 Donc, nous sommes retournés pour ce seconde talk sur ce Thérémique Arachémique que j'ai étaté à la fin du premier talk. Et ce Thérémique Arachémique m'a dit que si j'ai un subgroupement discret de un groupe semi-simple dans l'Ierang qui contène des compagnies cocompactives d'un groupe homospéricien, alors il doit être arithmique. C'est un statement. Comme je l'ai dit, je vais commencer cette lecture pour commencer la preuve pour l'ASL4R et le groupe unipotent qui est à l'arrière. En fait, je vais prendre le remaining talk en parlant de cet exemple qui est... Mais j'ai oublié de donner des crédits sur ce Thérémique. Le premier... c'est un remarque sur le Thérémique général. Vous voyez, le point de ce Thérémique c'est que vous n'assumez pas priori que Gamma est la laitiste, c'est juste un groupe discret. Donc quand Gamma est la laitiste, ce Thérémique est Margulis, le premier Thérémique de l'arrière. Margulis a provoqué 4 Thérémiques de l'arrière et c'est... le premier est pour les laitistes non-compactives et il a trouvé des prêts complètement différents en utilisant beaucoup plus de thérémique et qui travaillera pour les laitistes non-compactives et non-compactives. C'est le deuxième Thérémique de Margulis. Donc, ce résultat est exactement le premier Thérémique de l'arrière excepte quand Margulis a provoqué le premier Thérémique de l'arrière, il prouve les premiers étapes qu'il savait que s'il avait une laitiste, ce serait la laitiste. Il savait qu'il a éprouvé son résultat avec un cash-down, prouvant que quand vous avez une laitiste non-compactive, elle interseille un groupe d'aurospéricles. Et ensuite, il a regardé la laitiste et quand il a regardé la laitiste, il a toujours utilisé le fait que Gamma est la laitiste mais si il a ressenti peut-être que, à partir de ce point, il ne pourrait pas avoir besoin de la laitiste. Donc, il a demandé la question qu'il pouvait faire et il a demandé en particulier de l'offre à la question de Ph. Et elle a mané de faire de nombreux cas dans son Ph. Donc, cette Thérémique est due pour l'offre dans beaucoup de cas. Je ne vais pas dire quels cas ne sont pas mais je vais expliquer quelle est la différence dans les prouves qui nous permettent de faire tous les cas. Mais beaucoup de cas, incluant tous les cas où G est l'SNDR. C'était pour des groupes que le problème s'occupe dans la stratégie. Elle s'est suivie. Mais comme vous le voyez, je vais vous donner une prouve pour SL4R, qui est un cas couvert par V.O. Mais je vais suivre une prouve qui n'est pas une prouve, mais une prouve qui peut facilement être généralisée d'un groupe semi-simple. Si je explique pour SL4R, je n'ai plus de notation. C'est pour les commentaires historiques. Et maintenant je vais prouver cette prouve pour SL4R. Restez-le pour SL4R. Restez-le pour SL4R. C'est ce qu'il y a. Je commence avec une groupe SL4R et ce groupe unipotent. Vous voyez, par Zarae's Kidan City, je peux trouver un G0 Gamae Zarae's Kidan. Je peux trouver un groupe unipotent U et le mettre dans une façon opposée. Je peux trouver une base pour laquelle cette groupe G0UG0-1 sera exactement une groupe de laitiers triangulaires de cette forme. Conjugé par G0, mon groupe delta, j'ai un laitier U-1. Donc, de cette façon, j'ai un laitier U-1 et j'ai un laitier U-1. C'est la reprise de la thérématique. Vous avez une question très concrète. Vous avez un laitier U-1 un laitier U-1 et la thérématique est si la groupe Gamae qui est la groupe spanée par ces deux laitiers est discrète, c'est l'assumption. J'ai un groupe isomorphique à Z4 au-dessus, mais je ne sais pas comment cette Z4 est embedée dans vous. J'ai un groupe isomorphique à Z4 au-dessous. Je ne sais pas comment elle est embedée. La seule assumption est que les groupes qui se spanent sont des subgroupes d'SL4R. C'est une subgroupe discrète de G et la conclusion est que Gamae est arrhythmétique. Gamae est commensurable pour quelques GZ pour quelques Q formes de G. OK. Donc, c'est ce que j'ai envie de prouver. Et donc, j'ai donné un nom pour cette seconde lecture. Peut-être que je l'ai donné. C'est la closeness de l'orbitre. Parce que aujourd'hui, je vais juste prouver que l'orbitre est fermé. Et demain, je vais expliquer comment le fait que vous savez que l'orbitre est fermé implique que la Gamae est arrhythmétique. Et aujourd'hui, elle sera très élémentaire. Donc, quel orbitre? OK. Donc, vous voyez, ce problème est invariant que le groupe qui normalise la Gamae et la Gamae. Donc, c'est très naturel d'introduire le normaliser à la Gamae et la Gamae. C'est L, qui est un set de matrices diagonaux. Et cette groupe L contène L0 qui est ces matrices pour lesquelles les deux ont déterminé. Pour SL2R cross SL2R. Dans ce que je vais expliquer, vous pouvez replacer 4 par 2xD et vous avez SLDR cross SLDR. Il n'y aura pas de différence. Donc, vous avez cette belle groupe qui est un produit de SL2R cross SL2R. Et il taxe par conjugation sur L. La matrix B est envoyée à ABD-1. Et L, vous pouvez identifier L avec les 2x2 matrices avec une réelle coefficient. Donc, c'est une action naturelle de SL2R cross SL2R sur les 2 matrices avec une réelle coefficient. C'est une action de SL2R sur l'espace de dimension 4. Donc, et L0 acte aussi sur U- qui est aussi M2R. Mais cette action est très différente. Mais aussi, vous voyez que l'atria est la laitisse en U. Donc, je peux choisir l'armature en U pour que la laitisse soit en volume 1. Donc, L0 j'introduis le set de la laitisse de volume 1. Et le set de la laitisse de volume 1. Et le groupe L0 acte sur l'espace de la laitisse et le détecte ici. Donc, peut-être je n'ai pas... Donc, les deux sont les laitisses en 4 dimensions d'espace de volume 1. Donc, les deux sont le groupe SL4R qui acte sur l'espace de dimension 4 et le stabilisateur de la laitisse est SL4Z. Donc, ce que vous voyez ici c'est que ce groupe 3 plus 3, qui est 6 acte sur l'espace SL4 est de dimension 15 sur l'espace de dimension 15 qui a le volume final que nous avons vu par Minkowski et le problème que nous sommes demandant est l'invariant sous la conjugation de L0. Donc, si c'est vrai pour un groupe delta-delta-minus il sera vrai pour tout le groupe tout le groupe dans l'orbitage L0. Donc, c'est la question de l'orbitage L0. Et la preuve importante la preuve importante d'abord, je vais vous dire que l'orbitage L0 delta ce delta le delta qui est la laitisse pour lequel il y a un delta-minus pour lequel ils spannent un groupe discret de groupe G donc le orbitage L0 delta est fermé et le second point c'est que c'est aussi vrai pour l'orbitage double c'est-à-dire si on acte diagonallement dans l'espace product l'orbitage L0 appris delta-delta-minus est fermé dans le space product xu xx u-minus donc L0 est un groupe semi-simple et c'est SL2 x SL2 je vais vérifier que l'orbitage 2 orbitages dans cet espace homogène c'est ce que je vais faire aujourd'hui peut-être pour 1 minute, j'expliquerai que je vais l'utiliser demain donc l'argument pour demain c'est que depuis qu'on est dealant avec l'orbitage d'un groupe semi-simple dans un espace homogène le fait que l'orbitage est fermé implique qu'en fait l'orbitage a un volume homogène l'enjeu homogène est fermé si vous êtes dans un espace homogène c'est un groupe semi-simple donc on va le voir demain une fois qu'on sait que l'orbitage a un volume homogène depuis que L0 n'est pas compact cela veut dire que je vais pouvoir trouver un élément qui normalise delta et delta-minus donc pour ajouter cet élément pour delta et delta-minus je vais pouvoir ajouter un élément dans le normalisateur de gamma je vais pouvoir avoir un élément qui en fait est en L donc je vais avoir un low à large gamma aller dans le normalisateur peut être une chose étrange mais il y a un exercice dans la liste d'exercices c'est que si vous avez un groupe de discrétise de résistance comme ça le normalisateur est toujours discrétise de résistance donc pour cet grand groupe vous n'avez pas seulement un élément en U et en U- mais aussi beaucoup d'éléments dans L et cela vous aidera d'aller en U et je vais expliquer cela demain donc maintenant je veux expliquer comment vous prouvez que cette orbite est fermée d'autres questions ? je répète je veux prouver ça et aujourd'hui je vais juste prouver ça oui c'est un cas spécial de C à l'arrière ? oui oui je peux à l'intérieur du groupe semi simple je prends le 4R à l'intérieur de l'arrière ici à l'arrière votre question est peut-être ici j'ai juste un élément et maintenant vous avez de l'un à deux élément c'est ici par zarisky density vous voyez il y a une assumption ici que Gamma est zarisky dense donc Gamma est zarisky dense donc vous vous avez vous voyez vous vous vous destabilisez vous destabilisez vous destabilisez un R2 dans un R4 si vous choisissez un élément G0 en Gamma pour lequel ce R2 devient un complémentaire R2 ce que vous avez c'est que le groupe conjugé dans une base suitable sera juste écrit comme des matrices lauré mais puis le conjugé de Delta par cet élément tout ça reste en Gamma donc maintenant vous commencez de ce groupe-là vous voyez que ça intersecte u- au moins dans ce Delta- donc Gamma contient ce groupe-là mais quand vous avez un groupe Gamma qui contient si vous avez la conclusion ici vous avez ce groupe lauré si vous avez un groupe Gamma qui contient ce groupe lauré un groupe lauré donc c'est le moyen maintenant on oublie tous ces mots donc ce sont les stratégies de prof comme la seconde partie de cette lecture donc je vais dire au grand-mère j'ai besoin d'une notation et je vais essayer de je travaille avec CL4R Mais vous voyez, j'ai envie de garder la notation un peu générale parce que je pense que ça aide à comprendre le plus bien les prouves qu'on donne pour spécialiser beaucoup. Donc, la première notation est de décomposer l'algebra G. G est l'algebra de matrices SL4R, de matrices SL4R, donc c'est 4 x 4 matrices avec 0 trace. Et vous pouvez décomposer, c'est U- plus L. Plus U. La partie qui est un élément qui est juste dans le bloc de gauche, le bloc diagonale et le bloc de droite à gauche. Et quand j'ai... Donc, j'ai une pi. Il y a un truc qui, quand je vais actuer sur l'algebra, je vais juste garder la partie nouvelle. Donc, j'ai besoin d'une notation pour ça, qui est de pi, la projection de G à U, la projection. C'est la projection qui est de l'algebra U- plus L. Je vais juste garder cette partie. Et la notation est pour G. Dans G, j'introduis M de G, qui est de pi à G de pi, qui est un non-nomorphisme de U. Je vais l'écrire, c'est ce que c'est. Je vais juste écrire la adjointe de G. Dans cette décomposition, U-LU est un bloc de matrices. Vous voyez que je parle de 15 x 15 matrices. Je suis dans l'algebra. C'est 4, 7, 4. Donc, c'est le U-, c'est le L, c'est le U. Et j'ai juste gardé ce M de G. Je vais exercer ce bloc. Et j'ai besoin d'une autre notation. J'ai besoin d'introduire Omega, qui est de l'algebra U-L. Nous avons ça dans l'exercice sheet, qui est de l'algebra U-LU. Toutes les matrices peuvent être rétendues comme un produit d'un élément de l'algebra U-L et U. Et je vais le dire très vite. Vous pouvez écrire ce bloc, c'est un bloc de l'algebra U-L. Donc, nous allons définir ce bloc de l'algebra U-L. Et j'ai besoin de l'algebra U-L. Je veux... Qu'est-ce que j'ai besoin? J'ai préféré garder ça. Nous n'avons pas besoin de l'algebra U-L anymore. Donc, ce bloc de l'algebra U-L c'est que, avec le M de G, je serai capable de construire une famille de matrices. Et c'est ce que je veux dire. Et plus précisément, si je considère que tout le M de G s'applique à X, où G est en gamma dans mon groupe discret mais aussi en omega. Pour une raison technique, j'ai besoin d'assumer que c'est en omega. Il peut être écrit U-L. Ce n'est pas très important parce que c'est un bloc de l'algebra U-L, un bloc de l'algebra U-L. Ce que j'ai retiré est un bloc de l'algebra U-L. Et où X est dans le laitiste lambda. Je dois dire que c'est lambda. Lambda sera le logarithm de delta. Vous voyez, U peut être identifié avec l'algebra U-L. C'est un bloc de l'algebra U-L. Et l'autre bloc est le logarithm. Je l'appelle le logarithm. C'est un bloc de l'algebra U-L parce que ce sont les isomorphiques de R4. Et le bloc est si j'ai 0 B 0 B, 0 B 0 0 l'algebra U-L est 1 B 0 1. Et le logarithm de 1 B 0 1 est 0 B 0 0. Et j'ai delta, c'est la laitiste ici. J'ai la laitiste ici, c'est delta. Donc, le statement est que si j'applique les matrices à tous les éléments de la laitiste j'ai des éléments de U qui est un subset discrète de vector space. Donc, c'est un statement de tricot. Je ne suis pas confus sur MG. Donc, la matrice adjoint est 15 x 15 matrices. Parce que c'est une matrice dans l'anomorphisme de l'algebra qui est 15 dimensions. Mais ces 15 dimensions, l'algebra a été décomposé à quelque chose qui est 4 dimensions, 7 et 4 dimensions. OK. Et cette matrice, je peux l'écrire comme une matrice de bloc. Et j'ai extracté le bloc sur U. Je vais juste prendre ce bloc. Mais après, tu as élevé Pi et G. Pi. Oui, Pi est un maitre de G pour U. Je pense OK. C'est un subset de l'anomorphisme de G où je mets 0 tout à l'extérieur. C'est ce que je fais. Tu as le droit, il y a un petit truc là-bas. OK. Comment vais-je l'utiliser? Je peux vous dire que je vais l'utiliser et que ça va être facile. Donc, si... C'est le truc que je vais utiliser G est VLU dans cette décomposition U-LU OK. Ce sera MG par construction, U ne contribuerait pas à MG et V ne contribuerait pas à MG. Donc, ça va juste dépendre de L. Et ça va juste être le joint de L. Donc, c'est la manière de l'utiliser. Donc, ce sont des exercices avec matrices. U est une matrice triangulaire à l'extérieur. Donc, quand vous regardez la représentation de l'agent ce sera aussi une matrice triangulaire à l'extérieur. Et V est une matrice triangulaire à l'extérieur. C'est pourquoi vous avez cette formule. Donc, c'est le LMA1 Donc, je définis un polynomial Phi de G qui est le déterminant en U de MG. C'est un polynomial en G et le LMA2 sera un conséquence de LMA1. J'ai écrit tous les LAMAS. J'ai juste 2 LAMAS. D'un premier LMA, je vais utiliser un autre LMA qui est le set Phi of Gamma. Donc, tout le déterminant de cette matrice est M of G. Quand G décrive ma discrète groupe Gamma, Phi of Gamma est un subset discret. Maintenant, la stratégie du prof est facile. Le premier prouve LMA1. Le second prouve LMA2. Il l'a utilisé de LMA1 et de LMA2. Et le troisième, explique comment LMA2 implique le point A de la proposition K et le point B de la proposition K. Ok? Je vais me speeder un peu. Une autre question sur le LMA que je veux prouver? Peut-être que vous avez besoin de du temps. Je fais le prof de LMA1. Qu'est-ce que ça correspond à M of Gamma ? Exactement, c'est la même définition. Vous décompose G as U minus. L est l'intersection du normalisateur de P et du normalisateur de U et du normalisateur de U minus. C'est défini en général. Vous avez la décomposition U minus plus L plus U et vous choisissez ça. Il fonctionne bien, dans tous les cas il est commutatif. Abelian. Quand il n'est pas Abelian, vous avez une méthode pour réduire le cas général pour l'Abelian ou l'Aisenberg. Vous avez des recipes. Mais pour l'Abelian vous follow exactement cet argument. Ne changez pas. Je vais prouver ce set d'éléments de U est un set discret. Et vous voyez dans la définition, je dis close discret. Je n'ai pas dit discret. Pour un groupe, c'est le même. Le groupe discret est toujours fermé. Vous voyez, si vous regardez le set 1 over N dans R, c'est un set discret, mais ce n'est pas un set discret. Un set discret est un groupe. Je vais prouver l'Ema1. Je commence avec l'éléments dans ce set. Laissez X'N equal m of gn xn. Dans mon set, on assume qu'il converge pour N∞ pour X'∞. Le prouf est assez short pour l'Ema1 et l'Ema2. Avec gn, gn est en ω. Vous pouvez l'écrire vn ln un et xn en gamma et xn est en lambda. Dans cette assumption, j'ai envie que x'N soit equal à x'∞ pour N∞. J'assume que tous sont distincts et j'ai envie d'une contradiction, si vous voulez. Laissez prouver ça. La idée est que cette vn est en u∞ mais peut-être que je peux les converger parce que j'ai un lit ici. Laissez l'écrire vn equal v∞N-1 v∞N avec v∞N en v∞N converges. Je rappelle que cet élément est en L cet élément est en u et il s'est convergé à un élément en u∞. Ok. Je l'ai écrire et le seul truc est de compter un élément de gamma une séquence de gamma qui est choisie. Ce élément de gamma est la suivante. Computez ce élément de gamma c'est gamma N qui est delta N gN e∞ xN l'exponential de xN. xN est en lambda c'est-à-dire que l'exponential est en delta. Je suis conjugé cet élément de gN et en utilisant le delta N pour les converger. Ok. Je vais juste compter ce élément. Et puis quand vous computez le delta N, beaucoup de choses vont disparaître parce que le delta N va changer avec le vN. Donc vous voyez que c'est v∞N et puis vous voyez lN mais depuis que le groupe u est commutatif ici vous avez un conjugé de e∞ xN par cet un donc ça va disparaître. Donc vous avez e∞ xN lN∞-1 v∞ n∞-1 qui est v∞ n et puis vous avez l'exponential d'add lN xN v∞ n∞-1 qui est cet élément de gN donc ce que vous avez ici c'est cet élément x∞ N donc ce que vous avez c'est v∞ N e∞ xN v∞ n∞-1 et vous savez que ça converge à v∞ infinity e∞ xN v∞ infinity ici let me go on the proof here so you have a sequence of elements in a discrete group which converge to one element so it has to be constant then v∞ N e∞ xN v∞ n∞-1 is equal to v∞ infinity e∞ xN v∞ infinity minus 1 for n large but then these elements xN are upper triangular they are above and you conjugate them by lower triangular matrices and you get the same so this implies that in fact x∞ N is equal to x∞ infinity you just take the block in U the part in U you apply pi if you want you apply pi to the expression you get x∞ N here x∞ infinity here so we have proven lemma 1 I have 15 minutes left other questions for the proof of lemma 1 so let me give the proof of lemma 2 I have to keep everything so maybe a year is above so I want to prove that this set of determinant is close this set of R so I start like in the proof of lemma 1 I start with let phi of gN converge to something infinity with gN in gamma I want to prove that phi of gN is in fact equal to phi infinity for L large so what you do is you look at these lattices so mgN of lambda so you assume that so this is a real number you assume that it's not the case it's not constant so you assume they are all different so they will be all non zero and when they are non zero this implies that the gN will be in omega so then when you look at the lattices lambda by lemma 1 the union of these lattices those are lattices in R4 in this U which is dimension 4 so the union of all these lattices is a discrete set is a closed discrete set so what happens so imagine you are in instead of R4 you are in R2 you have a family of lattices in R2 and a sequence of lattices in R2 and you know that the union of all these lattices is a discrete set so what can happen is that these lattices maybe they go away everything disappear or maybe one vector still remain there and then in the other direction it goes away but here this cannot happen because these phi of gN are this determinant those are the co-volume of the lattices so the lattices have bounded co-volume they have bounded co-volume and they live in a discrete set so after extraction you can make them converge this is malheur criterion which tells you that how do you describe the compact subset in the set of lattices you must not have small vectors inside your lattices and co-volume has to be bounded so what I'm saying is that if you look at this sequence of matrices there is one can assume extracting the sequence M of gN lambda converge to some lambda infinity after extraction some lattice maybe after extraction but how can a sequence of lattice converge to a lattice it's if the union is a discrete set it has to be constant so and if this sequence of lattice is constant the co-volume are constant this is what I wanted ok so this proof lemma 2 you see you have a extraction you say extracting a subsequence you know when you have a assume you are in the real number r and you have a bounded set plus a a if you have a sequence of bounded element in the real it does not converge but you are always able to find a subsequence which converges and all this process I just sum it up as after extraction so I want to explain how lemma 2 implies a key proposition but before to be concrete I want to be concrete what is exactly this polynomial which seems complicated so to be concrete if I take a matrix these are also in the exercise sheet if the matrix g is just block matrices a g b g c g d g if you take 2 by 2 matrices what is u minus l u this is my exercise how do you recognize a matrix that you can write it as a product of lower triangular of this shape block diagonal and block upper triangular those are exactly the matrices g in g for which this matrix this block is invertible so that's the way to recognize omega how do you compute m of g so you know that u is isomorphic to m2 of r a matrix x which is 0 b 0 0 correspond to a matrix b and then what is m of g x what does it correspond to so it's a matrix 0 0 0 and you have something here what do you have for the b and you do the computation and you find a g b and d g minus 1 so you multiply b on the left by the coefficient a of the matrix g and you multiply on the right by the coefficient d of the matrix g minus 1 this is what is this m of g so so we know exactly what is m of g so maybe we can compute the determinant of this transformation so phi of g you can be very explicit it is the determinant of you are acting in a 4 dimensional space so it is an a g the 2 by 2 matrix so this will be the determinant of a g to the square times the determinant of d g minus 1 to the square but you have in your exercise the fact that those 2 have same determinant so that the determinant of a g to the 4 so there is a very very easy formula for phi of g ok so from that I get the following corollary corollary the set of determinant determinant of b ok the set now I will yeah for for which the matrix 0 b 0 0 is in lambda is closed discrete subset of r maybe I call it I will not act it like that f of x what is f of x f of x will be phi of e to the x g0 and you can check that this is equal up to some constant to the determinant of b to some power 4 when x 0 b 0 0 is a closed discrete subset so what what have I done I have 1 minute what I have done is I have taken this polynomial phi this polynomial phi is the determinant of this matrix but I want to restrict this polynomial to u so it's not good it's just 1 so what I do is I move it by g0 g0 is this matrix here which change up and down so it takes the b put it exactly on the left upper right left block and so when I compute phi at e to the x g0 I just get this determinant of b and so if I apply lemma 2 I get a subset of this closed discrete subset which is exactly the f of x in the lattice and I know it's a closed discrete subset of r ok and f of x is very easy just a determinant of b so now I want to prove key proposition how do you get how do you get that this orbit is closed from this information ok I want to prove that this orbit is closed so I take sequence of elements in the orbit so let ln in in l0 such that if I'm computing the image of delta by ln ln delta converge that's the adjoint action on u converge to n infinity to so to delta maybe I just use lambda lambda and delta are the same you go from lambda to delta it's an exponential map I erased it lambda is delta is equal to delta but seen in the l'algebra so I'm assuming that I want to prove that the orbit of lambda is close so I'm assuming a sequence of elements in the orbit going to lambda infinity and I want what I want to prove I want to prove that lambda infinity in fact is in the orbit a priori it converge and I want to prove it is in the orbit so what do I do I write ln lambda as a phi n of lambda and where phi n ln is an element of sl2 cross sl2 acting in a four dimensional space so and he's pushing this lattice to some lattice but maybe ln goes to infinity but since these lattices are going to this one I can go from one to the other and there's an element of four by four matrix an element of sl4 r which is going to identity and what I want to say that for n large in fact this phi n are in l0 but I just know that these phi n are in sl4 so how will I get that they are in l0 I pick a point so phi n of lambda infinity this sequence converge to lambda infinity so they are this sequence of lattices converge to lambda infinity they are images of lambda infinity by small matrices how do I prove that I compute for every x in lambda infinity I compute I am able to find x is a limit for n infinity of ln add ln xn with xn is in lambda but maybe xn is going to infinity ln is going to infinity but what I do is I compute f of x or maybe f of phi n of x so this element is phi n of x near any element of lambda infinity it is some phi n of x going to it and this phi n of x is in addln lambda so it can be written addln xn so I compute f of x but remember if you think of x as a 2 by 2 matrix this polynomial yes f is just the determinant f is the determinant f is the determinant so when I compute f of phi n of x which is f of addln of xn this is the determinant is invariant by addln is just multiplying on the left and on the right by a matrix of determinant 1 so you don't change the determinant it's equal to f of xn so it belongs to f of lambda which is discrete by lemma 2 so but this converge to f of x it's a sequence in a discrete set which converge to something then f of n of x is equal to f of x for n large so for every x in lambda infinity I have proven that you have this equality for n large but then you can exchange so then you get that you are able to prove that for n large it's very easy to exchange you get that for all x in lambda infinity f of phi nx is f of x so what do you have you have so this is in lambda infinity but then you will get it by the risk density true for every x in u so u is a set of 2 by 2 matrices you have a linear transformation of 2 by 2 matrices which has the property that when you apply it to a 2 by 2 matrix it keeps the determinant the determinant will not change the only matrices which are doing that are multiplication on the right and multiplication on the left by element of SL2 so this implies that phi n is in L0 which is SL2R cross SL2R cross SL2R so which is what you wanted and now you know that your orbit the single orbit is closed the orbit of L0 in x of u I'm out of time a little bit and for b you do exactly the same b is exactly the same as in a and if you want to know more there are notes of this course on my web page with the exercise sheet and you will be able to find details for the KSB but there is no other idea that doing the same introducing a polynomial maybe in u cross u minus which will be for b use instead of f you use the polynomial g of xy which is phi of e to the x ok thank you