 Herzlich willkommen zu unserer nächsten Veranstaltung. In diesem Kapitel werden wir uns mit dem Themenkomplex der Fraktale auseinandersetzen und ich beginne einfach, indem ich Ihnen die Frage stelle, ob Sie sich schon einmal mit dem Konzept von Unendlichkeit befasst haben und sich vorgestellt haben, wie unendlich denn aussehen könnte. Und haben Sie sich schon mal die Welt um sich herum angesehen und sich gefragt, wie ist denn das alles aufgebaut, ohne jetzt Physiker zu sein, wie ist denn die Struktur der Welt um uns herum geschaffen? Ich habe Ihnen, bevor wir diese tiefgreifenden Fragen beantworten können, einige Bilder mitgebracht, die uns ein Ausblick ermöglichen, wie unendlich denn aussehen könnte, denn Fraktale bieten uns eines, ein Blick in die Unendlichkeit, um Bernard Mandelbrot, den Gründer Vater von Fraktalen hier einmal zitieren zu können. Ich zeige Ihnen hier, bevor wir mit unserer Vorlesung beginnen, einige grafische Impressionen wie denn Fraktale, wenn man sie mit modernster Computertechnik aufarbeitet aussehen können und was Sie hier sehen, ist tatsächlich ein Blick in die Unendlichkeit und deswegen werde ich jetzt einfach nur mal durchklicken und das auf Sie wirken lassen. Wir werden mit der Vorlesung dann entsprechend fortfahren. Wie Sie sehen können, befinden wir uns nun im dritten Kapitel und wenn wir uns über das Thema Fraktale unterhalten werden, fangen wir natürlich an erstmal zu definieren, was ist denn eigentlich ein Fraktal, was verstehen wir darunter denn überhaupt? Wir werden uns mit dem Dimensionsbegriff intensiver befassen müssen, um einem Fraktal tatsächlich fassen zu können. Wir werden fraktale Kurven kennenlernen und die Konstruktion derselben, also wie erzeuge ich denn ein Fraktal im Allgemeinen, wie erzeuge ich eine fraktale Kurve und was bedeutet das denn eigentlich? Wir werden uns über die Eigenschaften von Fraktalen unterhalten, wo ich auch noch mal näher auf die Aussage eingehen werde. Fraktale sind ein Blick in die Unendlichkeit und wir werden uns mit Maßen beschäftigen, die man verwenden kann, um Fraktale, ich nenne es jetzt mal Salob in Zahlen, zu packen. Und wir werden gegen Ende dieses Themas ein Abstecher machen, in die sogenannte Mandelbrotmenge und in die Julia-Mengen und natürlich einen Blick auf chaotische Systeme werfen und einen Blick ins Chaos werfen und das Ganze miteinander in Verbindung bringen. Im letzten Kapitel haben wir sehr viel über Finanzmärkte gelernt, wir haben etwas über Akteure gelernt, die auf verschiedenen Zeitebenen ähnliche Dinge tun und dass wir das in Reflexion auf Finanzmarktinstrumente als Multifraktalität bezeichnet haben. Es ist jetzt erstmal an der Zeit, uns allgemein mit dem Konzept von Fraktalen zu befassen, bevor wir nochmal Bezug darauf nehmen, was das denn für ein Finanzmarktinstrument bedeutet, weil ich mir einfach mal davon ausgehen kann, dass der Sprung von, ich habe hier eine Aktie zu, wir schauen uns unendliche Bilder an, etwas weit sein wird. Deswegen lernen wir hier die absoluten Grundlagen und versuchen erst einmal zu verstehen, wie Fraktale funktionieren, wie man sie messen kann, wie ich denn ein Fraktal überhaupt erzeugen kann, was Fraktale denn eigentlich sind und was das letzten Endes für Finanzen bedeuten kann. Wir beginnen hier einfach mal mit der Frage, was ist denn eigentlich ein Fraktal? Fraktal ist ein vom Mathematiker Barnois Mandelbrot 1975 geprägter Begriff, der sich aus dem lateinischen Fraktus, das kommt von Gebrochen, und vom lateinischen Frankere in Stückezerbrechen zusammensetzt. Das heißt, es ist natürlich ein gebrochenes Gebilde und Herr Mandelbrot hat damit bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde geometrische Muster bezeichnet, die in der Natur um uns herum vorkommen, aus denen wir bestehen. Das werden wir später noch sehen. Das bedeutet, ein Fraktal ist ein zerbrochenes oder gebrochenes künstliches Gebilde oder auch ein natürliches geometrisches Muster. Und wenn wir ein Fraktal jetzt etwas mathematischer beschreiben möchten, ist ein Fraktal ein Gebilde, dessen Hausdorf oder Hausdorf-Besikovic-Dimension die zugehörige topologische Dimension übersteigt. Sind wir wieder an diesem klassischen Trivial, kann sich jeder Herleitenpunkt, machen Sie sich hier keine Sorgen, wir werden das im Detail besprechen, was das denn nun bedeutet. Um die vorher genannte Definition überhaupt greifen zu können, bevor die Sinne gibt, bevor wir die überhaupt verstehen können, ist es nötig, dass wir uns zunächst mit dem Begriff der Dimension auseinandersetzen. Ganz allgemein gesprochen ist die Dimension ein mathematisches Konzept, welche die Freiheitsgrade einer Bewegung im Raum darstellt. Was ein Raum ist, nämlich eine Menge mit gegebener Struktur, das haben wir im ersten Kapitel schon gelernt und hier müssen wir noch eine Unterscheidung machen. Freiheitsgrade in der Statistik bezeichnen die überflüssigen Messpunkte, die nicht mehr benötigt werden, um die Parameter eines Modells nachzustellen. Im Gegensatz dazu stehen wie sechs Bewegungsformen in der Physik, wo die Definition eine leicht andere ist. Ich habe Ihnen die Freiheitsgrade hier nochmal ein bisschen dargestellt, also die Anzahl n unabhängiger Beobachtungen einer Messung, zum Beispiel jede unserer täglichen Aktien-Rentiten. Abzüglich der für das Modell benötigten Schätzbaren Parameter p wird in der Statistik als die Anzahl der Freiheitsgrade d, d, o, f oder einfach wie hier d, f bezeichnet. Wenn wir jetzt als Beispiel ein multiplis Regressionsmodell nehmen mit k betas und eben einer und einem Achsenabschnitt, dann haben wir eben k plus eins Parameter, die wir schätzen müssen. Und nachdem wir n Beobachtungen haben, haben wir einfach n minus p Freiheitsgrade. Und wenn wir das k plus eins da einsetzen, sind die Freiheitsgrade in der Statistik definiert als n minus k plus eins. Wir beginnen hier erst einmal mit allgemeinen Aussagen über den Begriff der Dimension. Für die Dimension gibt es keine einheitliche Definition. Es gibt jedoch sehr viele anwendungsbezogene Definitionen des Begriffs der Dimension. Zum Beispiel die Hamel Dimension, die Sie bei Vektoräumen sicher in Ihrem Ingenieurstudium schon einmal kennengelernt haben. Es gibt die Hilbertraum-Dimension. Ein Hilbertraum ist für Orthokonalbasen. Und dazu kommen wir im Kapitel zur Signaltheorie nochmals, wenn wir über das Konzept von Wevelets sprechen. Es gibt die Dimension einer Manikfaltigkeit. Das ist ein topologischer Raum, der lokal einem euklideischen Raum ähnelt. Da können Sie zum Beispiel ein Möbiusband nennen. Wir haben die Dimension eines metrischen Raumes. Hier kommen wir zu unserer Hausdorf-Dimension. Wir sprechen darüber noch. Es gibt die sogenannte topologische Dimension. Hier sprechen wir über die Lebesche Überdeckung, die wir uns als nächstes anschauen werden. Es gibt natürlich fragtale Dimensionen, denen wir uns auch noch widmen werden. Sie sehen, es gibt nicht nur eine Dimension, so wie man das vielleicht im normalen Leben annehmen würde. Es gibt ganz verschiedene Dimensionsbegriffe und einigen davon werden wir uns im näheren widmen. Wir beginnen hier sofort, und zwar mit der Überdeckungsdimension von Lebesch, um zu verstehen, was denn nun fragtale Dimensionen sind und wie wir diese fragtale denn messen können und was ein fragtal überhaupt darstellt. Fangen wir erst einmal an zu verstehen, was denn überhaupt eine Dimension ist. Und hierzu fangen wir erstmal an mit der klassischen topologischen Charakterisierung der Dimension. Ich zitiere das jetzt hier einfach mal. Ein topologischer Raum hat die Dimension N. Wenn N die kleinste natürliche Zahl ist, derart, dass zu jeder offenen Überdeckung eine feinere offene Überdeckung existiert, so dass jeder Punkt aus diesem topologischen Raum in höchstens N plus 1 der Mengen der feineren Überdeckungen liegt. Gibt es solch ein End nicht, ist die Dimension unendlich. Das macht jetzt natürlich für die meisten von uns perfekten Sinn. Das versteht jeder trivial. Können Sie sich selbst herleiten? Natürlich nicht. Wir gehen jetzt hier nochmal näher darauf ein und zwar fangen wir erstmal damit an zu sagen, dass die Dimension eines topologischen Raumes mit dem Dim-Operator bezeichnet wird und sprechen erstmal darüber, was denn überhaupt eine offene Überdeckung ist. Wir nehmen jetzt hier unseren topologischen Raum und wir sagen, dass U eine offene Überdeckung dieses Raumes ist und wir nehmen diesen Raum und überdecken ihn so lange, bis der komplette topologische Raum aus der Vereinigung dieser Überdeckungen besteht. Und wir sagen, es gibt die Überdeckungen V und die sind feiner als die vorherigen Überdeckungen U, wenn jedes V in irgendeinem U enthalten ist. Das klingt jetzt natürlich weiterhin sehr, sehr kryptisch. Das bedeutet, wir überdecken einen topologischen Raum so lange, bis dieser topologische Raum die Vereinigung der Überdeckungen ist und wir definieren eine feinere Überdeckung, als eine Überdeckung, die in einer anderen Überdeckung enthalten ist. Das macht natürlich Sinn. Wir werden auf der nächsten Folie auch gleich sehen, was es damit auf sich hat. Ich möchte Ihnen allerdings erstmal einige Beispiele hier vergeben. Es gibt hier endliche Hausdorfräume, diskrete Räume, das Kantorsche, Diskontinuum oder das Einheitsintervall, das der ein oder andere sich ja schon mal gehört hat. Und ich zeige Ihnen das jetzt hier einfach mal, indem wir nochmal sagen, dass eine Familie von Teilmengen eine Überdeckung ist, sofern eben diese Menge überdeckt wird von der Vereinigung dieser Teilmengen. Okay, sehr kryptisch, sehr verwirrend. Machen wir ein Bildchen draus. Sie haben hier links oben einen Punkt. Und wir haben eine Überdeckung, das ist hier unser Kreis und dieser Kreis überdeckt den Punkt komplett. Wir haben aber keine Schnütte, also haben wir hier die Dimension von Null. Wenn wir jetzt links unten unseren Grafen angucken, unsere Linie, unsere geschwungene Linie, nenne ich das jetzt hier mal, dann nehmen wir auch diese Überdeckungen. Diese Überdeckungen sind Teilmengen und wir sehen hier die grauen Scheiben, die hier übereinander gelagert sind, um eben alles, was auf dieser Linie liegt, einzuschließen. Und wir sehen, okay, die schneiden sich, anders bekommen wir das nicht hin. Also wenn wir hier ein Schnitt zweier Teilmengen haben, ist die Dimension 1. Und ich habe Ihnen hier rechts unten ein anderes Beispiel angefügt, was Sie sich selbst zu Hause auf einem Blatt Papier mal vorstellen können. Sie malen sich jetzt ein Quadrat und Sie versuchen mit einem Kreis, oder Sie machen das im PowerPoint, da geht es natürlich schöner, Sie machen einen Quadrat und dann nehmen Sie einen Kreis und versuchen mit diesem Kreis mit dieser Scheibe das Quadrat zu überdecken. Sie werden feststellen, dass es Ihnen nicht möglich sein wird mit einem kleinen genugen Kreis. Es ist ja auch dann später die Aufgabe, diese Kreise so klein wie möglich zu machen, das Quadrat zu überdecken, ohne dass sich drei dieser Kreise schneiden müssen. Wenn sich drei dieser Kreise schneiden, haben wir zwei Überlagerungen, deswegen ist die Dimension hier 2. Das klingelt wahrscheinlich für die meisten sehr verwirrend, deswegen fasse ich das nochmal kurz zusammen. Die Überdeckungsdimension nach Lebesque funktioniert folgendermaßen. Wir haben ein Objekt, was wir überdecken wollen. Hier ist es entweder unser Punkt, unsere Linie oder unsere Fläche. Bleiben wir hier mal bei der Fläche und Sie möchten mit einer gewissen Teilmenge davon, in dem Fall hier diesen Kreisen, mit diesen Kreisscheiben die Fläche überdecken. Das können Sie hier wirklich nehmen und Sie versuchen jetzt einen Kreis derselben Größe zu kopieren und so anzuordnen, dass die Fläche eben komplett überdeckt ist. Und Sie werden feststellen, dass Sie das nicht schaffen, ohne dass es gewisse Überlagerungen gibt, so dass eben jedes Element der Fläche überdeckt ist und Sie nehmen einfach die Anzahl der Überschneidungen dieser Überdeckungen geben dem den Namen Dimension. Was hat das jetzt mit den feineren Überdeckungen auf sich? Natürlich ist es möglich, in einer dieser Kreisscheiben einen kleineren Kreis einzufügen und dennoch alles zu überdecken. Das ist so die Grund herangehensweise in der Topologie. Ich erspare Ihnen jetzt hier die mathematischen Details, wie man das denn zeigen kann, dass das möglich ist für gewisse topologische Räume. Wir bleiben hier einfach bei der, ich sage es mal, leihenhaften, bildhaften Darstellung, indem wir einfach Scheibchen über Flächen legen und einfach zählen, wie oft diese sich überlagern. Es wird Ihnen auch nicht möglich sein, diese Scheiben so anzuordnen, dass diese sich nicht überlagern, wenn Sie eine zweidimensionale Oberfläche haben, also einen Quadrat. Und das können wir hier an diesem Bild nochmal sehen, wenn Sie jetzt einen, nehmen Sie hier einen Punkt, den können Sie einfach so ohne Überschneidung einfügen, wenn Sie eine Linie haben, haben Sie Überschneidungen und wenn Sie Flächen haben, haben Sie sogar zwei oder mehrere Überschneidungen und so können Sie den allgemeinen Begriff der Dimension, so wie Sie ihn in der Schule auch mal gelernt haben, so wie er für uns eingänglich ist. Sie sehen hier, wenn wir hier einen Punkt haben, in dem Fall gar keine Dimension, eine Linie hat eine Dimension, ein Quadrat ist zweidimensional, ein Würfel ist dreidimensional. Das sind die Dimensionswerte, an die wir in der euklideischen Mathematik und in der euklideischen Geometrie auch gewöhnt worden sind. Wir werden allerdings noch sehen, dass das nicht immer der Fall sein muss. Um dies zu zeigen, machen wir uns jetzt mal auf den Weg zur Hausdorff-Dimension und um eine Hausdorff-Dimension überhaupt darstellen zu können, müssen wir noch mal einen kurzen Abstecher in die Räume machen, genauer gesagt in einem metrischen Raum. Da die Hausdorff-Dimension auf metrischen Räumen definiert ist, müssen wir diese metrischen Räume erst einmal einführen und unter einem metrischen Raum versteht man eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist. Das hilft uns jetzt natürlich wie immer sehr viel, dass ein metrischer Raum, ein Raum ist mit einer Metrik und ein Raum ist eine Menge mit Struktur. Das sagt uns erst mal noch nicht sehr viel. Was ist denn überhaupt eine Metrik? Eine Metrik ist eine Abstandsfunktion, die je zwei Elementen des Raumes einen nicht negativen Reellenwert zuordnet, der als Abstand der beiden Elemente voneinander aufgefasst werden kann. Das sagt uns jetzt natürlich schon viel mehr. Das heißt, wir haben einen Raum, das ist eine Menge mit Struktur, in dieser Menge sind Elemente enthalten und wenn wir eine Metrik anwenden, können wir sagen, das Element X ist von Element Y so und so viel Einheiten entfernt. Wir sagen einfach mal, X und Y liegen 42 auseinander. Wir können auch jede andere nicht negative reelle Zahl nehmen und diese als Abstand definieren. Wir stellen uns jetzt im weiteren Mal die Frage, was ist denn formal gesehen eine Metrik? Dazu nehmen wir unsere Lieblingsmenge X und eine Funktion, die X kreuz X auf R abbildet und nennen das eine Metrik auf X, wenn für beliebige Elemente, die in unserer Lieblingsmenge X eben enthalten sind, gewisse Aktionen erfüllt sind. Zu diesen Aktionen gehört die positive Definiertheit, die Symmetrie und die Dreiecksungleichung. Was bedeutet das denn jetzt? Die positive Definiertheit bedeutet, dass die Metrik größer gleich 0 sein soll und dass wenn die Metrik gleich 0 ist, der Punkt X oder das Element X gleich dem Element Y entspricht. Symmetrie bedeutet in diesem Fall, dass der Abstand, den wir haben von X zu Y gleich dem Abstand von Y zu X sein soll. Und die Dreiecksungleichung bedeutet, wenn ich von X zu Y laufe, dann sollte das ungefähr das Gleiche sein oder es sollte kleiner sein, wie wenn ich von X zu Z laufe und von Z zu Y laufe. Das ist natürlich ein längerer Weg, natürlich von X zu Y laufe. Es sei denn, unser Z liegt direkt auf dem Weg von X zu Y, dann ist das natürlich gleich, aber ansonsten sollte das natürlich jedem Sinn machen. Wir machen auf dem Weg zur Hausaufdimension weiter und machen einen kurzen Exkurs und zwar zum Zusammenhang normierter Räume und Vektoren, da die meisten Kursteilnehmer hier aus den Ingenieurswissenschaften sind, aber ich mir gedacht, ich zeige Ihnen das komplett. Programmierung läuft auch meistens über Vektoren und daher machen wir hier eine kurze Abweichung vom Kurs und zwar wirklich nur eine sehr kurze. Wir sagen jede Norm auf einem Vektoraum induziert die Festlegung, die hier eben steht, als Metrik. Genau und somit ist jeder normierte Vektoraum auch ein metrischer Raum. Dieses Bild habe ich Ihnen schon mal in der ersten Vorlesung gezeigt und habe gesagt, wir kommen da nochmal drauf zurück und das tun wir hier natürlich auch. Sie sehen hier, wir fangen auch wieder ganz unten an, den allgemeinen Raumbegriff durch eine Topologie, doch einen topologischen Raum und der muss nicht abgeleitet sein, von, stellt aber auf jeden Fall auch einen metrischen Raum dar. Ein metrischer Raum, wie wir gerade gelernt haben, erlaubt Abstände zwischen Elementen zu messen und wenn wir nun auf einen normierten Raum das runterbrechen sind wir im Bereich der Vektoren, die sie in den Ingenieurswissenschaften sicher schon mal kennengelernt haben und ein Skalarprodukt, das ist Basismathematik, das kennt denke ich jeder. Wenn wir die Rolle jetzt rückwärts machen, ein Skalarprodukt setzt zwingend ein normierten Raum voraus und dieser setzt zwingend eine Metrik voraus, um einen metrischen Raum haben zu können, benötigen wir oder induzieren wir garantiert einen topologischen Raum, das heißt, wir sehen hier eine Hierarchie der Räume, das soll es auch schon sein mit unserem Exkurs und wir beschäftigen uns jetzt tatsächlich, der Weg ist abgeschlossen, wir beschäftigen uns jetzt mit der Hausdorfdimension. Was ist denn jetzt nun diese Hausdorf oder auch Hausdorf Besikowitschdimension, über die wir hier die ganze Zeit sprechen, mit dieser Dimension kann man jedem beliebigen metrischen Raum eine Dimension zuordnen, das heißt, für euklideische geometrische Objekte, zum Beispiel Strecken- oder Vielecker nimmt hier der Wert der Hausdorfdimension den des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes an, das bedeutet, dass hier die Hausdorfdimension gleich der Überdeckungstimension nach Lebesk ist, allerdings haben wir hier einen großen Unterschied zwischen diesen beiden Dimensionen die Hausdorfdimension kann auch rationale oder irrationale Zahlen annehmen und dient somit als Maß für fraktale Dimensionen. Was heißt das jetzt? In unserem klassischen Denken nehmen wir an, wir haben ganz zahlige Dimensionen Punkt 0, eine Linie 1 eine Fläche 2-Dimensional der Würfel 3-Dimensional, das ist so die Denkwelt, die euklideische geometrische Denkwelt, die wir so von klein auf kennengelernt haben ich werde jetzt und das ist auch der Punkt geistiger Flexibilität und ich möchte Ihren Horizont erweitern ich werde jetzt Ihnen dieses Denken in ganz zahligen Dimensionen einfach mal nehmen und ich werfe jetzt in den Raum es gibt gebrochene Dimensionen und ganz zahlige Dimensionen so wie wir sie aus der euklideischen Geometrie kennen so wie wir sie in der Schule kennengelernt haben sind eigentlich ein Spezialfall den es in unserer gelebten Realität so gar nicht wirklich gibt Wie definieren wir denn jetzt eine Hausdorf-Dimension? Was können wir damit anfangen? Wie kommen wir da dazu? Wir fangen hier erst einmal an und wir nehmen eine beliebige Punktmenge in einem endlichen 3-Dimensionalen Raum zur weiteren Einführung wie jeder noch vorstellen das bedeutet sie haben einfach einen Würfel so einen klassischen 3D-Würfel in dem eben eine punkte Wolke umherwabbert um es mal ein bisschen lyrisch auszudrücken also wir haben einen 3-Dimensionalen Raum in dem befindet sich eine vordefinierte Punktmenge und wir betrachten jetzt die Anzahl N der googeln mit dem Radius R die mindestens erforderlich sind um die punkte Menge zu überdecken und das resultiert in einer mindestens Anzahlfunktion N in der Abhängigkeit von R das heißt natürlich die Anzahl der googeln die wir benötigen um diese punkte Menge zu überdecken ist abhängig vom Radius ich glaube das macht Sinn da wird mir jeder noch zustimmen können und was wir in der Überdeckungsdimension nach Lebesque gelernt haben ist wir können Scheiben nehmen um 0 bis 2-Dimensionale Körper zu überdecken und das ganze geht natürlich auch mit einer punkte Wolke im 3-Dimensionalen Raum nur dass wir da mit Scheiben nicht mehr wirklich weit kommen sondern wir nehmen da jetzt halt googeln dazu die Didaktik ist hier aber die gleiche wir nehmen googeln und wir stapeln die googeln so lange aneinander ineinander umeinander bis diese punkte Menge völlig umschlossen ist und natürlich ist die Folge von dieser Mindestanzahlfunktion dass je kleiner der Radius ist desto mehr googeln brauche ich natürlich auch weil die googeln ja kleiner werden und aus der Potenz mit der der Limes gegen 0 wächst kann man eben die Hausdorfdimension berechnen wir berechnen das eben folgendermaßen man kann diese Anzahlfunktion grob approximieren mit dem wir 1 geteilt durch R zur Potenz D rechnen Dimension die wir betrachten wollen und wenn wir das über eine Limesfunktion auflösen definiert sich formal die Hausdorfdimension als der negative Limes der logaritmierten Anzahl an googeln durch den logaritmierten Radius der googeln sofern wir den Radius gegen 0 laufen lassen das bedeutet natürlich ums zusammen zu fassen und um von dem Kugelbeispiel erstmal nochmal wegzugehen zurück zu uns an Scheiben dass wir die Scheiben nicht nur willkürlich groß machen können weil dann würden wir auch in unserem Würfel nur eine Kugel brauchen und zwar eine Kugel die größer ist wie der Raum selbst oder eben größer wie die punkte Wolke dann können wir sagen, wir haben eine Kugel, da passt alles rein solche Ansätze gibt es natürlich auch dass wir die Kugel dann schrumpfen lassen und so lange schrumpfen lassen bis wir gerade noch so diese punkte Wolke beinhalten wir machen das jetzt aber anders drum wir sagen, wir nehmen Kugeln und versuchen diese punkte Menge zu überdecken und diese Kugeln lassen wir immer kleiner werden und zwar wir lassen den Radius gegen 0 laufen und gucken im Grenzfall wie viele Kugeln davon brauchen wir denn und wenn wir dann den logaritmierten Kugelanzahl durch die logaritmierte Limes getriebenen Radius laufen lassen und davon das negativ dann haben wir eine Dimension ich habe Ihnen hier mal ein greifbareres Beispiel für diejenigen die sich keine höher dimensionalen Körper ineinander Verschachtel vorstellen können aufgeführt und zwar wir kommen zurück zu einem Quadrat und wir versuchen das Quadrat jetzt nicht durch Kugeln zu überdecken sondern durch andere Quadrate zu überdecken und wir sehen hier, dass ein Quadrat sich aus neun Quadraten von jeweils einem Drittel Seitenlänge des Gesamtquadrats zusammensetzen lässt und was bedeutet das jetzt wir haben dieses große Quadrat und wir brauchen neun Quadrate mit einem Drittel der Seitenlänge des großen Quadrates um dieses große Quadrat zu überdecken und wenn wir das jetzt in unsere Dimension hier einsetzen haben wir den logaritmus vor neun geteilt durch logaritmus 3 gibt die Dimension von zwei und das bedeutet in diesem Fall dass die Hausdorfdimension gleich der Überdeckungsdimension von Lebesque ist wir haben ja vorher gesehen wenn wir jetzt das hier besagte Quadrat mit Kreisscheiben überdecken wollen dass wir mindestens eine Überschneidung oder so hier sogar zwei Überschneidungen der Überdeckungen bekommen und auch bei einer Dimension bei einer integer Dimension also bei einer ganz zahligen Dimension das heißt hier sind die Dimensionsbegriffe identisch wir werden aber noch lernen das für Fraktale, Konstrukte für Fraktale, Körper dies nicht mehr der Fall sein wird so, das war jetzt eine Möglichkeit die Hausdorfdimension zu bestimmen das war jetzt allerdings nicht unbedingt eine feine mathematische Art und Weise mathematisch nutzt man hier das sogenannte Hausdorfmaß exakte Definition der Hausdorfdimension einer beschränkten Teilmenge erfolgt über das Hausdorfmaß H dass jeder Menge zu jeder Dimension zugeordnet wird was heißt das jetzt wir haben eine beschränkte Teilmenge X die schwimmt im enden Dimensionalen rellen Raum herum und für jede Menge jeder Dimension wird ein Maß S zugeordnet Hausdorfdimension dieser Teilmenge ist demnach definiert als das Infimum aller möglichen Dimension die je gwenen Mengen zugeordnet wurden für die eben das Maß 0 ist oder equivalent dazu das Supremum aller möglichen Dimensionen S für die eben dieses Hausdorfmaß unendlich ist das kann man hier unten nochmal sehen vor mal und wir stellen jetzt uns mal die Frage was bedeutet das denn also für eine feste Dimension haben Mengen der ein Hausdorfdimension kleiner ist als diese Dimension das S-Dimensionale Maß 0 während Mengen größere Dimension und endliches S-Dimensionales Maß haben vor mal können Sie die Definition hier unten nochmal sehen ich spring jetzt hier schon mal eine Folie weiter hier können wir dann natürlich sehen worauf das alles rausläuft und wie eben gezeigt kann die Hausdorfdimension über das Hausdorfmaß definiert werden welches fast überall 0 oder unendlich ist also wir ordnen jeder Menge eine Dimension zu und berechnen eben für diese Dimension dieser Menge das Hausdorfmaß und wir haben gesehen dieses Maß ist entweder 0 oder unendlich fast überall und was ist denn jetzt die Hausdorfdimension weil wir haben ja gesehen es funktioniert die Hausdorfdimension ist 2 und zwar ist es folgendermaßen dass die exaktes Sprungstelle zwischen 0 und unendlich hier die Hausdorfdimension darstellt die Hausdorfdimension ist deshalb auch eine fraktale Dimension da sie nicht nur natürliche Werte annehmen kann also nicht nur ganze Zahlen sondern die Hausdorfdimension kann durchaus gebrochene Werte annehmen also rationale oder irrationale Werte und somit ist sie gebrochene Dimension welche wir als fraktale Dimension bezeichnen wie andere fraktale Dimension vorallgemein hat die Hausdorfdimension damit den Dimensionsbegriff das bedeutet wir haben nicht nur ganz zahlige Dimension 1, 2 und 3 so wie wir das in der Schule gelernt haben und wie das so unsere natürliche Wahrnehmung ist sondern es gibt gebrochene Dimension die da dazwischen liegen und wir sehen die nächste Dimension die ich Ihnen hier als fraktale Dimension vorstellen möchte ist die sogenannte Box Counting Dimension bei der Box Counting Methode überdeckt man die Menge mit einem Gitter einer spezifizierten Breite Epsilon also Sie sehen, wir machen Fortschritte wir sind immer noch dabei Mengen zu überdecken aber wir entwickeln uns weiter wir nehmen jetzt nicht nur irgendwelche Scheiben, sondern wir nehmen gleich ein ganzes Gitter mit einer spezifizierten Breite Epsilon und wenn jetzt nun die Funktion N von Epsilon die Anzahl von der Menge belegten Boxen darstellt, so ist die Box Dimension wie folgt eben unten definiert ich habe ja vorher schon mal den Witz gemacht wir können die Kugeln ja groß genug machen und die dann schrumpfen die Box Counting Dimension macht das noch viel einfacher die sagen ok, hier ist meine Menge ich leg da einfach mal ein Gitter drüber und zähl die Boxen die diese Menge eben belegt also mal nach Zahlen für Fortschritte aber hier bekommen wir eben auch ein reliables fractales Dimensions Maß ich habe ihn ja am Anfang vom Kurs angekündigt, dass ich Ihnen geistige Flexibilität abverlange dass wir einen Blick über den Tellerrand machen und auch dass das Thema fractale ein sehr exotisches und spezielles Thema ist und das werde ich Ihnen hier gerade mal unter Beweis stellen und zwar mit unserer vorletzten Dimension die ich Ihnen hier vorstellen werde und zwar die Minkowski Dimension welche im Gegensatz zur Box Counting Dimension nicht hergeht und sagt ok, wir legen da ein Gitter drüber und zählen die Boxen die eben unsere Punkte Menge belegt sondern bei der Minkowski Dimension umgibt man eine Menge F mit einer sogenannten Minkowski Wurst der dicke Epsilon und misst deren Enddimensionales Volumen und dann kann man eben wie unten dargestellt die Dimension definieren und das klingt jetzt natürlich interessant interessant deshalb, weil wir gleich mal einen Test Ihrer geistigen Vorstellungsfähigkeit machen werden stellen Sie sich doch mal in den Enddimensionalen Raum vor und um diese Punkte Wolke wickeln Sie jetzt eine Wurst der dicke Epsilon und messen deren Enddimensionales Volumen damit sie eine Dimension definieren können die eben diese Menge aufweist das klingt interessant wir sind hier in den Ur-Tiefen der Verpackungstheorie und ich habe es mir mal zur Aufgröppe gemacht Ihnen aber auch in den Verpackungstheorie mal zur Aufgröppe gemacht Ihnen eine solche Minkowski Wurst plakativ darzustellen das sind hier diese grünen Kugeln mit einer blauen Verpackung außen rum deswegen heißt dieses Konstrukt auch Wurst natürlich gibt es ja nicht nur Würste sondern es gibt auch so gemannte Minkowski Klasser das bedeutet, dass man die Elemente die in der Wurst vorhanden sind auch zusammenkneten kann und da drinnen wird höher und das führt uns mathematisch schon an unsere Grenzen und da gibt es auch ein Begriff dazu und zwar die sogenannte Minkowski Wurstkatastrophe und das ist eine Katastrophe deswegen wenn Sie sich das obere Bild ansehen haben Sie einmal eine Minkowski Wurst und ein Minkowski Klasser das eben aus dieser Wurst entstehen kann jetzt haben wir mathematisch allerdings eine höhere Anzahl an Wurstelementen das Klaster Dichter ist als die Wurst selbst und wir da beim Dimensionieren und beim Dimensionen Messen Probleme bekommen können und bisher ist hier noch keine Optimierung gefunden worden das heißt, Sie sehen hier gerade schon den Rand der Forschung dass wir eine Minkowski Wurstkatastrophe haben und fragtale Dimensionen nicht mehr ordentlich messen können wenn wir Punkte wollten haben, welche von eben solch einer Minkowski Wurst umschlungen werden müssen um gemessen zu werden Sie können natürlich gerne im Nachkrank dieser Veranstaltung über dieses Problem nachdenken, wenn Ihnen eine passende Lösung einfällt, können Sie dazu gerne selbst ein Research Paper veröffentlichen ich denke, das wird auch ein sehr interessantes Stück Literatur wir fahren jetzt jedoch fort mit unserer letzten fragtalen Dimension die eigentlich gängig ist das ist die sogenannte Ähnlichkeitsdimension und zwar Mengen die aus N um den Faktor Epsilon Kleiner 1, verkleinerten Versionen ihrer selbst bestehen heißen selbst ähnlich mit der Dimension Logarithmus N durch Logarithmus Epsilon und diese Methode wird meist bei iterierten Funktionssystemfraktalen angewandt sogenannte IFS-Fraktale die werden wir noch kennenlernen die Faktale, die recurrent immer nach demselben Bildungsmuster erzeugt werden können und was sagt uns denn diese Ähnlichkeitsdimension das ist einfach eine Dimension die meiner Meinung, meiner persönlichen Meinung nach intuitiv dem Faktal am nächsten steht und zwar wir nehmen einen Körper, verkleinern ihn und setzen ihn auf den anderen Körper drauf und wenn wir jetzt natürlich ein klassisches Faktal haben und natürlich auch verkleinert der Version seiner selbst enthält ist diese Dimension meiner Meinung nach am eingänglichsten und steht aber gleichwertig neben den anderen was ich gerade gesagt habe die IFS-Fraktale was ist das denn wir haben ganz am Anfang in der Autokorrelation die Verkettung von Funktionen kennengelernt und wenn wir jetzt natürlich eine Funktion mit sich selbst verketten dann nennt man das Iteration und in der Theorie der dynamischen Systeme sowie auch in den Computerwissenschaften und in der angewandten Programmierung bezeichnet man als Iteration die wiederholte Anwendung derselben Funktion oder desselben Vorgangs das können Sie wie hier unten als F hoch N darstellen was definiert wird als eben die Verkettung von F mit F mit F beachten Sie bitte das mathematische Gebiet hier ist F hoch N nicht die Ente-Ableitung sondern die Ente-Verkettung der Funktion F mit sich selbst das heißt, wir wenden die Funktion F auf eine Variable X an und dieses Ergebnis wieder und wieder und wieder eben je nachdem wie oft wir das machen und wie oft wir iterieren man kann hier anhand der sogenannten Orbits das ist quasi eine Familie von Funktionen die auf sich selbst angewandt werden das heißt, alle Realisationen die bei häufigerem Anwenden auftreten anhand derer anhand dieser Orbits kann man das Langzeitverhalten dieser Funktion beobachten wir werden das noch lernen wenn wir unseren Abstecher in chaotisches Verhalten machen das wird aber nur ein kleines Randthema sein da ich die nicht linearen dynamischen Systeme und Chaos Theorie was zu anspruchsvoll und zu umfangreich für den Kursrahmen wahrgenommen habe da kann man vielleicht, wenn das Interesse besteht ein eigenes Fach dazu anbieten wir hier in diesem Kurs fangen jetzt tatsächlich mal an uns mit wirklichen Fraktalen zu beschäftigen was sind denn Fraktale wir haben jetzt sehr viel Dimension gemacht aber was ist denn nun ein Fraktal und wir fangen hier mit dem sogenannten Koch-Terragon das ist eine der bekanntesten sogenannten Monster-Kurven und die wurde von Helge von Koch 1904 als Beispiel einer überall stetigen aber nirgendwo differenzierbaren Kurve vorgestellt und ist auch als kochsche Schneeflockenkurve bekannt oder schlicht kochsche Schneeflocker die Kurve kann als iterativer Prozess über ein L-System konstruiert werden darauf gehen wir hier eigentlich gar nicht näher ein, das ist nur sollten Sie das in der Literatur einmal aufschnappen und ich möchte Ihnen bevor ich diese Kurve tatsächlich vorstelle Ihnen einige Parameter mitgeben einmal die Kurvenlänge nach der enden Interaktion das ist 4 durch 3 hoch n das bedeutet die weiter wie iterieren desto länger wird diese Kurve und im Grenzwert hat diese Kurve eine unendliche Länge der Flächenden-Inhalt liegt bei 5, wenn wir unter dieser Kurve eben den Flächen-Inhalt bestimmen und jetzt sind wir endlich soweit festzustellen, dass die Hausdorfdimension das Koch-Terragons bei 1,26 liegt in etwa und das ist schon mal eine Feststellung, die Sie in Ihrer Schulmathematik wahrscheinlich nicht gelernt haben dass wir eine Kurve kennengelernt haben die eine Dimension von 1,26 aufweist also eine gebrochene Dimension die weder 2 Dimensional ist das heißt das ist noch keine Fläche aber eine eidimensionale Kurve ist es auch nicht, es ist irgendwas zwischendrin und dem gehen wir jetzt erstmal näher auf den Grund und zwar ich zeige Ihnen erstmal wie man diesen Koch-Terragon erzeugt Sie haben hier Ihre Strecke A bis E und was Sie jetzt machen Sie nehmen das mittlere Drittel BD raus Sie ersetzen eben dieses Stück durch zweimal dieses Stück und zwar so dass die Strecke BC die Strecke BC ist genauso lang wie die Strecke BD in einem 60 Grad Winkel nach oben zeigt und CD genauso das heißt Sie haben hier ein Dreieck B D und C und damit ersetzen Sie quasi dieses Stück BD was Sie hier rausgenommen haben das heißt es bleibt übrig A, B, C, D, E und der Weg von B nach D den nehmen Sie raus das ist die erste Iteration was machen Sie dann weiter Sie nehmen das Stück A und B und machen genau dasselbe Sie nehmen das Drittel von A und B raus und bauen wieder so ein Dreieck rein das sehen Sie hier ich habe Ihnen hier mal aufgezeigt wie Sie diesen Koch-Terragon mittleres Drittel wird rausgenommen dieses mittlere Drittel wird im 60 Grad Winkel so angeordnet dass Sie hier ein Dreieck haben und dann machen Sie das mit jedem Teilstück immer und immer und immer wieder das ist so eine sogenannte Iteration und das ist ein Bildungsgesetz eines Fraktales Sie sehen hier wie diese Schneeflocke entsteht und lassen Sie sich das einfach mal durch den Kopf gehen, ich habe Ihnen hier nochmal eine höhere Iteration vorgestellt und Sie sehen, dass die Oberfläche eigentlich immer rauer wird und Sie sehen, dass die Strukturen immer feiner werden und Sie sehen warum die Länge dieser Kurve gegen und endlich wandert wenn wir das immer und immer weiter betreiben aber gleichzeitig unter der Kurve ein endlicher Flächeninhalt bestehen bleibt nicht nur den Kochterragon sondern tatsächlich die Schneeflocke aufgezeigt da fangen Sie halt mit drei Seiten an Sie nehmen aber die gleiche Strukturweise Sie nehmen das mittlere Drittel raus ersetzen es durch dieses Dreieck und das machen Sie immer und immer und immer, habe ich immer schon gesagt immer wieder das heißt, Sie iterieren durch diesen Generator mittels eines Bildungsgesetzes und erhalten eben diese Strukturen ich habe Ihnen hier nochmal eine richtige Schneeflocke ausgegeben die können Sie sich in Ruhe mal anschauen und Sie können auch sehen wie granular detailliert diese Ränder eben werden Mandelbrot hat damals diese Kurve dazu genommen um die Länge der Küste von Großbritannien zu schätzen und eben auch in seinem fantastischen Werk Fraktale Geometrie der Natur diese Kurven und diese mal mathematischen Monster vorzustellen weil zur damaligen Zeit als hell gekocht diese Kurve als Monsterkurve oder pathologische Kurve vorgestellt hat konnte sich ein Mathematiker nicht vorstellen dass es eine Kurve mit unendlicher Länge geben soll die man nicht differenzieren kann und die auch noch eine gebrochene Dimension besitzt, das war neu und das mochte man nicht warum kann man das nicht differenzieren warum kann man hier keine Steigung bestimmen natürlich weil ein eben Punkt an dem Sie diese Tankente anlegen möchten natürlich die nächste Interaktion schon anfängt deswegen ändern die sich permanent deswegen ist es nicht möglich hier eine Differenzierung vorzunehmen ich lasse Sie damit mal ein bisschen alleine und wir machen gleich mit unserem Stoff weiter wir fahren jetzt hier im Kurs fort mit der nächsten Kurve die Pianokurve die Pianokurve ist nach Giuseppe Piano benannt und ist eine sogenannte raumpfüllende Kurve welche sich aus dem zuvor eingeführten Kochterragon ableiten lässt so fährt man die Winkel dieses Dreieckes oder diese Ersetzung dieses Generators, den wir kennengelernt haben entsprechend ändert es kann allerdings auch ein anderer Generator verwendet werden wie Sie hier unten sehen wenn wir bei dem Kochterragon einen Operator einen Generator verwenden welcher hier eben dieses Dreieck darstellt haben wir hier eben unten dieses Kastenkonstrukt das bedeutet die hier herangehensweise ist aber grundsätzlich dieselbe und zwar wir ersetzen jedes Streckenstück durch dieses Stück hier unten und wiederholen das und iterieren das immer und immer und immer wieder warum nennen wir jetzt die Pianokurve eine raumpfüllende Kurve ich denke die Iterationsfortschritte die Sie hier unten sehen können zeigen das schon mal dass diese Kurve ohne sich selbst zu schneiden wohlgemerkt selbst schneidende Fraktale existieren auch sind dann aber mathematisch ganz anders zu behandeln Sie sehen hier unten im letzten Bild, dass doch die Fläche sich langsam ausfüllt es handelt sich aber immer noch um eine Kurve im Grenzfall füllt die Pianokurve die Ebene und hat eine Fraktale Dimension von 2 während ihre topologische Dimension immer noch 1 ist beachten Sie unten die Grafiken hier sehen wir das relativ deutlich ich stelle jetzt einfach noch mal die Frage in den Raum was sehen wir hier denn eigentlich wir sehen eine Iteration wir ersetzen ein Stück Linie durch eben dieses Kastengebilde und wiederholen das immer und immer wieder und dann kommen wir am Ende raus bei einer fast gefüllten Ebene und behaupten aber immer noch das ist eine Kurve das ist quasi das Computerspiel Nokia Snake für Fortgeschritten was für Probleme tauchen denn damit auf was mit was für Problemen sind Mathematiker denn da konfrontiert gewesen jeder von ihnen kann sich vorstellen dass wenn wir diese Iteration hier immer weiter betreiben die Ebene irgendwann mal voll ist die Kurve unendliche Länge besitzt differenzierbar brauchen wir gar nicht mehr darüber sprechen aber Sie sehen hier das eine Kurve die eigentlich topologisch Dimension 1 ist hier die Dimension 2 annehmen kann und Sie sehen Fraktale sind schon interessante Konstrukte mit denen wir auch wenn wir in die stochastischen Prozesse gehen weiterarbeiten können diese Kochkurven und Pianokurven in eine braunische Molekularbewegung zu überführen das werden wir noch sehen wenn wir diese Konstrukte randomisieren bevor wir dazu allerdings kommen fahren wir erstmal mit den Eigenschaften von Fraktalen fort und wie kann ich sie denn messen die Skaleninvarianz habe ich ja vorher schon mal erwähnt und sie definiert sich folgendermaßen eine von der Variablen X f von X heißt Skalinvariant wenn die wesentlichen Eigenschaften der Funktion sich unter einer Reskalierung also das X wird abgebildet und auf ein X was mit einem Skalenfaktor multipliziert wird, nicht ändern das bedeutet ich habe ja eine Funktion die dieses S X abbildet und ich kann diese Funktion hier rausziehen das bedeutet ich habe einfach eine Konstante mal f von X Skalinvarianz zusammengefasst können wir hier einfach sagen diese Funktion ändert sich nicht egal ob ich sie auseinanderziehe, zusammendrücke oder sonst irgendwie manipuliere dieses Skalinvarianz und diese Skalierungen werden uns im Kapitel über Signalanalyse nochmal über den Weg laufen wir halten jetzt aber erstmal fest Fraktale sind Skalinvariant und sie sind selbstähnlich selbstähnlichkeit bedeutet unendliche Vergrößerung des Untersuchten Objektes immer wieder die ursprüngliche Struktur erhalten wird ohne jemals eine elementare Feinstruktur zu erhalten dann sind wir selbstähnlich und Skalinvarianz und Selbstähnlichkeit ist bei natürlichen Fraktalen begrenzt bei Mathematischen jedoch nicht was heißt denn das jetzt Selbstähnlichkeit heißt auf gut Deutsch wir zoomen in dieses Konstrukt rein wir vergrößern es und es sieht so aus wie wenn wir nie reingesumt hätten weil wir genau dasselbe sehen Sie müssen jetzt hier natürlich unterscheiden zwischen rein Mathematischen Fraktalen so wie unsere IFS Fraktale dazu gehört das Kochterragon genauso und sie müssen natürlich zwischen diesen Fraktalen unterscheiden die in der Natur vorkommen wenn sie sich den Moodle-Kurs genauer angesehen haben eine Warnung vor die Fraktale YouTube-Videos gestellt und diese Warnung besagt wenn sie jemals wieder nach draußen blicken wollen wenn sie sich eine Blume betrachten wollen einen Baum betrachten wollen sich selbst betrachten wollen oder eben ihre Bedeutung auf diesem Planeten, ihre Bedeutung im Universum und die Zusammenhänge die sie sich in ihrem Leben bisher erarbeitet haben dann müssen sie jetzt wirklich aufhören weil ich kann die natürlich sagen Sie überall nur noch Fraktale sehen weil Fraktale eben jegliches natürliches, nicht vom menschgemachten Konstrukt darstellen kann und quasi die Erzeugungsmechanismen sind für das was wir sind und für das was die Welt um uns herum ist um Ihnen das deutlich zu machen dass Fraktale selbst in ihrem Smartphone schon anfangen die Antenne die Sie in Ihrem Smartphone haben ist ein Fraktal Sie selbst sind ein Fraktal Ihr Gehirn ist Fraktal aufgebaut Ihre Zellstruktur ist Fraktal Ihre Blutbahnen sind Fraktal Bäume folgen Fraktalenmustern Wolken sind Fraktale Die Verteilung von großen Bäumen zu essen in einem Wald sind Fraktal und wenn wir es sogar noch ins Extreme ziehen ist das Verhältnis von großen zu kleinen Bäumen gleich dem Verhältnis von Sternen im Universum so das war jetzt sehr abgedreht ich breche das nochmal in 2-3 Sätzen runter Fraktale beschreiben die Geometrie der Natur deswegen heißt das Buch von Vanua Mandelbrot auch so jedes natürlich vorkommende Objekt was Sie auf unserem Planeten oder im Universum finden können egal ob Mikro oder Makroskopisch ist Fraktal Lassen Sie sich das mal gehen während ich Ihnen hier noch einige natürliche Fraktale zeige und wir sehen uns dann gleich wieder bevor wir nun mit unserer Vorlesung fortfahren möchte ich doch nochmal auf die Bilder die Sie eben gesehen haben zu sprechen kommen Sie haben gesehen dass sämtliche natürlichen Objekte die Sie in ihrem realen Leben wahrnehmen können Fraktalenmustern folgen Sie haben auch gesehen das Gehirn welches sie hoffentlich gerade benutzen diesem Kurs zu folgen ebenfalls aus Neuronem besteht die Fraktal aufgebaut sind und das ist besonders interessant weil ja neuronale Netzwerke unserem menschlichen Gehirn nachempfunden sind deswegen ist das Kapitel Fraktale auch ein Bindeglied zwischen allem was wir hier so Fröhliches tun und ich schweife jetzt einfach mal ein bisschen ab und werfe offene Frage in den Raum ob sie nun gläubig sind oder nicht spielt hier einfach gar keine Rolle sondern es ist einfach so Mathematik ist eine Universumssprache und wir sehen anhand der Fraktale dass der Bauplan der Natur auch Skalinvariant ist weil wenn das große Universen Cluster was wir hier sehen können ähnlich ist wie das Neuron aus dem ihr hier beschaffen ist gibt es einem durchaus zu denken und lässt die Frage im Raum stehen wo wir herkommen wo stammen wir her, wie funktionieren wir und wieso sind wir so wie wir sind und folgt das alles einem Bauplan den wir nicht verstehen können oder ist das alles reiner Zufall diese Diskussion können sie gerne mit sich oder ihren Kommiliton ihrer Familie führen darauf gehe ich jetzt einfach mal nicht weiter ein sondern werde den Kurs hier weiterführen und zwar wir werden uns jetzt damit beschäftigen dass wir ja Fraktale, wir haben uns gelernt wir können sie erzeugen und zwar mathematische Fraktale die sich unendlich replizieren lassen weswegen Fraktale auch wie eingangs gesagt ein Blick in die Unendlichkeit sind während natürliche Fraktale halt eben auch Grenzen haben aber wir wollen uns jetzt mit der Frage beschäftigen essen wir denn eigentlich ein Fraktal und dazu dient der Hearstexponent der Hearstexponent an sich entstammt als Kennstall der Chaos Theorie beziehungsweise der Fraktalen Geometrie die von Bernard Mandelbrot nach Hearst und Hölder benannt wurde was ist denn ein Hearstexponent der Hearstexponent ist ein Abhängigkeitsindex restriktive eine relative Tendenz über das Verhalten einer Zeitreihe das klingt mal wieder unglaublich kryptisch und einleuchten deswegen definieren wir das nochmal ein bisschen anders der Hearstexponent ist ein Rauchkeitskoeffizient für Fraktale Oberflächen welcher von der Fraktalen Dimension abhängt wir sehen hier der Hearstexponent H ist nicht zweiter als 2 minus die Fraktale Definition insofern die Fraktale Dimension zwischen 0 und 2 liegt auch möglich einen Hearstexponent für höhere Dimensionen zu bestimmen das ist allerdings sehr komplex und das ist etwas ausufern deswegen beschränken wir uns hier einfach darauf dass wir eine Fraktale Dimension zwischen 0 und 2 betrachten das heißt Fraktale in 3 Dimensionen so wie die die ich in Eingangs gezeigt habe behandeln wir hier nicht aber für unsere Kurven und auch natürlich für Finanzzeit die als Kurve betrachtet natürlich auch ein Dimensional sind und somit selbst wenn wir für die Finanzzeitrein Fraktale Dimensionen berechnen würden die Dimension von 2 nicht überschreiten könnten daher ist der Hearstexponent für das was wir hier machen durchaus geeignet und mehr brauchen wir im Moment auch nicht ich habe es gerade schon erwähnt Hearstexponenten bei Finanzzeitrein angewandt auf Aktienrenditen verwenden Sie hier keine Preise nehmen Sie die Aktienrenditen hier kann man feststellen ob die Zeitrein nun Fraktalenmustern folgt das heißt der Hearstexponent ist über 0,5 ein Zufallprozess darstellt das ist dieses Rauschen und zufällige Bewegungen der Effizienzmarkthypothese die trifft nur und nur dann zu wenn der Hearstexponent bei 0,5 fliegt oder ob es sich um ein Minereverting handelt und das haben wir wenn der Hearstexponent kleiner ist wie 0,5 das heißt wir sehen hier mehrere Dinge der Zufallsprozess und alles das was die Effizienzmarkthypothese predigt ist eigentlich nur ein Spezialfall wenn der Hearstexponent exakt bei 0,5 fliegt ansonsten haben wir entweder Minereverting oder Fraktalenmuster und wir haben mit unserem Kooperationspartner eine weit angelegte Studie gemacht meine Masterarbeit ging auch über dasselbe Gethema und unsere Studien haben für Aktien eben ergeben dass ca. 80% unseres Samples und wir haben mehrere Tausend Titel beachtet weltweit verteilt dass 80% sehr hohe Hearstexponenten aufweisen und dass der Zufallsprozess also das was der Effizienzmarkthypothese zugrunde liegt eher eine Ausnahme darstellt und wenn sie das auf Finanzzeit rein anwenden können sie zur Berechnung die RS-Statistik heranziehen die ich hier erstmal nicht weiter vorstellen werde KeyTakerWay ist hier Finanzmärkte sind tatsächlich Fraktal Sie können das messen und dazu können sie den Hearstexponenten auf Aktienrenditen anwenden und werden insbesondere bei Aktien feststellen dass Aktien sehr wohl Fraktalen muss dann folgen bevor wir nun dieses Themengebiet verlassen möchte ich nochmal zusammenfassen was wir bisher gelernt haben wir haben festgestellt es gibt relativ viele Dimensionsbegriffe und es gibt Fraktale Dimensionen die sich hauptsächlich darin bedienen Überdeckungen vorzunehmen wir haben gelernt dass es fraktale Monsterkurven gibt die man ineinander überführen kann wir haben festgestellt dass diese mathematischen Kurven unendlich sind und wir haben auch festgestellt dass unser ganzes Leben eigentlich aus Fraktalen besteht wenn Sie diesen Kurs abgeschlossen haben die Welt nicht mehr so wahrnehmen wie Sie es zuvor getan haben es sei denn Fraktale waren Ihnen schon ein Begriff was haben wir des Weiteren gelernt dass wir Fraktale messen können wir können sie nachweisen indem wir ein Hearstexponenten berechnen das ist insbesondere wie ich es gerade ausgeführt habe bei Finanzzeitreihen sehr interessant wir können hier zeigen ob Aktienrenditen nun Fraktalen folgen oder nicht und haben nachgewiesen speziell für Aktien dass über 80% der von uns beobachteten Aktien sehr hohe Hearstexponenten aufweisen und damit sind wir zunächst einmal mit der Fraktalität an sich zu Ende wir werden die Kurven die wir hier kennengelernt haben einmal in unserem Peitenteil nochmal auffassen und auch nochmal in den stochastischen Prozessen wir werden jetzt weitermachen indem wir einen kurzen Abstecher in chaotische Systeme machen also nicht lineare dynamische Systeme Chaos die Mandelbrotmenge und die Julia-Menge auf komplexe Zahlen es wird aber nur ein kurzer Abstecher sein um Ihnen zu zeigen dass hier die Reise durchaus noch weitergeht es ist aber außerhalb des Umfangs den dieser Kurs erfüllen kann um dabei zu bringen ich habe es ja schon mehrfach gesagt wenn hier der Wunsch besteht kann natürlich auch mal ein Wallfach erzeugt werden oder aufgelegt werden welche sich ausschließlich mit Chaos befasst in unserem Fall hier machen wir nur einen kleinen Abstecher und mit dem beginne ich jetzt auch so gleich und zwar wir reden zuerst einmal über Julia-Mengen Julia war ein Mathematiker und hat seinen Arse verloren das heisst wenn Sie mal ein Bild von ihm sehen dann trägt er meistens ganz Corona-stylish einen Munch- und Nasenschutz und jetzt den Bösenwitz beiseite gelegt Julia-Mengen sind Teilmengen der komplexen Zahlen-Ebene das heisst wir verlassen jetzt Reelle Zahlen sondern wenden uns das erste Mal tatsächlich komplexen Zahlen zu und das Kompliment der Julia-Menge ist die sogenannte Fatumenge das ist auch ein Mathematiker der zusammen mit Julia eben diese Mengen definiert hat und wir sehen ich wiederhole nochmal Julia-Mengen sind Teilmengen der komplexen Zahlen-Ebene wendet man hier auf ganz C definierte Funktionen immer wieder auf ihre Funktionswerte an das heisst wir machen effektiv das gleiche wie bei einem normalen mathematischen Fraktal wir deterieren eine Funktion immer und immer wieder und erzeugen quasi einen Orbit dieser Funktion mittels einer komplexen Zahl z dann ergibt sich hier eine Folge komplexer Zahlen wir sehen das hier unten die komplexe Zahl z wird abgebildet auf ihren Funktionswert f von z und diesen Funktionswert bilden wir wieder ab auf den Funktionswert also den Funktionswert des Funktionswertes also f2 von z wir erzeugen hier quasi einen Orbit und erzeugen hier die iterierende Funktionswerte komplexer Zahlen und was heisst das denn jetzt wieso tun wir das jetzt das heisst abhängig vom Startwert erhält man entweder praktisch fast dieselbe Folge als Ergebnis einer stabilen Dynamik und der Startwert wird dann der Fatumenge zugerechnet das bedeutet wir nehmen einen Startwert z bilden den Orbit und ändern wir bilden den Orbit wieder und erhalten fast denselben Orbit dass es schon schier langweilig wird oder wir erhalten eine sogenannte sensitive Abhängigkeit der Folge vom Startwert welche zu komplett unvorhersagbaren Verhalten und komplett differierenden Ergebnissen führen kann was heisst das jetzt das bedeutet Chaos Chaos sind nicht lineare dynamische Systeme mit Sensitivitäten zum Startwert das heisst wir nehmen ein z verändern das marginal und wir kommen ganz wo anders raus wie wir es erwarten würden theoretisch würden wir eigentlich erwarten wenn wir ein Startwert z nehmen und den nur marginalst verändern dass wir in etwa wieder dieselbe Folge erhalten wenn wir aber ein chaotisches System haben was sensitive Abhängigkeiten aufweist dann ändern wir unser z marginal und den Orbit den wir erhalten ist sowas was von komplett anders wie das was wir eigentlich ursprünglich erwartet hätten nämlich eine ähnliche Folge wie die die wir unserem ursprünglichen z zu gerechnet hätten ich habe ihnen mal so eine Karte so eine Realisation dieses Julien Orbits dargestellt wir haben auch ein Python Script was ihnen das selbst erzeugen kann ich möchte ihnen das hier nur mal kurz zeigen damit sie das mal gesehen haben sie sehen hier das ein rot ist die Juliarmenge und das alles außen rum ist das Kompliment das ist die sogenannte Fatumenge für was habe ich ihnen jetzt die Juliarmenge vorgestellt ich möchte ihnen eigentlich die Mandelbrotmenge zeigen mit der Mandelbrot ursprünglich auch berühmt geworden ist und ich denke die jeder von ihnen schon mal gesehen hat warum habe ich ihnen vorher die Juliarmenge erst gezeigt und zwar die Mandelbrotmenge M ist hier die Menge aller komplexen Zahlen C für welche direkursiv definierte Folge komplexer Zahlen Z1, Z2 und so weiter mit dem Bildungsgesetz Zn plus 1 gleich Zn² plus C und im Anfangsglied Z0 gleich 0 beschränkt bleibt das bedeutet die Mandelbrotmenge ist sozusagen eine Karte aller möglichen Juliarmengen die es gibt und das ist schon mal eine interessante Erkenntnis das bedeutet wir nehmen hier eine komplexe Zahl und iterieren die und zwar für alle komplexen Zahlen die wir uns so vorstellen können sofern die Zahl mit 0 beginnt und ich habe ihnen hier dieses Apfelmännchen wie es auch genannt wird diese Mandelbrotmenge einmal abgetragen und sie sehen das für gewisse Werte eben diese Folgen beschränkt bleiben für andere Werte die in unendlich abdriften das ist hier weiß dargestellt und sie sehen hier interessanterweise eine sehr große Selbstähnlichkeit die weiter sie hier an den Rand nach außen gehen wiederholen sich diese Muster immer und immer wieder ich habe ihnen hier in Moodl mal einen Zoom eine Stunde lang andauernd Zoom in diese Menge bereit gelegt da können sie mal Häppchenweise reinschauen was hier interessant ist dass sich darum gestritten wird ist das was wir hier sehen tatsächlich ein Fraktal oder nicht das ist eine sehr interessante Diskussion auf die ich hier allerdings auch nicht weiter eingehen werde ich fasse es noch mal zusammen sie sehen hier die Karte aller Julia-Mengen die es gibt Julia-Mengen sind die Orbits der komplexen Zahlen und sie sehen hier natürlich die Schwierigkeiten was hat das ganze jetzt mit Chaos zu tun Fragezeichen wir kommen da gleich dazu ich kann Ihnen das gleich zeigen bevor wir das jedoch in Angriff nehmen können müssen wir erst nochmal ein Konzept aus den nicht linearen System einführen es ist die sogenannte Bifurcation eine Bifurcation oder auch Verzweigung genannt ist eine Zustandsänderung in den linearen Systems das ist eigentlich eine der kürzesten Erklärungen die Sie in diesem Kurs bisher bekommen haben wir gehen dennoch etwas weiter darauf ein was macht denn eine Bifurcation was macht denn eine Verzweigung hier werden die Anzahlen der Fixpunkte angezeigt um welche sich die Orbits der jeweiligen Funktionen bewegen wenn ein spezifizierter Parameter wächst wir haben vorher gesehen wenn wir für eine Menge wenn wir vor eine komplexe Zahl iterieren durch den Funktionswert erhalten wir ein Orbit und wenn dieser Orbit sich irgendwann um einen festen Punkt bewegt das heißt wenn f5 von x f6 von x f7 von x f8 von x sich alle einen Punkt annähern oder den selben Wert annehmen dann haben wir einen sogenannten Fixpunkt und diese Bifurcationen zeigen wir quasi an eines Orbits bei spezifizierten Parametern eben Fixpunkte sich einstellen und eben wie sich diese Orbits auch verzweigen können man kann hier ran erkennen ob ein deterministisches System ins Chaos gleitet oder nicht wenn entsprechende Parameter groß genug werden das bedeutet wir verändern Parameter zum Beispiel ein Wachstumsparameter und wir machen den größer eigentlich müsste das deterministisch sein aber wir erhalten trotzdem chaotisches Verhalten und anhand eines Bifurkationsbaumes können wir das ablesen und die Änderungen am Bifurkationspunkt bestehen in den meisten Fällen entweder in einer Änderung der Anzahl von Attraktoren wie Fixpunkte oder periodischen Orbits oder einer Änderung der Stabilität dieser Objekte wir verbinden Chaos meistens mit Instabilität und die Fixpunkte quasi mit Stabilität weil um den Fixpunkt herum oder im Fixpunkt selber einfach nichts mehr passieren wird ich habe Ihnen das hier einfach mal aufgemalt wir werden im Code sehen was für eine Funktion das ist Sie können sie sich dann auch selber plotten und selbst erzeugen was heißt das hier jetzt denn genau wir haben hier ein Diagramm was uns eine Variable X in Abhängigkeit eines Parameters in dem Fall hier nennen wir es mal eine Wachstumsrate R anzeigt und wir sehen hier dass ab einer gewissen Wachstumsrate ab einer gewissen Größe dieses Parameters ein Fixpunkt entsteht das heißt der Orbit spaltet sich quasi auf und wir haben auf einmal hier eine Bifurkation eine Aufspaltung, eine Verzweigung dieses Orbits bei steigender Wachstumsrate und wenn wir weiter nach hinten gucken ab 3.4 bis 4.0 gleitet das System komplett ins Chaos ab wir sehen allerdings wir haben hier so Streifen zwischendrin besonders bei 3.8 und 3.9 wo wir anscheinend aus dem Chaos wieder zurückkehren und wieder nur 2 oder 3 vor definierte Fixpunktwerte annehmen können das heißt sobald wir einmal ins Chaos abgeglitten sind um das ein bisschen Platz zu formulieren gibt es auch Wege wieder zurück und wir sehen hier wie viele chaotische Punkte es sich ergibt wie viele Fixpunkte hier auftreten können und ich lasse das jetzt einfach mal so stehen und zeige Ihnen hier die letzte Folie dieser Veranstaltung und zwar die Bifurkation der Mandelbrotmenge wir sehen hier die Funktion die der Mandelbrotlänge unterliegt und ich habe Ihnen hier das Bifurkationsdiagramm der Mandelbrotmenge mit abgetragen, das heißt die sehen ab welchen Punkten sich eben diese Mandelbrotmenge an den Fixpunkten aufteilt und interessanterweise ist das immer dann der Fall wenn wir hier einen Flaschenhals haben das heißt wir sehen die erste Spaltung des Bifurkationsdiagrammes findet genau dann statt wo hier quasi der Kopf anfängt und natürlich ist es so, dass wenn wir weiter nach hinten gehen, wir sehr, sehr, sehr, sehr, habe ich schon mal sehr gesagt sehr viele Fixpunkte erhalten und deswegen auch eben diese Mandelbrotmenge ein selbstähnliches Fraktal ist wo wir sehr weit reinsummen können weil Sie sehen an diesem Bifurkationsdiagramm wie viele Fixpunkte wir denn eigentlich erhalten und wie viele Aufspaltungen das sind das heißt die Mandelbrotmenge ist nicht nur Sinnbild für Fraktalität und Selbstähnlichkeit sondern auch ein Sinnbild für Bifurcation und ein Sinnbild für chaotische Systeme und das ist eigentlich auch sozusagen schon mein Schlusswort wir sind mit diesem Bild quasi am Ende der Vorlesung über Fraktale angelangt und ich hoffe es hat Ihnen zugesagt und wir sehen uns in der nächsten Veranstaltung