 Bonjour à tous et merci aux organisateurs. Je vais vous présenter le modèle du « El Mouvement Bruniens branchants » qui est un système de particules avec sélection et plus précisément des résultats qui concernent sa vitesse. Tout d'abord, je vais définir le « Mouvement Bruniens branchants standard » donc sans sélection. C'est un modèle très simple. On part d'une particule à l'instant en zéro qui bouge selon un mouvement bruniens et au bout d'un temps exponentiel, elle meurt et elle a deux enfants. Donc là, ici deux enfants qui chacun part de la position où elle est morte et répète le même procédé indépendamment l'un de l'autre et de tout ce qui s'est passé avant. Donc quand je parle de modèle sans sélection, c'est que je souviens d'introduire de la sélection et pour parler de sélection, il faut voir que la position d'un individu comme sa capacité de survie. Donc on donne une note à chaque individu. Plus il est haut, plus il est fort. Et cette capacité de survie, elle le varie au fil de sa vie à cause d'émutations et elle est transmise aux enfants. Donc pour introduire de la sélection naturelle, on va éliminer les individus les plus faibles, c'est-à-dire les plus bas. Voilà, donc le modèle qui nous intéresse, le L mouvement bruniens branchant, on fixe une certaine constante grandelle et la règle de sélection qu'on choisit, c'est dès qu'une particule, par exemple celle-ci, se trouve à une distance grandelle de la meilleure, elle meurt. Donc là en noir, ça représente le L mouvement bruniens branchant, que chaque fois, ces particules-là sont mortes et on peut le voir comme un sous-ensemble du mouvement bruniens branchant sans sélection qui est représenté là avec les particules grises et les particules noires. Donc en fait, ce modèle-là n'a pas du tout, enfin même si les termes semblent très proches de la biologie, il a été introduit par des physiciens, donc plutôt dans la physique statistique, donc par brunée dérida, muleur et minier. Et c'est pour voir des... c'est introduit dans l'étude de l'équation FKPP avec bruit, mais je ne vais pas rentrer trop dans ces détails-là. Donc la grosse difficulté de ce modèle par rapport au modèle sans sélection, c'est qu'on a introduit une interaction entre les particules c'est-à-dire l'avenir d'une particule ne dépend pas uniquement de sa position, mais aussi de la position des autres particules au même instant. Donc il y a d'autres modèles avec sélection qui ont été étudiés. Tout d'abord, la sélection par une droite. Donc c'est qu'on choisit une droite qui part un peu en dessous de zéro et qui monte avec une certaine pente. Et toutes les particules qui touchent cette droite meurent. Si on fait ça, c'est beaucoup plus simple à étudier parce que justement il n'y a pas cette interaction entre les particules. La barrière de sélection, elle ne dépend pas du tout des particules qui sont en vie. Donc ce modèle-là de sélection par une droite a été étudié plus tôt dès les années 70. Et il y a aussi des articles assez récents, dont un article par Beristiki and Shannisberg, en fait deux articles dont je vais reparler plus tard. Et il y a un autre modèle plus proche qui est le N-mouvement bronniens branchant où là on fixe grandaine en entier et on décide que dès qu'il n'y a plus de grandaine particule, on tue la plus basse. Donc dans ce cas-là, ce n'est pas la taille spatiale de la particule qui est fixée, c'est le nombre d'individus. Il y a toujours grandaine individus dans la population. Et donc ce modèle-là, ce deuxième a été étudié plus récemment. Il a aussi été introduit par des physiciens et il se comporte d'une manière très proche de celui-là. Donc maintenant je vais en venir au résultat. Alors tout d'abord un petit résultat rapide concernant le mouvement bronniens branchant sans sélection. Donc ce qui nous intéresse ici, c'est la vitesse des particules. La particule la plus haute, elle se déplace à vitesse racine de 2. Donc si max de Xt, c'est la position de la particule la plus haute à l'instant T, si on divise par le temps, ça converge presque sûrement vers racine de 2. Par symétrie, on a la même chose pour la particule la plus basse, avec moins racine de 2. Donc le mouvement bronniens branchant standard, au premier ordre, il forme une espèce de cône comme ça. Et nous, on va vouloir dire où sont les particules du L mouvement bronniens branchant par rapport à la particule la plus haute du mouvement bronniens branchant sans sélection. Parce qu'en sélection des particules les plus hautes, le L mouvement bronniens branchant, il a tendance à monter, mais il ne va pas réussir à monter aussi vite. Que le mouvement bronniens branchant sans sélection, parce que comme il a une population beaucoup plus grande, il y a des comportements plus rares qui apparaissent et donc des particules plus hautes qui existent. Donc premièrement, il faut se garantir de l'existence de cette vitesse. Donc il existe bien une vitesse VL pour tout elle fixer, tel que la position de la particule la plus haute du L mouvement bronniens branchant divisé par le temps, ça converge presque sûrement vers sa vitesse VL. On peut le voir comme ça, le L mouvement bronniens branchant, ça va être une bande de taille L qui croit quand même assez régulièrement. Finalement, il n'y a pas tant de fluctuation que ça à s'étendre. Et donc maintenant, ce qui va nous intéresser, c'est de comparer VL avec racine de 2, la vitesse qu'on aurait eu sans sélection. Donc voilà le résultat, quand L tend vers l'infini, donc on affaiblit plus en plus la sélection, la vitesse VL tend vers racine de 2 et aussi on a le terme correctif qui est picaré sur 2 racines de 2 fois L carré. Donc ça permet d'estimer à peu près, pour L grand, où est situé la population du L mouvement bronniens branchant dans le cône du mouvement bronniens branchant sans sélection. Donc quelle perte on a fait par rapport au meilleur particule qu'on avait eu si on n'avait jamais tué personne. Donc ça, comme je l'ai dit avant, c'est des physiciens qui ont introduit ce modèle et dans leur article, ils font un certain nombre de conjectures dont ils avaient conjecturé et ils avaient aussi le terme suivant qui pour l'instant, toujours une question ouverte. Et ils ont aussi d'autres conjectures qui concernent par exemple la généalogie du processus. Ça non plus, ça n'a toujours pas été montré. Donc il y a encore un certain nombre de questions ouvertes à ce sujet. Et pour le N mouvement bronniens branchant dont j'ai parlé, le même résultat avait déjà été montré, donc en 2010 par Bérar et Gouhéré. Et ça, les physiciens ont aussi conjecturé qu'on pouvait passer d'une formule à l'autre en prenant N égale exponentielle racine de 2L. C'est-à-dire que le nombre d'individus croit exponentiellement la taille qu'on se laisse pour le processus. Donc maintenant je vais en venir à quelques idées de démonstration sur ces deux résultats. En fait, ça ne s'appuie pas du tout sur le résultat qui a déjà été montré pour le N mouvement bronniens branchant, parce que c'est très dur d'établir des comparaisons directement entre ces deux processus, même s'ils ont des comportements assez proches de manière heuristique. Et donc finalement, les méthodes ne s'appliquent pas et on ne peut pas non plus essayer d'utiliser directement ce résultat. Alors je vais commencer par l'existence de la vitesse limite. Donc pour ça, il y a finalement très peu de résultats à connaître sur le mouvement bronniens branchant en général. C'est vraiment des petits raisonnements assez élémentaires. C'est-à-dire que si au début on a énormément de particules et que pendant un certain temps elle ne meurt pas, ça veut dire qu'on peut comparer un peu tout ça à plein de mouvements bronniens indépendants. On obtient qu'il y en a au moins une qui va faire un saut très grand, donc deux ailes en une petite durée de temps. Et donc s'il y a une particule en deux ailes ici, ça veut dire que toutes les particules qui sont là, elles sont tuées à ce moment-là. Donc comme ça, en très peu de temps, on arrive à réduire énormément la population. Et en travaillant sur des périodes de plus en plus courtes, plus il y a d'individus au début, on arrive à montrer qu'on a un temps fini, donc on a un temps petit que 1 par exemple, et qu'une probabilité qui dépend pas de la configuration initiale, on repasse en dessous d'un certain seuil de nombre d'individus. Une fois qu'on est en dessous d'un seuil fixé d'individus, on a une petite probabilité d'en avoir plus qu'un. Elle est très très faible, mais elle existe, elle est strictement positive. Et donc finalement on revient à une population de taille 1 en un temps sous-exponentiel. Donc au moins avec une moyenne finie. Et après on n'a plus qu'à regarder tous les retours en temps 1, enfin avec une population de taille 1 comme ça, on coupe des morceaux, des morceaux indépendants et identiquement distribués, à laquelle on peut appliquer la loi des grands nombres, parce qu'on sait que tout a des moments finis, et ça donne l'existence de VL. Finalement ces instants-là où on revient à une population de taille 1, ils sont très très rares, et c'est pas du tout ce qu'on utilise pour étudier précisément ce processus. C'est pas du tout représentatif du processus, ce genre d'événement. Ce qu'on fait plutôt pour avoir le développement asymptotique de VL, on utilise les résultats qui ont été obtenus dans le cas de sélection par une droite. La sélection par une droite, comme je l'ai expliqué c'est un cas qui est plus simple à étudier, et donc il y a déjà pas mal de résultats très précis qui ont été faits à ce sujet. Et entre autres, ce qu'il se passe dans le cas presque critique, c'est le cas où la pente s'éracine de 2, c'est-à-dire la vitesse de la particule la plus rapide du mouvement bronien, et il se place légèrement en dessous, parce qu'il faut qu'on le fait tendre vers l'infini, donc à la fois ils font le temps de la pente, ils la prennent de plus en plus grande, ils tuent de plus en plus de particules, et en même temps ils prennent de plus en plus d'espace au début. Et en regardant ce processus-là, sur une échelle de temps k³, il montre que la population reste à peu près de taille constante, pour une certaine notion, une certaine fonctionnelle pour évaluer la taille de la population, et aussi sa largeur, on a toujours une particule qui est à peu près pas trop loin de k, du haut de la bande-là, à une distance k de la droite tueuse. Donc finalement, on se rend compte que le comportement est assez proche de celui du l mouvement bronien branchant, si on prend avec k égale l, la barrière tueuse aussi, elle est à une distance l de la plus haute, on sent que le comportement est assez proche, et en plus c'est cette pente-là, si on en fait le développement asymptotique, c'est justement le développement asymptotique qu'on veut, qu'en k égale l. Donc ce qu'on fait c'est qu'on construit une suite de temps d'arrêt pour le l mouvement bronien branchant, et sur chaque morceau, on compare le l mouvement bronien branchant avec un processus comme ça, en prenant soit k un peu plus grand que l, selon si on veut qu'on ait une inclusion dans un sens ou dans l'autre, et comme ça on arrive à majorer la vitesse du l mouvement bronien branchant ou la minorer. Une fois qu'on a mis en place ces comparaisons, c'est vraiment tous les résultats qui sont connus sur ce modèle qui nous permettent d'obtenir le résultat. Donc c'est très grossièrement la démonstration, mais je vais m'arrêter là. Merci pour votre ascension. Merci. Donc qu'est-ce qu'il y a des questions sur le l mouvement bronien branchant ? Est-ce que le temps exponentiel que je prends a une influence ? Est-ce que tu peux envisager que le temps que tu attends avant de t'expanser, avant de te reproduire les particules, à une arcurance particulière ? Le fait de prendre un temps exponentiel, c'est parce qu'on veut avoir un processus de Markov. C'est juste augmenter la constante, tu veux dire, le paramètre, oui parce que là je n'ai pas dit que là on prend exponentiel de paramètre 1, mais non on peut prendre un autre, on l'a fait tout au plus simple, on peut prendre un autre paramètre, ça ne change pas le comportement, et le paramètre va apparaître dans la constante du terme correctif et aussi la vitesse sera par assigne de 2, mais ou elle sera légèrement modifiée, mais ça on peut le modifier sans problème, on peut aussi modifier la loi de reproduction, on n'est pas obligé d'avoir toujours 2 enfants, on peut mettre quelque chose d'aléatoire, ça ne change pas non plus le comportement du processus. D'autres questions ? Est-ce qu'il y a un peu de temps sur la petite production de la vitesse ? La petite solution de la vitesse ? Oui, c'est pas bien, c'est pas mal par contre, il y a l'existence de la vitesse, en fait elle est déterministe, donc là c'est une constante qui appartient à R, elle n'est pas aléatoire la vitesse, c'est une constante, comme vous pouvez dire, pour l'autre c'est racine de 2, là c'est une certaine constante, plus petite que racine de 2, qu'on ne connaît pas précisément, donc c'est une constante, elle apparaît en gros, c'est une loi des grands nombres, donc c'est l'espérance de combien ça monte dans chaque morceau sur l'espérance du temps que dure chaque morceau, ça fait une constante, on ne sait pas ce que c'est, mais elle existe. On a le temps pour une dernière question ? Non ? Bon, merci encore.