 آسلام علیکم. لیکچر نمبر 36 شروع کرتے ہیں آج اور اس میں مزید دوالب کرتے ہیں انٹگریشن کے کانسپٹ کو آئیڈیہ کو in terms of application to real life problems بیسکلی اس لیکچر میں بھی کانسپٹ کچھ یہی ہے کہ ایک real life problem ہے اس کو real life سے مرات کے physics کی problem شاہد ہو یا real life problem ہو تو اس کو solve کرنے کے لیے اس کو کچھ analyze کرنے کے لیے انٹگریشن یا definite integral جو ہے اس کو استعمال کیا جائے گا اس کے concept کو apply کریں گے اور پھر دیکھیں گے کہ اس کو problem کا آنسر ملتا ہے کہ اس کا solution تو یہ concept کوئی ہے جو پہلے بھی ہم دیکھ چکیں پیچھلے لیکچر میں کہ جی پیچھلے لیکچر میں topic جو تھا وہ discussion کا وہ volume تھا volume of 3 dimensional solids اور اس کا ایک given solid کا volume معلوم کرنے کی لیے ہم نے یہی دیکھا کہ definite integral کو استعمال کیا تھا انٹگریشن کے جو concept تھے وہ ہم نے استعمال کر کے اپنے volume معلوم کیا solids کے اس لیکچر میں کیا topic کیا ہے discussion کا اس لیکچر کا topic ہے جناب arc length کی بات کریں گے ہم arc length کیا چیز ہوتی ہے چھوٹا سا ایک agenda ہے آج کا اس کو لکھلے دیں دیکھیں کیا ہے topic جناب ہے آج کے لیکچر کا length of a plane curve اور یعنی plane curve سے مراد یہ کہ کوئی اگر curve ہے آپ کے پاس تو اس کی length کیسے معلوم کی جائے گی اور جو main topic ہوگا اس لیکچر کا وہ ہے arc length تو یہ arc length بیسکل کیا چیز ہوتی ہے اس کے بارے میں ہم بات جیت کریں گے آج تو اس میں یہ ہے کہ جی length کی جب بات ہوتی ہے تو اس کو ہم پہلے تو یہ دیکھیں گے کہ length کیا مطلب ہے یہاں پر ہم بالکل شروع شروع کیا کچھ لیکچر تھے اس میں ہم نے discussion کی تھی length کی وہ تھوڑا سا رویو کر لیں گے رویو سے مراد ہے کہ وہ ہم اس کو بھی دیکھیں گے اس کو بھی دیکھیں گے شروع کے جو concept کیا length کیا اور پھر اس کو develop کریں گے into arc length وہ discussion کریں گے کہ وہ کیا چیز ہوتی ہے اور اس میں یہی بات ہوگی کہ جو arc length کو ہم معلوم کریں گے اس کو معلوم کرنے کے لیے بھی concept ہوئی ہوگا کہ definite integral یا integration کا جو concept ہے اس کو ہم اپلائے کریں گے اور ہمارا solution آجائے گا ہمارے پاس تو اس لیکچر کو شروع کرنے سے پہلے میں ایک چھوٹی سی example کرنا چاہوں گا بیسکلی پچھلے جو ایمیڈیتلی پچھلہ لیکچر تھا لیکچر number 35 اس سے correspond کرتی ہے اور اس میں یہ ہے کہ بیسکلی example یہ ہے کہ جو ہم نے پچھلہ لیکچر میں جو discussion کی تھی cylindrical shells کو استعمال کیا تھا for finding volumes تو کچھ وقت کی کمی کی وجہ سے میں ایک example نہیں کر پایا تھا ایک proper کشم کی theoretical discussion ہم نے کی تھی example theoretical level پر ہم نے دیکھی تھی ایک لیکن proper ایک applied problem میں نہیں کر سکتا تو وہ میں پہلے کروں گا اور اس کے بعد پھر ہم آج کے لیکچر کی discussion جو major ہے اس کو start کریں گے تو آئے سب سے پہلے یہ کرتے ہیں کہ وہ example کرلیتے ہیں جو بیسکل سے correspond کرتی ہے پیچھلہ لیکچر سے اور idea as example کے یہ ہے کہ ہم volume معلوم کرنا چاہیں گے ایک solid of revolution کا using cylindrical shells یہاں پہلے اس سے پہلے کے example کریں آپ کو hopefully یاد ہوگا immediately پیچھلہ لیکچر ہے کہ cylindrical shells کا کیا idea تھا جو ہم نے اس کیا تھا اور ان کو استعمال کر کے ہم volume کیسے معلوم کر سکتے ہیں کسی ایک solid کا تو آپ جو ہم up solid دیکھیں گے بلکہ particular solid جو ہم جن میں interested تھے وہ تھے solids of revolution یعنی ایسے solids جو آپ اگر کوئی region آپ کے پاس ہے 2 dimensional دیا ہوا ہے اس کو اگر آپ کسی ایک axis کے آس پاس devolve کرتے ہیں تو جو resulting solid آتا ہے اس کا volume ہم معلوم کرنا چاہیں گے تو جن آپ اس کی ایک example کرتے ہیں اس میں hopefully آپ recall کر لیں گے کہ کیا discussion کی تھی ہم نے چھوٹا سا preview یہ ہے کہ volume by cylindrical shells میں ایک concept یہ تھا کہ اگر آپ کے just solids آتے ہیں کسی revolution کے بعد کسی region کے تو اگر وہ complicated سے ہیں یا ان کا cross section کچھ تھوڑا سا complicated آتا ہے یا کوئی اور complication ہوسکتی یہ ہوسکتا ہے آپ کا cross section جو ہے وہ simpleی ہے disc ہو یا washer ہو لیکن limits of integration معلوم کرنا مشکلوں کیونکہ ہوسکتا ہے آپ کا جو surface ہے وہ this type کا ہو یا جو solid ہے وہ this type کا ہے کہ limits اس میں سے معلوم کرنا مشکلیں تو تب ہم cylindrical shells کو استعمال کر سکتے ہیں اور ہماری calculations کافی آسان ہو جاتی ہیں تو اس میں یہی تھا کہ کیسے کرتے ہیں concept یہی تھا کہ جی آپ cylindrical shell کیا ہوتا ہے it's basically a glass container تیسے glass ہوتے ہیں جس میں پانی پیتیں it's that's exactly what a cylindrical shell is اس کے دو radioces ہوتے ہیں یہ جنے radii بھی کہتے ہیں plural کے طور پہ اور اس کی کچھ formula ہم نے ایک بنائے تھا after some manipulation of the basic formula of a cylinder اور وہ یہ تھا کہ جی 2 pi x f of x dx کو اگر آپ انڈیکریٹ کریں گے تو آپ کے پاس volume آجائے گا solid کا اور یہ formula 2 pi x f of x delta x اگر آپ انٹگرل ہٹا دیں تو وہ basically correspond کرتا تھا thickness of the shell اس کی average radius times the height times 2 pi اس میں ہم نے یہ بھی دیکھا تھا کہ these cylindrical shells کا جو formula تھا یہ process تھا اس کو ایک اور نقطہ نظر سے بھی ہم دیکھ سکتے تھے اس میں ہم نے یہ کیا تھا کہ cylindrical shells کا جو formula ہمارے پاس آیا تھا 2 pi x f of x dx یا delta x اگر آپ اس کو انٹگرل ہٹا ہٹا کے دیکھیں یعنی delta x was the thickness of the shell اس میں اگر یہ تھا کہ thickness کو اگر آپ بالکل ختم کردیں یعنی اس کو 0 کردیں تو cylindrical shell جو تھا آپ کا وہ ایک عام سلنڈر بن جاتا تھا اور اس کا formula پھر بھی وہی رہتا تھا کہ آپ بجائے سے کہ آپ average radius دیکھ رہیں اب آپ اس کا radius دیکھتے تھے سلنڈر کا خالی اور it turned out کے formula وہی رہتا تھا اور یہاں پہ سلنڈرکل شل کا جو formula تھا وہ اب بن جاتا تھا surface area of a cylinder which you could use to find the volume of a solid تو یہ دو طریقے تھے ایک دوسرے کو complement کرتے ہیں ایک میں سے دوسرا derive کر سکتے ہیں vice versa کر سکتے ہیں تو ایک ہی concept تھا basically لیکن تھوڑا سا different point of view تھا تو اب یہ سارے جو concept سے ہم نے پچھلے لیکچر میں دیکھتے اور کوئی چونکہ concrete example نہیں کی تھی تو وہ میں یہاں پر کرنا چاہوں گا اس لیکچر میں اور اس example کو کرنے کے بعد پھر ہم اس امیڈیٹ جو آج کا لیکچر اس کے topic جو ہیں اس کے بارے میں discussion کر لیں گے تو آن example دیکھتے ہیں کہ کیا ہے example جناب ہے کہ use cylindrical shells to find the volume of the solid generated when the region are in the first quadrant enclosed by y equals x y equals x square is revolved about the y axis جناب یہ آپ کا سوال ہے یعنی یہاں پر ایک region دیا ہے آپ کو جو کہ 2 dimension لے اس کو اب آپ y axis کے آس پاس گھوائیں گے تو ایک solid بنے گا جس کو آپ کو اس کا volume آپ کو معلوم کرنے تو یہ دیکھ لیتے ہیں تصیر بنا کے کہ یہ solid کیا ہے سب سے پہلہ دے دیکھتے ہیں کہ region کیا ہے اور پھر اس کی revolution سے جو solid بنتا ہے وہ کیسا ہے دا یہ دیکھتے ہیں solid جو region ہے یہ آپ کے سامنے ہے first quadrant میں confined ہے by the functions x and x square نوٹ کریں کہ انٹرولڈری ہاں پہ دیا ہے وہ ہوتا ہے by the intersection of the 2 functions x and x square تو جو انٹرول آپ کے پاس آتا ہے وہ ہے 0 to 1 لہذا آپ کا جو region ہے وہ define ہے انٹرول پہ 0 سے لے کے 1 تک اور اس کا جیٹوپ اپر باونڈری ہے وہ ہے function y equals x لور باونڈری جو ہے وہ ہے y equals x square تو اب اس کو اگر آپ روٹیٹ کریں گے y axis کی around تو آپ کے پاس ایک solid آجائے گا یہ آپ کے سامنے ہے اور this is a solid that looks like a bowl with a cone-shaped interior تو یہ آپ کا solid ہو گیا وہی بات ہے یہاں پر تھوڑی سی وہ بات ہوتی ہے کہ creative imaginative thinking کی بات ہوتی ہے ہر چیز جو ہم کر رہے ہیں وہ flat screen پر ہو رہی ہے 2 dimensions تو تھوڑا سا creative thinking کی ہوتی ہے کہ جو آپ نے region آپ نے روٹیٹ کیا تو جو شیپ آئی ہے وہ بیسکل ایک bowl تو ہے پیالہ ہے لیکن ایسا پیالہ ہے جو بہر سے پیالہ لگتا ہے لیکن اس کے اندر surface ہے وہ ایک cone کی طرح سے یہ جو ہم ice cream cone کھاتے ہیں اس کی شیپ ہے تو اس کو تھوڑا سا مدد نظر رکھتے ہیں لیکن یہ بات ہے وہی بات ہے کہ اس وقت ہمیں اس کی کوئی خاص ضرورت محسوس نہیں ہوگی کہ شیپ کو مدد نظر رکھا جائے کیونکہ کالکلیشنز اسان ہے لیکن آگے چل کے جب multivariate calculus ہم کریں گے جس میں double integrals triple integrals ہوں گے اور وہ کون سے بھی یہ ہوگا کہ volume اور surface area ویغرہ معلوم کریں گے تو اس میں کئی بار ایسا ہوتا ہے کہ جو picture بن رہے ہوتی اس کی image کو ذہن میں رکھنا پڑتا ہے اور وہ سارہ اصل چیلنج ہوتا ہے خیر وہ بات کی بات ہے ابھی ہم اس کو solve کرتے ہیں کہ یہ solid آپ کے سامنے آگیا آپ نے دیکھا اب سوال یہ ہے کہ اس کا volume کیسے معلوم کریں تو یہ volume معلوم کرتے ہیں solid کا solid کا volume cylindrical shells سے معلوم کرتے ہیں try کر کے دیکھیں کوشت کر آپ اس کو disk سے کرنے کی یا washers سے تو شاید یہ نہ ہو سکتے ہیں اسانی سے again exercise کے طور پر آپ دیکھیں کوشش کریں کہ cross section لیں solid کا cross section کو دیکھیں کہ وہ کش شیپ کیا ہے اگر washer ہے تو عرام سے ہو جائے گا disk ہے تو اور بھی اسانی سے ہو جائے گی calculation آپ کی لیکن اگر کوئی اور different type کیا region بنتا ہے کوئی area بنتا ہے یا کوئی 2 dimensional region بنتا ہے تو پھر calculations کافی مشکل ہو جائیں گے کیونکہ آپ کو basic idea یہ یہ ہے کہ اس کا ہمیں area کیسے معلوم کریں گے region کا cross section کے خیر ہم cylindrical shells استعمال کرتے ہیں تو آئے دیکھتے ہیں calculations کیا بنتی ہیں اس میں دیکھیں کہ سمپل سیک calculation ہے سب سے پہلے تو formula جو ہے وہ volume کہ ہے integral from 0 to 1 2 pi x times the height of the solid times dx تو height کیا ہوگی آپے height جو ہے وہ تھوڑی سی آپے ٹرکی ہے کیونکہ ہم نے کہا تھا f of x is the height of the function جب ہم نے f of x کہا تھا تو ہم considering کر رہے تھے ایک ایسا solid جس میں جو confinement تھی صرف ایک function سے بھی تھی اور bottom پہ جو تھا وہ آپ کے پاس x axis تھا جس نے confined کیا تھا آپ کے region کو یہاں پہ دو functions نے confined کیا ہے تو جو height ہوگی وہ define ہوگی by the difference of these 2 functions یعنی جو بڑا function ہے اس میں سپٹریک کرنے چھوٹے function کو lower function کو تو آپ کے پاس آپ کی height آجائے گی solid کی تو basically کہنے کا مقصد یہ کہ اگر پہلہ function تھا f of x equals x دوسرہ function ہے g of x equals x square تو آپ کی جو solid کی height ہے وہ ہے f of x minus g of x which is the same thing as saying x minus x square تو یہ آپ کی height بنے گی تو اس کو لکھ لیتے ہیں یہ جناعہ آپ کا فارمولا بن جاتا ہے 2 pi x times x minus x square یہ آپ کی ہوگی یہ وہ فارمولا ہوگے جس کو آپ انتگریٹ کریں گے to get your volume of the solid تو کالکلیشن continue کرتے ہیں اب دیکھیں کہ یہ جو انتگرل ہوگا یہ 0 سے 1 تک ہوگا volume اگر معلوم کرنا ہے اور اس میں آپ انتگریٹ کر رہے ہیں تو ہمیں 2 pi times x times x minus x square dx کو تو کالکلیشن جو ہوگی وہ ہوگی this will equal to 2 pi times the integral from 0 to 1 of x square minus x cube dx کیوںکہ میں نے x کو distribute کر دی ہے across the term in the bracket in the parentheses now we get 2 pi times the evaluation of the difference of these 2 functions x cube divided by 3 minus x4 to divide by 4 at the end points 0 and 1 and when we do this and simplify the expression we get pi over 6 یہ آپ کا جناب ہوگیا volume of this solid that we were looking at so pi over 6 جو ہے is the volume پای over 6 you can put anything on the units پای over 6 can be a centimeter cube can be a centimeter cube کیوںکہ کنٹینمنٹی is a solid it contains something تو وہ پای over 6 can be any units doesn't matter depending on the physical situation it could be anything but abstractly generally speaking پای over 6 many units of volume can be یہ پای over 6 can represent this volume تو یہ ایک اگزمبل تھی of cylindrical shells جو میں نے پیشہ لیکچر میں نہیں کیتی اس دفعہ کر لیے تو ہوبفلی اس سے تھوڑی سی کلرفائے ہوگا ہوں گے کچھ concept جو cylindrical shells کے بارے میں تھے تو اگر مزید کو سوال ہوں تو of course آپ لوگ continue کر سکتے ہیں پوچھ سکتے ہیں دیکھیں گے جواب اگر دیکھے اور کچھ نہ کچھ ہو جائے گا اچھا جی تو اب اب اس کو یہاں پہ ختم کرتے ہیں volume's کو cylindrical shells کے topic کو اور جو آج کا main topic ہے اس کی بات شروع کرتے ہیں تو آج کا main topic ایک ہی ہے بیسکلی اور وہ ہے کہ curves کی length معلوم کرنا اور اس میں یعنی concept یہ کہ arc length معلوم کرنے ہیں تو اب arc length کی discussion شروع کرتے ہیں تو اس میں سب سے پہلہ سوال تو یہ ہے کہ یہ arc length کیا چید ہوتی ہے اس سے پہلے تو یہ کہ length کیا ہوتا ہے تو length کے بارے میں میں نے جیسے کہا تھا کہ یہ بیسکلی وہ concept ہے جو ہم نے کافی پہلے بالکل شروع شروع کے جو لیکچر سے اس میں تھوڑی سی بات کی تھی distance کے بارے میں بات کی تھی تو length بھی ایک طرح کا distance ہوتا ہے یعنی مقصد یہ کہہنے کا کہ اگر ایک آپ کو میں دیتا ہوں ایک line بنا کر دیتا ہوں in the xy plane اور میں کہتا ہوں کہ جی اس کا آپ اس کی line کی length معلوم کر کے بتائیں تو میرے خال سے آپ کہیں گے جی length جو ہے وہ distance کے برابر ہے between the end points of this line یعنی line کے جو end points اگر وہ میں آپ کو بتا دیتا ہوں تو آپ distance معلوم کر لیں گے between those two points اور وہ distance جو ہوگا it'll still basically represent the length of that line تو یہ تو بیسکلی concept ہو گیا جو ہم پہلے دیکھ چکیں گے ٹیک ایک straight line اگر دیو تو اس کی length ملوم کی جا سکتی ہے using analytic geometry یعنی بیسک سے ہم نے ideas ڈویلپ کیے تھے کافی پہلے وہ ہم استعمال کر سکتے ہیں تو اب arc length کیا چیز ہوتی ہے تو arc length یہ بیسکلی length ہوتی ہے ایسے lines کی جو straight نہیں ہوتی تو آپ کہیں گے کہ جی یہ کونسی lines ہوتی ہے جو straight نہیں ہوتی کیونکہ line تو intuitively ہم سب سمجھتے ہیں کہ straight ہونی چاہیے تو اس میں اس کا جواب یہ ہے کہ جی mathematics میں line جو یہ straight line وہ special case ہوتا ہے ایک general line کا جو کہ curved ہو سکتی ہے تو یہ جو یہ ایک general line ہوتی ہے بیسکلی اگر آپ یہ جو curve ہم نے کہا کہ a curve ہے جسکہ اندر سارے smooth سا ہے ایسے ایسے کر کے یہ ایک general form ہے line کی اس کا special case ہوگا اگر آپ اس کو straight کردیں تو ایک standard جو ہم کہتے ہیں عام طور پہ جسے ہم سمجھتے ہیں line straight line وہ بن جاتی ہے تو curves جو وہ lines ہی ہوتی ہے لیکن general type کی تو اب مقصد کہنا کہ یہ کہ اگر curve ہاں ہمارے پاس اب ہم اس کو curve کہیں گے تو اس کی length کیسے معلوم کی جائے تو اس میں ایسا کرتے ہیں کہ ابھی تک جو باتے کییں اس کو تھوڑا سا لکھ لیتے ہیں دیکھتے ہیں کیا باتیں ابھی تک جو topics دسکس کییں اس میں یہ کہ بیسکلی the idea is that we want to develop ways of finding the length of curves or lines that twist and turn the curves we will look at will be graphs of functions تو کوئی نئی بات نہیں ہے ظاہر a curve ایسے دیکھیں گے جو functions جن کو define کریں گے جو graphs ہوں گے کسی function کے اب اس میں جب ہم کہہ رہے ہیں کہ ہم graphs دیکھیں گے functions کے تو کچھ details یہ ہیں کہ the function we will look at will be such that the derivative of the function will be continuous on a given interval so we are not so much concerned with the original graph the original function f but rather the derivative of that function f prime a function that has that has this property that f prime is continuous on a given interval we will call that a smooth function and the graph of such a function we will call smooth curve تو یہ جناب ہماری باتے ہو گئیں اس میں یہ ہے کہ اب یہ تھوڑیسی ہم نے ٹیکنکل باتے لکھنی تو اچھا ہو گیا concept یہ کہ جو curves ہم دیکھیں گے جن کی ہم length معلوم کرنا چاہیں گے they will be defined by some functions and the functions will be smooth functions and the graphs of such functions will be what are called smooth curves so we are basically looking at smooth curves or smooth کی سمرہ دیے کہ intuitively تو ظاہر سی باتے کہ smooth کمتلب یہ کہ صاف سترا کی ایسی کوئی چیز جس پر کوئی شکن نہیں پڑی یہ تو intuitive concept ہے لیکن اس مطالحیہ کہنے کا مقصد یہ رفلی کہ آپ کا derivative function کا جو defining curve تو وہ continue show کسی ایک انٹرول پہ تو اگر اس کو detail میں دیکھیں اس مطالحیہ دیفنیشن کو then really یہ وہی بات ہے جو ہم نے کی کہ کوئی ایسا surface یا کوئی ایسا curve دیکھیں گے جس میں کوئی شکن نہو خیر رفسی بات کیے لیکن idea یہ ہے بیسیکل اچھا تو اب آرک لنٹ problem ہے بیسیکل اس کو state کر دیتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ اس کو پوری طرح state کرنے کے بعد ہم اس میں تھوڑا سا statement سے ہی ہوگا کہ mathematics آجائے گی تا کہ ہم mathematically اس کو resolve کر سکیں تو آئی اس کو لکھ لیتے ہیں اور ایک figure بھی بنا لیں گے which will sort of help us understand what we are looking for تو جناب آپ کی problem جو ہے جو ہم دیسکس کر رہے ہیں because that f is a smooth function on the interval ab find the arc length l of the curve y equals f of x over the interval ab اس problem کی statement کے ساتھ یہ ایک figure ہے ظاہر ہے ایک curve دیا ہے جو کہ curve ہے y equals f of x کا define on the interval a comma ab اور اس کا ہمیں کسی مالوں کرنی ہے بیسکلی تو یہ جناب ہماری کوشش ہے اس لیکچر کی کہ ہم کسی طرح سے ایک curved چیز کا کی length مالوں کریں تو اب یہ ہے کہ سوالی پیدا ہوتا ہے کہ جی ٹھیک ہے statement ہم نے بنا دی کے ایک curve ہے اس کی ہمیں length مالوں کرنی ہے تو اس میں مشکل بات کیا ہے like what is the problem with finding the length of a curve تو اس کے بارے میں بات چیت کرنے کیلئے ایسے دیکھ لیں کہ کبھی آپ نے ہو سکتا ہے کوشش کیوں کہ ایک measuring ڈیپ لے کے آپ کسی سیدی چیز کی کوئی ایک state ہو سکتا ہے آپ کہیں کہ جی ہمیں گھر میں نئے پردے لگوانے کھڑکی میں تو آپ کہتے ہیں کہ یہ ایک measuring ڈیپ لے کے جائیں اور measures کریں کہ کھڑکی کی چھوڑائی کتنی ہے یہ ہو سکتا ہے لمبائی مالوں کرنی ہے تو اگر آپ نے کبھی ایسے کیا ہے تو یہ جو measuring ڈیپ ہوتے ہیں یہ عام طور پہ میں جب استعمال کرتا ہوں کبھی میری امی کہتی ہیں بھی جا کے کھڑکی ناپ کیا ہوں تو میں وہوالا استعمال کرتا ہوں جو سلائی میں استعمال کرتے ہیں درزی وغیرہ لہر امی گھر پہ سلائی بھی کرتی ہیں تو ہمارے پاس یہی جسے ہم انچھ ڈیپ کرتے ہیں تو یہ انچھ ڈیپ لے جا کے میں کوششی ہوتی ہے کہ وہ مالوں کرنی ہے تو وہ مالوں کیجا یا چڑائی مالوں کرنی ہے تو عام طور پہ ہوتا ہے کہ ظاہر ہے یہ انچھ ڈیپ 5 فٹ کا ہوتا ہے تو اگر کھڑکی 5 فٹ سے لمبی ہے یا چھوٹی بھی ہے اگر تو 5 فٹ کافی بڑا ہوتا ہے تو ایک دوسر آدمی وہاں دوسرے سرے پہ کھڑا ہوتا ہے اور ایک سرے پہ میں کھڑا ہوتا ہوں انچھ ڈیپ کا ایک کورنر لے کے دوسرے سیٹ پہ کوئی اور اگر کبھی ہوتا ہے کہ ناپت وقت انچھ ڈیپ میں یا میشرین ڈیپ میں لچھا کا جاتی ہے تو اس میں ہوتا ہے کہ کھڑکی گو کے ناپنی ہے تو اس کی جو لچھ ہوتی ہے کھڑکی کی سٹریٹ ہوتی ہے بالکل لیکن آپ جب انچھ ڈیپ سے میشر کر رہے ہیں تو رفلی اگر کسی نے سیطنا سے کھڑکی نہ رکھا انچھ ڈیپ کو تو اس میں لچھا کا جاتی ہے اور جو انچھ ڈیپ ہوتا ہے انچھ ڈیپ میں کہ آرک بن جاتی ہے اس میں کھڑکی سی لچھا کا ہوتی ہے تو یہ کبھی کبھی ایسا فیناومنہ ہوتا ہے تو یہ جو لچھا کھا آری انچھ ڈیپ میں تو انچھ ڈیپ جو ہاں بھی آپ کا ایک طرح سے آرک بن چکا ہے اور مجھے کی بات یہ اور شاید آپ کو پتا ہو نوٹ کیا ہو کہ اگر میں کھڑکی کے ایک کونے سے لیکے دوسرے کونے تک انچھ ڈیپ رکھتا ہوں اور اس میں حلکی سی لچھا کا جاتی ہے اور وہ آرک بن جاتا ہے تو وہ جو ریڈنگ میرے پاس آئی گی دوسرے سرے پے انچھ ڈیپ کے وہ صحیح نہیں ہوگی یعنی مطلب کہنا کہ یہ کہ جو انچھ ڈیپ کی لمبائی ہوگی وہ زیادہ ہوگی کھڑکی کی لمبائی سے تو مقصد یہ ہے کہ سٹریٹ لائن کی جو لمبائی تھی جو میں ناپنا چاہا رہوں وہ صحیح نہیں آئی گی انچھ ڈیپ ایک آرک کی فرم میں اور آرک کی لنس جو ہوگی وہ تھوڑی سی زادہ ہوگی ظاہر سی بات ہے اگر سوچیں کہ اس میں ایک کرو آیا بای تو ایکسٹر دیسٹنس کور کر رہا ہے آپ کا انچھ ڈیپ تو ایکسٹر لنس بیسکلی تو یہ بیسک کونسپٹ ہے آرک لنس کا کہ جب انچھ ڈیپ آپ کا لچھا کا جاتی اس میں تو وہ آرک بن جاتا ہے اور اس کی لنس جو وہ برابر نہیں ہوتی تو یہاں پہ ایک طرح اولٹا ریورس ڈیپ آپ کا جو انچھ ڈیپ ہے وہ آرک لنس بن گئی تو اب یہ کہ اس کو کیسے مجر کیا جائے ظاہر ہے کہنے کا مقصد یہ کہ ہم ایک آرک کی لنس معلوم نہیں کر سکتے اپروکسیمٹ کر سکتے لیکن ایکسٹیلی معلوم نہیں کر سکتے اس کی ایک تصییر بناتے ہیں دیکھ لیتے ہیں کہ سارا ڈیپ کیا ہے اس میں دیکھ لی جائے کہ ایک سامنے ایک طرح کی کھڑکی بنیوی ہے اور ایک سٹریٹ لائن ڈیپریزنٹ کر رہی ہے اور اب میں اس میں اگر انچھ ڈیپ سے امیشن ڈیپ سے نابتا ہوں اس کو اور اس میں لچھا کہا جائے تو میرے پاس ایک آرک آ جاتی ہے اور اس آرک کے اندر ایک ایک اکسٹر دیسٹنس آ رہا ہے جو کہ تھوڑا سا دور ہے کھڑکی کی لڈج سے لہذا اس کی لنٹ تھوڑی سی زادہ ہوگی compared to the length of the windows تو ٹھیکہ جی یہ تھوڑا سا کنسپٹ کلیر ہو گیا کہ آرک لینت کیا چیز ہوتی ہے اس میں کیسے real life میں اکر کرتی ہے ہم نے دیکھ لیا کہ یہ اگر سٹریٹ لائن کو میں مجر کرنا چاہوں انچھ ڈیپ سے اس میں لچھا کہا جاتی ہے تو ایک آرک کھڑکی لینت ہے than a سٹریٹ لائن اوٹا بھی ہوسکتا ہے ہوسکتا ہے میں کہوں کہ بلکی ایسی ڈیپ سے اولٹ نکالنے اگر میرے پاس ایک آرک ہے یعنی ہمارے گھروں میں کچھ کھڑکی ہیں ایسی ہوتی ہیں جو آرچ کی فرم میں ہوتی ہیں اب آرچ اور آرک میں کیا فرق ہے کوئی زیادہ فرق نہیں ہے آرک جو اتی ہے اس میں وہ زیادہ جنڈل ٹرم اس کے اندر کچھ بھی ہو سکتا ہے ایسی ایسی چیزیں بھی ہو سکتی ہیں جو آرچ ہوتی ہے وہ صرف ایسی شیپ کو کہتے ہیں جو کہ تھوڑی سی گولائی میں ہو ان کھڑکیوں کا کافی فیشن ہے گھروں میں بنی ہوتی ہیں تو اب اگر میں کہتا ہوں کہ جی اس کھڑکی پردہ لگانا ہے تو مجھے اس کی for some reason مجھے اس کی جو آرک ہے اس کی لنک معلوم کرنی ہے تو وہ کیسے معلوم کی جائے گی تو وہ ہی بات ہے کہ اگر میں اینچ ٹیپ لےکے کہتا ہوں کہ جی ٹیپ اینچ ٹیپ جو ہے میرا وہ لوس ہے عمطور پر لوس سوتا ہے اور میں ایک سرے سے شروع کرکے اس کو گولائی دیکھے مجھر کرنا شروع کر دیتا ہوں تو کیا آپ سوال یہ کہ کیا یہ جواب صحیح آئے گا یعنی گولائی میں اگر اینچ ٹیپ رکے باری باری میں ایسے کر کے آرچ پنا مجھر کرتا ہوں تو will I get the right measurement of the آرک of this آرچ it's a good question جواب یہ کہ سوال یہ جو آپ کی لنٹ آپ مجھر کر رہے ہیں وہ صحیح نہیں ہوگی کیوں کہ بیسکل جو اینچ ٹیپ ہے it's a straight object اس پہ جو انچ ٹیپ مجھرد ہوتی ہیں وہ اس کو سٹریٹ کر کے اس کے پر مارک آف کی جاتی ہیں تو جب آپ اس کو کرف کریں گے تو اس کے اندر وہ لچک نہیں ہوگی بلکہ آپ نوٹ کریں گے کہ آپ کا جو انچ ٹیپ ہے وہ بالکل کرلوپ ہو جائے گا چھوڑے رف سے سپوٹس میں جب آپ اس کو گول کرنے کی کوش کریں گے تو اس کا مقصد یہ ہوتا ہے کہ آپ ایک سٹریٹ چیز سے ایک ویلیو نہیں نکال سکتے اپنی اس کی ایک آرک کی یا اس کی لنٹ کی انچ ٹیپ کے بجائے اگر آپ ایک میٹر روڈ لے لیں جو ہمارے کچھ ٹیجرز ہوتے ہیں وہ بلکہ پٹائی کرنے کے لئے استعمال کرتے ہیں میری بھی ہوچکی اس سے پٹائی ایک دفہ میٹرک میں لیکن کوئی بات نہیں ایسا actually ڈیوزٹ فر مجھریں some things right تو وہ بالکل سٹریٹ ہوتی ہے ایک میٹر لونگ ہوتی ہے اس کو لیکن آپ مجھر کریں اپنی آرچ کی لنٹ تو تب تو ظاہر سی بات ہے کہ آپ مانیں گے کہ ہمیں اس میں ایرر آئی گی وہ بالکل رجد ہوتی ہے اور آپ کو کورف معلوم کرنے تو that's a difference تو یہاں پہ یہ بات ہے کہ آرک لنٹ is different than a straight line length تو اب اس کو دیویلپ کرتے ہیں اب concept idea یہ ہے کہ بھئی کیسے ہم اس کو مجھر کریں کوئی آرک کاگر ہمیں دیوی لیے تو how do we measure it تو example سے شروع کرتے ہیں آئی دیکھتے ہیں ایک کچھ پکچھا بناتے ہیں ایک پکچھا ہے آپ کے سامنے اس پکچھے میں دیکھیں کہ آپ کے پاس ایک کرف ہے جو کہ ڈیفائن ہو آوائے ایک انڈرول پے اے سلے کے بی تک اور اس کے اوپر کچھ پوینٹس بنےویں p0 p1 p2 all the way to pn تو اب کرنا یہ ہے کہ جی یہ جو پوین پوینٹس ہے پی 0 سلے کے pn تک یہ تو پوینٹس ہو گئے اب مجھے یہ میں ای چاہتا ہوں کہ یہ جو آرک بنی تھی میرے پاس ابھی فگر میں یہ جو کرف بناوہ تھا اس کی مجھے آرک لنٹ مالوں کرنی ہے یا بیسکل کیانے کا مقصد یہ ہے کہ جو کرف ہے اس کی لنبائی مالوں کرنی ہے اس کی لنٹ مالوں کرنی ہے تو کیسے کریں گے سیمبل طریقہ بیسک طریقہ یہ ہے کہ ایسا کرتے ہیں جو پوینٹس بنےوے تھے پی 0 سلے کے پی 1 پی 1 سے پی 2 ان کے اوپر ہم اپنی میٹر روڈ لیتے ہیں جو بلکل ایک سٹریٹ ڈریجیٹ ہوتی ہے سکیل ہوتا ہے بلکہ میٹر روڈ کے چھوڑنے ایسا کرتے ہیں کہ ایسی روڈ لیتے ہیں جو exactly پی 0 سلے کے پی 1 تک فٹ ہو جائے پھر ایک اور روڈ لیتے ہیں جو پی 1 سلے کے پی 2 تک فٹ ہو جائے اور ایسی طرح کر کے all the way to پی n minus 1 سلے کے پی 1 تک ایک روڈ فٹ ہو جائے اب وہی بات ہے کہ ان کی different لینت ہوگی ان روڈ کی کیونکہ یہ جو پی 1 پی 2 وغیرہ پوینٹس ہیں یہ کرف کے اوپر دیفائنڈ ہے ان کے corresponding x axis پہ کچھ پوینٹس ہیں x 0 جو کہ a ہوگا سلے کر x 1 x 2 all the way to x n تو یہ کریں گے اپنے پوین پی 0 پی 1 پی 2 پی 0 ہمیرہ جو بہت اپنی جو بہت اس کے نظر بہت شخص تھے بہت نظر بہت نظر بہت نظر بہت بہت نظر بہت نظر بہت نظر بہت کہ اگر ایک آرچ ہے اس کا آپ ایک میٹر روٹ سے مجر کریں تو ایک اکسٹر اس کے اندر ایرار آتی ہے وہ ایرار یہ ہوتی ہے کہ سٹریٹ لائن جو ہے وہ تھوڑی سی ڈیسٹنس کو میس کر رہے یہ جو کرب ہو ہوا ہے تو وہ اپروکسیمیشن تو اچھی ہو سکتی ہے یعنی مقصد یہ کہنے کا کہ اگر آپ کے یہ چنگ تھا پی 0 سے لے کے پی 1 تک مثال کے طور پہ یہ اگر بہت چھوٹا ہوتا تو اس میں ایک چھوٹیسی روٹ سے میں اس کو اپروکسیمیٹ کرتا اور جتنا چھوٹا یہ وہ ہوتا چنگ اتنی اچھی اپروکسیمیشن آتی کیونکہ جو کربیچر ہوتا وہ کام ہوتا جاتا اور جو سٹریٹ روڑ ہے اور جو کرب ہے وہ بلکل کریب کریب ہوتا جاتے تو ایرار کام ہو جاتی جتنا بڑا چنگ ہوگا اس میں اتنے زیادہ کربیچر ہوگا اور اتنی زیادہ ڈیفرنس آئے گا بين the سٹریٹ لائن اور the کرب بیسکلی تو یہ جو ابھی تک ہم نے دیسکشن کی ہے اس کی تصویر ہم نے ابھی بنای تھی اب ایک فل فلیچ تصویر بنا لیتے ہیں جس میں سب کچھ انفرمیشن ہے انٹرول وغیرہ آئی دیکھتے دیکھلی جے کہ اس پکچر میں ہمار پاس کرب ہے ایک انٹرول ہے ایک ایک بی تک اور اس انٹرول کی سب ڈیویزنز ہے x1 سے لے کے xn-1 تک جو کار سپورنٹ کر رہے ہیں to the points p0 سے لے کر pn تک تو یہ پکچر ہو گئی اب اس کا یہ کرنا ہے جناب ہمیں کہ سمحا اس idea کو ہم ابھی دیکھ چکے ہیں بلکہ میں کیا بھی چکوں اور آپ کو بھی کلیر ہو گیا ہوگا کی جو lines ہم نے بنائیں گے joining the points p1 سے لے کے p2 تک مثال کے طور پہ یہ بیسکلی approximate کر رہے ہیں آپ کے curve کو تو ہم یہ کرتے ہیں کہ ان کو وہی concept ہے جو پہلے بھی کر چکیں کہ اگر ان کو بہت سارے بہت سارے چھوٹے چھوٹے point لیں تو ہمارے پاس زادہ بہتر اور بہتر approximation آئی گی اور جتنی بہتر approximation ہوگی تو ہمارا جو curve کی length ہے وہ ہمارے پاس اس کی بہتر approximation آئی گی اور اگر ہم limit لیں تو then we are basically done ہمارے پاس اپنا جواب آجائے گا انٹگرل کی form میں یہ ہم پہلے دیکھ چکیں اچھا جی تو اب ہمیں اندازہ ہو گیا ہے کہ اب کس طرح سے ہمیں proceed کرنا چاہئے in terms of exactly doing the calculations and the analysis جس کے ذریعے ہم یہ کچھ equations دکھ سکیں گے for finding the arc length of a given curve using those approximations approximating straight lines over subintervals of the interval a b تک جی تو اب اس کو analyze کرتے ہیں اس میں یہ ہے کہ کس طرح سے کرتے ہیں جیسے پہلے بھی ہم دیکھ چکیں کہ جہاں پر ہم نے slicing کی تھی یا regions کی بات کی تھی تو idea یہ تھا کہ ایک پرٹکلر نہیں بلکہ arbitrary region یا slice ہم نے choose کیا تھا kth value پہ اور اس کے بعد اس کو analyze کر کے اس کا ایک formula لکھا تھا اس formula کو ہم نے پھر generalize کیا تھا اس طرح سے کہ generalize تو نہیں کیا تھا بلکہ اس formula کا ہم نے sum لیا تھا over k values یعنی cage کی جو value تھی وہ one سے لے کے end تک گئی تھی اس کا ہم نے sum لیا اور پھر sum کا ہم نے limit لیا as the maximum width went to zero اور اس کے بعد ہم اپس انٹگرل آگیا تھا اور جواب آگیا تھا exact for whatever we were trying to find in this case we are trying to find the arc length تو we will proceed in a similar way تو اب یہ کرتے ہیں کہ ہم نے جو یہ line segments کی بات کیے تو ایک arbitrary line segment چوس کرتے ہیں let's call it l sub k l k اور اس کا دیکھتے ہیں کوئی formula لکھ سکتے ہیں کہ نہیں دیکھتے ہیں اس کو detail میں اس میں note کریں کہ l k یا l sub k کا جو formula ہوگا وہ ہوگا جناب square root of delta x k square plus delta y sub k quantity squared تو یہ بل کے آپ کے سامنے لکھا ہوا ہے بھی اور اس کے ساتھ نوٹ کریں کہ یہ کہاں سے آیا formula تو اس کے لیے equation کے ساتھ ساتھ ایک picture ہے اس میں note کر لیں دیکھ لیجے کہ using basic distance formula یہ ایک طرح سے pathagoras theorem کہلیں اس picture سے ظاہر ہے وہ استعمال کرتے ہیں آپ کے پاس ایک statement آئیے ایک equation آئیے for the length of the line l sub k تو اب یہ جو length آئیے آپ کے پاس اس میں ایک delta x k ہے شامل اور ایک delta y sub k شامل ہے ان کے square لے کے آپ نے square root لیے لیے بیسک distance formula جو ہم دیکھ چکیں کافی پہلے چونکہ آپ کا جو تصیر ابھی آپ نے دیکھی اس میں بلکہ پھر سے دیکھتے ہیں گی اس تصیر میں note کریں کہ ایک جو segment جو interval ہے delta x k جو correspond کرتا ہے line segment l k سے تو اس کے end points ہیں x k minus one اور x k تو ان کا ان سے correspond کرتا ہے delta x k ان کا جو وہ ہے fast line کے درمیان اور ان کے corresponding in x points k x sub k minus one اور x sub k k correspond کرتی ہیں کچھ y values جو کہ ہم لکھ سکتے ہیں as f of x k minus one and f of x k اور of course ان کا difference جو ہوگا وہ ہم designate کر سکتے ہیں as the difference in y values which is what y we are using delta y sub k اور ان کا آپ دیکھ سکتے ہیں آپ دیکھ سکتے ہیں پتھائگرس تیرم سے کہ statement آتی ہے l sub k کی جو value آتی ہے جو equation آتی ہے وہ آپ کے سامنے ہیں تو یہ جناب analysis ہو گیا کہ formula کدھر سے آیا آپ کیا l sub k کا اب اس میں یہ کہ کچھ manipulations اور کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ مزید کیا کر سکتے ہیں اس کے ساتھ اس میں functions کی ہم جب بھی بات کرتے ہیں تو جیسے میں نے بہت دفعہ کہ ہے کہ ہر چیز x میں ہونی چاہیے everything should be a function of x یہاں پر y delta y sub k میں ایک y آیا ہے اس کو ہمیں ہٹانا ہے یہاں سے تو اس کے لیے سیمپل سی بات ہے کہ delta y sub k کی میں an expression لکھی تھی ابھی ہم نے دیکھتے ہیں تھوڑی در پہلے کہ وہ ہے in terms of the function f of x اس کی جو value ہے وہ ہے برابر f of x sub k minus f of x sub k minus 1 k تو وہ اگر substitute کرنے اس formula میں جو ہم نے لکھا تھا تو ہم اپس کیا result آتا اس کو دیکھ لے تھے دیکھئے کہ it's obvious that with delta y sub k equals that value we can now write l sub k as the square root of delta x sub k quantity squared plus f of x k minus f of x k minus 1 the whole quantity squared اب ہم کیا کر سکتے ہیں اب ہم یہاں بڑا مشہور اور بہت اچھی طرح سے دیکھا ہوا تھیورم جو ہم نے کچھر سے پہلے دیکھا تھا وہ کنسا تھا وہ آپ کو یاد ہوگا mean value تھیورم تو یہ ہم نے بڑی ڈیٹیل میں دیکھا تھا اس کی بڑی ڈرسٹنگ باتے کی تھی ہم نے وہ ہم یہاں پر اپلائے کر سکتے ہیں اور ہم کیسے اپلائے کریں یہاں پر تو سب سے پہلے reference کے لیے میں یہ کہنا چاہوں گا جو mean value تھیورم ہے یہ آپ کی بک میں ہے تھیورم نمبر 4.9.2 any section 4.9 میں ہے تھیورم نمبر 4.9.2 اس کو آپ reference کے لیے دیکھ سکتے ہیں اس کی سٹیٹمنٹ کیا ہے میں یہاں پر بس اپلائے کروں گا اور جب میں اپلائے کروں گا یہاں پر تو کیا ہوگا آئی دیکھتے ہیں کیا ہوتے mean value تھیورم کے حوالے سے میں کہا سکتا ہوں کہ چونکہ mean value تھیورم کی condition satisfy ہو رہی ہے یہ جو function ہے f of x وہ satisfy کر رہے اس کی condition کو تو میں کہا سکتا ہوں کہ f of x k minus f of x k minus one divided by x k minus x k minus one is equal to f prime of x k star for some point x k star between x k and x k minus one تو یہ جو x k star point ہے یہ وہ point ہے جو mean value تھیورم guarantee کرتے کہ وہ point exist کرتا ہے between the interval if a certain condition is being satisfied over that interval تو ہمارا interval ہے x k x k minus one it is satisfying those conditions اس انٹرول کے اوپر جو function ہے f of x وہ satisfy کر رہے mean value تھیورم کی condition لہذا میں یہ اس لکھ سکتا ہوں جو میں نے ابھی لکھا اور اس کے لکھنے سے ہم کیا کچھ manipulation کریں تو کیا equations آتی ہیں وہ دیکھ لیتے ہیں manipulation سے نوٹ کیجے کہ f of x k minus f of x k minus one جو ہے برابر ہو جاتا ہے f prime of x k star times x k minus x k minus one لیکن یہ جو ہے x k minus x k minus one برابر ہے دلٹا x k تو میں لکھ سکتا ہوں f prime of x k star times دلٹا x تو اب یہ equation جو اب آئیے اس کو اگر میں استعمال کر کے اپنی جو ل سپ کے جو کے اتھ لائن تھی لائن سیگمنٹ اس کے لئے کچھ اس کے اندرس کو سپسٹوٹ کروں اگر تو کچھ equations آجائیں گے جس میں y نہیں ہوگا بلکہ سپ کچھ f کی f of x اور x کی terms میں ہوگا دیکھ لیتے ہیں کیا ہوتا ہے اب اس کو میں لکھ سکتا ہوں جو میرے پا سٹیٹمنٹ تھی l sub k کی I can now write it as the square root of دلٹا x سپ کے quantity squared plus f prime of x k star quantity squared times دلٹا x سپ کے quantity squared کچھ factor factorization اور simplification کروں گا اگر میں بہت بیسکسی ہے آپ تو خود کر سکتے ہیں تو میرے پاس results آگا l sub k equals square root of 1 plus f prime of x k star quantity squared times دلٹا x تو یہ ہوگیا جناب آپ کا formula for the kth line segment یعنی arbitrary کوئی line segment آپ لیتے ہیں تو اس کا یہ formula آتا ہے in terms of the derivative of the function that is defining the curve اور the square root تو اب یہ ہے کہ اگر میں اس یہ چونکہ arbitrary line segment کیا ہے اگر میں پورے انٹرول a سے لے کے b تک کے اوپر اگر میں یہ line segments دیفائن ہے in terms of sub intervals اگر میں ان کا summation لے لوں سم کرلوں تو میرے پاس پوری آرک تھی اس کی جو approximation ہے وہ پوری آرک کی approximation آجائے گی over the whole interval a to b تو یہ کیا ہوگا اس کو دیکھ لیتے ہیں اس میں دیکھئے کہ کہنے کا مخصد ہے کہ summation from k equals 1 to n of else up k equals the sum of course from k equals 1 to n of the expression for else up k جو ابھی ہم نے تھوڑی در پہلے دیکھی تھی تو اب یہ کرتے ہیں کہ اب یہ expression ہم نے summation لکھ لیا ہے یہ approximation ہے for the whole arc length اب اس میں یہی بات ہے کہ اگر limit ہم لے as these line segments become very small کہنے کا مخصد یہ ہے کہ جو آپ نے x axis پہ جو intervals بنائے تھے ان کی چڑائے آپ اگر آپ سب سے بڑے والے کی بالکل چھوٹی کر دیں 0 کی برابر یا اسے قریب قریب تو باقی سب جو ہیں وہ بھی بالکل 0 کے قریب آ جائیں گے اور آپ کی جو line segments وہ اگر تنے بڑے تھے تو چھوٹے ہو کے بالکل mind unit ہو جائیں گے اور میں نے جیسے پہلے کہا تھا کہ جتنی چھوٹا line segment ہوگا جتنی چھوٹا interval ہوگا اتنی چھوٹی اس انٹرول پر کروچر ہوگا آپ کے کرف کا اور اگر کروچر کام ہے تو آپ کا جو کرف ہے اور جو straight line ہے وہ بالکل قریب قریب رہیں گی اور approximation کافی اچھی آئے گی لیکن وہی بات ہے کہ جب ہم limit لیتیں تو we are saying that the result is exactly the same as the length of the arc so let's write that down اب یہ ہے کہ جی arc length جو ہے l of this curve is equal to the limit as the maximum delta x of k goes to zero of the summation from k goes one to n of the expression for an arbitrary line segment and of course this we know is just the integral from a to b of square root of 1 plus f prime of x quantity square dx تو یہ ہمارا derivation ہو گئی for the formula for finding the arc length of a curve اس کو formula لکھ لیتیں تھوڑی دیر کیلی دیکھ لیتیں کہ یہ تاکہ formula ہمیں یاد رہے تو جناب یہ formula ہے آپ کے سامنے اس میں دیکھ لیجے کہ ہم نے جو ابھی تک باتے کییں وہ لکھیویں اس میں دو formula دیے گئے ایک جو ہے وہ اس کے اس میں ہے جب آپ کے پاس اگر آپ کنسرر کرویں the function as a function of x اور اس میں f prime کی جگہ dy over dx بھی لکھ سکتے ہیں کوئی حج نہیں ہے no problem اگر آپ کے پاس ایک function دیے ہے in terms of y یعنی you have some function g of y then you have a similar statement a similar formula for the arc length of that curve defined by that function of y and the formula is right there in front of you فرق سے فیہ ہے کہ x کی جگہ ہر جگہ y آجائے گا یعنی g prime of y dy ہو جائے گا اور dy over dx کی وجہ dx over dy جنا اب یہ ہو گئی آر کلینٹ کی بات چیت main topic یہی تھا لیکچر کا صرف ایک ہی topic تھا اور hopefully ہم نے سب کچھ سمجھ لیا ہوگا کیونکہ کوئی نئی بات نہیں تھی بیسکلی concepts ہوئی ہیں کہ آپ نے integration جو integrals کے جب ہم نے باس شروع کی تھی تو جب area کی بات کی تھی under the curve in terms of integration یا definite integral وہی concept now ہم expand کر رہے ہیں تو وہی بات ہے کہ سب divisions take the limit of a certain expression that you derive and then basically you get a formula and you basically use it after that تو جی اب ختم کرتے ہیں اس لیکچر کو یہاں پے hopefully آپ home work کریں گے and please do it practice makes perfect تو آپ سے اب next time ملاقات ہوگی Thank you Allah Hafiz