 Calcularemos a continuación la siguiente división entera, así como las divisiones enteras resultantes al considerar los diferentes signos tanto de dividendo como de divisor. Comencemos con este caso, cuando dividendo y divisor son ambos positivos. Calculamos cociente y resto. Resto 3 cociente observamos que es 8. Esto nos permite escribir 987,8 por 123 más 3. Calculemos ahora 987 entre menos 123. Esto es cuando es el divisor el que es negativo. Para ello partimos de esta expresión y multiplicamos 8 por 123 por 1. En particular recordad que por menos 1, menos 1 agrupando cada menos 1 con uno de los factores. De esta manera 987 lo escribimos como menos 8 por menos 123 más 3. Y obtenemos así cociente y resto. Lo que nos conduce a la siguiente expresión. Supongamos ahora que es el dividendo el que es negativo y partimos de nuevo de la misma igualdad multiplicando ambos términos de la igualdad por menos 1. Agrupamos el menos 1 con el cociente y recordad que esto no era suficiente puesto que el supuesto resto sería menos 3 que es un número negativo. Recordad que para solventarlo sumábamos y restábamos el valor absoluto de nuestro divisor 123. Agrupamos menos 123 con menos 8 por 123 y 123 con menos 3. De esta manera reescribimos menos 987 como menos 9 por 123 más 120. Tenemos ahora así cociente y resto. Por último calculemos la división entera de menos 987 entre menos 123. Y partiremos de esta última igualdad donde reescribimos menos 987 como 9 por menos 123 más 120. Lo único que hemos hecho es aplicar la propiedad asociativa en los factores menos 9 por 123. Agrupando el menos 1 de 9 a 123. Así obtenemos cociente y resto. Tenemos pues las cuatro expresiones que buscábamos.