 C'est ce qu'on parle d'une patrinette et les titres disent que c'est un statut d'identité de la logique. Mais en fait, ce que nous essayons de faire avec ce travail, nous essayons de caractériser, de avoir des idées sur les structures de patrinette. Donc, c'est ce qui nous intéresse vraiment. Donc, première de la patrinette, c'est un très classique dévice en sciences d'computé. C'est un set de places. Ici, on a P0, P1 et P2. Oui, les places, qui sont ces choses. Et cette. Il y a des transitions. Ici, c'est P1, P2 et P3 et aussi TS. Et il y a des tokens sur les places. Et la description des tokens, le set de tokens sur les places forment un marquing. Chaque marquing de la patrinette est composée d'un numéro de tokens dans chaque place. Donc, de cette définition, nous pouvons faire quelques observations. D'abord, d'une marque initiale, un set de marquings peut être riche. Donc, c'est une sorte de structure générale. Il y a une behaviour infinie. Mais sur un point local de vue, c'est seulement un degré final. De chaque marque, il n'y a que de nombreuses transitions. Parce que c'est seulement de nombreuses transitions dans la patrinette. Donc, dans un sens, il y a des finissances dans la patrinette. C'est-à-dire que vous avez seulement de nombreuses structures locales. Donc, dans un sens, il peut être raisonnable de caractériser cette structure finie. Donc, en fait, ce que nous sommes intéressés est plus d'une marque riche. Donc, la marque riche de la patrinette est définie par la patrinette. Et la marque initiale. La marque initiale est vraiment partie de l'input. Et puis, de cette marque initiale, nous avons constaté la transition. Nous avons observé la transition. Donc, dans ce cas-ci, nous avons envisagé la patrinette à la cube. Mais ce n'est pas très important. Mais donc, sur M0, nous pouvons suivre la transition T2 à cet endroit, à cette marque. Et T1 à cette marque. Et en éternant le processus, nous avons obtenu une structure. Donc, en regardant cette structure, nous pouvons avoir l'impression qu'il y a quelque sorte de régularité dans cette structure, que peut-être nous pouvons caractériser cette structure, la forme des graines, les structures locales. Mais en fait, pour la patrinette, vous ne pourriez pas avoir des contenus négatifs dans les places. Donc, c'est une source de complexité dont il n'y a pas de valeur négative. Et donc, cela fait cet système intéressant en soi-même. Et cela a des très importants effets, que nous verrons plus tard. Une autre chose importante est que le marquement initial a vraiment un impact sur la forme des graines. Donc, c'est la sorte qu'on va essayer de parler plus tard. Donc, pour... Je l'avais dit avant qu'on utilise le premier ordot pour caractériser la structure de ces graines. En fait, cette langue est très classique. Nous avons la quantification, nous avons les connections, nous avons la connexion, nous avons un set de variables. Ici, les variables représentent les marquements. Et ce qui nous permettra de parler de la structure est cette relation, la langue logique qui nous permet de parler de la structure de la graine. Entre les choses, nous pouvons l'exprimer facilement. C'est seulement des exemples. Nous pouvons l'exprimer de la fréquence. C'est-à-dire que de toutes les marquements nous pourrions toujours suivre une transition. Nous pouvons aussi utiliser de la configuration. Si un marquement est atteint d'un autre marquement, vous pourrez atteindre l'un de l'autre. C'est une question classique. Ces deux questions sont décidibles pour les patrouillettes. Nous aimerions en général utiliser cette logique. Je vais donner des détails précis. Je présenterai des résultats de décidabilité. Puis, des résultats de décidabilité. Cette partie est un peu particulière parce que nous n'avons pas pu trouver un bon titre pour cela. Nous avons juste dit un nouveau approche. Vous le verrez plus tard. Juste des choses très basées. Un patrouillette peut avoir une définition formale comme celle-ci avec un set de places, un set de transitions. Il y a cette fonction F qui explique comment la transition est relativement relative aux places. Une chose importante est que dans un patrouillette, vous avez l'initial marquement. Ensuite, il y a ces deux résultats très importants. Peut-être que celui-ci est le plus célèbre sur le patrouillette. C'est le problème de décidabilité. Il y a deux marquements de la première sur le patrouillette. Ce problème est très fameux parce que c'est important dans le étudiant du patrouillette. Mais c'est aussi un problème très difficile. La solution était très compliquée. C'est l'initial solution du maire. Dans notre papier, nous avons utilisé une très grande utilisation de ces résultats qui a dit la décidabilité, un étudiant de deux marquements qui, selon les deux patrouillettes, n'est pas décidable de savoir si ces résultats sont exactement les mêmes marquements. Cette question n'est pas décidable. C'est très important, c'est central dans nos résultats. Dans l'initial solution qui a déjà présenté les langues logiques que nous allons utiliser, nous avons utilisé des structures que nous allons utiliser parce que, d'une certaine patrouillette, vous pouvez définir vraiment beaucoup de structures. Donc, ici, nous avons défini le premier, ce qui est un type d'universal graph. Donc, le domaine de ce graph est simplement le nombre de places dans le nez. Donc, pour tous les prédicats que nous pouvons utiliser, nous ne devons pas imaginer que ces prédicats soient computables de toute façon. Nous avons juste ce type de structure qui contient ces prédicats, mais ne peuvent pas être computables. Nous avons aussi observé que si vous restiez en train d'éliminer la prochaine transition de la prochaine étape pour une patrouillette, c'est une structure automatique, qui peut être définie par un automaton sincronaise. Et, bien sûr, les conséquences et les conséquences de cette structure pour ce cas, le premier ordre logique est décidé, donc c'est très important. Donc, pour cette structure, c'est le genre de choses qui travaillent. Le plus important ou peut-être le plus classique de la structure que l'on utilise dans la patrouillette, c'est ce genre de graphes réchables. Donc, c'est plus ou moins la même structure, mais ici, nous sommes seulement intéressés dans les marquins qui sont réchables de l'initiel. Donc, ces deux structures, dans cet ordre, afin d'achever plus de décidabilité et donc, ces deux structures permettent de classifier, d'essayer de distinguer des choses qui pourraient être décidables et des choses qui ne sont pas. Donc, c'est le même pour le logic. Dans l'ordre de classifier, nous allons essayer de régler nous-mêmes de plus d'expression. J'ai présenté la langue la plus générale que nous allons utiliser. Ici, nous pouvons utiliser plusieurs types de restrictions. Donc, nous avons toujours le langage d'une première ordre, mais nous pouvons constater un subset de critiques. Par exemple, seulement le next step ou l'initiel plus le next step ou seulement la relation éterite. Donc, c'est la variante de la première ordre, que nous allons utiliser. Donc, c'est plus ou moins modelé. Nous prenons un net et une formule, et nous essayons de vérifier si la nette a satisfait la formule, soit avec cette structure, donc, le graphage riche ou cette structure, le graphage universel. Donc, n'oubliez pas que cette structure est automatique. Donc, dans ce cas, ça peut être un problème plus facile. Dans l'ordre, nous allons toujours considérer une restriction classique de première ordre logique, qui est modélologique. Donc, cette langue est plus simple. Donc, ici, nous présentons seulement les basiques. Il y a cet opérateur box qui explique que dans le next step, tous les marquants vont satisfaire la formule ou dans le précédent step, tous les marquants vont satisfaire la formule. Et il y a un shortcut classique, le diamant, qui explique qu'il y a un next marking qui satisfait la formule. Donc, ça peut être expliqué, bien sûr, dans la première ordre logique, mais dans le mode logique, nous n'avons pas de quantification, donc, nous devons définir qu'il y a des problèmes différents. Donc, nous avons un problème de modélisation qui est en fait checking that the formula is satisfied by the reachable graph at the initial state, the initial marking and the validity problem which explains that every marking satisfies the formula. So, there are two very different problems. One is only checking that the formula is satisfied locally around the initial marking and the other one that is the formula is satisfied everywhere, but uniformly. So, these are the kind of logic, the problem we are looking at for a model logic. So, of course, this work is not the first one trying to achieve a decidability or, let's say, a decidability of logic for a patronage. In 98, Esparza did a very large survey essentially showing that most dialects of CTL are undecidable. Habermell, in 97, was able to prove that LTL model checking is in X-PACE for patronage. Very simply, Schultz did a very nice work not on patronage, but on grids. So, grids are graphs which are always identical with local structure which is commutative. And he was able that using first order logic with a reachability predicate for every direction, was decidable for any size or any order of grid. He was able to show that for two grids first order logic is still decidable if you have some kind of regular reachability predicate for any regular language. But it turns out that it is undecidable for K grids when K is larger or equal to 3. So, maybe it's not obvious the connection between this and patronage, but there is also the same kind of limitation of very special and limited patronage. So, these results are also very interesting and quite connected to what we are doing. So now, I'm sorry. So, in this slide I tried to provide a very condensed summary of the results we have achieved. So unfortunately, all these results are undecidable and actually the main result is this one. Okay? The undecidability of the first order logic of patronage with the reachable graph and only the next predicate. So, this is the main result. The other are not directly consequences they are more like variations but the arguments are more or less the same. As you may see here we are considering for this column arbitrary nets and for this one, we are considering nets with an effective sommelinare reachable set. As you may see, there are lots of white here so maybe some hopes for decidability but still we have these undecidability results and in particular this one was quite unexpected. So, in fact, I'm going to present you with a few more details this result and this one. So, all the other ones are really very, very similar. Okay, so this result is stated this way we may produce a formula phi in the first order logic with the next predicate with only two individual variables we all know that it's important to be able to reduce to the least number of variables possible and we prove that the model checking such a formula sorry, such a formula is undecidable. As a corollary, we may state that given a petri net it's impossible to have an algorithm that produces an automatic structure isomorphic to the reachable component of this net. Okay, so it's quite we would like to have a result like it's not automatic, such a structure it's not the case but at least we know that there is no algorithm enabling to convert the reachable part of a petri net into an automatic structure. So, it's a corollary. Okay, so how do we do? Well, simply we take two arbitrary nets and one and two and we construct a new net and prime formula file such that the reachable graph of n prime will satisfy the formula file if and only if both nets have the same reachability sets. Okay, and how we do that? Sorry. How do we do that? So here I presented the reachable graph. We have m0 prime which is the initial marking of n prime and then from m0 prime we may either follow this transition or this transition. The transition on the left leads us to a simulation of n1 and the transition on the right leads us to a simulation of n2. So, for the simulation of n1 on the one side and the simulation on n2 on the right side and then we end up in these two conditions. So, here we simulate them but remembering that we are simulating n1 on this side and at any time we may stop the computation. We may stop the simulation of n1 on the left side up in these two configurations and afterwards we have some final computation enabling us to transform a property of equality in reachability nets into a structural property. So, here we do this transition here which leads us there and this transition here that leads us there both if n1 and n2 sont simulés à la même position puis mL et mR sont identiques. Ok, ces deux configurations matchent si la simulation finira dans le même endroit. Ce qui signifie qu'ils sont dans le même endroit. C'est une seule partie de la marque. Et ensuite, nous avons ce extra-bit qui est seulement utilisé dans notre réduction afin de distinguer que nous avons deux ancêtres. Parce que si vous regardez notre problème ici, on n'utilise pas une équalité. On ne peut pas utiliser une équalité. Nous utilisons cette petite partie de la marque afin d'assurer que nous avons deux ancêtres et de vérifier que les m1 et les m2 sont distinctes. Ok, donc maintenant, nous avons la formule. Il semble qu'il y a un petit peu d'intricité pour le suivre. Ok, la première partie de la formule reste à chaque déluc. Si nous sommes dans un déluc, nous aurons quelque chose d'autre. La première partie est que nous avons un ancêtre satisfait en file. Il sera ce gars. Et ensuite, il dit qu'il a un ancêtre satisfait, non satisfait en file. Il sera celui-ci. Donc, comme vous pouvez l'imaginer en pointant, file est simplement essayant de détecter qu'il y ait quelque chose comme ça, un artefact avec un self-loop, qui est fait par cette petite formule. Cette formule a dit, j'ai un succès en Y, X est connecté à Y, qui est connecté à elle-même. Il doit être celui-ci. Donc, en utilisant cette formule, nous avons une formule que, si elle est satisfait, nous serons à la fin de la configuration comme celle-ci. Et de cette configuration, nous pouvons aller sur l'un de l'autre pour une configuration qui vient de l'autre, et sur l'autre de l'autre, pour une configuration qui vient de l'un de l'autre. Donc, nous avons acheté ce que nous voulons. Maintenant, nous avons une variation. Donc, pour celui-ci, ce n'est pas exactement ce que nous voulons. Donc, en ce cas, nous allons utiliser la première technologie avec la prochaine transition et la transition éternelle. Et nous allons assumer que la pétrinette a un état similinaire, c'est-à-dire que c'est un cas favorable. Un cas favorable. Et la construction est que nous voulons prendre un net N, un net ordinaire, pas avec un subset similinaire. C'est un net N et nous considérons une formule de fo avec la prochaine sur ce net N. Et nous allons émbêter le net N dans une grande nette qui est députée ici. Nous allons émbêter le net N dans cette nette. Et ensuite, nous allons utiliser cette prédication afin de relativiser la formule 5 limitée sur le net N subnet. Donc, comment ça fonctionne ? En fait, nous avons cette partie de la nette qui simile exactement le net N. Et nous avons cet état qui nous permet de contrôler le fait que nous sommes similaires à la nette. Et à un moment, nous pouvons bouger le token de là-bas et ensuite, nous émettons cette nette spéciale qui peut faire quelque chose. Donc, ça peut transformer les marquings qui sont ici. Ces placements sont séparés entre le N et le N. Ces placements sont séparés et la nette de Bronya va faire quelque chose. C'est-à-dire que, bien sûr, cette nette a un état similinaire de marquage riche parce qu'elle peut faire quelque chose dans cette partie d'utiliser cette technique d'utiliser ce qui s'occupe en N. Nous pouvons atteindre toutes les marquings. Mais ensuite, la construction de cet état ici sur le côté gauche nous permet de contrôler qu'en fait, en utilisant ça, nous pouvons avoir précisément la nette originale émettée dans cette structure. C'est-à-dire, par l'arrivée des marquings de cette configuration ici. Mais nous pouvons réciter nous-mêmes en N. Donc, je ne vais pas aller dans plus de détails parce qu'on est assez fatigué. Mais en utilisant cette formule, nous pouvons contrôler que nous sommes dans la subnet N. Et si nous pouvons décider ce problème, ce serait possible pour nous pour qu'on ait des résultats prévus. Donc, nous avons prouvé ce que nous voulons. Ok, la décidabilité. Ce sera plus rapidement. En fait, nous avons plus ou moins la continuation de la table précédente. Nous avons, dans le cas d'effectifs similaires, nous sommes seulement des résultats prévus. J'ai retiré les marquings donc, nous avons des résultats prévus. Pour l'habitude, nous avons encore des résultats prévus. En fait, il y a deux sources de décidabilité. En fait, le gris correspond à la finitur de certains sets. Donc, quand on a pour quelque raison un set finitur, nous avons des résultats prévus. Donc, par exemple, dans ce cas, nous avons la formule modale. C'est toujours autour de un subset finitur de l'analyse. Mais il y a des cas, par exemple, dans ce cas, quand nous avons la transition de base, nous avons seulement la décidabilité et nous avons ce petit symbole qui dit que c'est l'équivalent de la pétrinette qui est un problème. C'est-à-dire que ce petit problème ici est décidable, mais a un très high complexité. Donc, ce que nous pouvons montrer, c'est que cette complexité est unavoidable dans le sens que nous pouvons aussi, en utilisant une formule modale, pour résoudre la décidabilité de la pétrinette. Ok. Je pense que je vais le faire. C'est seulement la réduction. Donc, nous voulons résoudre... ce n'est pas le travail. Nous voulons résoudre une m2 de m1 en N. Nous avons utilisé ce petit device dans l'équivalent de la pétrinette qui sera déterminable, checkable en utilisant cette petite formule. Ok. L'initiel de la pétrinette a un successeur qui a un ancestor de la pétrinette. C'est un très simple, mais bon transformation. Ok. Donc, avant la conclusion, je vais présenter la dernière partie de l'initiel de la pétrinette. En fait, c'est un très différent approach. Je vais. Donc, c'est un très différent approach. Donc, pour la simplicité, je représente seulement une pétrinette. Donc, je l'ai embeddée en N². Et ce que nous sommes intéressés en cette partie est seulement le state réchable. Nous ne sommes pas en train d'appeler de la pétrinette. Nous sommes en train de modifier les marques actuelles. Alors, ici, avec la pétrinette, nous avons évoqué toutes les marquées réchables. Et puis, ce que nous faisons aussi, c'est que montamment, c'est bien que nous marquons la pétrinette, les marques réchables, les marques réchables, que nous ne sommes pas réchables. Et puis, en faisant ça, Et ce que nous allons essayer de faire est une sorte de très simple et très straight forward question. Dès un pattern et un net, est-ce que le pattern existe quelque part dans le net ? C'est une question très simple et en un sens très géométrique. On a une question qui veut voir où est la configuration. Et cette question se termine d'être décidable quand la pétrinette a un set semi-linear richability parce que le set de centres de patterns sont formés de sets semi-linear. Mais dans le cas général, même avec seulement deux constrains, nous pouvons montrer la décidabilité. Donc très précisément, nous avons écouté deux nets, N1 et N2. Et grâce à notre construction, ces nets vivent dans les lignes hyperlines. Donc N1 dans cette ligne, N2 dans cette ligne. Et nous seulement distinguons entre ces places qui disent que N1 est ici et N2 est ici. Ensuite, il y a cette transition qui projette N1 dans cette ligne hyperline. Et éventuellement, le pattern que nous essayons de matcher est celui-ci. C'est-à-dire qu'il y a un point ici qui n'est pas richible en retour à N1 et qui est richible en N2. Donc c'est une production très simple et géométrique. Et nous avons seulement un pattern de deux constrains. Et ça nous permet de montrer la décidabilité de ce pattern de match. Donc c'est assez surprenant. Donc, j'ai écouté. Ce qu'on voudrait faire est, bien sûr, essayer de solver les problèmes élevés. Nous aimerions aussi pouvoir décider pour un pattern homogénieux parce que c'est quelque sorte de cas généreux. Si il n'y en a qu'une, nous aimerions, pour exemple, trouver des marquants richibles. C'est juste un marquant richible. Ça pourrait être intéressant. En long terme, il y a une connexion entre ce qu'on... J'ai utilisé beaucoup de similéonarité. Donc le problème de similéonarité pour une patrinette est un problème très important. Et c'est décidable du résultat d'Hausschild et Lambert depuis 1990 et 1994. Mais ce problème de décidabilité est vraiment très intrigué. Donc il serait très intéressant d'avoir plus d'informations sur ça, d'être capable d'avoir plus de caractérisation géométrique de ce genre de choses. Mais c'est... C'est très long terme. Merci beaucoup pour votre attention.