 Grazie molto, prima di tutto per l'invitazione del workshop e anche per essere qui, fino a 5 o'clock, che è un buon lavoro. Ok, in caso del caso, questo è il lavoro di Riccardo Montalto, currently at Zurich University. Ok, quindi il sistema è l'unico che si descrive yesterday by Jean-Marc. Quindi è l'equilibrio di olio per un fluido, un fluido di dimensione, e le condizioni per periodi banderici, un po' di Y, quindi il fluido è sotto il grafico Y è uguale a età di X, è seguito da le equibili di olio, e in caso di un filo di velocità in irrotazione, uno di questi... Il filo di velocità ha il gradiente di 5, che è il potenziale di velocità, se il fluido è assurdo ad essere incompressibile, quindi è una funzione armonica. E' l'accia, quindi qui mettiamo l'infinito deputato, potrebbe essere fatto anche con l'infinito deputato, ma qui è, e poi, ok, il fluido migliora l'accia di granità, e poi, che è G, e poi c'è la tensione di superficie, quindi c'è i effetti di capillare alla frittura frittura, e quindi, questo è stato discusso yesterday, l'equilibrio di olio diventa, sceglie a questa equibili di Bernoulli, la pressione, la continuazione della pressione alla frittura frittura. E poi uno anche assurda l'ultima equibili, che è una condizione kinematica, che dice che i particoli che ormai erano in il fluido, sulla superficie, rimane sempre sulla superficie, quindi non ci sono brevissime nella strada. E, ovviamente, il suo annunzio è a sapere come i fluidi evolvono, e per sapere il potenziale velocità. E questo è, come si è rappresentato yesterday, quindi è un sistema infinitimensionale amiltonico, i variaboli canonici sono il grafio, quindi la funzione eta x, e la traccia della boundary di potenziale velocità. E, infatti, se uno conosce l'eta, quindi la strada del domenio occupato del fluido, e poi se uno conosce il valore della boundary di potenziale velocità, uno risolverà, si trova la unica armonica unica di funzione in domenio occupato del fluido con questa condizione boundary. E ci avremo avuto la formulazione di Zecharov-Kriegselen, che è questo, quindi, eta e psi evolvono, infatti è la formulazione amiltonica, eta e psi evolvono questo sistema amiltonico, è l'alto gradiente dell'amiltonio, che torna a essere espressa come è stato visto l'esterno da un operatore nominale di superficie applicato a psi, che è un operatore lineari in psi, e poi c'è la seconda questione, che è al contrario più lunga. E l'amiltonio è quello che uno dovrebbe aspettare, ovviamente l'amiltonio è la fuola energia del sistema che è espressa solo attraverci questi variaboli canonici, che sono i eta e psi, quindi è l'energia della fuola, che quando è espressa, in termini del operatore nominale, fa questa forma, poi c'è l'energia di gravitazione, e poi c'è l'energia attraverci le forze capillari. Ok, quindi, infatti, questo sistema ha, è un sistema amiltonico, ma ha anche altre simmetrie, un è che è un sistema reversivo, un sistema reversivo, da un punto di vista di amiltonio, significa semplicemente che l'amiltonio è anche in potenziale psi, questa è la simmetria semplicemente semplice, ma è molto importante, come abbiamo visto anche l'esterno, e quindi l'amiltonio H è invariante, è invariante da l'accia di questa simmetria, che è questa involuzione, S² semplicemente cambia il signo di psi, e poi è naturalo vedere due soluzioni che sono reversibili, soprattutto che in tempo sono eveni, e che in spazio, insomma, in il primo componente che è il spazio sono eveni in tempo, e in il potenziale velocità in tempo è un funzione oddio, quindi particolarmente a tempo t è uguale a zero, il potenziale velocità è zero, come è stato yesterday. L'altra proprietà è che l'amiltonio vettore di vettore di acqua è invariante di funzioni di spazio, che sono anche in X, quindi se questo spazio è invariante di lefto, e ci confiniamo in questo caso. Queste funzioni per uscire, sempre, ci prendiamo funzioni che sono anche in X, in questo caso anche il potenziale velocità di phi è anche in X, e quindi la velocità, l'ultimo componente della velocità, quindi phi X è oddio in X, quindi è venire a X è uguale a zero, e perché per la periodicità di pi è anche venire a X è uguale a pi, quindi la situazione è che, fisicamente, il fluidi ha il filo velocità che, quando X è uguale a zero, è sempre venito, quindi è così, non c'è l'energia di fluidi qui. L'ultimo funziona perché di oddio e di periodicità di pi a X è uguale a pi, e poi il problema che stiamo studiando fisicamente è che non c'è fluida, a volte X è uguale a zero, X è uguale a pi, e quindi realmente stiamo studiando le stande, quindi è l'evoluzione di un fluidi confinato tra due luci. E quindi, ok, queste sono... poi, come abbiamo detto l'esterno, ok, il masso è un integrale primario, poi, nel caso dell'infinito fluidi, c'è anche un'altra peculiarità. In ogni caso, quindi, abbiamo sempre confinato le soluzioni che abbiamo... anche abbiamo... quindi questo è preservato, e per la simplicità, mettiamo che l'avverge di E è uguale a zero come l'avverge della potenzione velocità. Ok, quindi, andiamo a vedere le soluzioni quasi-periodi. Vogliamo dire che è un fenomeno molto tipico che dovremmo aspettare, in questo caso, per avere molte delle soluzioni. Remindrò che è una soluzione quasi-periodi? La soluzione quasi-periodi è una soluzione definita per tutte le volte, che ha una forma specifica, quindi è la composizione di... lo chiamo la frequenza n, la frequenza n basica di frequenze indipendente. Quindi è la composizione di una funzione U che dipende a nuove angle. Quindi, queste sono nuove angle, che sono... non è per Tn. Quindi, la funzione U è 2π-periodi in f1, 2π-periodi in fn, composta con la flora lineara. Namely, quindi, each of these variables have a rotation with frequency omega 1, omega 2, and omega n. Of course, so when n is equal to 1, there is only one frequency, these are periodic functions with frequency omega, period 2π over omega. And so these are the interactions of more superpositions of more frequencies omega of circular frequencies with frequency omega 1, omega n. So if one has... Okay, the frequency omega in order to be really quasi periodic has to be independent. So we assume that the vector omega has no integer relations. So omega dot k is different for 0, for all integers k in Zn, which are of course not 0. So solutions of this kind of solutions global in time are defined for all times. And then it means that in the phase space there exists a manifold parameterized by n angles. So in a certain phase space, if a dimensional phase space, if the solution, the initial datum starts here, then the solution will remain forever on this manifold. And actually the flow applied to this initial datum will be nothing but... It remains that it is nothing but just the rotation of... For the linear flow, omega t. So the dynamics are restricted on these... The dynamics of the initial data are restricted on these manifolds is just the linear flow. There's the translations. And okay, we look for solutions of small amplitude. And so of course it is relevant to know what is the dynamics of the linearized equation at flat ocean eta is equal to zero with zero velocity, psi is equal to zero. We linearize the Euler equation and we get this system, which is this constant coefficient system, where g of z, the Dirichlet-Nohrman operator of the flat surface is just the free multiplier models of the x. And then one look for its solutions. And actually so these are all its linear, are all the standing wave solutions, which are even reversible for this linear equation. So they are even in x. So we have expanding the basis of cosinus of Jx, avoiding the average in space, so J greater or equal to one. The first component in time is even. The velocity potential in time is odd. Xij are polar meters. So the linear equation actually has this structure. All the solutions of the linear equation have this structure. Out of this form here. Even with an infinite dimensional torus. Here with infinitely many frequencies because here I put the series for J greater or equal to one. And this kind of non resonance conditions on the contrary of course it will depends on the linear frequencies on the values of the parameters, gravity and surface tension. According to the values of G and K, there are different non resonance conditions. And the question that we pose is to know. Actually whether these solutions of the linear equation can be continued holes for the solutions of the full non linear equation for small amplitude. So the problem is quite involved. And so in fact we shall continue solutions which are supported in Fourier space on finitely many modes. Namely we take finitely many indices, integers, J1 bar, Jn bar. And then we look at solutions which are supported in Fourier on these sites. The other modes are at rest. See you. And then rephrasing in this case the linear equation has invariantor i which are explicitly this one parametrized by the angles phi1, phi2, phin. Which support the frequencies which are now in fact the vector omega of the linear frequencies, which is this one. Now it is intuitive. It's also well known from mechanics and it seems 100 years even more that are relevant, well not less because the Kolmogorov theorem is after the second war, but that what one would be important to know whether these solutions will persist under perturbation is to know whether the linear frequencies of oscillations satisfies suitable strong non resonance conditions. In particolar, se il vettore di frequenza soddisfa i condizioni per cui l'omega dot e l'integra L è non solo la differenza di zero ma di un punto di vista quantitativamente ha una bambina bassa di questo tipo che è la condizionata di diffantine. Il punto è che le frequenze lineari, che, ricorda, sono le frequenze lineari che dependono su G, K e R. Ho scritto in precedente strada, quindi R, G. Le frequenze lineari sono certi che per molti valori, per esempio di fixare G, per molti valori del parametro della surface tensione, questo vettore, questo vettore endimensional effettiva queste condizioni. Quindi, all'interno della curva, l'omega K, l'ultimo vettore incontra molti punti dove queste condizioni sono effettive. Quindi, almeno, è l'inizio punto inizio per sperare che queste soluzioni persisteranno anche nel sistema non-lineari sono soddisfiati. Quindi, qui siamo in situazione in cui abbiamo il sistema lineari che è come un sistema integrabile e la non-linearità per soluzioni di piccoli ampli è stata una perturbazione. Quindi, questo tipo di problema è stato studiato consideratamente in le ultime 30 anni sotto il nome della teoria KM che è stato quasi sviluppato per qualsiasi equazioni semilineri da molti persone, ma infatti, iniziò da un po' di anni che ha motivato, specialmente, da luci di acqua, l'issuo di quasi-lineari PD, perché, infatti, la maggior parte delle equazioni sono di questo tipo. E i primi risultati che ho ottenuto con Pietro Baldi e Riccardo Montalto per qualsiasi risultati KM considerano, infatti, equazioni KDV e quasi-lineari e piccoli perturbazioni. E poi, infatti, il sviluppo di sviluppo di questa strategia è quello che io descriverò in parte per le luci di acqua. Ok, per luci di acqua ci sono già conosciuti alcuni risultati di soluzioni periodiche. Iniziamo da una serie di meravigliose funzioni da Toland Plotnikov e Joss Plotnikov Toland in diversi casi. Quindi quando il primo dove il primo lavorante era, in questo caso, sempre per le luci di acqua. L'occhio finito e in caso di un fluido finito i primi risultati provano e senza capillare i primi risultati provano l'existenzio di soluzioni periodiche finito in dettagli sotto l'accensione di gravità e poi Joss Plotnikov Toland è il caso di più difficile caso di infinito deputato. In questo caso è più difficile perché è ok, c'è una degenerazione nel cerno e poi ancora con solo gravità. Il caso con capillare in realtà che è esattamente questo caso è stato solvuto da Alasarambaldi provando esattamente per questo sistema soluzioni periodiche in tempo. E poi ci sono anche alcuni risultati di risultati di soluzioni di gravità che by Craig Nichols e Joss Plotnikov che in alto dimensione space. Credo che i risultati di gravità due, credo, sono periodiche e la visibilità, se non mi sono detto ma ok, non è un problema più piccolo. E quindi, ok, le questioni naturali esattamente continuano con il risultato da Alasarambaldi per vedere se le soluzioni periodiche esistono. Le ho provate periodiche e vogliamo vedere che. Ok, quindi per cercare le soluzioni periodiche di quasi periodiche precedenti che ha tentato di capire cosa è l'effetto di derivativi nella non-linearità sotto i vettori dove la perturbazione contiene derivativi era fatto da Coox in prima e a capillare speciale aggiungendo una derivata. Questa è, ovviamente, ancora una equazione semi-linearita perché c'è solo una derivata nella perturbazione con rispetto a KTV. E poi per NLS, per l'equazione di Clangordon c'era un lavoro da Bourguin per soluzioni periodiche. Questo è in un senso più difficile perché è una equazione più dispersa e poi è un po' più difficile e poi con Luca Biasco e Michiglia Procesi abbiamo dato un risultato generale di soluzioni periodiche per ancora le equazioni Clangordon con le perturbazioni semi-linearite perturbazioni dove il vettore dipende di una derivata in tempo e una derivata in spazio. E una ha ad assumere una struttura che è una struttura algibraica che è rilevante che è la reversibilità. Questa non ho idea di la possibile struttura amiltonia di questa equazione ma è naturalo per aspettare una struttura reversibile. La struttura reversibile è una struttura che è compatibile con la presenza di soluzioni periodiche per controllare la grossazione delle norme subolive e come abbiamo anche yesterday. Per le equazioni quasi-linearite infatti, come ho detto prima del primo risultato che abbiamo ottenuto con Pietro Baldi e Riccardo Montaldo ha concernso KDV e poi una ad amiltonia in perturbazione che ha tre derivativi quindi è quasi-lineare che è generata da un amiltoniano dove la densità dipende di nuovo su uno spazio derivativo e poi quando scrive la struttura dell'amiltonia la struttura dice che ha questa struttura quindi è quasi-lineare il sistema. Ora andiamo alla struttura di acqua e voglio precisamente dare il risultato delle soluzioni periodiche in questo sistema, per questo sistema. Quindi queste sono, ancora, le equazioni e è un sistema autonomo quindi le frequenze delle soluzioni periodiche non sono fixate priori che cambieranno accanto alla non-linearità quando e accanto alla amplitudine quindi se le soluzioni tende a zero la non-linearità potrà determinare che abbiamo effetti sulle frequenze. Quindi, andiamo per soluzioni periodiche con frequenze omega-tilde che sono non-linearità che sono trovati. Ok. E poi il teorema è questo un risultato che è sempre risultato che uno potrebbe aspettare Namely esiste soluzioni periodiche. Le soluzioni periodiche di questo sistema sono pronti in questo modo come ho detto prendere alcuni subiti di indizio S il J1 J2 bar Jn bar poi le soluzioni periodiche sono in spazio in spazio fuori principalmente supportate su queste armoniche cosenni di Jx La amplitudine sono la parte principale della oscillazione è descritta dalla equazione lineare Infatti sono queste ma le frequenze sono spazio Infatti ci sarà un spazio nelle frequenze omega-j-tilde Le frequenze omega-j-tilde tende alle frequenze lineare delle oscillazioni quando la amplitudine c'è tende a zero quindi quando c'è tende a zero le frequenze convergono a queste Le frequenze omega-j-tilde come ho detto prima ha a soddisfiare i condizioni non rasonanti più forti Hanno la sequenza che le soluzioni non existono per tutti i valori dei parametri ma existono per le molte valori dei parametri e diciamo così che infatti per le molte valori dei parametri per esempio considerando la gravità G è uguale a 1 le soluzioni infatti existono Quindi le soluzioni periodiche e un'immigrable propria per la propria non solo perché è interessante da un punto dinamico ma anche per la propria è che sappiamo che queste soluzioni sono stabili linearmente Voglio che questo vi spiega cosa mi significa è stabilo linearmente in modo di sistemi dinamico ho un slide su questo quindi questo è i risultati tipici che uno può aspettare uno può, ovviamente, rifraziare i risultati dicendo uno può prendere i parametri per le molte valori del parametro di surface tensione fissato una equazione fissata per le molte valori di psi esistono soluzioni di questa equazione fissata Ora alcuni commenti molto naturali Il primo è che il fatto che ci sono queste restriczioni non è tecnico ci sono queste restriczioni su i parametri non è tecnico perché altrimenti uno deve aspettare un fenomeno completamente diverso questa è la situazione tipica che uno deve incontrare in sistemi amyltoni qui Namely outside there are resonance phenomena that destroy destroy the solutions and there are completely different solutions kind of solutions and now the system that has been described before in fact eh even probably a formal proof lacks but is lacking but it is not integrable almost surely I don't know Walter will interact with comment on it and for example also if one looks at the dynamics of the third order system approximated system there are there can be sources of instabilities and can be a resonante dynamics called the Wilton ripples and so these values of the part the choice of these values of the parameters G and K of course avoids controls avoids these effects is the choice for which one does not see these instability phenomena and similarly this was the in fact as we heard in the talk of Jean-Marc yesterday for most values of G and K solutions with an initial zero potential exist for all for for a long time we don't know if solutions exist for all times and so in sense in fact in the previous theorem one in fact is a selecting initial conditions for which actually the solution avoids forever all the resonances and so is a survivor in some sense for all times maybe in between there can be regions where on the contrary it can be blow up actually probably and would be this other kind of dynamics and so this is the picture very natural picture that one could expect of the complicated dynamics between stability KM and then hyperbolic orbits horseshoes and very complicated second thing ok so I said that the quasi periodic solutions that we found are linearly stable they are linearly stable really in the sense of dynamical systems really in the sense that in the following sense ok in a suitable set of coordinates they linearize the system that unfortunately have not written so I've write it so ok so in the sense of dynamical systems I mean that so we have an Hamiltonian system ut gradient of u and then we we have a solution of time in this case it is a quasi periodic solution and then we linearize the vector field we linearize at the solutions at this solution the system at this solution and then we have an equation which is of course linear with the time dependent quasi periodic so this is a linear operator which depends on time here in a quasi periodic way and the linear stability is that ok of course the dynamics of an object like this can be very complicated and the whole point the main point of all the proof is that we are able to to control completely this operator actually we diagonalize it so we are able to compute it's the synthetic expansion of all it's eigen values of all it's flux exponents and this is a sense the core of the matter so because if of the linearized equation like this I know I am able to control x spectrum of course I am able to control also the non resonance that can appear there and in fact so the precise statement is that there exist a suitable set of coordinates good coordinates which integrate the system in a suitable set of coordinates these very complicated PD linear PD becomes this type is this constant coefficient system namely ok phi and y are finite dimensional coordinates they live on a torus finite dimensional torus and they describe the tangential and the normal dynamics close to the torus I call it phi if you want these are the angles but then let me see particularly the infinite dimensional part this is a PD so in fact this must be a PD and it means that that PD now forgetting the action angle dynamics is conjugated to a constant coefficient so operator the composing V I mean in Fourier series as we also saw this morning it means that these really are completely diagonalized in these variables and they are simply harmonic oscillators with lambda j I call it mu j which are in this case real and for which in the next slide we shall give also an asymptotic expansion of this so perché di questo se questo complicata il PD delineare l'equazione di questo sistema ha stato conjugato due questo set a questo PD quindi questo set di infinitivi armonico oscillatori il caplet e poi, ovviamente con mu j che è reale valuto e poi, ovviamente per esempio se uno ha stabilità la norma sobole di questo sistema non aumenta zero e i mu i j sono cosa chiamate in sistema dinamico le esponenti flocche delle soluzioni le esponenti flocche delle soluzioni quindi, ovviamente se vedo tutto se vedo le poi ho completamente controllo tutto l'esercito della dinamica vicina e che infatti il metodo provvede un esponente sintotico di queste esponenti flocche queste queste varie regole ho la seguente formazione che è l'esercito hanno la formazione mu j le frecciate di amperturbo dove la G è uguale a 1 quindi esattamente questo con la gravità è uguale a 1 che hanno di essere corretti sono corretti da un constante che è vicino a 1 e quando la soluzione tende a 0 questo constante tende a 1 è corretto queste frecciate devono converso alle frecciate di oscillazione e le corretti d'esercito ci sono altre corretti come la 1 che c'è con le constanze due alle simmetri di l'esercito che non è la corretta di l'esercito d'esercito c'è la prossima corretta che è l'esercito di l'esercito di l'esercito di nuovo, questo è un'altra corretta piccola e le corretti d'eserciti corretti piccoli se uno voglia il metodo avrebbe a qualsiasi ordine l'espansione sintotica di questo quindi l'esercito quindi l'esercito è una perturbazione, ovviamente come deve essere delle frecciate lineari e perturbe e questo è, ovviamente, una informazione fondamentale perché ci permette di controllare la perturbazione della dinamica nearby. La seconda informazione interessa è la migliore di variabili quindi ho detto che uno può conjugare questa linea pd a questo costantico efficiente a questo sistema attraverso la migliore di variabili devo controllare questo. E il punto è che questa migliore di variabili in realtà mappano le spazie sobole hs in themselves per qualsiasi s mappano l'esercito. Perché questo è una informazione rilevante perché quindi significa che essenzialmente se voglio informazione delle norme sobole beh, posso attivare queste condizioni qui che è semplice e poi con la variabilità inverse vorrei, ovviamente, avere informazioni su l'evoluzione dell'initial datum in norme sobole anche per questo. Quindi, queste sono due informazioni fondamentali che esistono quindi una buona there is a a very good spectral analysis of the linearized operator so the linearized operator is conjugated through changes of variables which maps sobole spacing to themselves for any high sobole of norm into something into another system which is the diagonalized and we control in a constructive way in a very precise way all the asymptotic expansion of the again values. It's clear that these informations enables to control and to overcome at the small device of difficulty. Ok. This is an easy explanation why this is a small device of difficulty I rephrase it why this is a small device of problem I rephrase it suppose that we look for zeros of these non linear function those of this non linear operator where one look for the an embedding so one looks for an embedding of the solutions replacing dt with the omega dot d phi so dt becomes in quasi periodic section omega dot d phi so one looks one needs to look for zeros of this operator when u is equal to zero because we want a small amplitude solutions we start from the flat ocean with zero velocity potential and then for the implicit function theorem we want to find eta and the psi has a function of the other parameters k omega and then when it's interested in the linearized operator which is essentially what we did before and this operator is this one constant coefficients in Fourier space can be is diagonalized in this way but then of course we see the difficulty that we mentioned before namely the determinant of these matrices are these ones and here l is an integer j is any integer so these numbers always will accumulate to zero and one can impose for most values of frequencies of omega and parameters k lower bound on this type so that the linearized operator is invertible but it's inverse operator because of the resonance effects loses derivatives and so this is the usual small divisor problem because of the ressonances the inverse it is the continuation of these orbits it is not based on contraction and then a way to solve this problem is through Nash-Moser implicit function theorem which is as it is well known it is based on Newton method for looking the zeros of a function given an approximate solution u n one look for a better approximation u n plus one in such a way that is obtained by the intersection with the tangency and this is the iterative scheme but in fact and the advantage of this scheme is as it is well known it is a quadratic scheme so the distance between the successive approximation is less or equal than the square of the distance between two previous one this super quadratic this quadratic speed of convergence enable to compensate the small divisor difficulties but the difficulty is that in order to write for example this scheme we need to know the linearized operator at a function u which is not only zero but u different from zero and so we are in fact encounter for here in this problem here the problem is to show that the linearized operator is invertible for most values of the parameters and that it's inverse satisfies estimates say Tame namely that the map assoblev nor there can be a fixed loss and it must be tamed with respect to the value point u where we linearize and this is the difficulties that when one write the linearized operator for the water waves it has a bad shape at least well this is the form where so here Geovit is the additional operator b and v are functions share the gradient of the velocity potential at the free surface ok and so it is the point is ok this is exactly this operator here and we would like to invert and to prove that the foremost values of parameters and to prove estimates for the inverse and so the proof is quite is composed of many arguments I will not discuss of course all but ok there is a national proof that we formulate as a theorem of hypotetic conjugation of Hermann in order to to take with the parameters but then I will discuss a bit more this part here namely the analysis of the linearized PD because of course from this is an essential PD part ok about parameters I just say two things of course as we said paramet eh all this phenomena as we or no since a long time really depends on a very complicated way on cantor set of parameters there are fractal fractals which appear that are very complicated the chaotic dynamics and so really it's very sensitive to know nor how to fulfill to verify nor resonance conditions of the Fentine type e infatti the first the Kolmogorov result that worked for with a very strong non degeneracy condition that for example was not satisfied in celestial mechanics for the for the Kolmogorov for the solar system and has Kolmogorov new and then in fact that is for example was the motivation of a weaker non degeneracy conditions particularly for by Hermann and then there is the result by Fajoss about the solar system where are satisfied the weaker non resonance conditions here I want to discuss here we use we can use the surface tension parameter or physically from a physical point of view which is also equivalent we can fix kappa and consider has a parameter the wavelength namely here I put 2 pi but 2 pi lambda è un altro parametro che interessa in un modo non triviale quindi ho fixato l'equazione le soluzioni che esistono per le molte valori del wavelength del del wavelength e è essenzialmente il stesso o uno poteva pensare anche all'area all'area all'area per esempio ok in questo caso i ingredienti che sono che usiamo che sono importanti per verificare queste condizioni non generose sono il fatto che queste frequenze lineari sono davvero le funzioni analytiche di la surface tensione e si soddisfa la sintotica e la sintotica all'infinità la strada di kappa e la strada di kappa e poi c'è una condizione non generose una condizione non triviale che ho explicato ora che è infatti la è chiamata la condizione torsionale che penso che va avanti a non lo so esattamente appena in Erman ma anche probabilmente in altre persone russiane e è che ha detto che se uno prende le frequenze uno guarda la mattina da dire r in 2 rn poi l'immagine non è contegnata in alcun hyperplane quindi è una condizione torsionale dice che la strada omega kappa che è analitica non è identicamente contegnata in un hyperplane quindi analiticamente per alcun vettore c in rn non zero la funzione c prodotto omega kappa non è identicamente zero quindi non è contegnata in alcun hyperplane che è chiamata condizione torsionale e la strada in questo caso infatti è una computazione uno prende la frequenza e uno mostra che non è contegnata in un hyperplane e uno mostra che queste vettore sono indi ottenuti da differentiazioni sono indi lineari indipendente da qui viene il vondermonde vondermonde determinante e poi uno scelto che queste condizioni non condizioni non sono riuscite a sfumare poi ok questo è quello che ho detto su parametri e poi ho cominciato a fare un po' la parte di P la parte di P come detto concerna l'analisi l'analisi spettuale di questa linea di tempo di tempo e di spettuale operatore che è ottenuto in questo modo e ripeto il goal è di trovare la conjugazione la migliora migliora di variabili che congiugano questo per un operatore in un operatore molto semplice ok, qui ho già portato il operatore distritto le due direzioni che sono normali per le dinamiche tangentiale quindi e ho detto che il decoro è per comprare questa espansione sintotica di variabili per l'analisi spettuali e nella stessa spiritina della torta di Jean-Marc questo è fatto in due conceptuali differenti i step il primo step ha il goal non di ridurre le strade di perché questo è una perfetta constantale e i termini epsilon ma il primo step sarà non rispondere di le cose epsilon e per fare le cose epsilon e così ma il primo per ridurre le strade constantale per smutare i termini che è rilevante perché quando qui ci sono quasi lineare effetti sui fracchi è la 3,5 è extremamente grande e è importante se non controlla che è la grande contribuzione alla dinamica quindi il primo step è mettere le strade constantale perché è qui il termine più alto lambda 3 ad ordine 3,5 constantale e poi anche lo disappucia l'ordine 1 qui per la simitria della reversibilità e poi l'ordine dx 1,5 che è una contribuzione abbondata una ha a mettere le strade constantale quando l'ultimo richiede l'ordine 0 ok che è sufficientemente migliore infatti abbiamo la situazione semilinearia a questo punto è naturale iniziare a ottenere termini che sono epsi e poi epsi on square epsi on 3 e così principalmente per performare diciamo una forma normale analizzare le strade rimuovendo quindi questi sono i due step prima per ridurre le strade constantale in decresione di simbols e poi a un punto per ridurre le strade della perturbazione per diagonalizzare l'effetto di queste due cose ciò di questa rappresentazione per per questa cosa vuol dire e ok questo ok è questo sarà ottenuto da conjugazioni cambiamenti tempo dependenti cambiamenti se abbiamo un sistema linear che è un sistema linear in questo caso quasi periodico in tempo che congiuga con il cambiamento che è in questo caso quasi periodico in tempo poi trasforma in un altro sistema linear il formato del nuovo operatore è scritto qui c'è la conjugazione di l'operatore di spazio a giusta similare f-1af e poi c'è un termine che viene da la conjugazione della parte di DT DT fa questa contribuzione qui ok e poi il obiettivo è per trovare diversi trasformazioni a che in infatti si illuminano per un suito a che questa B non dipende in spazio in tempo e è un diagramma che è cosa che vorremmo fare e ovviamente la DT è ottenuta da composizioni di diversi trasformazioni cambiamenti di molto differenti della natura il primo è inizio da un sistema A faccio un cambiamento e ho ottenuto un nuovo sistema è un cambiamento di nulla che è un cambiamento molto generale che è la regola di come cambiare la parte di tempo e la parte di spazio e poi ho potuto scoprire A in modo a quindi ora vuoi fare B come cosi vorrei farlo sì, non dobbiamo fare in un stile ma in un po' di step penso che hai dovuto dire che hai scoperto che hai scoperto FI per farlo ah, sì, sì, sorry, sorry ho detto io volevo scoprire FI per cambiare il variabile no, no, sorry, sorry sorry, of course ho scoperto il variabile così che il sistema con il variabile A trasforma in un sistema con il variabile B questo è solo la regola di trasformazione niente altro e ora abbiamo scoperto un proprio modo per fare cose buone qui ci sono molti esperti in questo context appena il buono nonno all'inac in il secondo modo questo è il operatore linearizzato infatti questo è il primo step di analisi è il stesso alzard Baldy poi questo è il operatore linearizzato in questo variabile il buono nonno che significa che congiuggete questo sistema con solo questo matrix B la molteplicazione per la funzione B beh il sistema ottenendo congiuggete questo problema linearizzato diventa questo che è molto più bello simmetrico e come si dice da John Mark yesterday i suoi valori sono in questo context puramente immaginati perché hanno avuto attenzione quindi il suoi valore grazie a questo buono e nonno i valori d'accordo sono puramente immaginati quindi questo è il primo cambiamento di variabile che ok ha questo cambiamento di variabile ok è che abbiamo detto all'inizio che l'algebra proprietà del sistema è importante qui noi proviamo a preservare sempre la reversabilità condizionato perché è importante è necessario in un senso l'amiltonia e anche la reversabilità per verificare l'existenza di queste condizioni e quindi vogliamo sempre preservare questa proprietà che questa trasformazione preserva la reversabilità quindi la buona non preserva la reversabilità in realtà questo la versione linea preserva anche la simplatica la natura quindi possiamo ma mai la reversabilità è sufficiente e per preservare sempre il carattere simplatica della trasformazione è un po' più complicato potrebbe essere fatto ma poi poi come in Alazza Baldi ci sono alcune cambiamenti che sono l'amorfismo diffio del Torus e la riparemontabilizzazione di tempo così che sono abili dopo questa cambiamenti per mettere a costante la coefficiente la terra di suono non ho tempo ora per explodere ma l'un ha ottenuto il suono a suono e poi ok l'un ha ancora un job a fare questo in realtà non è un'equazione ma è un sistema in H bar e l'un poi un po' di il prossimo il goal è per simitare il nome a più è per operatori smutti quindi per eliminare i termi di diagonale che accadono sui componenti H bar per per per inizio molto negativo quindi simitare sui operatori smutti quindi il nuovo sistema sarà la coefficiente ancora variabile sui termi che accadono su H diagonali ma poi i termi di diagonale in H bar diventano estremamente smutti vorrei dire qualcosa di più e poi il prossimo vogliamo per abbiamo ora l'effetto di la prima storia la coefficiente ancora variabile quindi in order per fare questo con la coefficiente con il flow prodotto da l'OPSEDO PD come questo e l'OPSEDO PD come questo con l'A che è reale valido è molto posizionato tra H e H H è bello è inizio e poi con la coefficiente l'operatore con la coefficiente vogliamo analizzare mentre è soddisfatto questa questione isemberica è essenzialmente la metode di daily e poi questa questione ha una soluzione può essere soltata in simbols di decresce grazie all'effetto che il commutatore infatti ha preso due derivativi e perché di questo uno può soltare questa questione e trovare l'operatore conjugato in simbols di decresce il nuovo termine in fronte di l'X è modificato e poi uno sceglie la funzione A in order per mettere questa a constanti è attenzione che uno può mettere a zero ok e la stessa per la conjugazione di tempo quanto tempo ho? 1 minuto è finito ok e poi beh, è un po' tecnico ma magari mi dico no, non mi dico niente e poi solo una cosa quindi dopo questa conjugazione a constanti vogliamo decresciare i decresci a questo punto siamo in una situazione semi-linear e poi la trasformazione il analogo della formazione normale è questa vogliamo ora trovare le trasformazioni che decresci la perturbazione da strada di Epsilon a strada di Epsilon quindi uno conjugato con il flow di una funzione W per essere trovata il nuovo operatore può essere analizzato come prima ma poi espandiamo davvero i power di Epsilon e poi vediamo la nuova la nuova Epsilon terma e poi vogliamo scoprire W così che questa termina desaparece in fare questa una solvita e l'ultima può farlo se la funzione W e W1 sono ottenuti in questo modo dalla perturbazione uno ha di dividere attraverso differenze della differenza differenza di differenza della differenza e quindi appeara che è necessario imposare questa diagonalizzazione in questo processo uno ha di imposare queste condizioni che in literatura non ha la seconda ordra di non risoluzione condizioni se uno può fare questo l'ultimo lo obtiene questa diagonalizzazione e poi finisci