 Ok, donc, je commence avec ma série de lectures, donc je parlerai de la théorie analytique des formes automorphiques de GL2. Et donc, il y a beaucoup de différentes manières sur comment donner ce cours. Donc, depuis que l'école de sommaire est, j'assume, c'est principalement pour les théoristes de la théorie analytique classique. Donc, ce que j'ai envie de faire dans ce cours est à présent, donc la théorie analytique des formes modulaires, mais aussi dans la langue adélique. Ok, donc, la langue adélique est vraiment une langue, mais dans plusieurs situations, c'est un conseil très puissant. Donc, le point est que dans le début, c'est peut-être un petit peu forbidant, si tu es utilisé juste pour travailler avec des espaces classiques. Mais dans certaines situations, il y a un grand réward en investissant quelque temps dans l'understand des bases. Donc, vraiment, dans beaucoup de cas, c'est juste une façon différente. Vous pouvez le voir comme une façon de réchauffer l'ordre de l'argument que vous utilisez. Beaucoup de devises qui sont présentes dans la langue adélique sont importées de la technologie classique. Encore une fois, c'est un traitement très uniforme. Donc, c'est pourquoi j'ai envie de faire des phases sur ça. Parce que je pense que c'est partie du background naturel de la théorie analytique. Donc, je fais ça pour GL-2. OK, GL-1 est très intéressant, mais GL-2 contient ça. Parce que GL-2 n'est pas ambéliant, c'est relativement riche avec un phénomène intéressant et relativement simple. Donc, quand je donne ce genre de cours, je ne peux pas... C'est impossible pour moi de commencer par définir les adels, les idels et juste de la théorie. Je pense que c'est nécessaire de commencer par un exemple intéressant et motivé. Pourquoi la langue adélique peut vraiment être utile. Donc, je vais commencer par un exemple ou un problème très classique, donc je vais commencer par adéliquer. J'espère que je ne vais pas prendre trop de temps pour ça, mais ça peut prendre un peu de temps. Et probablement dans les dernières lectures, c'est là que nous allons commencer à faire une théorie analytique sur les adels. Donc, l'exemple que je veux discuter, c'est duques, c'est mon préféré d'exemple, ou l'un de mes préférés d'exemple. C'est la théorie classique du CREM, c'est-à-dire représentations d'intagères par théories quantitiques. – Quadratique. – Quadratique, oui, c'est une forme quadratique. Et c'est vraiment un problème, qui est complètement solvé, pour lequel il y a un grand avantage en travaillant à Daily Cali, parce que c'est facile de prouver le CRM, du CRM même sur le nombre de fields, et la provenance n'est pas plus difficile que sur le rationnel. Mais je vais le faire sur le rationnel ici. Je vais juste commencer. Je prends un espace quadratique, et ici il sera plus que 1,3. Et c'est le QN non-dégeneré quadratique. Je assume que la forme quadratique, la formule Q, est intégrale, par laquelle je veux dire que si vous avez des vecteurs avec une ordinate intégrale et que vous évaluez-les contre la Q, vous obtenez une ordinate intégrale, et si ce n'est pas le cas, si ce n'est pas le cas, vous pouvez juste risquer la Q, une ordinate intégrale, donc ce n'est pas vraiment une grande condition. Donc maintenant je prends une ordinate intégrale et on dit que la D est représentable par la Q et par la Z à la N si il existe un vector, un ordinate intégrale, non-zero, comme cette, donc qui prend la valeur D contre la Q. Donc ici je me requise un vector pour être non-zero, donc si c'est non-zero, ce sera immédiat, mais si c'est non-zero, donc ce que je dis est qu'il y a un vector non-trivial d'une ordinate intégrale qui prend la valeur 0 contre la Q. Donc ici, ce X est une représentation de la D par la Q et donc le set de toutes ces représentations, je vais l'occuper. Donc le étudiant de cet étudiant d'un vector intégral est un des problèmes les plus vénérables de la théorie du nombre. Donc ça a été étudié pour les âges et donc le objectif, donc le but est d'obtenir une condition suffisante sur la D pour que cet étudiant soit non-trivial et puis étudier l'étudiant de cet étudiant de la représentation. Où est-ce que c'est? Oh, ok. Il y a des multipliations aussi. Oui, oui, oui. Mais c'est un set de vectors. Oui, oui. Donc c'est vraiment une question générale. Et ici, donc, à moins que vous puissiez commencer à investir cette question, vous avez déjà des critériques partiels. Donc vous avez le principal qui est dans ce cas, c'est Asa Minkowski. Et donc si vous regardez la représentation dans un grand set, vous regardez la représentation. Donc la notation est obviante. Vous regardez le vector avec les coordonnées rationnelles qui donnent la valeur D contre Q. Donc, cet étudiant est non-trivial et c'est nécessaire et suffisant pour l'étudiant non-trivé de cet étudiant si et seulement si. C'est représentable par Q contre les vrais numéros et donc pour chaque prime c'est représentable par Q contre les numéros péadiques. Ok, donc c'est un critère qui qui semble être en train de vérifier un nombre de conditions infinites mais en fait c'est vraiment un critère pratique. Donc donc en déterminant si cet étudiant est ou non c'est juste un moteur de vérifier la signature de la forme quadratique. Et pour ça vous avez besoin en fait que cet étudiant n'est pas élevé pour plein de prime numéros donc il y a une petite difficulté donc le critère est valide mais si vous voulez vérifier, il y a une petite difficulté quand N est equal à 2 et pour avoir vraiment un critère finit vous devez utiliser la quadratique de la Cipro City n'est plus que 3 mais même pour 2. C'est un critère pratique et ok, donc quand vous avez ce principe maintenant vous voulez regarder pas que avec des coordinates rationnelles mais avec des coordinates intégrales et puis vous pouvez essayer de formuler un principe intégral à ce principe ce qui serait pour que le set de représentation avec des coordinates intégrales n'est pas élevé si et non si donc si vous pouvez représenter sur les vrais numéros et pour que pour une prime p vous pouvez solver la équation quadratique donc qx equal d1x est un vecteur avec coordinates intégrales donc je dois dire que ce principe intégral c'est un principe bien sûr c'est un truc très naturel pour imaginer mais donc ce principe est fausse et et il perd presque complètement et il perd presque toujours quand n est equal à 2 mais en ce cas ce principe est très bien compris c'est le fait que sur les 1s il y a un peu de sens il y a très peu de représentation intégrale et sur les autres 1s c'est le fait que les ordres en quadratique en général ont un nombre de classe ok donc presque toujours je ne vais pas identifier mais donc en commençant avec n equal à 3 il y a plus correct et je donnerai un statement ok ce est le statement ou peut-être il y a un statement il y a un sort de général CRM donc on assume que n est plus que 3 donc nous sommes dans 1 donc il y a ok peut-être je dois ok donc il y a un integer d ok n greater than 3 v greater than 1 un nombre donc il y a d d note d note q et v comme que n integer greater than d note satisfait l'intégrale principal si donc et puis on a des conditions donc si assume que n est plus que 3 4 let's say la valeur d à n prime p pour la la forme quadratique est anisotropique sur c'est anisotropique sur v 4 donc vous avez donc quand n est relativement plus petit vous devez imposer cette condition sur la condition d et pour vous avez un extra condition pour n equal 3 3 donc n d n n est pas long pour d joint set of square classes ok donc si n est 5 ou plus donc si n est 4 vous avez 1 si n est plus que 5 tout ce que vous demandez c'est que le discriminant est assez large si n est plus que 4 vous avez besoin que la valeur à 6 prime pour q pour d est bandé et vous avez et quand vous êtes donc pour la forme quadratique vous avez besoin d'exclure ce fin du nombre d'exception square classes donc c'est possible que ce set est mt donc mais ici il y a un statement général que vous pouvez avoir donc vous voyez que l'intégral c'est assez large d'intégral plus ou moins le modulo possible d condition donc quand je le satisfais comme principal je veux dire d est comme ça si cette condition est satisfaite alors il y aura une représentation intégrale donc mais vous avez dit que c'est plus large que 0 non ? excusez oui non c'est un accumulation de plusieurs résultats donc c'est possible que vous pouvez faire quelque chose plus précis et donc dans cette théorie donc le cas est le cas n equals 3 qui est basé sur du donc donc n equals 4 k pour attributer à Closterman donc aussi juste pour les gens en formes quadratiques je vous rappelle que quand n est plus que 5 il n'y a pas de prime donc c'est pourquoi vous n'avez pas de condition dans la haine ok donc la idée est que la théorie n est la plus difficile case c'est que un moment où la théorie intégrale commence à être significative qui est dans la théorie ternary et c'est du du C. C. donc je continuerai avec le traitement général donc pour pour n de plus que 3 donc dans la prochaine lecture je vais spécialiser pour n equals 3 dans laquelle la théorie analytique de jl2 formes automorphiques entrent ok donc quand on parle de ce problème c'est utile pour généraliser un petit peu donc si vous demandez cette question pour avoir une représentation avec donc vector représentant d avec la théorie intégrale donc ce que vous faites c'est que vous considérez une famille de n indépendantes formes linéaires et ce que vous demandez c'est que votre vector prend les valeurs intégrales avec les formes linéaires donc c'est pas nécessaire d'en prendre les formes linéaires qui sont les coordonnées dans les bases canoniques vous pouvez prendre une famille d'indépendantes formes linéaires et il faut que votre vector soit intégral pour les choses et cela nous lead à la suivante généralisation donc vous considérez un lattice dans q à n donc vous appelez le module de maximal rang donc vous pouvez juste demander exactement la même question vous pouvez regarder la représentation de d par q mais vous regardez pour le vector qui est contenu dans ce lattice comment est-il différent de changer la forme ? oui exactement donc il faut changer la forme donc si vous voulez changer la forme vous allez dans mais quand vous voulez faire des choses sédélicales c'est mieux de changer le lattice et donc quand vous formulez l'intégral principal pour cela maintenant lp est definie pour être plus de l dans qp à n pour la topologie donc lp est un lattice zp dans qp à n qui est un module de maximal rang et ok donc vous avez cette question et donc si vous prendre un autre lattice ce que vous faites c'est que si vous faites un changement légère vous étudiez ce problème sur z pour la fin mais pour différentes formes mais je préfère fixer les formes donc ok donc ok, cette condition donc cette à l'intérieur de cette équivalence ou de cette équivalence je vais dire que c'est localement représentable par q en n donc donc la raison pour laquelle vous pouvez prouver cette ciorème via ces méthodes analytiques c'est que ce problème donc l'intégrale à ce principal de l'old donc il y a beaucoup de simétries je veux juste espérer des simétries donc ici je vais mettre g pour être le groupe de de la forme quadratique donc le fait que la forme quadratique soit fixée, signifie que ce groupe sera fixé et ça ne changera pas tout le traitement et ok, donc je vais me dire ok gfl il faut être le stabilisateur de la lattice l dans dans cette hortogonal groupe donc c'est g gq gfl est l en même temps donc il y a quelque chose d'obus c'est que gfl acte sur le set de représentations parce parce que si tu prends la représentation et tu applices un élément de ce groupe pour cela tu pourras avoir un nouveau vector qui va avoir la même length pour la forme quadratique et qui va aussi être contenue en L donc c'est un symétrie qui est assez obus d'exemple, quand tu dis que il y a quelque chose d'obus c'est g oui, donc si L est z à z n alors z à z n est soq z c'est un groupe d'hortogonal matrices avec l'entrée rationnelle n est 3 et q est la somme de 3 c'est un groupe très petit il peut être en finite si la forme est indéfinie je ne m'en souviens pas est-ce 3 ou plus ou moins s3 s3 et ça change et tu dois avoir un positif déterminant un déterminant donc c'est presque s3 et ok et tu as un autre type de symétrie donc c'est intéressant donc maintenant si tu prends donc rationnelle hortogonal matrix alors une chose d'obus c'est que si tu regardes le set donc si tu actes sur le set de présentation d'un par deux en L et tu applices g le set de présentation d'un par deux mais dans la nouvelle lattice dans la lattice gl donc ici donc l et gl sont dit pour être isométrique q isométrique ok, let me call it q g l et donc quand tu vois que la question de détermination si ce set est non-empty c'est équivalent à la question de détermination si ce set avec une autre lattice est non-empty pas nécessairement le même donc c'est bon d'être capable de changer la lattice donc ici on change la lattice dans l'une des meilleures c'est juste qu'on transforme l'isométrique et on a un équivalent un set de présentations donc ce sont des simétriques triviales et aussi maintenant donc le côté à droite c'est pour les simétriques sur le côté à gauche de l'intégrale principal sur le côté à droite tu as un un peu de simétriques donc qui est équilibré d'utilisation pour une prime p si tu prends une matrice péadrique qui est une matrice nortogonal donc qui préserve la forme quadratique mais sur la pi à la fin alors tu as cette gp d'air q d'air lp est d'air q d'air gp lp donc une question de détermination si ce set n'est pas élevé c'est équivalent de détermination si ce set n'est pas élevé et ici c'est un différent un différent des matrices péadiques et donc nous ferons la définition donc suppose que tu as l et l prime donc 2 matrices donc c'est le set de matrices ok donc on dit que et l prime sont q isométrique à p si l prime est dans l sous l'action de ce groupe donc exactement l prime est de la forme gp de lp si on le write l prime q c'est p donc si c'est q isométrique d'un prime p d'un des conditions sont équivalentes et si l et l prime sont q isométrique de chaque p on dit que l et l prime sont localement isométriques ok? on le write l prime q log donc nous avons juste une condition pour chaque prime et en fait, cette condition qui s'involte infiniment d'automètres en fait il n'y a que plein de primes parce ok? remarque donc lp est equal l prime p est equal zp pour lp pour presque chaque p donc on dit que tous les lattices sont localement isométriques p isométrique pour donc vous devez vérifier si il y a plein de p ok? donc nous avons cette sort de définition et ce qui est juste d'obus c'est que le right-hand-side de l'intégrale à la principale dépend seulement de la lattice donc une autre chose d'obus est que si deux lattices sont q isométriques sur les rationnels automatiquement elles sont localement isométriques donc la classe local contient un nombre de classes globales isométriques q isométriques globalement q isométriques ok c'est bon ok donc maintenant je vais donc pour introduire les adels et ici je vais les introduire pour ce qu'il s'appelle local global principal pour lattices donc c'est ce que c'est ok c'est là donc l'intégrale à la principale quand vous considérez pour général lattice il invoie vous avez votre lattice et vous associérez cette séquence de lattices dans la fin d'une pièce donc juste par prendre la fermeture pour la topologie donc c'est un élément donc je vais le coller l hâte pour être juste la séquence de lattices donc c'est un élément du producte sur toutes les primes de lattices donc vous avez cette map et donc la question est donc vous avez cette map un lattice global et vous associérez un peu de données locales qui sont les lattices sur les périodes et la question est que si vous êtes donné ces données locales vous pouvez reconstruire le lattice global non non parce que je prends les objectifs rationnels et en fait, la question est oui vous pouvez récover ce qui est ce principle local donc la proposition est la suivante donc ok la map L donne L hâte est objective donc entre le set de lattices et donc un sub-sets du produit qui est juste l'image de cette map donc ici je prends une prime et la définition est le set de séquence de lattices L p et ce que je dis est que L p est juste la lattice square pour presque chaque prime p qui signifie pour tout mais finalement beaucoup de primes ok et le converse de cette map donc le converse de la map est donné par cette donc vous avez une séquence de lattices locales presque toutes les lattices sont les lattices square vous avez juste l'intersection de toutes les primes de q à dn intersectés avec L p donc ici c'est un petit abuse de notation je vois que q à dn est embêté en qp à dn et puis je prends l'intersection avec L p donc j'ai un élément de sub-sets de q à dn je intersecte tous ces sub-sets et donc c'est le converse de cette map et donc la prouve est une séquence de la réunion chine cormis juste pour le record donc parce que j'ai créé ce remarque ici donc juste pour voir juste pour voir au moins que vous avez dans cet espace c'est simplement que vous remarque que si L est une lattice donc je vais juste faire la chose, donc le reste n'a pas de temps donc si vous prends un lattice général alors il existe un integer dépendant de L comme ça donc L est contenu dans 1 over n z to the n donc juste prendre la base de L et et puis Lp est zp pour tout si P ne divise ce integer alors que l'image de cette map est contenue ici c'est juste un argument simple mais comment il divise cette intersection ça veut dire quelque chose d'injectif pardon, ce n'est pas non, non, c'est une map d'injectif mais pas 1 à 1 c'est ce map est 1 à 1 entre ce set et ce product restricte juste si vous prends des séquences de lattices presque toutes qui sont les lattices les lattices du quart si vous faites cette construction alors vous avez un map 1 à 1 ce n'est pas 1 à 1 si vous prends un produit parce que vous pouvez avoir des lattices dégénérant mal à la séquence donc ... ... donc maintenant je peux oui ce local global principal est une très importante parce que, ok ce que vous avez dans le espace de lattices parce que ça vous donne une autre description d'un très naturel de course vous avez ok ce espace de lattices c'est un espace homogène sous l'action des matrices rationnelles et c'est transitively et donc ok, donc c'est une action obviuse mais parce que sur cette description vous avez une nouvelle famille de actions qui sont moins obviuses qui sont vous avez une action de le groupe linéaire de matrices actes sur un lattice global pourquoi ? parce que prendre un gp dans gln de qp et puis vous prendre un lattice l et puis vous définissez gp l c'est le inverse image de la famille de lattices donc je prends minus 1 et je prends l'prime p' sur p' avec l'prime p' est equal donc lp p' est p et est equal lp p' est différent de p donc vous avez un lattice qui vous donne une collection de lattices locales vous modifiez 1 local lattice à un endroit p par l'action de gp donc quand vous avez une collection de lattices locales les lattices presque toutes les lattices sont encore equal à la lattice square et puis vous reposez et vous avez un nouveau un lattice rationnel donc pour chaque prime p' vous avez cette action qui, bien sûr, vous ne pouvez pas voir si vous avez la réalisation rationnelle et toutes ces actions parce qu'elles commutent, évidemment parce qu'elles actent sur différents éléments locales donc vous avez une action d'un grand groupe donc et cet grand groupe s'appelle le groupe de finit un point finit adhélique du groupe général qui est ce un produit restricte donc ce qui est défini c'est simplement un set de séquences et ce que je dis je dis que gp contient ok contient dans le stabiliser de la lattice square donc pour presque chaque p' donc je prends la séquence de matrices de paix et de matrices invertibles presque toutes lesquelles ont des coordonnées intégrales donc pourquoi j'ai besoin d'une action donc cet groupe acte sur sur l q à la fin donc vous avez un g donc gf est la séquence de gp et gf de la lattice l vous définissez simplement l'image inversée de la séquence de gp lp donc la séquence et donc ce qui se passe c'est que je modifie chaque component local mais depuis que presque toutes ces components locales sont la séquence square et presque toutes ces matrices sont stabilisées la séquence square je change seulement de plein de components ok ceci c'est le groupe de finite à des points de gln ok donc un remarque c'est qu'il y a cette action naturelle et aussi vous avez la action naturelle donc en fait les actions sont compatibles donc la action naturelle de gln est donnée par la action gln via la embéding diagonale donc simplement vous avez une embéding diagonale de gln et vous le mappez pour pour la séquence constant de gln et ici juste par regardant le dénominateur ce sont les groupes de points et si vous regardez cette action de cette façon la action naturelle donc quand vous voyez gln q comme un groupe de gln af embéding diagonale vous recouvrez la action naturelle ok donc alors alors donc nous avons introduit la notion de la classe entre les lattices et quand vous pouvez voir c'est facile de voir donc maintenant given l de la classe donc ok donc c'est global c'est q isométrique class c'est juste jql ok donc c'est évident et c'est local q isométrique class précisément gaf l donc gaf est un groupe de gln af c'est c'est de prendre les séquences de matrices qui sont toutes contenues dans le groupe orthogonal et presque toutes qui stabilisent les lattices donc quand vous voyez que la classe local q isométrique est réalisée comme un orbitre d'un groupe très grand donc c'est aussi appelé q genus de l c'est un sub-sett du set de rationales lattices et ok et donc maintenant je vais juste finir mais je vais dire peut-être cette proposition qui suivait toutes ces définitions et la c'est donc d est local représentable par q en l qui signifie que d satisfait le droit à l'intérieur de la principale intégrale si ok si je vais le dire de cette façon rq d gen q l est non mt ce qui signifie que si il existe un trou rational dans le genus dans le genus de l rq d l prime est non mt donc ce que cette proposition dit est que si vous satisfait le local local condition pour la principale intégrale peut-être vous n'êtes pas représentable un vecteur qui est contenu dans votre original lattice l mais vous êtes représentable par un vecteur contenu dans un autre lattice qui est local isométrique pour l'original et parce que c'est très simple je vais juste faire le prouf et je vais finir là et la prochaine fois je vais expliquer la stratégie générale du CORM ou tout prouve le général CORM ok ce que vous savez est que d est local représentable une direction est obvue donc la direction est obvue si d est local représentable il y a représentation par un lattice dans un lattice d est local représentable en particulier d satisfaite le principle donc il existe x des vecteurs donc en qn comme ça qxq est d ok donc une chose que vous savez c'est que xq est original pour presque chaque p parce que vous vous expliquez donc presque tous les dénominateurs vous remouvez et vous avez des coordonnées intégrales dans les bases de l donc c'est un truc et ok pour et bien sûr si vous étiez contenu en lp pour chaque p alors xq serait contenu en l et vous avez votre représentation que vous regardez mais donc pour le reste primes p alors vous savez qu'il existe xp dans lp comme ça xp est d juste par parce que vous êtes local représentable en l et maintenant vous pouvez invoquer avec corem donc il existe gp dans gp comme ça gp de xp est xq parce que vous avez deux vecteurs qui ont la même length contre cette forme quadratique donc et les groupes orthogonal sur un fil transitivement sur la vecteur de la même length donc et puis vous voyez que donc je finis ici puis vous voyez que xq donc quand vous voyez que c'est lp où lp c'est c'est c'est lp ou c'est c'est lp donc c'est c'est c'est lp qui est le component local ici et c'est c'est un c'est un lattice qui est transformé par une isométrie à plein de places donc il contient dans le génie ok, donc ça prouve donc on n'a pas nécessairement une représentation intégrale qu'on veut mais on a une pour un lattice qui est très close donc dans le sens l'obstruction de la principale intégrale est donné par par ce set de lattices dans le génie et en fait, donc la prochaine fois on verra que le nombre d'obstruction est vraiment finie et puis on verra comment on va vivre avec ce problème ok, merci questions, commandes Oh, premièrement, on dit que vous suivez Oh, ok, ok Sorry Yes, I do have asked something This massive construction in the lattice is exposed to it Yes, there are not many references Four, it's just some kind of a metric in the language, right? We are talking about lengths of the character because the construction is related to the original part of the form Yes So what happens if forms are rational like we have Oh, so when it means that you consider a different lattice but not necessarily the genus, the classicality of the forms and then you really go into some branches out from it where to be continued somehow Thank you Thank you So there is nothing new So there is a objective between the Q genus of L and what you could call the genus of Q, which I don't know, the Ziegel genus of the quadratic form so Yeah, yeah, these are basically the same so it's just presented in terms of lattices instead of in terms of quadratic form so No, no No, I don't think so It's just set theory here Anybody lost? Yes? In original Hassemin-Koski principle we see that we localize key at all the finite primes and as well as infinity but why do we take only finite atoms here? Why not the full atom? I mean also include the infinite part Oh, but so if you take a lattice and you take the closure of a lattice in Rn you will get just the same lattice so it won't change anything in a sense So So you don't bring a new so in fact you don't need more information at infinity than the signature of the form but you need it but you need it for the so you use the Archimedean information when you use Hassemin-Koski theorem so because you need something at infinity to the Hassemin-Koski theorem provides you at least one rational representation so when you use the Archimedean place there but when it comes to Integrality you don't need to have more Archimedean information because Integrality is about the finite place If you don't work in Q but take a number field Oh, yeah, okay, it's the same if you do a number field you avoid of course you keep the condition at the infinite place to be representable in the full vector space and then you take the local lattices at the finite ones Thanks again