 Siguimos con el plano real y vamos a presentar ocho propiedades que se satisfacen en el plano y que a continuación veremos que caracterizan los espacios vectoriales en general. Estas son las ocho propiedades siguientes. La asociatividad, la conmutatividad, el elemento neutro del conjunto, los inversos, la propiedad distributiva, uno la propiedad distributiva, dos la compatibilidad y la multiplicación escalar por el elemento neutro del cuerpo. La primera es la propiedad de asociatividad, sean tres vectores u, uv y uv doble y además consideramos la suma de uv con u. La propiedad asociativa dice que es lo mismo añadir u más uv doble a uv que de añadir uv doble al vector uv más u. De manera algebraica la asociatividad dice que no hace falta donde ponemos los paréntesis cuando sumamos a tres vectores o a unos vectores en general. La siguiente propiedad es la de la conmutatividad que dice que el orden de la suma no cambia el resultado. Sumar u con uv es lo mismo que sumar uv con u. La tercera propiedad es la del elemento neutro del conjunto, es decir que existe un elemento en el plano real, en nuestro caso el elemento cero cero, el origen, tal que la suma de cualquier vector con este elemento da el mismo vector. La cuarta propiedad es la de los inversos, es decir que para cada vector u existe un vector menos u tal que la suma de estos vectores es igual al elemento neutro al vector cero cero. La quinta propiedad es la primera propiedad distributiva, sean u y uve vectores y consideramos la suma de u con uv. La primera propiedad distributiva dice que multiplicar la suma por un escalar o del otro lado primero multiplicar los vectores por el escalar y después sumar es lo mismo de manera algebraica lambda a veces u más uve es igual a lambda a veces u más lambda a veces uve. La segunda propiedad distributiva dice que si tenemos un vector u y lo multiplicamos por dos escalares entonces la suma de los dos vectores resultantes es igual a la suma de los escalares multiplicada por el vector inicial. Algebraicamente lambda más mu veces u es igual a lambda veces u más mu veces u. Siete, la compatibilidad, la multiplicación de un vector por el producto de dos escalares es igual a la multiplicación del vector por cada escalar de manera iterativa. Es decir que lambda veces mu veces u es igual a lambda mu veces u. La última propiedad es la de la multiplicación por el elemento neutro del cuerpo. Es decir que la multiplicación de cada vector por uno por el elemento neutro del cuerpo da el mismo vector de manera algebraica para cualquier vector u una vez u es igual a u. Finalizamos este vídeo dedicado a repasar unas de las propiedades que hemos visto con la siguiente pregunta. ¿Cuáles de las expresiones siguientes son ciertas? Cuidado que hay más de una. Para justificar vuestra respuesta podéis hacer los cálculos o justificar las igualdades con casos particulares de las propiedades que hemos visto anteriormente. Efectivamente espero que todos hayáis visto que hay tres igualdades ciertas y dos falsas.