 Merci beaucoup et merci à l'organisateur pour ces invitations. J'ai été fortuné de prendre beaucoup de périodes en Kyoto. Il y a beaucoup de mathématiques que j'ai utilisées aujourd'hui. Les mathématiques ont appris à Masaki que je suis très heureux pour la générosité d'assurer les mathématiques. Je vais essayer de commencer par un exemple que je vais revenir à dans mon talk. Je n'ai peut-être pas 20 ans, mais 15 ans. J'ai discuté sur des topics. J'ai toujours utilisé mes exemples. Il y a d'autres exemples. Je vais commencer par expliquer ce qui s'occupe des catégorifications. Je vais essayer d'évoiler ce monde parce que ce n'est pas toujours clair. Si vous commencez avec... Vous pouvez utiliser cela comme mesurisation des dimensions de espaces de weight. Vous regardez le C2. Vous avez l'air d'absence de force. Le C2 a une action de S2C. Et à l'intérieur, vous avez l'amount de H. Vous pouvez décomposer cela selon les valeurs de la haine. Vous pouvez prendre la haine d'espace, où la haine s'accueille de 2 à minus N. Si vous assignez un espace de vecteur avec une action de H, qui a une haine d'amount, je peux valoriser la correspondance de Laurent Polynomur. Vous allez voir cela en une main. Et ici, c'est mesurisé par cette coefficient. Vous allez ici pour ici par prendre une dimension. Vous pouvez aller un peu plus loin, par réaliser que cette représentation de S2C peut être constructée géométriquement. Et peut-être que vous regardez... C'est bien pour vous. Juste deux points. Si vous regardez les chiffres, vous avez deux copies de vecteur d'espace. Il n'y a pas beaucoup de chiffres. Vous avez un fil K pour votre chiffre. Il y a un sens qui peut être réalisé dans une représentation de la structure de S2C. Et il y a un sens où vous pouvez prendre des produits de temps. Je vais mettre un temps double. Je ne sais pas pourquoi, je ne vais pas faire juste un temps simple. Et cela va expliquer. C'est un facteur, il y a un acteur direct de... C'est-à-dire, si vous faites avec Abélian, ou d'autres categories de beurres, c'est un sable orbit des boraux sur les manières grasses. Si vous passez à la groupes de Goten-D, la groupes de Goten-D vous donnera ceci. La collection de C2C vous donnera la normale action. Et la groupes de Goten-D va être de cette façon. Donc, ici... Qu'est-ce que vous avez écrit sur le subscript de Pell? B-smooth. Je pense que je prends des opératures et glométriques en GLN et je prends des perverses pour la stratification de beurres. Donc, nous avons commencé le categorique Levers. Nous avons commencé avec des set... les numéros peuvent être observés par des categories minus 1. Les sets ont 0 catégories. Et maintenant, c'est la catégorie. C'est la catégorie des modules. Et cela respecte les tests et les tests et les structures? Les usuales tests. Quand vous pouvez prendre... Vous pouvez prendre des catégories de constructibles, parfois, c'est... C'est vraiment ce que vous trouvez. Et puis, à l'intérieur, c'est une base canonique, une base cristallique, une picture qui vous permet de prendre une structure. Donc, j'ai été... Discusser ces choses... Donc, ce que j'aimerais expliquer aujourd'hui c'est que, en fait, vous pouvez aller à l'infinité, là, d'actuellement donner un sens d'une action de un SCL2C sur ces variétés. Donc, il y a un sens où il y a deux points. Et vous voyez une certaine action d'un SCL2C. Et pour cela, vous pouvez prendre un temps de puissance pour cela. Je ne suis pas sûr, en général, de ce que c'est. Il y a quelque chose de généralisé, quelque chose d'un peu plus général, de plus en plus, de plus en plus. Mais ceci va expliquer, vraiment, c'est un bon produit de Grasse Manon. Donc, la catégorie de progressive en question, est-ce très simple ? Cette catégorie de progressive ici, en Grasse Manon, ce n'est pas très simple. Donc, comment peut-il faire juste des puissances ? Oui, parce que ce n'est pas le temps de puissance normal, c'est exactement le point. Donc, merci pour prendre ça. Donc, si vous commencez avec quelque chose de très simple, comment peut-il imaginer que vous pourrez construire quelque chose de très simple ? Mais le point est que, quand vous faites ce produit, en quelque part, vous gardez le tract du fait qu'il y a une action de celtusie. Il y a un phénomène de lax par là-bas. Et ça donne quelque chose de très simple. Donc, je vais revenir à ce thème, que cette théorie de présentation est un moyen de construire quelque chose de très simple. Je ne sais pas, je vais expliquer. Donc, je vais vous expliquer comment je peux faire le sens de cela à l'intérieur des variétés, à moins que ce soit bien, mais je ne suis pas sûr si c'est raisonnable en général. Donc, je ne suis pas sûr si ça devrait être vu un peu plus à l'homotopy ou dans des sortes de stratégies de l'homotopy A1 motivique. Et en général, je ne sais pas quelle est la bonne catégorie de l'objectif. Et donc, ici, c'est en train de prendre une certaine catégorie de chine. Je vais expliquer ce qui signifie que celtusie s'occupe plus d'actes là-bas et puis je vais arriver à ce point. Donc, premièrement, je vais peut-être dire quelques choses sur les motivations pour la théorie de présentation. Donc, l'idée, je dois dire, le point de la discussion est que l'on pourrait faire des choses comme ça avec des places modulées plus compliquées. Ok, peut-être pas juste les variétés ou les variétés qu'il y a mais plus, je pense, peut-être des fields compliqués ou des places modulées sur des chines ou sur des variétés. Donc, c'est la motivation. En tout cas, la motivation originale de cette théorie de présentation c'est l'idée qu'on doit faire quelque chose comme ça. La première est l'autopologie mondiale. C'est Crane et Franckle 94 et ils se sont appelés en termes de catégorisation. En même temps, donc, il y a un complexe simple via le bras et, en dehors avec une quantisation de trottofinité maintenant, c'est plus clair, mais en même temps, donc, vous pouvez construire des modules sur le groupe quantum vous pouvez construire des variétés de 3 dimensions de manifold c'est appelé TQFT et cela sera en dimension 3 donc, c'est le travail de réchauffe en F et de W ou de W W est différent non mathématiquement et si vous commencez avec juste G modules avec G modules, vous allez avoir une dimension 2 et donc, l'idée de Crane et Franckle c'était si vous étiez à actes, pas seulement sur des espèces vector ou des espèces Q vector si vous étiez à faire sens en actant sur les catégories par augmenter le niveau catégorique par une dimension de la théorie de F par une G donc, c'était le proposant de Crane et Franckle mais toutes les suggestions, la philosophie mais ça a été il y a eu il y a eu de temps pour savoir ce que ça veut dire et puis, ok, une motivation qui est arrivée après c'est de moduler les espèces donc, c'est toujours donc, il y a une évidence que ça marche c'est des théories pas des théories par rapport à Kovanov et d'autres particulièrement Kovanov-Franckli qui doit faire avec des théories de 4 dimensions et qui sont connues d'arriver de ce genre de théorie donc, moduler les espèces peut-être une variété de X ou peut-être une catégorie vous pouvez regarder quelque chose de modulé des espèces d'objets des modulés d'espèces avec des propriétés puis vous pouvez en fait, vous pouvez prendre quelque chose de K-théorie ou peut-être juste de l'air caractéristique entre vous, vous pouvez prendre des catégories des modulés d'espèces qui peuvent être intéressés de la variété originale ou de la catégorie vous pouvez faire des constructions quelque chose très concret des constructions comme Donaldson et Thomas pour la variété de Calabia donc, l'idée est donc, il n'y a pas juste un modulé d'espèces mais beaucoup de modulés d'espèces et la représentation de théories a été pour comprendre ces variantes et ces groupes souvent de représentations d'interessants algebras donc représentation théorie peut-être ou peut-être contrôler ceci donc, l'exemple il y a beaucoup d'exemples qui sont venus de représentation théorie d'eux-mêmes un exemple typique qui n'est pas comme ça c'est de commencer avec C2 en taking Hilbert's schemes of points on C2, on C2, on surface et donc, dans cette caisse work of and Akejima shows that using action of Heisenberg Heisenberg algeba you can understand of your variety so the idea is that so that's what classically was done so to representation theory so here you would want to construct representations of some algebras taking many modular spaces and using correspondences sort of Hiker correspondences but the idea is that those correspondences have a geometric origin so they will act already in categories of sheets but it's not just the correspondences that have avant-demorphisms and here you should really have some sort of infinity representation so infinity is in the sense that so why the number two here so there it was one you take all representations of an algebra that's one category, that's a category if you take categories acted on by something it's going to form a two category and here there things like topological spaces so infinity infinity one category so what I mean is that there are those examples where you take various modular spaces you take the direct sum of their k-théorie or homologi groups and you have interesting algebras acting on that representations of various structures on that okay Kai would be, well let me remove that you could do one more step but I would suggest some sort of earlier characteristic for example in Donaldson Thomas theory that's what you want you want the earlier characteristic of your modular spaces but you still would like to use representation theory somehow to understand this and eventually to see that as coming from some sort of character formula okay so so the original idea was to try to control these categories so examples coming from within representation theory dealing with very concrete modular spaces okay maybe it's not a surprise I know they were built for representation theory but the belief is that you should be able to do that much more generally so that's one aspect and the other aspect is that using some sort of abstract higher representation theory to construct new sort of geometric objects which would be maybe less abuse or less like skins or there are skins and so maybe they exist for more general so new geometrical object so what's okay for example would be things like flag varieties some things like that that do work or quiver varieties I mentioned those or they have to do with algebraically closed fields so you can try to hope that there are things the objects of geometric long glance which are more like affinisation of those there will also be suitable like that and then you can be very hopeful and you can continue put more questions so you could hope if you are at the most ambitious aspect that you could even define things more general than shimua varieties why not have a queue by using some sort of formal some formal machinery for now I don't know much about what's going on even there or shukas it shouldn't be too far from so I'll say a few words about geometric representation theory from one point of view we have a complexe semissime pour liage et bras G let's say gamma and if you choose an orientation of the edges you obtain now a quiver you can look at representations phala-dimensional representations of that quiver and make a modular space modular stack let me write stack for one time that's enough of representations of the quiver so it's something very concrete if you start with this you can maybe choose this orientation and the representation of the quiver is just putting a vector space here you fix them and then you look at space of maps space from here to here space of map of there to there and you divide by the action of the general linear groups of each vertex ok so you get that so let me modular stack maybe m and what's happening so that's a wringle and the stick is that if you look at the k0 of mixed pervershees en m this is this is a convolution and this is isomorphic as an algebra to the quantum the positive part of the quantum group associated to g your quantum group is positive-negative part what is g in this case? so g is a algebra you can extend to get some it's the same it's a digging diagram of g so that's point 1 and then point 2 is if you fix lambda so vertex set higher you can associate you can associate a simplicity variety we have a name already so let's call it so that's a nakajima quiver variety so this is could be called a quiver variety and that one so it's a hondes variety so that variety lives inside inside modular space of representation of frame double quiver so the idea is that your lambda there needs to be used and so for example if you start with this diagram so you double the arrows so it doesn't depend on the choice of an orientation anymore and the framing is adding one vertex for each existing vertex maps like this so you look at representations of that quiver where now as those vertices you fix the vector spaces k to the lambda 1, k to the lambda 2, k to the lambda 3 and it's an open subspace by specifying certain stability conditions so there are also some conditions on composition of arrows but importantly the stability conditions which says that when you want something like those maps going down to be injective a much more subtle version of that and so you have this variety and on that variety on the k theory of that variety c'est la grande k theory of x lambda we are going to get an action of uq of g it's a Nakajima's construction and this is simple the simple representation of simple representation c'est L of lambda the quiver so you can realize the quantum analog of the simple final dimension representation with a yo-suit lambda as it in the k theory of a quiver of a Nakajima quiver what mean k is in text there is an action there is an action it's a quiver in the first result you mention about mixed perverse shapes yes the mix is right you are doing something like this with Peter or you I mean mixed search modules either way yes and the q ok so the q here has nothing to do it's either I mean it has to do with the Frobenu so it has to do with just a hodge sorry q is a variable no it has to do if you do the wringle approach where you do, you can't you look at constructable functions ok you could write the case with the right and larger sorry you could write the case with the right and larger yes, I should have probably if you put the homologi it's not right no, I put only the c star a quiver it's a quantum affine ok let's put the included there ok so the example there so for SL2 the picture simplifies a lot because the variety there is a cotangent bundle and it's a cotangent bundle of a glass vagnane so what's going on is that so for SL2 so the quiver gamma ok gamma is just that so modular state of representation is just bgr r and if you take your weight lambda x lambda it's going to be xn of gr and the action of of sorry it's a cotangent bundle of xn sorry it's a cotangent bundle and the action of uk of g comes from correspondences so if you take a whatever commodity theory you take you can pull back and then push forward I'm sorry so these are these are c to the n where dimension of l is i and l prime is i plus 1 and these are the two projection maps so you have you can pull back push forward so this will give you something going let me switch to comology and so these these will induce an action or if you do it on k theory I don't want to be there are various versions you can realize an action of g, uk of g, or young young there are various versions you can realize like that but geometrically it comes from that correspondance so that's something in that case that's older in general you have to do it in the cotangent cotangent bundelow so here you have only a positive part and the fact that you have the positive part coming from m and this somehow leaves over m means that this positive part will act there you can see it but now the miracle is that the negative part will come as somehow looking at the same kernel but in the reverse in the reverse way or some joint function also instead of going this way you go that way and you get the f i so this will give you your generator small e of f l2 and if you want f you just look at your correspondance and that's what happens right so now let me let me start talking about about two representations so the idea is that in this type of geometry construction you have realized your operators as coming from correspondances these correspondances you can use them also when using functions between categories of sheets and so that's one classical part just to do a small category what we realize with Chuang is that these correspondances themselves they come with that's really where the algebraic structure is is hidden ok so Chuang so you replace so when you look at representations of G you replace vector spaces by say Abelian for example or Chuangulated categories et say EI becomes EI etc et so that's something that has been observed repeatedly and there is more structure these come actually with endomorphisms with natural transformation and then there is also some sort HECO operator so if you think of your correspondances as being some HECO operators these HECO operators themselves they will between themselves HECO operators ok so first each of those EIs when you realize it should come with a prescribe endomorphism these should come with they should be maps like this when you have an I and a J and they should satisfy certain HECO relations so that somehow in type A or I find A and in general it's quiver HECO relations and it's things that have been developed by Governor Flodard so that's a generalization outside type S which would be an affine HECO relations so you can think of that of the X size and the T's are satisfying affine HECO algebra relations parce qu'il faut voir qu'on y fait avec l'algebra c'est SLN ou si vous générez le cassement SLN hat en général vous avez besoin d'un autre type d'algebra Right, so you do that so they should satisfy relations and you also need to do some localization that will enforce in a categorical way you invert certain maps which express the relations that the commutators between EI and FJ unless I equals J it's something so that you specify maps that will realize the journalism of them and you are required that map to be invertible ok so so in this example here there is two representation of SL2 on the union of those on the union of coherent sheets so so you take as a category let me do it with maybe the rough categories so I've been lying actually this is not true there I'm sorry oh no this is correct so let me take as a category constructible sheets on the glass mania with some coefficients so you could specify your stratification or you could take equivalent with respect to a borrel in which case the grotondi group will be reasonable of the right size that's what you basically have categories of what we are there so on that there is a two representation of SL2 so when you need to specify andofunctors and well a class in the grotondi group or class on compagie of that if you view this now as a functor then this will give you what you want so E is something take a sheet there and push forward and now the interesting thing is that in these two representation structure it's not just about the functor but it's about natural transformations and the natural transformation that you will the endomorphism of E is something that is the first time class of the total typical line boundary there viewed as an element of the H2 of this gr and I I plus 1 now if you have an element in the compagie of your correspondence you have an endomorphism of E or maybe a graded endomorphism goes from E to E shifted by 2 and then there is a T the T comes from from facts that if you do a correspondence like this twice you will have a GRI I plus 1, I plus 2 which is there's a P1 vibration to GRI I plus 2 and this P1 vibration you need some endomorphism there and that's P1 mode mode Braille and that comes from P1 that comes from taking the top class and taking the dual of capping with the top class goes down and GRI right so that's some old story just with a small refinement and the point about doing this refinement is that there is some interesting representation theory and so if I go back there so there is a classification there is a notion of simple two representation so instead of having vector spaces you have now categories and there are things like Jordan-Helder for example category of reasonable size with two representation you can write it as an extension of those categories and this category along that can be realized by hand some sort of cochante of a verma module or as realized on the Kashiwa's work or on as some sort of sheets on the Kashiwa's work you have to do a small variation of the construction so the fact that you have two constructions of those and someone tells you that this algebraic construction will be out of things like Haker-Ajabas psychotomique with Haker-Ajabas so these are perverses sheets in some sense on some varieties and the fact that you have these two realizations tells you there will be an equivalence of categories and that's one of those things that will tell you that you can compute the composition or the characters are simple modules for your finite dimension algebra so it's a typical result of geometric representation theory you have some finite dimension algebras maybe to compute say something about their simple modules where you say that categories equivalent to categories of perverses sheets then you can use the composition theorem or something to compute but this arises from the fact that both two representations and once you know that you just have somehow to identify their states and you immediately know that you have an equivalence it's a very cheap way of proving an equivalence so the last thing about two representations before I move to infinity is that you can construct so the original motivation of Fred and Franco for trying to do something like that to get a field theory the crucial ingredient is a tonsor product so here you can tonsor modules here the tonsor product is interesting but one more interesting is the armatrix but here the most the tonsor product is already very interesting the reason why I write it with a double circle I will now explain so you can do tonsor products of two representations so if you have b and b prime so there will be categories with andoufunctors with some extra structure then this you will associate something like that but this is as a category you need, it depends on does not depend only on v prime categories so the forgetful functor from two representations to categories does not commute with tonsor products reasonable categories on which you can do tonsor products so it's fine but that's not this tonsor product you're doing you're doing something more complicated and that's apparent in the discussion in the mark of Gabber is that if you take tonsor powers of that category you'll get something semi simple whereas if you do it viewing this category as having this extra structure you're doing something more interesting yes so it's defined on the nose not up to the nose but there are difficulties with that you have to move to an infinity setting so the category itself is defined on the nose but the functions are defined on the nose but the x and the t the x's they are not they are not natural transformations they are only in the infinity sense that's where so there's something up to motopie there and somehow that suggests that there are problems with this theory, I mean there are difficulties maybe and some are moving to some more infinity categories topogico or more geometric framework is probably a good idea so I should say the reason why we developed that with Schwann was not for anything I've mentioned so far it was to solve problems in representation theory so there are users of certain equivalences of their rafc categories that were conjectured for representations of symmetry groups or general linear groups that was our general motivation there are more recent users for example for homology of Nakajima quiver varieties that's much closer to what I explained about modular spaces variants au zoo so that's the work of the theory has been driven by to some extent by topogy but it hasn't been very successful so far because it's hard to construct a field theory to instruct in variants of four dimension manifold and by representation theory and geometry and that's an example of that's a bit similar to the case of feedback schemes of c2 on surface but it's in a more complicated frame for example bundles ok so now I'll move to infinity so a lot of that I mean one of my motivation for example here is well you want to understand for example Dolas-Antomath theory these modular spaces are not just varieties I mean the absorption theory whatever there are spaces so it's not so easy to just even get their characteristic just somehow that you could maybe use these things use these categories of shields maybe as some sort of algebraic structures and deal with that and some of avoid you could maybe get them directly out of your variety avoiding passing through the modular space it's been one of the developments so for example you can get a category of shields on Nakajima quiver varieties somehow you can get it without switching the quiver variety just by saying it's air of lambda so that was motivation but what I realized it's maybe not getting rid of the geometries is maybe not what one should do but rather do representation theory on a geometrical object instead of a vector space so the idea is to to somehow view graspaniens themselves as being some sort of and some object which have symmetries which are controlled by something so I should say this maybe I would say space I would call something a space I don't know what that should be something that should be at least something like or infinity stacks or maybe some extended version you need a little that's not quite right or you need maybe stratified say topogical spaces you could use topogical spaces just up to motopi something like that seems to be reasonable but it's not quite right seemingly either so the problem is you need to do some different kind of gluings but it seems you also need to do maybe also some sort of micro localizations so I don't know so for example these Nakajima covarities they are not co-tangent bundles but maybe they are way still to think of them as as some sort of co-tangent bundle or some something better I don't know that's ok so the starting point would be see some category and to that you would want to associate some lithoretic structure so I'll say a little more about that at the very end let me start just for now being a little bit vague so I take the M so modular space meaning just here higher stack so of objects of C category would be a kelinar category as well or maybe you work over the sphere spectrum I mean there that part I mean yes maybe a nabellan kelinar category and this would be a higher stack yes there are the difficulties come right after that they are still good definitions M2 would be the moduli of the exact sequences so I'll stop there you need a little more and so now so when you have a reasonable category you can try to make some whole algebra out of that category it's an algebra with basis isomorphism classes of objects and the multiplication has to do with extensions counting how many extensions you can do that involves these two things so you can some directly work with this and look for X a space so infinity representation in that case X space et of a correspondence from X to X for each object of C that means you would have can you put it all in one so you have a correspondence from X to X parameterized by M and then you want some associativity in fact that the action is this has some sort of multiplication a convolution so that's very simplified statement but that's essentially what what the structure is so it's not extremely new in some sense and people have sort of things similar to that so in this setting here we can do that construction so isomorphism yes I need isomorphism it's saying that if you have some sort of G times H times X is GH times X so here by applying E you do a first action second action and this is correct in the product so it's the middle it's the middle there you have a map to M I mean there are three maps but I'm using the one the middle object and everything should be this should be over X times M times M times X these are two M's so it should be combative but anyways there are other compatibility and there is a difficulty there because everything is infinity compatibility doesn't mean it's not that a diagram commutes that there is an additional data expressing the so the example there yes so let me give so we've seen it's BGLL so in the example and if we take X as a gras maniac dimensional vector space so you can go from GRN of say I and in the middle you have a vector bundle of rank R so it's the same as a map to BGLR structure structure so with that having a bundle of rank R is the same as having this map to BGLR and so there are obvious compatibility so this structure satisfies XM it should satisfy and gives an example of some things which would be an infinity representation of SL2 so this category is the one we constructed C would be the category of K modules take K modules these are representations of a quiver which is just one point that's what you get and yes and what I should explain somehow is that you can do tons of products as well in settings so first this thing says that many modular spaces c could be c could be the category of algebraic origin and all those modular spaces that you would want to consider should be viewed as some sort of representation of this fixed algebraic structure and then you can do representation theory to analyze those modular spaces so I'll try to explain the last point why the tons of power works so can define can define so there's a candidate for a tons of product so if you take two spaces with a sexuality you can try to do you can define something that is representable in a certain sense would be a tons of product so there's a problem of which category to work with so unfortunately in this infinity category setting it's not exactly something being representable it's a little more complicated so I don't know yet but there are cases where there is one can construct an object and check that it somehow gives this so if there is a right category this one can define something which is unique so if you take to justify justify this description there the objective step is there so I'd like to explain what's going on geometrically here so the idea is that if you think of a representation of SL2 representation of SL2 you can view it as a map from C2V it's the same as a map from C2 tons of V so to begin a representation of SL2 has to do with doing something with C2 tons of V so the same is happening there in this case of SL2 the fact that this is endowed with a two representation is really having to do actually with that and with the fact that there are some sort of gluing process so let me try to put a quick diagram so you have so I will do only I will look at only the BGL1 part of M so it generates all of M their convolution so ok so we start with that so we can write down the total space of the bundle ok so it's an A1 vibration C vibration this will be a projective space of dimension n-1 projective space of dimension i projective space ok with that we can look at the complement of the zero section and now the line bundle here is ample for that projective map so we can take the corresponding vector bundle there forget the GRI plus n-i complement of the zero section will be isomorphic to that and the bundle this line bundle is anti-impôt for that you can construct similarly and then we have the complement of the zero section inside ok so I've started with my correspondence together with this line bundle and that reconstructed that right so now you look at GRI Il y a le G1, N plus 1, I plus 1, à l'intérieur, il y a une variété claire. Vous voyez N plus 1, C N plus 0, et ceci est isomorphique à G1, I plus 1. Et le complément est un bundle sur le G1 et le I. Vous avez pris un R, et maintenant ce bundle est isomorphique au bundle ici. Nous avons décomposé le G1 comme une variété claire, une variété claire. Ce sont des choses qui viennent de ici. Maintenant, pour vraiment coller, nous devons considérer le bundle normal à celui-ci. Et ceci, c'est le N, le bundle normal, est estomorphique à celui-ci. Et pour l'agriculture, nous devons trouver un subset commun de l'intersection. Et l'intersection est précisément là. Donc, nous réaliserons que cette variété, à l'aide de l'Homotopy, va être le G, R, N, I plus 1. Mais nous avons réalisé que la variété n'est pas juste une spécificité de l'Homotopy. C'est ce qui se passe avec le tonsor producte, en ce cas. En général, ce que vous voyez, c'est un collimètre à l'intersection. Ici, c'est juste un coéqualiser. C'est ceci, ceci, ceci. Donc, ça vient formally de ces constructions. Donc, j'aimerais finir avec... Il y a des choses similaires à ce qui se passe pour des variétés, mais ce n'est pas assez clair à quel point vous avez des objets. Donc, j'aimerais rentrer. Qu'est-ce que l'intersection est ? C'est ce que l'on représente dans l'une des catégories C. C'est quelque chose qui est un peu comme un groupe, ou plutôt, un groupe de comptes. Mais une version catégorie infinitaire. Et on peut... J'espère que c'est en fait intéressant d'avoir un environnement de la catégorie. Donc, si nous commençons avec la catégorie C, on peut construire quelque chose. Donc, le problème est, est-ce qu'il a les bonnes propriétés? Je veux dire, on peut mettre un question mark global, quelque chose comme un groupe infinitaire. Donc, le data involveant M, M2 et plus, M3, M4, plus de versions et beaucoup de compatibilité. C'est quelque chose qui ressemble à un groupe, d'exception que... Il y a beaucoup de choses qui diffèrent, mais ce n'est pas très commutatif. Ce n'est pas très commutatif. Quelque sorte d'infinité de groupe, c'est M ou C. Et ça devrait avoir... Ça devrait être un intéressant invariant d'attaquer sur toutes les espèces modulaires. Donc, c'est un peu comme un groupe réductif avec... C'est-à-dire avec les latissons, c'est-à-dire la catégorie spectrum. Il devait aussi être quelque chose qui... qui devrait actuer sur les espèces modulaires. Il devait avoir des vies ou des combinaux de construction qui sont liés à l'espèce de condition de stabilité. C'est très bien. Et plus généralement, ce serait un peu comme... Vous pensez que K-theorie, comme le langage d'autorisation, ou... Il y a plus de choses. Et la K-theorie est additive sur l'extension des catégories. Ce n'est pas un souci. Il sera plus multiplicative. Et donc, si vous avez une exacte séquence de catégories, ça devrait lead à une parabolique de groupe avec le lavis, M of C1 times of C2. M of C2. Et donc, vous pouvez... Vous voulez comparer le K-theorie spectrum. Il y a une vibration. Vous voulez comparer ce M of C to M of C1, M of C2. Et la façon dont vous pouvez le faire c'est de regarder ce quadrant M of C modulo P parabolique flag variety. Et vous pouvez croire que c'est contrôlé par une version parabolique de l'espace de condition de stabilité. Donc, je devrais peut-être arrêter là-bas. Il y a des objectifs qui semblent arriver de certaines catégories. Donc, quelque chose comme le K-theorie spectrum devrait arriver, quelque chose qui arrive dans le travail de Dickeroff et Kaplanoff. Il y a des versions paraboliques qui sont plus valdes que le K-theorie. C'est plus de construction. Mais oui, j'espère qu'il y a quelque chose. Ok, j'arrête ici. Ce sont des catégories dont vous parlez de des... Non, c'est un problème. Vous voulez une belle catégorie, mais il y a quelque chose. Et j'ai aussi des ressources qui veulent parler de l'espace stratifique et de l'espace de catégories, et qui veulent être collés pour obtenir des choses plus exotiques. La langue correcte doit être la qualité de la construction. Donc, c'est exactement... Il semble être le right de penser d'une version de la version en arrière. Oui, un genre pas relative de la construction de bundle. Mais est-ce qu'il y a une version de DRAP ou peut-être que vous pouvez faire ça pour DRAP? Si, il y a un espace qui arrive, il y aura plus de modules. Mais non, c'est exactement... Merci. J'ai une question. Dans la comologie des schemes de Healbot sur la surface, la structure multipliative fait que l'algebra verra qu'il y a des versions catégories. Ok, donc c'est très difficile. Cette partie, très peu, a été compréhée par ce point de vue. Tout est cat-smoody, mais il semble que dans ces très générales settings, il y a aussi une approche de l'algebra vertex. Donc, quand vous construisrez votre groupe, de toute façon, l'affinisation devrait arriver. Mais il y a une façon de définir certains sortes d'opérateurs vertex. Vous devez faire quelque chose qui est très ridicule. Vous devez regarder d'abord un non-linear fonctionnel de votre catégorie, des 2K modules. Vous devez commencer avec ça. Donc, c'est un grand exposition de votre catégorie. Et puis, sur ça, vous pouvez faire des convolutions, donc vous pouvez penser de votre catégorie comme quelque sorte de catégorie ou d'un foc spatial. Et puis, vous avez un certain type d'algebra, et puis vous pouvez dire que dans certains cas, c'est comme ça. Quand vous dérivez l'action d'une convolution d'opérateurs, comme l'algebra vertex, il y a un sens d'un motopic d'algebra. Vous devez faire simplement de l'arrangement. Donc, ils devraient être là, mais ils devraient être des structures conformes. Donc, le produit tensor a une filtration de Jordan Holder par des modules simples. Vous pouvez voir cela géométriquement ? Oui. C'est vrai. Oui, géométriquement, il y a quelque chose qui est géométriquement qui est la stratification. Donc, vous pouvez voir. Non, non, vous voyez cette stratification, mais ce n'est pas quelque chose d'autre. Donc, cet aspect est plus en pensant peut-être qu'il y a un problème avec la structure. Vous pouvez faire la théorie avec des catégories, des categories et à l'intérieur, vous devez dire qu'il y a la structure. Donc, c'est comme de un produit tensor de représentations pour dire qu'il y a un théorie crystal qui donne une belle base donc, c'est ce que vous devez faire pour les catégories. Mais si vous bougez à cette configuration infinité, déjà là, je ne sais pas ce que ça signifie quand vous construisiez ce produit tensor. C'est un des difficultés, ce n'est pas clair ce que l'objectif devrait être en général. Mais dans les bons cas, peut-être que c'est un espace, et c'est comme de prendre une structure. Donc, ce serait le premier step pour répondre à vos questions. Vous devez déjà regarder ce qu'il y a, mais non, je vais vérifier. Je n'ai même pas fait ça.