 A continuación, vamos a introducir las aplicaciones lineales que son funciones de un espacio vectorial a otro y también la vamos a presentar la relación que tienen con las matrices. Primero definimos las aplicaciones lineales, sea f una función de un espacio vectorial u a un espacio vectorial w se dice que f es una aplicación lineal si para todos vectores u v y todos escalares lambda mu f de lambda u más mu v es igual a lambda f de u más mu f de u además se dice que f satisface la propiedad de linealidad un poco de notación f de u se llama la imagen de u por f ejemplos, aquí tenéis unas aplicaciones lineales, omitimos la verificación es decir omitimos de demostrar que son lineales pero os animamos de comprobarlo vosotros mismos otro ejemplo en el plano real nr2, suponemos que queremos efectuar una rotación de ángulo p sobre 3 en el plano real de hecho esta transformación como todas las rotaciones es una aplicación lineal y formalmente está dada por esta función vamos a mostrar que la rotación de ángulo p sobre 3 corresponde a una aplicación lineal la rotación f, la función f, admite la expresión siguiente y en efecto f satisface la propiedad de linealidad es decir que f de lambda xy es igual a lambda f de xy y por otro lado la imagen de una suma por f es igual a la suma de las imágenes por f notamos que lo que hemos mostrado no corresponde exactamente a la definición pero no es un problema ya que en realidad estas dos igualdades son equivalentes a la propiedad de linealidad además usando la notación matricial notamos que f se puede escribir como el producto de una matriz y de un rector a saber la imagen del vector x y por f es igual al producto de esta matriz con el vector x y otro ejemplo definimos la aplicación lineal siguiente f es una función de r3 a r2 tal que el vector xyz se transforma en el vector x más yx menos z mostramos que esta función es una aplicación lineal en efecto f satisface las dos propiedades de linealidad tomamos nota de las propiedades otra vez f de lambda u es igual a lambda f de u y f de u más v es igual a f de u más f de v esta aplicación lineal también admite una representación matricial se trata de una matriz dos veces tres tal que su producto por el vector x yz corresponde a la imagen de x yz por f a continuación vamos a ver que todas las aplicaciones lineales admiten una representación matricial bien sean v y v doble los espacios vectoriales sobre k estos espacios tienen dimensión n y m respectivamente y fijamos dos bases v y v prima de u y de v doble respectivamente ahora sea f una aplicación lineal y consideramos las imágenes de los vectores de la base v por f f de v uno igual a v doble uno hasta f de v n igual a v doble n ya que v prima es una base de v doble y en particular es un conjunto generador esto nos permite describir cada vector v doble y como combinación lineal de los elementos de la base v prima por otro lado y por la misma razón para cualquier v en el espacio v existen escalares tal que el vector v es igual a una combinación lineal de los vectores de v y notamos que todas estas expresiones son únicas porque las bases consisten en vectores linealmente independientes consideramos la imagen de v por f y usando la propiedad de linealidad expandimos la expresión sustituimos los f de vi por las expresiones anteriores y deducimos que f se puede escribir de la manera siguiente reunimos los términos y reconocemos el producto matricial de los alfa y con los lambda y de manera más compacta concluimos que las coordenadas de la imagen de v por f se pueden deducir haciendo un producto matricial por otro lado si tenemos una matriz de tamaño m veces n y definimos a la función siguiente donde los mj se calculan haciendo un producto matricial podemos deducir que esta función es una aplicación lineal en resumen módulo un cambio de base existe una correspondencia entre las aplicaciones lineales y las matrices m veces n o en otras palabras una vez que hemos fijado a dos bases una para cada espacio es lo mismo definir una aplicación lineal o dar una matriz