم یہ اس طرح سے سوچتے ہیں imagine کرتے ہیں کہ آپ کے پاس کے پاس a cylinder get a given ہے already اور اس کو آپ نے card دیا ہے دو تکڑوں میں جب آپ کرتے ہیں تو پھر a cross section generate ہوتے اور depending on what the area of that cross section is you can find the volume by multiplying the area of the cross section by the height of the cylinder and that gives you the volume of the cylinder اچھا جی تو یہ ہم نے پھر دیکھا تھا کہ basic شیپس ہوتی ہیں اس میں تو کافی اسان ہوتا ہے کرنا یعنی اگر triangular cross section ہو تو triangle کا area معلوم کرنا بڑا سان ہے اگر circle ہو تو وہ بھی کافی اسان ہے بڑے اسانی سے معلوم کر سکتے ہیں اس کا cross section کا area اور اگر کوئی اور basic شیپو سکویر ہو گیا ریکٹانگل ہو گیا basic geometric shapes ان کے ہم areas معلوم کر سکتے ہیں اور پھر height سے multiply کر دیں گے اپنے cylinder کی تو ہمارے پاس اس کا volume آ جائے گا لیکن اگر یہ شیپ الرگلورہ تو پھر کیا کرتے ہیں یعنی اگر کوئی جیسے پان کا پتے کی بات کی میں نے کہ پان کا جو پتہ ہوتا ہے اس کو اگر ہم cross section کے طور پہلے ہیں اور一個 cylinder generate کریں تو اور cylinder کا اگر ہم volume معلوم کرنا چاہیں تو سب سے پہلے بات تو یہ ہوگی کہ جو پان کا پتہ تھا جو basic a cross section ہے اس کا area کیسے معلوم کریں گے تو that's a hard problem یعنی اس میں تھوڑی سی problem ہوتی ہے تو اس کے لیے ہم نے a slicing کا method describe کیا تھا slicing میں یہ تھا کہ ہم نے جو example کی تھی اس میں exotic shapes جیسے یہ پان کا پتہ ہے اس طرح کی shapes ہم نے consider نہیں کی تھی کیونکہ slicing میں بھی جس کی ابھی ہم بات کرتے ہیں اس میں ہم نے یہی دیکھا تھا کہ ایک ایسا solid دیکھا تھا جس میں at different points جو cross sections بن رہے تھے ان cross sections کا area different آ رہا تھا لیکن جو cross section کی shape تھی وہ کافی elementary تھی یعنی rectangular shape بن رہے تھی اس کا area معلوم کرنا آسان تھا اب سوال یہ کہ اگر پان کا پتہ تو پھر کیا کریں گے تو اس کا جواب یہ کہ جی جو پان کا پتہ والا case ہے اس کی کچھ اور techniques ہوتی ہیں شاید آگے چلکے ہم دیکھیں کیا ہے لیکن کشنہ کچھ کیا جا سکتا ہے جو ابھی ہم نے نہیں دیکھا ہے لیکن ہم نے یہ ضرور دیکھا ہے کہ ایسے cases جہاں پے آپ کے پاس cylindrical objects ہیں تیک جی یعنی extend extend 3 dimensional solids ہیں ان میں اگر آپ cross section لے different points پے تو different heights کیا کوئی variation آتی ہے areas کی of these cross sections اور عام طور پے cross sections ایسی shapes ہوتی ہیں جنکہ ہم area آسانی سے معلوم کر سکتے ہیں تو یہ ہم نے technique دیکھی تھی slicing کی visual lecture میں جس میں یہ دیکھا کہ جی اگر different areas آ رہے ہیں تو اس کو integral کے طور پر ہم can do it اور volume جہاں solid کا معلوم کیا جا سکتا ہے using integration basically اس کے لعان پھر ہم نے دیکھا تھا کہ جی volume کیسے معلوم کر سکتے ہیں of solids of revolution solids of revolution کیا ہوتے ہیں دیs are basically solids that you get by revolving a given 2 dimensional region around a certain axis اور was certain axis جو بھی ہم نے دیکھے وہ visual lecture میں دیکھے تھے بلکہ وہ x axis تھا اور پھر اسے corresponding y axis بھی ہو سکتا تھا جس کو ہم نے detail میں نہیں دیکھا لیکن آپ کے پاس exercises میں کچھ ایسے problems ہوں گی جہاں پہ solids جو generate کیے تھے آپ نے revolution سے وہ around the y axis revolution تھی تو یہ ان کا بھی volume بڑے آسانی سے معلوم ہو سکتا ہے integration کے ذریعے آپ basically پہلے دیکھنے solid کیا ہے اس کا cross section لے لیں cross section اگر elementary سے آئے ہم نے دیکھا کہ disks بھی بن سکتی ہیں جس کے اس میں بڑے رام سے آپ معلوم کر سکتے ہیں volume اور اس کے لیوہا washers بھی ہو سکتے ہیں وہ بھی بڑے رام سے ہم نے کر لیا تھا اس کی کچھ formulas تھے وہ ہم نے دیکھ لیا تھے لکھتے پشتی دفعہ اور hopefully آپ کو اب تک کافی comfortable ہو گئے آپ لوگ اس سے اور exercises وغیرہ homework problems آپ نے کیوں گی تو hopefully everything is okay اب آج کا لیکچر start کرتے ہیں آج کے لیکچر میں ہم کیا بات چیت کریں گے وہی کہانا جیسے میں پہلے کہا چکا ہوں کہ concept of volume جو ہے وہ ہی under discussion رہے گا اس کے کچھ اور cases دیکھیں گے کہ کسی کچھ اور techniques develop کریں گے جن کے ذریعے ہم given solids کا volume معلوم کر سکتے ہیں using integration تو وہ کیا ہے techniques ان کا تھوڑا سا overview preview دیکھ لیتے ہیں agenda لکھ لیتے ہیں کہ کیا ہے topic ہے جناب لیکچر کا آج کے volume by cylindrical shells تو basic concept جو ہے آج کے لیکچر کا وہ ایک ایسی چیز ہے جس کا نام ہے cylindrical shells یہ ہم دیکھیں گے کیا ہوتے ہیں پہلے دفعین کریں گے اس کے بعد جناب ہم volume معلوم کریں گے ایک cylindrical shell کا یاگر میرے پاس ایک cylindrical shell ہے تو اس کا volume کیا ہوتا ہے اس کو پہلے دفعین کریں گے develop کریں گے idea کو پھر جناب یہ ہوگا کہ cylindrical shells کو اگر ہم different point of view سے دیکھ سکتے ہیں کچھ shells ایسے ہوتے ہیں جو y axis پر centred ہوتے ہیں کچھ عام طور پہ جو ہم develop کریں گے پہلے وہ x axis پر ہوں گے اس کے بعد ہم آخر میں دیکھیں گے volume through the surface area of a surface created from a cylindrical shell جناب یہ چیزیں ہیں توپکس ہیں آج کے جو discussion کی ہم کریں گے آج discussion جن کی اوپر تو ان کو بایستہ اس طرح develop کرتے ہیں تو پہلے تو یہ دیکھتے ہیں کہ یہ سب سے پہلی جو بات ہے جو main topic ہے آج کا cylindrical shells یہ کیا ہوتے ہیں تو ان کے بارے میں باتشت شروع کرتے ہیں اچھا جی تو اب شروع کرتے ہیں اس cylindrical shells کے بارے میں باتشتے ہیں کہ یہ جو cylindrical shells ہوتے ہیں یہ کیا ہوتے ہیں اور کہاں پہ استعمال ہم کر سکتے ہیں in terms of volumes of course main topic ہوئے یہ background میں کہ جو solids ہیں 3 dimensional ان کا جو volume ہے وہ کیسے معلوم کر سکتے ہیں تو اب ہم cylindrical shells کی بات کریں گے تو دیکھیں گے کہ ان کو کیسے استعمال کر سکتے ہیں for addressing this question تو cylindrical shells کو کیسے ہم سمجھ سکتے ہیں کہ کیا ہوتے ہیں اس طرح سے ایماجن کریں کہ اگر آپ کے پاس ایک washers ہے اور یہ جو washers ہوتے ہیں یہ ہم دیکھ چکے ہیں پچھلے لیکچر میں washers کیا ہوتا ہے بیسکلی جیسے ربر کے washers ہوتے ہیں یہ تو ہم عام طور پہ دیکھی چکے ہیں ڈیکٹرک سپلائز میں استعمال ہوتی ہیں یہ بیسکلی ایک solid ہوتا ہے جس کے بھی ایک disc ہوتی ہے solid disc اس کے بیچ میں آپ ایک صراح کر دیں ایک puncture صراح کر دیں تو آپ کے پاس ایک آجاتی ہے washers یعنی ایک طرح سے اس کو سوچ لیں کہ washers وہ ایک جو گاڑی کے پائیے ہوتے ہیں ڈائرز ان کا 2 دمیشنل version وہ ایک washers ہے تو اگر ڈائر کو لے کے آپ بالکل پچھکا دیں فلیٹ کر دیں ایسا فلیٹ کریں کہ اس کی بالکل ضررہ برابر بھی ڈکنس نہ رہے تو آپ کے پاس ایک washers آجائے گا mathematical washers کیونکہ جو real washers ہوتا ہے جو ہم electronic supplies میں پلمنگ میں استعمال کرتے ہیں میں نے دیکھا ہے ہمارا پلمر آتا ہے کبھی کبھی تو اس کی تھوڑی سی ڈکنس ہوتی ہے it's a rubber washer with a slight ڈکنس ہم جس کی بات کر رہے ہیں وہ ایک ایسا washers ہے جو totally flat ہے zero height تو اگر اس کو آپ لیتے ہیں we take a washer پہلے ہم دیکھ بھی چکیں یہ کیا ہوتا ہے اس کو اب ہم لے کے extend کریں اگر اوپر کی طرف یعنی مثال کے توپے کہتے ہیں یہ washers ہے ایک circle ہے اور بیچ میں اس کے ایک صراح ہے اور جو صراح کے علاوہ جتنی بھی ایریہ ہے وہ solid ہے بھرہا ہے it's filled in صراح جو ہے وہ صراح ہے اس کے اندر کچھ نہیں ہے تو اس کے درمیان سے میں ایک لائن ایسا گزار دیتا ہوں جو ایک access لائن ہوتی ہے اور پھر اس میں ہم کہتے ہیں کہ اس کو washer کو میں ایسا کھیچ کے اوپر لے جاتا ہوں تو جو result in solid ام میرے پاس آئے گا اس process سے اس کو میں کہوں گا that is what is called a cylindrical shell تو اس میں دونوں میں دونوں جو terminologies ہیں cylindrical اور shell یہاں پہ آپ کو obviously سمجھا گیا ہوگا کہ کیوں استعمال کی گیں گے کیوں کہ آپ اس کو کھشتے ہیں تو وہ process ہوگی ہے جو میں نے کھشا ایک لائن بناکے ایک cylinders بنانے کا جو ہم نے پشل لکچے میں دیسکا سکیا تھا کافی detail میں that is the process involved here and the resulting object that I am getting is a shell because there is a hole in it so it's kind of a shell میں ایک طرح کا خول ہے جو آپ کسی چیز پہ چڑھا سکتے ہیں so that is why it's called a cylindrical shell تو یہ جو process ہے اس کو بنانے کا اس کو دیکھ لیتے ہیں بناکے تھوڑا سا pictorially یہ دیکھ لیں کہ آپ کے سامنے you have basically a washer which is essentially two circles co-centric circles and if you basically extend it upward i.e. its a cylinder بنائے so you get a solid confined by two co-centric right circular cylinders یہ آپ کے سامنے right circular cylinders مطلب یہ کہ وہی جیسے two dimensions میں ایک چھوٹا سرکل تھا ایک بڑا سرکل تھا اب آپ کے پاس three dimensions میں ایک بڑا سلنڈر ایک چھوٹا سلنڈر اور دونوں ایک دوسرے کے اندر nested ہیں یعنی co-centric ہیں تو یہ آپ کا جناب ہو گیا ایک سلنڈریکل شیل اب اس کو ہم کیوں دیسکس کر رہیں اس کو اس لیے دیسکس کر رہے ہیں کہ اس کو استعمال کر کے ہم یہ جو volume معلوم کرنے کے طریقیں اس کو volume معلوم کرنے کا سوال ہے اس کو адرس کرنے کے لیے ایک اور طریقہ دیویلپ کریں گے تو سب سے پہلے تو یہ ہے کہ اگر میرے پاس ایک سلنڈریکل شیل آگیا ہے جس کو میں نے کہا ایک طرح سے ابھی تو ہم نے mathematical سے دیسکشن کیے لیکن for all پرکٹیکل پروپرزے آپ سوش سکتے ہیں کہ سلنڈریکل شیل جو ہوتا ہے it's a glass it's just a container یعنی اس کے اندر دو سلنڈریکل وہ ہوتے ہیں آپ کے پاس سلنڈرز ہوتے ہیں ایک دوسرے کے اندر نیستڈ تو آپ کے پاس ایک سلنڈریکل شیل آجاتا ہے اس کا volume کیسے معلوم کریں گے تو اس کی equations معلوم کرنے کے لیے volume کی کچھ لکھ لیتے ہیں بلکہ تاکہ اسانی سے دیکھ سکیں کہ کیا ہورا ہے اس میں دیکھیں کہ اس کا volume جو سب سے پہلے ہے وہ elementری سی بات ہے کہ جو volume ہوگا ایک سلنڈریکل شیل کا اس کو معلوم کریں گے by taking the area of the cross section of the cylindrical shell and multiplying it by the height of the shell یعنی کہانے کا مقصد یہ ہے کہ وہی جو اس بیسیک concept ہے سلنڈریکل شیل کی سب پہلے ہم یہ یاد رکھیں کہ یہ سلنڈر ہے ایک طرح کا تو سلنڈرز جو ان کا ایسی معلوم کرتے ہیں volume کے جو cross section ہے اس نے area معلوم کر لیا اور پھر جو سلنڈر تھا اس کی height سے multiply کر دیا تو یہ اس کس میں کیا بنے گی وہ چیز وہ ہم اس کی equation کیسے لکھیں گے آئی دیکھتے ہیں اس سے ہم دیکھ سکتے ہیں کہ جو ہمائے پاس بنیں گی equations وہ ہوگی pi multiplied by r2 square minus pi multiplied by r1 square times h تو یہ r2 اور r1 کیا چیز ہے یہ جو ابھی تھوڑی در پہلے ہم نے ایک شل کی تصییر بنائے تھی اس میں دیکھا تھا کہ r2 جو تھا وہ سلنڈر بڑے سلنڈر کا radius تھا اور r1 جو تھا وہ چھوٹے سلنڈر کا جیسے 2 dimension میں ہم نے کہا تھا اگر washer ہے تو یہ بڑا سرکل ہے اس کا ایک radius ہوتا ہے from the center to the outer circle اور ایک چھوٹا جو آپ کا جو سراخ ہوتا ہے اس کا جو سرکل ہے اس کا بھی ایک radius ہوتا ہے from the center to the کہا سکتے ہیں کہ inner side of the washer یہ کہا سکتے ہیں کہ چھوٹا سرکل ہے اس کی جو boundary اس تک اسی طرح سے 3 dimension میں بھی ہم یہی کہا رہے ہیں کہ جو آپ کا سلنڈر ہے اس میں ایک بیس ہے اس کی جو سلنڈر کا وہ ایک washer ہی تو بنتا ہے ظاہر ہے تو اس washer کا ایک outer radius ہے اور ایک inner radius ہے r2 اور r1 وہ ہم نے آپ اسمال کیا ہے اور ہمیں پاس یہ ایکویشن وہاں سے آئی تھی ایت جو ہے وہ height ہے سلنڈر کی تو اب اس ایکویشن تو ہم نے لکھ لیے اس کی تھوڑی سی منیپلیشن کرتے ہیں جو ہم نے کافی دن سے نہیں کییں اور کچھ مزدار کی سمکر رزالٹs نکالتے ہیں جو ہم آگے چلکے استعمال کریں گے تو ہم کچھ منیپلیشن سکتے ہیں دیکھیں کہ یہ جو r2 square minus pi times اس کو میں لکھ سکتا ہوں as pi multiplied by r2 plus r1 times r2 minus r1 times h اور یہ r2 plus r1 times r2 minus r1 کہاں سے آئے یہ بڑی سیمپل سی بات ہے جو پہلی ایکویشن اس میں سے pi کو آپ فیکٹر کرنے آپ کے پاس رمیننگ جو term ہے وہ ہے r2 square minus r1 square this is a difference of squares and you can write this as the product that we have in the second line تو یہ بیسک الجبرا ہے اور اب تھوڑا سا مزید اس کو منیپلیٹ کریں تو رزلٹ ہم اس کو ایسے لکھ سکتے ہیں 2 pi times the quantity 1 half r2 plus r1 times h times r2 minus r1 تو یہاں پے میں کچھ نہیں کیا ہے صرف یہ کیا ہے کہ 2 سے multiply اور divide کر دی ہے اس ایکویشن کو 1 by 1 اور اس کے بعد تھوڑی سی اپروپریٹ ریکلیکشن کر لیے terms کی چونکے product لے ریں تو یہ ہم کر سکتے ہیں اور یہ اس طرح سے اس کو میں نے لکھ دیا ہے تو اس سے اب لکھ دیا ہے میں نے اب اس سے فائدہ کیا ہوا تو اس سے فائدہ یہ ہوا کہ یہ جو میں نے rearrangement کیا ہے اس سے اب ہم کچھ یہ جو volume کا formula تھا for cylindrical shells اس کو ایک اور طریقے سکتے ہیں ابھی تک ہم نے اس کو لکھا تھا as the basic concept ہوتا ہے area of the cross section multiplied by the height of the cylinder اب ہم اس کو ایک اور طریقے سے لکھ سکتے ہیں وہ کیسے لکھیں گے لکھ لیتے ہیں تاکہ سب دیکھ سکیں اس volume کو اب ہم لکھ سکتے ہیں as v equals 2 pi 2 pi تو ہمیشہ 2 pi رہے گا it's just a constant multiplied by the average radius times the height times the thickness of the cylindrical shell اب یہ اس کو ابھی تھوڑی دلے میں دیکھتے ہیں کہ کیا ہے formula لیکن یہ ہے کہ we can use this formula to compute the volume of a solid generated by revolution of a surface around an axis تو یہ جو ابھی اس کا مقصد تو ہمے سمجھا جا گیا کہ ہم نے کیوں لکھا ہے اس طرح کیوں کہ کچھ ایسے solids اب ہم ہم ابھی ہم دیکھیں گے an example میں جن کو اگر میں rotate کروں گا about a certain axis تو اس کا volume معلوم کرنا تھوڑا سا مشکل ہوگا by the processes that we already know namely discs and washers وہ زرا سے مشکل ہوں گے اس کی جگہ ہم یہ formula استعمال کریں گے for cylindrical shells اور ہم دیکھیں گے کہ وہ solid کا volume کیسے معلوم کریں گے یہ جو formula ابھی تک ہم نے لکھا ہے اس میں وہی بات ہے کہ formula تھا 2 pi multiplied by the average radius of the shell because average radius یہ کیا ہے it's just the average of the 2 radius's یا 2 radii یا جو inner radius تھا اور outer radius تھا ان کو add کر کے اگر آپ divide کر دن 2 سے تو ایک average value آتی ہے آپ کے پاس اور average value کیا رپریزنٹ کر رہی ہے it's representing an average radius of the shell similarly height تو ہمیں پتا ہے کیا ہے height is just the height of the shell اور thickness کیا چیز ہے what is the thickness of the shell وہی بات ہے کہ بڑے radius میں سے تو میرے پاس جو رمیننگ تھکنس آتی ہے وہ یہ تھکنس ہے بیسیکلی یعنی washer level پی اگر آپ اس کو 2 dimensions میں لے آئے تو جو بیسیز ہے جو آپ کی cylindrical shell کی بیسیز تھی وہ ایک washer تھا اس washer کی موتائی کی ہے اور موتائی یہ ہے کہ جو whole ہے جو بیچ میں سراخ تھا اس کا radius معلوم کر کے پورے جو پورا آپ کا سرکل ہے representing the washer اس میں سے آپ اس radius میں سے minus کردیں اس چھوٹے سراخ کے radius کو تو آپ کے پاس تھکنس آتی ہے آپ کے shell کی اچھا جی یہ ہوگا concepts جو cylindrical shells کے تھے آپ کچھ examples کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ یہ جو ابھی تک باتیں کی ہیں ان کو کہاں پہستمال کر سکتے ہیں اچھا جی تو example دیکھلے تھے ایک کچھ اس calculations کی جو ہم کر سکتے ہیں اس ساری you know topic جو ابھی تک اس کے حوالے سے تو ایک تصویر بناتے ہیں اور وہ تصویر ہوگی بیسکلی ایک region کی 2 dimension میں اور اس region کو پھر ہم روٹیٹ کریں گے ایک سرٹن axis کے آسپاس اور in this case it will be the y axis اور پھر جو ایک solid اس کے اس کے process کے تھوڑ generate ہوگا اس کا ہم volume معلوم کرنا چاہیں گے تو ہم یہ دیکھیں گے کہ جو پچھلے methods ہم نے دیکھے تھے جس میں ہم نے washers اور اپنا discs کی بات کی تھی وہ یہاں پہاں اتنا اسانی سے اپلائے نہیں ہو سکیں گے بلکہ cylindrical shells کا جو ابھی ہم نے topic discuss کیے وہ ہم استعمل کر سکیں گے زیادہ اسانی سے تو آئے دیکھتے ہیں یہ تصویریں پہلے یہاں کیا کہ وہ solids کن سے یہ solids آپ کے سامنے ہے جی کہ سب سے پہلے تو region ہے اور وہ region کیا کیسے define ہوئے اس میں ایک function ہے f of x probably non negative بھی ہے اور continues بھی ہے on a given interval a سے لے کے b تک اور اس میں اس کو اگر اس کے آس پاس تو ایک solid بنتا ہے جو ایک طرح کا frisbee type کا solid ہے لیکن اس کے جو frisbee ہوتی ہے وہ جو کافی مشہور ہوئی تھی ایک زمانے میں جو دس کو آپ ہوا میں بھیکتے ہیں وہ چیز لگتی ہے لیکن ساتھ میں اس کے درمیان میں ایک صراح تو یہ آپ کا solid generate ہو گیا اس کو ہم کہہ سکتے ہیں solid کا نام دیتے ہیں s s for solid اور پھر اس کے بارے میں آپ دیکھتے ہیں کہ ہم اس کا volume کریں گے اچھا جی تو اب اس کا volume معلوم کرنے کے لیے کچھ اب تک میرے خال سے آپ کو تھوڑا سا ڈیئہ ہو گیا ہوگا کہ volume is of course usually defined in terms of integration وہ جو definite integral ہوتا ہے اس کے ذریعی ہم ڈیفائن کرتے ہیں تو یہاں پر ہم اس کو معلوم کرنے کے لیے اس کو بجائٹ ڈیسکس اور واشر کے ہم ایک اور طریقہ پلای کریں گے اور اس کے لیے باتا ہے کہ آپ کا اس کو آپ ایسا کریں سب ڈیوائٹ کر لیں انٹو ویریس سب ڈیجنز چیکے یہ وہ ڈیجن ہے ڈیسکس جو میں نے کہا تھا ابھی تھوڑے در پہلے اس کو اگر ڈیسکس ہم سب ڈیوائٹ کر لیں انٹو سب ڈیجنز ڈیسکس ڈیسکس ڈیسکس پھر ہم اس کو دیکھ سکتے ہیں کہ اگر ہم اس سب ڈیوائٹ ڈیسکس تو کیا رزلٹ آتا ہے لیکن اس سے پہلے دیکھیں کہ ڈیجن ڈار کو اگر آپ سب ڈیوائٹ کر رہے ہیں انٹو ڈیسکس انٹو ڈیجنز تو اس کے لیے سب سے پہلے آپ کو جو انٹروال تھا آپ کا ڈیسکس ڈیسکس اس کو سب ڈیوائٹ کرنا پڑے گا انٹو سب ڈیوائٹ ڈیسکس چیکے جی تو سب ڈیوائٹ میں کیسے ڈیوائٹ کریں گے تو یہ جو ابھی تک باتے کیا ہے ڈیجن ڈیسکس اس کو لکھلے تھے تاکہ تھوڑی سی سمجھا جائے کہ ہو کیا رہے کے لئے یہ جو ڈیوائٹ اس کو بھاتی باری کریں گے یا ان کی ڈیوائٹ ڈیوائٹ magnitude کھلے گا اور ہی بہت سی افراد کیا لیکن انٹو سب سے پہلے تاکہ اس کو ڈیوائٹ کرنا اور دیکھیں اس کا سولٹ کیا کسا بنتے تو اس میں گینوٹ کریں کہ جب آپ اس کو ڈیوائٹ ڈیوائٹ ڈیوائٹ كے تو آپ کے پاس تو اب یہ سب دیوژنس کے بعد جو آپ روٹیٹ کریں گے جو سولیٹ آئے گا وہ سب دیوژنس سولیٹ ہوگا انہوں سب سولیٹس. جس طرح ریجن کو سب ریجنس میں دیوژنس میں دیوژنس میں دیوٹ کیا تھا اس طرح اسی کی اور اس کو روٹیٹ کیا تو کورسپوڈنن جو ریزلٹ ہے وہ یہ ہے کہ جو اوریڈنس سولیٹ تھا آر کو روٹیٹ کرنے سے جو آیا تھا اب ان ریجنس کی وجہ سے وہ بھی سب دیوژنس ہو چکے س الصالیٹ س Oil سی میکنی ہے سالیٹ س علید س کی وجہ سے بہت سوالیٹ س اوڈنس ہوں پوڈیٹ میکنی ہے سالیٹ س علید سن بھی جانتے ہیں اچھا جی تو یہ آرز تیکویشن جو لکھی تھی یہ میکنی جلدی ساہی لکھ دیے لیکن سب خیلیر ہو گیا گا کیوں کہ جب میں تیکویشن پڑھ رہا تھا اس کے ساتھ ایک سولیٹ کی پکچھہ رہے تھی لیکن آپ کے پاس سپ سولٹس تھے تو یہ ایک طرح سے ایمجن کریں وہ ایک جو پانٹ کیک ملتا ہے عام طور پہ بیکریز میں تو اس میں ایمجن کریں کہ اس کی شیپ actually ایسی ہوتی جیسے یہ سولٹ کی ہے جو ابھی ہم نے دیکھا تو اب ایمجن کریں کہ آپ کے پاس جیسے ہم نے مکھن کو پشلے لیکچر میں کاتا تھا چھوری سے لیکے اور اس کے ٹکڑے بنالیے تھے یہ دبل روٹی بنائی تھی برد بنائی تھی اس کی ٹکڑے بنائی تھے اب ہم ایسا کرتے ہیں یہ کیک ہمارے پاس ہے اور اب چھوری کی بجائے اب ہم ایک ایسا آلہ استعمال کر رہے ہیں جو جس کا بلیڈ ایک ہے لیکن وہ ایک سرکلز میں ایسے ایسے گولگول ہو رہے چیکے جی میرے خالص اس طرح یہ کچھ ہوتے ہیں آلے یہ کسی کوک سے پوچھا جائے world class تو I'm sure ان کے پاس ہوں گے تو اس آلے کو لیکے اب آپ ایک طرح سے سٹیمپ جیسے لگاتے ہیں اس طرح سے آپ اس کیک کیوں پر لگائیں گے تو آپ کے پاس کیک کی گولگول لیرز بن جائیں گی بہت ساری ایک اوٹر موست لیر ہوگی اس کی کچھ تکنس ہوگی اس کو ہم اس n کہہ سکتے ہیں اس کے بعد ایک چھوٹا لیر بنے گی اس کی بھی کچھ تکنس ہوگی اس کو اس n minus one اور اسی طرح کر کے آخر میں ایک بیچ کی لیر ہوگی تو وہی کانسٹر پیحا پہ ہم نے کیا ہم نے سب ڈیوائٹ کر لی ہے اور کہنے کا مخصد یہ ہی ہے کہ اب جو volume original solid کا معلوم کرنا ہے وہ ہم معلوم کر سکتے ہیں اس طرح سے کہ پہلے یہ چھوٹے چھوٹے سب سولیٹز بنے ان کے volume معلوم کریں اور ان کو add کریں تو پورے solid کا آپ کے پاس volume آ جائے گا تو اب ہم یہ کیسے کریں گے ہی دیکھتے ہیں اچھا اب ہم نے کہا کہ جی اب اس کا volume معلوم کرنا ہے ہمیں solid کا تو ظاہری سی بات ہے کہ cylindrical shells کو ہم استعمال کرنا چاہیں گے ہمیں چونکہ ہم نے cylindrical shells کی بات کی ہے شلس کی تو ظاہرہ یہاں پہ استعمال کریں گے اور یوں بھی سوچی ہے کہ اس solid کا کو جو آپ ابھی دیکھ چکیں آپ کی بک میں بھی بلکے اس کو غور سے دیکھیں اور سوچیں کہ کیا اس پہ ہم cross sections اگر استعمال کریں تو کچھ بات بن سکتی یعنی کیا washers اور discs وگرہ استعمال ہو سکتے ہیں یہاں پہ to find the volume of this region easily یعنی کہنے کا مخصد یہ ہے کہ ٹیکہ ہو سکتا ہے استعمال تو ہو جائیں لیکن کیا آسانی سے ہو سکتی ہیں یا نہیں یہ آپ کی exercise اس کے بارے میں سوچی ہے گا ہم یہ کرتے ہیں کہ ہم cylindrical shells کا جو formula تھا volume کا وہ ہم یہاں پہ استعمال کر سکتے ہیں اور کیوں کر سکتے ہیں اس لیے کہ اگر آپ سوچیں تھوڑے دیر کے لیے کی جو آپ نے میں نے جیسے کہا تھا کہ آپ نے کےک کیوں پر ایسے ایک آلہ بنائیا ایک طرح کا چھوریسی بنائی گے ایک آلہ ایسا ہے جو کےک کو آپ کے پانٹ کےک کو various sub solids میں کرت دیتا ہے gold solids میں ایسے ایسے کر کے لیرز بن جاتی ہیں تو یہ لیرز جو ہیں یہ almost cylindrical shells کی شیپ کی ہوتی ہیں یعنی کہہنے کا مقصد یہ کہ چونکہ کےک کی top جہاں وہ curved ہے تو یہ almost جو سب division بنی ہے اس کےک کی یا solid کی وہ almost cylindrical shells ہیں کیونکہ cylindrical shells جو ہوتے ہیں اوپر سے وہ flat ہوتے ہیں تو اگر میرا کےک اوپر سے flat ہوتا تب تو بڑا سان کام تھا جو میں چھوٹی اس کے بناتا سرکلز یا sub solids وہ automatically cylindrical shells ہوتے اور میں ارام سے formula apply کر سکتا تھا لیکن in this case یہ جو solid ہے میرے پاس اس کی جو top ہے وہ curved ہے چیک جی تو میں cylindrical shells کا formula directly apply نہیں کر سکتا تھوڑی سی کچھ باچید کرنی پڑے گی تو یہ باچید کیا ہوگی یہ باچید یہ ہوگی کہ اگر میں ایک arbitrary sub solid SK چوز کرتا ہوں اور اس کو analyze کرتا ہوں اور دیکھتا ہوں کہ اس کے ذریعے میں کیا کہ سکتا ہوں for finding the volume of this particular slice یا sub solid of the original solid تو ہاں یہ دیکھتے نوٹ کریں کی جو آپ نے ایک SK جو sub solid لیا یا slice لیا اس اپنے original solid کا اس کی جو top ہے وہ curved ہے چونکہ جو فنکش پورے solid کی جو top تھی وہ define کی گئی تھی graph function f کے graph سے لہذا وہ تھوڑی سی curved ہے ایسے کر کے تو اس کو یہاں پہ میں اگر ایک particular sub solid دیکھتا ہوں تو اس کی موٹائی کافی بھکر ہے اگر اور اس کے پر میں ایک اور اس کا slice لیتا ہوں تو میرے پاس کوئی صحیح کسم کا میرے مخصد پورا نہیں ہوتا ہوں کہ میں ای چاہ رہا ہوں کہ اتنے پتلہ اس کا slice ہوں کہ اگر اس کا بھی مزید میں slice کروں تو اس کی جو وہ ہے values ہیں جو اس کی سب slices کے جو وہ ہے شیپ ہے جس کے ذریعے میں volume معلوم کروں گا وہ برابر ہے وہ زاد فرق نہ اس کے اندر تو وہ ہم کیسے کریں گے وہی بات ہے کہ اگر میں تھکنس کو بہت چھوٹا کر دوں تو I can work this out تو چلیں ایسا کرتے ہیں کہ ہم کہتے ہیں کہ جی delta xk جو ہے which is the width of the solid یہ جو آپ نے اس کی لی ہے اس کو اگر میں بہت چھوٹا کر دوں سنگ کرتے ہیں سوچتے ہیں کہ یہ بہت چھوٹا ہے اور پھر ہم کہتے ہیں کہ ایک point چوز کریں اس چھوٹیسی انٹرول میں xk star اور اس کے ذریعے ہم ہم معلوم کریں گے کہ ہمارا volume کیا بنیں گے slice کا تو اس میں وہی بات ہے کہ جو ہمارا slice بنیں گے اس چھوٹیسی height کے اندر width کے اندر اس کی height ہوگی xk star کے corresponding جو function f of x کی value ہے یعنی f of xk star ڈیک جی اور اس کو استعمال کر کے ہم اس cross section کا area معلوم کریں گے اور پھر volume تو کچھ calculations ہیں جو لکھ لیتے ہیں سب سے پہلے تو یہ کہ xk star کہاں سے آتا ہے xk star جو ہے وہ میں اس کا mid point بھی لے سکتا ہوں delta xk کا اس کو لکھ لیتے ہیں نوٹ کریں کہ xk star جہاں وہ برابر ہے xk plus xk minus 1 divided by 2k یعنی یہ بیسکلی mid point ہے of the interval xk minus 1 star اور xk star کا اور یہ سامنے فگر ہے آپ کے اس میں دیکھ لیں کہ جو ہم باتے کر رہے ہیں وہ جو analysis ہے وہ کہاں سے ہو رہے یہ آپ کے سامنے picture میں ایک size آپ کے ساپاس solid کا جس کو میں نے 2 dimensional level پہ دیکھا ہے پہلے اور اس کے ساتھ ہی آپ دیکھ لیں کہ اس کے corresponding جو cylindrical shell ہے اس کی کیا اس کی کیا خوایس ہیں وہ بھی آپ کے سامنے ہیں تو اب یہ ہم کریں گے کہ جو volume ہے اس کے سب solid کا یہ slice کا یہ پہلے معلوم کریں گے اور پھر اس کے ذریعے ہم پورے solid کا معلوم کر لیں گے تو sk کا volume کیا volume v of sk will be approximately equal to اس کو لکھ لے تھے v of sk is approximately equal to the volume of the approximating cylindrical shell یہ وہی ہے جو ہم نے ابھی define کیا اپنے picture میں بھی this is of course equal to 2 pi multiplied by xk star times f of xk star times delta xk where 2 pi is just a constant from the formula for the volume of a cylindrical shell and xk star is the average radius of the cylindrical shell f of xk star is the height of the cylindrical shell and delta xk is the thickness of the cylindrical shell so now we can say something about the whole solid ابھی ہمارے پاس ایک arbitrary اس سب کے شل کا اگر ہمارے پاس سب solid کا ہمارے پاس آگیا ہے volume approximating it by using a cylindrical shell we can say this the following about the volume of the whole solid volume of the whole solid will just be the sum v of s equals the sum from k equals 1 to n of 2 pi times xk star times f of xk star times delta xk and now we can take the limit and get the exact volume of the solid s just as we have done earlier in earlier lectures notice that we get v of s equals the following limit and that is just equal to the integral from a to b of 2 pi times x times f of x times dx تو جنا اب یہ ہو گیا آپ کا volume of that solid اور آپ نے دیکھا کہ this is the analysis we did and now we have basically come up with a with a formula for finding a volume of a solid using the process of cylindrical shells یعنی جو ہم نے slices لیگے تھے پہلے اور اس میں ہمارے پاس washers or discs آئے تھے پچھلے لیکچر میں یہاں پہ وہ slices جہاں وہ ایک طرح کے cylindrical shells بنتے جن کو ہم نے استعمال کیے تو ان کو اب ہم سمرائس کرلے تھے اور لکھلے تھے تاکہ ہم دیکھ سکیں کہ ہم نے کیا کنکلوٹ کیا ہے آئے دیکھتے یہ جناب آپ کے پاس volume ہے formula ہے volume کا using cylindrical shells اس کو ایک طرح سے definition کے طور پہ لکھلے تھے اور یہ آپ کے سامنے ہے آپ کی book میں بھی ہے you can look at it yourselves اچھا جی تو اب ہم نے یہ formula دیکھ لیا volume کا for the for finding the volume of a solid using cylindrical shells اب اس میں تھوڑی سے اور بات چیت ہے جو کر لیتے ہیں یعنی جو یہ بھی concept دیکھا ہم نے for finding cylindrical for volume of a solid using cylindrical shells اس کو تھوڑا سا جنرلائس کر لیتے ہیں اور اس سے calculations تھوڑی سی اسان ہو جاتی ہیں اور جو view point ہے یعنی جو دیکھنے کا جو نقطہ نظر ہے وہ تھوڑا اور کلیر ہو جاتا ہے تو کہنے کا کیا مقصد ہے مقصد یہ ہے کہ ہم نے جو آج کا last topic ہم نے بات کرنے جس میں وہ ہم ایک طرح کی generalization کرتے ہیں اس process کی جو ابھی ہم نے دیکھا تھا اور اس کو لکھ لیتے ہیں تاکہ دیکھ لیں کہ ہے کیا یہ top آخری جو topic ہے وہ ہے جی finding volume through the surface area of a surface created from a cylindrical shell تو کہنے کا مقصد یہ ہے کہ آپ نے cylindrical shell لیا ٹھیک ہے جی اور اگر اس کو آپ کہیں کہ جی cylindrical shell میں imagine کریں ایک طرح کا glass ہوتا ہے ٹھیک ہے میں نے کہا تھا ہے container ہے اس کی obviously کچھ thickness ہوتی ہے اگر this thickness کو آپ بالکل zero کر دیں تو آپ کے پاس ایک طرح کا right circular cylinder آ جاتا ہے right circular cylinder کیا ہوتا ہے یا بیسکل کیا لیں کہ ایک cylinder آ جاتا ہے اور cylinder وہ چیز ہوتی ہے جس کی thickness کو ہی نہیں ہوتی remember ابھی ہم نے جو شروع میں بات کی تھی وہ یہ ہی تھی کہ ایک flat cheese لیں یعنی جو اس کی جو کہنے کا مقصد یہ جو cylinder ہوتا ہے خالی اس کا جو خول ہوتا ہے اس کی جو outer layer ہوتی ہے اس کی thickness بالکل نہیں ہوتی zero ہوتی ہے cylindrical shell جو ہوتا ہے اس کی تھوڑی سی thickness ہوتی ہے تو اب یہ کرتے ہیں کہ یہ جو ابھی ہم نے دیکھا تھا ایک arbitrary cylindrical shell دیکھا تھا اس کی اس کی ایک thickness سی delta x کے اس کو اب ہم کہتے ہیں کہ اس کو zero کر دیتے ہیں تو اس میں result یہ ہوگا جو cylindrical shell تھا آپ کے پاس اب وہ ایک خالی cylinder بن چکا ہے یعنی اس کے اندر ایک inner radius اور outer radius نہیں ہے صرف ایک radius ہے تو اب ہم کیا کہ سکتے ہیں اس کے حالے سے اس کے حالے سے ہم یہ کہ سکتے ہیں کہ یہ جو process تھا for finding volume یہ تھوڑا اس آسان ہو گئے تو یہ جو میں نے ابھی بات کیا کہ جی آپ cylindrical shell کو بالکل thickness کو پتلا کر کے zero کردیں تو ایک resulting cylinder آئے گا خالی اس کی تصور بنائے کے دیکھ لیں کہ یہ ہے کیا کیا کہنا چاہا رہا ہوں میں تو یہ دیکھیں یہ دیکھیں کہ اس تصویر صاف ظاہر ہے کہ اگر آپ ایک cylindrical shell لیں اور اس کو پھر thickness کو zero کردیں تو وہ بیسکلی ایسا ہے کہ جیسے آپ کہہ رہے ہیں کہ جو region r تھا اس میں کوئی انٹرول لینے کی بجائے x1 سے لے کے for example x2 تک آپ صرف ایک point لیں x خالی جو ایک بیسکلی ایسا انٹرول ہے جس کی width zero ہے اور اس کو پھر آپ روٹیٹ کریں around the y axis تو ایک cylinder آتا ہے آپ کے پاس جس کی whole کی جو thickness ہے وہ zero ہے لہذا it's a cylinder not a cylindrical shell اور اس سرینڈر کا surface area کیا ہوگا basically آپ اس کی height کو multiply کردیں اس کے radius سے جو center سے آپ نے مجر کیا تو وہ ہے x height جو ہے وہ f of x ہے چونکہ function پے جاکے رکھتی ہے f of x پے اور اب اس کو آپ multiply کردیں 2 pi سے تو آپ کے پاس result آئے گا which will be the surface area of this cylinder تو کہنے کا مسئل یہ ہے کہ آپ سرینڈرز کے طور پہ بھی دیکھ سکتے ہیں اور یہ کالکلیشنز سوڑی آسان ہو جاتی ہیں یا سوچنے کا طریقہ بہتر ہو جاتا ہے کیونکہ بجائس کے کہنے کے کہ آپ نے average radius معلوم کیا ہے ابہ off a cylindrical shell تو اب آپ یہ کہہ رہے ہیں کہ آپ نے ایک سرینڈر کا radius آپ نے معلوم کر لی ہے اور اس کے ذریعے اس طرح سے سوچنے سے آپ کی تھوڑی سی کالکلیشن آسان ہو جاتی ہیں یا point of view آسان ہو جاتا ہے یعنے اب آپ یہ کہہ رہے ہیں کہ اب یہ جو فرملائے بھی ہم نے دیکھا 2 pi f of x اس سرینڈر کا surface area کا یہ وہی فرملائے کہ ہم نے integral میں استعمال کی ہے for finding the volume through a cylindrical shell تو یہ جو ابھی دکھ ہم نے بات چیت کیا ہے اس کو summarize اس طرح سے کر سکتے ہیں اور اس کو لکھ لیتے ہیں سلنڈریکل شلس دڑی حالات سرفص ایریا کو مجھے اپنے حالات سرفص ایریا کے بارے میں طرحVery سیکشن روکر آگات س Alright لہذا اسا سلنڈریکل شلس کو سرفص ایریا کے because a ڈیکھا جا سکتے ہیں اچھا جی تو یہ ہوگئے آپ کی بات چیت آج کے لیکچر کی ساری آخری طوپک تھا جو ابھی ہم نے بات کی جس کے بارے میں تو اب ہم اس کو تراثر دیکھ لیتے ہیں ریوکہ لیتے ہیں کہ کیا ہم نے بات کیے بیسکلی بات وہی تھی سمپل سی مین طوپک was finding volumes of solids solids of revolution بیسکلی اور اس لیکچر میں ہم نے ایک نئے ٹیکنیک دیکھی جو کے ٹیکنیک تھی سلنڈریکل شیلز کی تو جناب اس لیکچر کو اب ہم یہاں ختم کرتے ہیں ہومورک problems آپ لو کرتے رہیے گا اور کوئی problem ہو تو پیس email کیجئے گا اور کوشش کریں گے آپ کو جواب دینے کی تو اگلی لیکچر میں پھر ملاقات ہوگی اللہ حافظ