 Donc voilà, j'ai dit que les notes, donc l'exposé 1 c'est déjà sur mon site, l'exposé 2 ça sera demain sur mon site, l'exposé 3 ça sera à la fin de la semaine, Cécile a presque terminé de les taper, l'exposé 4 d'aujourd'hui faudra attendre plus longtemps parce que Cécile va partir à vacances, donc faudra attendre certainement quelques semaines. En revanche, les vidéos des 3 premiers cours sont sur le site et celle de l'exposé 4 je pense c'est un jour ou deux, c'est ça, 48 heures. Alors, pour Alain Côte qui n'était pas là les fois précédentes, j'ai rappelé juste un peu ce qu'on a fait. Donc dans l'exposé 1 j'ai exposé le problème d'exprimer la fonctionnalité de l'anglance en termes de transformation de fourrier, de formule de poisson. Donc la situation c'est qu'on est sur un corps global F, donc un corps de fonction ou un corps de nombre, et on considère un groupe productif G sur F qui est quasi déployé. Et enfin on considère une représentation de transfert, c'est-à-dire un homomorphisme qui va du produit semi direct du groupe dual de G, donc c'est un groupe productif complexe, un produit semi direct avec le groupe de Galois de F, vers GLR de C, donc c'est une représentation de ce groupe et donc d'après l'anglance, il y a un transfert automorph de G vers GLR qui est induit par ça. Alors donc dans l'exposé 1, j'avais en quelque sorte posé trois problèmes successifs. Le problème 1, c'était consisté à associer à Rho un opérateur de roue transformation de fourrier sur G de Fx en toute place X de F. Et les deux premières propriétés qu'on demandait à cet opérateur de roue transformation de fourrier, ah oui alors c'est un opérateur de quelle forme, donc il a la forme suivante à Fx, on associe sa transformation de fourrier, qui est d'intégrale sur G de Fx, d'indice Rho G, fois une certaine fonction noyau, Kx, donc ici la variable c'est G', de G G', que multiplie F de G. Donc ici on veut une fonction invariante par conjugaison et ici c'est une mesure sur le groupe qui se transforme suivant un certain caractère, enfin suivant la norme d'un certain caractère algébrique, d'être indice Rho, que j'avais introduit. Bon, donc on veut une transformation de fourrier de cette forme, comme ceci est invariant par conjugaison, bien sûr la transformation de fourrier doit être compatible, enfin aux translations à gauche et à droite. Donc on cherche des transformations de fourrier de cette forme et les deux premières propriétés qu'on leur demande c'est l'unitarité, donc ça définit un opérateur unitaire, que ça préserve le produit hermétien, et que ça soit compatible avec le passage au terme constant. Donc le passage au terme constant c'est quand j'ai une fonction F, je lui associe l'intégrale sur une fonction F sur le groupe, sur le radical unipotent de n'importe quel sous groupe parabolique standard, du de F de Tu, voilà, qu'on multiplie. Alors ici, il y a des facteurs de correction, d'abord il y a le facteur classique et delta, enfin le caractère modulaire, delta P de T, norme X à la puissance 1,5, ça, et puis le caractère qui est là, le dette Rho, il s'écrit comme un produit de deux caractères, je note dette G et dette B, bon, et en fait il y a un caractère dette P pour chaque sous groupe parabolique, et ici il y a un terme correctif qui est du dette P, X à la puissance 1,5, donc il y a nécessairement un tel caractère. Donc ça c'est le problème 1, le premier problème qui est posé. Le problème 2, c'est un problème qui se pose en toute place ultramétrique du corps global qu'on considère, en une telle place on doit définir un espace de Rho fonction qui doit vérifier les propriétés suivantes, il est stable par translation à gauche et à droite et stable par la transformation de fourrier, par la Rho transformation de fourrier, on est dans ce cadre là, espace de Rho fonction c'est bien sûr sur G de FX, il y a également des compatibilités avec le passage au terme constance, c'est-à-dire quand on prend une Rho fonction, ces termes constants sont encore des Rho fonction, ces termes constants, ces termes-là, et il doit y avoir une caractérisation spectrale, ce qui est normal étant donné qu'il est stable par translation à gauche et à droite, donc une caractérisation spectrale à la fois de cet espace et de la transformation de fourrier agissant sur lui, et ça signifie que la connaissance de cet espace est équivalente à la connaissance de facteurs L et epsilon, des représentations qu'on appelle l'iss admissible et réductive, celles qui interviennent dans la décomposition spectrale des fonctions, et donc ces facteurs L et epsilon doivent être associés à Rho, voilà, donc j'avais précisé, ça c'était le problème 2, et puis le problème 3, c'était de trouver un, d'avoir une certaine formule de poisson, donc pour avoir une formule de poisson, la première chose à faire, c'est de définir une fonctionnelle de poisson, donc ça veut dire la chose suivante, si on a F est une refonction globale, donc ça veut dire un produit de refonction locale ou une communisation linéaire de tel produit, eh bien on veut pouvoir lui associer quelque chose qui ressemble à l'évaluation sur F sur les points de G à valeur dans le corps de nombre, alors F refonction globale, ça veut dire une fonction sur G des adels, donc on veut F de gamma plus des termes complémentaires, plus des termes complémentaires pour définir quelque chose qu'on va noter entre guillemets sous cette forme là, je mets des guillemets parce que c'est pas une évaluation, mais j'avais proposé une forme conjecturale pour une telle fonctionnelle de poisson, et donc une fois qu'on a ça, la formule de poisson c'est de dire que ceci est égal à la même chose pour F chapeau, voilà. Bon, j'avais proposé, si tu regardes dans mes notes, je donne une formule conjecturale, en fait c'est pas seulement conjecturale parce que je sais que si j'ai la fonctionnalité, alors la définition que je propose de la fonctionnelle de poisson est correcte et elle vérifie la formule de poisson, mais dans l'exposé d'aujourd'hui, à un moment je vais préciser un peu ça, donc voilà, mais disons, la première propriété du terme complémentaire c'est la suivante, c'est que si on prend une fonction globale qui est un produit de fonction locale et qu'en au moins une place, le facteur local est une fonction à support compact dans le groupe, alors le terme complémentaire c'est nul, voilà. Donc ça ne correspond au fait que c'est bien quelque chose qui est sur le bord, c'est-à-dire c'est supporté sur le bord. Voilà, donc ça c'est les problèmes posés. Alors dans l'exposé 2, j'ai résumé l'exposé 1, l'exposé 2, j'avais examiné le cas des tors, c'est-à-dire qu'on a notre représentation de transfert qui induit un homomorphisme entre le tors maximal de G-chapo, qui est le tordoual du tors maximal de G, et qui va vers le tors maximal de GLR, c'est-à-dire c'est-fois puissance R. Et je suppose, ici il y a une hypothèse supplémentaire qu'on fait, c'est-à-dire on suppose que gamma F agit sur l'espace c-puissance R d'euro par permutation des vecteurs de base. Bon alors un ensemble finit muni d'une action de groupe de Galois, bien sûr c'est la même chose qu'une algèbre séparable. Donc ça, ça permet de définir e, une algèbre séparable sur F de degré R, et on définit le tors Te, qui est égal à la restriction d'escalaire à la veille de E à F de GM. Donc c'est un tors de dimension R. Bien sûr si e, c'est F à la puissance R, c'est-à-dire s'il n'y a pas d'action du groupe de Galois, on a simplement GM à la puissance R. Et ce qu'on a alors, c'est que ceci s'identifie au duale du tors Te avec l'action du groupe de Galois, et par conséquent cet homomorphisme admet un homomorphisme dual qui va de Te dans T, et qui est défini sur F. Et en fait on a une suite exacte de tors, avec un noyau que je note T en 10 rôles. Voilà, on a une suite exacte de tors comme ça. Et alors le contenu de l'exposé 2, ça consistait à dire que bien sûr Te se plonge dans l'espace linéaire Te bar, qui est simplement la restriction d'escalaire à la veille de l'espace affine, de la droite affine, et là-dessus, enfin sur les points de ça à valeur dans les adels, bien sûr il y a la formule de poisson linéaire classique. Donc ici il y a une transformation de fourrier, il y a une formule de poisson, et en prenant les invariants sous l'action de ce souter, on en déduit à la fois une notion de transformation de fourrier ici. On en déduit une notion de refonction à chaque place, on prend les fonctions localement constantes à support compact ici et on les intègre. Alors on obtient ici des fonctions qui ne sont plus localement constantes à support compact, mais c'est des fonctions qui sont obtenues à partir de celle-là par ce processus et on a pour ces fonctions, pour les rôles fonctions globales, on a une fonctionnelle de poisson bien définie et qui vérifie la formule de poisson. Alors quand je dis bien définie, déjà dans ce cadre-là, les termes complémentaires, les termes du bord, ce n'est pas donné par des évaluations. C'est des choses tout simplement parce qu'on peut effectivement prendre le quotient de ça de T bar par terreau, mais les points sur le bord se mettent à avoir des fixateurs beaucoup plus gros et donc ce n'est pas une évaluation, c'est quelque chose d'un peu plus complexe, donc voilà on avait ça. Et puis alors donc ça c'était l'exposé 2 et enfin l'exposé 3 c'était un exposé de calcul sur GL2, c'est-à-dire qu'on considérait la chose suivante dans le cadre de l'exposé 3. On prenait G chapeau, le doigt est égal à GL2 de C divisé par les racines KM de l'unité communie de la représentation Rho qui est la puissance symétrique KM. Donc c'est le GL2 de, pardon GLK plus 1 de C et donc on avait, G chapeau était duale d'un certain groupe G qui s'inscrivait dans un carré cartésien comme ça, donc il y avait GL2 ici GM, ici on va vers GM, ici on a le déterminant et là c'est simplement l'évaluation à la puissance K. G était obtenu comme produit fibré comme ça. Voilà, c'est en quelque sorte les représentations irréductibles de GL2. Donc on avait examiné ce cas-là et dans ce cas-là on avait montré, enfin on avait montré, on avait fait des calculs en fait assez compliqués et qui jusqu'à présent sont des calculs au moins en partie formel, c'est-à-dire que je n'ai pas vérifié toutes les convergences et les échanges d'intégral qu'on a, mais modulo cette vérification et là j'assiste encore une fois sur le fait que c'est pas, ça a encore besoin d'être vérifié, mais modulo cette vérification on avait dans ce cas-là montré comment définir des noyaux, c'est-à-dire des fonctions COX comme j'ai dit ici, qui vérifient les deux propriétés, c'est-à-dire qui vérifient les conditions du problème 1, c'est-à-dire à la fois ça définit un opérateur unitaire. Deuxièmement c'est compatible avec le passage au terme constant, donc on l'avait montré dans l'ordre inverse, d'abord que c'est compatible avec le passage au terme constant, c'est-à-dire bon ici il y a un seul sous groupes paraboliques qui est le borrel, donc la compatibilité avec la transformation de fourriers sur le tord de GL2, qui est déjà défini par Caussiand après l'exposé 2, et donc on avait défini ça, ensuite on avait vérifié que donc par des calculs formels qu'il suffisait d'avoir pour que la propriété d'unitarité soit vérifiée, donc pour les noyaux que j'ai introduits il semble que ça soit vérifié, mais encore une fois modulo c'est vérification de convergence et d'échange d'intégral, et puis en fait là on avait réalisé la chose suivante, c'est-à-dire que le calcul que j'avais fait pour démontrer la propriété d'unitarité en fait semblait donner une propriété supplémentaire qui était la chose suivante, c'est-à-dire que pour regarder la propriété d'unitarité ce qu'on faisait c'est qu'on prenait deux fonctions, F' et F' et on regardait leur transformé de fourriers et on intégrait. On cherchait à calculer cette intégrale et on cherchait à montrer que c'était le produit d'hermiciens de F' et F' et puis on avait donc ce calcul donc s'il est correct, pour le moment c'est un calcul formel ou au moins un parti formel mais s'il est correct il indique sous quelle condition le noyau qui définit la transformation de fourriers vérifie la propriété d'unitarité mais ce qu'on avait fait ensuite c'est qu'on avait remarqué que dans le calcul on pouvait aussi reprendre les mêmes arguments avec non pas deux fonctions mais trois fonctions et alors ça ça correspond à faire la chose suivante ça correspond à s'intéresser à la transformation de fourriers de la multiplication c'est-à-dire donc ça c'est une remarque toute bête absolument évidente en un sens mais ma connaissance n'avait jamais été étudiée c'est la chose suivante c'est que quand on est dans le cas de la transformation de fourriers classiques bien sûr on sait que la multiplication correspond au produit de convolution le produit de convolution est défini par les translations additives bon les translations additives c'est une structure qu'on a dans le cas linéaire classique qu'on risque pas d'avoir dans le cas général par exemple déjà dans ce cas là évidemment on l'a pas dès que K est au moins égal à 2 ce qui existe toujours dans ce cas là c'est le produit point par point des fonctions et donc on peut se demander qu'est-ce qu'on peut dire de la transformation de fourriers du produit point par point des fonctions ça a un sens de se poser cette question et de se demander si par hasard il n'y a pas des choses intéressantes à dire là-dessus et alors la propriété qu'on avait qu'on avait vu apparaître la dernière fois dans ce cas là à travers ce calcul qui pour l'instant est un calcul formel mais dans lequel j'ai quand même une certaine confiance donc c'est la propriété qu'on avait vu apparaître par le calcul c'était la suivante c'était que cet opérateur de transformation de fourriers de la multiplication point par point stabilise l'autor donc il stabilise le sous-groupe de Borel donc ça veut dire la chose suivante donc voilà l'énoncé donc on avait vu apparaître dans ces cas là mais qui a bien sûr un sens en général et en fait ce que je vais faire aujourd'hui c'est essayer d'explorer en supposant qu'on a une transformation de fourriers qui vérifie ça en fait je pense que si les calculs que j'ai fait pour GL2 sont corrects ça devrait marcher aussi pour un groupe arbitraire mais donc pour le moment bien sûr c'est pas démontré et même dans le cas de GL2 il y a des vérifications à faire que jusqu'à présent je n'ai pas fait mais donc aujourd'hui on va simplement se fonder là dessus donc la propriété la suivante on suppose qu'on est sur g2f2x et on suppose qu'on a deux fonctions sur g2f2x qui sont continues plus de carré intégrable donc on a bien on peut parler de la transformation de fourriers de ces fonctions je peux parler de f2 chapeau et de f1 chapeau et je suppose que les transformations de fourriers sont reliées par une formule qui a la forme suivante alors ici ça c'est quoi ? c'est une fonction unitaire fonction unitaire qui va de g2f2x dans le cercle alors bien sûr la multiplication par une fonction unitaire définit un un automorphisme unitaire de l'espace des fonctions de carré intégrable et on peut se demander quelle est la transformation de fourriers de cet automorphisme et donc la propriété c'est la suivante donc supposons qu'on ait une telle fonction unitaire telle que sa transformation de fourriers vu comme une distribution ça a un sens de le regarder c'est-à-dire comme une forme linéaire est supportée par le tort supposons qu'on ait une fonction unitaire qui vérifie sa propriété là sa transformation de fourriers est supportée par le tort alors sous saisi donc cette hypothèse là implique la chose suivante ça implique que f2 restreint au tort ne dépend que de f1 restreint au tort donc vous voyez que la transformation de fourriers dans cette forme généralisée et déjà dans le cas classique linéaire c'est quelque chose qui bien sûr ne stabilise rien on a une fonction on prend sa transformation de fourriers la valeur de cette transformation de fourriers en un point dépend de la fonction qu'on a transformé en tous les points c'est pas du tout localisé au contraire ça mélange complètement les choses mais en revanche la multiplication par une fonction ça c'est ponctuel et puis quand on prend l'opérateur de multiplication par une fonction et qu'on le conjugue par la transformation de fourriers a priori on sait pas et donc la propriété qui est apparue la dernière fois dans le calcul enfin dans le calcul formel c'est que si ce calcul est correct eh bien malgré tout dans cette situation là on voit que la conjugue de la multiplication par phi par la transformation de fourriers vérifie une certaine propriété de localisation c'est à dire que la valeur d'une fonction en un point du tort ne dépend que de la valeur de la fonction de départ en les points du tort vous voyez que par exemple pour la transformation de fourriers classiques le produit de convolution vérifie cette propriété parce que quand vous avez donc là le produit de convolution il est donné par la somme si vous avez deux éléments du tort leur somme est encore dans le tort mais donc ce qui a apparu dans le calcul la dernière fois c'est que apparemment cette propriété reste vrai au moins dans ce cas là donc je vais supposer aujourd'hui enfin je vais essayer d'utiliser le fait que peut-être cette propriété est vraie en général en tout cas je vais m'intéresser voilà donc j'ai fait mon résumé je vais m'intéresser à la aux opérateurs de unitaires de multiplication par des fonctions unitaires et à leur transformer de fourriers une question qui est que quand on prend la transformation de fourriers classiques sur R oui il y a une formule qui la donne qui fait intervenir opérateur de multiplication par des fonctions unitaires qui est le rapport de la valeur de la fonction gamma avec sa conjugue sur la droite à 2000 plus IS à 2000 plus IS sur D oui c'est à dire que ce qu'on sait c'est que la transformation de fourriers c'est le produit de l'inversion par la convolution par la transformation de fourriers de cette fonction et ça c'est exactement l'opérateur comme unitier la question que je me pose c'est est-ce qu'il y a un analog de ça dans ton cadre oui donc je ne sais pas parce que je veux dire ça c'est une chose extrêmement frappante de la transformation de fourriers c'est-à-dire que la transformation de fourriers de manière secrète c'est simplement une convolution par au niveau du groupe multiplicatif oui et la raison elle est simple non mais c'est certes enfin la formule qui la définit c'est une convolution oui bien sûr non mais ce que je veux dire c'est que oui oui sauf que tu as la version tu as la version c'est la version c'est la composition de l'inversion avec une formule de convolution mais cette formule de convolution il te fait que justement c'est la convolution son groupe multiplicatif par une fonction dont la propre transformation de fourriers oui donc donc là aujourd'hui je vais parler d'autres choses alors donc je veux parler des opérateurs unitaires de multiplication et donc d'abord je vais examiner le cas des torts donc fonction unitaire sur les torts les torts quotients à la situation que j'ai écrite là-bas donc je suis dans cette situation que j'ai écrite alors dans cette situation il y a une définition évidente qu'il faut poser qui est que bon le torts le torts t est écrit comme un quotient de ce torts mais on peut également former le quotient de cette variété qui est une variété torrique par ce sous torts et ici en quotient on va obtenir une variété torrique de torts t donc la définition c'est la chose suivante donc je vais noter t bar égal t e bar avec la notation de là-bas divisé par l'action du torts téro alors ça veut dire quoi donc ici ça c'est quoi c'est une variété torrique de torts t avec mes notations alors une variété c'est une variété torrique affine bien sûr c'est le quotient avec chose d'affine on sait qu'une variété torrique affine c'est donnée par un conne convex polyhédrale donc là on peut préciser quel est le conne convex dans le groupe des co-charactères eh bien c'est le conne engendré par alors qu'est-ce que c'est que les rotéis c'est les composantes de roté ça va de t chapeau dans ces fois la puissance r voilà donc les rotéis sont des caractères de t chapeau autrement dit ce sont des co-charactères de t je considère le conne convex engendré voilà et bon donc le conne dual c'est l'ensemble des caractères de t tel que le produit scalaire avec les rotéis et supérieur ou égal à zéro quel que soit il donc cette variété torrique est définie par ceci ou bien par cela alors une remarque qu'on peut faire c'est que ce conne bien sûr est stable par l'action du groupe de Galois donc ça a une conséquence c'est que cette variété torrique est définie sur F d'autre part une autre propriété importante qu'on va utiliser plus tard c'est que ce conne est aussi stable par l'action du groupe de Veil parce que cette représentation provient d'une représentation du groupe donc cette chose là est stable par l'action du groupe de Veil alors donc on a cette définition alors maintenant on a un l'M oui avant que je oui alors ici cette chose là c'est quoi c'est qu'est ce que c'est qu'un caractère comme ça c'est donc un caractère de T un caractère tel que il se prolonge en amorphisme équivariant de T bar dans A1 c'est la définition de ce conne là je suis en train de dire des propriétés générales des variétés torriques alors maintenant prenant un tel caractère dans le conne X T bar associé à cette voilà exactement donc il n'y a pas de pôle donc c'est partout défini sur T bar alors je me donne un tel caractère bon ce caractère il n'est pas nécessairement fixé par l'action du groupe de Galois mais je peux regarder l'orbite de ce caractère pour l'action du groupe de Galois c'est un ensemble finit mais dit d'une action du groupe de Galois donc il lui correspond une algèbe séparable pardon il lui correspond un corps, c'est l'action est transitive je prends l'orbite donc un corps extension finie de F voilà je note ça à E qui je vais toujours utiliser cette notation dans un premier temps bien sûr vous pouvez penser E qui égale F voilà donc ça correspond à l'action de Gamma F donc c'est une extension finie de F ça correspond à l'action de Gamma F sur l'orbite du caractère Q alors la première propriété bien sûr c'est que on a quand on prend la collection de QI et de c'est transformé par l'action du groupe de Galois eh bien on obtient quelque chose qui est défini sur F que j'appelle QI F et qui va de T dans la restriction d'escalaire à la veille de E qui a F de GM donc ça c'est au niveau des tors c'est un homomorphise de tors comme ça mais ensuite ça se prolonge donc on a un morphise comme ça voilà et donc la deuxième propriété c'est que si qui décrit tout le cône XT bar eh bien bien sûr ou pas seulement ou peut-être pas tout le cône mais simplement une famille de générateurs de ce cône alors ces morphismes associés fournissent un système complet de coordonnées ce propriété général des variétés toriques bon alors donc voilà on a ça alors ça ça nous permet de définir de manière tout à fait tout à fait facile ça nous permet de définir des fonctions unitaires donc c'est une définition supplémentaire donc on se donne un tel caractère appartenant à XT bar et puis on prend une place de F quelconque même marche immédiat n'éventuellement et enfin on se donne un élément que je note c1d6 qui est dans e qui x alors e qui x ça veut dire quoi ? ça veut dire e qui produit temps sur f c'est encore completé de f en la plastix bon donc je suppose que j'ai ça et alors je peux lui associer une fonction unitaire c'est à dire une fonction qui définit non pas simplement sur t de fx mais sur t bar de fx à valeur dans le cercle alors la fonction elle est définie comment ? c'est le composé de la chose suivante je prends t bar de fx d'abord par qui f je l'envoie dans ceci à valeur dans fx c'est à dire dans justement e qui x c'est ce schéma là de fx bon et puis là je peux me permettre de multiplier par l'élément cx que j'ai choisi qui est arbitraire donc je reste dans e qui x et puis là sur e qui x je dispose de l'homomorphise la trace qui va dans fx d'accord la trace d'une algebe séparable sur fx et enfin je rappelle que j'ai choisi une fois pour toutes un caractère additif non trivial qui va des adels de f divisé par f dans le cercle unité et donc ça a un sens de composé ici par ce caractère et comme ça je vais dans e voilà donc je pose cette définition et comme ça j'ai en fait une famille très large de fonctions unitaires associées vous voyez à quelle donnée donc bien sûr je choisis une place ici pour une place que je choisis je prends un caractère arbitraire du cône et puis ici un coefficient qui permet simplement le coefficient consiste à remplacer le caractère x par un autre caractère additif donc je fais ça et évidemment je récupère une grande famille d'opérateurs unitaires alors maintenant il y a ici j'appelle ça une proposition mais c'est pas difficile du tout donc je prends x une place ultramétrique de f alors la multiplication par les fonctions que je viens d'introduire préserve les espaces de refonctions en toute place, en toute place ultramétrique et alors ça c'est facile parce que donc pour la démonstration c'est la chose suivante c'est que vous avez t bar de fx mais alors t bar de fx on a dit c'est le quotient de te bar de fx et les roues fonctions ici elles sont déduites des fonctions ici par intégration et ici les roues fonctions sur cet espace linéaire c'est simplement les fonctions localement constantes à support compact donc supposez que vous ayez votre fonction 1 qui cx à valeur u21 vous pouvez prendre son image réciproque ici vous récupérez ici une fonction qui est sur t bar de fx et qui est bien sûr localement constante donc si vous prenez une fonction localement constante à support compact vous la multipliez par une fonction localement constante vous gardez une fonction localement constante à support compact et voilà la proposition est démontrée les fonctions unitaires sur t bar donc quand je les vois comme des fonctions unitaires ici elles sont un variant de par terreau c'est tout cette proposition elle est complètement trivial elle nous dit que ces opérateurs préservent ces fonctions préservent l'espace des refonctions et évidemment il y a une conséquence c'est que la transformée de fourriers de ces opérateurs préserve aussi l'espace des refonctions donc je dis ça dans ce sens-là mais ici on peut faire des remarques c'est que supposons qu'on ne connaisse pas l'espace des refonctions plus exactement supposons qu'on en connaisse seulement une, une refonction non nulle n'importe laquelle et considérons le plus petit sous-espace qui contient cette refonction qui est stable par addition par translation multiplicative qui est stable par transformée de fourriers et qui est stable par ces opérateurs alors c'est tout l'espace des refonctions c'est une simple remarque maintenant je viens de parler de la transformation de fourriers de ces opérateurs donc déjà je peux définir je peux regarder la transformée de fourriers de ces fonctions elles-mêmes de ces fonctions unitaires alors de manière plus générale si je considère phix de t de fx dans u2a une fonction mesurable bien sûr enfin je mets pas d'autres hypothèses eh bien je peux lui associer sa transformation de fourriers simplement comme formelinaire donc la formelinaire de la transformée de fourriers de cette fonction phix c'est quoi ? eh bien c'est l'intégral sur t de fx d t phix de t fois la transformée de fourriers de t alors ici quand est-ce que c'est défini il faut prendre ici des fonctions de carré intégrable plus la propriété que la transformée de fourriers de la fonction est intégrable donc ça me définit un certain espace et ceci est défini en tant que formelinaire sur cet espace voilà en fait non on n'a pas besoin parce que le noyau vérifie la propriété que donc ce noyau k k k de l'élément t il vérifie la propriété que k de t bar est égal à k de moins t comme dans le cas classique et ça ça dit que je peux il n'y a pas besoin de bar c'est vraiment ça alors maintenant j'ai maintenant que j'ai défini la transformation de fourriers des fonctions unitaires donc je reviens aux fonctions e qui cx défini comme là bas et bien sûr je dispose aussi de un qui cx que je peux composer avec la projection je dispose de ces deux fonctions alors qu'est ce qu'on se l'aime si simplement la transformation de fourriers de ceci la transformation de fourriers de ça alors d'abord quand je prends cette donc je prends ceci je regarde sa transformation de fourriers donc c'est la transformation de fourriers sur l'espace linéaire t e bar et bien sûr j'ai que ceci est invariant par terreau deuxièmement si on a une fonction fx sur t e de fx et une fonction fx sur t de fx tel que la fonction fx soit obtenue à partir de la première par intégration le long des fibres ce que je note comme ça l'image direct et puis bon avec des hypothèses que les deux soient de carrière intégrable que leur transformation de fourriers soit intégrable on a dans ce cas que la transformation de fourriers en bas de la fonction fx est égale à la transformation de fourriers en haut d'autres fonctions appliquées à la fonction fx donc on a cette propriété on a cette propriété alors donc l'avantage de cette propriété c'est que bien sûr on connaît beaucoup mieux la transformation de fourriers en haut et en particulier on sait comment est-ce qu'on porte au niveau des supports alors afin de parler des supports on est obligé de faire des rappels sur la théorie des variétés théoriques donc là ce que je vais dire et d'abord une variété théorique à fines donc je considère cette variété théorique thé bar de torté sur f alors d'abord ce qu'on sait c'est que les orbites alors les orbites géométriques les orbites sur un corps sur f bar les orbites géométriques de thé bar pour l'action de thé sont en oeuvre finie et elles correspondent objectivement au face du cône x t bar il y a une orbite pour chaque face alors donc ces orbites on va les noter t indice c c'est l'orbite qui correspond à la phase c on sait que c'est des chemins localement fermés qui sont définis sur toute extension finie de f f prime tel que la phase soit stabilisée par le groupe de galois gamma de f prime on sait ça on sait encore que toute orbite comme ça possède un unique point base donc qu'est ce que c'est qu'un point base ? c'est un point en lequel tous les caractères de x t bar prennent soit la valeur 0 soit la valeur 1 donc dans chaque orbite il y a un seul point comme ça et donc on sait que c'est c'est enfin c'est l'orbite de ce point base le point base est défini sur le même corps que l'orbite elle-même et on a que la dimension de la face est égale à la dimension de l'orbite enfin la dernière propriété c'est que quand on a 2 orbites tc et tc prime on sait que tc est contenu dans l'adhérence de tc prime si et seulement si c est une face de c prime donc la combinatoire des orbites correspond exactement à la combinatoire des phases du polyètre alors donc voilà on a ce l'M la variété torique et donc maintenant ce l'M nous permet d'examiner la question des supports donc c'est la proposition suivante donc on considère une face définie sur fx donc on est en une certaine place on considère une face définie sur fx et on se donne un caractère élément de cette face le contenu de la proposition suivante la proposition c'est la suivante considérons une fonction fx de t de fx dans c qui est de carré intégrable on suppose que fx chapeau est intégrable pour pouvoir parler de l'image de la et enfin on suppose que fx est supporté par une partie compacte de t bar alors attention là je dis pas que le support de fx est compacte dans t de fx je dis que fx est supporté par une partie compacte de t bar de fx qui ne rencontre pas t bar c c'est l'adhérence de tc de fx alors eh bien si vous prenez la fonction 1 qui cx sa transformation de fourrier et que vous l'appliquer au point à la fonction fx vous obtenez 0 c'est que quand vous avez ces fonctions unitaires 1 qui cx eh bien leur transformé de fourrier si qui est dans une face la transformé de fourrier de cette fonction est supportée par par la strate associée à cette face alors ça dans le cas de la transformation de fourrier classique c'est évident vous prenez par exemple l'espace assis de dimension de dimension r avec des coordonnées x1,x2,xr et par exemple vous prenez le caractère x1 la première coordonnée x1 c'est une arrête sur le cône il est engendré c'est le cône c'est n à la puissance r donc x1 c'est une arrête bon elle a transformé de fourrier de psyx de x1 c'est le point qui a pour coordonnée 1,0,0,0,0 c'est l'évaluation on voit bien que le point 1,0,0,0,0 il est dans la face associée donc ça c'est le propriété là donc elle est évidente sur elle est évidente sur te bar parce que vous voyez que sur te bar c'est quoi sur te bar vous regardez les coordonnées celles des coordonnées qui sont nulles donc vous prenez un caractère un élément de n à la puissance r et donc ce caractère il s'écrit x1 la puissance r x2 la puissance r et vous regardez quels sont les exposants qui sont nulles alors quand il y a des exposants nulles ça veut dire que le caractère est constant qui ne dépend pas de cette coordonnée la transformation de fourriers ça veut dire que la transformation de fourriers de ces caractères ça veut dire que en ces points là la coordonnée est 0 donc sur te puissance r c'est évident et la propriété passe au quotient à cause du lait voilà ok alors maintenant j'ai fait une chose en chaque place mais je peux aussi passer aux adels alors donc ça veut dire que maintenant je considère le caractère qui est le produit des psyx qui va des adels dans le cercle unité et puis il est invariant par F et bon ben c'est la la même chose que tout à l'heure donc c'est une définition je prends un caractère dans xt bar et je prends un élément arbitraire dans les adels de ça les adels de qui bon et maintenant j'ai une fonction associée donc ça c'est une famille d'éléments cx en toutes les places et donc j'ai la fonction le produit sur tous les x des fonctions equi cx en chaque place donc cette chose là cx1 qui c alors qu'est ce que c'est que cette chose là c'est quelque chose qui va de t bar de t bar de A alors d'abord vous prenez l'image par qui F donc ici vous allez dans E qui produit tensoriel sur F avec A les adels de E qui donc on peut noter simplement A E qui les adels de E qui ici vous avez l'homme morpheus de multiplication par C là vous composez ça avec la trace vous allez dans les adels tout court et là vous composez ça avec Psi et vous arrivez dans le cercle unité voilà donc on a ces fonctions là qui sort des produits de fonctions en toutes les places alors alors donc voilà c'est une définition et alors ici il y a une remarque importante triviale ce paragraphe essentiellement triviale ensuite ça va se corser mais la remarque triviale c'est la chose suivante c'est que supposons vous voyez j'ai pris un élément C qui est un élément des adels de E qui mais dans les adels de E qui il y a des éléments privilégiés qui sont les éléments de E qui supposons que je prenne un élément de E qui et bien alors ça dit la chose suivante c'est que cette fonction un qui C qui est une fonction sur T bar de A à valeur dans le cercle unité et bien les éléments de T bar de F, elle les envoie sur 1 donc elle ne change pas la valeur des éléments rationnels alors la formule de poisson au moins dans le cas classique c'est quoi ? c'est l'évaluation sur les éléments rationnels donc si vous êtes dans le cas classique ça veut dire que vous avez une fonction dans le cas linéaire simplement vous avez une re fonction et vous prenez la somme de ces valeurs en les éléments rationnels et alors là c'est complètement évident que la multiplication par cette fonction préserve la fonctionnelle de poisson et alors ici on a une proposition qui est la proposition suivante donc je me donne un qui appartenant à quitter bar et un élément c appartenant aux adels de Q alors d'abord la multiplication par ces fonctions préserve l'espace des rôles fonctions globales c'est la première propriété on l'a déjà dit localement alors les places archimédiennes quand il y a des places archimédiennes sur le corps de nombre donc ici bon j'ai pas défini les rôles fonctions mais ce qu'il faut faire c'est qu'on va élargir l'espace des rôles fonctions pour que cette propriété soit vraie et en élargissant c'est à dire on veut que ça soit stable par multiplication par ces fonctions ce qui bien sûr ne dérange pas du tout c'est à dire ça ne fait rien sur les propriétés de convergence etc c'est à dire ça c'est des fonctions qui sont très gentilles du point de vue de la multiplication donc voilà ça préserve l'espace des rôles fonctions globales sur les corps de fonctions de toute façon on l'a déjà vu et la deuxième propriété c'est que si c appartient à e qui si c est un élément rationnel alors la fonctionnelle de poisson qui n'est pas une évaluation j'insiste sur le fait que cette fonction ne se prolonge pas au bord c'est pas une évaluation mais quand même ceci est fixé cette fonctionnelle est fixé par l'opérateur de multiplication par un qui c alors donc ça c'est évident dans le cas de te bar et pour le déduire pour t bar en fait c'est pas évident du tout il faut une démonstration donc pour faire la démonstration il faut rentrer de manière plus précise dans la définition de ces choses-là donc la manière dont sont définies dont on fait les choses vous voyez que en fait ceci est définie par passage au quotient à partir de la fonctionnelle de poisson linéaire alors qu'est-ce qu'on fait supposant qu'on ait une vraie fonction qui s'écrit par intégration le long des fibres qui se déduit par intégration le long des fibres d'une fonction sur la en haut alors pour la fonction en haut on la décompose spectralement et alors la fonctionnelle de poisson s'écrit comme des intégrales de contour d'accord c'est-à-dire on a des fonctions analytiques et la valeur de la fonctionnelle de poisson classique standard enfin l'évaluation, la vraie évaluation sur les éléments rationnels ça s'écrit simplement comme donc une intégrale sur une droite verticale moins des enfin ou plus enfin c'est une communisation linéaire de cette intégrale et d'intégrale sur des sous-espace qui apparaissent par des résidus, les résidus des pôles bon alors quand on veut passer de de TR à T qu'est-ce qu'on fait on a nos nos fonctions analytiques et on les restreint sous-espace le sous-espace est défini par le fait que Théro agit trivialement on restreint sous-espace évidemment on a des fonctions analytiques on les restreint sous-espace ça reste analytique et là la valeur de la fonctionnelle de poisson c'est défini de la même façon c'est des d'abord un terme principal qui est une intégrale de contour et puis des termes complémentaires qui sont des intégrales sur des sous-espace définis par résidus donc ce qu'il faut comprendre c'est le sens de la formation de ces résidus bon et alors ce qu'on fait c'est que en fait disons cette chose-là s'écrit comme donc un terme principal gamma appartenant à T2F de gamma des termes qui sont indexés par les chaînes de face de c vous voyez une chaîne de face où chacune est une phase de co-dimension n de la précédente de F de c1 c2 ck évalué donc ici vous faites la somme sur des éléments gamma appartenant à la trate associée à ck de F de ceci et alors là vous avez que F de c1 ck c'est une fonction sur Tb sur T ck de A qui se déduit de F de c1 ck-1 donc fonction définie sur T ck-1 de A par un processus compliqué de résidus mais ce que signifie ce processus compliqué de résidus c'est en particulier que ceci ne dépend de cette fonction que dans des voisinages arbitrablement petits de la strate associée à ck dans ck-1 bon et vous faites ça et vous évaluez en les points rationnels et alors ce que vous du fait même que ce processus est local il commute avec la multiplication par la fonction inquisse et ensuite quand on évalue en les parationnels ceci disparaît donc j'ai donné le schéma de la démonstration donc ici on a un résultat un résultat voilà qui dans le cas du quotient n'est pas trivial du tout le fait que les opérateurs de multiplication par ça à la fois préservent l'espace des re-fonctions globales et préservent la fonctionnelle de poisson donc on peut en déduire la même chose pour les transformer de fourriers de ces opérateurs voilà donc j'ai fini pour le tort alors je sais pas si on fait une pause maintenant ou un peu plus tard bon d'accord d'accord donc on fait une pause voilà on fait une pause et on reprend tout à l'heure voilà donc maintenant je voudrais parler je voudrais passer au groupe groupe G le paragraphe précédent c'était sur les torres donc là j'ai besoin d'abord de définitions qui sont des définitions générales de théorie des groupes alors d'abord si on a de manière générale un groupe réductif sur un corps K et donc dans ce cas là on appelle semi-groupe donc c'est une définition ce qu'on appelle un semi-groupe G bar de groupe G donc c'est une variété affine intègre donc G bar et vous voyez affine intègre G bar contenant G bon je vais même mettre géométriquement normal tous les semi-groupes que je considérais sont géométriquement normal c'est à dire normal sur la la clôture algébrique du corps de base donc donc ça doit contenir G comme un ouvert dense et on veut que le morphiste de multiplication se prolonge se prolonge en amorphisme de G bar fois G bar dans G bar voilà amorphisme voilà c'est tout ce qu'on demande donc c'est la définition d'un semi-groupe et alors ici il y a un résultat important donc qui est le suivant donc je considère comme ici un groupe productif même je vais prendre qu'il est quasi déployé sur le corps de base les groupes productifs qu'on considère sont toujours quasi déployés avec donc si il est quasi déployé ça veut dire que dedans il y a une paire de borrel pour le groupe G et définit sur le corps de base K cette situation se donner un semi-groupe G bar de groupe G équivaut à se donner dans XT dans le réseau des caractères du zore maximal de G de se donner un cone polyhédrale XT bar mais alors là vous voyez c'est exactement comme pour les variétés de tour et café mais bien sûr pour qu'il y ait une structure de semi-groupe il y a des propriétés supplémentaires qui sont nécessaires qui doit être stable par l'action du groupe de vale et puis enfin si on veut que le semi-groupe soit défini sur le corps de base il faut la dernière propriété que ça soit stable par l'action du groupe de galois du corps de base donc si on a un cone polyhédrale un cone convex polyhédrale XT bar qui vérifie ses propriétés enfin se donner en tel cone convex c'est là équivaut à se donner en tel semi-groupe donc l'exemple classique de semi-groupe bien sûr c'est dans M-R et plongé dans M-R et matrice et d'ailleurs tous les semi-groupes se déduisent de ça car quand vous avez une représentation d'un groupe productif vous envoyez G dans GLR vous pouvez vous considérez l'adhérence schématique de l'image de G dans M-R ça vous définit un semi-groupe et tous les semi-groupes obtiennent de cette manière là mais ça c'est une manière concrète de les construire ici ce qu'on a c'est une description combinatoire se donner un semi-groupe c'est équivalent à ça et on a en plus que dans cette correspondance vous voyez qu'ici il y a un cone X-T bar qui apparu donc X-T bar définit la variété T bar qui est l'adhérence de T alors T c'est le torre maximal de G donc son adhérence dans G bar l'adhérence de T dans G bar c'est la variété de torrige de torté et bien en fait c'est la variété de torrige définie par le même conne convex polyédrale que G bar donc on a cette correspondance voilà donc ça c'est le point 2 et enfin il y a un point 3 qui va être très intéressant pour nous le point 3 c'est le suivant donc je dispose de ce groupe de borrel B et bien sûr c'est le produit du torre par son radical unipotent et je dispose aussi du sous-groupe de borrel opposé dans le cas de GLR prendre l'opposé ça veut dire considérer les matrices triangulaires supérieures et les matrices triangulaires inférieures mais ceci a un sens dans n'importe quel groupe productif on dispose de ces deux choses-là et maintenant je peux regarder le quotient de G bar par l'action à droite de NB et l'action à gauche de NB hop donc j'ai une variété affine et je la quotient par l'action d'un groupe donc je sais que le quotient existe en tant que variété affine normal géométriquement normal les éléments génériques de G c'est écrit comme le produit d'un élément de NB hop d'un élément de NB et d'un élément du torre donc ça veut dire que ceci muni de l'action du torre à gauche ou à droite c'est une variété torrique de torté et si c'est une variété torrique de torté il lui correspond à certains cônes alors cette variété torrique de torté est associée à un certain cône saturé XT bar plus qui est un sous cône de XT bar donc c'est contenu dans le réseau des caractères alors qu'est ce que c'est que XT bar plus c'est l'ensemble des caractères de XT bar qui sont dominants alors je rappelle que dominant ça signifie que le produit scalaire de K avec A est supérieur ou égal à 0 pour toute co-racine positive voilà donc on a ces résultats-là de manière générale non alors maintenant on revient à notre situation de notre groupe réductif quasi déployé sur F et on a la représentation de transfert qui va de G Chapeau produit semidirect vers gamma F vers GLR de C et qui induit un morphisme qui va de T Chapeau donc ce morphisme on l'appelait Roté ça va de T Chapeau dans C fois puissance R et donc c'est au moment morphisme de R caractère voilà donc enfin on a toute la situation décrite précédemment et maintenant on sait que cette famille de caractère est stable à la fois par l'action du groupe de Galois j'ai supposé que le groupe de Galois j'y sais par permutation et il est stable par l'action du groupe de Veille les deux, stable par l'action du groupe de Veille et stable par l'action du groupe de Galois donc le cône engendré XT bar est stable par gamma F et par le groupe de le groupe de Veille de G donc ça permet de poser la définition suivante dans cette situation on va noter G bar le semi-groupe associé à G pardon le semi-groupe de groupe G associé à T bar donc le voilà c'est une définition donc le semi-groupe de groupe G associé à T bar associé à XT bar simplement du fait que ce cône est stable à la fois par l'action du groupe de Veille donc on a bien un semi-groupe et il est stable par l'action du groupe de Galois donc ce semi-groupe est défini sur F donc on a ces deux propriétés voilà maintenant on peut faire la construction suivante donc on considère un élément de XT bar plus donc ça veut dire un élément de XT bar qui est dominant donc on a un morphisme induit enfin un homomorphisme qui va du torté dans le tort déduit de GM par restriction des scalères à la veille de E qui AF et donc la conséquence de ce qu'on a dit précédemment c'est que ce homomorphisme qui F se prolonge en un homomorphisme qui va de G bar divisé par NB à droite par NB hop à gauche donc cette chose-là ce caution-là on peut l'appeler T bar plus vers la restriction des scalères à la veille de E qui AF de A1 donc on a un tel homomorphisme de variété torique plus variant de variété torique et bien sûr si qui décrit le cône XT bar plus donc ces fonctions-là l'E qui AF fournissent un système de coordonnées forme un système de coordonnées sur ce quotient donc voilà on a on a ceci bien sûr pour le point 2 il suffit de prendre une famille génératorie alors maintenant une fois qu'on a ce corollaire on peut faire la même construction que précédemment dans le cas des torres donc on considère un caractère de XT bar qui est dominant et maintenant je peux me placer je choisis une place quelconque du corps je me place sur G bar de FX et maintenant je peux conscienter des deux côtés par le radical unipotent NB et par son opposé et j'obtiens un morphisme donc cette vers d'abord T bar plus de FX T bar plus et G bar sur NB hop, NB de FX donc là c'est évident je peux composer avec l'homomorphisme qui AF et là je me retrouve à valeur dans E qui X et je peux faire la même chose que tout à l'heure je peux composer ça avec la trace qui va vers FX puis avec le caractère Psi X qui va dans U21 donc je peux composer et ça ça me fournit la définition définition suivante c'est la définition de fonction unitaire sur le semi-groupe G bar et donc sur le groupe G donc je considère un caractère comme ça je considère une place quelconque et enfin je considère un élément CX de E qui X bon ben qu'est ce que donc j'ai une fonction unitaire associée un G qui CX vous voyez ici je mets un G en exposant c'est plus une fonction unitaire sur le tord c'est une fonction unitaire sur le semi-groupe donc ça va de G bar de FX divisé par NB de FX et NB hop de FX donc je prends la fonction que j'ai là donc je vais vers E qui X là je multiplie par l'élément CX donc je reste dans E qui X je compose avec la trace FX et puis je compose avec le caractère PX et j'arrive dans U2A donc les fonctions définies de cette manière-là sont des fonctions unitaires des fonctions à valeur unitaire et donc elles sont bien définies de cette manière-là alors donc on a ces fonctions unitaires et maintenant on peut s'intéresser à leur transformation de fourrier donc ça veut dire que on suppose déjà construit un opérateur de ro transformation de fourrier sur G de FX donc cet opérateur je le note à FX j'associe FX chapeau donc je suppose qu'il est déjà construit donc il est il est défini par une certaine fonction noyau et on suppose qu'il vérifie les propriétés du problème 1 que j'ai rappelé tout à l'heure c'est-à-dire il est unitaire et il est compatible avec le passage au terme constant sur B c'est-à-dire avec le morphise qui a FX associe FX NB donc FX NB c'est quoi ? c'est l'intégral sur NB de FX DU de FX de la variable que multiplie U et ceci doit être corrigé par delta B de T norme X à la puissance 1 demi fois le dette B de T norme de X à la puissance 1 demi donc on suppose qu'on a ça on a cet opérateur de retransformation de fourrier et on suppose qu'il est compatible avec la rotée de transformation de fourrier déjà construite sur le tort donc ça veut dire la chose suivante ça veut dire que si j'ai 2 fonctions sur le groupe F2 et F1 tel que F2 soit F1 chapeau alors les termes constants de F2 sont les rotées transformées de fourriers des termes constants de F1 donc on suppose qu'on a cette propriété voilà et alors maintenant une fois que en faisant cette hypothèse là on peut poser la on peut introduire les transformées de fourriers des fonctions unitaires des fonctions unitaires que l'on vient d'introduire de manière générale si Fx est une fonction unitaire sur G2Fx donc quelque chose qui prend ses valeurs dans U2A alors la transformée de fourriers de Fx est bien définie en tant que distribution en tant que formelinaire donc c'est Fx chapeau de Fx qui par définition c'est l'intégrale sur G2Fx dero G Fx2G multiplie Fx chapeau de G et ceci est définit si Fx est de carré intégrable si bien que l'on peut parler de sa transformée de fourriers et Fx chapeau est intégrable donc on suppose qu'on a ça donc sur l'espace des fonctions Fx qui vérifient cette propriété et dont la transformée de fourriers est intégrable on a une formelinaire définie de cette manière donc on a cette définition générale et en particulier puisque ici j'ai introduit ses fonctions 1G qui cx pour qui un caractère arbitraire de XT bar plus donc un caractère de XT bar qui est dominant et bien je peux aussi considérer la transformation de fourriers de ces fonctions donc j'ai ceci bien sûr si qui est un élément de XT bar plus qui est en particulier un élément de XT bar donc je dispose de la fonction 1 qui cx sur le torre et je peux regarder sa transformée de fourriers sur le torre vous voyez que pour un même caractère il y a je dispose de cette fonction unitaire sur le groupe cette fonction unitaire sur le torre alors bien sûr cette fonction si prolonge cette fonction là donc j'ai deux fonctions une sur le groupe, une sur le torre celle sur le torre et la restriction de celle sur le groupe et puis je peux considérer à la fois la transformée de fourriers sur le groupe et la transformée de fourriers sur le torre qu'est ce qu'on peut dire de la nouvelle transformée de fourriers que j'ai introduite donc c'est le l'aime suivant alors premièrement cette transformée de fourriers là donc cette distribution est invariante à droite par NB hop de FX et invariante à gauche par NB de FX voilà le dont on suppose ça deuxièmement alors oui pourquoi non non c'est pas qu'on le suppose c'est vrai pourquoi c'est vrai c'est parce que les fonctions qu'on considère ces fonctions là par définition cette fonction il y a un variant à droite par NB de FX donc sa transformée de fourriers est invariante à gauche par NB de FX et de même la variance à gauche par NB hop de FX de la fonction se traduit par une invariance à droite pour sa transformée de fourriers alors maintenant je vais supposer que le caractère qui appartient à une certaine face c de XT bar défini sur FX donc je suppose que j'ai cette propriété et donc je vous rappelle que quand on a une telle face on peut lui associer sa strate T indice C c'est l'orbite correspondante dans T bar c'est à dire que dans T bar on a T indice C et T indice C contient un point basse donc c'est une orbite avec un point basse 1C et on peut noter T indice T exposant C je mets ici un C en exposant c'est quoi ? c'est le fixateur de 1C dans T autrement dit c'est le souterre de T constitué des éléments qui fixent ce point basse donc on a cette propriété enfin on a cette définition on peut considérer ce souterre et alors avec cette définition ceci implique que ce souterre T exposant C de Fx fixe la distribution transformée de fourrier de la fonction unitaire que je considère donc ceci fixe cette distribution alors pourquoi ? c'est parce que évidemment ce souterre fixe la fonction qui est là d'accord ? donc ça veut dire que lorsque l'on fait agir ce souterre sur la la fonctionnelle unitaire définie par l'intégration contre cette fonction eh bien ça va varier comme la norme indice X puissance moins 1 du déterminant indice rho appliqué aux éléments de T exposant C et en prenant la transformée de fourrier de ça on récupère une invariance voilà donc on a que cette transformée de fourrier est invariante par ça et puis la troisième propriété c'est la suivante donc je considère comme ça une fonction fx sur le torre et pardon sur le groupe et puis une fonction sur le torre qui est reliée à la précédente de la manière suivante je suppose que la transformée de fourrier de cette fonction fixe donc sur le torre c'est l'intégrale sur nbh2fx fois nb2fx dv du fx chapeau de vtu delta b de T norme indice X dette b de T norme indice X voilà donc autrement dit on prend simplement on intègre le long des radicaux unipotants et on multiplie par ces deux caractères donc c'est simplement une torsion par un caractère donc on suppose que les deux fonctions fx et fixe sont reliées de cette manière là sont reliées via leur transformée de fourrier alors sous ces hypothèses on a que la transformée de fourrier sur g de notre fonction fx appliqué à fx est égal à la transformée de fourrier sur T de la restriction appliqué à la fonction fixe donc c'est un simple calcul d'intégral donc c'est facile j'épilogue pas là dessus voilà bon donc on a on a ces définitions alors maintenant on a également le corollaire suivant donc on est toujours avec les mêmes dans la même situation on considère un caractère qui de xt bar plus donc un caractère dominant de xt bar et on considère l'opérateur de multiplication de donc donc l'opérateur qui a une fonction fx on considère l'opérateur de multiplication par cette fonction un g qui cx donc on dispose comme cette fonction unitaire on dispose de son re transformée de fourrier qu'on va noter à fx j'associe un g qui cx étoile fx donc ça signifie la chose suivante c'est que un g donc c'est une same notation c'est l'image de fx par cet opérateur donc ça signifie que la transformée de fourrier de ça c'est égal à la transformée de fourrier de fx que multiplie la fonction un g qui cx donc on considère cet opérateur qui est la re transformée de fourrier de l'opérateur de multiplication et on a que cet opérateur que cet opérateur et donc il est nb op de fx équivariant à droite et il est nb de fx équivariant à gauche donc ça c'est la première propriété et la deuxième propriété la deuxième propriété c'est que donc si on a f2 qui est l'image de f1 par cet opérateur puis que je considère les termes constants phi1 et phi2 de f1 et f2 donc ça veut dire bon ici c'est le terme constant définie par l'intégration le long de nb que je corrige par le déterminant à la puissance nb et puis ici la même chose pour f2 eh bien alors ceci implique que phi2 est égal à l'image de f1 par la transformée de fourrier sur t2fx de l'opérateur de multiplication par la fonction ici on écrit une compatibilité entre les deux opérateurs de transformée de fourrier sur t2fx et sur g2fx de ces opérateurs de multiplication alors maintenant on va faire la même chose que tout à l'heure c'est à dire on va s'intéresser au support au support des transformées de fourrier de ces opérateurs d'accord pardon on l'avait déjà fait dans le cas des torres on avait vu que si on avait des caractères qui étaient dans une petite face eh bien le support correspondant était lui-même dans une petite strate de t bar alors là on a vu que si qui est dans une phase c de t bar alors ça implique que la distribution non pas celle de sur g mais celle de sur t la transformée de fourrier de cette fonction unitaire est supportée par t bar c de fx plongée dans t bar de fx donc on a cette propriété et on se on se demande la question qu'on se pose est-il possible que le support de la transformation de fourrier de la fonction sur g le support de la transformation de la transformée de fourrier de la fonction sur g est-il possible que ceci soit supporté dans t bar de fx est-ce que c'est possible donc ça veut dire vous voyez tout à l'heure on avait dit on envisage cette propriété qui est apparu dans le calcul qu'on a fait sur gl2 que la convolution préserve le tort autrement dit que si on a une fonction dans la transformée si on a une fonction unitaire dans la transformée de fourrier est supportée dans le tort alors quand deux fonctions f2 et f1 sont reliées l'une à l'autre par convolution par cette fonction eh bien la valeur de l'une de ces fonctions sur le tort ne dépend que des valeurs de l'autre fonction sur le tort donc on se demande s'il existe des fonctions unitaires comme ça qui vérifient cette propriété alors on sait déjà que ceci soit supporté dans t bar c et bien sûr on se dit que il y a peut-être une relation entre le support de cette transformée de fourrier sur g et le support de la transformée de fourrier sur t on sait que le support de la transformée de fourrier sur t c est t bar c de fx si c'est une phase qui contient qui donc on peut se demander est-ce que par hasard il est envisageable que quand on passe de t à g le support ne grandisse pas qu'il soit aussi égale à cette strate voilà on veut ça mais évidemment pour que ce soit possible il y a une condition la condition nécessaire pour que ceci soit envisageable la condition nécessaire c'est que si je prends la strate t bar de nc et que je la multiplie à droite par nb hop et à gauche par nb eh bien ceci reste contenu dans t bar donc pourquoi c'est nécessaire c'est nécessaire parce que ceci est cette opération cette distribution et un variant à droite par nb hop de fx et elle est invariante à gauche par nb de fx donc ça veut dire que le support puisque cette distribution et un variant à droite par nb hop de fx à gauche par nb de fx nécessairement son support doit être invariant par ces deux actions donc si on veut que le support soit contenu dans t bar plus précisément qu'il soit contenu dans cette strate eh bien ce qui est nécessaire c'est que les points de cette strate multiplié à gauche par nb multiplié à droite par nb hop reste dans le tort et donc en fait pour avoir ça c'est équivalent à demander que les points de t bar c sont chacun invariant à droite par nb hop et un variant à gauche par nb donc c'est une condition nécessaire donc déjà on peut se demander si cette condition nécessaire n'est pas parfois réalisée et en fait la réponse est oui donc c'est le lame suivant donc on considère c une face de x t bar donc tous les donc tous les éléments sont dominants vous voyez que j'avais été jusqu'à présent j'avais fait la chose suivante j'avais pris un caractère qui éventuellement élément d'une phase c et puis pour que ces fonctions 1g qui cx soit bien défini j'avais supposé que qui est un caractère dominant mais là je fais une hypothèse un caractère plus forte je demande que tous les éléments de la face soient dominants c'est pas seulement qu'il y a dedans il y a un élément dominant c'est que tous les éléments sont dominants donc je fais cette hypothèse là et alors la conclusion c'est que les points de la strata associée vérifie la propriété c'est bien dit donc ils sont invariants à droite par nb hop et à gauche par nb ils satisfont cette hypothèse alors dans les notes écrites qui seront disponibles dans quelques semaines il y a une démonstration générale de ce fait je veux simplement faire ici comme le temps me manque je veux faire observer bien sûr c'est vrai dans le cas classique de gl2 donc vous prenez si g égal gl2 donc t égal gm au carré et vous prenez le caractère vous prenez qui donc ici les caractères sur t c'est des x1 puissance m1 que multiplie des x2 puissance m2 donc vous prenez qui égal x1 et vous prenez la face engendrée par qui donc dans ce cas-là qu'est-ce que c'est t bar indice c c'est c'est les points de la forme suivante ici il y a une coordonnée les trois autres coordonnées sont nulles donc c'est dans l'adhérence du tort et demander que ça soit dans la face engendrée par l'élément x1 c'est demander que la coordonnée ici soit nulle donc vous avez seulement une coordonnée là bien sûr vous avez, si vous prenez des éléments comme ça, que vous les multipliez à droite donc un élément comme ça vous multipliez à droite par un élément de nb c'est-à-dire un élément comme ça vous multipliez à gauche par un élément de n et bien vous voyez immédiatement que l'élément ne bouge pas c'est invariant d'accord donc voilà la preuve dans ce cas-là et en fait la preuve dans le cas général se ramène à ce cas-là donc voilà je le laisse en exercice parce que j'ai pas le temps donc ça signifie que la condition nécessaire qu'on avait écrite tout à l'heure le fait que les éléments de la trates soient fixes par l'action à gauche de nb par l'action à droite de nbh donc cette condition nécessaire est parfois réalisée donc ça laisse l'espoir que la transformée de fourriers de ces fonctions si cette condition est réalisée si la phase est constituée d'éléments dominants ça laisse l'espoir que la transformée de fourriers de ces fonctions soit supportée par le tort la proposition suivante c'est que c'est vrai alors voilà exactement l'énoncé on va même donner un l'énoncé plus général donc on considère un élément un caractère qui de xt bar plus donc c'est un caractère dominant de xt bar on suppose qu'il appartient à une phase c défini sur fx et puis on se donne un élément cx d'equive vx voilà donc on se place dans cette situation générale et la première propriété qu'on a c'est que la distribution transformée de fourriers de ça cette distribution est supportée par nb de fx que multiplie t bar c de fx que multiplie nb de fx autrement dit c'est une situation générale ça veut dire quoi ? ce qu'on sait c'est que si on enlève le g le support de la transformée de fourriers de cette fonction sur t est contenu dans t bar c de fx et on sait d'autre part que le support de la fonction sur g est invariant à gauche par nb de fx invariant à droite par don par nb hop de fx donc en quelque sorte la meilleure conjecture qu'on a c'est que le support de ça est contenu là-dedans et donc la première assertion de la proposition c'est que c'est vrai et alors quand vous combinez ceci ceci avec le LEM qui précède vous obtenez la chose suivante c'est que si tous les caractères qui tous les caractères de c sont dominants si la face c du cône xt bar est constituée de caractères dominants alors la transformée de fourriers de la fonction unitaire associée est supportée par t bar c de fx alors bon je donc là donc la démonstration est assez longue je sais pas si je la donne bon bon ce sera dans les notes est ce que je la donne est ce que je donne la démonstration ben là ça fait 3 pages à peu près donc ça fait bien 1 quart d'heure je la donne non parce que j'ai l'impression que les gens ne suivent plus là donc bon donc le bon donc j'y vais donc on sait que ceci est une forme linéaire sur les fonctions de carré intégrable fx de g de fx dans c tel que cette forme linéaire quand on prend donc sa valeur absolue c'est majoré par la norme l1 de la transformée de fourriers de la fonction c'est la propriété de continuité de cette fonction donc on prend des fonctions de carré intégrable dans la transformée de fourriers et intégrable et on a cette inégalité mais en fait on peut dire quelque chose de encore plus précis c'est que cette forme linéaire se factorise à travers l'opérateur suivant c'est donc à fx j'associe le terme constant nb de fx du du c'est même un double terme constant c'est nb de fx xnb hop de fx du dv de fx de utv ça se factorise à travers cet opérateur que multiplie ici le db ici le delta b x à la puissance donc ici c'est moins un demi, ici c'est un demi voilà ça se factorise à travers ça c'est à dire que pour connaître l'image j'ai besoin que de connaître ce terme constant et donc ceci on sait que c'est la rotée transformée de fourriers de db du terme constant associé à l'intégral la même intégral mais de la fonction elle même de là je vais mettre du vtu et donc ici maintenant je mets du un demi c'est plus du moins un demi je sais que ceci la transformée de fourriers de ça et donc cette forme linéaire se factorise à travers cet opérateur donc elle se factorise aussi bien à travers cet opérateur donc ça veut dire quoi cet opérateur là je l'appelle fx à fx j'associe phi x qui est égal à ça donc il y a une fonction sur le groupe et donc notre forme linéaire la forme linéaire qui est de cette distribution se factorise à travers ça bon donc je peux la noter 1g qui cx chapeau donc de fx je peux le noter je vais garder la même notation mais donc maintenant si je le vois comme une forme linéaire sur les fonctions sur le tort et cette forme linéaire sur le tort donc si on écrit l'inégalité qu'elle vérifie cette inégalité s'écrit de cette manière là si je prends cette forme linéaire en un élément phi x c'est plus petit que l'intégrale sur t de fx d t de la transformée de fourriers de phi t en module multiplié par le caractère indice b de t puissance 1 demi multiplié par le delta b de tx puissance 1 demi vous voyez que la c'est la propriété de continuité de notre forme linéaire vous voyez que la valeur de la forme linéaire en module est plus petite que l'intégrale sur le tort de la transformée de fourriers de la fonction multiplié par ce poids donc on sait ça donc c'est la première propriété qu'on connaît et puis il y en a peut-être une deuxième qui est importante la deuxième propriété importante c'est l'action du tort tc de fx de la strate t indicée donc on sait que ce tort agit sur la forme linéaire qu'on considère on sait que ce tort il fixe la fonction 1g qui cx il la laisse invariante donc quand on regarde son action sur la forme linéaire qui est ici eh bien on trouve qu'il agit sur cette forme linéaire par le caractère par le caractère suivant donc il faut faire le calcul donc à t on associe db de tx puissance je vais le moins un demi que multiplie delta b de tx puissance un demi donc il faut simplement faire le calcul comme ça donc il agit sur cette forme linéaire par simplement il agit par un caractère très simple, un caractère de norme alors ici il y a un l'M qu'on peut écrire c'est que les caractères db de delta b qui apparaissent ici et db delta b moins un caractère sont élément de xt bar alors pourquoi ils sont élément de de xt bar d'abord comme xt bar est stable par l'action du groupe de veille il suffit de démontrer que celui-ci db c'est un caractère du groupe donc il est fixe par l'action du groupe de veille il suffit de démontrer la propriété pour ce caractère-là donc qu'est-ce que ça veut dire il suffit de démontrer pour que quel que soit le poids roté i on a que db produit scalaire roté i est supérieur ou égal à delta b produit scalaire roté i il s'agit de démontrer cette inégalité d'accord alors d'abord c'est vrai par définition de delta b pardon de db si roté i est le poids dominant d'un facteur irréductible d'euro parce que en fait c'est comme ça qu'on avait défini le caractère db le caractère db c'est un caractère non les poids dominants des facteurs irréductibles coincés avec delta b donc ça veut dire qu'il y a égalité dans ce cas-là donc on a une égalité en ces points-là et alors maintenant si on prend un autre roté j qui est l'image par un élément du groupe de veille d'un tel roté i un roté i qui est comme ça je prends son image par l'action du groupe de veille donc dans ce cas-là on a que roté i moins roté j c'est la différence entre c'est la différence entre un élément dominant et un caractère dominant qui est l'image par l'action du groupe de veille donc c'est un poids positif et on sait par ailleurs que delta b le caractère modulaire est un poids dominant donc on obtient que leur produit scalaire et le produit scalaire de ce poids dominant et de ce copoids positif et supérieur ou égal à 0 donc qu'est-ce que ça me dit ça dit que delta b roté i est supérieur ou égal à delta b roté j bon mais vous savez que delta b roté i c'est égal à delta b roté i et delta b roté i c'est égal à delta b roté j donc vous avez prouvé ce que vous voulez le LEM est démontré voilà on a ça bon alors maintenant une fois qu'on a ce LEM vous voyez la fonction la fonction qui a t associ delta b de t delta b de t norme x à la puissance 1 demi donc ceci est bien définie sur t bar de fx à valeur dans r plus c'est bien définit et continue sur t bar de fx donc vous voyez que notre notre ici notre norme a fait intervenir une fonction qui est bien définie sur t bar de fx et la norme vous voyez que c'est une bande sur l'intégral du module de la transformée de fourrier fois une fonction qui est bien définie sur t bar de fx mais ici je suis sur t de fx ou t bar de fx je peux aussi bien considérer les choses sur t bar e de fx via l'application vers t bar de fx d'accord et maintenant ma fonctionnelle linéaire devient une fonctionnelle linéaire pour les fonctions là dessus et donc la borne que j'obtiens c'est une borne sur l'intégral pour un certain poids de la transformée de fourrier mais évidemment qu'est-ce que ça veut dire que mettre une borne sur l'intégral de la transformée de fourrier ça veut dire imposer à la fonction elle-même une condition de régularité en certains points c'est-à-dire que cette condition qui est une condition globale sur la transformée de fourrier sur la fonction elle-même ça devient une condition locale c'est une condition de régularité c'est pas du tout une fonction globale maintenant on a la chose suivante c'est que pour une fonction donc on a ça et maintenant si je considère donc ma transformée de fourrier écrite pour une fonction fixe eh bien j'ai que ceci est égal donc je regarde l'action des éléments ici je crois que j'avais oublié un signe moins moins en demi donc on a cette voilà on a ceci qui est égal à 1g de qui cx chapeau de fixe donc la fonction fixe translaté par t donc la vous voyez que ça c'est la différence entre la valeur de la forme linéaire sur la fonction et la valeur de la forme linéaire multiplié par t bon mais votre fonction fixe vous pouvez la multiplier par ça et finalement vous obtenez quand vous multipliez la fonction fixe par ça que vous appelez ça fixe fixe vous obtenez une fonction fixe fixe une forme linéaire de fixe fixe qui est invariante par ça invariante par l'action de ce tort qu'est-ce que ça veut dire une forme linéaire invariante par l'action d'un tort qu'est-ce que ça peut être soit une intégrale soit une intégrale donc soit l'évaluation en des points qui sont fixés par le tort ici donc c'est un t qui est un élément de t exposant c de t exposant c de fixe ça peut être soit une intégrale soit une évaluation soit quelque chose qui est un peu mixte entre les deux mais ici on sait que la seule borne qu'on a c'est une borne sur l'intégrale de la transformée de fourrier autrement dit c'est une borne qui ne fait intervenir que des conditions locales donc notre ici cette forme linéaire ne peut pas du tout faire intervenir d'intégrale sur les t c'est nécessairement une évaluation en des points qui sont fixés par tc et ça signifie la chose suivante ça signifie comme on voulait que c'est supporté par les points fixés par par des points fixés par les t appartenant à t exposant c de fixe et ça c'est quoi ? c'est la strate indexée par c si vous préférez vous écrivez cette égalité pour une fonction fixe si vous voulez montrer la condition de support vous prenez une fonction fixe qui est supportée par une partie compacte qui ne rencontre pas t barcée de fx et vous écrivez cette égalité et vous faites en t vers 0 et vous obtenez que la valeur est nécessairement 0 donc voilà on a montré la condition de support et donc maintenant on a montré la condition de on a montré cette condition de support et alors à partir de maintenant on va faire l'hypothèse suivante c'est que la roue transformée de fourrier la roue transformation de fourrier sur g de fx préserve le tort t de fx au sens que j'avais dit avant donc ça veut dire si on a une fonction unitaire dont la transformée de fourrier est supportée par le tort alors le transformé de fourrier de l'opérateur de multiplication par cette fonction préserve le tort ça veut dire la chose suivante donc sous cette hypothèse là c'est la propriété qui était apparue la semaine dernière dans les calculs sous cette hypothèse là on a le corollaire suivant donc on suppose on suppose ça et on considère toujours un élément d'une face de x t bar euh euh donc constitué de caractères dominants donc on fera toujours cette hypothèse qu'on est avec une phase de x t bar constitué de caractères dominants euh voilà on considère une place quelconque un élément cx de e qui x voilà donc on est avec cette hypothèse là euh et euh maintenant on considère f1 et f2 euh donc des fonctions continu et de carré intégrable euh donc c'est des fonctions qui vont de g de fx dans c relié par la formule suivante par la formule transformé de fourrier de f2 égal transformé de fourrier de f1 que multiplie un g qui cx donc euh on suppose euh on suppose ça euh euh alors donc ça c'est les c'est les hypothèses et euh alors on peut en déduire ce qui suit alors pour ça on a besoin de notation on va considérer des familles de fonctions sur le tort associées aux fonctions f1 et f2 donc la première famille c'est à t j'associe f1 indice u v de t alors qu'est ce que c'est que u c'est un élément de nb de fx qu'est ce que c'est que v c'est un élément de nb hop de fx donc on considère deux choses comme ça et on considère f1 de ut v que multiplie le db de t x puissance 1 demi delta b de t x puissance moins 1 demi voilà donc et puis j'ai la deuxième fonction f2 de u v de t qui est définie exactement la même façon donc le f2 de ut v de tx puissance 1 demi et le delta b de t x puissance moins 1 demi alors c'est de la conclusion du corollaire sous les hypothèses qu'on a faites c'est que ces deux fonctions sont reliées par la formule suivante eh bien la transformée de fourrier de f2 u v sur le tort est égale à la transformée de fourrier de f1 u v sur le tort que multiplie la fonction 1 qui cx donc ça ça dit exactement justement alors par exemple pour ça dit la chose suivante déjà si on prend u v égal 1 bah ça dit ça précise la manière dont les restrictions de f1 et f2 au tort sont reliées l'une à l'autre mais en fait c'est pas seulement sur le tort c'est sur tous les translatés du tort à gauche par nb de fx et à droite par nb hop de fx alors donc au point où on en est la démonstration est assez facile enfin le résultat de l'hypothèse qui a été faite et cette hypothèse c'est la propriété qui est apparue la semaine dernière dans nos calculs dans le cas de gl2 et des représentations symétriques de gl2 dual alors l'hypothèse c'est que donc démonstration donc il existe un opérateur linear u tel que la fonction f1 restreinte à t2fx et la fonction f2 restreinte à t2fx soit disons la seconde et l'image de la première par cet opérateur c'est notre hypothèse c'est que la la propriété de la re-transformation de fourrier que la restriction de f2 au tort ne dépend que de la restriction de f1 au tort donc on suppose ça voilà donc pourquoi on peut supposer ça enfin pourquoi c'est vrai encore une fois parce que d'une part donc on suppose vérifier la propriété qui est apparue la semaine dernière que la re-transformation de fourrier préserve les tort enfin plus exactement c'est pas la re-transformation de fourrier c'est la convolution associée à la re-transformation de fourrier préserve les tort c'est à dire la propriété que j'ai dite et puis donc d'une part ça puis d'autre part on a que la transformée de fourrier de cette fonction est supportée dans le tort donc quand on met ces deux choses ensemble eh bien on obtient que la restriction de f2 au tort ne dépend que de la restriction de f1 au tort voilà donc on a cette propriété là mais on sait aussi que cette fonction là elle est invariante à gauche par nb opposé cette fonction là je rappelle elle est invariante à gauche par nb hop et à droite par nb donc ça cette propriété là entraîne que quel que soit les éléments u et v si on prend la fonction qui a t associe f1 de utv donc cette fonction là transformée par l'opérateur u est égal à la fonction qui a t associe f2 de utv donc ce que je fais c'est que j'applique la version précédente aux fonctions f1 et f2 translatées à gauche par u et translatées à droite par v j'ai le droit parce que cette fonction là est invariante à gauche par nb hop et invariante à droite par nb donc quand on prend les 300 mètres fourriers on obtient une invariance dans l'autre sens donc j'ai cette propriété là pour tous les u et pour tous les v bon mais maintenant je vois que ici les fonctions f1 de utv et f2 de enfin f1 indice uv f2 indice uv c'est ces fonctions restriction que j'ai écrite là bas multipliées par des caractères fixes donc cette propriété là que j'ai écrite je peux tout aussi bien dire que ça veut dire que la fonction f1 uv pardon que la que la fonction f2 uv est égal à l'image de la fonction f1 uv par un certain opérateur linéaire u' qui est simplement l'opérateur u tordu par la multiplication par les caractères qui sont là bas donc j'ai cette propriété et maintenant ce que je sais c'est que si j'intègre sur le u et les v eh bien je tombe sur les termes constants et les termes constants je sais déjà c'était l'un des lames ou des corollaires que j'ai écrite tout à l'heure déjà qui sont reliés l'un à l'autre par le fait que leur transformation de fourrier euh euh diffère de la fonction un qui cx donc je le sais après intégration sur les u et les v donc ça veut dire que l'opérateur u' qui est là, qui est le même pour tous les u et les v eh bien c'est il est égal à l'opérateur transformé de fourrier de la multiplication par un qui cx autrement dit ça signifie quoi l'opérateur u' il est nécessairement donné par la condition suivante c'est que f1 de uv transformé de fourrier sur t de fx c'est la transformé de fourrier de f2 de uv que multiplie la fonction euh un qui cx voilà et ça c'est l'énoncé de de la proposition du corollaire voilà donc maintenant on a introduit un certain nombre euh d'espace de euh un certain nombre de fonctions unitaires et euh je voudrais montrer que les propriétés qu'on a qu'on a écrite en fait euh ont euh des conséquences euh d'abord pour définir des espaces de refonctions et ensuite pour euh euh ensuite pour établir une formule de poisson comme on veut alors donc c'est le paragraphe 3 espace de roues fonctions euh donc euh on va faire une hypothèse supplémentaire on suppose que le code xt bar euh contient une face c'est euh qui vérifie les propriétés suivantes premièrement elle est définie sur f donc ça veut dire stable action du groupe de galois alors par exemple si votre groupe est déployé cette propriété est vide deuxièmement elle est constituée de caractères dominants euh la troisième propriété c'est qu'elle n'est contenu dans aucun sous espace propre euh de xt euh donc le plus espace vectoriel a rosé associé au réseau xt au cas sous espace propre de ça euh stable par l'action du groupe de vales donc on fait ces trois propriétés ces trois hypothèses sur c alors le une euh une remarque on peut faire tout de suite c'est que ces trois propriétés sont vérifiés il existe une telle face c euh donc c'est vrai euh si par exemple j est déployé c'est à dire s'il y a pas d'action du groupe de galois euh il suffit de prendre les euh là il suffit de prendre par exemple l'arrête engendrée par un poids dominant de la d'une représentation qui n'est pas un caractère d'un facteur irréductible de la représentation qui n'est pas un caractère euh donc c'est vrai si j est déployé plus généralement si j est euh déduit par restriction des scalaires à la veille de f prime à f euh d'un groupe g prime avec g prime euh déployé groupe productif euh déployé sur f prime hein donc euh en particulier dans ces dans ces cas là l'hypothèse est vérifiée il existe une telle face c alors euh d'abord on a le suivant euh donc on considère une telle face c euh alors d'abord on a évidemment que le sous réseau de x t euh engendrée par c et c'est transformé par l'action euh du groupe de veille euh ce sous réseau et d'indices finies entrement dit c'est presque le réseau tout entier hein donc le donc ça veut dire que le euh euh il est égal euh euh à l'ensemble des caractères qui de x t telle que qui égale un sur un certain euh sous groupe z c donc ça c'est quoi c'est un sous groupe qui finit euh du centre de g voilà hein donc euh euh donc ça c'est la première propriété la deuxième propriété c'est que euh maintenant on va considérer toutes les coordonnées qui f euh donc c'est des coordonnées définies sur g bar euh divisé par n b à droite et par n b hop à gauche qui vont donc vers euh leur domaine naturelle on considère toutes ces machins euh pour euh euh pour qui appartenant à c on considère tous tous ces ces choses là et leur translator à droite et à gauche des éléments de g de f donc on fait cette hypothèse là euh euh toutes ces coordonnées euh euh ces coordonnées engendre l'algèbre de structure de g bar divisé par z c alors évidemment euh ces coordonnées ne voient pas z c parce que les caractères de la phase c et euh euh sont triviaux sur z c mais ce que dit l'assertion c'est que en fait elles engendrent elles euh enfin c'est vraiment la seule chose qu'elles ne voient pas ces coordonnées permettent de distinguer tous les éléments des uns des autres à partir du moment où ils ne sont pas images l'un de l'autre par un él... par translation par un élément de z c donc euh on suppose euh euh euh qu'on a ça euh enfin pourquoi je dis on suppose c'est pas bon donc on a cette euh cette propriété euh voilà euh donc autrement dit c'est que les coordonnées c'est coordonnées qu'on a considérées plus leur tous leurs translatés à gauche et à droite en utilisant pour distinguer les points de g bar modulo l'action de cette petite chose là euh z c alors euh maintenant venons-en à la question de l'espace des refonctions on voudrait définir un espace de refonctions sur g de fx alors qu'est ce qu'on lui a demandé jusqu'à présent on lui a demandé euh premièrement euh stable par translation il doit être stable par translation à gauche et à droite deuxièmement il doit être stable par la transformation de fourrier bien sûr ici c'est on considère une place ultramétrique c'est en les places ultramétriques que se pose le problème de la définition d'un espace de refonctions donc il doit être stable par la translation et euh enfin euh donc sa composante la dernière propriété c'est sa composante de type taurique alors qu'est ce que ça veut dire ça veut dire les refonctions donc la décomposition spectrale ne fait apparaître que des représentations induite du tort induite de caractère du tort et éventuellement leurs sous-cautions donc la la dernière donc la troisième propriété c'est que sa composante de type taurique autrement euh c'est-à-dire ces fonctions-là est déjà prescrite à cause de la compatibilité avec le le passage au terme constant et du fait que on sait déjà ce que c'est qu'une rotée fonction sur le tort donc on a ces trois propriétés et euh maintenant on peut proposer la chose suivante contenue de ce qui precede on a donc voilà l'idée que je que j'introduis la suivante c'est de demander à cette espace de refonctions une quatrième propriété de demander à l'espace des refonctions une quatrième propriété c'est je demande qu'il soit stable par multiplication par les fonctions un g qui cx avec ou qui décrit un élément arbitraire de la phase c j'introduis cette cette propriété si vous vous rappelez sur le ce que j'avais dit au début du cours d'aujourd'hui dans le cas des tort lorsque g est en tort lorsqu'on est sur t et bien l'espace des refonctions est stable par les fonctions un qui cx et puis voilà et maintenant on a aussi enfin voilà donc on peut proposer d'introduire cette propriété supplémentaire euh euh et euh euh euh mais alors on va s'apercevoir très vite que si on met cette condition supplémentaire il y a une seule façon de définir l'espace des refonctions l'espace des refonctions avec cette condition là est entièrement déterminé alors pour ça on a besoin d'un lème donc on considère toujours notre phase c qui est défini sur f constitué et génératrice au sens précédent et euh euh euh donc on se considère une place arbitraire et alors on a la la la d'abord la première chose c'est qu'un espace de refonctions qui satisfait les conditions requises alors les conditions requises dans le problème de euh de l'exposé 1 il y avait une liste de conditions si je me rappelle bien il y avait 7 conditions donc un espace de refonctions qui satisfait les conditions requises est nécessairement constitué de fonctions euh supportées par des parties compactes de g bar sur g de fx mais euh qui sont supportées par des parties compactes de g bar de fx donc ça ça résule simplement de la forme des fonctions l les refonctions ne sont pas nécessairement à support compact dans g parce que dans la décomposition spectrale on autorise des dénominateurs qui sont les fonctions l mais la forme des fonctions l implique exactement ça voilà donc ça c'est la première condition et alors maintenant on a la chose suivante c'est que euh demander qu'un espace de fonctions de g de fx vers c alors des fonctions dont on suppose qu'elles sont toutes supportées euh par des parties compactes de g bar de fx donc demander qu'un tel espace soit stable par multiplication par les fonctions un g qui cx de g bar de fx dans le cercle unité donc demander qu'il soit stable par ses opérateurs de multiplication leur translaté à gauche et à droite donc demander qu'il soit stable euh euh par euh à gauche et à droite par des éléments de g de fx équivaut à demander euh qu'il soit stable par multiplication par les fonctions localement constante à support compact de g bar de fx euh dans c qui se factorise à travers z c c'est équivalent pourquoi c'est parce que les fonctions que j'ai ici en gendre l'algebra de toutes les coordonnées donc demander c'est à dire n'importe quelle fonction localement constante sur un certain support compact s'écrit en fait comme une combinaison linéaire de ces fonctions là et de leur translater à gauche et à droite ça dit exactement ça donc demander d'être stable par ses fonctions c'est demander d'être stable par toute l'algebra des fonctions localement constante support compact donc compte tenu de ce fait si l'on demande à l'espace des re fonctions d'être stable euh la condition que j'ai rajouté ici d'être stable par multiplication par ses opérateurs eh bien la seule définition possible de l'espace des re fonctions c'est la suivante une définition fx de g de fx dans c donc cette définition que je propose est une re fonction euh si et seulement si premièrement elle est invariante à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact de g de fx bon ça a toute façon c'est dans la définition de n'importe quel espace de re fonctions qu'on veut deuxièmement elle est supportée par une partie compact de g bar de fx et troisièmement pour tous éléments gg prime appartenant à g de fx et pour toutes fonctions 1x sur g bar de fx bon qui est invariante par zc à valeur dans c et qui est localement constante à support compact donc pour toutes fonctions comme ça eh bien le terme constant associé alors donc le terme constant faut toujours multiplier la facture de normalisation habituelle donc le db à la puissance ennemie ensuite le delta b à la puissance moins ennemie l'intégral sur nb de fx du de fx de g ut g prime et puis là je mets une fonction euh je mets la fonction arbitraire j'ai pris pour 1x n'importe quelle fonction localement constante à support compact sur g bar et donc je mets une condition sur le terme constant de la fonction fx ça veut dire qu'on intègre sur les u mais là en plus je m'autorise à multiplier par une fonction localement constante à support compact sur g bar arbitraire si on n'avait pas ça ça serait le terme constant sans s'habituel et le terme constant sans s'habituel ne voit que la partie taurique des fonctions mais comme on multiplie par ce poids qui est une fonction localement constante à support compact comme on multiplie par ce poids eh bien j'ai ici une condition beaucoup plus forte qui est une condition qui voit tout le spectre dans les décompositions spectrales pourquoi c'est parce que il n'y a pas de multiplication par ces fonctions bien sûr ne préserve pas la décomposition spectrale il mélange les parties du spectre ce qu'on a c'est qu'on veut définir l'espace des refonctions on le connait pour la partie taurique c'est à dire la partie spectrale qui provient des caractères du tort et on voudrait le définir partout donc pour ça une idée c'est de demander qu'il soit stable par des opérateurs qui mélangent les différentes décompositions spectrales donc l'idée c'est de demander que ça soit stable par ces opérateurs et donc la condition qu'on trouve est celle-là donc voilà la définition qu'on propose pour l'espace des refonctions alors bien sûr pour pour que cette définition est un sens il faut que cet espace des refonctions répondent aux conditions du problème du problème 2 de l'exposé alors bon alors donc je vais poser ça comme une liste de plusieurs conjectures mais quand je dis conjecture qui en fait sont disons en cours de démonstration au moins au moins dans le cas de GL2 le cas que je regarde d'ailleurs d'abord d'abord de quoi a-t-on besoin vous avez d'abord besoin de la stabilité par vous voyez vous voulez que l'espace des refonctions soit stable par la transformation de fourrier il est déjà stable par les opérateurs de multiplication par ces fonctions donc ça c'est par définition il est stable par les opérateurs de multiplication par ces fonctions mais s'il est aussi stable par la transformation de fourrier il doit être stable par les transformés de fourrier de ces opérateurs alors ça c'est la propriété suivante quel que soit 2 fonctions f1 et f2 de g de fx dans c relié par les formules suivantes c'est à dire transformé de fourrier de f2 égale transformé de fourrier de f1 que multiplie une fonction comme ça avec qui appartenant à c alors si f1 est une refonction ça implique que c'est une refonction autrement dit c'est la stabilité par les transformés de fourrier des opérateurs de multiplication par ces fonctions alors bon j'appelle ça une conjecture mais en fait je dis que la démonstration est en cours et bien sûr pour la démonstration on doit se servir de la propriété qu'on avait écrite tout à l'heure c'est à dire qu'on forme les fonctions f1 de uv et f2 uv de tout à l'heure donc je rappelle que c'est f1 de utv f2 de utv multiplié par les caractères de torsions habituelles et on sait que ces 2 fonctions sont reliées pour tout u et pour tout v c'est relié par la formule que la transformée de fourrier de f2 uv est égale à la transformée de fourrier de f1 uv que multiplie le caractère que multiplie la fonction un qui cx donc ça veut dire que la fonction f2 uv et la fonction f1 uv sont reliés enfin la fonction f2 uv et l'image de f1 uv par la transformée de fourrier de l'opérateur de multiplication mais je sais que sur le tord l'opérateur préserve les fonctions donc ça veut dire que si voilà donc je sais que j'ai cette propriété sur le tord pour tout u et pour tout v d'accord et donc c'est cette propriété là qui permet de travailler individuellement sur les tords et qui doit permettre de respecter la propriété de définition vous voyez qu'ici vous pouvez fixer u et ici vous avez un thème et la fonction x2t c'est une fonction localement constante à support compact comme fonction de t et on sait que quand on est sur le tord la multiplication par ces fonctions préserve l'espace des refonctions donc on peut travailler sur le tord et voilà donc on a ceci qui pour le moment est encore une conjecture mais je répète en cours de démonstration dans le cas de gl2 voilà donc ça c'est la première propriété dont on a besoin pour que notre espace de refonctions soit le bon mais bien sûr il y a une autre propriété dont on a absolument besoin c'est non seulement que l'espace des refonctions soit non trivial vous voyez quand je regarde cette définition ici j'ai des conditions qui paraissent extrêmement restrictives donc parce que ici j'ai mis des poids arbitraires donc par exemple quand je mets cette définition il n'est même pas clair a priori que cet espace est non nul mais en fait on veut beaucoup plus que ça on veut que sa composante de type torric soit la bonne donc on veut donc c'est la deuxième conjecture elle aussi en cours de démonstration dans le cas gl2 donc la conjecture dit la chose suivante je prends une fonction de g de fx dans c qui est de type torric alors bien sûr je la prends vérifiant déjà un variant à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact supporté par une partie compact de g bar de fx bon déjà je prends ça je suppose qu'elle est de type torric et alors ce qu'il faut démontrer c'est que alors fx est une refonction dans ce cas là pour une fonction de type torric si et seulement si pour tout g j'ai prime la fonction sur le torre qui associe le terme constant au sens habituel donc le c'est du delta b de t x puissance 1 demi delta b de t donc le facteur de normalisation habituelle l'intégral de du fx de g ut g prime nb de fx est une refonction donc vous voyez que pour les fonctions de type torric ici je suis en train d'écrire une condition beaucoup plus faible parce que là je m'autorise à multiplier par n'importe quelle fonction localement constante à support compact sur g bar et là je ne multiplie pas donc ça veut dire que la condition ici elle est beaucoup plus faible que celle-là donc la conjecture c'est que quand on a une fonction de type torric c'est-à-dire une fonction dont la décomposition spectrale ne fait apparaître que des induites de caractère du torre alors être une refonction en ce sens là c'est équivalent à être comme ça donc c'est la deuxième conjecture pour que notre définition soit soit bonne et alors ici évidemment il y a une remarque très importante qu'on doit faire donc la remarque très importante c'est que pour que cette conjecture cette conjecture demande à priori enfin elle exprime à priori des conditions très fortes sur sur roté roté chaîche comme en monomorphise de TE dans T ou ce qui est équivalent sur roté c'est-à-dire le monomorphise de T chapeau dans TR chapeau cette propriété là ne dépend pour la formuler que de roté et d'ailleurs tout ce qu'on a fait jusqu'à présent n'utilise que roté n'utilise pas la représentation plus exactement la seule propriété de roté qu'on a utilisé c'est l'invariance par le groupe de Valle mais jusqu'à présent c'est servi nulle part du fait que roté provient d'une représentation du groupe dual donc ce que on doit penser c'est ici qui intervient l'hypothèse que roté provient d'une représentation du groupe dual c'est pas seulement une représentation du TOR c'est une représentation du groupe dual tout entier donc ce qu'on doit penser c'est ça et là aussi pour cette conjecture comme pour la précédente disons c'est pas encore fait complètement c'est en cours de démonstration dans le cas de GL2 et des puissances symétriques de GL2 voilà alors quoi qu'il en soit reprenons le cours des choses et supposons que ces deux conjectures sont bien vérifiées et alors à partir de là on a le corollaire conditionnel suivant donc si les deux conjectures sont bien vérifiées alors l'espace des re-fonctions au sens que j'ai défini il y a quelques minutes satisfait toutes les conditions du problème de l'exposé 1 en particulier ça connaît donc il est stable la transformation de fourrier sa connaissance est celle de la transformation de fourrier équivalent à celle de facteur L et epsilon pour toute représentation du spectre de G donc si cette définition est bonne enfin elle contient une définition des facteurs L et epsilon pour roues arbitraires bien sûr tout ça est conditionnel à plusieurs choses en fait le point le plus important c'est la propriété qui était apparue la semaine dernière sur la stabilité du tort par le produit de convolution associé à la re-transformation de fourrier donc si le calcul que j'ai formel jusqu'à présent ou en partie formel que j'ai fait est correct cette propriété si cette propriété est vérifiée tout ce que j'ai dit à un sens on devrait aussi pouvoir démonter ces deux conjectures et en déduire en général une définition de facteur L et epsilon locaux sans restriction voilà bon donc ça c'est en les places ultramétriques et en les places archimédiaires on n'a pas besoin de travailler parce que les facteurs L et epsilon sont déjà connus donc on va simplement décider d'endir l'espace des refunctions pour donc autant qu'on a besoin pour qu'il soit stable par multiplication par les fonctions 1 qui c 1 qui cx et par la transformation de fourrier et puis par translation à gauche et à droite donc voilà on prend l'espace engendré par celui qui est donné a priori classiquement et par ces opérations et donc c'est des fonctions sur lesquelles malgré tout on garde un contrôle en termes de décroissance rapide donc toutes les intégrales gardent un sens ceci n'est pas un problème et on n'a pas besoin de le définir parce qu'on n'a pas besoin de donner plus de détails parce qu'en les places archimédiaires les facteurs gamma et epsilon et L sont déjà définis donc le problème des facteurs L et epsilon c'est vraiment un problème en les places finies pour terminer je voudrais revenir évidemment à la conclusion qui est la formule de poisson encore une fois en supposant que tout ce qu'on a dit avant est correct donc maintenant on passe sur les adels on a une notion de refonctions sur g de fx en toute plastique donc on a une notion de refonctions globales sur g des adels c'est simplement les combinaisons linéaires de produits de refonctions qui en presque toutes les places sont la refonction standard qui est bien définie donc cet espace il est stable par translation par gauche et à droite il est stable par les translations par multiplication par les ces opérateurs-là donc ici qui c'est un élément de c et petit c c'est un élément des adels d'eux qui et puis il est stable par la transformation de fourriers globales qui est simplement le produit des transformations de fourriers locales et donc il est également stable par les transformés de fourriers de ces opérateurs voilà alors bon on a cet espace de refonctions et on voudrait définir dessus une fonctionnelle de poisson alors si vous vous souvenez de ce qu'on avait fait il y a 2 semaines dans le cas des torres on avait introduit une sorte de formule de poisson approchée donc la formule de poisson approchée c'était quoi c'était en quelque sorte une formule de intégration après intégration le long du radical unipotent c'est-à-dire qu'on avait introduit une certaine fonctionnelle qui s'écrivait de la manière suivante c'est la somme avec gamma appartenant à g bar sur nb de f de l'intégrale sur nb de a du de f de u gamma voilà donc ça c'était la première et puis la deuxième qu'on avait introduite c'était la donc ici vous voyez on a intégré pour les u à gauche et la deuxième c'est la même chose mais on intègre à droite g bar sur nb de f intégrale sur nb de a de du f de gamma u moins 1 u moins 1 voilà donc c'est des choses entre guillemets donc c'est pas des évaluations en des points c'est des choses un peu plus subtiles que des évaluations en des points mais à partir de la formule de poissons sur le tort qui elle-même n'est pas constitué d'évaluations sur les points on peut construire des fonctionnels de poissons sur le groupe g alors vous voyez par exemple celle-ci comme la notation l'indique elle est invariante à gauche par nb de a et elle est invariante à droite par g de f celle-ci est invariante à gauche par g de f et elle est invariante à droite par nb de a donc c'est ces deux choses là on peut les appeler par exemple la première je l'appelle p1 de f et la deuxième je l'appelle p2 de f et on avait la formule de poissons qu'on a toujours p1 de f égale p2 de f chapeau donc c'est formule de poissons approchée une formule de poissons après l'organisation, le long du radical unipotent alors bien sûr c'est une formule de poissons qui ne voit pas du tout tout le spectre automorph, elle ne voit que les séries d'Azernstein mais on avait ça alors à partir de là on va suivre exactement la même ligne de raisonnement que pour définir l'espace des refonctions locales donc l'espace des refonctions il avait été définis en imposant la condition d'être stable par multiplication enfin par les fonctions un qui cx bon alors maintenant je vais demander la chose suivante donc c'est une conjecture première partie donc il existe une unique donc il y a deux assertions, il y a l'existence et l'unicité une unique formulinaire f flèche alors voilà ça c'est la formulinaire cherchée donc ici ça c'est une refonction globale arbitraire sur g2a donc une unique formulinaire tel que elle vérifie les propriétés suivantes premièrement elle est invariante à gauche et à droite par le groupe g2f comme il est naturel deuxièmement en moyenne c'est la bonne fonction c'est à dire que pour toute fonction f on a que l'intégrale sur nb2a divisé par nb2f du que cette somme là cette fonctionnelle de poisson là f de ugama vous prenez simplement les translatés de la fonction f à gauche alors et bien cette chose là c'est ce que j'ai déjà défini ici donc c'est le p1 de f p1 de f donc je demande que en moyenne je retrouve celle que je connais déjà et puis la troisième propriété c'est qu'elle est invariante par multiplication par les fonctions 1 g qui c ou qui est un élément arbitraire de la phase c et petit c est un élément de e qui donc par ces fonctions là et par ces fonctions là et par leurs translatés à gauche et à droite par des éléments de g de f alors pourquoi est ce que je demande cette propriété et bien pourquoi est ce qu'il est naturel ou assez naturel de demander cette propriété c'est parce que malgré tout cette chose là même si c'est pas exactement cette forme linéaire qu'on cherche même si c'est pas exactement une évaluation ça y ressemble beaucoup or ici les fonctions 1g qui c elle vérifie la propriété suivante c'est que g1 g qui c de gama égale 1 pour tout élément de g bar de f donc vous voyez que si par exemple cette fonction là était une vraie évaluation la propriété que je demande serait complètement évidente en fait c'est pas exactement une évaluation mais on a vu que dans le cas des torres dans le cas de t de la formule de poisson sur t cette propriété là est vérifiée pourquoi ne pas la demander aussi sur le groupe donc on demande cette propriété et on dit que voilà il existe une unique forme linéaire vérifiant cette propriété alors pourquoi l'unicité ça doit provenir du fait suivant c'est que l'unicité ça doit provenir du fait suivant vous voyez l'unicité quel est le problème c'est de passer d'une moyenne sur nb2a divisé par nb2f à une somme sur les éléments de nb2f qu'est ce qu'on a ici on a la propriété suivante c'est que supposons qu'on ait un nu appartenant à nb2a tel que quel que soit gamma gamma prime appartenant g2f on est que le un g qui c de gamma u gamma prime est galant donc c'est quel que soit gamma prime et quel que soit qui appartenant à c quel que soit petit c appartenant à e qui donc on suppose qu'on a ça alors ça implique ceci implique que u est un élément de nb2f autrement dit la condition de valoir un sur les éléments en fait singularise complètement les éléments rationnels donc quand on prend des intégrales sur des combinaisons linéaires de fonctions comme ça ça doit permettre de remplacer la somme qui est là de remplacer l'intégrale qui est là par une somme discrète donc voilà on a cette première partie de la conjecture et alors oui il y a quand même une deuxième partie qui en fait est également importante c'est que ici on a pris la moyenne d'un côté mais on a aussi on prend la moyenne nb2a divisé par nb2f de du fois la somme sur les gammas appartenant g bar de f de f de gamma u-1 donc vous voyez vous prenez la moyenne non plus à gauche mais à droite alors avec les notations qu'on avait introduites c'est égal à p2 de f quand on fait la moyenne de l'autre côté ça doit vérifier ça et enfin la troisième propriété c'est que on doit avoir la somme cette somme là est égal à une vraie somme sur les gammas appartenant à g de f de f de gamma si f en au moins une place se factorise de cette manière là avec ceci à support compact dans g de fx donc dans la conjecture on met ces propriétés là alors pour démontrer cette conjecture donc là aussi c'est des choses que je n'ai pas faites complètement mais quand même pour lesquels il y a en quelque sorte nous tendent les bras c'est donc le fait qu'on sait que les opérateurs sur le tord sur t2a les opérateurs qui a phi associfi que multiplie 1 qui c préserve la fonctionnelle de poisson somme avec gamma appartenant à t bar de f de f de gamma voilà donc on sait que ça c'est vrai pour n'importe quelle fonction phi sur le tord et évidemment pour démontrer cette conjecture il faut utiliser ça alors maintenant il y a une deuxième conjecture qui est la chose suivante c'est que la forme linéaire donc définie pour la conjecture précédente gamma appartenant à t bar de f de f de gamma cette forme linéaire est invariante non seulement par les opérateurs de multiplications par les les fonctions un qui c mais aussi par leur transformé de fourrier les transformés de fourrier de ces opérateurs donc je peux noter un g qui c de cette manière là alors comment est ce qu'on peut espérer démontrer cette conjecture par le fait que ces opérateurs préserve les tord comme on a dit et donc tout à l'heure donc ça veut dire si on introduit à partir de f les fonctions f u v tout à l'heure pour tout u pour tout v cette fonction là restreinte aux éléments de la forme utv se déduit de celle là restreinte aux éléments de la forme utv et la propriété qu'on cherche est connue sur les tord donc on peut espérer démontrer cette conjecture sur le groupe à partir de la conjecture connue sur les tord voilà donc là aussi disons c'est j'ai envie de dire la fois en cours de démonstration puis de toute façon c'est fondé sur la validité de tout ce qui a été dit avant et le point essentiel encore une fois c'est la propriété de stabilité des tord par convolution qu'on a vu apparaître la dernière fois et donc tout l'exposé d'aujourd'hui est fondé sur ça. Si ça n'est pas vrai évidemment tout s'effondre donc le voilà alors maintenant supposez que vous ayez ces deux conjectures et alors voyez que maintenant regardez cette conjecture et prenez, vous avez une certaine formelinaire sur l'espace des refonctions globales et vous supposez que donc cette formelinaire est stable par les transformés de fourriers des opérateurs de multiplication donc ça veut dire la chose suivante c'est-à-dire que si je prends la transformée de fourriers de cette formelinaire autrement dit sont composés avec la transformée de fourriers eh bien ce que j'obtiens c'est une formelinaire qui est stable par multiplication par ses opérateurs donc elle vérifie la même propriété les mêmes propriétés que celle qui définissent cette formelinaire vous voyez vous avez deux formelières a priori vous avez la formelinaire somme avec gamma appartenant g bar de f cette formelinaire d'une part et puis d'autre part vous avez la même composée avec la transformation de fourriers donc celle-ci est respectée par la multiplication de fourriers celle-ci mais elle est aussi respectée par les transformés de fourriers de ses opérateurs de multiplication donc ça signifie que si je la compose avec la transformée de fourriers la nouvelle formelinaire que j'obtiens est stable par les opérateurs de multiplication donc ces deux transformés de fourriers sont stables par les opérateurs de multiplication d'autre part si je fais les moyennes le radical unipotent nb2a divisé par nb2f eh bien j'obtiens la même chose pourquoi ? parce que là l'équation que je trouve c'est p1 de f p2 de f chapeau avec mes notations tout à l'heure quand je fais les moyennes sur le radical unipotent donc j'ai que ces deux choses-là a priori sont stables par les opérateurs de multiplication si je crois aux conjectures précédentes et ces deux formelières ont la même moyenne donc d'après la propriété d'unicité dans la première conjecture elles sont égales donc c'est on peut appeler ça corollaire conditionnelle alors conditionnelle à quoi ? conditionnelle aux deux conjectures précédentes et à tout ce qui précède c'est-à-dire beaucoup de choses et donc le corollaire conditionnel c'est quoi ? c'est que quelle que soit f la forme linéaire dévaluation entre guillemets sur f est égale à la forme linéaire dévaluation entre guillemets pour f chapeau c'est la formule de poisson voilà donc alors tout ça je le répète est très conditionnel je ne prétends pas du tout je n'annonce rien du tout j'ai raconté donc j'ai fait de l'exposé d'aujourd'hui pour expliquer que la propriété que j'ai introduite la dernière fois qui apparaissait dans les calculs la propriété de stabilité du tort par produit de convolution est une propriété susceptible d'avoir des conséquences très importantes et qui donc mérite d'être étudié voilà donc le le je je pense que le enfin pour moi la question essentielle c'est vraiment de savoir si cette propriété est vraie ou pas si elle est vraie je pense que tout le programme que j'ai expliqué aujourd'hui pourra être réalisé si elle est fausse en revanche bien sûr tout ce programme s'effondre donc la priorité c'est vraiment d'étudier cette propriété et d'abord comme je l'avais dit la semaine dernière en cas de GL2 et des représentations symétriques des puissances symétriques de GL2 chapeaux d'abord en commençant par le carré symétrique de GL2 dans GL3 si déjà dans ce cas-là tout ce que j'ai expliqué la dernière fois marche bien c'est-à-dire si on peut vérifier toutes les propriétés de convergence et d'échange des intégrales que j'avais supposées on pourra avoir des espoirs raisonnables pour cette propriété si en plus c'était vérifié pour les puissances symétriques d'ordre 4 mitraire pour GL2 honnêtement je pense que ensuite ce serait enfin ça devrait être possible de passer au cas général si c'est vrai pour les puissances symétriques de GL2 je parie que dans le cas général ça serait vrai aussi voilà donc la question posée aujourd'hui est vraiment pour GL2 donc c'est le programme que je voudrais examiner alors comme j'ai dit au début l'exposé j'ai écrit les notes des deux premiers exposés la note du premier exposé les notes du premier exposé sont déjà sur mon site les notes du second ils seront demain celle du troisième qui finalement est l'exposé le plus important c'était calcul formel compliqué celle du troisième devrait être sur mon site à la fin de la semaine et pour celle du quatrième l'exposé d'aujourd'hui il faudra attendre quelques semaines le temps que notre secrétaire revienne de vacances donc ça devrait être disponible début août mais donc la vidéo sera sur le site des vidéos de l'IHS dès demain ou après demain voilà donc je m'arrête ici