 Ok, pessoal, então chegamos agora à última aula do mini curso 3, que foi compartilhado entre o Carlos Matheus e o Vançã Delécois. Então o Carlos Matheus vai falar hoje, nessa quinta aula do curso combinatória de superfícies quadriculadas e geometria de espaços de módulos. Ok, muito obrigado Yuri pela apresentação. Então para essa última aula, o meu plano vai ser o seguinte, eu vou tentar continuar nessa linha de conectar superfícies quadriculadas com outras partes da matemática, em particular com grafos expansores e vou falar um pouco também esse tempo de conexões, mas antes de fazer isso, vou falar um pouco mais das órbitas pela ação de SL2Z das superfícies quadriculadas. Então o plano para hoje vai ser o seguinte, vai ser como eu tinha prometido numa aula anterior, eu ia discutir, então vou discutir hoje as órbitas de SL2Z no caso do H2, então que é o estratégico mais básico em gênero 2 e de fato é o único onde a gente conhece completamente o resultado fora dele. A gente tem muitas conjecturas, então que a parte 2, que é ter uma conjectura do Vançã e do Samuel Leleve, que tem um chamado em variante HLK, que é o Berle Leleve-Canny. E por fim, eu vou fechar a aula, então como eu falei, com conexão com outras partes da matemática, em particular a chamada conjectura de expansão de McMuller, que diz basicamente que grafos obtidos por essa construção de origamis formam a família de grafas expansores. Então vamos lá. A primeira coisa que eu quero fazer antes de falar da órbita em si, é discutir um resultado bonitinho sobre o número mínimo de quadrados que você precisa para construir uma superfície quadriculada num extrato dado. Então a primeira observação é a seguinte, a gente começa com O, um origami, então a superfície quadriculada num certo extrato, e a afirmação é que esse origami ele possui pelo menos o número, a soma total desses índices, K1, K2, Ksigma, mais sigma, que é o número de entradas aqui, quadrados. E isso não é difícil de ver, porque se o origami é definido por um par de permutações em SN, o comutador, sabe que por definição para o origami estar num certo extrato, o comutador tem que ter ciclos noutriviais de tamanhos dados por essa lista, então K1 mais 1, etc., Ksigma mais 1. E como ciclos noutriviais e de juntos, então o número de quadrados é pelo menos o número de entradas em cada ciclo, que é K1 mais 1, etc., Ksigma mais 1, e faz esse número aqui. E a coisa importante é que a recípoca é verdadeira, no sentido de que todo o extrato ele contém pelo menos um origami com esse número minimal de quadrados. E como é que a gente prova isso? A prova disso não é complicada, módulo é um teorema pesado do terreno combinatório de grupos, que é o seguinte, a prova é você pega uma permutação que esteja nessa classe de conjugação, ou seja, cujos ciclos noutriviais têm esses tamanhos prescritos. Pode ser a permutação cujo primeiro ciclo é 1, 2, 3, até K1 mais 1, depois K1 mais 2, etc., ou qualquer outro que você preferir. Então você fixa esse cara, eu chamo de Mi aqui nesse slide. Então você pega esse Mi e faz a seguinte observação, que como os ciclos noutriviais têm tamanhos K1 mais 1, etc., a paridade de esse ciclo é exatamente Kj. A paridade do jésimo ciclo é Kj. Então se você fizer a soma de todas as paridades, você vai ver que vai dar essa quantidade que a gente já discutiu, que é a característica de oiulas da superfície, menos a característica de oiulas, 2g menos 2, que é um número par. Ou seja, a conclusão é que essa permutação que a gente escreveu, ela é permutação par. E aí tem um teorema que é famoso e um pouco bom, não vou demonstrar aqui certamente, mas eu vou usar. Tem um teorema do Gleison que diz o seguinte, que com toda permutação par no grupo SN você pode escrever como um produto de dois n-ciclos. E esse teorema é um teorema que refina um outro teorema famoso que eu chamo de teorema diori, mas não vou escrever muito mais. A ideia é que quando você está estudando com mutadores e permutações para, você representa da maneira mais simples e de fato tem maneiras de fazer isso. E esse teorema de Gleison diz que de fato você baixa dois n-ciclos para representar qualquer permutação par. Então eu vou escrever mi como o produto de v, a primeira permutação e rho, uma a outra. Para concluir, v, basicamente, vocês já estão vendo que eu estou tentando aplicar um de vocês, porque eu vejo uma anotação expurida para que essa permutação seja a permutação vertical do origami. E a partir da rho eu vou dizer qual é a permutação horizontal. Para pegar a horizontal é bem simples. A ideia é que como dois n-ciclos, pois que são sempre conjugados no grupo simétrico, eu posso escrever rho, esse n-ciclo aqui, como um conjugado do universo desse cara aqui, porque se v é um n-ciclo, sua inversa também é. E eu chamo a conjugação que faz isso de h. Se eu fizer isso, a definição mi é v vezes rho, rho é esse conjugado, então o que eu vejo aqui é o comutador de h e v. Então eu arranjei duas permutações, h e v, que vivem no grupo com tal número minimal, cujo comutador é uma permutação com ciclos na triviagem e tamanhos para escritos. Então é um origami no extrato onde eu estava almejando. Então isso é uma prova curta, módulo esse teorema altamente na triviagem de Gleason e fala que é um teoreo combinatório de grupos. Está claro? Então esse é o número minimal de quadrados. Em particular isso mostra que aquele origami que a gente sempre desenha durante o curso origami em L com três quadrados, realmente é o menor origami que pode aparecer em h2, por exemplo, porque para h2 essa forma te diz que o menor número de quadrados possível é 2 mais 1, tá? 3. Bom, então agora a gente já sabe qual o menor número possível de quadrados. Isso é uma formação importante quando a gente faz teoria de sugestas quadriculadas, mesmo que isso não vai ser muito usado depois, é importante saber, faz parte do básico. Vamos discutir, então como eu falei, no caso do h2 significa que esse origami em L com três quadrados é o menor possível. E esse origami tem uma órbita que já foi discutida em exercícios e que eu posso, eu vou tentar fazer aqui rapidinho o desenho, se eu achar a caneta, bom, então segundo. Então a órbita desse origami tem três elementos e de maneira combinatória bem simples de calcular. Então eu vou fazer um exercício para vocês que é o seguinte, você chama primeiro a permutação de 1, 2, 3 e a vertical é 1, 3, 2, certo? Então essa é parte de permutações que descreve o origami em L. Se você aplica a primeira transformação t, que é aquela transformação parabólica, ela age em permutações como hv que vai sobre hv h inversa. Vamos fazer a conta e ver que bom, h não muda, então é 1, 2, 3 e o v é 1, agora faz h inversa, então h inversa, 1 vai para 2 pelo h inversa e o 2 vai para 2 pelo v, então 1 vai para 2, 2 vai para 1 que vai para 3 e bom, 3 fechou, 3 é para 3 que vai para 1. Então essa é a nova permutação. E a gente vê que isso é um origami que é diferente daqui porque esse aqui é um 3 ciclo para o v e esse aqui é um 2 ciclo. Então não tem como fazer uma conjugação para enviar esse cara nesse. Então realmente um origami distinto. Por outro lado, como esse elemento h aqui em cima tem ordem 2, ele é uma transposição, o t vai trazer esse origami de volta para cá, porque você está sempre aplicando h inversa duas vezes. Aí agora eu vou completar aplicando outro elemento s, que é o outro gerador de SL2z, que haja permutações como h v inversa v. Então eu tenho que ver se fica parado, 1, 2, 3 e aí eu vejo que o novo h vai ser, é só fazer a conta, então v inversa, v inversa 1, por exemplo, vai para 3 e o 3 fica parado. Então 1 vai para 3. Agora 3, 3, v inversa vai para 2, 2 é para 1, fechou. E o 2, bom, não tem muita opção, mas dá para checar, 1 vai para 2, beleza. Aí você pode se perguntar, então esse origami aqui, ele pode ser novo ou não? E aí, o que a gente faz? Bom, eu já sei a resposta, de fato, esse origami não é novo. Quando eu aplico s, eu vou completar, você volta para o mesmo lugar. Eu afirmo que esse cara é igual a esse. Por que? Porque simplesmente ele vai ter um dicionário, que é a conjugação, simultânea s, que vai fazer o seguinte, eu vou pegar esse 2 que está aqui e vou chamar de 3, novo alfabeto. Então esse cara vem para cá, se eu chamar 2 de 3. Agora o único que acontece embaixo, se eu chamar esse cara 2 de 3, então a permutação em cima vai ter qualquer coisa aqui e vai ter um 2 virou 3 e a permutação de baixo vai ter um lugar desse 2 até um 3. Mas se eu quero agora chamar, nomear as outras letras de modo a obter isso aqui, eu estou vendo que o 3 aqui, ele tem que ir para a direita do cara agora, a direita do 3, quem está a direita do 3 é o 1. E o 1, esse cara aqui, ele está à esquerda do 2, então quando eu aplico o dicionário, o 1 tem que ir para o cara que está à esquerda do 3, e agora você checa que acontece em cima, se o 3 é para e o 1 vai para 2. E aí surpresa essa permutação é igual a essa depois que eu aplico o dicionário. Então realmente é a mesma coisa no mundo dos origamis e dá para ver que a órbita se completa de maneira simétrica do outro lado, se eu aplicar s e s, vou ter uma permutação aqui e o t vai fazer a mesma coisa. Então essa uma órbita bem com 3 elementos, 3 origamis, esse do meio, esse aqui e um outro. De fato, são todos origamis com 3 quadrados em H2. Então essa outra a gente já conhece. E o teorema que eu vou falar agora, que é um teorema devido a Uber, Leleev e MacMillan, ele escreve o que acontece com as órbitas de superfícies em H2 com mais quadrados. E é um tanunciado que bom, parece complexo, mas de fato ele diz o seguinte, e tem que serido da seguinte maneira, primeiro, se o número de quadrados é par, só tem uma órbita por SL2Z. Todos os origamis estão relacionados entre si por transformações em SL2Z. Usando a SL2Z você consegue passar de qualquer origami em H2 com n quadrados para outro origami com n quadrados. E ele sabe até calcular a cardinalidade da ordem, quantos origamis tem com n quadrados em H2. E é esse número aqui que lembra um pouco a cardinalidade de SL2Z sobre nz. A ordem é basicamente n ao cubo. Digamos, se n é primo, é certamente n ao cubo. E de fato, bom, é geral. E no caso IMPAR, pelo menos 5, porque eu já exclui o caso 3, no caso IMPAR, de fato, a cardinalidade da SL2Z vai se dividir em duas partes. Uma vai ter a cardinalidade um pouco menor que essa aqui, um pouco menor que a metade, 3 sobre 16 seria a metade, então essa aqui é um pouco menor e essa aqui é um pouco maior, mas é basicamente duas outras e também quase iguais, quase metade de metade. Então esse é o teorema de Berley Leavre e Macmillan. Bom, eu chamo de Berley Leavre e Macmillan, porque o Berley Leavre, eles provaram isso em certos casos e Macmillan fez o caso geral. Ou seja, se você olhar para toda a descrição da órbita, tem que combinar os dois papers. Eles não fizeram tudo, mas fizeram avanças importantes e o Macmillan completou a história. Então, vamos tentar provar esse teorema. Então, para provar esse teorema, eu vou prestar uma noção que é a noção de monodromia de um origami. E a monodromia simplesmente é a classe de conjugação do subgrupo gerado pelas permutações H e V que definem o origami. Por que que eu falo de classe de conjugação? Porque bom, a gente sabe que origami são definidos por permutações, módulos, conjugações simultâneas, então essa definição só faz sentido só pegar a classe de conjugação com o origami. E a observação importante é que a ação de SL2Z dos geradores, como eu já falei, desculpa o preço da minha caneta, a ação dos geradores é por essas transformações de Nilsen. Do ponto vista combinatório, os geradores de SL2Z agem dessa maneira. E logicamente que isso não muda o grupo gerado, a classe de conjugação do grupo gerado. Então, o corolário dessa observação é que essa classe de conjugação é um invariante da SL2Z ofta de um origami, porque o grupo gerado não muda. Se eu troco H e V, por H, V, H e V, eu vou gerar o mesmo grupo. Então, esse é um invariante e de fato esse invariante é o que vai distinguir as duas outras que eu falei antes. No teorema, vamos ver isso com calma. Quando eu falei que tem uma ou duas, de fato, as duas correspondem a dois valores distintos da monodromia. Vamos ver isso com calma. Então, como é que a gente vê isso? Bom, vamos ver que o teorema faz sentido na direção de dizer que existem pelo menos duas órbitas quando o número de quadrados é ímpar e é o mesmo. Como é que a gente faz isso? Bom, a gente vê o seguinte, a gente olha para dois origamis específicos. Um deles é a horizontal vai ter um N ciclo e a vertical é um 3 ciclo. E como essas permutações são pares quando N é ímpar, o grupo gerado está incluso em AN e dá para ver que é AN. Por outro lado, se você pegar a mesma permutação horizontal e colocar uma transposição, você vai ter um outro origami, mas que dessa vez não está com monodromia SN, porque uma transposição N ciclo são suficientes para gerar SN. Então, você viu que tem com o mesmo número de quadrados, o mesmo número ímpar de quadrados. E de fato, esse origami não trivial, porque N é mais assim, se tivesse três aqui, eu teria um problema, eu teria um toro. Um, dois, três, um, dois, três. Então, não daria muito certo. Tem que ter um, tá? Então, bom, tem uns detalhes para checar aqui, mas eu deixo vocês checar em tomar um café em casa com calmo, em outro horário. Mas a ideia é que, só olhando para esses invariantes, ele consegue dizer que existem pelo menos duas ortas quando N é ímpar. E o termo diz que, de fato, existem duas ortas. Esse invariante, esse invariante que é monodromia, é um invariante e tem até um acidente um pouco triste na nomenclatura aqui. De fato, no ortego original, eles não chamam as órbitas de, eles não usam a monodromia para distinguir as órbitas, eles usam outros invariantes e aí o nome que eles deram para as órbitas, o Berleriev, é órbita de tipo A e órbita de tipo B. Mas só com um pouco confuso, porque para eles, o que eles chamam de órbita de tipo A é a órbita que tem monodromia Sn, não a N. Então, não bate muito, mas é um pouco confuso isso que eu falei pela primeira vez, mas bom. Então, eles chamam, se vocês forem a oréia ou artigo, eles chamam de dois tipos de órbitas, A e B. E se você for comparar com essa discussão que a gente está tendo aqui, a órbita de tipo A vai ser aquela que tem monodromia Sn, não a N. Então, vamos discutir um pouco mais de monodromia e explicar por que a gente está concentrado na minha AN Sn e não outros grupos de permutações, tá? A resposta para essa pergunta é bem simples, é dada pelo seguinte teorema, devido ao David Esmiáico, que fala que um origami que é primitivo e que tem muitos quadrados, sempre vai ter uma monodromia que é AN ou Sn. Só para lembrar o que que é um grupo primitivo. Bom, um grupo primitivo é o seguinte, é um grupo que, em termos de recoprimento, não é um recoprimento não trivial de uma outra superfiscaliculada ou, se vocês quiserem, é uma superfiscaliculada cuja monodromia é um grupo primitivo do grupo de permutações, ou seja, é um grupo que não tem blocos. Lembra que se você tem um subgrupo do grupo simétrico, um bloco é um conjunto de letras, um subconjunto de AN, tal que para todo gng, gdelta é igual a delta, ou gdelta é de junto de delta, tá? Ou seja, é um pacote de letras que é sempre, ou movido para fora de si mesmo ou módulo a ordem fica em si, tá? E aí um grupo é dito primitivo se ele não possui blocos não triviais. Lógico, todo grupo de permutações possui blocos triviais, por exemplo, com um poço de um só elemento, porque permutações são objeções, então um só elemento satisfaz essa propriedade, e o conjunto todo também satisfaz. Mas você é primitivo se não tem bloco, ou seja, a noção de bloco, e primitivo se só si não existe bloco de tamanho entre 2 e N. Então, isso, de novo, vai na direção de impor que o origami não possua quadrado superfluo, mas é bem mais forte que isso. E aí, o teorema é que se o origami é primitivo e ele tem muitos quadrados, a sua monodromia é NOSN. E o que significa muitos quadrados é o que ele consegue exprimir em termos do extrato. Então, a condição precisa é essa. Se o número de quadrados é 4 vezes a soma do número mínimo de quadrados ao quadrado, então a monodromia vai ser a NOSN. Então, vamos dar uma prova curta disso rapidinho. A prova desse teorema de novo é curta porque ela usa o teorema profundo de outras pessoas. O prato do número mínimo de quadrados, eu usei o teorema do Gleason. Agora, eu vou usar o teorema do... um teorema do Babai e Piber, que diz o seguinte, você pega um subgrupo primitivo de SN, que não é nem a N, nem a SN. Então, a conclusão de Babai e Piber é que nesse caso, esse grupo tem que mexer muitos elementos, o seu suporte, o suporte de seus elementos é grande. Então, como é que a gente diz isso? A gente diz isso em termos de uma noção chamada grau mínimo. Então, o que é o grau mínimo? O grau mínimo é o seguinte, você pega todos os elementos não triviais do grupo, você diz que tem identidade, e você olha quais são os elementos que são permutados de maneira efetiva pelo alfa, o seu suporte. E aí você olha para o mínimo disso em todo o grupo. E aí o teorema do Babai e Piber diz que se você tem um grupo que é primitivo, mas que não é nem a N, nem a SN, todo elemento não triviai vai ter que mexer muitos caras aqui dentro, pelo menos raiz de N sobre quadro. E aí, como é que você conclui? Bom, você conclui porque o nosso grupo G, que é o grupo de monodromedor origami, ele contém o comutador. O comutador é uma união de junta de KJ mais uns ciclos, em particular dentro de cada ciclo, todo mundo é mexido de maneira antreviável. Então, o suporte desse cara tem o tamanho K1 mais K sigma mais N, certo? Então, esse cara aqui seria uma cota superior para esse grau mínimo. E o grau mínimo para o Babai e Piber é maior que raiz de N sobre 4. Isso significa que N, que é o número de quadrados, é menor que 4 vezes esse número ao quadrado, o que é uma contradição que não se pode. A gente vê que é o contrário, o quadrado é maior que, tá? Então, é assim que você conclui. Ou seja, ver monodromia AN ou SN para origamis primitivos em qualquer extrato é algo relativamente normal, quando o número de quadras é grande. O número de quadras é pequeno, tem exceções, mas se você for com o número de incremento alto, você vai ver sempre AN ou SN, tá ok? Então, essa é a monodromia, digamos, genérica em cada extrato. Obviamente que essa estimativa não é optimal, tá? Mas enfim, mesmo para H2 já não é optimal, mas enfim. E bom, vamos tentar agora, finalmente, dar uma prova desse teorema de Uberneliev. Então, como é que a gente faz isso? A primeira noção de precisar é a noção de cilindro, então, que é uma noção que o Vansam discutiu rapidamente ontem, que no caso do origami em ela é bem fácil de descrever, a ideia é que você olha para o origami, você desenha todas as posições da singularidade espônica, nesse caso, todos os cantos são singularidades espônicas, e aí você olha para a direção horizontal e começa a preencher ela com segmentos paralelos que são fechados, porque lembra, nesse caso, esse lado é com isso. E você preenche esse cara até chegar no nível da singularidade cônica. E aí, quando você chega na cilindro, você para, e esse objeto que você obter é o que o pessoal chama de cilindro, simplesmente porque, bom, é uma coisa, é tipo uma banda que você identifica as pontas, tá? E a ideia que todo origami tem uma decomposição completa em cilindro, ou seja, ele é uma união de cilindros interioristas, cilindros maximais cujos interiores são dois a dois de juntos. E no caso de H2, como o VanSan falou, como a gente está ainda num extrato que é bem pequeno, num certo sentido, a combinatória não é muito complicada, você pode fazer a combinatória e checa que um origami em H2 só tem um ou dois cilindros. E de fato, como o VanSan falou, isso permite colocar coordenadas para descrever os origamis. Então, o origami com um cilindro, você pode descrever como foi algo desse tipo do VanSan, você tem uma parte, são aqui em três partes, ABC e aqui tem um CBA. E aí, quando você está olhando para esse ponto por relação a esse, você tem um certo twist que descreveu, que é a posição como as pontas estão decaladas. Uma vez você escolhe os nomes como um cilindro decalado por relação à horizontal vertical. E de fato, como o meu origami é reduzido, eu sempre faço, você pode, a altura crescer um no caso. Então, só com esperança eu consigo entender tudo. Isso é o caso de um cilindro e o caso de dois cilindros é basicamente dois cilindros, é uma versão um pouco maior desse esquema. Então, você tem algo desse tipo. Então, tem um cilindro e um cilindro. Então, vamos ter parâmetros W2, W1, vai ter um twist aqui que eu vou chamar de T1, vai ter um twist aqui que eu vou chamar de T2. E vão ter esses comprimentos aqui que eu vou chamar essas alturas do spoco. H2 e H1. E com esses parâmetros eu consigo determinar o origami. Então, em H2 eu só tenho esses dois tipos de apresentação para origamis. E a ideia do Berley-Liebler, que é um pouco distinto da ideia do Mark Mullen, é que eles começam, eles supõem que N Mark III é primo e aí eles usam um método de descida, ou seja, uma espécie de divisão, outro idioma, um certo sentido, para provar o seguinte fato, que se você começa com uma figura com dois cilindros, você sempre consegue aplicar elementos de SL2Z. E aplicar elementos de conservação importante é que aplicar SL2Z em um certo sentido é a mesma coisa que mudar de direção. O que isso significa? Se você começa com a direção horizontal, que é a direção que eu vou chamar de associar ao vetor 1z, e você quer trocar essa direção para uma direção PQ racional, você sempre consegue construir uma matriz de SL2Z que faz isso, porque se PQ são coprimos, você sempre consegue construir uma matriz de PQ em SL2Z, e essa matriz vai pegar os vetores 1, 0, 0, 1 e vai enviar em PQ PQ linha, em particular isso vai permitir enviar horizontal na direção qualquer. Ou seja, quando você está olhando para essa figura em uma direção PQ dada, isso é a mesma coisa que olhar para a matriz que você tem aqui aplicada a esse esquema e olhar horizontal. Ou seja, olha uma direção dada em um origami fixado, é a mesma coisa que olhar horizontal, talvez no motor origami, onde você modificou o nome da horizontal, aplicando uma matriz. E é isso que eles fazem, basicamente eles começam a estudar um pouco a geometria desses parâmetros e eles provam que existem quatro casos, dependendo se o twist T1 é 0 ou não, e se T2 é 0 ou não, ou seja, tem quatro casos, T1, T2 não são nulos, T1 é 0, T2 não é 0, T1 não é 0, T2 é 0, e ambos são nulos. E dependendo do caso, eles se arranjam para poder provar o seguinte, sempre dá para achar uma direção, sempre dá para achar uma matriz de SL2Z, de modo que a altura total H1 mais H2, sempre diminui. E aí eles vão fazendo isso por indução, eles vão diminuindo, diminuindo, diminuindo, até chegar o momento em que a altura é 2, ou seja, cada altura aqui é 1. E aí quando eles chegam nesse momento, eles usam o fato de que os comprimentos, ou seja, se essas alturas são 1, a área total do origami, que é n, vai ser simplesmente a soma de W1 mais W2, porque a área desse cara é o produto, mas se isso aqui é 1, o número total n de quadrados é simplesmente W1 mais W2. Como o n é primo, esses caras têm que ser coprimos. Sendo coprimos, ele começa a aplicar essa opção de Nilsson, que corresponde a aplicar a matriz 1101, para ajustar esse twist aqui e ajusta esse twist, de modo que um deles vira 1, esse de baixo, quer dizer, esse daqui na minha notação está errado, de fato eu troquei um pouco esse, o de baixo vira 1 e o de cima vira 0. Então a figura que ele faz é o seguinte, aplica esse cara até o seu origami, que inicialmente estava, digamos assim, bom, eu não sei se bem, meus desenhos não são muito bons, mas você aplica um certo número de vezes até que a coisa fique desse jeito, onde esse tamanho aqui agora é 1 e esse twist aqui é 0, esse lado é 95 gramas. Aí nessa situação você enxerga, é o seguinte, você vê que se você enxerga nessa situação, quando você anda na direção horizontal, esse lado está colado aqui, agora esse lado está colado aqui e aí esse aqui vai estar colado aqui e aí vai estar colado aqui etc. E você vê que nessa situação do T1C1 e o T2C0, na direção vertical você vai ter um só cilindro. Então qual é o resultado de toda essa manipulação? O resultado é o seguinte aqui, qualquer origami com dois cilindros sempre está ligado pela ação de SL2Z a um origami com um cilindro, essa aqui é a conclusão. Então a gente já sabe que qualquer origami com dois cilindros está ligado, então para entender a ordem basta agora saber como a gente vai conectar os caras com cilindro e aí vê um pouco mais de continha, o que eles falam é o seguinte, eles olham todos os origamis com cilindro, com a mesma monogromia e eles vão provar que eles estão na mesma ordem e como é que eles fazem isso? Eles primeiro mostram que dá para conectar, ou seja, quando você tem um origami com um só cilindro, primeiro, eles usam aquele truque do parabólico para poder fazer o twist ficar igual a zero e aí eles observam que se você tem essa situação aqui, ACB, ACAB, que é o que eu chamei de cilindro de tipo ABC, nessa situação eles provam que de falta para supor que a cada um aplicando esse L2Z. Como é que eles fazem isso? Primeiro eles reduzem o A para o menor divisor comum entre A e B e aí depois eles usam o fato de que N sendo primo, ao chegar nessa etapa o maior divisor comum entre delta e gamma vai ter que ser necessariamente um, porque a soma desses números dá N e aí se você aplicar esse mesmo argumento mais uma vez, você chega no 1D. Então basta provar que dá para passar desse cara para esse. E para fazer isso que eles mostram de novo, olham para a combinatória dos números, olham para uma certa direção, eu escrevi aqui qual é a direção, se vocês quiserem que verem interessados nos detalhes, mas eles acham uma direção onde eles conseguem efetivamente provar que vai ter só um cilindro e que o um dos parâmetros vai ser exatamente esse MDC, uma divisor comum. Mas de novo, é um argumento geométrico. E aí a ideia é que uma vez que você chegou agora num origami com um cilindro e que o primeiro valor do parâmetro você vai conectar ele com, seja, o 1, 1, N-2 ou 1, 2, N-3 dependendo se esses caras são pares ou ímparis. E como é que você faz isso? Bom, eu vou explicar rapidinho no caso em que os dois são ímparis, por exemplo. Então no caso que os dois são ímparis, você faz a seguinte que as duas, eles são estústicas. No caso que os dois são ímparis, você tem um, então tem um, a, e, d, aí você vai ter o, e, a, um, d. Aí você olha na direção diagonal, na vertical aqui, desculpa, na vertical, ele dá um origami em L, que é um origami que vai ter um, um, um, e que na diagonal vai ter esse cara. E aí a altura total desse cara vai ceder, se eu desenhei bem. E isso aqui vai ser, é, então você pega esse origami, olha na direção vertical, você tem um origami com, com, com dois cilindros desse jeito. Aí agora eles aplicam duas vezes, é, é um truque, eles aplicam duas vezes a transformação elementar de nil sem horizontal, ou seja, aplica essa matriz aqui. E aí uma vez que eles aplicaram duas vezes a transformação na horizontal, eles olham para vertical. E aí eles provam que, de fato, na vertical você vai ter cilindros de altura um, ou seja, antes a altura era qualquer aqui, um mais d e um mais é. Você faz esse truque de aplicar duas vezes, depois olha na direção vertical, isso te permite reduzir as alturas a um, e uma vez que você tem a altura um, você aplica de novo a astúcia horizontal para fazer os twist serem zero. E uma vez que os twist são nulos, com a altura um, se você olha na direção diagonal um, você tem um cilindro, o cilindro que você deseja, tá? Você tem um argumentinho um pouco, que mistura um pouquinho de ter os números básica e geometria para fazer isso, mas a ideia deles sempre é, qualquer origami tiver dois cilindros, você reduz a um cilindro e se você tem um cilindro você reduz a um modelo canônico, que é esse caso ou esse caso. Então essa aqui é a ideia um pouco na mão. E isso explica porque é que, de fato, esse é o único caso que a gente conhece a classificação das orcas, tá? A gente não sabe a classificação das orcas em outros estratos. E como eu falei para vocês, no modelo deles, o Berley-Lever e de Macmillan, de fato eles tinham as orcas, não com a monobromia, mas com um variantezinho que hoje em dia o pessoal chama de HLK e a homenagem é o Berley-Lever e CUNY. E esse variante é obtido da seguinte maneira. Você olha quantos pontos a divastras estão em cima de cada um dos pontos de torção do toro ao qual o seu origami é um recoprimento. Então a maneira complicada de dizer o seguinte, o seu toro, o seu origami, desculpa em H2, ele é o que o pessoal chama de hiperélite. Ele tem uma evolução que corresponde, basicamente, a levantar a aplicação que no toro vai enviar o ponto complexo Z em menos Z, tá? Você vê no toro, você vê cada quadradinha, você pode virar Z menos Z. Aí você olha para o seu origami e você gira cada ponto, recola e de fato isso vai ser uma evolução do seu origami. Isso vai ser algo que é globalmente definido. Não tinha razão de C, mas nesse caso acontece. É verdade. E aí o ponto é que o toro T2 ele tem quatro pontos que são especiais com relação a essa evolução, que são os pontos de 2 torção, que são os pontos fixos por esse cara aqui, que são os pontos de coordenada meio inteiras, se o meu T2 for C sobre Z mais Z. E aí o que eu faço é o seguinte, eu vou agora olhar para os pontos fixos da evolução definida no O. Essa evolução é conhecida pelas terras de escofes de hino, ela tem seis pontos fixos que são chamados pontos de vaistras nessa curva. E aí eu olho quantos pontos de vaistras se projetam em cada um dos pontos fixos no toro, ou seja, o meu origami vai ter seis pontos fixos para seis pontos fixos e que vão se projetar em quatro pontos. E aí eu olho basicamente qual é o tamanho da premagem de cada ponto, quantos desses pontos caíram em cima da origem, quantos caíram no ponto 1 meio, quantos caíram no ponto 1 sobre 2 e quantos caíram no ponto 1 mais 1 sobre 2. E aí eu faço uma lista de quatro números. E essa lista eu conto, é uma lista que tem uma própria interessante que é a seguinte. O primeiro número é um número, digamos, absoluto. É o número de pontos que se projetam na origem. E os outros pontos que se projetam nos outros pontos de torção, eu considero esse aqui módulo permutação. E por que que eu faço isso? É porque a ação de SL2Z no toro quadrado, os quatro pontos de quadrado 1 meio que estão aqui. A ação de SL2Z, como é uma matriz, ela fixa a origem e permuta esses pontos. Por exemplo, se você aplica a matriz 1, 1, 0, 1, esse ponto é fixo e esses dois são permutados. Então se eu quero ter um invariante para SL2Z órbita, é melhor eu considerar esse aqui módulo permutação. Porque os pontos são permutados aqui. Então a lista módulo permutação é algo que é invariante para SL2Z, mas não cada entrada individualmente. Depois eu faço essa construção. E aí o que acontece é que esse é o invariante que o pessoal chama de HLK, eu escrevi HKL, mas HLK. E de fato está para fazer um cálculo rapidinho no caso de H2, um número ímpar de quadrados, esqueci de escrever aqui. E aí nesse caso tem dois valores. Basicamente é o seguinte, você pode olhar para as suas permutações. Por exemplo, esse origem aqui com a 5, então 1, 2, 3, 4, 5. Você vê que quais são os pontos fixos. Bom, tem esse ponto aqui nos cantos que é a singularidade icônica. Da 1 que se projete na origem. Dentro desse quadrado, se você olha para a evolução, tem um ponto fixo no meio. Se você olha para esse quadrado e sabendo que os extremos são fixos, os pontos fixos estão aqui, que é um ponto meio inteiro, e aqui. E esse outro está aqui e aqui, correto? Porque esse ponto lembra que é o mesmo desse. E aqui eu tenho seis pontos, olha só, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Então esses são os seis pontos aqui. E agora eu faço minha conta. Quantos pontos estão projetados nos pontos inteiros do toro? Você estão projetados em cantos? Eu tenho 1, 2, 3. Então a minha lista tem 3. Quantos pontos estão projetados no ponto meio inteiro? Eu vejo apenas um, esse aqui. Quantos pontos estão projetados no centro do toro? Um. E quantos pontos estão projetados aqui? Um. Então é assim que eu calculei. E se você fizer agora a conta com esse outro origami, que também tem cinco quadrados, você vai ver que a coisa vai mudar. Você vai ver um ponto aqui, que é a singularidade icônica, que sempre se tem um histórico. E aí os pontos vão estressar de novo. O centro, o canto, o centro. E agora o centro disso aqui, que é aqui e aqui. E agora você vê que quantos pontos se projetam na origem do canto? Só tem 1 agora, porque esse ponto foi deslocado. Quantos pontos você vê no centro? 3, 1, 2, 3. Quantos pontos num canto no meio de uma vertical? Um. Quantos pontos no meio de uma horizontal? Tá? Então é assim que você vê os invariantes. Ok? Geometricamente. É só você realmente olhar para quais são os pontos. A localização dos pontos fixos pela evolução de cada um dos quadrados e que estão sentados na origem no meio, em um lado vertical, no meio de um horizontal ou no centro do quadrado. Então isso é um invariante HKL, nesse caso. E isso se generaliza toda vez que o seu origami possui o que o pessoal chama de anti-automorfismo. Ou seja, uma evolução que se projeta na aplicação Z vai menos em torno. Tá? Muito bem. Como eu falei, a classificação não é conhecida, mas a gente tem muita evidência no mérito graças aos trabalhos de muitas pessoas, incluindo o próprio Vancem Le Coac, que trabalha muito com Sage, e o Samuel Lele Ebre e Zoret e outros, muitos outros. É difícil de estar todo mundo. Mas a gente tem boas conjecturas de quantas altas devem existir, etc. Em particular tem uma conjectura, vocês podem e devem perguntar ao que é uma conjectura que eles obtiveram basicamente olhando a lista de todas as opções, pedindo as 6 para listar em cada extrato, você pode pensar, por exemplo, H1, H4, H2, 2, etc. Nos estados mais fáceis, quantas opções tem? E comparando com os invariantes que a gente conhece. E a conclusão que eles chegaram é que, basicamente, quando o número de quadrados é grande, a monodromia e esse invariante HLK, se existir anti-automorfismo, deveriam formar um invariante completo. Essa é a conjectura, em particular para muitos estratos, incluindo H1, H4. Isso aqui é de gênero 2 e isso aqui é de gênero 3. Mas a gente não sabe provar essa conjectura de toda a generalidade, mas o que essa conjectura diria é o seguinte, que em gênero H6, em H1, a gente teria só duas ordens por SL2Z, para qualquer número de quadrados acima de 6 e no contexto de H4, a combinatória é um pouco mais complicada. Se você pegar um número N, pelo menos 9 ímpar, você tem 7 ordens e você tem 6 ou 7 ordens, se o número for par, pelo menos 10, e se ele é 0 ou 2, módulo 4. 6 se for 0, 7 se for 2. Mas enfim, uma conjectura bem precisa, eu estou dando aqui a versão só impressionista, mas a ideia é que essa conjectura te diz que esses invariantes que a gente viu até agora são completos e tem muita evidência numérica para isso. Bom, isso é o que eu queria falar sobre a classificação. Agora eu vou falar sobre a conexão disto com outra parte da matemática, que é grafos em expansão. Então a ideia é a seguinte, a ideia é que origamis, então, eles possuem essa SL2Z órgota. E como eu falei, a SL2Z órgota é simplesmente que você pode listar uma família finita de origamis, e você pode conectar esses origamis, como eu fiz um pouco no início do curso, aplicando as transformações T e S, os geradores preferidos da SL2Z, digamos. Isso dá grafos. Em particular, uma conjectura, se você pegar os grafos que você tem no jeito para H2, bom, tem que tomar um pouquinho de cuidado, como eu falei, porque tem dois grafos quando o N é ímpar, porque tem duas órgots para a SL2Z. Mas como sempre existe um ou duas órgots, você pode listar esses grafos em sequência, dependendo do número de quadrados. E a conjectura que essa família de grafos é uma família expansora. Quando você olha para a teoria da matriz de adjacência, o tamanho do buraco espectral entre o alto-valor trivial e o próximo é uniforme. Por exemplo, se você pegar nesse grafo, colocar o gerador ST, ter inverso, SS inverso, para ter um pouco de gerador simétrico, então, basicamente, cada cara vai ter quatro arestas. E, então, tem um alto-valor trivial com a sociedade da função constante, que é 4. E aí, a conjectura diz que, de fato, o próximo alto-valor vai estar uma distância uniforme de 4 independentes dos números quadrados. Então, essa é uma conjectura que conecta um pouco com essa área de chamada grafos e grafos expanders. E que é uma conjectura que é um pouco complicada de atacar com certo tipo de ferramenta aritmética. Pelo menos, em princípio, porque, como a gente viu, os grupos de WIT, que são os estabilizadores de um dos Verts aqui, eles não são grupos de congruência. Você não dá para relacionar fácil com a teoria que acontece de expansão para os grafos de Kelei de SL2FP, por exemplo, que é um caso onde é bem conhecido. Mas, então, bom, tem essa conjectura que está um pouco... Que é uma conjectura importante, que está completamente aberta, até onde eu sei. E que é uma conjectura que tem uma versão, digamos, geométrica, que é a seguinte, você pode olhar para as curvas de Tachmüller associadas, ou seja, pegar o plano hiperbólico que faz o consciente pelo grupo de WIT, calcular o primeiro alto-valor do Laplacian e, de novo, a versão geométrica que o primeiro alto-valor do Laplacian está longe de zero. Isso, bom, e isso é basicamente... Isso se relaciona bem, as duas conjecturas se relacionam bem, em um certo sentido. Normalmente quando você tem essa versão combinatória, a versão geométrica está relacionada em um certo sentido, ou não vou poder explicar aqui, mas digamos que essa versão geométrica também existe e é uma prima da conjectura combinatória. E essa conjectura, como eu falei, está aberta, mas tem boa evidência numérica para ela. Então, vocês podem também perguntar para o Vansan, se quiserem, ou escrever um pequeno programa em 6, num adifício, para testar coisas do tipo, o diâmetro desses grafos. É sabido que se a família foi expander, o diâmetro é da ordem do log, do número de verdes. Nesse caso, a gente já viu qual é a cardinalidade do número de verdes. A cardinalidade, como eu falei para vocês, é dada no teorema do Bernadier, então, eu vou voltar rapidinho. É basicamente N ao cubo. Lembra um pouco o caso da cardinalidade de SL2FP. Então, você tem basicamente essa família de grafos de tamanho N ao cubo, você com N ao cubo verdes, mais ou menos. E aí você pode perguntar para a Sage qual é o diâmetro desse grafo. E aí o diâmetro é bem curtinho. De fato, se você fizer as experiências, por exemplo, eu lê para o Vansan que fez uma tabela uma vez para mim com a lista de número de quadrados e diâmetros e eu olhei até onde o computador foi. Então, o computador olhou, por exemplo, até o caso de 66 quadrados, que é bastante coisa, e o número de verdes é 69.120. Então, você tem esse grafo com 69.120 verdes e o diâmetro dele é 23, que é bem próximo de duas vezes logo do número. De fato, duas vezes logo do número, se você fizer o cálculo, isso aqui é 22.28 alguma coisa. Então, realmente você vê que o diâmetro é um grande O do log desse cara, mais ou menos, não é bem verdade. Mas a gente tem aqui um pouco mais longe, eu acho, para começar a dizer seriamente quanto seria esse grande O, mas enfim. Mas a ideia é que existe essa evidência numélica sobre o diâmetro do grafo. Existe também cálculos com o buraco espectral e outros tipos de evidências que você pode encontrar com Sage. Mas, infelizmente, a conjuntura continua em aberto, desde quando foi formulada, porque eu acho que já faz bastante tempo agora, cada alguns anos. E para concluir o curso, então, eu queria só dizer umas palavras sobre uma propaganda para a futura versão das notas do curso, que é a seguinte, que nas notas do curso a gente prometeu tópicos extras e a ideia é que o cantant e eu vamos trabalhar nessas notas para produzir uma versão mais definitiva. E a ideia é que a gente vai incluir tópicos extras mostrando um pouco com os origamis que conectam com outras partes saindo da matemática. Em particular, um dos tópicos extras que eu gostaria de colocar, o VanSan já mencionou que origamis se relacionam com o volume de espaço e módulos, em particular, em variantes de gromov item e formas quase modulares. Bom, eu falei agora de grafos em expansão, bom, em expansão conjuntural. E também tem outra parte que é bem interessante, eu acho, que é a parte dos spawns de Lyapunov. Então, eu vou falar bem rapidinho para fechar. Quando a gente, isso vai ser uma das notas que vai estar na parte de tópicos extras. Então, a ideia é que, para muitas aplicações dos origamis, é importante conhecer o que se chama de expoentes de Lyapunov, que são quantidades que surgem naturalmente na terria de sistemas nâmicos. Em geral, são muito difíceis de calcular, mas que, no caso de origamis, graças a essa relação com o geometria algebrica dos origamis, então, em particular, a gente pode usar, tem uma observação do concept que diz que a gente pode usar a terria de rodes junto com a fórmula de adjunção e outras coisas, para dar fórmulas para esses expoentes, que é algo muito complicado em geral. É um esquema dinâmico geral, é impossível calcular os expoentes de Lyapunov, mas aqui, graças à riqueza dos objetos envolvidos, dos origamis que são superfícios de rima com diferenciais abelianos, a gente consegue, como o concept da fórmulas, em muitos casos, e isso é importante nas aplicações, inclusive para aplicações fora da teoria de origamis. Por exemplo, o expoente de Lyapunov pode ser usado para calcular, para classificar a classe de commensurabilidade de reticulados na hora etimétricos dentro de grupos hiperbólicos complexos. Enfim, mas existem essas quantidades expoentes de Lyapunov e que as pessoas se interessam por elas por muitas razões, que como eu falei, pode ser em dinâmica, mas também pode ser em geometria gebricas, em geometria de reeles de grupos de Lyapunov. E uma coisa que eu andei estudando junto com o meu co-automartimula de Lyapunov foi o que acontece com os expoentes de Lyapunov no caso do extrato H4, que é o extrato de origamis que contém origamis de gênero 3. Nesse caso, tem uma propriedade que é chamada de simplicidade de expoentes, que é basicamente dizer que os expoentes existem três números, no caso que é basicamente que existem tantos números, tantos expoentes, não trivia positivos quanto o gênero. E a simplicidade significa que esses números são de multiplicidade 1, você é não conhecido. E o que a gente provou, então nesse artículo que eu fiz com o Martín, foi mostrar que para condicional a conjictura do delecuado, ele é que para todo n maior que um certo n0, para todo um origami em H4 com n², post tem expoente de Lyapunov simples, o que quer que isso seja. E como é que a gente prova isso? A ideia é bem engraçada porque ela relaciona com o curso do ECTO, a ideia é o seguinte, em termos bem por cima, isso vai ser explicado no estupro de estudanato, mas a ideia é que basicamente para detectar a simplicidade, o que a gente precisa saber é uma informação de teoria de galoar. Então basicamente a simplicidade ocorre se um certo discriminante associado ao origami não for um quadrado. E aí a gente vê a família de discriminantes associadas com as vezes quadriculadas e a gente percebe que esses discriminantes variam de maneira um pouco milagrosa, eu não entendo muito bem porque isso é verdade, mas é verdade. Esses discriminantes que a gente precisa checar, eles variam de acordo com polinômio em N, um polinômio de grau pelo menos 5. E aí para checar com esse cara no quadrado, a gente vai ter as soluções racionais inteiras, bom racionais digamos, dessa equação. E como o ECTO falou, tem esse teorema do Falkins que diz que essa equação vai ter só um número feito de soluções. Então, a menos o número finito de quadrados, a gente vai ter nossa propriedade graças ao tema de Falkins. Então eu gostaria de concluir aqui nesse ponto que eu não entendo um pouco, que ilustra esse fato de que o origami é uma área que eu aprecio particularmente porque ela não só trata de objetos bonitos e que tem várias definições equivalentes, mas que também são, por ter várias definições equivalentes, são objetos que se conectam com muitas áreas da matemática. Então eu espero que pelo menos se vocês não conseguiram entender todas as explicações que eu dei, eu confesso que foi um pouco rápido, eu fui muito rápido em várias partes, mas pelo menos se tem uma mensagem que eu gostaria de passar é que realmente esses origamis são objetos que são interessantes, não só intrinsicamente, mas que conectam com muitas áreas da matemática, em particular em áreas que têm também um sabor de ter os números como Falkins ou formas quase modulares. Então isso talvez seja incentivo para que as duas comunidades continuem se falando e bom, eu gostaria de agradecer a paciência de vocês. Obrigado. Obrigado, Matheus. Vamos agradecer ao Matheus. Alguém teria alguma pergunta preferencialmente curta para fazer agora? Ah, perdão, outra gente pergunta primeiro. Bom, na cobertura de McMullan, que há a parte de datas experimentais, por que se que McMullan isso le conjetura? Que é o que ela hace, é, probable, a parte de, de evidência numérica? Boa pergunta. A explicação é, de fato, acontece por essa versão avançada, digamos, a resposta curta é a seguinte. O McMullan ele estudou não só origamis, mas ele classificou, ele fez uma lista de todas as órbitas de SL2R dentro de H2, dos fechos de ordem de curta. E o que ele provou é que, basicamente, só existem dois tipos de fechos de ordem, seja, você começa com um ponto, o curto é dense, então o fecho é tudo, seja sua outra já é fechada, mas é uma curva de testemunha. Então, um corolário dessa teorema é que só existem uma lista enumerável de fechos de ordem, primeira observação, segunda observação. Cada fecho de ordem possui o seu autovalor, primeiro autovalor de Laplacian. E a ideia dele é que deveria haver uma conversa, ao mesmo tempo que as ordem de testemunha, no quadrado de Cresce, a órbita deveria ser equidistribuída em H2, você fica cada vez mais e mais dense. E essa equidistribuição permitiria mostrar que o primeiro autovalor de Laplaciano da superfície quadriculada aproxima o autovalor, o Laplaciano de H2 inteiro. E tem um teorema devido ao Arthur Ávila, Sebastián Duazel e Jean-Cristian Fiocós, que diz que pra H2 inteiro o primeiro autovalor está sempre longe de zero, o seu lamba não tem um buraco espectral. Então, se você imagina, se você acredita nessa história de equidistribuição com um extrato e que os autovalores deveriam convergir, então a conjuntura deveria ser verdade. E eu acho que é isso que é mais antiga que o teorema que é mencionado. A conjuntura é um pouco mais antiga, porque de fato o Macmillan já, pra H2, o pessoal já sabia fazer tudo na mão, digamos. De fato, ela é mais antiga que o teorema de Ávila, Gués Ávila. Mas eu acho que ele tem esse sentimento de que deveria ser essa história de gap spectra uniforme para as medidas, porque tudo deveria ser que distribuir. E que aplicaciones tem a conjuntura? Digamos que se tratara de provar uma versão mais débil, simplesmente que o diâmetro é logarítmico, ou digamos, uma potência de logaritmo, a lo mais uma potência de logaritmo, essas versões mais débiles também tendrían aplicaciones de gravação. Eu acho que ele precisaria de toda conjuntura para poder ter as aplicações, porque a coisa boa de ter um buraco spectral uniforme, nessa versão do Laplaciano, é que do ponto de vista de sistemas dinâmicos você significa que a taxa de mistura é uniforme, ou seja, o decaimento de correlações é uniforme. Isso significa basicamente que você olha o sistema dinâmico, que é o fluxo da ximuda. Ele se comporta como um movimento browniano, ele perde memória bem rápido, basicamente um processo, uma marcha aleatória. É um sistema dinâmico determinístico, mas que se comporta como algo bem aleatório. E para as aplicações, normalmente, essa mistura exponencial com certo erro uniforme é algo bom, porque esse tipo de erro é o que aparece, esse tipo de erro, quer dizer, esse tipo de informação das forcações que permite obter finalmente aplicações em problemas de contagem. E na contagem você tem um erro explícito. Mas, bom, a resposta curta é, eu não sei se potência do log será suficiente, por exemplo, para a explicação. Daria uma caminhada aleatória, sim, que destruiria, daria que destruiria por uma maneira um pouco mais lenta, porque no momento que você tem uma cota polioarítmica para o diâmetro, você tem um buraco espectral, um dué espectral, mas não constante. Sim, eu concordo, nesse caso você teria exatamente, você teria uma informação mais fraca, digamos, sobre o termo de erro, mas não seria o termo principal, mas algo que tem uma taxa exponencial diferente do termo principal. Um comentário, mais bem, eu vi que Nick Salter disse que fibras de Milnor são superfícies planas, naturalmente, e hace ele uns trabalhos aí de la monodromia, justo de singulares aisladas. Podrías comentar algo sobre essa linha? Isso vai mais na linha do estudo da topologia dos estratos, ou seja, tem uma conjectura famosa do Concevit, desculpa, tem muita conjectura do Mac Milner, mas ele não conjectura tudo na área. Então tem uma conjectura do Concevit que suspeita que esses estratos são espaços de tipo capium, vocês são espaços de Hellenberg, McClay, vocês são espaços que só tem o P1 e não tem mais nenhuma outra motopia, e basicamente se eu compreendi bem uma palestra do Concevit sobre isso, a intuição vendo o fato de que ele acha razoável que esses espaços de módulo sejam comparáveis com hyperplano arrangements, não sei, arranjos de hiperplano, e o Knicks está fazendo referência de fato a técnicas que ele está tentando utilizar com o autor, ele e em trabalhos bons, só dele também junto com o autor Aron Calderon, que tenta entender a topologia dos estratos. Ok, gracias. Vamos agradecer mais uma vez ao Mateus e ao VanSan pelo mini curso que eles finalizaram.