 Aprovecharemos que hemos introducido el máximo común divisor y un algoritmo eficiente para calcularlo como es el algoritmo de Euclides para repasar el concepto de mínimo común múltiplo. Recordemos para comenzar el concepto de múltiplo y que ya vimos en el vídeo dedicado a divisibilidad. Diremos que dados dos enteros A y B, A es un múltiplo de B, si B es un divisor de A, esto es, si existe un entero Q de manera que A lo podemos expresar como el producto de Q por B. Así diremos que 12 es un múltiplo de 4, puesto que 12 lo podemos expresar como 4 por 3. O bien que 14 es un múltiplo de 7, a ser 14 el producto es 7 por 2. En cambio, 15 no es un múltiplo de 6, puesto que 15 no es un producto de los números enteros, siendo uno de ellos el 6. Veamos a continuación qué quiere decir el mínimo común múltiplo y que de hecho se deduce directamente de la propia expresión, ya que serán los múltiplos comunes entre los números de todos ellos, el mínimo. Consideremos los números de 4 y 10 y comencemos mirando los múltiplos de 4. De todos ellos cogeremos sólo los positivos y lo notaremos de esta manera con este signo más a los múltiplos positivos de 4. El conjunto será 4, 8, 12 y así sucesivamente incrementando de 4 en 4. Estos son todos los múltiplos positivos de 4, marcamos sólo hasta llegar al 44 y consideremos los múltiplos positivos de 10, 10, 20, 30 y así sucesivamente 10 en 10 encontraríamos los infinitos múltiplos de 10. Si miramos los múltiplos que son comunes en ambos conjuntos observaremos que el 20 y el 40 son de los que hemos marcado los que son comunes, pero estamos considerando el mínimo de todos ellos por lo tanto el mínimo común múltiplo de 4 y de 10 será 20. Veamos cómo definir formalmente el mínimo común múltiplo. Daos dos enteros no nulos a y b y llamaremos mínimo común múltiplo de estos enteros al número natural m que verifica estas dos propiedades. En primer lugar que m es un múltiplo tanto de a como de b y en segundo lugar que si n es otro entero que es múltiplo de a y de b, esto es que a y b son divisores de n, automáticamente n también es un múltiplo de m, esto es de todos los posibles múltiplos consideramos el menor. En ocasiones notaremos de esta manera un mínimo común múltiplo entre paréntesis y separado por dos puntos. Hemos visto al inicio que teniendo la vista los conjuntos de múltiples de uno y otro número es fácil deducir cuánto vale el mínimo común múltiplo entre ellos pero esta aproximación no resulta demasiado cómoda cuando tenemos números que son relativamente grandes aunque sólo hablemos de unas pocas centenas. Esta es la opción también que posiblemente muchos recordaréis de calcular el mínimo común múltiplo entre dos números si buscamos los factores primos de ellos y multiplicamos los que no son comunes a los dos y los que son comunes y tienen un exponente mayor pero de nuevo esta aproximación resulta tediosa cuando los números son relativamente grandes por eso lo que lo que haremos era utilizar que ya sabemos calcular el máximo común divisor y utilizaremos este resultado así dados dos números naturales a y b se cumple la siguiente igualdad que el producto de ellos es el producto del máximo común divisor entre ellos por el mínimo común múltiplo así para calcular el mínimo común múltiplo lo que podemos hacer es utilizar el algoritmo de Euclides que ya vimos que era un algoritmo eficiente para calcular el máximo común divisor y utilizar este resultado para encontrar el mínimo común múltiplo pero ya como hemos comentado a y b han de ser números naturales que ocurre cuando a y b no son naturales y lo que queremos calcular es el mínimo común múltiplo de dos números que son enteros pues es sencillo simplemente lo que debemos tener en cuenta es que el valor absoluto de a por b es igual al producto del máximo común divisor entre a y b y el mínimo común múltiplo de a y b si a ello le añadimos que al igual que pasaba con el máximo común divisor se cumple la siguiente igualdad tenemos nuestro problema resuelto y llegamos ya al final de este recordatorio del mínimo común múltiplo proponiendo que calculéis el mínimo común múltiplo de menos 25 y 35 bien espero que todos estéis de acuerdo en que de los tres el único que podría tener sentido es el tercero y de hecho es el correcto puesto que menos cinco no es posible ya que es un número negativo y 35 no es un múltiplo de menos 25 y antes de acabar os querríamos proponer el cálculo de este mínimo común múltiplo recordad que podéis utilizar todos aquellos cálculos realizados durante este curso