 Ok, j'ai réglé ce que j'ai dit la dernière fois, donc nous voulons étudier l'espace transgenre à l'espace de tous les curves spectraux, ou ce que ça veut dire, mais pour faire ça, nous notons que la formation des curves spectraux est la formation des 1 formes 1 formes de formes de formes de formes formes de formes de formes de formes formes de formes formes formes les idées que je veux utiliser sont que les formes formes formes sont relationées à les psychiques par formes, psychodualités. Sorry. X est une projection du curve sigma à sigma 0. Non, c'est une map qui projette sigma à sigma 0. La raison qui s'appelle X, c'est l'habit qu'on avait depuis le début, mais c'est-à-dire dans les matrices, probablement un meilleur nom serait Pi pour projection, ou je ne sais pas. Sorry. Sigma 0 n'est pas nécessairement Pi 1. Il pourrait être... Sigma 0 est une surface renouvel. Sigma est juste une surface, une surface smooth. Et sigma génère une structure complexe par la pullback par X. Donc, quand vous changez, quand vous bougez dans l'espace des curves spectraux, à une base de curve fixée, à un point sigma 0, la structure complexe de sigma peut changer parce que vous bougez par X. Donc, vous pouvez changer la structure complexe. La structure complexe n'est pas fixée. Donc, je me souviens qu'il y a une map. Donc, OK. Donc, nous avons des cycles, des habitants, comme ceci, des cycles non constructibles. Et nous avons des cycles généralisés et les cycles généralisés sont des éléments de formes duales. Donc, ils actent sur formes, comme l'intégration. Donc, OK. Donc, l'action d'un élément duale sur une forme, ce que l'on appelle l'intégration. Et quand vous intégriez la forme 1, 1, omega 0, 2, vous intégriez un autre variable. Donc, ce qui reste est la forme 1 dans l'autre variable. Et vous inquiétez que les cycles généralisés sont les uns comme ceci. Quand vous intégriez ce que vous obtenez, c'est une forme méromorphique. Donc, un exemple de cycles généralisés qui génèrent cette m1. Donc, nous avons les usuales cycles, ce que je dirai les premières types de formes. Et effectivement, l'intégration de omega 0, 2, sur les premières types de formes, donne des formes méromorphiques qui sont les premières types de formes méromorphiques. Quand vous intégriez ce type de cycles, donc, on dirait un Bpk, donc c'est un peu très petit cycle autour du point P, donc, en train d'intégrer. Donc, cela signifie que si vous voulez compter une intégration de Bpk omega 0, 2 de z1, z2, donc vous intégrerz z2 sur Bpk par définition, donc, c'est la définition, c'est minus 1 par 2 pi k, et vous intégrerz ce cycle Cp de zeta p de z2 minus k omega 0, 2 de z1, z2. Donc, ce 1 par 2 pi k, intégrer cp, en fait, c'est la résidue. Donc, le résultat de l'intégration, donc, quand vous intégrerz z2 sur ce cycle, ce qu'il reste est une forme en formes de z1, et c'est une forme de formes qui a typiquement un pole d'ordre k plus 1 à p, à point p. Donc, c'est une forme méromorphique. Et vous pouvez obtenir toutes les formes méromorphiques de cette façon. Donc, toutes les formes méromorphiques, vous pouvez trouver un cycle, un cycle général, qui le réalise. OK, donc vous avez cette map. Donc, nous avons cette map, B hat, qui va de l'espace de... Sorry, de les cycles générales à l'espace de formes méromorphiques. Donc, pour un cycle gamma, vous obtenez une forme qui est l'intégration de omega 0, 2 et gamma. En fait, il y a une autre 1, qui est une autre map, que je n'ai pas appelée C hat, qui est assez importante, qui fait de la même manière que les formes de formes à cycles. Donc, si vous avez une forme omega, je vais écrire une formule qui n'est pas vraiment correcte, mais ça donne l'idée et ça peut être correcte, mais je ne vais pas le faire. Mais la formule est la suivante. Donc, choisir... Donc, on appelle A i. Ok, A i. La base de l'espace de cycles. Ok, l'index A i signifie... basicement, vous devez prendre suffisamment d'indices pour avoir une bonne base et c'est un espace infinimental. Et définir la matrixe, la matrixe intersectionale. A i inter... Sorry, l'infinité. C'est un espace infinimental. C'est un espace très grand. Vous pouvez avoir un cycle pour chaque point P de la surface. Vous avez une famille de cycles. C'est ça? C'est ça? C'est des idées? Oui, c'est des idées. Peut-être. Ok. Oh, c'est-à-dire, vous devez prendre des cycles de la même manière. Sorry. Oui, il y a des cycles de la même manière. Oui, les cycles de la même manière sont juste changés de l'un point à l'autre. Oui, c'est juste une chaine. Parce que si vous intégriez Omega 02... Si vous intégriez Omega 02 de Z1, Z2 de l'un point, c'est-à-dire, Q' à P' donc, en fait, vous follow une certaine chaine comme ça. Vous follow une certaine chaine. Puis, le résultat est, en fait, la forme de la variable Z1. Vous pouvez changer ça à l'homotopy ou à l'actual chaine? À l'actual chaine? Oui. Donc, si vous bougez, ça sera un peu différent. Sorry. Si vous bougez, ça sera différent, oui. Oui? Non, je veux dire, peut-être que je n'ai pas compris votre question. La classe homologique, je veux dire. Oui, la classe homologique. Donc, c'est beaucoup plus... La classe homologique. Oui. La classe homologique. Donc, en fait, depuis que vous intégriez une forme méromorphique, ça dépend seulement de la classe homologique et vous pouvez prendre des combinaisons. Donc, si vous intégriez ça, vous allez obtenir une forme dans la variable Z1. Alors, depuis que l'Omega02 a une double pole, l'intégrale va avoir une simple pole à P' et une simple pole à Q' donc ça sera une forme avec deux simples poles, une à P' et une à Q' et ça va avoir, donc, on va le dire Omega Gamma Q' P' de Z1. Ok? Cette forme a deux poles et à P' cette Gamma Omega P' a une radie U plus 1 et à Q' a une radie U minus 1. Donc, c'est une forme qui a une radie U plus 1 à 1 à 2 points et une radie U minus 1 à 2 points. C'est la base normale d'une certaine façon. Et c'est la duale de juste une chaine. Et comme vous l'avez dit, elle a une simple pole à P' et à P' et comment vous pouvez le considérer? Dans la variable Z1, elle a une simple pole à P' donc regardez-le comme une forme comme une fonction de Z1. Mais quand vous bougez vous appuyez à votre intégration pour être différent non, non, cette propre va toujours s'assurer. Qu'est-ce qui va changer? Qu'est-ce qui va changer est la normalisation sur les cycles non-contractibles. Mais cette property de résidue plus 1 ou de minus 1 ne changera pas. Mais il n'y a pas une unique forme que j'ai satisfaite. En fait, il y a beaucoup de formes que j'ai satisfaite comme la classe homologique pour aller de Q' à P' OK. Donc, je vais définir mon C-hat d'Omega qui est donc c'est un cycle et c'est juste d'être un peu plus de ij d'Ai. La matrice inverse de l'intersection et de l'intégration d'Aj. Sorry, je vais mettre l'intégration d'Aj d'Omega. Oui, mais la matrice inverse peut-être 0. Non, en fait, vous pouvez prouver que l'intersection de la matrice est toujours invertible. Mais la même intersection est 0. C'est simple qu'on fasse. Non, non, non. Je prends l'inverse de la matrice et ensuite, je prends l'element ij. Je n'en prends l'inverse de l'element ij. Et c'est l'inverse de la matrice qui est invertible. Ok. Bien sûr, ce n'est pas vraiment le sens parce que le nombre est infinit. Ok, ce n'est pas vraiment le sens parce que le nombre est infinit. Mais ce que vous pouvez vérifier est que l'on est indépendant de votre choix de base. C'est donc quand vous changez les bases. Donc ce n'est pas le cas de la matrice mais la matrice de l'intersection d'Ai. Sorry. C'est la matrice de l'intersection de la matrice de l'intersection de la matrice d'Ai. Oui. Oui. Et l'idée est parce que la forme biomorphique a un nombre finit de poules. Donc vous pouvez toujours arrêter ce que c'est un nombre finit de la combination. C'est ce que vous pouvez dire. C'est indépendant de bases. Donc ici, pour écrire cette formule, je choisis les bases de la matrice d'Ai. Donc, pour exemple, les bases qui sont rétendues ici. Donc je choisis les bases. Dans ces bases, je compute la matrice de l'intersection. Et je compute les intégres de la matrice d'Ai. La matrice d'intersection. Et je prends... Donc basiquement, c'est un nombre finit de poules qui sont rétendues par un nombre. C'est un nombre finit. Mais ce n'est pas un nombre finit de la dimension de la matrice d'Ai. Oui, exactement. C'est ce que je dis. Cette formule n'est pas sensible parce que vous avez un nombre finit. Non. Mais il peut y avoir un nombre finit de la matrice d'Ai. Oui, oui, oui. Mais je vais juste finir mon sentence. Ce que je vais dire c'est que depuis que la base est indépendante, pour un nombre finit, il y a un moyen de choisir une base comme ce que le nombre finit. Pour chaque nombre finit, vous pouvez choisir une base bien adaptée à un nombre finit comme ce que le nombre finit. Je ne veux pas dire tous les détails mais cette map peut être bien définie et en fait, c'est plus ou moins la rémane de l'identité linéaire. Non, sorry. Non, parce que le nombre finit peut avoir des points. Donc, ce qui veut dire que vous avez besoin de ces bpks à un moment. Donc, si Omega n'a pas de points, effectivement, c'est juste le formulae d'une formulae de deux cycles G. En fait, g cycles non de 2G. Si vous dis que c'est la formule de l'identité linéaire. Oui. Donc, il classifie le cercle parce que avec respect à cette formule de l'identité linéaire, vous pouvez l'actuellement classifier. Oui, de toute façon. Bien, donc, la idée est que donc, donc maintenant, je vais dire un petit peu plus. Donc, ce que vous avez c'est que ces maps sont en un sens inverse d'un à l'autre. Donc, si vous avez b-hat de c-hat basiquement, b-hat composé de c-hat de l'identité qui est si vous avez une forme vous avez le cycle correspondant à cette forme et puis vous intégrer Omega 0 2 sur cette forme ce que vous avez c'est la forme que vous avez commencé et c'est en fait l'identité linéaire dans l'identité d'une forme. Non, non, non. Cette map b-hat composé de c-hat est définie? Oui, oui, parce que c'est la position Les deux maps sont définies donc vous pouvez les composer. Il y a des théorèmes que vous avez mis en place. Non. Mais c-hat c'est composé de c-hat c-hat est bien defini. Non, si c-hat est en non, non, c'est déjà c'est bien defini. Non, il dit que c'est un espace de dimension infinie. Parce que c'est encore le sens. Non, non, c'est bien defini. C'est juste je ne veux pas faire la longue définition qui est dans mon papier. Je suis en train de faire la longue définition qui n'est pas très bien definie. Mais ok, juste croyez moi, ça peut être ça peut être fait. Mais dans le stade, si vous la prenez une forme finie c'est toujours la même histoire. Oui, oui. Exactement. Donc c'est l'idée. Si vous savez où les poles de Omega sont, basiquement, vous allez piquer seulement les poles de BP qui correspondent aux poles et avec K non, pas, pas plus grand que le niveau de la pole. Donc vous avez besoin basiquement seulement les poles de BP avec P exactement les poles de Omega et K plus que le niveau de la pole. Donc vous avez besoin en fait seulement le nombre finiel de ces poles. Et dans le somme, basiquement, tous les autres ici vont donner 0 ici. Il y aura que vous aurez 0 ici. Et aussi, vous pouvez étudier votre base pour que l'intersection de la matrice va de toute façon couper tous les uns que vous ne voulez pas. Donc c'est toujours possible de faire ce sommeil finiel. Donc la map est bien définie. Et elle a cette propriété. Donc si vous composez le composite avec B-hat, vous avez l'identité. Et sur l'autre côté, donc si vous commencez d'un certain cycle, vous changez d'une forme par B-hat. Et vous changez de suite d'un cycle par B-hat. Vous n'aurez pas le même cycle. Ce que vous aurez c'est que cette map est une projection. Donc l'idée est que le espace de cycles est plus grand que l'espace de formes. Donc c'est la dimension double. Et en fait, le espace de... oui. Donc ce sera une projection sur l'image de C-hat. Donc elle a cette propriété. Bien sûr, que la pi-square s'appelle pi pendant que vous combinez avec l'autre... Ah, donc ça veut dire que le espace de cycles peut-être s'exprimer sur le son direct. Oui, donc exactement. Et c'est la direction de la composition avec respect à l'intersection. Donc ça veut dire que l'espace de cycles est carb B-hat plus l'image de cette projection, qui est l'image de C-hat. Donc c'est un direct summe. Et les deux sont l'agrande. Donc c'est l'agrande de la composition du espace de formes, de cycles. Donc l'idée, c'est bien connu pour l'espace H1. Pour l'espace H1, par exemple, sur l'autorus, vous avez juste un cycle A et un cycle B. Bien souvent, vous préférez le faire de cette façon. Donc c'est le cycle A. C'est le cycle B. C'est-à-dire comme ça. OK. Le plein espace de... Donc le H1 de l'autorus est basically AZ plus BZ. Donc c'est... Sorry. C'est l'intagère homologie d'espace qui est basically Z-square. Et si vous le prenez, vous pouvez aussi considérer les combinaisons légères. Donc ce sera une complexe de nombre de fois A plus une complexe de nombre de fois B. C'est tous vos cycles. C'est un espace de même dimension. Donc la dimension de H1 est 2. Alors que la dimension de l'espace de formes holomorphiques est 1. Donc c'est l'un d'eux. Non, c'est pas splité. Oui. OK. Mais c'est splité parce que vous avez trouvé un certain Omega 02. Donc c'est... Oui, donc c'est votre Omega 02 qui splité l'espace. Votre choix de Omega 02 splité l'espace. Et d'ailleurs, quand nous allons bouger dans l'espace de spectraux curves, nous allons changer l'Omega 02. Donc la splitation change. Carby-Hatt et Imzi-Hatt changent quand vous... Donc ce n'est pas une bande constante. Ils changent dans l'espace de spectraux curves. Excuse-moi. Oui, c'est direct. OK. OK. OK. Mais maintenant, je vais aller aux main-series que j'ai envie de dire. Excuse-moi. Les main-series que j'ai envie de dire. Pourquoi ai-je introduit tout ça ? C'est parce que la réculture topologique est naturellement expérimentée dans ce formalisme. Donc je vous remercie que j'introduise l'espace de formes de formes méromorphiques parce que j'ai voulu étudier un espace dans l'espace de spectraux curves. Donc si nous avons S qui est un certain spectraux curves sigma, sigma 0, x, omega 01, omega 02, alors que l'équivalent classe modulée réparmétrisation de S est encore elementée. Si j'ai envie que je considère un élément de l'espace tendentant. Donc si j'ai envie d'y considérer un que ce soit un que ce soit un quatrième côté d'un variable d'alimentation d'un nomen d'une forme d'un nomen d'une forme C'est-à-dire que mon espace tendant est en train de garder le sigmar 0 fixé. Nous travaillons en train de garder le sigmar 0 fixé, donc ce n'est pas toutes les différences possibles, mais nous sommes en train de garder le sigmar 0 fixé, mais nous ne sommes pas en train de garder le x fixé. Mais nous n'avons pas besoin de considérer le delta x parce que nous pouvons réabsorber par la réparmétrisation des invariants locales. Donc la idée est que tous les données d'un vector tendant sont containers dans la déformation de omega01 et de omega02. Donc ce qui signifie que mon espace tendant, je vais essayer d'écrire ça en fait, c'est bien. Donc le espace tendant, ce qui signifie que mon espace tendant va être, de toute façon, le espace de formes méromorphiques plus le espace tendance de formes méromorphiques. Je vais l'écrire de cette façon. Symmétrique tendance de formes méromorphiques. Et maintenant je vais utiliser la formes de psychodualité. Donc la idée est que nous avons notre m1 of sigma plus m1. Donc maintenant, ce sont nos cycles. La map, basiquement, la map B hat sur chaque des compagnons vous met dans le espace m1 of sigma. Donc c'est b hat. Plus m1 of sigma. M1 of sigma. Symm. C'est mon espace. Il y a des problèmes de degrees. C'est une graine gradée. Pas gradée? Non, pas gradée. Parce qu'il y a un espace projectif, peut-être. Non. Non, non, non, c'est pas gradé. Non. C'est pas gradé. C'est une graine de certainimité. Oui. Je sume en bonbon. seam est une graine de certainimité. Oui. D'ailleurs il y a une graine de mosquitoes. Une graine d'am Minute-Mount. D'accord. D'accord. Mais c'est un m1. mais ce n'est pas un m1. Ce que je veux dire, c'est que ce n'est pas important, ok, je l'ai correcté sur ma note. Mais ce qui est important, c'est qu'il y a une isomorphique à cela. Et l'idée est qu'on a une map. Ce que j'ai voulu dire, c'est que c'est une isomorphique à M1 de sigmar, cochantée par KBHAT. Plus, je pense, c'est une cochante par KBHAT. Ok, je vais l'écrire de cette façon. Donc, l'idée est que cet espace n'est pas seulement une isomorphique, mais aussi une équivalence des classes dans cet espace. C'est donc un demi-dimension. C'est un demi-dimension de l'infinité. Non, pas de l'infinité, parce que c'est un espace maximisé. Ok. En fait, je vais me concentrer sur la première partie. Ok, ok. Bon, en fait, c'est une troisième partie de l'infinité, c'est l'infinité. Bon, en fait, c'est l'infinité sur les deux côtés. La dimension est l'infinité sur les deux côtés. Je pense que ce n'est pas important pour ce que je veux dire. Mais l'idée est que je veux utiliser cette map pour produire, pour représenter des vectors tangents en termes de cycles. Donc, l'idée est qu'on veut avoir une map qui va de l'espace de cycles dans l'espace tangent. C'est ce que je dois avoir. Pour avoir une map qui va de l'espace tangent dans l'espace tangent. Donc, je vais définir... Je vais définir... Je vais définir une map qui va de l'espace tangent. Donc, je veux définir une map de l'espace tangent plus de l'espace tangent plus de l'espace tangent plus de l'espace tangent plus de l'espace tangent plus de l'espace tangent plus de l'espace tangent mais je vais l'éteindre explicitement. Ok. Si je prends une gamme, si je prends une gamme là-bas, qu'est-ce que c'est la gamme d'E? Ok. Dans la gamme d'E, j'ai juste besoin de dire comment cela s'accueille sur Omega 01 et Omega 02. Et je vais définir ceci. Omega 01 de Z1 sera par définition donc, c'est la gamme B donc, c'est la gamme B et par définition, cela veut dire que la gamme de Z1 sera l'intégrale de Z2 qui s'accueille à la gamme de Omega 02 de Z1 Z2. C'est la définition. Maintenant, je dois dire comment cela s'accueille sur Omega 02. Et la définition de comment cela s'accueille sur Omega 02. Donc, Omega 02 a deux variables Z1 Z2 et par définition de la gamme D, la gamme Z3 s'accueille à la gamme de Omega 03 de Z1 Z2 Z3. C'est par définition. Donc, je définis le vector de tension et comment cela s'accueille sur Omega 01 et Omega 02. C'est la définition. Maintenant, je dois prendre un élément de ceci donc, si je prends la gamme 1 à la gamme 2 et la gamme 2 à la gamme 1 on va dire 1 et demi de cela alors comment je définis la gamme D ? Alors, je vais adopter cette notation mais en fait cela devrait être fait simétriquement de Omega 01 par définition, cela sera 0. Et de la gamme 1 et de la gamme 2 de Omega 02 par définition, cela sera 1 et demi de la gamme donc, je vais dire que la gamme Z3 s'accueille à la gamme 1 et la gamme Z4 s'accueille à la gamme 2 de Omega 02 de Z1 Z3 de Omega 02 de Z2 Z4 plus de la gamme Z1 Z4 de Z1 Z4 de Omega 02 de Z3 Z2 Z3 Excuse-moi, oui, c'est B hat Donc, c'est juste l'action de B hat excepté pour celui-là où vous avez celui de Omega 03 ok, maintenant je peux distraire un de la main CRM maintenant que nous avons juste fait des définitions donc, la main CRM est que les déformations de Omega GN donc, nous avons pour chaque GN différent de 00 nous avons et effectivement Omega 00 n'était jamais défini et je dis que je ne pouvais pas définir cela en propos je vais parler de cela maintenant mais la gamme de Omega GN est basée sur la gamme de Omega GN plus 1 donc, c'est la CRM ce qui signifie que la gamme de Omega GN de Z1 Z1 de ZN est intégrée quand vous intégrer la gamme de N plus 1 sur la gamme de Omega GN plus 1 de Z1 ZN ZN plus 1 cette CRM est en fait très similaire à ce qu'il y a dans la théorie sous le nom de la géométrie spatiale ok et la gamme de Gamma 1 de Gamma 2 de Omega GN est intégrée de Gamma 1 intégrée de Gamma 2 de Omega GN minus 1 N plus 2 plus de G1 plus G2 equals G et ok, donc vous devez le faire avec donc ici, on a donc c'est très similaire à la formule que l'on apporte Z1 ZN ZN plus 1 ZN plus 2 ok, donc je vais me donner le nom de Z sur la prime donc on intégrée de Gamma 1 sur la prime de Gamma 2 plus de G1 plus G2 equal G de G1 de G2 equals toutes les variables de ZN Omega G1 cardinal de I1 plus 1 Z1 sorry, I1 et Z Omega G2 cardinal de I2 plus 1 de I2 Z prime ok et en fait, cette seconde réaction si vous avez besoin d'une multiplication il y a une question il y a une question non, parce que toutes les formes qui apportent ici sont formes simétriques donc ce n'est pas important vous pouvez les symmétrer mais c'est déjà simétrique oui c'est déjà simétrique et donc je pense que ici il n'y a pas de disc ok, je dois vérifier mais en fait, cette seconde réaction est très similaire à ce qu'on appelle la bcov dans la théorie de strings donc on a les deux donc, c'est-à-dire que si vous voulez compter des formes vous n'aurez pas vraiment d'aller dans un autre point dans l'espace moduel vous n'avez pas d'explorer dans votre espace moduel de curve spectraux vous devez juste rester dans le même curve spectraux sur les cycles donc c'est juste un espace donc mais l'idée est que depuis que le espace moduel est en un sens isomorphique dans le espace de cycles ou on peut dire aussi dans le espace de cycles vous pouvez juste rester dans le même curve spectraux et intégrer les cycles intégrer vos formes sur les cycles plutôt que de prendre des dérivations et si vous le permettez de changer le sigmar 0 non, ici je garde le sigmar 0 fixé mais ce serait intéressant de voir ce qui se passe quand vous changez le sigmar 0 ok je vais vous dire en fait, je ne voulais pas prendre du temps sur ça mais je veux avoir une structure intérieure sur le espace de cycles je ne l'ai pas dit mais la structure intérieure je dis que pour l'instant c'est un cycle intérieure et je peux faire ça seulement si la map data est restée fixée et la charte data est la coordonnée dans la charte du sigmar 0 donc je veux garder le sigmar 0 fixé pour pouvoir faire ça donc si je veux définir la structure intérieure je dois garder le sigmar 0 fixé sinon la structure intérieure va changer donc c'est une sorte de théorie hodge et pour le moment je veux garder le sigmar 0 fixé et oui, plus tard ce serait une bonne idée pour étudier ce qui se passe quand vous changez le sigmar 0 fixé donc ce que je veux définir maintenant donc le sigmar 0 est peut-on définir un sigmar 0 mais ça serait aussi satisfaire je pense qu'il y a une question si vous devrez changer le sigmar 0 plus tard avec cette transformation en fait, c'est quelque chose que je n'ai pas étudié donc ce n'est pas la lecture et ce n'est pas je pense que c'est une question très intéressante mais ce n'est pas beaucoup étudié et c'est un très c'est une question très intéressante mais je ne sais pas si la réponse est vraiment non à ce moment donc j'étais dans la chapter 4 et maintenant je suis dans la section 4 et je define F0 donc F0 de ma curve spécifique c'est Omega 0 0 donc vous vous souvenez que je n'appelle Fg Omega G0 donc la forme c'est une forme 0 c'est juste un numéro complexe donc F0 est juste un numéro complexe donc je veux définir ça donc on peut définir Omega 0 0 comme ça ça va continuer à tenir est-ce possible ? et la réponse est non la réponse est non pour une très simple raison computez imagine que Fg of Omega 0 0 c'est Fg of Omega 0 1 donc donc assume donc imagine mais c'est pas grave vous pouvez définir Fg of Omega 0 0 c'est Fg of Omega 0 1 c'est Fg of Omega 0 1 c'est Fg of Omega 0 1 c'est Fg of Omega 0 1 puis on a un autre dérivé puis on a Fg of Omega 0 1 Fg of Omega 0 0 et on compare Fg of Omega 0 0 Fg of Omega 0 0 bien par définition, ce sera Fg of Omega 0 1 vous actez encore avec Fg of Omega 1 donc c'est un intégral donc c'est un intégral Fg of Omega 0 1 Fg of Omega 0 2 Fg of Omega 0 1 Fg of Omega 0 2 pour presque tous les Fg of Omega 0 1 il n'y a pas de point de coïncèlement donc les deux intégrals sont commutés d'exemple pour Omega 0 2 qui a un point de coïncèlement Omega 0 2 a un point de coïncèlement donc les deux intégrals donc l'intégral de l'intégration ça matters et c'est ce que je define dans l'intersection qui signifie que Omega 0 0 en satisfiant ce n'est pas possible pour généralement il n'y a pas de point de coïncèlement il n'y a pas de point de coïncèlement Omega 0 0 pour tous les Fg mais vous voyez que ça peut exister si vous respectez Fg de l'intégral de l'intégral donc si vous respectez le possible Fg de l'intégral de l'intégral de l'intégral donc c'est un style de l'intégral de l'intégral c'est ce que je dis c'est un style de l'intégral de l'intégral oui, oui, oui donc qui signifie que la seule façon de définir Omega 0 0 c'est de faire une choisie de la grande chance de manifold c'est un sub-space c'est un sub-space de l'espace de cycles mais vous vous rappelez que l'espace de tendance était aussi un sub-space de l'espace de cycles donc vous vous rappelez que l'espace de cycles était trop large pour tout le Gn, ce n'est pas important parce que oui, peut-être que il faut dire qu'il y a un lema qui est un lema qui est que si le gamma est de la haute, donc il faut faire un lema pour que la grande chance soit de l'intégral de l'intégral de l'intégral de l'intégral de l'intégral de l'intégral donc l'intégral de GbGn est sigma n° donc Donc, il n'y a pas de problème. Mais pour F00, ce n'est pas le cas pour le cochon. Vous devez choisir un représentant. Vous ne pouvez pas pousser au courant pour le cochon. Vous devez choisir un représentant. Donc, excuse-moi. C'est le conséquence de l'Ema. Qu'est-ce que l'on appelle l'Ema ? Oui, mais en fait, pour prouver le théorème, en fait, vous n'avez pas besoin de l'Ema. C'est un truc si l'Ema1 est de l'Ema2, l'Ema2 est de l'Ema2, donc, il est automatiquement... Oui, oui, si l'Ema1 est de l'Ema2, l'Ema2 est de l'Ema0, il n'y a pas de contradiction. C'est bien que vous le définissez, c'est ce que je dis. Oui, oui, oui, c'est bien. C'est bien que vous le définissez, c'est bien que vous le définissez. Donc, c'est la curvature. Donc, ça dit que la forme de la intersection est la curvature. Donc, comment définissez-vous F0 ? Comment définissez-vous F0 ? Donc, la définition de F0. Donc, choisissez l'agrande L dans votre M1 de l'Ema. Ok ? C'est un sub-space ? Oui, un sub-space. Oui, désolé, désolé. Oui, l'Ema, je veux dire... Oui, l'Ema. Un sub-space. Vous devez définir F0. Donc, ça dépend de votre curve, de votre curve spectrale. Et ça dépend de l'agrande L. Ça dépend de l'agrande L. C'est 1 over... Ok. 1 over 4, 1 over 4 pi i. 1 over 2. Of C hat of omega 0 1, remember. So, I have omega 0 1, which is a form, I transform it into a cycle. Intersection The projection on L parallel to curve B hat of the same thing of C hat of omega 0 1. So, this is a projection on L on parallel to curve B hat. L could be curve B hat itself. Indeed, then you would get 0. What kind of intersection it is? Sorry? Yeah, this is the intersection of cycles. No, it's on the sub-space, but this is on the L also. No, it's even the intersection. No, that should be transversal or something like that. Yeah, well I mean the intersection is defined also on the restriction to L. L should be set in projection. L should be transversal. I don't think maybe empty. Yeah, you need L to be transversal to curve B hat. Yeah, yeah, yes. You need L to be transversal to curve B hat. Yeah, yeah, yeah. You need L to be transversal to curve B hat. Okay. Okay. I need to... Well, just let me tell you what it gives in a basis. In a basis. So maybe I'm not sure I wrote this correctly, but... It seems you could choose L to be image of C hat. Is it not a standard choice? Yes, and then you would get 0. Oh, 0 again. Yeah, of course. Oh yeah, because you get 0. Yes, then you would get 0. But in fact it's not a good choice. First, because the image of C hat, in fact, is never an integer, because it's the remand by linear identity. Basically, the imaginary part is always strictly positive, definite. So the imaginary part of image of C hat has always an imaginary... So there is always a positive imaginary component. So it can never be integer, for instance. No, what do you mean by integer? It's integer structure. Yeah. So coefficients with integers. Yes. Yeah. But so image of C hat is not really a very good, like Ho Chiang. And if you choose that one, f0, you get 0. Okay. So, okay, I will not go... Well, the idea is that in some good coordinates, so for instance, for the tourists... Okay. Okay, I'm not going to say more about that. But the theorem is that when this f0 also defines the gamma of f0 is integral for gamma of omega01 for gamma belongs to L. So it's true for all gammas belonging to L, but not all gammas. Okay. Now, let me... Well, I just want to show you that this is, in fact, more or less cyber-witten relations for f0. So f0 is the pre-potential. So, remark. So if you take... So imagine that sigma is compact of genus G. So if you take A i, B i with i equals 1 to G, a symplectic basis of H1 of sigma z. Okay. You take a symplectic basis, so it's not unique. There are plenty of symplectic basis that you could choose. So basically, this is... So, for instance, A1, B1, A2, B2, and so on. And imagine... Imagine... Assume... Assume carbiath is basically C times... Well, it's generated by... A cycles. So, basically, we require that omega 0 to vanishes on all A cycles but not B cycles. This is a situation that's very... that's most often you have. Almost all practical examples, that's what you have. Then... Then what is f0? f0 would be 1 over 4 pi i. 1 over i equals 1 to G of integral over ai of omega 0, 1. Integral over bi of omega 0, 1. Well... Okay, that's correct. If omega 0, 1 has no poles, for instance. But if it has poles, then there are extra terms associated to the cycles. But this is the part I want to say. So, now imagine that I define i equals 1 over 2 pi i integral of... of ai of omega 0, 1. That's my coordinates. Then d over dai is, in fact, the dbi of my B cycle. And a is a B cycle. You choose l to be span by... Yes, yes, exactly. l to be span by B cycles. Yes. l equals B cycles. So, it's a Lagrangian. Ah... No, sorry. In that case, sorry. When I said it vanishes, if you choose l equals kb hat, no, it does not vanish. This is the case where you choose kb hat. Oh, yes, sorry, sorry, sorry. No, sorry, sorry, sorry. Yes, but the idea is that you have that and df0 over dai are the B cycles. And this is the Cyberg-Witton relations for the pre-potential. So, this is just an example of that. And it's mostly due to the fact that d over dai is dbi. It's ad. So, bi is the cycle dual to the deformation of the ai parameters. So, the idea is that for every coordinate you could choose, you have a dual cycle corresponding to it. This actually turns out to be Cyberg-Witton coordinates. For the moment, it's absolutely any curve. And indeed, if you take... So, the idea also is if you take... if now you consider forms with poles, and if you consider as parameters instead of your ai's, you consider the Laurent, the coefficient in the Laurent series expansion. So, imagine that omega01 of z behaves near a pole p as sum of Tpk. So, the local coordinate, let me call it zeta p of z to minus k minus 1 d zeta p of z. So, it's a one form. So, sum over k equals basically 0 to the degree of a pole at p, ok? Plus analytic at p, ok? You see that the Tpk is 1 over 2 pi ai integral over a cycle of omega01 with this apk. It's just the... You see, it picks the residue of coefficient and it's precisely Tpk. And d over d Tpk you can check is... So, basically this cycle is the one that computes d over d Tpk. And instead of Cyberg-Witton relations this would be what's called Miwa-Jimbo relations for this kind of... So, in fact, with this formalism we... we have together on the same footing the Cyberg-Witton relation on Miwa-Jimbo relations it's the same thing. Or, MaGrange relations, they are the same thing in that description. So, now also we want to study finite deformations. I'm not sure because it's one hour... Yeah, I don't know Ok Ok, there is another thing which is finite deformations. So, here so far I define only tangent vectors and the idea is that now you would like to integrate the flow along a tangent field. A tangent vector field. So, basically what you would like to define is not an infinitesimal deformation of your spectral curve but your spectral curve with a finite deformation which I will also write as exponential t d'gamma s So, basically we are just going to integrate the flow and somehow assuming gamma fixed. So, in order to do that I mean having tangent... knowing the space of tangent vectors at each point in our modular space is not exactly enough we need also to see how the tangent space deforms when we move in the modular space. But because there is this integer structure because we have an integer structure we can... In fact, the space of cycles is rigid. So, another way to say that is that if you want... to deform your curve you know how to follow the cycles for instance, the AIs it's just topological so when you do a small deformation of your curve the A cycle will remain the A cycle somehow. For those cycles, since you project to a chart you go from... you have one curve you project to a chart you deform your curve to a curve and so you know how to follow cycles so cycles basically are rigid they are not deformed cycles are rigid they don't get deformed and... So, the theorem so the theorem which is almost something totally obvious is that if you want to compute omega gn of some curve of deformed curve z1, zn by definition well, almost by definition this is the result of this means that I will write it as the Taylor series expansion so it's sum from m equals 0 to infinity t to the m over m factorial and integral over gamma of omega g n plus m of z1, zn and then all the other variables that we integrate over the cycles and the theorem is that the... it's absolutely convergent on a disk so t belongs to a certain disk of center 0 on some radius and the radius well, let me call it r gamma with r gamma positive it can sometimes well, I'm not sure but I think it can be infinity well ok, so but the idea is that it's always absolutely convergent in a certain domain basically it's all the flow is well defined until you pinch a cycle and if you start it with a curve that is smooth you pinch a cycle only after a certain time so but there is in general radius of convergence which means that you cannot go too far well in particular something happens when some ramifications points get I mean when the cycle meets ramifications points something happens but this happens only after a certain time ok so the idea is that you can compute so I'm defining all that because I want to go to the notion of integrable systems so basically I'm going to use all that to write here are the equations and things like that in integrable systems in terms of cycles so the general idea behind all that is that we want to define tau functions on the space of spectral curves and usually tau functions are defined as functions of times but times are only coordinates in that space and the idea is that the local coordinates are somehow the coordinates in the tangent space and I want to take the local coordinates as in fact coordinates in the space of cycles and in the space of cycles everything becomes extremely simple so basically all the complicated parts comes from the change of coordinates from the space of cycles through your usual coordinates exactly like in well I mean that's the general philosophy of integrable systems if you choose the good action angle coordinates the motion is linear at constant velocity indeed in the space of cycles it will be the case it's linear at constant velocity so first of all I'm going to define what I call the Hirata derivative let me call that 4 5 Hirata derivative there is one tangent vector which plays a particularly important role and I will give it a name so for every z belonging to sigma I define delta z will be a certain tangent vector and it will be the tangent vector with in those notation is b z1 and in fact if you see if you want to study how it behaves in function of z you realize that it transforms not really like a function but like a one form you see in this definition there is I'm using a child coordinate I'm using a child coordinate so basically so I remember I remind you that bz1 is a small cycle it's minus 1 over 2 pi i a small cycle around z weighted by a function by a meromorphic function the meromorphic function x of the variable minus x of z so it's a function of some variable which I don't name minus x of z and in fact you want to make it a one form so you multiply the reason by dx of z so it's a one form value tangent vector somehow it's a tangent product of one form and tangent vector and you can check that now this is independent of a choice of chart this does not depend anymore on a choice of chart and this is so an important theorem is that delta z of omega gn of z1 zn is just omega gn plus 1 of z1 zn z so it's just doing that and it's called so in the language of matrix models this was called the insertion operator because of that so that's how it was named in matrix models but it's just doing that another thing that's interesting it's when you go to local coordinates so in the tpk coordinates so choose z very close so in a neighborhood of p of your point p so the same way it was written above so the tpk are the coefficients of the Laurent expansion then delta z is the following operator let me get it right so I think so it will be ddta p of z sum from k equals probably 0 to infinity or 1 to infinity dta p of z to the minus k minus 1 d over dta p sorry dtpk in the terms that is symmetry in the z variables excuse me omega is symmetric in the z variables yes is it visible from the no no well somehow it means that omega gn was the sorry this theorem says that omega gn of z1 was delta z1 delta zn of omega g0 and they commute delta z commute no you have to do a computation it's not difficult but you have to so you can prove symmetry by showing the delta yes yes indeed ok but in fact you it's not very difficult but it's not trivial ok so what I just wanted to say is that writing plus analytic sorry I think this is k minus 1 let me check so yes no sorry k times ok so you see this is a Taylor expansion when z is close to p this is just a Taylor expansion so this operator is globally defined everywhere on the curve whereas this is just a Taylor expansion in a neighborhood of p but in the world literature of integrable systems this is how the herotide derivative is written everywhere in all books but somehow this is only the Taylor expansion in a neighborhood of p this is not globally well defined this one is globally well defined this one is only local way of writing things but so the idea is that this is the operator which is needed for defining integrable systems it's defined for every z on the curve on the curve no it's defined everywhere on the curve to define it we used a local coordinate but we show that it transforms well under transition functions so from one chart to another chart it transforms well as a one form so it's a one form which is well defined globally it's meromorphic globally so now I want to go to loop equations I will call that loop equations but in fact this is very similar to virazoro algebra equations or to w algebras so the idea is the following we have this operator delta z that is defined on the curve above and somehow we want to define an operator defined on the base so somehow we want to push it to the base so the idea is to somehow to push delta z to the base so assume so here we assume that x from sigma to sigma 0 is a finite degree covering so which means that so if you take sigma 0 and you have your curve sigma every point here has a finite number of pre-images so this is the map x so let's call that one z1 of x z2 of x and so on z r of x ok the idea is for instance the operator, define the operator sum over i equals 1 to r of delta z i of x this is an operator defined on the base let me call it omega sorry omega 1 of x this is an operator and it's one form valued ok basically the idea is we are going to define all the operators which come from symmetric combination of the deltas of the pre-images and I will call them the w algebra operators because they will need to do with w algebras and for instance w2 will be the first stress energy tensor and so yes ok ok x is also a point on the image ok I agree that there is a confusion of notation so let me put a small straight x here ok it's because this is a new subject which developed like that ok ok in fact the numbering the way you label the pre-images doesn't matter because we are going to take on symmetric combinations this can be written without choosing a labeling wk of x will be by definition i1 of product of delta z i1 of x sorry this is this operator it acts it's a product of derivatives yes it's a differential operator acting on the space of functions on the space of spectral curves it acts on functions on the space of spectral curves and so if you want it's a tensor product of tangent vectors and and yes and it's so remember delta z was a one form valued so this is a k form a k form so for instance omega2 is a quadratic differential I mean with respect to the variable x it's a quadratic differential on the base and it acts as a differential operator on functions of a spectral curve and indeed if you know in conformal field theory the stress energy turns out transforms more like a quadratic differential in fact like a projective connection but it's nearly the same thing as a quadratic differential so so this is the definition in fact so no I will define something a little bit more so it's also useful to take a summation of our k and let me define omega of w of x y is a summation from k equals 0 to r so let me define also omega0 of x equals 1 so the identity operator 0 form valued minus 1 to the k y to the r minus k wk of x and yes so somehow this is the product from i equals 1 to r of y minus delta zi of x and here y if you want this to be well defined y should be a 1 form so 1 should be in the cotangent sorry yes y should belong to the canonical bundle of sigma0 well no y should belong to the cotangent space of sigma0 over x for this to be this is a 1 form, you want this to be a 1 form but this is the usual language for teaching systems somehow ok but somehow this is just a generating function for all the wk's sorry yes up to r, the total number so you want something symmetric in all the pre-images so we shall say that a function obeys the loop equations if so I will state the theorem so if we define so I will say more like a definition then state the theorem afterwards so definition a function f from the space of spectral curves to complex numbers whatever that means if it's well defined is said to satisfy loop equations this name came from matrix models but it should probably be replaced by I don't know virazor constraints or w algebra constraints if so for every k on every x belong to sigma0 minus branch points no sorry I should not do it this way for every k wk of x apply to f so this is going so the result of that is a kth order differential form on sigma so for instance w1 is a one form w2 is a quadratic differential on sigma0 so this is a kth order form on the base sigma0 and you require that it's a kth order form on sigma0 and you want it to have with no poles at branch points sorry ok there is a second part and if you take this generating function f of xy apply to f divide so ok I should have chosen ok product from y minus omega01 of zi of x sorry start from 2 ok sorry sorry sorry x of z y apply to f so I choose a point z on my so I have my curve of my base I choose a point z here this is x of z and then I have other pre-images ok so I push it on the curve and pull it back and I get several other pre-images so if I take one of our product of product of z prime belongs to x x minus 1 of x of z but different from z of y minus omega01 of z so if I take that and compute that at y equals omega01 of z ok then you can check that so somehow you see there will be a product of so this is an half-order differential form this is an r minus 1 order differential form so the ratio is a one form ratio is a one form ratio is a one form of z on the curve but now it's a one form on sigma not on sigma0 and I want that it has no pole well it has no pole at all belongs to h1 of sigma no pole at all so neither poles at ramification points nor poles at the poles of omega01 or nowhere well this is not the full true statement but yes sorry a per street so it's a one form so this is a holomorphic one form omega01 but in my notation so far I wrote it h1 ok ok I'm sorry about that because it's the dual of h1 ok I'm sorry about the notations this was not my field of origin so I wrong notations maybe but so that's what I mean this is a holomorphic one form so it has no poles anywhere so not every function f do satisfy that in fact very few functions f do satisfy that excuse me well so I will give you one solution and in fact a family of solutions so that's that's one of the main theorems so the theorem so remember that I would like to define a certain function of s of a spectral curve that I call the partition function or not exactly for the moment the tau function I'm not going to write it I'm not going to call it the tau function you will see why in a moment but I would like to define some of fg of s where I remind you that fg is omega g0 it's the usual it's the standard notation from g equals 0 to infinity it will define but remember that we had the property that fg of lambda s was a lambda 2 minus 2g fg of s so and also since I have f0 I should start with there should be something special for f0 of s and so we it means we have to choose a Lagrangian let me write it this way times exponential sum from g larger than 1 of fg of s but since this is ill-defined I will use the scaling property to define it as a formal power series like that h bar to the 2g minus 2 and here I need an h bar to the minus 2 so this is the definition you see that it's really h2 yes it's h bar to the minus 2 it's the baker's function which you will start with h bar to the minus 1 h bar to the plus wkb it's yeah but this is the partition function this is not the wave function the wave function is closely related to that and it will start with an h bar to the minus 1 but this is this is an h bar to the minus 2 and so this is the definition and the CRM is that so this is a formal series of h bar I mean the log is a formal series of h bar so this is not defined really as a function but as a formal function but the CRM is that it satisfies loop equations so the map that to s associates z is solutions of loop equations in fact this is not the only solution this map if I shift my spectral curve by a certain cycle gamma and if gamma is the first kind cycle sorry h bar inverse and I do it this way but you see I can also put parenthesis here and put h bar gamma so this is in fact a small deformation of s so it's just a small deformation of s but it's a finite deformation of the sum h bar minus 1 to the s plus gamma ok but this is also a solution for every gamma belongs to h1 of sigma z sorry well I choose integer ok I can well the point is that I can choose a linear combination of integers but provided by the coefficient of a linear combination do not depend on the spectral curve I mean I want to choose true constants no here I definitely need h1 because I don't want to be able to generate poles so the h1 cycles so the true first kind cycles will never generate poles so it's important so but this just says that somehow there is not a unique candidate to be a solution of loop equations there is a full set of there are lots of functions that are solutions and you can take linear combinations of them and they are still solutions because the loop equations is linear in terms of f so any linear combination of solution is solution and the idea is that among this whole vector space of solutions there will be one solution that in addition will obey herot equations or there will be some solutions that will obey herot equations so there are plenty of solutions of loop equations but among them some of them will obey herot equations so it's also related to to what you see in conformal field theories so somehow the amplitudes are linear combinations of conformal blocks where you sum over something which is typically what people call intermediate charges or auxiliary parameters so basically this gamma will play the role of auxiliary charges of of the the true CFT amplitude is going to be a sum yes I said something I want gamma really to belong to H1 so gamma is made of true cycles not this type of cycles not this type of cycles because these ones would generate poles it's not really integers it's just that the thing that I say is that if I take so let me take gamma equals sum of ci gamma i gamma i is the basis of H1 of sigma z so integer cycles and ci belongs to c and are constant so you see ci belongs to z complexe numbers in fact complexe numbers but constant the idea is that I want you see since gamma well gamma is defined in a space that depends on the spectral curve but somehow I want to keep it fixed ok ok and what I should have said also is that you want to keep the Lagrangian constant also of course it will not work if the Lagrangian depends on your choice of spectro curves when you move in the space of spectro curves you move also your Lagrangian you will not satisfy those equations anymore so you want to keep the Lagrangian fixed so so you see this z is a good candidate for being something some interesting object we already know it satisfies loop equations and we would like it to be also a kind of tau function but it has some bad things first it depends on this Lagrangian and it's not it's not modular invariant if you change your Lagrangian z changes so just one remark if you re so sorry I want to go to CFT so what time is it ok I want just to make to say something yes I think it was 5 sets 5 7 so CFT the link to conformal field theory so VID just a notation so if you just say as a notation that your Z L let me call it S so somehow it includes the scaling by h bar minus 1 it does not really matter for what I'm going to say I'm just going to write it as something like that ok whatever that means it's just a notation and it depends well usually people write the dependence on sigma 0 you can also include the dependence on your Lagrangian L well basically it depends it's also a function of all the parameters that you have in the problem but this is just a notation to put the h bar to minus 1 on h bar to minus 1 so this is the notation that is usually used in conformal field theory to denote conformal blocks or amplitudes now let me act with some Z1 delta Z N of ZL ok this will just be a notation ok sorry I should have so again I will take Zi1 of X1 ZiN of XN so if you want I have my curve above my base curve and I choose several points here X1 XN ok for each of them I choose for instance Zi1 of X1 and ZiN of XN I choose a pre-image and I will call that Zi1 of X1 ZiN of XN this is just a notation but the idea is that this will be the same notation as SUGAWA occurrence so on the vector Zi of X equals Zi1 of X well ok sorry so we are going to make a vector but you see I leave some space J1 of X J2 of X and so on JR of X it's a certain vector and it's go so it means that the currents are going to be vectors in fact they are vectors so in fact instead of every vector I should better take the diagonal matrix with this and it's really an element of carton algebra so typically it will be a carton well so in my case it will be GLR so it just means a diagonal matrix so it's R excuse me for the moment it's just a notation for the left hand side so the right hand side is a notation for the left hand side it's going to be not exactly correlation function but a conformal block so I mean basically it contains only the holomorphic part not the entire holomorphic part but what I want to check is that it satisfies W algebra constraint so it satisfies word identities and OPs and it will so this is the CRM and R no N is the number of points that we insert but the indices are between 1 and R for each of these so basically what I'm saying that G for instance J1 of X is the first component of a certain vector J of X okay so I mean the fact that we have indices here that are in relationship to the pre-images is related to the fact that we have I mean basically if you take all of them you make a vector and you make a vector for each point so for each point you have a vector and you can also insert in the bracket the WKs that I defined before so if you take for instance imaging that you take WK of X on delta Z I1 of X1 on your acting on your Z this will just be the notation the vertex operator that depends on your spectral curve times your W algebra generator times your J I1 of X1 so this is just the notation basically everything I have on the left hand side I put it in the right hand side okay so this is a vector or this is an element of carton algebra so if you think of it it was made so basically WK was made by combining the delta Z by taking symmetric combination of delta Z for a given point on the base so basically it's taking combinations so basically polynomials of those things with different indices and symmetric combinations so in fact it's making the casimiers so in fact these are so we respect to the carton algebra I mean we respect to the the algebra that is here the WKs are in fact casimiers combinations of sugar water currents and the CRM is that those basically all those brackets satisfy everything that you want for conformal field theory so the satisfy word identities and OPE of a CFT not really an arbitrary CFT so the central charge is basically the rank of the the algebra so the central charge c equals in fact in that case it will be I think r or r minus 1 I think well ok no maybe r so basically this is the rank of the algebra well I don't want to enter the details but this is this is not an arbitrary central charge you just get very specific central charges so for instance with degree 2 cover in SL2 you get c equals 1 but so saying that it satisfies word identities is the same thing as loop equations and saying that it satisfies OPE just means that you have to study what happens when two points for instance x1 and x2 become very close how it behaves on we have the definition of z so z was defined that way you just compute and basically the only thing that can diverge at very close points is omega 02 and you compute how it behaves and gives exactly the OPEs of your CFT so basically this defines a CFT but this defines only normal blocks and it does not really so if you really want to compute amplitudes in a CFT you want to have something that is not only well you want some quantity that takes let's say real values and that has no monodromes everything here has monodromes it depends on part of the H bar it's not actual yes so it's a formal CFT in fact this is a heavy limit it is a CFT in the heavy limit so indeed when I say it satisfies OPE on wild identities that's at the level of formal series in H bar so it satisfies them at every order in H bar so now let me go to more integrable systems no ok let me state what I would like to be the here are the equations so here are the equations so the definition is that a function tau from the space of spectral curve to C in fact it will be we'll have to so it's said to satisfy here are the equations if well if and only if ok well usually in the literature the here are the equations are written in that way so you have tau is a function of time t1, t2 and so on t3 an interesting number of times these are going to be in fact my tpk in some way so you have an interesting number of times there is a notation so the t will be the vector t1, t2 and so on ok there is a notation when you have a point let me write it this way z equals here it will be so for me it will be a point on my curve and I will use the coordinate zeta of z in a chart to get a really complex number so my complex number will be zeta p of z zeta p of z to the square zeta p of z to the cube and so on so this is the vector whose components are just the powers of my coordinate ok, this is just a notation and let me say how usually here are the equations are written you take a tau function at some time you shift it by more or less an arbitrary vector u and you shift it by your z you multiply so it's a bilinear relation so you multiply by t minus u minus z ok and you are going to take residue at so z goes to your pole so remember those coordinates where local coordinates near p so this is well defined in a certain neighborhood of p and I take the residue there and in fact you should multiply by something which is I think exponential sum of 2 u k over k zeta p of z to the power minus k I think ok maybe I did it wrong so that's how usually ok let me call this t tilde because it's not exactly my t tilde so somehow my tau will include this factor in the definition ok ok if you take this well basically this residue should be more or less 0 up to some details but very basically you want to get 0 well the meaning of that equation is that you should first so you see if you just take the residue at z equals to p here you have an infinite series of things which have poles at z equals p so it's exponential of some function which diverges very badly so it doesn't make sense but if you take this as a power series expansion into u so what you should do to compute this is to do a Taylor expansion in power of u and for each coefficient now you have a residue of a rational fraction so then it makes sense and it gives relationship between the derivatives of tau and their non-linear differential equations and they are the hierarchy of differential equations typically kp hierarchy so that's how it's written usually the first remark is that instead of an arbitrary u you could take u of that type also so instead of an arbitrary u let me take a minus p and here a plus q and then if you compute this factor with both times what you get is just zeta p of z sorry let me call it p prime on q prime because it's not the same p on q p prime is not p zeta p of z minus zeta p of p prime times zeta q of z sorry zeta p of z minus zeta p of q prime but just the computation of the exponential because basically it was just the resumption of the log of expansion of log so if you are carefully get that now I will include these factors into the definition of my tau so then I will redefine tau to contain so basically this will be my whole tau so what I am going to write is that you get residue at z goes to p of tau of t minus p prime plus z times tau of t plus q prime minus z ok basically equals 0 again you have to take the Taylor expansion p prime on q prime going to p then compute residue order by order so it's exactly the same thing well le truc is that when I define tau t I will multiply by square root of d zeta p of z square root of d zeta p of p prime you see that this ratio sorry this is in the numerator so this is included in the definition of my tau and so this tau will be a spinor form a one-half form the square root of a one form so it's meaningful to take a residue the corresponding conserved quantity to the scale p higher no it's more complicated ok so so this is the here are the equations as it is usually written in the literature now imagine that this quantity can be really a function of z on the whole spectral curve and imagine that you would like to replace tau by this z remember that z was defined as a power series of things that have poles at the ramification points so basically it means that order by order in h bar all the terms of that quantity have poles as function of z they have poles at ramification points well they also have a pole at p at z equals p prime almost by definition when I include that pole but so the idea is that now if I want to compute the residue instead of integrating on a small circle or on p I'm going to move the integration contour and put it on the ramification points so in fact this residue if this quantity would be globally defined globally defined in one form on the curve then you could move the residue it would be an abelian differential you could move the residue to another place and basically to the other poles on the poles are ramification points so all the kp equations if this quantity makes sense as well defined for one form on the spectral curve all the kp equations can be written in that way and that's how I'm going to define it so if residue at a at every ramification point so at every ramification points residue at a of tau of s plus gamma p prime 1 in fact q prime to z tau of s plus gamma z to p prime equals 0 non function non function ok si tu prends z c'est pas non function parce que ça dépend de la path de homologie de q prime à z et ça ne dépend pas de la pointe de z et de q prime ça dépend de la path de homologie oui, pour chaque p prime donc j'aimerais maintenant constructer quelque chose qui est la solution et l'idée est que donc en fait on définit on définit la fonction de la bécuracule ce serait usually written this way ok, let me write it this way psi z prime z serait la fonction de s plus gamma z prime to z over tau of s ok, en fait, j'ai l'air d'aider d'aider la bécuracule non, ok, let me write it this way mais donc on veut définir la fonction de la bécuracule et en fait, ce qu'on va avoir besoin c'est que cette fonction de la bécuracule on veut vraiment être la fonction des deux points plutôt que la fonction de la droite ici est définie par la fonction qui dépend de la path de homologie nous avons deux points z et z prime mais nous avons une path et pour exemple, si nous prenons une autre path donc une route autour d'un hall vous n'aurez pas les mêmes résultats vous avez un différent côté donc est-ce qu'il y a un bon moyen d'être indépendant de la choice d'un contour de z prime à z prime et en même temps, nous voulons et c'est un moyen très facile記得 que dans la solution de l'équation de la route je pouvais ajouter un élément de h1 et en fait, l'élément de h1 est précisément la ambiguïté de la façon dont vous allez d'un point à l'autre donc nous allons prendre la summation sur tout donc je vais définir la fonction de tao et je vais finir soon donc maintenant je vais définir tao de h bar minus 1 times the spectral curve ce sera donc l'idée est que nous voulons summer sur un métier un lattice, pardon nous voulons summer sur un lattice donc pour le moment, je vais faire quelque chose qui est légèrement mauvais donc c'est tao ou z ? maintenant c'est tao si vous avez trouvé la solution de l'équation de la route c'est ce que vous voulez définir pour le moment pardon ce n'est pas vraiment une définition de psi c'est ce que vous vouliez définir mais je n'ai pas encore défini tao donc ce n'est pas encore défini si vous avez z ce n'est pas un fonction de z prime et z et aussi z a de mauvaises propriétés modulaires si vous changez votre lagrangère c'est une phase multipliée qui n'est pas bien contrôlée et l'idée c'est que nous devons avoir une définition c'est que nous voulons summer sur l'équation bon ok j'ai raison donc ce n'est pas la finie donc c'est pas grave donc nous voulons summer sur un lattice simplement z l de donc de h bar minus 1 s plus n記得 que ça contient une exponentie donc記得 ce n'est pas le point ce n'est pas le point c'est zl de h bar minus 1 de s fois la exposition de Taylor exposition de summe equals 0 à l'infinité h bar sorry summe sur g et m ok h bar de 2g minus 2 plus m par m factorial integral par euh sorry c'est plus n c'est juste la définition donc c'est juste de dire que c'est j'ai juste de dire ici que le changement par n est juste obtenu par la exposition de Taylor ok summe de m de plus en plus 1 et c'est bien de se séparer aussi les powers négatifs de h bar donc nous avons h bar minus 2 f 0 s l exposition f 1 de s je n'ai pas fait le définition ok c'est comme ça exposition de summe donc basiquement vous pouvez juste dire ici tous les tables non vous avez en termes stabilisées vous avez h bar donc c'est minus 2 sum over n of omega 0 1 and exponential one-half of sum over n, sum over n of omega 0 2 ok and then all the stable terms so these are only the four unstable terms times all the stable terms I mean stable means strictly positive powers available sorry it's a formal series in powers of h bar so the log is a formal series in powers of h bar so it's well defined as a formal series in h bar so now yes sorry you mean this sum yeah ok I'm coming to it you see in that sum basically we have a term that is quadratic in n the term that is linear in n in the exponential times something which contains positive powers of h bar so you can take the h bar expansion and basically to each order in h bar it will be a polynomial in n so what you get is that you get a sum of polynomials of n times exponential of n square and exponential linear in n so basically you get a theta function or derivatives of theta functions well the only thing is that you cannot really use the full h1 because imagine that in h1 you have kb hat and I remind you that each time you integrate over kb hat you get 0 so if you have kb hat in the sum basically if n belongs to kb hat this is the same you can forget it somehow so you don't want to sum over kb hat so let us assume here assume we have chosen omega02 such that basically kb hat is an integer Lagrangian so if you want in the z square so imagine that you are in genus 1 you have your a cycle, your b cycle any integer point so h1 of sigma z is the set of integer points so integer linear combinations of a and b and imagine that kb hat so the intersection of kb hat with h1 well it's a line this line could have a rational slope or non-rational slope so imagine that you have chosen one with rational slope basically you want kb hat to go through integers something like that and then we shall choose a complement so we shall choose L here such that we can choose h1 sorry, such that h1 of sigma z inter-kerby hat is as dimension the genus so it's half dimensional and we can choose a lattice, well lambda such that such that h1 of sigma z is the sum lambda plus plus this so basically imagine that kb hat is the a cycles imagine that a cycles is kb hat and then we choose another one we choose a network lambda that is complement of kb hat ok it's not always possible to do that but basically you are never far from the possibility to do that so up to a very small modification of omega-02 and we know how to take derivative respect to omega-02 with bcov like formula so up to that we can always be on rational and when you do that so basically you want to sum not over h1 but over lambda you want to sum over a sub lattice where you avoid the kb hat ok and if you define if you define theta of u so a one form u belongs to m1 of sigma this will be sum over n belongs to lambda so it will depend on your choice of lambda exponential integral over n of u exponential 1 of so this is going to be what's called the theta function and in fact let me also i pi nu into n so I introduce characteristics so basically here nu nu belongs to h1 of sigma z on lambda also sorry is a subspace no sorry this belongs to nu lambda is a subspace of h1 sigma z so it's just the notion of choosing a theta function with a characteristic so you see it's sum over an integer lattice with something exponential quadratic in n exponential something linear in n basically this is the theta function and so which means that your t is tau of h bar to the minus 1 to the s and it depends on nu lambda on l in fact it will not depend on l anymore or in a very simple way is z l of h bar times theta nu lambda of h bar minus 1 omega 01 times 1 plus h bar times something plus h bar square times something and so on and the something here contains derivatives of theta ok I see my time is over so but so there is a very simple formula so what you see is that the tau function is excuse me yes or in fact it will be derivative divided by theta so let me just write the formula quickly because it's very simple I write so if you take for the case derivative you take the same formula almost theta k of u is sum over n to your lattice exponential i pi nu intersection n, exponential integral nu and exponential one half times n tensor n tensor n k times so this belongs to somehow 1 of sigma to the case tensor product so it's a tensor product of cycles which means that you can integrate k form on it and if you want to write the first term here using this so let me just write the formula here so it's theta 1 is what I will call theta prime theta prime that you apply so theta prime is a cycle you can compute an integral of one form on it and the pairing the integration pairing let me write it this way omega 11 plus 1 over 6 and here you have theta 3rd so yes indeed so let's put 1 plus and then it's not logarithmic derivatives theta 3rd so it's a product of 3 cycles and you can integrate omega 03 on it plus 8 bar square and so on ok there is a nice way to encode all those terms in graphs and they are typically the degeneracy graphs of Riemann surfaces and in fact it's very close again to this formula to the BCOV formulation especially aganagic vafa way of writing things with graphs it's very close to that and a very nice a beautiful property so indeed if you put theta in factor 1 plus and so you divide by theta and you divide by theta the beautiful property is that this quantity is modular invariant yes it is modular invariant it is truly modular invariant and at the same time holomorphic but it depends on h bar in subtle way it's because you evaluate it at h bar to the omega there is no h bar dependence so it's somehow it's non perturbative but it's holomorphic and modular but non perturbative the idea also is that the theta function is a periodic function and somehow it's not large it's of order 1 and its derivatives are of order 1 so you see that what we have is an h bar expansion whose coefficients have a periodic dependence on h bar to minus 1 but this periodic dependence is bounded so this still makes sense as a power series the coefficients do depend on h bar but in a bounded way this is the end of my lectures but what I just want to say is that this tau function somehow satisfies herota equations if you compute the Baker-Ackyser function that corresponds to it then it did, it sees the WKB expansion of some some differential equation and and it starts with expansion h bar to minus 1 because you divide by tau so h bar to minus 2 termes is killed in the ratio and also you see that it contains a power series in h bar and also a power series in h bar whose coefficients contain periodic function of 1 over h bar so typically expansion of 1 over h bar times something times something so somehow it's, I believe that all these terms are somehow the resurgent trans-series part of the full answer so it would be interesting to check carefully the link to resurgents and trans-series and all that but what I believe is that these, those terms are all the non perturbative part of the series and they are necessary so if you don't put them you are not solution of herota equations you are not modular invariant and you need them to be modular invariant you need them to be solution of herota equations and you need them to have a quantum curve so you need them to have a kind of Schrodinger equation or something like that ok so thanks for attention