 En 1927, le diplomate roumain Mathila Jika publie esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, dans lequel il introduit le nombre d'or comme marqueur universel de la beauté. Il s'appuie sur les travaux de philosophie allemande du XIXe siècle comme Gustave Fechner et son rectangle d'or, ou Adol Zagzing et sa section d'or. Eux-mêmes se sont appuyés sur les recherches du mathématicien de la Renaissance Luca Pascioli et de sa divine proportion, qui lui s'est fortement inspiré des travaux de Deuclide et de son partage en moyenne et extrême raison. Bref, l'histoire du nombre d'or est humultueuse et ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. J'ai ouvert cette chaîne YouTube il y a 8 ans et il y a ce sujet que j'ai à peine évoqué et qui semble chez certains au cœur des mathématiques, le nombre d'or. Pour ceux qui ne le connaissent pas, le nombre d'or c'est un nombre qui est partout et qui est ni plus ni moins que la clé pour appréhender la beauté du monde qui nous entoure. Pour comprendre de quoi il s'agit, prenons l'exemple incontournable, le par-tennon. Il s'agit du splendide temple grec qui surplombe l'acropole construit au 5e siècle avant notre ère. Sa beauté s'explique mathématiquement et c'est l'une des plus grandes découvertes de l'histoire de l'art. On peut en effet inscrire la façade du monument dans un rectangle mais pas n'importe lequel puisqu'il est 1,618 fois plus long que haut. On dit que ce rectangle est le rectangle d'or et que son format est de 1,618. Ce nombre, 1,618, c'est le fameux nombre d'or, la perfection faite nombre. On le note avec la lettre grecque « phi » initiale de Phidias, sculpteur de la monumentale statue d'Athéna qui se trouvait au par-tennon et dont il a dirigé les travaux. Des rectangles aux proportions d'or peuvent alors être retrouvés dans tous les classiques de la peinture. Par exemple, le visage de la joconde s'inscrit exactement dans ce rectangle. Le cadre de la naissance de Vénus de Botticelli est un rectangle d'or parfait et la grande vague de Kanagawa forme une spirale d'or, une spirale contenue dans des rectangles d'or imbréqués. On pourrait multiplier les exemples avec tous les plus beaux tableaux de l'histoire de la peinture et ça ne se limite pas à la peinture. On retrouve le nombre d'or en architecture avec le par-tennon ou la grande pyramide de Keops mais on peut aussi évoquer la cité radieuse à Marseille. On le retrouve en graphisme dans le logo d'Apple par exemple ou de façon encore plus évidente dans celui de national géographique. Bref, en art, le nombre d'or est partout. Pour comprendre ce lien entre le nombre d'or et la beauté, il y a un dessin incontournable réalisé par Léonard de Vinci, l'homme de Vitruv. Il illustre les proportions parfaites d'un corps humain et on y retrouve bien entendu 1,618 en divisant le côté du carré par le rayon du cercle. Cela permet de comprendre certaines prescriptions de beauté comme celles proposées par la mathématicienne Lily Serna qui permet de déterminer la longueur parfaite pour une jupe. Dans le même esprit, on peut aussi calculer le degré de perfection d'un visage en le comparant avec un masque parfait construit à partir du nombre d'or. Les plus hauts scores de perfection sont atteints par les plus belles top-models de la planète. Allez, deux petits derniers exemples pour la route qui permettent de comprendre en quoi la spirale d'or est indubitablement à l'origine de tout ce qui est parfait. Voici par exemple de parfait petit chat dont l'enroulement suit une spirale d'or ou bien cette coiffure en tout point parfaite. Euh non, attendez, ça c'est clairement n'importe quoi. Ou alors, c'est tous ces exemples depuis le début qui sont n'importe quoi. Est-ce que tout ça c'est bien sérieux ? Reprenons, j'ai été beaucoup trop affirmatif dans cette introduction. La façade du parter nom rentrerait parfaitement dans un rectangle d'or. Oui, à condition de prendre dans le cadre quelques marches, ce n'est pas aussi parfait qu'on aimerait le croire. La superposition des spirales est plutôt approximative. L'exemple de l'homme des vitruves est lui plutôt fallacieux puisque quand on divise le côté du carré par le rayon du cercle, on est plus proche de 1,64 que de 1,618. Cette différence n'est pas négligeable. Ensuite, si je cherche des rectangles d'un format précis dans une peinture, pour peu que ce que j'étudie ait un minimum de complexité, je vais finir par le trouver. On peut trouver des rectangles d'or dans le visage de Mona Lisa, mais je peux aussi, sans difficulté, trouver des rectangles du format d'une feuille à 4. Enfin, il y a d'énormes billets de sélection. La naissance de Vénus a un cadre proche des dimensions du nombre d'or, certes, mais c'est plutôt rare dans l'œuvre de Botticelli. On a donc volontairement occulté le reste de son œuvre pour valider notre thèse. Même chose avec la grande pyramide de Keops. Les ratios dans cette pyramide qui sont proches du nombre d'or ne le sont pas du tout sur les autres pyramides. Malgré tout, tout n'est pas complètement faux non plus. Le logo de national géographique, par exemple, il suffit de le mesurer pour constater que c'est bien un rectangle d'or quasi parfait à 0,5% près. Il ne m'a pas fallu faire beaucoup de recherches pour trouver tous ces exemples d'œuvres d'art parfaites parce que liés au nombre d'or. Je me suis contenté de lire le premier livre venu et de regarder quelques vidéos sur le sujet. Les exemples que l'on y retrouve sont toujours un peu les mêmes. Léonard de Vinci, l'esculpteur grec, le corbusier, etc. Et pour comprendre pourquoi ce sont toujours un peu les mêmes exemples d'artistes qui reviennent, il me semble judicieux de retracer l'histoire du nombre d'or. La dénomination Nombre d'or apparaît pour la première fois en 1927 dans le livre L'esthétique des proportions du diplomat roumain Mathila Jica. Dans cet ouvrage, ainsi que dans le suivant le nombre d'or préfacé par l'académicien Paul Valérie, Jica va définir le nombre d'or comme étant le nombre 1 plus racine carré de 5 sur 2, soit 1,618,033,988 avec une infinité de décimates derrière. Quand j'ai dit en début de vidéo que le nombre d'or était égal à 1,618, j'ai fait une horrible approximation, j'espère que vous me le pardonnerait. Jica détaille dans son livre des propriétés mathématiques du nombre d'or, en le présentant comme un nombre au moins aussi important que Pi ou Eu, mais il s'attarde surtout sur ses propriétés esthétiques. Selon Jica, le nombre d'or est une constante mathématique associée à la vie et qui gouverne l'art sous toutes ses formes. Ce n'est pas une thèse qu'il sort de nulle part. Il s'appuie en effet sur les travaux de nombreux scientifiques avant lui. Les mathématiciens et philosophes antiques comme Pythagore, Platon ou Euclid, sur des savants de la Renaissance, notamment Léonard de Vinci et sur les scientifiques allemands du 19e siècle comme Fechner et Zeising. Tous ont en effet travaillé autour du nombre d'or, bien avant qu'il ne porte ce nom. On peut alors se demander pourquoi autant de scientifiques à travers les siècles se sont intéressés à ce nombre 1 plus racine carré de 5 sur 2. Qu'est-ce qu'il a de si attrayant ? A vrai dire, il a fallu plusieurs millénaires avant que le nombre d'or soit considéré comme un nombre à part entière. Ce qui a intéressé les mathématiciens, c'est plutôt la proportion d'or, et sa plus ancienne trace écrite remonte au début du 3e siècle avant notre ère. On est donc deux siècles après Pythagore et Euclid d'Alexandrie rédige la première version de l'un des plus grands bestsellers de l'humanité juste après la Bible, les éléments. Il s'agit d'un traité de mathématiques en 13 volumes qui expose l'ensemble des connaissances de l'époque en géométrie, l'étude des figures et en arithmétique, l'étude des nombres. La forme est particulièrement moderne puisque chaque résultat est associé à sa démonstration. C'est le plus ancien ouvrage de mathématiques présenté de la sorte qui a pu traverser les siècles. Chacun des livres traite de sujets différents. Par exemple, le livre 1 parle des bases de la géométrie. On y retrouve par exemple la propriété des angles d'un triangle d'avoir leur somme égal à 180 degrés. Le livre 2, lui, traite des identités remarquables et des équations du second degré. Présenté de façon géométrique, l'algèbre ne sera inventé que bien des siècles plus tard. Le livre 3 parle des propriétés des cercles et ainsi de suite. Dans la 11ème proposition du livre 2, Euclide présente alors une construction qui semble aussi curieuse qu'inutile. Il propose de partager le côté d'un carré en deux segments, de telle sorte que l'air du rectangle construit à l'intérieur du carré sur le petit segment soit égal à l'air du carré construit sur l'autre segment. Il montre ensuite une construction géométrique qui permet de réaliser ce partage et donne la démonstration de sa validité. Ce partage porte alors le nom de partage en moyenne et extrême raison. On peut alors se demander pourquoi Euclide a jugé pertinent d'introduire cette notion dès le livre 2. Ce qu'il faut comprendre, c'est que cette construction ne doit être considérée que comme un outil nécessaire à des constructions géométriques plus élaborées. Ainsi, dans le livre 4, le partage en moyenne et extrême raison intervient dans la construction d'un triangle isocèle dont les angles de la bas sont deux fois plus grands que le dernier angle. Ce triangle isocèle, lui, va intervenir à son tour dans la construction du pentagone régulier, le polygon à 5 côtés égaux et 5 angles. Au passage, on peut remarquer que les diagonales d'un pentagone régulier se coupent les unes les autres en moyenne et extrême raison. Construire des pentagones réguliers, c'est au coeur de l'ultime livre des éléments, le 13ème, celui qui traite de la construction des solides de platons. Un solide de platons, c'est un solide le plus régulier possible. Toutes les faces sont identiques et sont des polygones réguliers. Avec 6 exemplaires d'un carré, on pourra construire un cube avec respectivement 4, 8 et 20 exemplaires d'un triangle éculatéral. Il est possible de former un tétraède régulier, un octaède régulier ou un nicosaède régulier. Enfin, avec 12 pentagones, on obtient le dernier des 5 solides de platons, le dodecaède régulier. Bref, sans partage en moyenne et extrême raison, il est impossible de construire de pentagones réguliers et donc impossible de construire tous les solides de platons. Et pour un mathématicien de l'Antiquité grecque, c'est loin d'être anodin. Les solides de platons font partie des objets mathématiques les plus importants de la géométrie grecque. Dans les pensées de platons, l'univers physique est en effet écrit en langage mathématique et ces solides sont liés aux quatre éléments. Le feu au tétraède, la terre au cube, l'eau à l'octaède et l'air à l'icosaède. Enfin, le dernier solide, le dodecaède, représente l'univers. Euclide donne au début du livre 6 une autre définition du partage en moyenne et extrême raison. Une ligne est dite « couper en moyenne et extrême raison » lorsque la droite entière est au plus grand segment, comme le plus grand segment est au plus petit. En notation plus moderne, on peut voir cette définition sous la forme de deux rapports dans un segment qui doivent être égaux. On peut aussi voir ce problème de Clide sous la forme d'un problème géométrique équivalent. Considérons un rectangle. Quel doit être le format de ce rectangle pour que si on lui retire un carré, le rectangle restant possède le même format que le rectangle initial. Ce rectangle que l'on recherche, c'est le rectangle d'or et on pourra vérifier que le carré partage le rectangle en moyenne et extrême raison. Ce rectangle gagne ses proportions identiques lorsqu'on lui retire un carré. On peut donc à nouveau retirer un carré au petit rectangle, ce qui nous donne un nouveau rectangle aux proportions toujours identiques. En poursuivant de la sorte, on peut construire une infinité de rectangles d'or emboîtés et c'est en traçant un quart de cercle dans chacun des carrés retirés que l'on obtient une spirale, la fameuse spirale d'or. Plus précisément, ce que l'on appelle le format d'un rectangle c'est le rapport entre sa longueur et sa largeur. Si j'appelle ABCD, le grand rectangle, et EBCF, le petit rectangle, alors il faut que le format de ABCD, c'est-à-dire AB sur AD, soit égal au format de EBCF soit EF sur AB. Puisque AD est égal à EF et que AB est égal à AB moins AD, on a donc l'égalité AB sur AD égal AD sur AB moins AD. En notant x, le format du grand rectangle, je vous laisse vérifier que l'on obtient l'équation x carré moins x moins 1, égal 0. Il s'agit d'une équation du second degré qui possède alors deux solutions réelles que l'on peut calculer avec la bonne vieille méthode du discriminant. Et une seule des solutions est positive, x égal 1 plus racine carré de 5 sur 2. Le rectangle ABCD a donc pour format le nombre d'or et le point E coupe alors le segment AB en moyenne et extrême raison. Le calcul que je viens de vous proposer est cependant complètement anachronique, puisque la construction de Clid n'utilise en réalité que des raisonnements géométriques et qui n'est pas question de mélanger cela avec des nombres. Bon, quitte à état d'achronique, parlons rapidement des propriétés mathématiques du nombre d'or. Déjà, puisque ce nombre est la solution de l'équation x carré moins x moins 1, égal 0, il est ce que l'on appelle un nombre algébrique, c'est-à-dire un nombre qui est la solution d'une équation polynomial. Les nombres qui s'écrivent avec des racines sont en général algébriques, comme racine carré de 2 ou racine cubic de 2. Mais il existe des nombres qui ne le sont pas comme E ou Pi. Ces nombres sont appelés des nombres transcendants. Et c'est d'ailleurs cette propriété de Pi qui rend impossible le célèbre problème de la quadrature du cercle. Mais il y a une propriété encore plus importante, c'est que le nombre d'or est un nombre irrationnel. On dit qu'un nombre est rationnel quand il peut être écrit sous la forme d'une fraction de deux entiers, comme 3,4, 5,8 ou 8,157 sur 289. Au contraire, quand il est impossible d'exprimer un nombre sous la forme d'une fraction de deux entiers, on dira que ce nombre est irrationnel. On peut démontrer que le nombre d'or ne pourra jamais s'exprimer de façon exacte comme un quotient de deux nombres entiers. C'est donc un nombre irrationnel. L'entier peut sembler un peu anecdotique en 2023. Mais pour un contemporain de Pythagore, c'est tout autre chose. Remontons donc au sixième siècle avant notre ère. Pythagore, ce n'est pas qu'un théorème utile à l'étude de l'orthogonalité des dames de Pogba. C'est surtout une figure incontournable des mathématiques de l'Antiquité. On ne connaît pas grand chose de sa vie, mais on connaît malgré tout les préceptes de sa communauté. Végétarisme, exercice spirituel et bien entendu pratique des mathématiques. Chez les Pythagoriciens, les nombres sont centraux. Mais, pas n'importe quel nombre, c'est un entier positif. Pas de nombre à virgule, il faudra attendre le 16e siècle pour ça. Pas de nombre négatif, qui ne seront pas acceptés comme étant des nombres avant le 19e siècle. Pas de zéro non plus, qui sera popularisé par les mathématiciens arabes du 10e siècle. Et le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre à part entière, c'est simplement l'unité. Les fractions sont malgré tout considérées pour ce qu'elles représentent. Des rapports entre deux nombres entiers, mais elles ne sont pas encore vues comme des nombres. Pour un mathématicien grec, un nombre c'est donc uniquement un nombre entier, les nombres peuvent se représenter de manière figurée, d'où la notion de nombre carré comme 1, 4, 9 ou 16, ou de nombre triangulaire comme 1, 3, 6 ou 10. Ces représentations permettent de faire des démonstrations. Comme par exemple, le fait que les sommes de nombre à paire consécutifs à partir de 1 sont toujours un nombre carré. Autre exemple, si on retire une unité du carré d'un nombre à paire, alors le résultat sera toujours divisible par 8. Une notion très importante en arithmétique est celle du PGCD, plus grand diviseur commun. Comment montrer que deux grandeurs données sont toutes les deux un multiplu entier d'une même autre grandeur. Une méthode qui fonctionne bien est celle des sous-stractions successives, qui portent aussi le doux-non d'antiférés. On part de deux quantités dont on cherche le diviseur commun et on remplace la plus grande des deux par la différence entre les deux. On obtient alors deux nouvelles quantités et on répète le processus jusqu'à ce que les quantités soient égales. On obtiendra alors le PGCD. Si j'applique ça par exemple sur les nombres 91 et 35, je commence par remplacer 91 par la différence de 91 et 35. On a donc maintenant 56 et 35. On recommence, on obtient alors 21 et 35. En poursuivant on aura 21 et 14 puis 7 et 14 et enfin 7 et 7. Le PGCD de 91 et 35 c'est donc 7, le plus grand de leur diviseur commun. On peut se convaincre aisément que la méthode des sous-stractions successives fera apparaître des nombres entiers de plus en plus petits, mais toujours positifs. Ce qui implique qu'il y aura nécessairement qu'un nombre fini d'étape. On dira alors que les deux grandeurs sont commensurables. Mais ça c'est pas toujours le cas et c'est quelque chose qui aura révolutionné la pensée mathématique grecque. Qu'est-ce qui se passe en effet si on applique l'antiphérèse à des grandeurs géométriques ? Prenons pour cela une des figures géométriques les plus simples, le carré, appelons-le ABCD. On va chercher le PGCD géométrique du côté AB et de sa diagonale AC. Quelle serait leur mesure commune ? Commençons par chercher la différence entre AB et AC. Avec un arcle de cercle centré en A, on peut reporter le point B sur la diagonale AC. On obtient alors le point E. Le PGCD de AB et AC est donc le même que celui de AB et de leurs différences qui est EC. Il faut donc à présent calculer la différence entre AB et EC. Pour cela, un petit raisonnement géométrique s'impose. On commence par tracer en E, la perpendiculaire à AC. Cette droite coupe le côté BC en F. Dans le triangle EFC, l'angle E est un angle droit par construction et l'angle C mesure 45°. Le dernier angle F mesure donc aussi 45° si bien que EFC est un triangle isocèle. Ce qui implique donc que la longueur EC est égale à la longueur EF. On peut dans un second temps observer les triangles AFE et AFB. Ces deux triangles ont le côté AF en commun, ont leur côté AE et AB égaux et sont tous les deux des triangles rectangles. Ils sont donc égaux si bien que la longueur EF est égale à la longueur FB. On a donc finalement EC égal BF. La différence entre AB et EC que l'on cherche, c'est donc aussi la différence entre BC et BF. C'est FC. Le PGCD de AB et EC, c'est donc le PGCD de FC et EC. Sauf que FC et EC ce n'est rien d'autre que la diagonale et le côté d'un carré. Le carré CEFG. Autrement dit, la mesure commune entre la diagonale et le côté d'un carré, c'est aussi la mesure commune d'une diagonale et du côté d'un carré plus petit, qui lui-même est la mesure d'une diagonale et du côté d'un carré plus petit et ainsi de suite. Ce processus pourrait donc être poursuivi à l'infini, les deux longueurs n'ont donc aucune mesure commune. Elles ne peuvent donc pas être toutes les deux des nombres entiers, car si c'était le cas, le processus nous aurait donné leur PGCD en un nombre fini d'état. On dit alors que le côté d'un carré et sa diagonale sont incommensurables. Quand on est un pitagoricien et qu'on voit le monde mathématiquement uniquement à travers le prispe des nombres entiers ou de leur rapport, cette révélation a de quoi choquer. Selon la légende, le premier mathématicien qui avait fait cette découverte aurait été jeté à la mer, car une telle anonymie se devait de rester cachée. Aujourd'hui, on ne parle plus vraiment de grandeur incommensurable, mais de nombre irrationnel. Le nombre racine carré de deux, qui est le rapport entre la diagonale de n'importe quel carré et de son côté, en est un exemple. Il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers. C'est aussi le cas du nombre d'or 1 plus racine carré de 5 sur 2. Et de manière générale, des nombres qui s'écrivent comme la racine carré d'un nombre qui n'est pas un carré. Chez les savants grecs de l'Antiquité, ces irrationnels n'existent pas en tant que nombre, mais ils sont malgré tout très bien d'identifier dans des constructions géométriques, comme dans la diagonale d'un carré par exemple, mais aussi dans la hauteur d'un triangle écoulatéral ou dans les diagonales des pentagones. Mais ce sont simplement des propriétés des figures géométriques. Ils ne viendraient donc pas à l'idée d'un savant grec d'utiliser volontairement des rapports incommensurables dans l'élaboration d'une œuvre. Le tutoriel esthétique grec ne s'appuie en fait pas du tout sur le nombre d'or. Pour comprendre ça, il faut revenir à l'homme de Vitruv. Ce que devinci dessine, ce sont les proportions idéales d'un corps humain au sens de Vitruv, un architecte grec du 1er siècle. En effet, dans l'architecture grec et c'est ce que Vitruv explique dans son traité des architecturains, les proportions des bâtiments doivent obéir à des règles mathématiques qui s'appuient sans les nombres entiers et leurs rapports. Je vous renvoie à la vidéo d'Architectone qui explore plus précisément le sujet. Pour le corps humain, on est dans les mêmes considérations géométriques. Un homme debout, les bras écartés, peut s'inscrire dans un carré tandis que les membres étendus, il pourra s'inscrire dans un cercle centré sur le nom bril. La hauteur d'une tête, du sommet du crâne jusqu'au bas du menton, c'est un huitième de la hauteur d'un homme. Et la distance entre le haut de la poitrine et le sommet de la tête, c'est un sixième de la hauteur. Autrement dit, selon les canons esthétiques grecs, les proportions idéales d'un corps humain sont des rapports rationnels entre des nombres entiers. Le nombre d'or étant une grandeur par nature irrationnelle, c'est forcément un contre-sens de l'appliquer à des créations grecques comme le parthénom ou d'inspiration grecque comme l'homme de Vitruve. Et puisqu'on parle de l'homme de Vitruve, il faut évoquer le cas Léonard de Vinci, dont le nom revient très souvent, quand on évoque les oeuvres dans lequel le nombre d'or est censé apparaître, de la scène jusqu'à la joconde. De Vinci étant la figure du génie authentique, tous les sujets auxquels il s'est intéressé se doivent d'importance majeure. Il n'a pourtant jamais écrit de sa main quoi que ce soit un lien avec le nombre d'or. Malgré tout, il a participé à la conception d'un livre mettant sur le demand de la scène ce qui deviendra le nombre d'or, des divinats proportionnés de Luca Pazzioli publié en 1509. Pazzioli, c'est un professeur de mathématiques mais surtout un moine franciscain contemporain de Vinci. Au début du XVe siècle, il s'intéresse aux éléments de Clid et ses merveilles du partage en extrême et moyenne raison qui permet la construction de pentagones ou d'eau d'écaèbre. Une telle perfection ne peut être selon lui que l'œuvre de Dieu qui le robotise alors, divine proportion. Le livre de Pazzioli reste avant tout un ouvrage de mathématiques dans lequel il démontre, dans la pure tradition de Clid, les liens entre sa divine proportion et les polièdes rechères à platon. L'ouvrage ne prête donc en aucun cas des propriétés esthétiques à cette proportion divine. Les seules apports de Vinci aux écrits de Pazzioli se résument en fait à une série de dessins de géométrie représentant une grande variété de volume. Lors de la publication de son livre en 1509, Pazzioli y ajoute plusieurs appendices, notamment un trait d'architecture inspiré de Vitruv mais sans rapport direct avec la première partie. Les théories esthétiques qui sont développées qui concernent l'architecture et le corps humain sont inspirées directement de celles des grecs et s'appuient donc sur les rapports de nombreux entiers. Aucun lien avec la proportion divine. Il n'y a donc à priori aucune bonne raison à ce que les artistes de la Renaissance aient volontairement utilisé cette proportion d'or dans leurs œuvres. Il ne s'agit à ce moment de l'histoire que d'une notion mathématique. Le souci c'est qu'avec le temps l'implication de Vinci dans le livre ainsi que l'indépendance entre les différentes parties vont devenir flous, donnant naissance à partir du 18ème siècle au mythe d'un lien entre proportion divine et canon esthétique. Au cours des siècles qui vont suivre, de nombreux scientifiques comme Johann Kepler ou Michel Schaal vont s'intéresser de près à cette proportion divine. Mais c'est chez les psychologalement du 19ème que cette notion de proportion divine va prendre une autre direction. Dans les années 1850 en Allemagne on cherche une réponse scientifique à la question, qu'est-ce que le beau ? De nombreux auteurs vont proposer leur réponse si possible mathématique. On a par exemple le médecin Franz Liarzik qui propose une théorie esthétique qui s'appuie sur un carré magique de côté 7, ou le moine bénédictin Odilo Wolf qui trouve dans l'exagramme une loi unique et fondamentale de la perfection. Mais la théorie qui restera c'est celle du philosophe Adolf Zeising la théorie de la section d'or. En 1854 il publie « Nouvelles leçons sont les proportions du corps humain » et il y propose une loi universelle qui gouvernerait la beauté. Son hypothèse c'est que l'harmonie réside essentiellement dans les proportions. Lorsqu'un segment est découpé en deux, le rapport entre les deux morceaux n'est a priori pas égal au rapport entre le plus grand morceau et le tout. Sauf dans le cas d'un découpage selon la divine proportion. Ce qui fait de ce découpage une parfaite harmonie de proportion. Sous la plume de Zeising, la divine proportion prend alors le nom de section divine et est considérée alors aussi bien comme une proportion que comme un nombre à part entière 1 plus racine carré de 5 sur 2. Zeising s'empresse alors de vérifier que sa section dorée est le maître et talon de l'harmonie dans l'art et dans la nature. Il montre par exemple que le squelette humain suit parfaitement les mesures de sa section dorée qui t'attordent un peu les proportions humaines pour que son exemple soit plus recevable. Il retrouve aussi sa section dans les minéraux, les plantes ou l'architecture. Zeising se voit opposer certaines critiques en particulier par Gustave Fechner qui trouve sa loi un peu trop arbitraire. Il se propose alors en 1876 de mettre tout le monde d'accord avec une expérience scientifique. Il présente à 250 volontaires plusieurs rectangles de cartons blancs de même surface mais de formats différents allant d'un carré de format 1 jusqu'à un rectangle allongé de format 5,5. Les volontaires doivent alors choisir celui qui juge le plus agréable et rejeter celui qui juge le moins agréable en dehors de toute application pratique. Les participants peuvent éventuellement choisir plusieurs rectangles. Il ressort alors de cette expérience qu'un peu plus d'un tiers des participants ont préféré les rectangles de format 34 sur 21 qui s'approchent le plus d'un rectangle d'or. Les deux rectangles de format les plus proches de format 3,5 et celui de format 23 sont aussi plébiscités. Les autres rectangles, eux, ont eu bien moins de succès. Réciproquement, quand il s'agit de rejeter des rectangles, aucun participant n'a désigné le rectangle d'or. C'est plutôt le rectangle trop long qui a été écarté. Une première étude qui va finalement dans le sens de Zizing, bien que la conclusion ne soit pas complètement franche. Fechner ne s'arrête pas là et réalise une seconde expérience en présentant cette fois-ci à ses volontaires différentes croix issus du commerce proportion. Cette fois-ci, c'est la croix de Saint-André de rapport 1-1 qui est préféré, ce qui va à l'encontre des résultats de l'expérience précédente. Depuis Fechner, de nombreux psychologues ont étudié la question. En 1995, le psychologue canadien Christopher Green a d'ailleurs compilé une quarantaine d'études de 1874 jusqu'à 1992 et les différents résultats sont loin d'être unanimes. Bien qu'il tourne pour la plupart autour d'une préférence pour le rapport 1,6, celle-ci n'est jamais très marquée et jamais précisément sur le rapport d'or. J'ai moi-même tenté de reproduire cette expérience en 2017 sur Twitter. Sur un échantillon de 772 personnes à qui j'ai demandé de noter des rectangles de 0 à 5, le rectangle d'or à l'orientation paysage a reçu la meilleure note moyenne suivie de près par le rectangle de format 16-9 et le rectangle de format Rassine-Carré de 2. Bref, il semble se dégager une légère préférence des gens pour les rectangles au format proche du rectangle d'or mais rien qui ne justifie d'en faire une règle déterminante. Ainsi, avec les travaux de Zezim et Fechner, la section d'or a pris une assise scientifique et les idées ont commencé à se diffuser dans les milieux artistiques de la fin du XIXe siècle. C'est à partir de ce moment que rencontrer des rapports proches du nombre d'or au détour d'une peinture ne sera plus forcément une coïncidence. Les peintres pointillistes du mouvement néo-impressionniste comme Georges Sera, Paul Signac ou Camille Pissarro sont parfois associés au nombre d'or. Leur travail sur les couleurs et la lumière se voulant guider par la science. Ces artistes ont en effet été plutôt proches du critique d'art Charles Henry, grand défenseur géométrique à l'art, dont entre autres celle de la section dorée. Comment juger alors si le fait de retrouver le nombre d'or dans une peinture est un choix de l'artiste ou bien une coïncidence ? Prenons par exemple le parade de Cirque de Georges Sera. Sa composition est clairement géométrique avec des lignes horizontales et verticales très marquées. On peut voir par exemple que le personnage central est situé très exactement sur la verticale centrale. Quand on observe le trois musiciens de gauche on peut voir que le troisième est situé sur une verticale qui coupe le cadre selon la section dorée. Ou alors, autre hypothèse il est placé sur la ligne des trois huitième les deux autres étant placés à un huitième et deux huitième. Cette deuxième hypothèse semble un peu plus plausible. L'artiste a probablement découpé son cadre en deux puis en deux puis encore en deux d'où les découpages selon des huitième. Et le problème des fractions 3 huitième et 5 huitième c'est qu'elle ressemble quand même énormément à un partage selon le nombre d'or. L'apparente omniprésence de la section dorre dans les peintures peut donc s'expliquer assez simplement par la tendance des artistes qui ont étudié des partages simples en moitié quart et huitième et ceux bien avant les théories esthétiques de Zezing. La section dorre commence à vraiment avoir de l'écho chez certains artistes au début du 20e siècle, en particulier dans le mouvement puriste, incarné par Amédée aux enfants et ses natures mortes, ou Le Corbusier et ses cités radieuses. Leur credo c'est que la création artistique doit se rapprocher de l'esprit scientifique. Grâce à l'approche expérimentale de Fechner, la section dorre devient l'une des premières noix esthétiques A la fin de sa vie, Aux enfants reviendra dans ses mémoires sur ses années puristes. Ils reconnaient alors que cette recherche de proportion parfaite appuyée sur des principes mathématiques était complètement illusoire. Selon lui, l'art est fait d'illusions relatives, les couleurs viendront nécessairement déformer les rapports formels. Depuis un siècle, le nombre dorre a poursuivi son chemin et s'est fait une petite place dans la culture populaire. On le retrouve par exemple au centre de l'intrigue de la série de 2012 Touch, ou bien en 2008 dans une enquête dans un épisode de la 4e saison de la série Esprit Criminel. L'apparition la plus remarquée restera malgré tout en 2004. Lorsque Dan Brown écrit Da Vinci Code, il convoque le symbole du nombre dorre et tout ce qui lui est associé du partenon jusqu'à la géoconde. C'est cette imaginaire ésotérique qui fait aujourd'hui du nombre dorre un concept central de la géométrie sacrée que l'on retrouve dans les courants New Age. Cette idée que la perfection géométrique serait capable de soigner vos énergies en éloignant les mauvaises ondes et autres joyeustés de ce genre. Dans un tout autre registre on pourrait aussi parler de cette trend sur Instagram ou TikTok qui consiste à photoshopper le visage d'une célébrité pour le faire entrer dans un masque basé sur le nombre dorre. Une façon détournée d'utiliser l'hora de la science et des mathématiques pour justifier l'utilisation de la retouche d'image. Ça va même jusqu'à ce chirurgien esthétique qui a établi un classement de beauté des stars selon le nombre dorre afin d'encourager les autres femmes à faire appel à ces services. Bref, dans tout ça je n'ai pas vraiment parlé des applications du nombre dorre en mathématiques et pour cause, elles sont plutôt rares. On lui trouve quelques curiosités notamment en lien avec la suite de Fibonacci et il apparaît dans quelques constructions géométriques assez plaisantes. Il a aussi quelques propriétés algébriques assez intéressantes mais à part ça, pas grand chose. C'est très loin d'être la constante mathématique la plus passionnante, bien loin derrière des nombres comme Pi ou E. Le dernier point que je n'évoquerais pas dans cette vidéo, ce sont les liens entre le nombre dorre et la nature. Oui, il y a bien des liens entre le nombre dorre et la pouce de certains végétaux mais ce n'est pas du tout une règle absolue. La plupart des spirales de la nature, de la coquille des escargots au bras de la galaxie en passant par les zouragans ou l'enroulement de la DNA n'ont rien à voir avec le nombre dorre. Bref, la proportion divine, la section dorée, le nombre dorre, appelez-le comme vous voulez il a eu ses heures de gloire dans le passé mais il serait peut-être temps maintenant de passer à autre chose.