 اسلام علیکم. آج لیکچر نمبر 42 شروع کرتے ہیں اور اس میں ہم باتے کریں گے جناب سیریز کی، انفنٹ سیریز کی تو پچھلے لیکچر میں ہم نے بات کی تھی سیکونس اس کی اور اس کے بارے میں ہم نے کافی ٹیکنکل باتے جو تھی سیکونس اس کی وہ دیفائن کی تھی. سب سے پہلے تو ہم نے دیفائن کیا تھا کہ سیکونس ہوتی کیا چیز ہے. اس کو ایک ماثمیڈکل پوڈنٹیو سے دیفائن کیا تھا جس میں ہم نے دیکھا تھا کہ جی سیکونس جو ہے وہ ایک فنکشن ہوتی ہے اور ایک ایسا فنکشن جس کی دومائن پوزیٹیو انٹیجرز ہوتے ہیں اور یہ ایک جو دیفائنشن تھی کہ سیکونس جو ہے ایک فنکشن ہے جس کی دومائن پوزیٹیو انٹیجر ہے اس کی وجہ سے بیسکل ہم سیکونس اس کے بارے میں کافی باتے کر سکے تھے یعنی مقصد یہ ہے کہنے کہ جہاں پہ سیکونس اگر انٹیوٹیولی بات کریں اور ہم نے کی بھی تھی بلکے کہ سیکونس جو ہوتی ہے جناب وہ آپ کی ایک وہ ہے نمبرز کی سکسیسف نمبرز کی ایک لیسٹ ہوتی ہے تو اس میں کوئی ماثمیڈکل بات نہیں ہوتی کچھ خاص ہم اس کے بارے میں کچھ کرنی سکتے اس کو ماثمیڈکلی انلائز نہیں کر سکتے اگر ہم صرف یہی کہیں کہ جو سکسیسف نمبرز کی ایک لیسٹ ہے جو آپ کی ایک سیکونس ہے لیکن یہ تھا کہ اس میں جب انٹویٹیولی بلکے بات کی تھی ہم نے تو یہ دیکھا تھا کہ جناب ایک سیکونس کا آپ جنڈل ٹرم جو تھی اس کے اندر ٹرمس تھی بہت ساری اندر ٹرم جو تھی جنڈل ٹرم اس کا اگر آپ کے پاس ایک اکسپریشن آجائے یا ایک طرح سکے لیں کہ ایک فورملہ آجائے اس کو لکھنے کا ایک سیکونس کی نوٹیشن میں لکھنا بڑا سان تھا اس کو ہم نے کیا بھی اس کو مثال کے طور پہ جب ہم کہہ رہے تھے کہ جی ایک نمبر کی سیکونس ہے ہمارے پاس تو اس میں جنڈل ٹرم جو تھی وہ تھی ٹو ٹن یعنی ٹ level پہ جاکے ٹرم جو تھی وہ تھی ٹو ٹن اور پھر ٹو ٹن سے ہم نے کہا کہ جی اب اس کو فنکشن کے طور پہ ڈفائن کر دیتے ہیں اف ٹو ٹن ایک ٹو ٹن where the domain is one, two, three all the way to infinity تو جناب یہ سیکونس اس کو اس طرح سے ہم نے شروع کیا پھر ہم نے اس میں یہ دیکھا کہ سیکونس کا ایک limit کے بارے میں ہم بات کر سکتے ہیں اور limit کے بارے میں بات کرنے سے پہلے ہم نے یہ دیکھا تھا کہ اس کی ایک convergence or divergence کا concept تھا اس میں تو یہ convergence or divergence کا جو concept ہے ایک سیکونس میں جو ہم نے دیکھا تھا سیکونس اس کے بارے میں تو یہ کافی important ایک چیز ہے اور ابھی جو ہم جو باتے آج کریں گے اس لیکچر میں اس میں بھی ایک طرح سے limit کا ایک idea ہے اور convergence کا ایک idea انوالبڈ ہے which is based on the stuff we saw in the previous lecture regarding sequences or really regarding the limit and convergence or divergence of a given sequence تو یہ ساری بات چیز ہم کریں گے لیکچر میں from a slightly different perspective اور وہ پرسپیکٹیف ہوگا series کی حالے سے یعنی بیسکل رفلی speaking آپ کیا سکتے ہیں اگر کوئی پوچھتا ہے کہ جی series کی چیز ہوتی ہے بلکہ ہم دیکھیں گے کہ جی infinite series کیا ہوتی ہیں تو infinite سے پہلے کہتے ہیں کہ جی کوئی finite series کی بات اگر کریں تو what is that تو roughly speaking آپ کیا سکتے ہیں کہ جی ایک جو series ہوتی ہے its basically the sum of the terms in a sequence عام طور پہ یہ اس طرح سے بھی کہا جاتا ہے رفلی ایک طرح کر رف definition its not exactly a proper definition لیکن its good enough کہ سکتے ہیں کہ جی ہاں بالکل اگر کوئی sequence آپ کے پاس ہے تو اس کی جو terms کا اگر آپ سم لیں تو وہ ایک series بناتے ہیں جیسے اگر even numbers کی sequence ہم نے دیکھی تھی 2,4,6,8 all the way to the nth term 2n and beyond of course کیونکہ وہ infinity تک جاری تھی sequence تو اس میں ہم یہ کہیں گے کہ جی اگر ان سب terms کا ہم اس sequence میں جو ایک infinite sequence ہے اس کے اندر جو terms ان کا اگر ہم سم لے لیں اگر میں سم لے لیتا ہوں تو میں پاس ایک infinite series آجائے گی تو یہ بیسکل ایک idea ہے infinite series کا جو آج ہم دیسکس کریں گے تھوڑی سی motivation اس example سے بھی کہہ سکتے ہیں کہ اگر آپ سوچیں کہ یہ infinite series جو ہیں جیسا ہے even numbers کا تو میں نے کہا کہ اگر آپ اس کی sequence تو تھی 2,4,6,8 اس کی terms کو add کرنا شروع کر دیں تو آپ کے پاس ایک infinite series آجائے گی تو دیکھیں گے کہ اس کے ساتھ ہم کیا کر سکتے ہیں اگر ہم ایک infinite series کے ساتھ تھوڑی دیر میں لیکن زیادہ بہتر motivation میرے خاص سے اس example سے مل سکتی ہے کہ ہم اس حوالے سے کہ اگر کوئی پوچھا ہے کہ infinite series کا کیا فائدہ ہوتا ہے تو اس کا فائدہ اس طرح سوچی ہے کہ جو number ہے fraction ہے 1 divided by 3 اس کو ہم ایک infinite series کے طور پہ بھی لکھ سکتے ہیں اور وہ اس طرح لکھ سکتے ہیں کہ ہم کہاں گے کہ آپ 1 divided by 3 اگر calculator میں punch in کریں تو آپ کے پاس کی decimal expansion آتی ہے 0.3333 followed by infinitely many threes تو یہ جو term آئیے میرے پاس 0.3333 کر کے infinity تک اس کو میں ایک sum کے طور پہ لکھ سکتا ہوں ایک infinite series کے طور پہ لکھ سکتا ہوں اور تھوڑی دیر میں دیکھیں گے کہ اس کا فائدہ کیا ہوگا اور وہ series جو ہوگی وہ یہ ہے کہ میں لکھ سکتا ہوں جن آپ اس کو لکھ لیتے ہیں بلکہ سکین پہ کہ اگر میرے پاس number ہے 1 divided by 3 تو اس کو میں لکھ سکتا ہوں as 1 divided by 3 is equal to 0.3333 all the way to infinity first of all in decimal expansion but I can write this as an infinite sum which is 0.3 plus 0.03 plus 0.003 and so forth تو یہ ایک طرح کی اگزامپل ہے جہاں پہ ہم نے ایک number کو ایک fraction کو ایک infinite sum کے طور پہ لکھ دیئے تو یہاں پہ آپ یہ پوچھیں گے کہ جی کیا فائدہ ہوگا اس کا ابھی دیکھیں گے تھوڑی دیر میں جب فرمالی بات کرتے ہیں اس کی مقصد یہ کہ کئی بار جب ہم mathematics کرتے ہیں تھیوریٹکل یا applied تو ہمیں کچھ چیزوں کو infinite sum کے طور پہ لکھنا پڑتا ہے یہ نیٹرلی آرائزنگ infinite sums ہمارے پاس آتے ہیں اور یہ infinite sums ہوتے کیا ہے these are basically infinite series کیونکہ اس کے اندر ایک sequential terms ہوتی ہیں جنکہ آپ sum کرلیں add کرلیں تو ایک infinite series آجاتی ہے تو اسی طرح جیسی ایک سامپل تھی کہ 1 third جہاں وہ infinite sum کے طور پہ میں نے لکھ دیئے تو that is one way we write an infinite series اچھا جی تو اب فرمالی سٹارٹ کرتے ہیں لیکچر کو اور وہی کرتے ہیں جو کافی دفعہ ہمیشہ سے بلکھے کرتے ہیں کہ جو agenda ہے اور topic ہے اس کو لکھ لیتے ہیں تاکہ ہم دیکھ سکیں کہ آج ہم کیا بات چیٹ کریں گے تو آئیے دیکھیں کہ آج کا topic ہوگی ہے جناب آج کے لیکچر کا topic ہے infinite series ہے اور ساتھ ساتھ infinite series کے ہم دیکھیں گے جناب اپنے convergence tests وغیرہ تو یہ ان کی بارے میں detail میں بات کرتے ہیں agenda کیا ہے agenda ہے جی سب سے پہلے ہم دیکھیں گے کہ sum of infinite series کیا ہوتے ہیں so basically sums of infinite series اس کی بات کریں گے پھر جناب ہم بات کریں گے geometric series کی تو یہ geometric series یہ میرے خالصے آپ پہلے شاہد دیکھ چکے ہو جب algebraic point of view سے آپ نے دیکھا ہوگا اس کو اس میں ہم تھوڑا ساب calculus ڈال دیں گے limits وغیرہ کی بات چیٹ کریں گے اور دیکھیں گے کہ geometric series کا ایک اور point of view بھی ہوتا ہے understanding کا اس کے بعد جناب ہم دیکھیں گے what is known as the harmonic series یہ کیا ہوتی ہے یہ دیکھیں گے اور اس کی کچھ اگر properties ہیں تو وہ دیکھ لیں گے اس کے بعد جناب convergence tests کی بات کریں گے اور convergence کی بارے میں میں نے بھی کہا تھا کہ convergence کا مطلب ہوتا ہے کہ کسی sequence میں جب ہم نے بات کی تھی sequences کے بارے میں تو اس میں ایک sequence کی جس کا کوئی limit اگر defined ہوتا تھا finite number ایک آتا تھا as a limit تو ہم کہتے تھے کہ sequence جو ہے وہ converge کرتی ہے اور اگر limit نہیں آتا تھا تو diverge کرتی تھی اسی طائب کا idea کچھ یہاں پہ بھی ہوگا from the perspective of series rather than sequences تو اس میں کچھ tests ہوں گے جو آپ کو بتائیں گے کہ کسی طرح test کر سکتے ہیں given series کو کہ وہ diverge کر رہی ہے یا نہیں کر رہی تو اس میں سب سے پہلے ہم دیکھیں گے divergence test اس کے بعد جناب ہم دیکھیں گے algebraic properties of infinite series کچھ بیسکسی properties ہیں جن کے بارے میں ہم تھوڑکی بات چید کر لیں گے اس کے بعد جناب convergence کے ہواہلے سے ہم ایک integral test ہوتا ہے وہ دیکھیں گے کیا ہوتا ہے integral test کے بعد ہم دیکھیں گے جی p series کیا چیز ہوتی ہے خاص کسم کی series ہے اور اس کا بھی ایک convergence کا test ہے وہ دیکھ لیں گے تو یہ ہو گئی ہماری آج کی بات چید آجندہ تو topics دیکھ لی ہم نے کیا ہیں تو کافی سارے topics ہیں details میں ان کی بات کرنے ہیں تو let's start right away اور بات شروع کرتے ہیں پہلے topics ہے تو آئیے start کرتے ہیں اچھا جی تو اب start کرتے ہیں پہلے topic تھا ہم series کی بات کر رہے ہیں تو series میں نے آپ کو define کر گا باتا ہی تھی کہ جی it's just a infinite sum یعنی sequence اگر کوئی ہے infinite sequence تو اس کی terms کو اگر آپ ایٹ کر دیں تو آپ کے پاس ایک infinite series آجاتی ہے تو infinite series کیا ہوتی ہیں ان کے بارے میں کچھ بات کرتے ہیں کہ how do you first of all mathematically define an infinite series تو definition دیکھ لیتے ہیں پھر اس کو کچھ examples کریں گے تو this definition کو لکھ لیتے ہیں جو infinite series کی ہے آئیے دیکھتے جن آپ definition ہے کہ an infinite series it's an expression that can be written in the form summation k equals 1 to infinity of u sub k where u is just some term sub script k which of course if you expand equals u1 plus u2 plus u3 plus all the way to the kth term یہاں پہ nth term کی بجائے ہم kth term کی بات کر رہے ہیں تو kth term جو ہوگی وہ ہوگی u subscript k لیکن یہاں پھر ظاہرے ختم نہیں ہوتا کیونکہ summation جو ہے وہ infinite ہے تو u k کے بعد ہم plus u subscript k plus 1 لکھ دیں گے اور اسی طرح continue کرتے رہیں گے تو ہمارے پاس ایک infinite series آجائے گی اور numbers جو ہیں u1, u2, u3 یا جو terms ہیں یہ جو numbers آئیں گے یہ جو ہیں اس میں آپ کے پاس تو ان کو ہم terms کہیں گے we call them the terms of the series اچھا جی تو یہ ہوگی definition of an infinite series یا sum of infinitely many terms تو اب یہ یہاں پر تھوڑا سوال ہے کہ ٹیکہ definition دیکھ لی ہم کہہ سکتے ہیں جیہاں سمجھ آگی بڑا آسانی سے کہ کیا ہے سب کچھ کے series کیا چیز ہوتی ہے لیکن سمجھ اصل میں جب آتی ہے definition سے بات سمجھ نہیں آتی سمجھ جب آتی ہے جب اس کے بارے میں تھوڑا سا غور فکر کرتے ہیں اور کچھ examples کرتے ہیں تو سب سے پہلے بات جو غور کرنے کی ہے وہ یہ ہے کہ اب ہم چونکہ infinite series ہم نے ابھی define کیے یہ sum of infinitely many terms کی بات کی ہے تو کیا یہ ممکن ہے is it possible کہ ہم یہ سارے terms کو add up کر کے ایک جواب لٹکے باتا دیں کہ جیہاں infinitely many terms کا جو سمح وہ ایک finite number کے طور پہ آتے ہیں یہ بہت ہی انترستنگ جیسے پشلے کچھ لیکچنے میں ہم نے بات کی تھی کہ وہ improper integrals میں ایک example تھی بڑے مزے کی جو میں نے دیتی رکارڈیں گے solid whose volume you could find whose area under the curve یہ وہ جو define کرا تھا solid کو جو curve اس کے نیچے جو area ہے وہ ہم معلوم نہیں کر سکتے تھے تو اسی طرح کی یہ problem ہے کہ philosophically speaking کہ یہ کیسا سوچنا چاہیے کہ یہ کیسا سوال ہے کہ میرے پاس infinitely many چیزیں تو ان کو میں کیسے add کروں گا یعنی جیسے natural numbers ہیں کوئی آپ ساکھے کہتا ہے کہ جی آپ ایسا کریں آپ one سے لیکن infinity تک numbers add کریں اور مجھے بتائیں کہ results کیا ہے تو آپ سوڈیر سوچیں گے کہ ہاں واقعی 1 plus 2 تو میں کر سکتا ہوں تو 3 آ گیا پھر 3 plus 4 کروں گا تو 7 آ جائے گا I'm sorry 1 plus 2 کروں گا تو 3 آ گیا 3 plus 3 کروں گا تو 6 آ جائے گا 6 plus 4 کروں گا تو 10 آ جائے گا اور sof اس طرح سے continue کرتے جائیں گے تو ظاہرے ہم باری باری یعنی ٹکڑو ٹکڑو میں اس infinite series کو جس کو میں نے define کیا as the sum of all the natural numbers اگر میں ٹکڑو میں اس طرح کرتا جا ہوں سم تو میرے پاس ایک طرح کہ جواب آنا شروع ہو جائیں گے لیکن کب تک اس طرح کر کیا جائے گا سوال یہ ہے کہ کب تک میں ایسے کرتا جا ہوں گا جب تک کہ نمبرس ختم نہیں ہوں گے تو نمبرس تو جناب کبھی ختم نہیں ہوں گے کیونکہ natural numbers infinite ہوتے ہیں تو مخصد یہ ہے کہ آپ کائنات ختم ہو جائے گی لیکن یہ addition جو آپ کر رہے ہیں infinitely many sums کا natural numbers کا وہ ختم نہیں ہوگی یہ addition تو کیا فائدہ پھر تو جناب فائدہ یہ ہے کہ وہی بات آگے چلکے ہم کریں گے کہ جب یہ بات ہوتی ہے کہ ہم نے یہ جاننا چاہتے ہیں کہ natural numbers کا جسم ہے وہ کیا ہے تو اگر تھوڑی در سغور کریں تو اس میں نوٹ کریں کہ کچھ اندازہ ہو رہا ہے کہ اگر ہم sums کو باری باری آئٹ کریں پہلے دو آئٹ کیے ان کا result جائے وہ تیسرے میں آئٹ کیا اور so forth اس طرح تو final number آتا ہے لیکن وہ بڑے سے بڑا ہوتا جا رہا ہے تو مخصد یہ ہے کہ ایک طرح سے اگر ہم سوچیں تو ایک سوال اٹھا ہے کہ یہ جو میں sum کر رہا ہوں سارے natural numbers کیا یہ ایک finite number پہ جاکے ان کا ایک طرح کا limit کو آتا ہے does the infinite series converge or not اس طرح سے یہاں پہ ایک idea introduce کیا جا سکتا ہے کہ یہ series converge کر رہی ہے یا نہیں کر رہی ظاہر سی بات ہے کہ intuitive speaking ظاہر سی بات تو نہیں ہے لیکن detail میں اس کی بعد میں بات کریں گے یہاں پہ اس طرح ظاہر ہو رہا ہے کہ اگر میں 1 plus 2 plus 3 کر رہا ہوں تو کوئی limit اس کا نہیں ہوگا this series will actually may not converge intuitively مجھے تو یہ لگ رہے ہیں کیونکہ میرے جواب جہاں وہ بڑے سے بڑا نمبر آتا جائے گا اور کوئی چھوٹا نمبر نہیں آئے گا تو خیر یہ بات ہے کہ اب convergence کی بات ہو رہی ہے تو اس کے بارے میں ہم کیا کہہ سکتے ہیں تو ایسا کرتے ہیں کہ یہ دیکھتے ہیں کہ جس ابھی example ہے کہ natural numbers آیٹ کیا تو converge ہوتی ہے یا نہیں ہوتی یہ sum جو ہے یہ finite کو ایک number آتا ہے اس کا result ہے کہ کوئی بہتی numbers بڑے ہوتے جاتے ہیں تو اس کو treat کرنے کیلئے ہم ایسا کرتے ہیں کہ جس طرح سے ابھی میں نے کہا کہ 1 plus 2 پہلے میں کروں گا پھر اس کا result ہے 3 plus 3 کروں گا جو third term سیریز میں ہماری natural numbers کی جو پھر 3 کا ساتھ یہ جو result ہے 6 اس کو میں 4 ترم میں ایٹ کر دوں گا تو اس process کو تھوڑا سا develop کرتے ہیں اور اس کو ہم دیکھتے ہیں کہ اس کے ذریعے ہم کیا کر سکتے ہیں in terms of actually determining how the series actually converges or diverges تو وہ ایک سامپل کرتے ہیں ایک زادہ interesting جو ہے جو actually converge کرتے ہیں اس لے کرتے ہیں تاکہ آپ کو ذرا سا idea ہو جائے کہ converge واقی infinite series جو ہیں go کے انٹورٹیولیئے ہی لگتا ہے کہ ساری وہ diverge کریں گے کیونکہ ہم کبھی سم نہیں کر سکتے ہیں ان سب کو لیکن کچھ ایسی ہوتی ہیں جو converge کرتی ہیں how do we determine whether a series converges or not تو آئی اس کو لکھ لیتے ہیں سیریز جو ہم دیکھ رہے ہیں یہ وہی ہے جو ابھی شروع میں میں نے کہا تھا کہ اگر میں نمبر کو دیکھتا ہوں ایک فرکشن ہے 1 divided by 3 اس کی جو decimal expansion ہے جناب وہ ہے 0.3333 all the way to infinity اور ہم نے ابھی تھوڑی در پہلے دیکھا تھا کہ جی اس کو میں لکھ سکتا ہوں in the form of a infinite series اس کا نام نہیں لیا تھا لیکن ایک infinite sum ایک infinite series کے طور پہلے لکھ سکتے ہیں اور یہ ہے جناب 0.3 plus 0.03 plus 0.003 اور اسی طرح سے باقی terms تو یہاں پہلے دیکھیں کہ ہر term میں اس series کے ایک decimal کے بعد ایک extra zero add ہو جاتا ہے اور اگر آپ کوشش کر کے دیکھیں کہ پہلی دو تین اس series کی تو باقی میں ایک result 1 by 3 کی برابہ آتا ہے یعنی 0.333 کے برابہ آتا ہے result لیکن مخصد یہ کہ اگر میں پہلی 3 terms کو ایٹ کرتا ہوں تو وہ ایک finite result ہوگا finite سے مطلب یہ کہ وہ آجائے گا 0.333 لیکن مجھے پتا ہے کہ یہ 3's کبھی ختم نہیں ہوتے لہذا مجھے اور next terms کو بھی ایٹ کرنا ہوگا تو ان سپ terms کو میں ایٹ کروں گا infinitely many times تو میرے پاس result آجائے گا 0.3333 with infinitely many 0's following the infinitely many 3's following the decimal point تو اب یہ دیکھیں کہ یہاں پر ایک اور trick کی جا سکتی ہے mathematics میں tricks ہی ہوتی ہے وہ یہ ہے کہ یہ جو series میں نے لکھئی اس کو میں fractions کے طور پر لکھ سکتا ہوں 0.3 جو ہے وہ برابر ہے 3 over 10 کے of course 0.03 جو ہے وہ برابر 3 over 10 square کے جو اتنی بھی باکی terms ہے جن میں extra 0 ایک add ہو رہا تھا decimal کے بعد ان کو میں fraction کے طور پر لکھ سکتا ہوں as 3 over sum power of 10 تو یہ ایک اور طریقہ آگے لکھنے کا اس کو اب اس کے بارے ہم کیا کہ سکتے ہیں اب اس میں ایٹ کرتے ہیں کہ جناب یہ جو decimal expansion میں کی جو ہم نے form لکھئی 3 over 10 کی form میں powers of 10 کی اس میں دیکھ لیں کہ final sum یعنی ایٹ سام ایک طور پے یعنی ایٹ کرتے ہیں کہ terms کو نام دیتے ہیں پہلی terms جو ہے 3 over 10 اس کو میں کہتا ہوں s1 اور یہ برابر ہے 0.3 کے as2 کیا ہوگا as2 جو ہے میں اس کو دیفائن کروں گا as the sum of the first two terms in my given series and that turns out to be 3 over 10 plus 3 over 10 square تو یہ تھوڑا سا idea آپ کو ہی کام کرتے ہیں کہ یہاں پہ آپ ہم یہ دیکھ رہے ہیں کہ جیسے میں نے natural numbers میں کہا تھا کہ میں پہلے 1 ایک پہلی term ہو گئی پھر میں 1 plus 2 کرتا ہوں تو 3 آگیا تو ایک طرح کا سام آگیا ایک پہلی 2 terms کا پھر میں کہا کہ اس کا جو result آئے یہ ہے جناب جو بھی ہے اس کو اگر میں 3 سے ایٹ کروں تو میرے پاس ایک اور پہلے 3 numbers کا سام آگیا تو ان سب چیزوں کو یہ وہ idea ہے جو میں یہاں develop کر رہوں اور اس سے اب ہم دیکھیں گے کہ ہم convergence کے بارے میں کافی بات کر سکتے ہیں سیریز کی تو یہ چلتے ہیں اس پہ بات کرتے ہیں تو یہ اس طرح سے میں بہت ساری sequences ڈیفائن کر سکتا ہوں I mean partial series ڈیفائن کر سکتا ہوں جو کہ finite series ڈیفائن کر سکتا ہوں تو یہ آپ کے سامنے ہو گئی اب یہ جو numbers آئے S1 سے لے کے S2, S3, S4 تک اور اس طرح infinitely میں نہیں آئیں گے ظاہر ہے تو ان کو میں approximation کے طور پر treat کر سکتا ہوں to the sum of the infinite series جو ہمیں پتا ہے کہ one-third ہونا چاہئے تو اس میں اب ایسا کرتے ہیں کہ جو nth term ہوگی وہ کیا ہوگی in sequential numbers کی S1, S2 وغیرہ کی nth term جو ہوگی وہ basically ہوگی sum of the n terms in our original series یعنی Sn جو ہوگا وہ ہوگا 3 over 10 plus 3 over 10 square plus all the way to 3 over 10 to the power n تو اب اس میں ایسا کرتے ہیں کہ ہم یہ جاننا چاہتے ہیں اس سے بیسکلی کہ چونکہ میرے پاس nth term آگئے یہ series کی original کی تو اگر میں اس کا limit نو as n goes to positive infinity تو میرے پاس ریزلٹ وہی آنا چاہئے جو originalی مجھے پتا ہے کہ one-third ہوگا لہذا problem یہ ہے کہ ہم کالکلیٹ کرنا چاہتے ہیں limit as n goes to plus infinity of Sn which is equal to the limit of the nth partial sum 3 over 10 plus terms all the way to 3 over 10 to the power n تو یہ جناب ہمارے پاس اب ایک طرح کٹ ٹیکنیکسی آ رہی ہے کہ جس کے ذریعے ہم دیکھ سکتے ہیں کہ ہمارے پاس term series ہے infinite series یہ کنورچ کرتی ہے کہ نہیں کرتی ہے continue کرتے ہیں ختم کرتے ہیں اس چیز کو تو دیکھیں کہ اب یہ کرتے ہیں اس میں کہ چونکہ limit مجھے کالکلیٹ کرنا ہے لیکن as such میں کوئی خاص کچھ کرنی پا رہوں جو terms میرے پاس last i تھی limit کی تو اس میں ایک trick اور کرتے ہیں ایک break اور وہ یہ ہے کہ اگر میں بوث سائٹس کو ملٹپلائے کر دوں s n equals جو nth term nth partial سامے 1 over 10 سے ملٹپلائے کروں تو result آتا ہے 1 over 10 times s n equals 3 over 10 square plus 3 over 10 cube plus all the way to 3 over 10 to the power n plus 1 ٹیک جی اب اس میں ایسا کرتے ہیں کہ 1 یہ جو دو ہمارے پاس ایک اپس ایک اپسپرشنز آئی اینوالویں ایک سین تو جو پہلی تھی اس کو اس میں سے سپٹرائٹ کرلیتے ہیں جو آخر میں آئے بعد والی تو result آتا ہے s n minus 1 over 10 s n equals 3 over 10 minus 3 over 10 to the n plus 1 اور تھرا سا الگیبرے کالکلیشن کریں تو result آتا ہے آپ کے پاس آتے s n کا as being equal to 1 third times 1 minus 1 over 10 to the n اب اگر میں کہتا ہوں کہ n goes to infinity جو ظاہر اسی بات ہے 1 over 10 to the power n جو ہے وہ 0 پرو کو اپروچ کرے گا لہذا میرے پاس اب رسالت آتا ہے limit as n goes to infinity of sn equals one-third یہ جناب آپ کا ہو گیا ایک طرح سے ٹیست ہو گیا آپ نے کر لی کے جو give infinite series تھی اس کا actually کوئی finite answer آتا ہے یہی جو infinite some ہے یہ جو terms ہم نے دیکھیں سیریز میں ان کا infinite some تو ہے لیکن using the technology of limits and some other mathematics we actually instead of actually adding up all the infinite terms we have found the answer with a very shortcut method using limits تو اب ہم اس example کو مدنہ زرگتے وے ایک definition or بنا لیتے ہیں جس میں convergence divergence کی بات آ جاتی ہے تو آئیے اس کو لکھ لیتے ہیں اور دیکھیں کہ کیا یہ definition ہے یہ definition ہے جناب let sn be the sequence of partial sums of the series u1 plus u2 plus u3 all the way to infinity اور پارشل سم سے کیا مراد ہے پارشل سم سے وہی ہیں جو میں نے ابھی تھوڑے در پہلے آپ سے کہا تھا کہ sn جو ہے ہماری given پشلی example کی جو series تھی اس میں sn جو ہوگا وہ nth partial sum ہوگا یعنی some of the terms from 1 to n if the sequence sn converges to a limit s then the series is said to converge and s is called the sum of the series تو جو limit کی value آئیگی اس کو ہم کہیں گے this is the sum of the series we denote this by writing s equals summation k equals 1 to infinity us of k and if the sequence of partial sum diverges then the series is said to diverge and a divergence series has no sum یہ ہماری definition ہو گئی convergence divergence کی اپنی series کی ابھی ایک example دیکھیں جس میں تھوڑی سی آپ بات چیت کریں گے مزید اس کے بارے میں تو آئیے example دیکھ لیتے ہیں example ہے جناب determine whether the series 1 minus 1 plus 1 minus 1 plus 1 and so forth converges or diverges if it converges then find the sum اچھا جی تو اس میں اب یہ تھوڑا سا غور فکر کی بات ہے کہ ہاں واقی میرے پاس ایک addition or subtraction ہوریے once کی infinitely many times تو اگر میں سوچوں ایک طرح سے تو میں کہہ سکتا ہوں کہ ہاں جی یہ تو ایسا یہ کہنا کی برابر کہ میں plus 1 کو minus 1 سے کانسل کر سکتا ہوں چیکی جی دو دفعہ اور پھر دو دفعہ پھر دو دفعہ all the way to infinitely many times لیکن problem وہ یہ کہ کب تک آپ کریں گے کوئی concrete value تو نہیں ہے کہ یہاں تک جاکے آپ کانسل کریں گے تو ہمارا رزلٹ آجائے گا کیونکہ اس میں problem یہ کہ infinitely many terms ہیں اگر آپ اس کو for a minute سوچیں کہ یہ odd number of plus 1's اور minus 1's تھے تو رزلٹ zero نہیں آئے گا کانسلیشنز نہیں ہوں گی complete اس کے بجائے minus 1 رہا جائے گا یا plus 1 رہا جائے گا تو یہ چونکہ ہمیں پتا ہی نہیں ہے کہ odd many terms ہیں یا even many terms ہیں سیریز میں infinite series میں تو ہم کیا کر سکتے ہیں ہم ایسا کرنا کہ ہم دیٹرمین یہی کرنا چاہاہاہے ہیں کہ یہ Weird numbers کیا ڈیورج کرتی ہے تو اس کے partial sums بنالیٹے ہیں partial sums بنانے سے ہوتا ہے کہ n terms کا formula ڈیٹے ہوتے ہیں اس formula پھر ہم limit ڈیٹیں his end goes to infinity اور ہمار پس results آجاتے ہیں تو آئیے اس کو complete کرتے ہیں اس ازمبل کو تو اس میں ایسا کرتے ہیں this partial sum بناتے ہیں تو partial sum بنتا ہے جناب s1 equals 1 تو کوئی کنورجنس کے اندن نہیں ہو رہی ہے تو اس طائق کی ایکزمپل سے تھوڑا سا ہمیں بیوے رہنا چاہئے اور کنکلوڈ نہیں کرنا چاہئے کہ ہاں جیے کنورج کرے گی درکلی جس بیکوز انٹویٹیولی ہمیں فیل ہو رہا ہے کہ یہ کنورج کرتی ہے اچھا جی اب ہم جیویمیٹرک سیریز پہ آجاتے ہیں تو جیویمیٹرک سیریز پہلے بھی ہم دیکھ چکیں الجی بریک پوینٹ افیو سے اس پر ہم تھوڑا سا کالکلوڈ سپلائے کریں گے تو یہ کرتے ہیں کہ اس میں پہلے لکھ لیتے ہیں کہ جیویمیٹرک سیریز کیا ہوتی ہے اور ثیورم کی فرم میں لکھتے ہیں آئی دیکھتے ثیورم ہے جناب آپ کے سامنے اور یہ ہے کہ ای جیویمیٹرک سیریز آی پلس آیر پلس آیر سکویڈ all the way to آیر to the k minus one and infinitly many terms after that اور اگر آیر is not equal to zero if the absolute value of r is less than one and diverges if r is greater than equal to one if the series converges than the sum is a over one minus r equals the whole series that we just saw تک جی تو یہ آپ کی جیویمیٹرک سیریز کی convergence or divergence کے بارے میں بات ہو گئی جیویمیٹرک سیریز کو میں ٹریٹ ایسای کر رہا ہوں جیسے آپ پہلے دیکھ چکیں اس کو لیکن یہ ہے کہ تھوڑا ساگر رویو کرنا چاہیں تو یہ سیمپل سی باتی ہوتی ہے کہ جیویمیٹرک سیریز ایک ایسی سیریز ہوتی ہے جس کی جو ٹرمز ہیں ان کے آپس میں ایک کنسٹنٹ فکٹر کے ملٹپل کی ریلیشنشپ ہوتی ہے یعنی ہر ٹرم جو ایک ملٹپل سے ملٹپل پلائے کریں گے کنسٹنٹ ملٹپل سے تو نکس ٹرم آجائے گی اور اس کو ہم اس تھیورم میں r کہا رہے ہیں which is called the common ratio تو یہ سب باتیں ہم پہلے یقینن دیکھ چکیں اس لیے میں ایسای میں detail میں نہیں جا رہوں لیکن convergence divergence کی بات ضرور کی ہے اس کی کنسٹنٹ کی جو میٹریک سیریز کی اور دیکھیں کہ اس میں ہمیں کچھ انفرمیشن ملٹی ہے اور نہیں مزید آئی دیکھیں تو ایک سیریز 5 پلس 5 over 4 پلس 5 over 4 squared all the way to 5 divided by 4 to the k minus 1 and beyond that is a جو میٹریک سیریز with the first term a equals 5 and the common ratio اور the ratio جیسے بھی کہتے ہیں r equals 1 over 4 اور یہاں پر نوٹ کریں کہ r جو ہے وہ اس کی absolute value ہے 1 over 4 اور obviously یہ 1 سے چھوٹی ہے لہذا according to the Theorem the series converges to a sum اور ہم یہ سم معلوم کر سکتے ہیں by a formula that was given in the Theorem اس کے حصاب سے a over 1 minus r اگر میں کرتا ہوں تو میرے پاس کا سم آ جائے گا اور یہ values مجھے پتا ہے اور میں میں پلگن کرتا ہوں تو result آتا ہے 20 divided by 3 تو یہ ہوگئی جناب آپ کی جمیٹریک سیریز اور اسی convergenz کی بات چیتے آپ ہم دیکھتے ہیں کہ ہرمونک سیریز کیا چیز ہوتی ہے اس کے بارے میں بات کرتے ہیں تو اس میں بھی ایسا کرتے ہیں کہ اس کو لکھلتے ہیں ایک ہرمونک سیریز کیا چیز ہے ہرمونک سیریز جو ہوتی ہے جناب یہ first of all ایسے divergent سیریز یہ ہمیں پتا ہے دیکھ بھی لیں گے کیوں ہے اور یہ بیسیکلی ایسا ہی ایسا سیریز اسی سیریز کی ایکوز 1 2 infinity of 1 over k and if you expand this you basically get 1 plus 1 over 2 plus 1 over 3 plus 1 over 4 and all the way to infinity these fractions are coming basically and you get things that go all the way to infinity تو یہ جناب ہے آپ کی ہرمونک سیریز جس میں ہم نے کہا کہ یہ divergent ہے اس کا کوئی لیمٹ نہیں ہوتا finite number نہیں آتا جس کو ہم کہیں کہ اس کا سام ہے یہ اس کا لیمٹ ہے لہذا ہم کہتے ہیں یہ diverge کرتی ہے تھوڑی سی اس میں اس کے بارے میں اس کے بارے میں ہم بات نہیں کرتے آپ خود دیکھ لیجے گا ٹیکس پوک میں سیمپل سی ایک ایک explaination دیوئے کہ یہ کیوں diverge کرتی ہے لیکن یہ تھوڑی سی بات ضرورا انٹرسٹنگ کی اگر آپ غور کریں کہ اس کے اندر فریکشنز ہیں اگر میں 1 plus 1 over 2 کرتا ہوں تو رزلت کیا آتا ہے ایک بڑا نمبر آتا ہے 1 plus 1 half جو تا ہے 3 halves ہو جاتا ہے تو 3 halves کے اندر اگر میں 1 third ڈائٹ کروں گا تو ایک اور بڑا نمبر آئے گا تو مقصد یہ کہ جسنا natural numbers کی ہم نے بات کی تھی وہی چیز ایک طرح سے ہم یہاں کر رہے ہیں اور بات یہ ہے کہ intuitively اگر آپ سوچیں کہ 1 over k ہے اور k کو میں infinity تک لے گا جا رہوں تو 1 over infinity تو 0 آنا چاہیے تو ایک طرح کی convergence ہونی چاہیے لیکن ایسا نہیں ہوتا یہ کچھ باتیں ہیں کہ تھوڑے سی cautionز ہیں کہ اگر کوئی چیز درکلی اگر آپ لیمٹ لگائیں اور آپ دیکھیں سوچے سمجھے بغیر کیجی میں لیمٹ لگا دیتا ہوں اس پہ اور دیکھتا ہوں کیا رزلت ہے تو آنسر ہمیشہ صحیح نہیں آتا ایک کوئی بھی سیریز اگر ڈیوان ہے تو اس کے اندر زیادہ exotic properties بھی ہو سکتی ہیں اس کی جیسے مثال کے طور پر یہ ہے harmonic series اس میں لگتا تو ایسا یہ کہ اگر ہم indirect لیمٹ لگائیں as n goes to infinity یا k goes to infinity تو رزلت 0 آنا چاہیے which is a you know finite number and it should be a convergent series لیکن ایسا نہیں ہے اور اس کی argument book میں دیوئے کیا ایسا کیوں نہیں ہے you are welcome to look at it ہم اب آگے چلتے ہیں اور next بات کرتے ہیں next topic کیا next topic کیا ہے آج کا تو آئیے دیکھتے ہیں اس کو بھی لکھ لیتے ہیں next topic ہے جناب convergence tests تو یہاں پر ہمیں convergence tests کی بات کرنی ہے convergence tests ان کے بارے میں اگر ہم بات کر رہے ہیں تو کس حوالے سے اس حوالے سے کہ جو سیریز کی ابھی ہم نے تھوڑے بات چیت کی کہ ایک اسم کی سیریز دیکھیں تو یہ کب کنورچ کرتی ہیں اور کب دیورچ کرتی ہیں تو tests کی کیا ضورت ہے tests کی ضورت یہ ہے کہ ابھی جو ہم نے بات چیت کی ہے اس میں ہم نے دیکھا کہ convergence ہم اس طرح دیٹرمین کر سکتے ہیں کہ ایک طرح سے sequence بنالیں of n partial sums اور اس میں ہم نے پہلی example جو کی تھی one over three کی fraction کی اس میں ہم نے دیکھتا کہ nth partial sum کی جو term کی اس کے ساتھ کچھ manipulation کی ہم نے اور دیکھا کہ اس کا limit اگر لیں تو result ہمارا وہ آتا ہے جو desire result لیکن problem یہ کہ عام طور پر اس طرح کی manipulation یا تو accessible نہیں ہوتی ہم کرنی سکتے کسی given series کی ساتھ یا پھر ایسا ہوسکتا ہے کہ کر بھی لیں تو شاید سی طرح کی argument نہ بنے mathematically کچھ loop holds اس کے اندر ہوں تو اس کو avoid کرنے کیا ہم convergence tests develop کرتے ہیں اور وہ ہم دیکھلتے ہیں کہ وہ کسی طرح کام کرتے ہیں تو سب سے پہلے ہی کرتے ہیں کہ کچھ بلکہ directly we start with a thing called the divergence test اور اس میں یہ ہوتا ہے basically determine کرنا کہ given series diverge کر رہی ہی نہیں کر رہی تو اس کو theorem کی form میں لکھلتے ہیں اور پھر اس کے بارے میں بات کرتے ہیں تو جناب آپ کا divergence test جو ہے وہ ہے if limit k goes to positive infinity of uk uk کیا چیز ہے uk جو ہے if that limit is not equal to zero then the series summation uk جو کیک infinite series ہوگی وہ ہوگی شدنا ہوگی ہوگی ایکینن تو وہ جو ہے وہ diverge کرتی ہے اس کے بعد ایک اورز کا part ہے وہ کہتا ہے کہ جی اگر limit لیں آپ کے goes to infinity of uk اور result zero آجائے تو جو series ہے اور وہ infinite series میں either converge اور it میں diverge تو یہ ایک theorem ہے اور اس میں ایساچ دیکھا جائے تو کوئی خاص ہمیں computational idea نہیں دی ہے صرف ایک general's idea ہے کہ کونسی situation میں کوئی series diverge کرتی ہے ہی نہیں کرتی یعنی guarantee ایک چیز کی اس theorem ہے وہ یہ ہے کہ اگر آپ کے پاس ایک series ہے اور اس کا limit لیتے ہیں as limit لیتے ہیں nth term کا یا kth term کا جو series کا kth term ہوتی ہے وہ عام طور پر ایک formula ہوتا ہے تو اس کا اگر آپ limit لیں as goes to positive infinity تو اگر result zero نہیں آ رہا it's not equal to zero then for sure you're guaranteed that the series is going to diverge تیک ہے جی سیکن پارٹ میں یہ کہ اگر zero آتا ہے اس infinite series کا limit لیتے ہیں آپ لیں kth term کا اور zero آجائے جواب تو یا تو وہ diverge کرے گی یا نہیں کرے گی یعنی یعنی پارٹ بی جو ہے as such ایک طرح کی caution دے رہا ہے کہ zero آگا جواب آ بھی جائے تو اس سے ہمیں یہ نہیں پڑھا چلتا کہ یہ convert کر رہی ہے or diverge کر رہی ہے it could do either of them جس طرح harmonics series ابھی ہم نے دیکھی کہ اس کا اگر آپ اگر آپ ایک دم سے kth term لیں one over k or limit لیں as k goes to infinity تو result zero آتا ہے لیکن ہم نے دیکھا کہ وہ diverge کرتی ہے تو لہذا اگر limit i zero تو اس میں کوئی caution ہے کہ we have to be careful it may converge or it may diverge اور ہمیں کچھ اور مزید پات چیت کرنی پڑتی ہے اس کے بارے میں جہاں پہ zero limit آ جائے اچھا جی تو یہ آپ کا تھیرم ہوگے اس کا proof تو نہیں کرتے book میں دیا ہے proof simple proof ہے آپ لوگ دیکھ لیجے گا ہم آگے چلتے ہیں اور آگے بات چیت کرتے ہیں اور چیزیں کیا ہے اچھ کی test جو اب ہم بات کرنے convergence کی تو آئی دیکھتے ہیں اب ایک تھیرم اور ہے جو لکھ لیتے ہیں اور یہ رپٹ لیے بہت ہم تھیرم لکھتے جائیں گے اور convergence کی حوارے سے یہ ہمیں مزید انفرومیشن دے گا test کرے گا کہ series کنورج کرتی ہے کہ نہیں تو اس کو بھی لکھ لیتے ہیں تھیرم ہے جناب if the series summation uk infinite ہے convergence then the limit as k goes to infinity of the nth term یا kth term is equal to zero یہ تھیرم زادہ useful ہے کیونکہ یہ part b جو تھا پہلے تھیرم کا اس کا یہ converse ہے یعنی ایک طرح سے آپ کو کہہ رہا ہے کہ اگر آپ کسی given series میں دیکھتے ہیں کہ جناب آپ کے پاس kth term اگر series جو ہے وہ آپ کو پتا ہے کہ converge کر رہی ہے you know beforehand کہ یہ میرے پاس series ہے اس کی convergence ہمیں پتا ہے کہ یہ converge کر رہی ہے then it is for sure کہ اس کا اگر آپ kth term کا limit لیں تو result 0 آئے گا تو شاید آپ سوچیں کہ یہ تو بڑی سیمپل سی بات ہے obviously ایسا ہوگا لیکن کبھی کبھی ایسا ہوتا ہے کہ یہ سیمپل سا فکٹ بھی ہمیں آگے مزید کالک پریشنز میں help کرتا ہے تو اس کو تھیرم کی طور پہنی لکھ لیا تھا اس کا proof ہم avoid کر دیتے ہیں اور کچھ ڈیمپلز دیکھ لیتے ہیں جو اس سے related ہیں تو آئی ایک ڈیمپل کرتے ہیں ایک series ہے جناب کے لکھی بھی ہے summation k equals 1 to infinity of k over k plus 1 اور اس کا اگر expand کریں تو یہ ہے 1 over 2 plus 2 over 3 plus 3 over 4 all the way to the kth term which is k over k plus 1 and it continues تو یہ ڈیمپل کرتی ہے کیوں کہ اگر اس کا آپ kth term کا limit لیتے ہیں as k goes to infinity تو یہ آتا ہے یہاں پہا با لوپٹالز ڈول بھی اپلائے کر سکتے ہیں کیوں کہ یہاں پہاں infinity over infinity والی فارما رہی ہے یا آپ بیسک ڈیبرا کر لیں جو یہاں پہاں ہم بھی یہ بھی کر سکتے ہیں کہ divide numerator and denominator by k تو result یہ آتا ہے کہ 1 over 1 plus 1 over k کا آپ limit لیتے ہیں as k goes to infinity result comes out to be 1 which is not equal to 0 therefore by the first theorem we saw this series diverges اچھا جی تو یہ ہم نے دیکھا کہ یہ ایک useful چیز تھی کہ ہم نے درمین کر لیا کہ یہ سیریز دیورج کرتی ہے یا کہ نہیں کرتی مطلب یہ for sure درمین کر لیا کہ یہ واقی دیورج کرتی ہے using a theorem we just saw تو اب next چیز کیا ہے ایک properties ہیں some algebraic properties of infinite series ان کو بھی theorem کی form میں لکھلتے ہیں اور دیکھتے ہیں how we can use these تو ایک theorem کی form میں دیکھلتے ہیں جناب آپ کے سامنے theorem ہے اس میں ہے کہ آپ کے پاس کچھ سیریز دیویں uk اور vk سمیشن اور یہ دونوں convergent ہیں تو ان کا جو سام ہوگا سمیشن of the kth terms اور جو دفرنس ہوگا وہ جو رزالٹنگ ان سے جو رزالٹنگ سیریز بنے گی وہ بھی convergent ہوگی اور ان کی relationship کیا ہے یہ ہمیں پتا ہے جو سمیشن uk plus vk ہے یہ individual سمیشن کی برابر یہ سمیشن کی property ہے لہذا ہمیں پتا ہے جو سیریز بنتی ہیں یہاں وہ convergent ہوگی اور ایک طرح سیستانا کہا سکتے ہیں کہ چونکہ kth terms کا سم وہ individual سیریز کے سام این individual سیریز کو ایٹ کریں تو وہ رزالٹ آتا ہے لہذا ہم کہا سکتے ہیں کہ the sum of 2 convergent سیریز اس convergent سیریز اس کے لیوہ اگر c کوئی صندگی جو سیر زینگی سیریز ایٹ کریں اس کاít ہوتا ہے سیرthers اس ایک دوگر جو سیریز جو سیریز اگر سیریز ایک ہمیں ہمیں تو سیریز ایک سیریز کے لیوہ ایک نمی ایکade ایک سیریز لیکنے جی فائن دی سم of the series some k equals 1 to infinity of the series 3 over 4k minus 2 over 5 to the power k minus 1 اس میں دیکھیں کہ اگر آپ اس کو اکسپینٹ کر لیتے ہیں پہلی ٹرم کو یعنی بیسکلی دو سیریز ہیں ان کا ڈیفرنس لیا گیا تو اگر ہم پہلی والی کو دیکھتے ہیں تو یہ اس کا رزاٹا اس کے تھوڑسی اکسپینٹٹ فارم اس طرح سے آتی ہے ساتھ ہی میں یہ نوٹ کریں کہ یہ ایک جیومیٹرک سیریز ہے جس کے اندر ریشو جو ہے one fourth ہے اور چونکہ وہ one سے چھوٹی ہے تو یہ کنورج کرتی ہے اور کنورجنٹ سیریز ہے یہ اس کے علاوہ یہ دیکھیں کہ جو دوسری والی ہے سیریز وہ بھی ایک کنورجنٹ جیومیٹرک سیریز ہے جس کے اندر ریشو کی value ہے one over five لہذا یہ بھی کنورج کرتی ہے تو اب ہم کہہ سکتے ہیں کہ تھیورم جو بھی ہم نے دیکھا تھا اس کے علاوہ سے دو کنورجنٹ سیریز کا دفرنس ہے وہ سیریز جہاں وہ بھی کنورج کرے گی اور سامنے کالکلیشنٹ ہے اس کے ذریعہ واقی دیکھ سکتے ہیں کہ جو دفرنس والی سیریز آئی تھی وہ بھی ایک کنورجنٹ سیریز ہے with a limit of or a sum of minus three over two تو یہ جناب example بھی دیکھ لیے ہم نے جس میں کچھ سمئی جو infinite سیریز تھی ان کی algebraic properties ہم نے استعمال کی plus the properties of convergence and divergence اب انٹگرل ٹیسٹ کی بات کر لیتے ہیں انٹگرل ٹیسٹ کیا چیز ہوتی ہے یہ بیسکل آپ کو بتاتا ہے کہ when is it that a given series converges or not تو اس کو ایک تھیورم کی form میں لکھ لیتے ہیں اور پھر اس کو استعمال کر لیں گے ایک example میں تو جناب آپ کا کنورج یہ انٹگرل ٹیسٹ جو ہے یہ کہتا ہے کہ let uk summation uk be a series with positive terms یہ ایک ڈیپیلیشن ہے اس کی and let f of x be a function that results when k is replaced by x in the formula for the kth term of the given series تو ایک سیمپل کرتے ہیں دیکھتے ہیں کہ اس سے فائدہ کیا ہوتا ہے example ہے جناب use the integral test to determine whether the following series converges or diverges تو جناب سیریز ہے summation k equals 1 to infinity 1 over k یہ ہمیں پتا ہے کہ یہ diverge کرتی ہے کیونکہ یہ ہرمونک سیریز ہے لیکن چونکہ انٹگرل ٹیسٹ کر رہے ہیں تو اس کو دیکھ لیتے ہیں note کریں کہ اگر میں replace کرتا ہوں اس سیریز کو with the function 1 over x تو میں انٹگرل لے سکتا ہوں 1 سے لیکر infinity تک of 1 over x dx یہ ہم پہلے کر چکیں ایک دفعہ اس کی پشلے کچھ لیکچر میں improper integral ہے لیمٹ کے طور پہ اس کو value it کرتے ہیں کالکلیشنز آپ کے سامنے تو جواب آتا ہے plus infinity اور obviously اگر یہ انٹگرل diverge کر رہا ہے یعنی اس کا کوئی finite answer نہیں آیا تو اس کا مطلب ہے جو ایک سیریز جو تھی 1 over k وہ بھی diverge کرتی ہے تو یہ ایک طرح سے بڑا سیمپل سا رول ہے کہ اگر انٹگرل دفعہ کر رہا ہے تو so does the given corresponding series and vice versa تو this is helpful اچھا جی اب ہم آج کے لکچر کی آخری بات کر لیتے ہیں پی سیریز پی سیریز کیا ہوتی ہے ایک خاص کسم کی سیریز ہے اور اس کو تھوڑا سا سٹڑی کر لیتے ہیں تو آئی اس کو لکھتے ہیں کہ دیکھتے ہیں یہ ہے کیا چیز تو جناب پی سیریز جو ہوتی ہے یا اس کو hyper harmonic sequence سیریز بھی کہتے ہیں یہ بیسکلی انٹھرینٹ سیریز کیا ہوتی ہے سم کی ایکوز 1 to infinity of 1 over k to the power p اور اس کو اگر اکسپینٹٹ فارم میں لکھیں تو یہ آپ کے سامنے 1 plus 1 over 2 to the power p plus 1 over 3 to the power p plus all the way to the kth term and beyond اور یہاں پہلے ایک بات امپورٹنگی ہے کہ پی جو ہے وہ 0 سے بڑا ہوتا ہے نمبر پی ایک نمبر ہے جو 0 سے بڑا ہوگا کچھ ایکزمپلز ہیں پی سیریز کی سب سے پہلے تو harmonic series ہو گئی سمیشن کی ایکوز 1 to infinity of 1 over k یہاں پی کی value 1 ہے ایک اور ہو گئی جناب 1 over k square یہاں پی کی value 2 ہے اس کے لہاں اگر 1 over square root of k دیکھتا ہوں تو یہاں پی کی value 1 half ہے وہ بھی 0 سے بڑی ہے لہذا 1 over square root of k بھی پی سیریز ہو گئی یہ جناب پی سیریز ہیں ٹھیکے اب اس کے بارے میں کیا کہ سکتے ہیں اگرconvergence اور divergence کی بات ہو تو اس کے لیے بھی ایک test ہے اس کو لکھ لیتے ہیں ایک Theorem کی فرم میں پھر ایک سمپل کر لیتے تو یہ دیکھتے ہیں یہ جناب Theorem ہے جو convergence بتاتا ہے پی سیریز کی تو اگر پی سیریز ہے میرے پاس ایک سمیشن کی سے 1 سے لیکن infinity تک 1 over k to the power پی پی سیریز کنورجز اگن پی سیریز کنورجز اگر پی سیریز ہے اگر پی سیریز ہے پی سیریز ہے بگا than 0 but less than equal to 1 یہ آپ کی test ہو گیا Convergence کی p series کی آپ ایکسامپل کر لیتے ہیں اور اس کے بعد ربہ کرتے ہیں سیکچر کو جاناب کے اگر میرے پاس ایک سیریز ڈیویہ 1 plus 1 over the cube root of 2 plus the cube root of 3 plus all the way to 1 over the cube root of k and beyond what can I say about its divergence and convergence very simple what I can say is that since the power p on the k is one-third cube root جو ہوتا ہے وہ 1 over 3 کی برابر ہوتی ہے پاور تو یہ چونکہ 1 سے چھوٹی ہے لہذا according to the theorem we just saw this series diverges ٹیکہ جی یہ ہوگیا آپ کا اس اجامپل میں دیکھا کہ p series بڑے ایسانی سے معلوم کر سکتے ہیں کہ کنورج کرتی ہے یا دیورج کرتی ہے ٹیکہ جی اب یہ لیکچر ختم ہوتا ہے یہی پہ ہی بیٹس کی بات ہوری ہے سیریز سیکونس اس کی تو پھلیز تبجو سے اس کی ہومورک ایک سائلز اگر کیجے گا اور کہ سوال ہو تو پھلیز ایمل کر دیں اگر لیکچر میں آپ سے ملاقات ہوگی Thank you Allah Hafiz