 En numerosas ocasiones tenemos mucha información y necesitamos representarla de manera ordenada, de manera que represente una situación real y a la vez nos permita manipularla de manera eficiente. Este vídeo introduce una estructura que nos será de gran ayuda, las matrices. Podemos imaginarles la cantidad de información que se almacena hoy día en internet, y en particular la que manejan los buscadores de internet para facilitar que nuestras búsquedas sean de lo más eficiente. Hablamos de millones y millones de datos, al igual que ocurre en un vuelo donde se manejan más de 12.000 millones de datos. Otro claro ejemplo hoy día es el de las redes sociales, donde puede ser necesario, por ejemplo representar las diferentes relaciones con el Ejibtivo de encontrar patrones que permitan entender el comportamiento entre diferentes grupos, puesto que como se ven de imagen gráficamente puede resultar muy complicado. Las matrices juegan un papel fundamental en estas y otras situaciones, veamos cómo definirlas. Consideremos M y N dos números naturales y K un conjunto con estructura de cuerpo. Recordad que hemos visto unos cuantos conjuntos con esta estructura durante el curso ya, los racionales, los reales, los complejos o los enteros módulo un cierto Primo P eran ejemplos de cuerpos. Definiremos así una matriz como una tabla de elementos del cuerpo K, y llamaremos a los elementos del cuerpo del cuerpo representados en la matriz como coeficientes. Estas son las filas de una matriz, observar que teremos hasta un conjunto de M y que el primero de los supíndices nos indica la fila en la que estamos, la primera, la segunda o la mésima. Estas serían las columnas de la matriz y de nuevo ahora el segundo de los supíndices es el que nos indica la columna en la que estamos, aquí la primera, la segunda o la nésima. Si la matriz tiene m filas y n columnas, diremos que la matriz tiene dimensión m por n. La notaremos de esta manera o bien de esta manera general abreviada, donde de nuevo el primer supín dice nos indica la fila iésima y el segundo la columna. Notad que generalmente las matrices se notan con letras mayúsculas, mientras que sus elementos los notaremos con letras minúsculas. Notaremos así al conjunto de matrices de dimensión m por n que tienen coeficientes en un cuerpo k. Veamos a continuación algunos ejemplos. Comencemos con el primero. Aquí tenemos una matriz, observar que estos dos elementos son elementos del cuerpo de los reales. Estamos hablando del número pi y el número e, con lo cual esta matriz que tiene dos filas y tres columnas será una matriz de dos por tres a coeficientes reales. En este caso de aquí tenemos una matriz con dos filas y dos columnas. Los coeficientes son enteros, particular evidentemente serán reales e incluso complejos, pero pertenecen al conjunto de los enteros. Así podemos decir pertenece a este conjunto. En este caso tenemos una matriz con una única fila y cuatro columnas. Los coeficientes podríamos decir también que son los enteros, pero podríamos considerar también, puesto que son valores entre cero y dos, podríamos pensar que son las clases de equivalencia del cuerpo finito z módulo 3, es decir, f3, con lo cual supondremos que pertenece a este conjunto. Y finalmente esta matriz de aquí tenemos una única fila y cinco columnas, con lo cual, puesto que están los reales, diríamos que pertenece a este conjunto. En los dos últimos casos en ocasiones se llama de la matriz fila y la matriz columnas por razones obvias. Dos matrices a y b son iguales, si tienen la misma dimensión y todos los elementos son iguales, dos a dos. Esto, si lo notamos de esta manera y de esta otra manera, la matriz b, diremos que para todos y cada uno de los elementos, para todos los elementos de todas las filas y de todas los columnas, los coeficientes de a y de b son iguales. Así, por ejemplo, es muy importante tener claro a qué cuerpo pertenecen los elementos que estamos considerando. Por ejemplo, estas dos matrices, aunque podrían parecer iguales, puesto que los cuerpos a los que pertenecen, en un caso los enteros y en los otros los enteros módulos cinco son diferentes, estas matrices son diferentes. Veamos algunos tipos especiales de matrices. Diremos que una matriz es cuadrada cuando tiene igual número de filas que de columnas. Por ejemplo, esta matriz es una matriz cuadrada, esta también pues que tiene una fila y una única columna, mientras que esta tiene dos filas y una columna, con lo cual no es una matriz cuadrada. Los elementos de una matriz cuadrada que están en la misma fila y la misma columna, en la misma posición de fila y columna, se llaman elementos de la diagonal, forma lo que se llama la diagonal de la matriz. Una matriz se llama nula cuando todos sus elementos son el elemento nulo del cuerpo sobre el que está definida la matriz. Estos serían algunos ejemplos. La matriz identidad es aquella matriz cuadrada con ceros en todas las posiciones, excepto uno en los elementos de la diagonal, esto es cuando están en la misma fila y en la misma columna. Un ejemplo, pues esta sería una matriz cuadrada identidad de dimensión dos por dos, mientras que esta de aquí no lo sería puesto que no es una matriz cuadrada. Una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal son cero. En el caso de que los elementos nulos estén por debajo de la diagonal, la matriz es triangular superior, mientras que si los elementos nulos están por encima de la diagonal se llama matriz triangular inferior. Este sería un ejemplo de matriz triangular superior. Mientras que si vemos esta otra matriz, imagino que todos estáis de acuerdo en que es una matriz triangular inferior. Dada una matriz A de dimensiones m por n, se define su matriz transpuesta como la matriz resultante de intercambiar filas y columnas. Y la notaremos de esta manera, donde recordar que intercambiaremos filas por columnas. Por ejemplo, si tenemos esta matriz A, su matriz transpuesta tendrá por primera columna la primera fila de A y por segunda columna la segunda fila de A. Si tenemos esta otra matriz, su matriz transpuesta será la matriz columna 1-3. Y acabamos este vídeo proponiendo que respondáis cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas y que recogen los principales conceptos presentados en esta primera aproximación a las matrices. Bien, veamos la respuesta. Efectivamente, A es una matriz cuadrada puesto que tiene dos filas y dos columnas. En cambio, A no es una matriz 2 por 2, A coeficiente reales puesto que tenemos esta I, con lo cual sería coeficientes complejos del cuerpo sobre el que están todos sus coeficientes, es el cuerpo de los complejos. B, esta matriz aquí, no es una matriz triangular, en particular no es una matriz cuadrada. A y B no tienen el mismo tamaño, puesto que uno es 2 por 2 y la otra es 3 por 2. Y B, la respuesta de la matriz B, sí que es una matriz que en este caso tendría dos filas y tres columnas, puesto que la matriz B original tiene tres filas y dos columnas. Los coeficientes observar que son coeficientes reales en particular está claro que también son complejos.