 Je vais continuer à parler d'une partie hyperbolicité. Pour cette lecture, je vais préciser la définition et parler de les premières propriétés. Je vais répéter des définitions que j'avais dans le matin, en essayant de préciser. Dans le matin, j'ai parlé des dominations. Je vais parler de la splitting dominée. Ce que nous devons considérer est la dynamique tangente. Ici, F est une forme de fissure. J'ai le bundle tangent de la manifold. À chaque point, j'ai un espace tangent. Je prends la union. Si j'ai un espace tangent dans cet espace, je vais regarder le bundle tangent sur cet espace. Je prends le espace tangent sur cet espace. Si K n'est pas nécessairement compact pour le moment, mais un espace tangent, je considère la splitting. Qu'est-ce que la splitting du bundle tangent ? La splitting signifie que, à chaque point, j'ai un espace tangent pour une X et une K. Ce espace vector a une décomposition en deux sub-spaces linéaires. Je ne parle pas de continuité avec respect à ce point, mais ce que je veux ici est que les dimensions sont les mêmes. C'est un espace tangent. Je considère un espace tangent. Je dis que la splitting est dominée si il y a une invariance plus grande. C'est comme dans le matin. C'est un espace tangent à l'image. Et la domination signifie qu'il y a des constants. L'ambiance est plus petite que l'ambiance, donc que, à chaque point, à chaque point, je prends un espace tangent à l'image, ce qui est non-zero, et un autre espace tangent à l'image, ce qui est non-zero. Je peux comparer comment celui-ci est exposé et celui-ci est exposé. Il est plus exposé que celui-ci. Nous avons cette condition avec un espace tangent. C'est la domination. Il y a une autre façon de dire ça. Une façon dont je vais utiliser... Si j'ai une map in-air, une notation, ou une map a, la norme a est la maximum de la norme de l'image sur une vector U normalisée par la norme de U. Et vous avez une norme minimale, qui est la même, mais vous avez une norme minimale, une norme non-zero. Donc, ici, à l'aide de V et W, vous pouvez dire que la norme de DfN attaque par la première espace. Elle est plus petite que la norme minimale de la norme minimale par la prochaine espace. Donc, c'est pour une N. Et aussi, cette condition c'est suffisant de vérifier pas pour une N, mais juste pour une N. Donc, équivalentement, il y a un grand état comme ça, pour une X et pour une I. Et vous avez besoin d'une gamme uniforme peut-être. Donc, il y a beaucoup de de cette condition. Ok? Donc, quelques remarques plus simples. Donc, premièrement, cela ne dépend pas du choix de la métrique. Qu'est-ce plus ? La constance va dépendre. Oui. La N aussi. Oui, bien sûr. Alors, quelque chose que vous pouvez faire. Si vous avez un état dans la bande de Savoie, vous pouvez grouper ensemble un état consécutif et vous avez toujours dominé la composition. Vous pouvez vérifier. Ok. Alors, vous avez un état Ok. Donc, premièrement, je n'ai pas dit qu'il est compact, mais donc, l'état s'étend à la clé. Donc, la compétition s'étend à la clé. Ok? Donc, pourquoi ça ? Bien, ce n'est pas difficile ici parce que je n'ai pas dit que la compétition dépend continuously sur le point X. Donc, juste pour s'exprimer, ce que nous pouvons faire c'est que vous avez un point dans la clé de K qui n'est pas en K et vous avez une séquence XM en K, qui va au X. Donc, ici, vous avez un état donc vous avez votre espace et pour prendre votre séquence je peux définir un espace limité ce que je veux vérifier c'est que l'espace différente que j'ai ici qui somme est un espace entier encore, donne ici une compétition donc pourquoi je dois encore une compétition ici ? Donc, pour montrer ça j'utilise la compétition pour vérifier que si je prends un espace il n'est pas contained dans la somme de l'un précédent et juste parce que l'1 n'est pas donc c'est transverse l'1X juste parce ici j'ai la compétition donc si je prends N pour l'espace entier pour le point X N c'était plus petit que 1,5 la norme minimale pour l'autre espace XN maintenant, N est constant est uniforme donc je peux passer à la compétition XN et donc j'ai toujours cette compétition à X qui donne la transversalité et donc le fait que nous avons un somme comme ça et puis vous vérifiez sur la limites, vous avez toujours la compétition sur la domination le problème c'est pour vérifier la invariance donc pour la invariance bien, j'ai juste défini les espaces à la point X donc pour iterer FNx vous justiez iterer la compétition à X et donc vous étiez la compétition à 2 l'orbitage de X donc c'est juste un orbitage maintenant, prendre un autre orbitage vous étiez la compétition et depuis que vous n'avez pas besoin d'une continuité vous pouvez étier la compétition jusqu'à la plage donc pour la continuité nous verrons plus tard donc vous êtes terminés non, je n'ai pas parlé de l'uniquité je veux juste une extension ok on va discuter de l'uniquité après après, ce sera unique ce sera unique ok donc juste pour finir avec la définition et puis on va étudier la compétition donc la définition donc je dis que ce bundle ce bundle est uniformement contracté par F donc c'est ce que je dis ce matin donc pour les normes c'est comme ça la norme donc de toute façon ok, de toute façon encore, il y a plusieurs manières pour une X et une K pour une positive et uniformement uniformement expandi c'est le même, mais pour le passé c'est uniformement contracté pour F-1 ok et donc je dis ce matin que nous pouvons définir une partie de l'hyperbolicité si je regarde K dans une compétition compacte avec la pièce TK qui est dominée donc est partie de l'hyperbolic si donc j'assume la domination et j'assume que l'E1 est uniformement contracté et non trivial ou la dernière EK est uniformement expandi et donc ce que nous pouvons considérer tous les bundles ou les espaces qui sont uniformement contractés nous les mettons ensemble et nous trouvons un nouveau bundle oui nous pouvons mettre tous les espaces qui sont uniformement expandis c'est l'EU et le autre ensemble donc ceci est appelé le centre l'instable et le stable et donc ce que je dis c'est que l'une de ces ici doit être non trivial mais peut-être ceci est trivial c'est hyperbolic donc c'est un moyen de définir une partie de l'hyperbolicité en général il y a plusieurs manières de couper de couper les bundles donc on peut considérer d'autres manières de couper j'ai un autre bundle uniformement contracté un autre centre un autre instable je ne dis pas une décomposition unique donc en pratique on doit préciser parfois c'est appelé depuis il y a plusieurs manières parfois l'une est contente donc parfois c'est appelé l'instable fort parfois c'est appelé l'instable fort juste pour la terminologie non non ce sera un conséquence et puis, qu'est-ce qu'est-ce l'hyperbolicité de l'hypermorphisme donc on peut imaginer la définition de l'hyperbolicité de l'hypermorphisme c'est l'hyperbolicité si chaque classe de recueil c'est l'hyperbolicité d'équivalent le set de recueil est l'union de plein de milliers d'hyperbolicité mais une différence avec le cas de l'hyperbolicité est que le nombre de classes peut être infinie donc maintenant plus de définition peut-être donc très souvent quand les gens parlent de l'hyperbolicité de l'hypermorphisme ce qu'ils ont en compte c'est que le whole manifold est l'hyperbolicité de l'hyperbolicité donc on va dire dans cette lecture que F est globalement partiellement hyperbolic si le whole manifold est partiellement hyperbolic mais en général vous pouvez avoir plusieurs pièces de la dynamique sur cette pièce la dimension stable peut varier comme dans l'hyperbolicité ok donc c'est tout pour la définition vous avez des questions ici donc maintenant prouvez des propriétés des propriétés non-trégales donc la première c'est l'uniquité l'uniquité de la décomposition donc la main lema c'est donc vous considérez qu'il y a un set un set K avec deux différentes spittes dominées un autre c'est H plus G G plus H et vous pouvez imaginer que la dimension de E est moins ou moins de la dimension de G puis le résultat est que vous pouvez spitter plus vous avez le 1er H vous en avez H et dans le milieu vous avez F intersecté avec G donc c'est un spitting qui est dominé donc cette lema donne l'uniquité parce que ce que je veux dire donc ici vous avez la même dimension pour E et G donc en particulier si la dimension de E est la dimension de G et puis E est G et F est H donc fixer la dimension vous avez le même un unique spitting donc comment prouver la lema 1er remarque donc let's take une victoire puis vous pouvez utiliser un 2e spitting pour décomposer maintenant vous êtes en H ici et vous pouvez utiliser le 1er spitting pour décomposer donc maintenant assume que UF est non 0 donc je ne sais pas mais UE mais along F vous expliquez plus que along E donc cette partie expliquez plus que la 1er et donc quand vous intervient la dimension de UH augmente comme UF et c'est non 0 donc ici encore H dominates G donc quand vous intervient UH augmente plus que UG et donc U augmente comme UF D FN de U donc c'est pas possible en E qui est dominée par F en E il n'y a pas de victoire qui a la même grotte que l'autre along F mais c'est une contradiction donc vous voyez que quand vous décompose U il peut être rétenu comme UG et une victoire qui est en H et en E donc UH intervient avec E donc UH est en E U est en E donc UG est aussi en E donc la conclusion est que j'ai décomposé E à la fin de deux espaces une est E intersectée avec H l'autre est E intersectée avec G donc c'est symétrique je peux faire la même si je prends une victoire et je peux le faire comme UE donc on le appelle V VE plus VF et donc VE est intervient avec G et VF est intervient avec G F donc où sommes-vous maintenant donc on est assumé que la dimension de E est plus forte que G on veut montrer que l'E est en G donc l'E n'est pas en G il y a une vector U en E en E, pas en G donc il y a une vector non 0 intervient avec E non 0 et puisque la dimension de G est plus grande que c'est equal à la dimension de E et l'E n'est pas en G il existe V en G mais pas en E et donc il y a en G intervient avec F ce n'est pas 0 ok donc maintenant vous comparez les deux vectors DFN de V et DFN de UH donc vous dites V est en F UH est en E donc celui-ci explique plus que celui-là mais V est en G et UH est en H donc celui-là explique moins que celui-là donc vous avez une contradiction donc quelques autres conséquences donc la continuité maintenant donc si il y a une spécificité dominée par K donc quelles bundles dépendent continuement sur X pourquoi ça ? parce que si vous avez deux séquences qui donnent deux limites différentes ça veut dire que vous pouvez changer la décomposition à la pointe limitée vous pouvez définir un autre mais vous avez une uniqueness quand vous fixez la dimension ok donc vous avez la continuité et un autre c'est que l'un des séquences compactes a dominé la spécificité peut-être un trivial qui est le plus fin mais peut-être un trivial donc d'autres séquences c'est-à-dire d'autres séquences peuvent être obtenues de celui-là par groupes ensemble des bundles consécutifs donc pourquoi ça ? parce que j'ai deux séquences différentes je peux toujours construire une nouvelle qui est plus finie que les deux précédents donc vous appliquez ça plusieurs fois et vous expliquez autant que vous pouvez ah oui, un autre corollerie ok, un exercice donc considérez qu'une séquence compacte donc vous devez vérifier e plus f est dominé pour f f et seulement f et interrète donc et interrète pour 0 c'est dominé f et n donc c'était mais l'unique autre main est un critère pour vérifier la domination qui est un critère un critère donc qu'est-ce que c'est un corollerie si vous avez un espace finiel de l'espace vector un corollerie ici aujourd'hui est défini par une forme non dégénérée et puis le corollerie est défini par q le set de vector v comme que qv est positif donc c'est un corollerie ferme et vous devez définir un corollerie duale c'est un corollerie de minus q et vous devez définir l'intérieur d'un corollerie de q donc tout est ok en r2 avec deux ordinateurs x y vous devez prendre un y2-x2 et donc vous êtes en train de faire ce corollerie donc l'intérieur de q est bien c'est le set de vector comme que qv est très positif mais si vous avez un corollerie vous devez ajouter ok et maintenant on va retourner donc vous voulez une version de bundle donc vous définissez un corollerie donc let's consider region delta non nécessairement invariant je n'assume que c'est fermé et un corollerie en delta est une choisie continue de des formes corollaires sur l'espace tangent sur delta et je n'assume qu'on ne dégénère pas donc vous savez qu'une forme corollaire a un part positif et un part négatif donc elle a une signature donc j'assume aussi que la signature est constante c'est-à-dire d plus d minus donc ça veut dire que dans la cône vous avez un espace plus d plus et dans la cône duale vous avez un espace de dimension d minus donc maintenant on prend des formes d formes donc c'est la cône on n'a pas de c comme ça et on dit que c est contracté par f si il y a un temps comme ça on interrète delta durant le temps n donc pour n'importe point x qui est en delta puis l'image de la cône la cône définie donc ici à n'importe point de la définition à n'importe point il y a une cône, on dit x dans l'espace tangent donc il faut que l'image de cette cône soit map dans l'intérieur de la cône à l'image donc maintenant ce qui est un critère donc pour être contracté par f c'est équivalent que la cône duale est contractée par f minus 1 donc le critère maintenant pour prendre f k et on fixe une dimension d plus et puis k a une spécificité dominée d plus f où la dimension de l'espace fx est équivalent à d plus si et si il y a une cône fil en k avec dimension d plus quelle est la dimension de la cône c'est le signateur donc ici d plus c'est la dimension d plus ok donc pourquoi c'est parce que maintenant nous pouvons voir que la spécificité dominée est une propriété robuste il y a des conséquences donc une conséquence ok une variante compacte pour f a dominé la spécificité d plus f puis la spécificité de k et u de f pour la c1 d'opologie comme ça pour des déformes de morphisme et pour des sets k' en u il y a une spécificité dominée en k' en k' pour g avec les mêmes conséquences c'est ce qu'on appelle parfois la continuation de la spécificité dominée et d'ailleurs donc si vous piquez un point x et un déform de morphisme g et vous regardez la spécificité en point x pour g si c'est défiant si x a un orbitier nu alors cette map continue donc let's check ça c'est plus facile de voir qu'il y a un conflit contracté parce que vous n'avez pas besoin d'une régime invariante et la contraction est quelque chose qui semble le plus robuste donc la première point c'est que vous avez e et f en k mais pour définir un conflit dans une hybride vous devez externer e et f donc on peut externer donc nous savons que e et f continuent et donc nous pouvons externer e et f continuellement dans une hybride u et k c'est invariant ok il n'y a pas de dynamique ici, c'était l'exercice du tutoriel donc c'est possible on peut parler de ça si vous voulez donc nous allons le faire puis en u nous avons e et f et nous définissons un conflit donc pour x et u vous définissez le code cx ce qui est donc vous avez e et f donc en e peut-être c'est composé selon l'exercice d'e et f et ici ce que vous voulez c'est que la norme de u et f est plus grande que la norme de u et e u et e et ce qui se passe si vous éterrez cette partie est plus expandie que cette partie donc si vous éterrez après que vous éterrez et donc, après que vous éterrez pas seulement vous recouvrez cette condition mais vous avez quelque chose de plus fort en fait vous trouvez un strict de qualité et donc vous fallez dans l'intérieur du code donc ce code est contrôlé ce code est contrôlé selon la domination donc c'est contrôlé à point de k mais par continuity aussi pour point dans une haine de haute et maintenant le point de haute et la contraction sont sur une haine de haute mais par continuity c'est parce que vous avez un strict de contraction un set close comme la région de trapping donc par continuity c'est toujours satisfait pour g close à f donc on a le confinement et maintenant prends un set invariant k' pour g il est invariant pour g il y a un contrôlé de haute donc juste un criterion donne la pièce dominée avec la bonne dimension pour la continue vous devez faire la même idée quand vous éterrez la haute la haute devient plus haute et plus haute donc contrôlez la pièce donc la conséquence c'est que le set de l'hyperbolic diffus morphisme est ouvert donc dans l'exercice aujourd'hui il y avait la même pour l'hyperbolic set l'hyperbolic diffus morphisme donc chaque des classes est partiellement hyperbolic si vous pertez vous savez que n'importe class n'importe class pour l'hyperbolic diffus morphisme qui est proche d'une forme de 1 est encore partiellement hyperbolic parce que de cette corollerie donc vous devez vérifier qu'il n'y a pas de classe de loin de la première mais c'est parce que il n'y a pas de classe par l'hyperbolic diffus morphisme donc dis-moi quelque chose de la preuve une question il y a un moyen qui est clair si il y a une spritz dominée il y a un confil contracté on l'a déjà fait le set de vector U qui est composé Ue plus Uf donc Uf est plus grande que Ue donc on va faire la direction donc assume il y a un confil contracté donc à un point X ce qu'est un convidat pour être l'espace E l'espace F donc on s'appelle X c'est... quand vous éterrez le confil c'est marqué en soi et quand vous éterrez le confil c'est contracté donc il faut convertir un espace c'est ce que vous faites vous éterrez le point forward et vous faites le même pour le passé donc la preuve est V plus et V minus dans un coin vous avez toujours un espace de dimension D plus donc ici vous avez une intersection donc V plus toujours contient un espace de dimension D plus et V minus contient toujours un espace de dimension D minus et par contre les coins sont déjointes ou s'il y a éterré il contient 0 ça implique C'est V plus X plus V minus X qui a une dimension D plus D minus D plus ce qui est ce que vous voulez et par définition par construction il est invié donc let's see pourquoi il y a des espaces donc à X la preuve de la preuve c'est pour V plus donc vous avez une intersection des sets qui sont dans un espace qui sont des coins donc la limite est un coin V plus de X est coin-like pas dans le sens que j'ai donné avant avec la forme mais dans le sens que c'est saturé par multiplication et pour vérifier que c'est donc c'est c'est un espace linéaire si et seulement si pour une intersection avec deux planes c'est un espace linéaire donc vous devez comprendre l'intersection avec deux planes donc vous fixez fixez deux planes et j'assume que c'est pas un espace linéaire donc c'est pas si c'est un espace linéaire c'est peut-être mt, une ligne ou p si pas c'est pas linéaire bien par construction p est un plane par construction c'est pas pas un espace linéaire en ontutive ou p c'est pas le cas c'est pas un peu dépassé mais c'est pas ça c'est pas un espace linéaire et on a un espace linéaire c'est pas un espace linéaire c'est pas un espace linéaire de x et vous intersectez avec p est bondé par deux lignes rvn rwn, donc qui sont ici, shrink to vnw. Et maintenant vous voulez trouver une contradiction ? So let's iterate backward by df minus n. So what do we have ? So we had a cone, so we had a cone bonded by df minus n of vn and df minus n of wn. So those are the boundary of the cone C at the point f minus n of x. So it is the initial cone field, so it has, it is open and the angle is constant. We have a fixed angle. Now let's look to vn plus 1 and wn plus 1. I don't have color. So here f plus 1, n plus 1, but for the same iterate. So here all the lines are closed and so when we iterate backward these lines are still closed. Why so ? Because I am iterating by linear map. So here I have two lines that are closed here also. But what is this line ? In fact it's inside. But what is this line ? It is a boundary of the image of the cone by one iterate. So the cone is mapped into itself strictly et so this angle in fact is uniformly bounded away from zero because of uniform contraction of the cone into itself. But since this construction is close to a limit 1 the angle has to be small to zero. So there is a contradiction. It contradicts the contraction of the cone. And so here we are. Ok, so basically it's what I had to say today. So tomorrow Raphael will talk and he will present many examples of different constructions of partially hyperbolic difformorphism. Thank you.