 Entonces, por supuesto que todos habéis visto el vídeo de presentación del segundo módulo, por lo que todos deberíais tener claro cuál es nuestro objetivo, descubrir cómo cifraba hace dos mil años el emperador César Augusto y conocer un poco más de lo que esconden nuestras comunicaciones cuando realizamos una compra por internet. Comencemos recordando la definición de número p o entero, p es un número primo, sí, existen únicamente cuatro divisores, uno menos uno, p y menos p, supondremos por simplificar los cálculos y puesto que sólo añade la complejidad del signo que nuestro número p será positivo, esto es natural, por lo cual hablaremos únicamente de enteros de divisores perdón positivos. Muchos se han estudiado sobre los números primos y por el camino los más grandes matemáticos de la historia han dejado de una manera u otra su huella en este tema. Nos centraremos en dar respuesta a algunas preguntas. En ocasiones podremos incluso dar una prueba del resultado. En otras, una simple prueba nos llevaría a un camino muy, muy lejos del propósito del curso, por los que nos conformaremos con conocer el propio resultado en sí. Recomendamos a aquellos interesados a saber un poco más de los números primos a que leen el libro La Música de los Números Primos de Marcos de Usatuá, cuyo relato de los números primos constituye una vocación maravillosa y emocionante del mugundo de las matemáticas. Os hemos indicado en el apartado para conocer más, para saber más, un enlace al libro así como a los tres documentales homónimos de la BBC. Las preguntas que intentaremos responder serán ¿Cuántos números primos hay? ¿Cómo se calcula la factorización en números primos? ¿Cómo sabemos si un número es primo o no? ¿Y cómo generamos números primos? Vayamos a la primera de ellas. ¿Cuántos números primos hay? Bien, la respuesta está clara y desde hace muchos años. De nuevo nos encontramos con Euclides remontándonos a la antigua Grecia. Euclides probó el siguiente resultado, que existen infinitos números primos. Veamos la demostración. Es una de aquellas demostraciones por reducción al absurdo. Recordad que ya vimos una, exactamente vimos en el módulo 1 que la raíz de 2 era un número irracional. La lógica de la demostración será la misma. Supondremos que el resultado, la hipótesis, es falsa y llegaremos a una contradicción. Si queremos demostrar que la hipótesis no era cierta, lo que haremos será suponer, la hipótesis sería que existen infinitos números primos, pues si no es cierta estaremos suponiendo que hay finitos primos, un conjunto finito. Es decir, los podemos enumerar. Supongamos que el conjunto de números primos que hay es p1, p2 y hasta pn, llamemos p a este conjunto. Y lo que haremos será, consideremos un cierto otro número n, que será el producto de todos estos números primos más 1. Veremos cómo llegar a la contradicción. Este nuevo número que hemos construido n, si es primo, llegamos directamente a la contradicción, puesto que este número n no está en el conjunto p que habíamos construido aquí, que contiene a todos los supuestos primos. Con lo cual n no puede ser primo, pero si n no es primo, querrá decir que existe un cierto factor p, que es divisor de n. Pero recordar que n es de esta manera. Y observar que el número p es un primo, pero no está en p. Aquí llegará nuestra contradicción. Si estuviese en p, querría decir que es uno de estos p sub p, el primero el que queráis, uno de ellos. Pero si divide a este factor de aquí y divide a este sumando de aquí, fortosamente dividirá a este sumando de aquí. Con lo cual, este p sub p dividiría a uno, lo que no es posible. Por lo tanto, p no está en este sub conjunto, pero p es un primo, con lo cual es un nuevo primo, es un primo diferente a los que hemos considerado hasta el momento, con lo cual llegamos a la contradicción. Responderemos a continuación a la pregunta de si es posible expresar los números naturales como un producto de números primos y de cuántas maneras es posible realizar dicha expresión. La respuesta la encontraremos en el conocido teorema fundamental de la aritmética. Así, podremos probar que todo número natural factoriza de una única manera como el producto de números primos. La factorización es única, salvo por orden. A una factorización de este tipo, se la llamaremos descomposición en factores primos. Veamos algunos ejemplos. Por ejemplo, 75 lo podemos expresar como 3 por 5 al cuadrado, o bien 44 como 2 al cuadrado por 11. Vuelvo a remarcar la unicidad de la descomposición, salvo por el orden, el cual nos viene permitido por la propiedad comutativa de los números naturales. Si nos preguntamos cómo encontrar todos los números primos menores que un cierto natural n, la cliva de la tóstenes nos da la solución. En estos ejemplos es relativamente sencillo encontrar una descomposición de un número en sus factores primos, pero imaginemos que el número que necesitamos factorizar es un número mucho mayor. Es un buen ejercicio invertir unos minutos pensando en cómo lo haríais. Una de las aproximaciones sería siguiendo la conocida como cliva de eratóstenes. Un método muy sencillo que nos permite encontrar todos los números primos menores que un cierto natural n. Consiste en lo siguiente. Para explicarlo supondremos que queremos encontrar todos los números primos menores que 30. Comenzamos dibujando una tabla cuadrada donde podamos representar los 30 primeros números naturales. Puesto que ha de ser cuadrada y en una 5x5 no nos cabrían los 30 números, la hemos realizado 6x6. Esto quiere decir que hemos podido representar hasta el número 36 y que por lo tanto la cliva de eratóstenes en esta cliva obtendremos todos los primos menores que 36. Aparte de marcar el 1, el primer número no marcado es el 2. Lo declararemos como un número primo, lo marcamos en rojo, marcamos en la tabla todos los múltiplos de 2, puesto que son múltiplos está claro de 2, está claro que no serán números primos. El siguiente número sin marcar es el número 3. Este número 3 será un número primo y continuamos igual marcando en la tabla todos los múltiplos de 3. El siguiente número sin marcar será el número 5 y lo declaramos como primo marcando los múltiplos de 5 en la tabla. Y paramos aquí. Antes de continuar es importante hacer la siguiente observación. Si tenemos un número natural que es producto de dos números a por b, donde podemos suponer que a es menor o igual que b y que a es mayor que 1, es decir que no tenemos b por ejemplo no será 1, observamos cuál es la magnitud de a, cuál es el tamaño como mucho de a. Si a es menor o igual que b, en particular multiplicando los dos lados de la desigualdad por a, tenemos que a2 es menor igual que a por b, pero a por b es n, con lo cual en realidad tenemos que a2 es menor o igual que n, es decir que a que era positivo es menor que o igual que la raíz cuadrada de n. Esto es que la descomposición de un supuesto n en a por b, el menor de sus factores será como mucho la raíz cuadrada de n. Si calculamos la raíz cuadrada de 30 es 5 y algo, con lo cual sabemos que los factores de 30 y de todos aquellos números que sean menores que 30, sus factores serán como mucho 5. Así pues podemos afirmar que el resto de números que están sin marcar en la tabla son números primos. La grima de la tos tenés nos ha permitido calcular los primos menores o iguales que un cierto número natural dado. Un problema relacionado es el de determinar si exactamente un cierto número es primo o no. Determinar si un número es primo o no es lo que se conoce como el problema de la primalidad. El test de Miller-Rabin o el algoritmo a que a ks son algunos de los métodos que se utilizan para determinar la primalidad de un número. Mendece la pena no olvidar el problema de generar números primos que tienen numerosas aplicaciones en el ámbito de la criptografía, en general de una determinada longitud, número de cifras. La aproximación intuitiva que se realiza para generar un número es generar un número impar y aplicar uno de estos algoritmos anteriores para ver si es un número primo o no. Y acabaremos con un par de actividades. Comenzaremos preguntando cuál de las siguientes descomposiciones es una descomposición en factores primos. ¿Puedo haber una o más de una? Bueno, espero que veáis que hay de hecho más de una, que la primera no es una descomposición en factores primos, puesto que el cuatro no es un número primo, pero que en cambio 72 sí que es el producto de 2 al cubo por 3 al cuadrado y 99 el de 3 al cuadrado por 11. Finalmente os proponemos que utilicéis la cribadera 2 tenes para encontrar todos los números primos que hay entre los 50 primeros números naturales.