 J'ai continué les lectures sur la part de l'Hiphabilisité. Aujourd'hui, c'est assez indépendant de l'hier. Je parle d'un médecin en variant. Ce matin, c'est plus sur l'existence, et le matin, c'est sur la smoothness. Un jour, j'ai dit que, pour uniformement l'Hiphabilisité, n'importe quel point il y a un médecin stable, et un médecin stable. Donc, ici, on est partie de l'Hiphabilisité, et on a, on s'assume, une direction stable. Et, en ce cas, vous pouvez trouver un médecin stable, mais depuis que vous avez plusieurs directions stable, plusieurs dimensions stable, vous pouvez voir des espaces plus fortes ou plus faibles. Donc, vous avez plusieurs notions principales de l'uniformement stable. Donc, on s'appelle un médecin stable assez fort. Donc, ici, F est un morphisme de ck. K est un set compact en variant, et on considère une partie de l'Hiphabilisité. Nous sommes intéressés par une direction stable. Je n'ai pas besoin d'un médecin stable, je le mets dans le centre, si il y en a. Et, donc, souvenez-vous, pour contrôler cette direction, il y a des ck. Donc, ici, il y a un ck contracté par F, et ici un ck dual contracté par F-1. Et maintenant, on va essayer de voir ce qui s'est passé par cette direction. Donc, je pique Epsilon-small, très petit, et un point x en k. Et je veux regarder à ces points qui ont le même futur que l'Hiphabilisité, qui est plus près de l'Hiphabilisité, à la même vitesse que l'Hiphabilisité contractée par S. Donc, c'est ce que j'appelle le « Strong Stable Set ». Et c'est défis. Donc, pour le point x, il y a un set de point y. Donc, juste pour n'aie n, la distance entre le niveau forward de x et y est contractée, comme ce qui s'est passé par... Donc, par S, mais il y a une domination. Donc, la contraction par S est mieux que par ici. Donc, on peut avoir besoin que la contraction soit plus forte que ce qui s'est passé par ici. Donc, la contraction de l'hiphabilisité par ici est la norme minimum. Et ici, je mets un peu de gaffe. Donc, E-n Epsilon. Et je veux une manifold globale. Donc, peut-être que le point y va prendre un long temps de venir plus près de l'hôpital fixe. Donc, ici, il y a un constat qui dépend de ce point. Ok. Donc, depuis qu'il y a un constat, ici, il ne dépend pas de la métrique. Il y a une invariance. Et comme je l'ai dit, si nous considérons une spliting différente, avec différentes dimensions, on pourrait obtenir, en principe, une notion d'un constat fort. Un constat fort. Ok. Donc, les résultats maintenant, comme dans le cas de l'hôpital uniforme, donc, c'est à cause de l'hôpital fixé, c'est que, en fait, c'est une manifold. Donc, c'est un constat injectifiquement constaté d'une classe CK. Donc, la même K pour l'hôpital uniforme. Il y avait une décision de la définition, cette epsilon, ici, mais elle ne dépend pas de l'epsilon, si l'epsilon est petit. Donc, on peut prendre deux such manifolds si ils intersectent les coincidences, les joints coincidences. Et si vous changez la pointe, le manifold s'éteint continuement. Donc, pour dire ça, donc, c'est un manifold global. Donc, regardez les parts locales. Le balle de radius état dans le manifold stable de X. Donc, c'est un disque. Et puis, il varie continuement avec la pointe X. Donc, continuement, pour l'hôpital, ici, c'est une hôpital CK. Donc, très similaire pour le manifold stable pour l'hôpital X. Mais vous pouvez dire maintenant, OK, mais on a un autre bundle. Qu'est-ce qui se passe dans ce bundle? On a aussi un manifold en invariant tendance à ce bundle. Oui, ici, je n'ai pas dit que c'est tendance E, EX. Donc, on a un résultat un résultat qui est un plat familial CORM. Donc, maintenant, je veux discuter un casque de bundle qui n'est pas contrôlée ou expérimentée. Donc, c'est suffisamment de prendre juste une spécificité dominée. Et je vais, again, discuter un bundle E, mais vous pouvez appeler ça à F, ou à EC, ici. Et ici, il n'y a pas de différence on peut juste prendre un C1 et le plat familial CORM, encore plus, YSS. C'est ce que j'ai utilisé pour faire. Donc, le SS est de stresser sur le fait que il pourrait être plusieurs candidats pour un manifold stable. Mais vous pouvez dire le même pour le bundle. Non, il y a une question. C'est parce que parfois je pouvais définir en général juste pour la dynamique topologique. Vous pouvez définir le set stable comme le set de point Y afin que la distance entre les bits de fixe et les bits de Y va à 0. C'est toujours défis. C'est un set en général. Donc, le plat familial CORM dit qu'il y a quelque chose même sans contraction ou expansion mais juste local donc, pour n'importe quel point en K il y a un embêtement d'un embêtement à l'intérieur d'un espace EX à M. Donc, cette map, on s'appelle DX, l'image est un disque dans le manifold M comme ça donc DX est centrée à X donc, il envoie 0 à X l'image est tendance à EX donc, DX dépend continuously sur X pour encore pour ici, pour la topologie C1 je n'ai pas précisé il dépend aussi de la déformorphisme c'est-à-dire que si vous considérez la déformorphisme est fermée et un set est fermée il y a aussi un embêtement dominé il y aura un embêtement ou un embêtement fort pour le point dans cet état qui est fermé à ceux de F et la dernière partie est sur l'invariance il n'y a que un embêtement local il dit qu'il y a Delta si vous regardez la déformorphisme à l'intérieur du bol de Radios Delta alors, quand vous interrète il y a un embêtement à l'image de l'ensemble mais si vous continuez d'interroger le point dans cet embêtement peut s'arrêter d'escaper de l'embêtement donc, s'occuper de l'ambiance et puis vous perdez le contrôle donc ici, quand vous n'avez pas de contraction ici, cette famille de embêtement n'est pas uniquement définie en général, pas unique c'est pas c2 même si f est smooth c'est pas invariant seulement local invariant les plagues ne sont pas cohérentes signifiant que dix union dy pour xy close n'est pas dix c'est aussi un manifold dy aussi, mais ça peut s'intersecuper et si vous avez une spécificité sur le whole manifold vous pouvez trouver une plague à quel point mais, en ce cas dix est tendance à e seulement à x mais pour la table c'est tendance à e à quel point c'est défiant donc, j'aimerais expliquer donc, cette crem B implique la crem A j'aimerais expliquer et montrer comment récovoir la bonne propriété la invariance la cohérence par exemple et la définition globale parce que ici c'est local mais seulement en discutant la c1 topologie ici c'est la plague pour le moment, c'est seulement la c1 pour c1 donc, comment obtenir la table forte ce qui est un candidat de la plague où la plague est en principale une pièce de la table forte peut-être juste à part la centre de la plague est bonne la banderie, on perd le contrôle donc, on pique une petite constance et on considère la plague restricte pour la balle de radius Eta et ce par définition ici sera la forte local la forte stable manifold de point X donc, c'est donc, c'est un disque qui a des propriétés et maintenant, nous savons que c'est un disque à l'arrivée à E qui est E s qui est contracté et en utilisant que E est contracté nous voulons dire que ce disque est contracté donc, on prend la large et maintenant la large que la large et on regarde l'arrivée donc, si on regarde le diamètre donc, ce disque est dans la plague quand on l'arrivée il reste petit, il est contained dans la plague parce que de variantes locales donc, si on peut assurer que le diamètre est petit vous pouvez prouver qu'il est contained dans la plague et depuis que c'est dans la plague, la plague est presque tendance à E s dans la direction E s où vous avez une contraction donc, vous pouvez assurer que le diamètre est petit vous avez des... vous perdez quelque chose, mais ensuite il s'agira comme la map along la direction E s mais j'ai mis un produit de norme donc, nous ne savons pas mais nous savons que c'est tendance à E x à la pointe x donc, si vous regardez un petit bol dans la plague sur ce petit bol vous êtes presque tendance à E si vous regardez dans un grand bol, vous ne le savez pas donc, c'est une autre raison pourquoi nous prenons une état petite donc, pour... à la première avant l'intervénement, nous savons qu'ici nous sommes presque tendance à E s et puis, non, non, non mais ceci, il y a deux propriétés qui sont prouvées inductivement hein donc, let's assume you have this for some n this one tells you that this iterate is very small and contained in the plate so it's tangent to E s for the iterate, so you can iterate once more and you iterate once more the contraction is controlled by what happens along E s and so you you have a good contraction and for the next iterate you know that the diameter is still small and so the local invariance you are still in the plate so you have to check that by induction and both are the same time and now, since you're in the plate and the diameter becomes very small n is large enough in particular it's smaller than eta and so the iterate of the local strong stable manifold are contained in the local strong stable manifold of the image ok, so and you see the way it shrinks how much it shrinks, it's this quantity I erase the definition of the stable set but the strong stable set is a set of points which converge to the orbit of x better than the minimal norm along E f which is by domination this one is stronger so what we conclude is that the strong stable the local strong stable manifold in the strong stable set and so by invariance you also have you may now iterate this backward this one is invariant and so you have this and here the union is increasing because of this here so this part here is an increased union of this larger and larger so this is injectively immersed so many fun which satisfies this property so what we have to check is the other inclusion so here we have equality is equal to the so how to do that this is another place where you use a lot that you are stable and this is well I don't maybe detail all the property but this is also a key point to show that the coherence when you are stable which is not here so what is the argument I like to call it the coherence argument so you take a point in the strong stable set and you have to show it is in this union but up to iterate you may assume that we will converge to the orbit of x so up to iterating you may assume it is already closed so fn of z eta if you want for any n positive so here you are you have x you have this plate this strong local strong stable manifold point satisfying the first definition I gave and you want to show that it's inside so if you don't know that you may project so take y in the strong stable plate so that z and y are connected by an arc gamma z to y and it's tangent well to the cone in the transverse direction so it's c tangent to c and then you iterate forward so what happens for gamma gamma is tangent to c so remain tangent to c because the cone is contracted and when you iterate forward x and y get closer z and x get closer so y remain small remain a small distance so gamma remain small so remains tangent to c and small in the future ok so now you may compute the speed of the contraction when you iterate forward it's not contracted too much because it's tangent to this cone c it's controlled by the direction e c or f so the length of fn of gamma is larger than so some c e minus n epsilon times the minimal norm along e c but on the other hand you may look to the length here so this length well you know it's just this estimate here but then you may use a domination the domination tell that what happens along e s is dominated by that with some so let's say we have some gap then you have the factor given by the domination quantity by domination and along along this direction this is the definition of of the strong stable set so you contract like no more than this up to some some loss here some gap and then I put this in the definition ok so here I can be more careful one half so this is by definition and now you have the triangular inequality which said that this one cannot be too large in comparison to this one but this one are so yes are much smaller than this one ok so now now let's prove the plague family theorem which is maybe less classical and that gives some information also in the center yes yes yes this curve gamma well when maybe it doesn't grow really if you compare to this length well let's assume it grow but it remains tangent to C so the geometry is bounded ok so the distance between this point is controlled by the length of gamma and then you have the this two lengths here are much smaller than this one so this is a contradiction C this C is a cone a vertical cone a cone in the direction of E C E C is a transverse direction ok you are not satisfied well I continue and we can talk ok so let's I don't know where I am the proof of the plague family so the the proof is a graph transform argument so the first idea is to lift the dynamic to the tangent bundle so we have we have K with the dynamics is restricted to K but then you look to the bundle over K where you have a projection and here you have the tangent map but you may also lift the dynamics of F in the manifold M as a map F hat which is C1 close to DF so how to do that so D F hat of X goes from the tangent space to the tangent space of F of X and it's defined by so it's F that you lift by the exponential when you're close to 0 and far from 0 you glue with DF so it's C1 close to DF you may check that and now so in the fiber in T X M the cone CX the dual cone which is control the direction E you take it as a constant cone over the whole the whole plane here, the whole space here so it's contracted by DF minus 1 but this map is close so also contracted it's contracted inside the cone at the pre-major of X by the map you have defined F hat so now what we want is to find some manifold tangent to E so you consider some candidate to be your manifold so the space of Lipschitz graph LX is a direction of graphs of map C from EX to FX that goes through 0 and that so that the graph are tangent so here the cone C star is here tangent to C star ok so it's a space of Lipschitz map and you may define a distance so it's a supremum so you look if you have to graph you want to look to the C0 distance but in principle the graph may separate so you have to normalize by how far you look at the distance since it's Lipschitz it converges so this space is complete and then you you iterate by F hat so you want a contraction and so F hat minus 1 of X sends the Lipschitz graph at F of X to inside the Lipschitz graph at X so take a graph Lipschitz graph at F of X when you iterate by F minus 1 so you find something but here you're tangent to C star and you contract so what you find here is still tangent to the dual cone and so you cannot have 2 point which projects so F minus if gamma is a graph of C F hat minus 1 of X of gamma tangent to C star imply that it projects injectively to EX then you have to show that it is subjective to show that it is a graph so you have you look you have defined a map you started from E at F of X and that E of X so here you take a vector you take the point in the graph see then you iterate backwards and then you project so this map is continuous injective it's proper also because because it's Lipschitz it's proper injective so from R so it is subjective and so so defines a graph and we have already checked that it is tangent to C star so it is in Lipschitz ok so we have the invariance of the space we need to check the contraction so lemma tool so yes this map contracts so take 2 graphs or maybe ok you take an iterate so take 2 graphs and you want to show when you iterate by this map how much they are contracted you have gamma 1 gamma 2 and here here you want to measure how close they are so you choose U and you look here to the difference let's call the difference V so this is this is vertical this is a long F and now so you iterate forward this time so since you have something a long F here you have something which is close to F so it's almost vertical so the projection here may be different but there are not too much difference so let's do as if they are the same U prime as if the image here is really vertical so the distance here between F minus so Fn hat minus 1 of gamma 1 and gamma 2 let's so it's this distance normalized by the size of U and here here this is this distance is a supremum so it is larger than V prime over U prime ok but now V prime is the image of V so here it's larger than how is it yes the minimum of a long F ici et ici la norme de Dfn a long ES et maintenant vous avez U over V ce qui est la distance entre gamma 1 je l'ai déjà dit si je suis bien, on a une contraction ici oui je l'ai déjà dit de l'autre façon ici je l'ai dit V est map V prime ici, oui ok, donc ce terme maintenant je n'ai pas de friends sorry quelqu'un ici je ne le vois plus je peux compléter c'est juste la domination qui donne la contraction check ce point la domination ok donc on a une contraction donc maintenant pour conclure on considère le space de graphes donc L est on regarde tout le space de graphes en même temps on regarde le produit et maintenant on a la map F hat-1 on check la contraction donc il y a un point fixé donc vous avez une famille de graphes qui est enviré par F hat et puis vous projectez pour le manifold par l'exponential map et depuis F hat coïncide avec le lift de F il y a un local enviré et il faut vérifier une chose c'est la C1 donc comment on dit ça donc vous avez une map F hat qui est la C1 dans le fibre dans le fibre vous avez une conne qui est contractée donc vous avez une sphéting dominée dans le fibre et il dit qu'il y a tout le monde donc il y a un bundle dans la conne C star qui est E hat c'est-à-dire E hat qui continue dans le fibre et les graphes sont tendus à la conne mais en variant ils sont tendus à l'initier de la conne donc à E hat et donc ils ont un espace tendu qui continue à la fin de la conne de la famille oui donc ce matin je vais parler de la smoothness mais un autre mot de l'existence de l'invariant dans le centre, pour savoir que nous avons seulement obtenu des connes et que ce sont seulement des variantes locales parfois c'est utile des dynamiques locales dans la direction centrale mais parfois on veut quelque chose plus global donc, qu'est-ce que nous pouvons dire sur l'existence possible de la folie centrale de la folie centrale de la folie centrale donc let's assume que nous sommes globalement hyperboliques sur le whole manifold et ce que nous aimerions c'est de savoir s'il y a une folie centrale de c et peut-être de vs plus c ou c plus c si c'est le cas, on dit que f est dynamique et cohérent si donc s'il existe il y a des variantes folieces oui, folieces donc folieces signifie collection de des manifoldes de la folie centrale et cela formule une partie de la folie centrale de ECS ou ECU on ne dit pas qu'elles sont uniques il n'y a pas de raisons et en particulier quand nous intersectons ces deux folieces nous avons une folie centrale qui est aussi une variante donc il y a des cas où on peut dire qu'il existe donc si vous commencez avec un produit prendre un nano d'identité qui donne le centre donc en ce cas il existe mais qu'est-ce qu'il y a des clons dynamiques si vous petez donc il y a un CRM d'aujourd'hui qui dit qu'il existe un état ouvert qui est dynamique donc ce qui est le point ici si vous commencez avec un système qui a une folie centrale vous avez cette folie centrale nous parlons de la folie centrale donc c'est pour l'identité de l'anose de temps quand vous perturbe vous pouvez performer un argument transformé qui donne une continuation de tous ces lieux donc il y a une continuation donc pourquoi nous ne sommes pas satisfaits juste par cela parce que les lieux comme les plagues peuvent s'intersexer ils couvrent tout mais peut-être qu'ils n'ont pas une fin de folie donc là il y a un point délicat qui est de vérifier la cohérence c'est une autre histoire je ne le dis pas ici et la dernière donc c'est oui il existe une folie centrale mais dans un autre cas non donc il y a un exemple par Erz Erz et Erz encore une étude de partie de l'hyperboli de l'hyperboli qui ne sont pas dynamique et cohérent et pour donner une idée de ce qui se passe ici globalement ici aussi donc c'est en T3 il y a un torres deux torres qui est invariant et la dynamique locale est comme une forte contraction transversale un anoseur donc vous avez vos deux torres et donc la force de la folie la direction est transverse mais vous pouvez regarder pour ECS qui est le summe de ES plus EC donc c'est 2 dimensions mais en fait vous pouvez vérifier que ce set est un hyperboli donc ceci est un stabilisateur ceci est un fort stabilisateur mais ceci est un espace stabilisateur de l'hyperboli parce que dans un torres vous avez une direction stable ok donc vous avez donc vous avez un stabilisateur de 2 dimensions qui est qui devrait être le stabilisateur de centre et maintenant vous regardez le stabilisateur de centre donc ici vous voyez que la forte contraction est transversale au torres qui est invariant donc T0 est tendant donc ce qui se passe dans ce stabilisateur de 2 dimensions ils crossent les torres donc on le fait dans un stabilisateur de stabilisateur vous avez la forte stabilisateur et vous intersectez les deux torres à la courbe mais vous aussi interseigne vous aussi avez le stabilisateur de centre qui est un fil de plane qui interseigne ce plane il y a des surfaces il y a un fil vector qui donc il peut être serré au-delà de cette ligne et donc vous pouvez voir comment l'intégrer et vous la verrez à T0 et vous voyez avec cette picture vous ne pouvez pas avoir une foliation de centre vous n'avez pas de smooth leaves ici c'est l'obstruction ok, désolé pour la computation on n'a pas de notes merci