 Merci beaucoup aux organisateurs pour l'organisation, malgré toutes ses grètes. Je vais vous parler d'un travail avec Manish Mishra. On essaie d'une part de relier le transfert à la décomposition issue du centre de Bernstein et aussi de construire des transferts géométriques explicites, qui soient en un sens à définir, meilleurs que les autres. Par exemple, pour les fonctions sphériques, on sait qu'il existe un unique transfert qui soit une fonction sphérique et en plus elle est donnée par un monopisme d'algebra. Alors est-ce qu'il n'y a pas des cas favorables ou on peut faire la même chose ? Donc on a regardé le premier cas le plus simple qui se présentait à nous, c'est celui des blocs de Bernstein associés au série principal de niveau zéro. On est parti du travail de Roche dans le cas d'un groupe déployé. Roche, il a regardé toutes les séries principales. On se met dans le cas particulier des séries principales de niveau zéro. Ce que je vais raconter, ça inspire beaucoup des travaux de Heinz sur le changement de base pour les blocs de Bernstein, des séries principales de niveau zéro dans le cas d'un groupe non ramifié. D'ailleurs à partir de Heinz, on devrait assez facilement, étant ce que je vais dire au cas d'un groupe non ramifié. Moi je ne vais parler que d'un groupe déployé pour simplifier. Alors évidemment à l'opposé, on a les blocs de Bernstein associés au supercuspital de niveau zéro. Donc là on a tous les travaux de De Becker-Rieder, de Caleta. Et pour ce qui est du transfert explicite, il y a un papier de Kajdan Varshasky dans lequel il transfert de manière explicite des fonctions cuspidale unipotente de Deline-Loustig. Un dernier mot sur le transfert en général. En caractéristique nul, on sait tout, on sait que le transfert géométrique, le transfert spétral existent en toute généralité, c'est-à-dire dans le cas ordinaire comme dans le cas tordue et sans restriction sur la caractéristique résiduelle. En caractéristique positive, on sait beaucoup moins de choses. On sait transférer des fonctions bien particulières. Les fonctions sphériques, c'est de l'âme fondamentale. On sait transférer bien sûr des fonctions à support dans les réguliers, on peut le faire à la main. Et puis aussi des coefficients de supercuspital de niveau zéro, essentiellement ça. Donc on sait pas de transférer grand-chose, mais quand même suffisamment pour appliquer une formule de trace simple. Alors je vais aussi parler d'un dernier papier, donc il y a un résultat de Gordon-Hales, qui affirme l'existence du transfert géométrique en caractéristique P pour P grand. Mais alors c'est un peu gênant parce que l'abord n'est pas... n'est pas effectif, c'est-à-dire que concrètement, si je me donne un corps de caractéristique, un corps local de caractéristique P, on sait pas si ça marche pour ce corps-là, on sait pas si le transfert géométrique existe ou pas pour ce corps-là. Donc c'est quand même gênant pour les applications. Voilà, donc ça c'était pour... C'était pour l'introduction. Alors je vais commencer. Donc les objets. Alors F toujours, un corps localement compact non-archimédien. Je vais noter P, la caractéristique résiduelle de F. Et puis comme toujours, F là nous est entier, PF l'idéal maximal et KF le corps résiduel. Et puis je vais noter Q, son cardinal. Alors j'ai un groupe productif connex défini sur F que je vais supposer déployer sur F. Je vais me fixer aussi une paire de borrel avec T donc un tord maximal déployé. Et puis un caractère du compact maximal de TF, donc je vais l'appeler T rondes, un caractère de niveau zéro. Alors de niveau zéro c'est-à-dire qu'il est trivial sur le noyau de la projection sur les points résiduels. Bon. Alors donc cette paire de borrel, je vais me définir une alcourve dans l'immeuble affine et donc un Iwaori, je l'applique I, un sous-groupe d'Iwaori. Et en fait on peut voir ce caractère comme un caractère de ce groupe parce que ce compact maximal c'est l'intersection de Iwaori avec T. Et donc l'injection de I dans T, elle se factorise en anisomorphisme de T sur T+, dans I sur I+, où ça c'est le radical prunipotent. Alors je vais lui donner un autre nom pour ne pas me tromper après. Je vais l'appeler roux. Voilà. Alors ça ça me définit aussi une percuspidale, je vais l'appeler S. Donc une classe d'équivalence inertielle, où ça c'est n'importe quel caractère qui prolonge qui zéro. Voilà. Alors le premier résultat, donc ça c'est un vieux résultat qui est dû à Roche et Bushnell-Kutsko. C'est que cette paire donc Iwaori et cette représentation de Dimension 1 est un S-Type. S-Type je vous rappelle, ça signifie que si on regarde le bloc de Bernstein défini par cette classe inertielle, on a une équivalence de catégorie avec la catégorie des H de Géro module à gauche. Donc ça c'est l'algebra des fonctions rosphérique ou par rosphérique j'entends qu'elle se transforme à gauche et à droite par Ro moins 1. Et donc c'est simplement la composante rhysotypique. Alors, bon, je vais noter Fi, le système de racine. Fi plus les racines positives, donc associées au borrel. Et je vais noter Fi prime, l'ensemble des racines dans Fi tels que Fi0 auront alpha-chetch restreinte aux unités, c'est les gars là 1. Bon, on peut définir aussi le système de racine duale en prenant les alpha-chetch qui vérifie cette hypothèse. C'est un sous-système de racine fermée de Fi-chetch. Ça, ça définit bien un système de racine mais il n'est pas forcément fermé. Alors je vais noter aussi Fi prime plus, l'intersection de Fi prime avec Fi plus. Donc tout ça me définit G prime, un groupe productif connex, lui aussi déployé, une paire de borrel, une paire de borrel de G prime et puis aussi un Iwari. Bon, alors dans ce cas-là, on vérifie facilement que G prime est un groupe endoscopique de G. Une manière de voir, on prend le paramètre de l'anglance. Je n'ai pas défini qui. Oui, oui, mais j'ai pris n'importe lequel, je ne veux pas prendre n'importe lequel maintenant. Alors je suis allé trop vite, donc je fais un petit retour en arrière. Je note W, le groupe de Veil et W ki0, le stabilisateur, donc le stabilisateur de ki0 dans W. Alors on peut choisir, donc par définition ki0 et W invariant, on peut choisir ki, le prolongement ATF, qui soit W ki0 et W invariant et je vais même le prendre d'une forme particulière. Je vais fixer une uniformisante, ça me donne une identification de TF avec le produit du groupe d'éco-caractère par le compact maximal. Donc je prends le caractère ki, le prolongement trivial sur X CHETCH, donc ça c'est X CHETCH de T. Donc par définition il est W ki0 et W invariant et en plus on peut le prolonger qui se prolonge en un caractère qui tilde de NF ki0. Je le choisis comme ça, le ki, parce que c'est plus simple. L'important c'est d'avoir pour la suite un caractère W ki0 et W invariant. Alors je retourne à ça. Donc pourquoi j'ai pris un groupe endoscopique 2G, on regarde le paramètre de l'anglance, on regarde sa restriction au groupe d'inertie qui dépend que de ki0 et qui, puisqu'on est parti d'un ki0 de niveau 0, se factorise par le groupe d'inertie sauvage. Donc comme ce groupe est cyclique, il suffit de prendre un générateur de l'image de fi ki0. De cette manière le dual de j'ai pris est égal au centralisateur connex dans j'ai touché de cet élément S. Le dual de l'anglance, le groupe complexe dual. Oui non mais là il n'y a aucune action de les groupes sont déployés, il n'y a pas d'action du groupe de galore ou du groupe de valier. Je le prendrai tout à l'heure. Alors le deuxième résultat, je vais citer, donc il y a encore du arroche et je crois, mais je ne suis pas sûr que dans le cas d'un caractère non ramifié, mais ça a été fait avant par Goldstein et Maurice. C'est que ce caractère qu'il tille, il permet de définir, on a un isomorphisme cyclique entre cet algette de Ike et ce n'est pas tout à fait l'algette de Ike ou à orie du groupe, il faut l'attendre par ça ou ça c'est le stabilisateur dans un groupe finis de phi prime plus dans WQ0. En fait on a une décomposition en produit semi direct ou ça par définition c'est le groupe de valier dans G prime. Via le choix d'un épinglage, on peut envoyer ça dans le groupe des automorphismes de G et en fait voir ça comme le groupe de l'algette de Ike ou à orie d'un groupe non connexe. C'est juste pour fixer les idées, c'est que si le quotient des caractères par le réseau engendré par les racines est sans torsion, c'est-à-dire si le centre schématique est connexe, par exemple si G est un groupe adjoint alors ce groupe est trivial. Voilà, donc ça c'était la situation à laquelle on était parti et donc on peut se demander naïvement est-ce que ce morphisme d'algebra réalise le transfert ou à quelque chose à voir avec le transfert. 2, donc je vais parler du centre de Bernstein. Alors j'ai déjà défini une classe d'équivalence inertielle dans G et je vais noter S prime, la classe d'équivalence inertielle du caractère unité dans G prime. Alors comme on a fixé un point bas dans cette classe inertielle donc je vais noter X ronde de S ou de S prime, donc comme on a un point bas c'est-à-dire le groupe des caractères non-ramifiés c'est-à-dire le tordual et elle est simplement donnée par une percuspital Tx donc ici c'est un caractère non-ramifié du tordual on associe la percuspital Tx de qui ? dans G. Voilà, donc s'adualement ça me donne un morphisme d'algebra donc ça c'est surjectif ça me donne un morphisme d'algebra injectif qui par l'équivalence de catégorie qui était celle du premier LM il y a eu une equivalence entre le bloc de Bernstein associe à S et l'algebra de Hecke des fonctions rosphériques ça me donne un isomorphisme canonique sur le centre de l'algebra des fonctions rosphériques ici même chose et donc on obtient un morphisme injectif d'algebra que j'appelle Zetaki alors bon il y a quelque chose que je vais pas redémontrer mais qui a été montré par Haynes et Rapopo qui est en fait ce morphisme d'algebra coïncide avec la restriction au centre de celui-ci alors en fait comme ça on ne voit pas bien trop ce que c'est mais il a une description explicite particulièrement simple à partir de l'action des fonctions sur les séries principales c'est à dire que si on regarde l'induit de parabolique normalisé d'un caractère de cette forme et qu'on prend une fonction F dans le centre de l'algebra de Hecke des fonctions rosphériques elle va agir sur cette induit de parabolique sur cette série principale par multiplication par un scalaire que je vais appeler lambda d'oxy de qui de F alors on a la même chose côté G' on regarde la série principale induit de parabolique normalisé du caractère noramifié XI et l'action d'une fonction F' et donc même chose elle opère par multiplication par un scalaire que je vais noter lambda prime d'oxy de F' et en fait ce morphisme d'algebra est donné par l'égalité suivante tout bête alors malheureusement ça suffit pas parce qu'il y a le groupe de Veil qui vient perturber les choses donc il faut définir des variantes de ces morphismes d'algebra alors je vais commencer par fixer un compact maximum hyper spécial qui contient l'Iwari et pour chaque élément W dans le groupe de Veil je vais fixer un représentant NW dans le compact alors pour un tel élément petit W de grand W je vais noter qui W le caractère oui alors pardon donc on a un isomorphisme simplement par transport de structure entre ces deux algèbes de Hecke qui renvoient à une fonction sur la conjugée et pour chaque élément dans le groupe de Veil je vais noter W qui le caractère pardon qui W donc le conjugay de qui qui moins 1 donc il prolonge bien sûr qui W 0 d'égal le conjugay de qui 0 par qui 0 moins 1 et je vais noter reprime de W ce caractère qui W 0 mais vu comme une représentation dimension 1 de l'Iwari I' on définit une autre classe d'équivalence inertielle d'angéprime et donc on a un autre morphisme d'algèbes qui est un peu moins simple mais tant que ça défini comme ça et qui comme comme tout à l'heure donne du allemand un morphisme d'algèbes donc celui-là aussi il est surjectif pardon dans le centre que je vais appeler Zeta W qui voilà alors je vais prendre le maximum de tous ces morphismes j'appelle crochet Zeta qui cette fonction là donc appliqué à F alors c'est presque le bon candidat au transfert il y a juste un un petit truc à rajouter tout à l'heure j'ai introduit le paramètre de l'anglance de qui en fait par construction il va de WF dans le centre du groupe du dual de l'anglance complexe de G' et donc d'après l'anglance on sait que ça définit un caractère que je vais appeler W' qui de tout le groupe et je vais poser si de K0 de F donc F est toujours dans le centre de l'algèbe de K c'est des fonctions grosses série égales alors comme ça notation l'indique ça dépend que de K0 qui W qui est 0 et un variant qui prolonge et ça va être ça le transfert alors je vais rappeler transfert ce que ça signifie alors je vous rappelle qu'on dit qu'une fonction F' sur G'F localement constante à support compact est un transfert d'une fonction F sur G si pour tout élément delta dans G'F j'ai régulier on a une égalité entre une intégrale orbital endoscopique je vais dire ce que c'est tout de suite donc ça par définition c'est une somme sur tous les éléments de G'F qui correspondent à delta modulo G'F conjugaison le facteur de transfert et une intégrale orbital ordinaire donc ça c'est l'intégrale orbital ordinaire ça c'est l'intégrale orbital stable prendre le facteur de transfert défini par cas celui qui renverrait le lame fondamental il y a des choix de mesures derrière sur les centralisateurs les mesures se correspondent on a des torques qui se correspondent et sur les groupes on prend les mesures normalisées par les Iwaris et donc le résultat c'est que quel que soit pour toute fonction F dans le centre de l'algètre 2 est que des fonctions rospériques si de Q0 de F est un transfert de F autrement dit quel que soit delta comme en dessous on a j'ai simplement sorti le caractère parce qu'on sait qu'il est constant sur les classes stables alors bon il y a tout un tas de réductions possibles alors d'abord il y a une réduction possible au cas élyptique parce que j'appelle le cas élyptique c'est le cas où j'ai pris mes élyptiques ou delta est élyptique encore particulier cette réduction est nécessaire si on veut si on veut appliquer l'argument local global qui arrive d'habitude à la fin dans ce genre de démonstration et qu'on veut utiliser une formule des traces simples et on peut aussi se réduire au cas où j'ai état de joint donc ça par les méthodes habituelles de z d'extension et opération duale alors je voudrais juste dire un mot sur la donc ça essentiellement c'est par descente parabolique je vais juste dire un mot sur cette descente parabolique alors un mot sur la descente parabolique alors côté variété complexe de Bernstein on a on a amorphisme de descente amorphisme évident si on considère la classe d'équivalence inertielle définie par par S maintenant M oui pardon je parle d'un parabolique semi standard défini sur F alors on a une flèche surjective évidente de X de SM dans XS amorphisme entre les centres alors en fait il est donné par le c'est l'omorphisme de s'attaquer c'est-à-dire le seul point c'est que donc il est donné par la mesure de H normalisé par l'intersection de l'Iowa Ori qui est derrière la définition d'euro et UPF donc en fait il dépend de l'Iowa Ori mais on peut montrer qu'il dépend pas de P bon et alors bien sûr c'est vrai que les applications de Z taki que j'ai défini avant on peut définir la même chose de Z taki pour M et on a que où là le M prime c'est le même objet pour M pas pour G bon alors donc on a des formules de descente du style je vais en écrire une je vais l'écrire pour l'intégral orbital endoscopique donc quel que soit delta dans M prime F fortement gérigulier on a une formule qui est donnée comme ça l'intégral endoscopique de delta appliqué à une fonction F dans l'algebra et que des fonctions grossesphériques est égal à donc il y a un discriminant de vale et l'intégral orbital endoscopique mais dans M donc il faut prendre une somme alors donc on a une somme sur des classes modulo WM ce que j'ai écrit W point c'est le représentant de longueur minimal dans la classe à gauche WM donc on a le même type de formule de descente pour les intégrals orbitales stables tout ce que je voudrais faire remarquer c'est qu'ici on a une somme sur des classes à gauche modulo WM et que dans ma définition de xi, de qui zéro on a aussi des sommes sur W donc ça ça crée des problèmes parce que les W de la définition de qui zéro on peut changer avec cela et donc pour se ramener au cas elliptique et faire marcher la récurrence à partir du cas elliptique il faut considérer un théorème un peu plus général avec deux caractères non ramifiés je vais rien dire de plus là-dessus sauf quand même un exemple le plus simple c'est que si xi zéro est régulier alors régulier ça veut dire que j'ai pris égalité à ce moment là on voit que cette formule de descente et la compatibilité avec l'application zeta gt nous donnent le résultat d'ailleurs c'est à partir de ce cas là qu'on a qu'on a deviné la formule hens il s'est occupé du changement de base pour les fonctions là-dedans donc il il a considéré une extension finie non ramifiée la même situation sur l'extension finie non ramifiée et il a montré que l'homorfisme d'algebra donc là il passe de A à F et il montre que l'homorfisme d'algebra qui l'obtient réalise le transfert mais à ce propos je suis bien content de cette question parce que la différence par rapport au changement de base c'est justement que changement de base c'est un cas particulier les éléments du petit groupe de vile vont contribuer ici en général c'est pas vrai en général il y a des éléments de tout le groupe de vile qui contribuent et c'est pour ça que la définition il faut considérer une combinaison linéaire d'homorfisme d'algebra on n'a pas un seul une seule application je vais donner une idée de la preuve maintenant le principe de la preuve elle reprend la baisse donc on reprend l'idée de de la baisse pour la preuve du lemme fondamental pour changement de base qui consiste à produire suffisamment de fonctions élémentaires donc c'est lui qui les appelait comme ça donc élémentaires dans le sens où il y a des fonctions très simples dont on sait calculer explicitement les intégrals orbitales et les caractères je vais vous les construire elles sont faciles à construire donc on considère le semi-groupe dans le groupe qui va former des co-caractères qui sont réguliers bédominants c'est-à-dire tel qu'alpha nu est positif pour tout alpha dans la base alors si on prend un co-caractère là-dedans et qu'on note donc tnu l'élément de TF qui définit avec l'identification que j'ai donné au début on peut regarder cette application donc il est très facile de voir que cette application est objective et partout submersive et donc elle permet de construire une fonction à support dans I tnu I je vais l'appeler F nu donc celle là elle n'est pas du tout a priori pas dans le centre elle est dans l'algebraique des fonctions rosphériques je décrète que son support c'est la double classe I tnu I et F nu de k-1 tnu t0k c'est égal alors il y a un facteur à mettre avant donc ça c'est la longueur sur le groupe de value ori défini par I et Q0 de t0-1 donc ça c'est sur G maintenant il faut la même chose sur G' alors on se donne un élément W du groupe de vale le problème c'est que si on regarde W nu il va rester régulier mais il est plus B régulier il est omega B régulier omega B dominant pardon bon on met ce omega B T il définit comme je l'ai dit au début une paire de borrel omega B prime paire de borrel danger prime et donc on peut toujours ramener ce borrel à notre borrel initial donc ça veut dire qu'il existe W prime dans W prime tel que et je vais poser W tild évidemment ce W tild il dépend que de la classe à gauche de W modulo W prime et par construction W tild de nu B prime dominant donc on peut construire une application comme celle-ci mais côté j'ai prime et donc on peut construire une fonction F prime W nu que je vais aussi appeler F prime W tild nu voilà alors je vais poser H prime nu égal et aussi égal la somme donc ça c'est les avatars des fonctions élémentaires de la baisse donc tel qu'elles ont été construites on peut facilement calculer leurs traces et leurs intégrals orbitales et en particulier montrer que quel que soit nu H prime nu est un transfert de F nu quel que soit nu régulier B dominant alors je vais pas donner la formule exacte pour les traces mais elles ont une expression qui ressemble à ça donc pour toute représentation éréductive de GF c'est une somme finie sur les caractères non ramifiés de XI de nu et un exposant ça ça vaut 0 si Pi n'est pas insoucaution donc on peut décrire ces exposants donc on a quand même un ensemble consistant de fonctions paramétrées par ces éléments nus dans le semi-groupe X et Chech BK dont on sait on sait à peu près tout en particulier que l'une est le transfert de l'autre alors maintenant il s'agit de transporter du côté spectral les égalités géométriques qu'on a du côté qui proviennent du transfert géométrique donc moi j'étais parti assez bêtement avec la avec la méthode préhistorique c'est à dire l'argument local global qui consiste à plonger notre situation locale dans une situation globale comparer deux formules des traces simples pour en déduire les identités spectrailles correspondantes Évalpurgé m'a fait remarquer que en caractéristique nul c'était plus du tout nécessaire depuis qu'on avait c'est pratiquement une conséquence directe du transfert spectral d'artur c'est à dire que les données locales à la health sont conséquences sont une conséquence du transfert spectral donc ça ça vaut pour la caractéristique seulement alors je rappelle brièvement l'argument donc le transfert spectral c'est une application donc ça c'est deux espaces de distribution ici on a les combinaisons linéaires finies de caractères de représentations irréductibles tempérées ici la même chose mais on se restreint sous espace de distribution stable alors on part d'une base quelconque de cet espace et pour chaque i donc ça c'est un ensemble d'indices à priori infinie pour chaque i on pose d i égale ce transfert spectral c'est le dual du transfert géométrique et on pose d i égale transfert de déprime i enfin pour tout couple de fonctions f f prime localement constante à support compact l'une sur gf et l'autre sur g prime f les deux conditions suivantes sont équivalentes alors pourquoi ? si on regarde la première condition elle est équivalente à quelle que soit i donc d i de f par définition de d i c'est déprime i de transfert de f égale déprime i de f prime donc c'est équivalent à quelle que soit déprime dans sd de g prime f déprime de transfert de f moins f prime est égal à 0 et donc ça d'après un résultat d'artur c'est équivalent au fait que quelle que soit delta dans g prime f fortement gérégulier déprime de cette partie-là est égale à 0 pardon intégrale orbital stable de ce qu'il y a là est égale à 0 voilà donc ce que m'a expliqué valspurge en gros c'est que dès lors qu'on possède le transfert il n'y a plus besoin d'aller mettre les mains dans ces histoires d'arguments locaux globaux ils sont contenus dans la démonstration du transfert spectra de l'artur et on peut directement localement traduire en termes spectraux des identités locales géométriques ça c'est vrai en caractéristiques nuls en caractéristiques positives on a nu transfert géométrique ni le transfert spectral alors une fois qu'on a ça la preuve est presque terminée alors donc on a tout un tout un ensemble de pairs de fonctions qui sont ces fonctions élémentaires qui se transfère donc on sait que quelle que soit nu dans le semi-groupe formé des co-caractères qui sont réguliers B dominant la paire F nu H prévenu vérifie vérifie A disons A I pour chaque I et donc on peut voir cette identité A I comme une combinaison linéaire de caractères sur le groupe X et CH des co-caractères caractères X CH en fait restreintre à ce sous semi-groupe non X CH c'est simplement le groupe des co-caractères de T ah le signe musical c'est la racine, c'est la base ou la racine positive ah d'accord donc on a une combinaison linéaire pas vraiment de caractères de X CH on a une combinaison linéaire de caractères de X CH restreinte à ce sous semi-groupe et en fait les caractères de X CH sont linéairement indépendants mais leur restriction à ce sous semi-groupe reste linéairement indépendante par indépendance linéaire des caractères on obtient que cette égalité A I est vrai aussi pour nu égale 0 et partant de cette égalité pour nu égale 0 il n'est pas compliqué d'en déduire que ça signifie que la fonction ça c'est l'unité de l'algerbe de Hecke H, j'ai pris une 2 Rho il manque le caractère là-devant est un transfert Euro, qui est l'unité de l'algerbe de Hecke des fonctions rosphéric et alors toujours en regardant l'identité spectrale A I pour chaque Y à partir du transfert des unités et compte tenu du fait que les fonctions dans les centres des algerbes de Hecke opèrent sur les séries principales par des constants et que ces constants se correspondent on en déduit le résultat pour toute fonction dans le centre la paire F vérifie elle aussi les identités spectrales A I, quelque soit I et donc B et donc on a gagné donc je vais vous faire marquer que dans ce cas-là c'est beaucoup plus simple que dans le cas du lame fondamental pour le changement de base j'ai utilisé les résultats de Kies pour séparer le sous-caution sphérique des autres sous-cautions dans la série principale donc tout ça est vrai modulo, l'existence de donner à la ELSE qui est obtenue de manière très simple dans le cas de caractéristiques nul par contre en caractéristiques P il faut revenir à la méthode donc j'ai appelé la méthode préhistorique l'argument local global j'ai encore 3 minutes donc existence des données à la ELSE en caractéristiques P alors comme l'a dit Jean-Pierre hier on devrait être capable de stabiliser la partie primitive de la formule des traces mais on l'a pas encore fait par contre pour ce qui est de la partie élyptique ou ma mission n'a besoin que de la partie élyptique régulière donc la formule de l'anglance il n'y a pratiquement rien à faire il suffit de faire attention ça il l'a dit hier de remplacer tous les petits complexes qu'on voit qui sont absolument merdiques en caractéristiques P parce qu'ils nécessitent d'utiliser la topologie plate donc ça on les oublie et on travaille uniquement avec des complexes de tort qui eux peuvent être traités en utilisant seulement la topologie étale et à ce moment-là les résultats sont exactement ceux de Kotwitz repris par Jean-Pierre à l'aide de la homologie non abélienne et donc on a une formule des traces stabilisées je vais juste l'écrire donc on plonge notre situation locale dans une situation globale donc maintenant F est encore globale on a un groupe productif connex définit sur F un groupe enoscopique bon ici il n'y a aucun problème pour plonger notre situation locale on a que des groupes de chevalets et la stabilisation de la partie elliptique de la formule des traces c'est écrit comme ça ou H parcourt un système de représentant des classes d'équivalence de données endoscopiques et elliptiques pour G évidemment les fonctions Yaf ici s'écrivent comme produit de fonctions locales j'oublie toutes les subtilités liées au fait qu'il faut des données supplémentaires et localement chaque fonction correspond alors je voudrais juste insister sur un point qui m'a fait pas beaucoup de temps parce que j'avais rien compris ce qui se passait là encore c'est Valspurge qui m'a sauvé donc je voudrais dire que le cas de la donnée endoscopique principale est radicalement opposé à celui d'une donnée endoscopique quelconque parce que pour la donnée endoscopique principale pour l'isoler il suffit de mettre en une place, une bonne place, une fonction stabilisante pourquoi ? parce que si on prend par exemple un torre T un torre maximale elliptique dans G et une place V tel que TV reste elliptique alors on sait que l'application de localisation des caractères endoscopiques elle est injective ça veut dire que si en cette place V on met une fonction stabilisante donc typiquement en caractéristique nul fonction de l'air point carré ou un pseudo coefficient d'une Steinberg en caractéristique P je crois qu'on ne connait pas le résultat mais on peut très bien construire à la main une fonction stabilisante à support dans les réguliers donc elle ne voit localement que le caractère endoscopique global et boum on sait que ça provient du caractère endoscopique pardon localement elle ne voit que le caractère endoscopique trivial et forcément ce caractère provient du caractère endoscopique global trivial et donc il suffit d'une place avec une fonction stabilisante pour isoler la donnée endoscopique principale donc moi naïvement j'ai essayé de faire ça pour une donnée endoscopique quelconque en me disant ça va bien marcher avec un ensemble fini de place et parce que c'est ce qui me semble être sous la preuve de Haix du fait que le l'aim fondamental en unité l'implique pour toutes les fonctions dans la jeppe de quesphérique jusqu'à ce que Vaspurge construise un contre-exemple qui est quand même bien vicieux donc alors oui une remarque part chez Botaref une donnée endoscopique est non ramifiée elliptique en une place et seulement si elle est elliptique en un nom infinie de place donc là tous les cas qui vont m'intéresser ce sont que des données endoscopiques non ramifiées donc non ramifiées elliptiques c'est à dire elliptiques en un nom infinie de place alors il construit deux données endoscopiques global pour un groupe assez simple c'est le revêtement simplement connexe d'un groupe unitaire relatif à l'extension imaginaire pure du corps des rationnels donc il a deux données endoscopiques globales qui sont toutes les deux elliptiques en un nom infinie de place qui sont équivalentes partout elles sont elliptiques mais qui ne sont pas équivalentes globalement ça veut dire que pour ces données là on ne peut pas s'en sortir avec des fonctions cuspidales j'ai pris une V stabilisante avec une motion évidente de j'ai pris une V stabilisante on ne peut pas s'en sortir avec un nom finie de place pour isoler la donnée endoscopique globale qui nous intéresse et donc naïvement je pensais que les données endoscopiques étaient sujets à des conditions rigides qui faisaient qu'on ne pouvait pas obtenir tout et n'importe quoi et bon j'ai l'impression qu'on peut obtenir un peu tout et n'importe quoi quand même voilà alors dans ce cas là je vais finir il n'y a aucun problème parce que tout est déployé ma donnée endoscopique globale elle est elliptique et non ramifiée partout il fallait même déployer partout donc là il n'y a aucun problème pour l'isoler ça marche ça marche avec une restriction pour P c'est à dire que le théorème que j'ai annoncé est vraiment caractéristique P mais pour P assez grand on contrôle la grandeur de P mais il y a encore cette restriction plus au l'âme fondamentale il y a d'autres conditions locales voilà