 une des raisons pour lesquelles je vais parler en français, c'est qu'en fait une bonne partie de l'exposé, la plus grosse partie, sera une lecture commentée d'un texte de point carré, le texte où il introduit le nombre de rotations, et ce texte est en français. Donc de toute façon, je pense qu'un petit peu de connaissance du français serait nécessaire. Alors, donc je veux vous commenter ce texte, d'abord le situé dans l'œuvre de point carré, donc entre 1981 et 1881 et 1886, point carré va consacrer une série de quatre mémoires à la théorie qu'on appelle aujourd'hui théorie qualitative des équations différentielles. Enfin, c'est en fait un mémoire en quatre parties parce que les chapitres sont numérotés de façon séquentielle d'un mémoire à l'autre. Donc voilà les quatre références, les deux premiers en 1981 et 1982, ensuite les deux suivants en 1985 et 1986. Il y a eu des petites variations sur le titre, il s'appelle mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle, il devient sur les courbes définies par les équations différentielles, et puis sur d'ailleurs le même le nom du journal qui est pourtant le même journal, mais qui s'appelle dans la troisième partie journal de mathématiques pure et appliquée, qui est simplifiée en journal de mathématiques dans les autres. Alors, en fait, je veux m'intéresser seulement à une partie d'un chapitre dans une des parties. Donc c'est la troisième partie, celle qui est publiée en 1885 et qui est constituée des chapitres dix à quinze, et c'est le chapitre quinze qui va m'intéresser, et c'est le seul que je vais considérer. Le titre du chapitre, c'est étude particulière du tort, donc l'ensemble des trois F par parties est consacré aux équations différentielles du premier ordre. La quatrième partie est consacrée à des équations différentielles du second ordre, et donc ceci est le dernier chapitre consacré aux équations différentielles du premier ordre. Donc, c'est ici qui va définir le nombre de rotations, et en fait plutôt que d'utiliser la pagination de la revue, j'ai utilisé la pagination des œuvres complètes. Donc ce chapitre-là, donc l'ensemble des mémoires, ça constitue quelque chose comme 250 à 300 pages, mais ce chapitre particulier, c'est seulement une vingtaine de pages, entre 137 et 158. Alors voilà d'abord les premières lignes. Les premières lignes, donc je vous laisse les lire, je ne vais pas simplement... Donc où il parle des surfaces de genre 1 qui va considérer, et qui sont donc les seules où il y a un champ de vecteurs, puissent ne pas avoir de points singuliers. Puisque dans les parties précédentes, il a consacré une bonne partie de ses travaux, en particulier aux singularités, des équations différentielles, mais aussi à la notion de cycle limite et à la définition des cycles luts. Et donc il va s'intéresser ici à des champs de vecteurs ou des équations différentielles sur le tort, 100 points singuliers. Donc en pratique, alors il appelle, j'ai gardé ces notations quand elles me semblaient compréhensibles pour le lecteur contemporain. Je devrais dire d'ailleurs que la lecture que je fais, c'est une lecture, c'est pas une lecture d'historien dans le sens où je n'ai pas essayé de me placer dans le contexte au livet.ca, c'est vraiment une lecture de mathématicien à la lumière de ce qui s'est passé ensuite. Donc ils considèrent une équation différentielle sur le tort. Les coordonnées angulaires sur le tort sont donc ces oméga-fis. Et donc les grands oméga-grandfis qui considèrent sont en fait... Il y a une restriction. Une restriction, mais qui va avoir son intérêt, enfin son sens plus tard, c'est que grand-oméga-grandfis sont des polygônes trigonométriques. Alors ça restreint un petit peu la portée de ce qu'il va faire, bien que en fait, comme vous le verrez, pratiquement à aucun moment, enfin il ne va l'utiliser à aucun moment, en tout cas par rapport au cas où grand-oméga et grand-fi seraient, disons, analytiques. Mais enfin, il fait cette hypothèse. Il n'utilise d'ailleurs pas polygônes trigonométriques, mais polynômes. On a donc cette hypothèse. Et alors il y a une première partie qui n'est pas la plus intéressante, les premières pages, où d'abord il cherche à appliquer ce qu'il a fait dans les parties précédentes, donc en essayant d'expliquer comment, si on a un domaine annulaire tel que le plot, enfin le champ de vecteur, soit transverse sur le bord, effectivement, on pourra, mais il l'a fait. Encore une fois, dans les parties précédentes, c'est des rappels, on peut déterminer le nombre de cycles limites dans cette partie annulaire, suivant que l'orientation, la transversalité est paire dans le cas où c'est la même orientation et un paire dans le cas opposé. Et donc ensuite, il va considérer deux exemples. Alors un qui est bien sûr un exemple fondamental, c'est le cas où les fonctions grand-fils et omega qu'on a vus sont des fonctions constantes, c'est-à-dire le cas des flots linéaires sur les tords, où bien sûr il distingue le cas rationnel où toutes les orbites sont fermées, du cas irrationnel où toutes les orbites sont denses. La terminologie dense d'ailleurs n'existe pas encore à l'époque. Mais ensuite, il prend un autre exemple qui est fait un peu pour pouvoir appliquer les méthodes du chapitre 8, ces méthodes sur la détection des cycles limites. Donc c'est un autre exemple où il est capable de montrer, donc cette fois-ci avec une perturbation qui n'est pas très loin en fait de ce qu'on appelle aujourd'hui la famille d'Arnold, pour l'édithéomorphisme du cercle, bien que là la perturbation se passe sur les champs de vecteurs, et qui conduit à, alors pour les paramètres qui considèrent, à des exemples avec deux cycles limites, un attractif et l'autre répulsif. Bon, ceci pour des exemples. Et puis ensuite, il va se placer dans ce, alors ce qu'on serait tenté d'appeler le cas général, en fait il va faire donc, j'ai dit presque général, le presque est de moi, parce qu'il fait l'hypothèse suivante, nous supposerons donc Omega et Phi sont croissants avec le temps, c'est-à-dire que les deux coordonnées du champ de vecteurs, grand Omega et grand Phi, sont strictement positifs. Alors il semble que nul part utilise en fait que grand Omega soit strictement positif, il ne se sert en fait de grand Phi. Et puis alors vous voyez que ici, il dit de plus, il n'y a sur le temps aucun point singulier. Alors le de plus est un peu mystérieux pour moi, parce que clairement dans la suite, il suppose que grand Phi est positif, donc ce qui exclut a priori tout point singulier. Enfin là, encore une fois, la partie bien sûr en bleu italique est directement copiée, enfin reproduite du texte de point carré. Donc bon, alors par ailleurs, l'impression que dans l'introduction clairement c'est qu'il ne considère pas que ça soit vraiment une restriction. C'est-à-dire que bon bien sûr, c'est certainement pas dans cette partie du papier et je dois vous avouer, je ne suis pas allé voir partout ailleurs, qui montre que pour un champ de vecteurs sur le torse en point singulier, on peut toujours trouver une section transverse. Ici, il se place dans un cadre où on a une section transverse gratuitement, qui va tout de suite considérer, mais disons que la rédaction laisse penser qu'il considère que ça doit être de toute façon toujours vrai et qu'on se ramène en quelque sorte toujours à ce cas-là. Enfin il n'en a aucun argument dans cette direction. Donc il considère ensuite l'application de retour, comme grand Phi est positif, donc c'est l'évolution du petit Phi, donc il va considérer l'application de retour sur ce qu'il appelle le méritvien Phi égale 0. Donc il observe que Phi est le Psi, donc cette application de retour est alors dans le langage moderne, diffémorphisme analytique préservant l'orientation. Donc le analytique, c'est parce qu'il a supposé au début que le grand Phi et le grand Omega étaient analytiques. Le analytique suffirait, mais en l'occurrence je suppose même que c'est des polygones trigonométriques. Voilà. Donc ensuite, il aborde l'étude de Psi, de ce diffémorphisme lui-même et donc il pose les bonnes questions. Je puis alors me poser les deux questions suivantes. Alors d'abord, quel est de la propriété de l'ensemble P ? Donc P c'est, ça désit, une orbite, donc l'ensemble des points, une orbite pour ce diffémorphisme Psi. Et alors les dérivés, je vous rappelle, c'est une terminologie qui me semble-t-il n'est plus de 13 utilisée, en tout cas dans les articles de recherche aujourd'hui. Mais l'ensemble dérivé d'un ensemble, c'est l'ensemble des points d'accumulation. Et donc on cherche à comprendre l'ensemble des points d'accumulation d'une orbite, en d'autres termes, ce qu'on appelle aujourd'hui l'ensemble limite. Et donc ensuite, qui se pose la deuxième question qui veut se poser, c'est dans quel ordre circulaire sur le méridien sont distribués les points d'une orbite. Voilà. Alors donc il appelle P, P prime l'ensemble dérivé. Il observe là, c'est une remarque élémentaire, que cet ensemble dérivé, juste par invariance, se part Psi, il est soit dix joints de P, un soit il contient P. Alors bien sûr, on reconnaît dans la définition que le cas où P est contenu dans P prime, c'est le cas où l'orbite considérée récurrente, récurrente dans le logâge moderne. En fait, dans le langage de point carré, ça s'appelle stable. Mais enfin bon, ça prête à confusion quand on lit rapidement, mais donc ce qu'il appelle stable, l'orbite est stable si elle est récurrente, et puis donc non récurrent. Alors ensuite, de nouveau, il y a, enfin, disons, quelque chose qui est parfaitement correct, mais un peu bizarre de la façon dont c'est dit. Il a un théorème qui est en fait, je crois, le seul théorème dans le chapitre qui dit que si P prime est dix joints de P pour tout point M, donc ça voudrait dire si il n'y a pas de points récurrents, si il n'y a pas de points récurrents, le flow a des cycles limites et toutes ces orbites sont fermées. Alors l'argument qui donne est parfaitement correct. La seule chose, c'est que bien sûr, en l'occurrence, l'hypothèse qui fait, enfin je veux dire, il y a toujours des points récurrents, et donc bon. Mais enfin, l'argument qui fait est parfaitement correct, mais il ne tient pas compte, il n'observe pas en quelque sorte que les cycles limites qu'il obtient dans la démonstration sont eux-mêmes, vérifient eux-mêmes la propriété que P prime contient P. Bon, alors on sent un petit peu, disons, ce qui arrive souvent chez point carré, c'est qu'il avance, enfin je veux dire, il va de l'avant, il ne revient pas vraiment en arrière et bon, là je pense que c'est un cas particulier. Ce qui l'écrit est parfaitement correct, simplement il manque une remarque évidente en quelque sorte pour dire que l'hypothèse était en fait impossible. Alors ensuite, donc, il considère, il observe que dans le cas linéaire, toutes les orbites sont récurrentes, et donc il se pose de nouveau une très bonne question. Est-ce qu'on peut avoir certains points qui sont récurrents ? Je traduis la citation, et certains autres points qui ne le sont pas. Alors je devrais dire qu'à partir de là, il suppose systématiquement qu'il n'y a pas de cycles limites, j'aurais dû l'écrire, mais je ne l'ai pas écrit. Mais à partir de cet endroit-là, il va supposer qu'il n'y a pas de cycles limites, et donc il fait cette hypothèse. Alors en fait, pas d'orbites fermées, je devrais le dire différemment parce que cycles limites veut dire une orbite fermée avec certaines propriétés supplémentaires. Donc il considère maintenant un champ de vecteurs, enfin même avec la propriété que phi et omega sont positifs, mais un champ de vecteurs donc 100 points singuliers et 100 orbites fermés. Donc pour ces champs de vecteurs, donc il se pose la question, est-ce qu'on peut avoir certains points récurrents et pas d'autres ? Alors enfin, donc c'est à ce moment qu'arrive la définition du nombre de rotations. La notion, je veux dire, la terminologie, le nombre de rotations n'apparaît pas chez Poincaré, elle est postérieure. Je ne suis pas sûr d'ailleurs, ils ont utilisé le premier le nombre de rotations, mais en tout cas, elle n'est pas dans l'article. Donc ceci étant, la notion, il est définitivement, puisqu'il appelle alpha i la longueur entre donc un point et son image, donc c'est-à-dire psi de x moins x en quelque sorte, en termes de, pas ceci étant pour x égale f i de m, psi i de m. Et donc voilà ceci, je dis qu'il affirme, il affirme que le rapport, alors de nouveau, on voit un petit peu, je veux dire, il se relie pas trop parce que je suis sûr qu'en se relisant, il aurait mis, on voit qu'on a une moyenne, sauf que malheureusement il y a une plus interme au numérateur et haine au déminateur. Bien sûr, ça ne change pas le fait que la limite converge, mais ça choque en quelque sorte un petit peu le lecteur, j'aime bien les choses un peu propres. Et donc il affirme que cette limite tend vers l'infini et vers une limite qui est indépendante de i, en fait donc ça voudra dire même que la limite est uniforme par rapport au point m considéré. Et donc cette limite va être incommensurable, alors le deux pières ici, c'est en fait la longueur du cercle méridien, il n'a pas normalisé la longueur du cercle, moi je vais la normaliser, je vais prendre la longueur du cercle méridien, il y a la 1, mais enfin je veux dire son cercle lui est de longueur deux pières parce qu'au départ il a pris un tort de révolution explicite et R désigne bien sûr le rayon du deux pières. Un des rayons correspondant à ce tort de révolution. Il y a toute une remarque là dessus, il sépare la notion de relèvement effectivement, il est assez soigneux là dessus, enfin il est assez soigneux. Non non mais je veux dire, il est bien conscient du problème et il y a tout un discours en disant que à certains endroits il faut interpréter les choses au modulo de pi et à d'autres il faut prendre des relevés et considérer que c'est de nombre réel. Donc là il est tout à fait conscient de la difficulté mais de faire attention à ce qu'on veut dire. Donc quel est son argument, donc quelle est la démonstration puisque il donne une démonstration, donc il vient de dire je dis que le rapport essuie deux ou trois pages, deux ou trois pages de démonstration qui est alors en raccourci est essentiellement la suivante. Donc il regarde, il montre que pour chaque entier cas, en fait si on regarde donc, alors là j'utilise ma notation, enfin la notation contemporaine Psi K de M moins M, donc ici j'ai pris un relevé, un Psi va justement être un relevé au réel du difamorfisme en question, et bien Psi K de M moins M va être compris entre deux entiers consécutifs nu et nu plus un. Simplement parce que si la quantité Psi K de M moins M prenait une valeur entière, bien sûr ça correspondrait à une orbite fermée. Donc il définit ce nu et il y a le nu de K par cette propriété et il fait ensuite l'observation que si on regarde les rapports donc nu de K sur K, nu plus un de K sur K et le même intervalle mais maintenant pour un autre entier K prime, et bien ces deux intervalles donc donc la longueur va tendre vers zéro lorsque K tend vers l'infini, ces deux intervalles doivent avoir une intersection non vide, simplement en considérant la différence Psi K prime de M moins M et si on regarde la taille de ceci, on peut décomposer les K prime intérations d'une part entre K prime fois K intérations et K prime intérations et ça conduit à la conclusion. Donc une démonstration et alors une fois qu'on a que ces intervalles s'intersectent, c'est très facile de voir que effectivement l'intersection de tous ces intervalles constituer d'un point et ce point c'est précisément la limite que Poincaré recherche. Alors il y a un petit argument supplémentaire pour dire que cette limite est effectivement irrationnelle mais enfin je veux dire qui est Poincaré fait, il n'y a pas de problème. Voilà alors en fait il montre quelque chose d'autre en plus il résume la question qui s'est posée auparavant c'est-à-dire qu'il détermine l'ordre circulaire des points d'une orbite. Il montre que cet ordre ne dépend que du nombre incommensurable mu donc il utilise effectivement mu comme notation c'est mu n'est pas la limite c'est la limite c'est mu sur deux pierres donc normalisant bien sûr deux pierres il y a un. mu deviens la limite mais enfin je veux dire ce qui est la peine mu c'est la limite divisé par la longueur du cercle bien sûr donc c'est vraiment le nombre de rotation et donc il montre que l'ordre circulaire des points d'une orbite est exactement le même que ce correspondant à la rotation. Oui c'est bien sûr la partie entière donc c'est bien ce qu'on veut alors donc pour ce qui est de la définition du nombre de rotations je pourrais m'arrêter là mais enfin la suite est tout à fait intéressante donc je vais je vais aussi la considérer et donc alors à plan de nouveau p prime toujours l'ensemble dérivé donc l'ensemble des points d'accumulation d'une orbite. Il se donc voilà le texte il considère trois cas qui sont simplement trois possibilités logiques sur la relation. Sur p prime je veux dire alors le premier cas c'est que p prime est égal au cercle tout entier alors ça veut dire donc en d'autres termes que l'orbite en question est dense. Alors le deuxième cas ça serait que l'orbite n'est pas dense p prime n'est pas égal au cercle mais néanmoins p prime est d'intérieur non vide p prime contient certains. Et finalement un troisième cas bien sûr c'est que p prime ne contient aucun arc donc là c'est juste de la logique mais en fait il se represse de dire justement dans la foulée que le deuxième cas. Que la deuxième hypothèse doit être rejet donc il fait l'armement qui n'est pas difficile. Et donc il va ensuite considérer les deux autres les deux cas qui n'a pas su exclure donc le premier celui des orbites danses donc on sait et pour carré aussi que ça correspond au cas où comme les orbites sont danses on peut construire une conjugaison topologique. Entre le niféomorphisme si et la rotation correspondante la corrélation d'angle mus et donc il construit cette cette conjugaison d'ailleurs j'ai juste une curiosité de nouveau il tient à écrire la conjugaison. Comme une série alors en l'ayant construit déjà je veux dire comme mémomorphisme et pour ce je ne sais pas si il veut écrire ça comme une série trigonométrique convergente. Ce qui est peu probable je veux dire je n'ai certainement pas d'exemples peut-être à vous proposer mais comme en général la conjugaison est très peu différenciable il n'y a pas de trop de raisons. Que la série trigonométrique que la série de fourriers soit absolument converse enfin je sais pas quand il n'épilogue pas toute façon sur en quel sens elle serait convergente. Simplement je pense que c'est la périodicité qu'il conduit à créer une série de fourriers et. De discute pas vraiment la convergence. Alors ensuite il analyse le troisième cas qui la exclut le deuxième cas donc le troisième cas c'est celui que aujourd'hui on appelle celui des contre-exemples de Danjois celui donc où l'ensemble dérivé est un ensemble de cantors donc il rend d'ailleurs hommage à cantors et donc. Alors il analyse ce six c'est-à-dire qu'il construit vraiment la semi conjugaison donc vous savez que dans le cas des contre-exemples de Danjois le difomorphisme si va avoir des intervalles errants et la semi conjugaison va écraser ces intervalles errants en des points donc on va faire conjuguer enfin semi conjuguer à la rotation correspondante. Et donc ensuite finalement il se pose la question est-ce que cette troisième hypothèse peut intervenir est-ce qu'elle est possible donc je vous laisse lire le texte donc est-ce que cette hypothèse est-ce qu'elle est compatible avec les trois principes que nous avons énoncés plus haut au sujet de la loi de conséquence et avec la forme particulière des équations différentielles considérées. Est-ce qu'on peut avoir des contre-exemples de Danjois ? Alors en fait il a une première affirmation qui ne sera pas justifié dans la suite enfin c'est malgré tout quand même une affirmation assez forte qui dit qu'elle est compatible avec les deux premiers principes en fonction de quoi si je devrais dire. Je lis ça le psy est un homéomorphisme le psy est un homéomorphisme donc bon je conclue quand même qu'il devait savoir quand même plus ou moins comment construire au moins des contre-exemples de Danjois c'est zéro. Donc il y a cette affirmation ensuite il se pose la question le troisième principe c'est que l'application de retour était homomorphes. L'application de retour était homomorphes donc bien sûr on sait aujourd'hui que à ce moment là le troisième hypothèse enfin les contre-exemples de Danjois n'existe pas pour des diffeuble morphismes homomorphes. En fait il suffit que les diffeuble morphismes soient de classe C2 mais donc il continue comme ceci. Il faudrait ou bien trouver un exemple donc où la troisième hypothèse soit réalisée ce que je n'ai pu faire jusqu'ici ou bien démontrer l'impossibilité dans tous les cas. Et alors là bon son intuition le bon n'est pas tout à fait dans le bon sens puisque il pense effectivement qu'on peut construire des contre-exemples même le morphe. Ceci étant il voit bien qu'il y a des gros problèmes il voit bien qu'il y a de gros problèmes parce que juste après cette citation il commence à donner des arguments dans le sens inverse après avoir dit que bon il pense que l'hypothèse est réalisable. Malgré tout il explique que si il y a des intervallérents ça va nécessairement créer des gros problèmes de ce qu'on appelle aujourd'hui distorsion des dérivés des itérés qui est bien sûr la base de la démonstration de Danjois. Donc voilà donc la base de la démonstration de Danjois sur le fait qu'un diffeuble morphiste de classe C2 ne peut pas avoir d'intervallérents. Donc il est nécessairement dans le premier cas que Poincaré a considéré. Alors c'est presque la fin de l'article il reste deux pages et deux pages apparaissent des petits déluminateurs puisqu'il explique dans le cas perturbatif comment écrire la théorie de perturbation qui donne formellement la conjugaison. Et donc ayant évoqué ceci donc encore une fois formellement. Formellement il ne considère pas de question de convergence mais par contre il revient à la mécanique céleste. Puisque voilà le texte il est impossible de n'être pas frappé de l'analogie de ce procédé d'approximation avec la méthode de Monsieur Limstead en mécanique céleste et de ne pas comprendre que la question de la convergence du procédé que je viens d'exposer est intimement liée à celle de la convergence des séries employées par le savant astronome de Dorpath. Mais le problème que nous traitons ici est évidemment plus simple que les questions analogues de la mécanique céleste et si les difficultés sont de même nature elles sont moins nombreuses et sans doute plus aisées à surmonter. Il explique d'ailleurs aussi, j'ai pas mis cette citation, que c'est une des raisons pour lesquelles il a considéré le problème lui-même. C'est une des motivations de Poincaré c'est l'analogie avec la mécanique céleste. Bon alors voilà où ça arrête donc c'est essentiellement la fin de l'article là. Il manque quelques lignes mais quelques lignes où il annonce ce qu'il va faire. D'une part il dit que si jamais il a de nouveaux résultats sur ce sujet il y reviendra mais bon il n'y est pas revenu. Et puis d'autre part il explique ce qu'il va faire dans la quatrième partie qui consacrée à des équations différentielles du second ordre. Donc voilà l'article de Poincaré donc dans le temps qui me reste dans les 20 minutes qui me reste je voudrais discuter un petit peu de façon informelle qu'elles ont été le succès de la notion de nombre de rotation différentes généralisations. Alors d'abord on voit que chez Poincaré on a déjà deux points de vue sur le nombre de rotation qui correspond en fait aux deux constructions des nombres réels celle de Cauchy par les suites de Cauchy donc construisant les nombres réels comme complétion du corps des nombres rationnels et puis la construction de Dédéking qui est une construction par l'ordre par les coupures de Dédéking donc utilisant l'ordre total sur les nombres rationnels. Puisque en fait d'une part le nombre de rotations alors la définition choisie par Poincaré c'est donc cette moyenne que j'ai réécris sous cette forme là la moyenne donc insurène fn2x-x qui est la moyenne de Birkhoff insurène somme le long d'une orbite moyenne temporelle de la fonction phi qui est donc fn2x-x et puis d'autre part on peut déterminer le nombre de rotations donc pas par un procédé de limite mais par un procédé de comparaison avec les nombres rationnels et donc c'est fait par Poincaré dans le texte avec chaque c'est en fait la démonstration qu'il a utilisé que la première suite converge c'est que justement pour chaque nombre rationnel p sur q eh bien le nombre de rotations mu il est plus grande p sur q si fq2x c'est plus grand que usp pour tout nombre réel x et puis plus petit si l'illégalité va dans le sens inverse je vous rappelle d'ailleurs que Poincaré j'ai pas mis le cas d'égalité parce que Poincaré a toujours dans le son texte considéré seulement le cas où il n'y avait pas d'orbite fermée il a une remarque assez rapide en disant que le cas rationnel est trivial ce qui est pas je veux dire le cas rationnel fonctionne en fait de la même façon d'une certaine façon si rationnel si on se pose la question de l'ordre circulaire en particulier des orbites on est amené à refaire un petit peu ce qu'on a fait dans le cas rationnel il n'est pas franchement trivial il faut un petit peu refaire ce qu'il a fait alors bien sûr pas en tant que limite mais enfin le fait que définir un nombre de rotations dans le cas rationnel réclame de travailler un petit peu alors donc quels sont les généralisations alors je commence par les généralisations les plus les moins générales si j'ose dire où on va passer d'un nomméomorphisme du cercle à un endomorphisme du cercle de degré 1 donc ce qui se passe c'est qu'au départ alors d'abord regardons un cas qui est presque un nomméomorphisme c'est-à-dire une application toujours de la forme x plus phi de x psi de x phi de x pardon mais phi de x tel que f soit croissante au sens large donc on permet essentiellement à f d'être constant sur certains intervalles alors à ce moment-là c'est très facile de voir que tout ce que Poincaré raconte reste vrai exactement de la même façon c'est-à-dire en particulier que la suite qu'il a considérée sur nfn de x minus x et qu'on verge encore uniformément vers une constante qu'on appelle le nombre de rotations de f donc là rien de changé donc pas vraiment une extension mais ce que je veux ensuite faire pour le cas des endomorphismes c'est garder le fait que phi est continue de périodin mais maintenant je vais pas faire l'hypothèse que grand f est croissante donc ça veut dire que grand f qui est un relèvement relève une application de degré 1 du cercle dans le bimène alors ce qu'on peut faire c'est considérer la plus grande application croissante qui est plus petite que f et la plus petite application croissante qui est plus grande voilà le dessin le moment d'utiliser le pointeur en rouge vous avez le graphe de f en bleu vous avez le graphe de l'application f upper enfin u pour upper que vous voyez ici et en en vert f flower qui est ici bon donc alors ce qui se passe bien sûr c'est que aussi bien f l que f u sont du type que j'ai considéré antérieurement sont croissantes par définition et donc on peut définir pour f l et f u un nombre de rotations un vrai nombre de rotations par la définition de la donnée et donc on appelle l'intervalle de rotation l'intervalle fermée borné par ces deux là comme f u est supérieur à f l un roh de f u est supérieur à roh de f l et donc les points sont rangés dans 17 et on définit bien comme ceci un intervalle alors l'intérêt enfin je veux dire bon ça c'est une définition mais on peut montrer qu'effectivement on obtient comme ceci exactement l'ensemble des limites donc des suites alors les suites en question ne sont plus forcément convergentes si on prend un point x a priori la suite insurène f n du x moins x n'a pas de raison de converger elle peut elle peut très bien aussi mais si on prend simplement les suites parmi celles là qui sont convergentes donc les x pour lesquelles la suite est convergente on obtient exactement comme limite tous les points de l'intervalle de rotation en question voilà pour une première généralisation alors ensuite donc il ya une généralisation toutes ces généralisations dont je vous parle sont bien connues à l'exception peut-être un petit peu de la dernière donc on peut passer du cercle au tort de dimension supérieure donc on considère de nouveau une fonction cette fois-ci qui est continue mais qui est défini sur rd et périodique de périodique de périodique 1 dans chacune des variables et donc si on considère f2x égal x plus f2x mais vu maintenant dans rd on obtient comme ceci une application qui relève un homomorphisme du tort donc qui n'est pas un homomorphisme une application du tort dans lui-même qui est au motop à l'identité alors dans ce cas là on va définir l'ensemble de rotation en considérant alors ici c'est une définition de nouveau en considérant alors vous vous rappelez que le nombre de rotation pour un homomorphisme du cercle apparaissait comme une limite de somme de Birkhoff donc c'est pas étonnant comme c'était une limite de somme de Birkhoff de retrouver la moyenne de phi par rapport à des mesures invariantes donc mu va être ici l'ensemble des mesures de probabilité invariantes par petit f, petit f c'est l'application que grand-f relève et donc on considère les différentes moyennes possibles de la fonction phi donc évidemment ces moyennes sont prises dans rd on obtient des points de rd comme ceci et on obtient donc une partie comme ceci qu'on vexe compact de rd simplement parce que l'ensemble des mesures invariantes de probabilité invariante est elle-même une partie qu'on vexe compact et donc ce qu'on obtient par le théorème de Birkhoff c'est que tout point extrémal dans cet ensemble de rotation élimine une suite convergente de nouveau 1 sur n fn de x, mais il n'est plus vrai dans ce cadre en dimension supérieur que tous les points de l'ensemble de rotation seront de telles limites c'est vrai seulement pour les points extrémaux peut-être un peu plus que pour les points extrémaux mais en tout cas pas pour tous les points de l'ensemble de rotation je devrais dire ici que là j'aurais pu on pourrait faire un exposé entier et même plusieurs sur le cadre de la dimension 2 en dimension 2 on comprend beaucoup plus de choses sur les relations entre la dynamique de f, petit f sur le tort et les propriétés de son ensemble de rotation qu'un dimension supérieur ou il me semble qu'on va le dire il n'y a pas beaucoup de résultats substantiels alors inversement bien sûr c'est juste pour donner la relation entre les limites si on prend cette fois-ci sur n fn de xn moins xn donc le point lui-même peut varier avec n et bien sûr trivialement par toute valeur d'adhérence d'une telle suite et dans l'ensemble de rotation en compasité l'ensemble des mesures invariantes plutôt par construction des mesures invariantes à partir de moyenne sur les ordres alors il y a une généralisation un petit peu de ceci au cas de variété quelconque qui est celle des cycles asymptotiques bon que j'ai que je présente comme ceci donc on prend cette fois-ci maintenant une variété compacte et une application continue au motop à l'identité et on va choisir une homotopie donc on choisit une homotopie qui connecte l'identité f0 à f égal à f alors donc j'ai appelé gamma indice x le chemin qui connecte x à f2x suivant justement cette homotopie et donc on va définir quand on choisi quand on prend une informe fermée sur m on va définir cette quantité qui est simplement l'intégrale de la forme sur le chemin gamma ic et puis ensuite quand on a une mesure de probabilité sur m on va moyener cette quantité donc on définit yf de mu omega comme la moyenne sur x de yf de x omega et on observe que ça ne dépend que cette moyenne ne va dépendre de omega mais seulement en fait de sa classe de comologie la raison c'est que si on prend omega exact donc omega égal ds et bien la quantité yf de x omega sera simplement égale pour qu'on intègre une forme exacte ça ne s'est pas pour s'effaire et on obtient s de yf de x minus yf de x et bien sûr comme la mesure mu est invariante l'intégrale de cette quantité vaut 0 et donc on a une forme linéaire qui est donc qui a la classe de comologie de omega à ceci cette quantité i de mu omega et donc c'est cette forme linéaire une forme linéaire sur la comologie ça définit un élément du groupe d'homologie achat de MR et c'est cette quantité qu'on appelle le cycle asymptotique mu moyen alors il y a une façon au moins dans le cas où la mesure est ergodique ah oui je devrais simplement dire que c'est une application affine et donc on définit comme ceci de nouveau comme le cas précédent ceci est simplement une extension du cas des tords de dimension supérieure au cas d'une variété quelconque compact quelconque mais donc son image est une partie convexe compact et pour avoir une interprétation de nouveau en termes de somme de Birkhoff ici c'est la suivante alors au moins dans le cas ergodique parce qu'il nous faut le théorème ergodique de Birkhoff pour relier les sommes à la moyenne et bien donc on considère if de mu c'était donc c'est la limite pour mu presque tout x du chemin suivant alors c'est plutôt la classe suivante donc on prend 1 sur n gamma x de n et gamma x de n c'est donc le chemin obtenu par contre la tédation on avait ce chemin de x à f de x et puis ensuite on fait la concatenation du chemin gamma f de x qui va de f de x à f de x etc etc donc au total on obtient un chemin qui va de x à fn de x et c'est ce chemin là oui alors je m'excuse je les il faudrait que je évidemment c'est pas un chemin fermé donc je m'excuse la stipule erreur de ma part il faut que je boucle ce chemin fermé avec un lacet borné disons dans la variété compacte de façon à voir un lacet et obtenir une vraie classe de homologie ceci étant modulo ce petit rectificatif on obtient comme ceci ce cycle asymptotique dans le cas ergodique alors dernier je conclure mon exposé alors toutes toutes les toutes les extensions dont je viens de parler qui sont en fait plus ou moins les mêmes d'une certaine façon se correspondent au point de vue de Cauchy c'est-à-dire que comme limite de somme de Birkhoff et en tout cas la construction donc par approximation du nombre de rotations ici c'est plutôt l'ordre qui va intervenir donc alors je vais être assez bref je ne vais pas vous faire un cours sur les échanges standards généralisés c'est mon je ne suis pas mal intéressé ces dernières années donc alors d'abord qu'est-ce que c'est qu'un échange d'intervalle standard et généralisé alors bon je commence par une rotation donc vous voyez à gauche une rotation mais je veux voir la rotation sur le cercle mais je veux la voir sur l'intervalle je découpe le cercle pour en faire un intervalle et à ce moment-là une rotation sur le cercle devient un échange de deux intervalles qui est que vous voyez ici à gauche et ici c'est le graphe le graphe est constitué de deux segments parallèles à la diagonale ensuite donc pour un échange d'intervalle standard il s'agit juste de remplacer deux enfin le nombre d'intervalles par un nombre plus grand intervalle ici vous avez un exemple avec quatre intervalles donc vous avez effectivement ici le découpage de découpage de l'intervalle en intervalle de même longueur enfin en haut je veux dire les intervalles ici qui sont appariés d'une certaine façon combinatoire en tout cas l'important c'est que justement le graphe de nouveau soit constitué de segments parallèles à la diagonale en d'autres termes la restriction de l'échange d'intervalle à chaque sous-intervalle de continuité est une translation donc voilà pour un échange d'intervalle standard et bien pour les pour alors ensuite un homomorphisme du cercle j'ai envie de dire c'est la même chose mais de façon non linéaire en d'autres termes vous continuez à couper le cercle en deux intervalles mais maintenant les intervalles n'ont plus besoin d'être de la même longueur ici et ici et voilà de nouveau le graphe qui est constitué alors je veux ici que les applications préservent l'orientation de façon que pour un échange d'intervalle généralisé on obtiendra ceci ici de nouveau on a coupé l'intervalle de deux façons différentes en quatre sous après bien sûr quatre peut être remplacé par n'importe quel nombre défixé au moins il y a la deux et donc voilà typiquement le graphe et vous voyez donc la restriction du graphe à chaque sous-intervalle correspond à un homomorphisme préservant l'orientation sur son image alors pour résumer une histoire qui est quand même un peu plus longue d'abord il faut s'intéresser à la question de l'irrationnalité de la même façon que Poincaré avait évacué en quelque sorte le cas rationnel ici le cas rationnel est plus compliqué à comprendre mais en tout cas ce qui est plus facile à déterminer c'est de quoi est constitué le cas irrationnel donc c'est lié à la notion de connexion et une connexion c'est une relation de la forme tm de v égale u ou u donc qui est une singularité de t v une singularité de t moins 1 donc ça permet quand même d'intérer v dans le futur c'est une singularité de t moins 1 et d'intérer u dans le passé et donc une connexion c'est une orbite qu'on n'arrive pas à prolonger ni dans le passé ni dans le futur puisque on se heurte dans le passé à une singularité de t moins 1 et dans le futur à une singularité de u m c'est un entier positif ou mieux donc quel est le point de la définition c'est que d'une part bon dans le cas des rotations ça correspond bien à la notion d'irrationnel une rotation est bien sûr sans connexion si seulement si elle est irrationnelle parce qu'en fait donc quand la rotation est rationnelle toutes ces orbites sont périodiques et ça va créer une connexion automatiquement et inversement mais de façon moins triviale si on part d'un échange standard donc là cette fois-ci avec un nombre quelconque d'intervalle mais attention la version standard qui généralise les rotations et bien s'il n'a pas de connexion alors il a la même propriété que les rotations irrationnelles c'est à dire que toutes ces orbites sont denses il est minimal alors donc ceci est mon dernier slide donc en fait donc la généralisation de la notion de nombre de rotations se fait à travers un algorithme qu'on appelle l'algorithme de renormalisation de rosivitch que je vais pas décrire mais disons qui correspond à la chose suivante donc dans le cas des rotations on pouvait déterminer le nombre de rotations en le comparant avec chaque rationnelle p sur q mais heureusement il n'y a pas besoin de considérer tous les rationnels p sur q en fait si on prend les choses normalement en quelque sorte et bien en fait on va considérer les inégalités fq de zéro alors zéro c'est simplement parce que c'est une point de discontinuité qu'on va comparer fq de zéro à p donc plus grand ou plus petit on va poser la question à chaque fois ça va déterminer si le nombre de rotations est plus grand ou plus petit que p sur q et on va le faire en suivant l'arbre de ferret je vous rappelle que la série de ferret c'est constitué des rationnels considérés par dénominateur croissant et il a une structure très facile à comprendre qui permet pour chaque intervalle constitué de nombre de ferrets consicutifs de déterminer un rationnel qui est le plus simple en quelque sorte le centre de cette intervalle de ferret et qui permet petit à petit de réduire l'intervalle où va se trouver le nombre de rotations alors c'est en fait exactement ce que fait l'algorithme de Rosivich, encore une fois je n'explique pas l'algorithme produit une suite d'inégalités qui peuvent être vraies ou pas chaque fois il faut comparer un point de la forme Tm de V, V je vous rappelle était une discontinuité de T-1 et puis comparer ceci à U et donc en fait quand on a la suite des réponses à ces questions eh bien on pourra complètement déterminer l'ordre de l'orbite des sécurité quand on spécialise l'algorithme de Rosivich au cas des rotations on obtient exactement ce qui est au dessus je veux dire c'est vraiment un cas particulier donc juste pour conclure ce qui se passe c'est que pourquoi j'ai envie de dire la suite des réponses à l'algorithme de Rosivich constitue en quelque sorte un nombre de rotations généralisées alors c'est pas un nombre bien sûr mais disons que on peut quand même le considérer comme un nombre de rotations pourquoi parce que on a encore le théorème de semi conjugaison de point carré si on part de deux échanges d'intervalles T0 et T1 donc on suppose qu'ils permutent les intervalles au départ de la même façon et donc on suppose que T0 est standard donc l'un des deux c'est une rotation entre et quelque sorte une rotation généralisée et l'autre par contre c'est simplement un homomorphisme du cercle généralisé un échange d'intervalles généralisé et donc on suppose qu'ils ont le même nombre de rotations dans le sens où l'algorithme de Rosivich produit la même suite de réponses c'est à dire que à chaque fois c'est soit tous les deux plus grands soit tous les deux plus petits et en particulier la liste des questions qui dépendent des réponses précédentes et la même des deux côtés et bien alors on peut conclure en fait en fait avec la même dévostration point carré on peut conclure que T semi conjugue à T0 en d'autres termes il existe une application croissante de l'intervalle ou agiter sur l'intervalle ou agiter 0 qui force cette conjugaison voilà je crois que j'ai terminé pas précis, non non, along the lines Not only us, but I mean Arnold was the first to really attack this question of small divisors about the smoothness of the conjugacy first thing was d'angois, I have not stated d'angoisse théorème d'angoisse théorème is that in the C2 case for C2 diffomorphism then the free hypothesis in Poincaré only the first can happen meaning that there is a topological conjugacy and then the question was whether this conjugacy is smooth or not and this was done first by Arnold in the local case when the diffomorphism is close to rotation so really the case that was alluded by Poincaré in the last two pages with this L'Inch Ted series reference and then in the global case by Hermann but there have been other generalizations by myself but also by you and Cadine and other Katzelsson and Holstein I mean there have been quite a lot of work in this direction tu disais que Poincaré se préoccupait pas de la convergence des séries qui définissait les conjugantes mais en même temps au moment où il dit que il y a une analogie avec la convergence des séries de L'Inch Ted oui non mais si tu as raison j'arrive pas exactement à faire quelque chose de cohérent tout à fait avec ça non le problème c'est que dans la série de L'Inch Ted on a la série formelle mais on sait pas si l'objet existe ce qui se passe c'est quand il a cette convergence de séries il a déjà le mémorphisme donc je ne sais pas bien l'état de la question à l'époque sur est-ce que savoir s'il existait des fonctions continues dans les séries dans les séries de Fourier ne sont pas convergentes et puis encore une fois le mot convergente est lancé un petit peu bien sûr non mais je veux dire est lancé de façon imprécise c'est-à-dire je ne sais pas quel type de convergence il serait faire c'est juste qu'il y a quand même le mot convergent qui n'écrit pas simplement la série de Fourier alors oui l'analogue est que c'est beaucoup plus facile il n'y a pas de théorème de dangereux tout à fait c'est-à-dire qu'il y a quelque chose qui survit mais pas sous une forme aussi forte pour les mémorphismes du cercle c'est-à-dire que la conjugaison même c'est zéro mais bon ne va arriver que sur des dans l'espace des difféos en quelque sorte que sur des sous variétés de co-dimensions alors fini mais positive cette fois-ci donc alors en genre plus grand excuse-moi je devrais discaguer il y a un moyen de définir le genre effectivement alors le genre pour un échange d'intervalle essentiellement c'est le genre de la surface quand on prend la suspension de l'échange d'intervalle et ensuite si le genre est 1 on retrouve le théorème de dangereux donc tout se passe comme chez dangereux mais par contre si le genre est 2 ou plus à ce moment là même dans le cas disons affine par morceaux si je prends la restriction sur chaque sous-intervalle une affinée dans le cas du cercle alors c'est pas tout à fait de classe C2 mais malgré tout un homémorphisme affine par morceaux du cercle il vérifie les conclusions du théorème de dangereux donc il est toujours topologiquement conjugué une rotation quand il n'a pas d'orbite périodique pour un échange d'intervalle même dans le cas affine on peut avoir des intervallérents