 Merci beaucoup, alors ma mission à moi, dans la mission que m'ont donné les organisateurs que je remercie, est de vous présenter un panorama du problème inverse de la théorie de Galois. Alors la question, à au moins le mérite d'être simple à poser, vous donnez un groupe et vous vous demandez, un groupe finit et vous vous demandez si c'est le groupe de Galois d'une extension de cul, donc c'est ce qu'on appelle le problème de Galois inverse. Alors c'est une question évidemment très naturelle quand on apprend la théorie de Galois et qu'on regarde les permutations des racines qui sont autorisées, on en vient forcément à se demander si le groupe qu'elle constitue peut-être n'importe quel groupe de SM. Et ça serait vraiment très joli puisque la théorie des groupes qui est née de la théorie des équations serait en quelque sorte juste la théorie qu'il faut. Mais bon, inversement aujourd'hui la théorie des groupes est omniprésente et on peut penser que c'est la théorie des groupes qui est le domaine universel. En tout cas la réponse à cette question est incertaine et on verra que cette incertitude demeure. Les ennonces et principaux que d'ailleurs dans ce domaine on ne se risque pas à appeler conjecture, on les appelle problèmes, sont pour la plupart toujours ouvert. Alors pour faire un premier point rapide, je dirais que la réponse est positive pour les groupes abéliens, c'est assez facile en utilisant des extensions site l'automique. Ensuite il y a le cas des groupes résolubles qui lui est beaucoup plus difficile. C'est ce qu'on appelle le théorème de Sherpa Révic. Donc si j'ai résolu, c'est la réponse est positive. C'est un théorème qui date de 1954 et ce qu'il s'agit de faire en quelque sorte, c'est d'essayer d'empiler des extensions abéliennes les unes sur les autres de façon que l'ensemble soit d'abord galoisien et surtout soit compatible avec le dévissage du groupe dont vous disposez au départ. Vous avez plus précisément à résoudre une succession de problèmes de plongement. Donc problème de plongement c'est une variante relative du problème de réalisation. Vous avez un corps K, vous vous donnez une extension de groupe H et vous vous donnez également un groupe dont H est un caution. Voilà donc ça c'est les données du problème et la question c'est de trouver un corps, eux qui réalisent le groupe G mais avec la condition supplémentaire que le morphisme qui va deger dans grand âge qui est fourni par Hétéro de Galois soit celui qui vous était donné au départ. Donc c'est ce qu'on appelle le problème de plongement. Si vous connaissez l'extension triviale c'est évidemment le problème de réalisation. Alors là je reviens à Chaperévit, c'est la preuve et d'une difficulté inextricable à tel point que la preuve a été contestée. Elle a été ajuste au titre d'ailleurs, elle a été réparée plusieurs fois puis recontestée plusieurs fois et au final il faudra attendre 45 ans au moins pour avoir une preuve qui soit admise par la communauté. C'est une preuve qui est parue dans le livre de Neuchirche, Wienberg et Schmit. Alors en dehors des groupes résolubes vous avez aussi les groupes simétriques, le groupe alterné pour lesquels la réponse est positive et vous avez ensuite un certain nombre de groupes simples par exemple PSL2 de FP mais pas tous, PSL2 de FQ. En gros pour les familles, les familles de groupes simples il faut l'idée que si Q est grand par rapport à la dimension eh bien on ne sait pas grand chose. Il y a aussi la réponse est également positive pour 25 des 26 groupes sporadiques simples. Bien alors après ce premier coup d'oeil je voudrais revenir à l'histoire et je la ferai commencer à Hilbert dans un article de 1892 il considère le cas du groupe symétrique et la méthode qu'il emploie est très classique mais reste très instructive. Il considère le polinôme dit générique c'est-à-dire que les coefficients sont des indétermines et bon il est assez assez standard de montrer que le groupe de galois de ce polinôme et le groupe SN sur le corps engendré par ces indétermines. Alors on peut présenter les choses un petit peu différemment éminutaires, direz et même dira un peu plus tard direz ceci on considère le corps engendré par N indéterminé on fait agir SN dessus naturellement et on va regarder le corps des infariants et là aussi il est assez standard que ce corps des infariants c'est une extension transcendante pure ce sont les ti sont les fonctions symétriques alimentaires des racines l'ensemble produit etc bien donc je reviens à Hilbert la contribution majeure de Hilbert c'est son fameux théorème d'irréductibilité de Hilbert qui est que si vous donnez une valeur dans rationnel aux indéterminés t1 et r vous récupérez un polinôme qui reste irréductible et cette fois c'est la commission dans le cul alors pas toujours j'ai écrit je vais écrire pour pour beaucoup de spécialisation et non seulement le polinôme reste irréductible mais son groupe de galois le groupe de galois reste égal au groupe symétrique donc de cette façon vous réalisez le groupe symétrique alors notre terre je disais 25 ans plus tard va reprendre cette cette idée mais voilà généralisé elle part d'un groupe g quelconque cette fois qu'on peut plonger dans un groupe symétrique et il est naturel de regarder le corps des infariants qui est une extension de groupe g mais elle n'a aucune raison d'être une extension transcendante pure mais quand elle est et bien on peut exactement appliquer le même théorème de higbert et réaliser le groupe g donc la question cette fois il faut mettre un point d'interrogation est-il vrai que le corps des infariants est une extension transcendante pure alors ceci n'est pas vrai en général ce sera sera démantie par soin en 1969 et une année plus tard par voskessenski qu'il faut également citer et le le problème ce problème sera bien étudié par l'enstra quelques années plus tard mais je voudrais donner un argument qui est dû à sa david sur haute main qui montre qui donne une raison assez simple pour laquelle ça ne peut pas être vrai en général vous partez si vous partez d'une extension de alors je suppose que je suis dans le cas favorable c'est à dire que j'ai une extension transcendante pure et je suppose que je dispose d'une extension du corps des péadiques de groupe de galois g alors cette extension donc notaire le savait déjà enfin c'est ce qu'elle avait démontré une telle extension provient alors par spécialisation de cette extension de notaire donc on l'obtient en spécialisant les indéterminés t1 tn les en les spécialisant bien sûr d'encuper mais les péadiques c'est comme les réels si vous les bougez un petit peu il se passe pas grand chose de méchant donc en fait et ça c'est ici qu'on utilise que les pays sont indépendants on peut les choisir d'encu mais alors si avec cette spécialisation d'encu vous avez associé une extension de cul cette fois galoisienne de même groupe et qui par extension d'escalaire induit l'extension d'occuper dont vous êtes parti or ceci n'est pas toujours vrai il n'est pas vrai que toute extension d'occuper proviennent d'une extension de cul galoisienne c'est donc une telle extension n'existe pas c'est ce que c'est ce que montre un célèbre exemple fameux exemple de wang déjà pour g égale z sur lui z et p égale à deux il existe des extensions qui ne proviennent pas de cul deux qui ne proviennent pas d'extension galoisienne de cul alors cet exemple est et et fameux historiquement puisque initialement c'est un exemple que wang avait donné pour déjà pour contredire un autre théorème qui le théorème de groenwald qui avait été démontré fin démontré entre guillemets puisqu'il était faux 15 ans auparavant par groenwald donc ce cet argument sert aussi peut servir aussi à montrer que le programme de notaire n'est pas ne marche pas en général alors c'est c'est bien dommage parce que le programme de notaire fournisse une théorie inverse rêvée mais le programme tombe à l'eau bon je dois nuancer un petit peu le programme le problème de notaire reste très intéressant et continue d'être d'être étudié dans quel cas a-t-on la bonne conclusion et puis ne serait-ce que l'idée de prendre le corps des invariants c'est évidemment déjà dit plusieurs fois une des principales idées de la théorie de galois c'est l'extension de notaire et d'ailleurs le prototype de ce qu'on appelle maintenant les jetorceurs qui joue une place qui occupe une place centrale voilà ensuite il ya une fin je l'étape suivante fin une étape suivante correspond à l'utilisation du du groupe de galois absolu j'ai q gal de cubar sur q alors bon l'idée est très simple vous avez q cubar et on peut l'écrire comme réunion réunion des extensions finis galoisienne de q et quand on prend les groupes de galois associés et bien les les flèches se se retournent c'est à dire que ici les flèches qui allaient du bas vers le haut cette fois vont vers du haut vers le bas il faut peut-être que j'aie face q ici on aurait le groupe trivial et ce qu'on a en haut c'est gq le groupe de galois de cubar sur q qu'il faut voir comme une limite projective de groupe de galois d'extension fin pour le groupe de le groupe de galois absolu de q dont déjà tamash samuli avait souligné l'importance et le le prototype de groupe profini et d'ailleurs les deux théories la théorie des groupes profini théorie des groupes de galois absolu vont vont se développer façon parallèle et on s'enrichir mutuellement alors prenons prenons des exemples le groupe de galois absolu de c c c trivial puisque c'est n'a pas de d'extension non trivial bon donc on arrive à pour le groupe de galois absolu de r c z sur 2z bon mais évidemment on va le voir on va le y revenir le groupe de galois absolu de q c'est beaucoup plus compliqué alors j'ai dit que c'était une étape importante parce que elle permet de reformuler la question finalement la question de départ c'est notre groupe g on avait on s'était donné la question c'est de voir s'il figure dans la liste des caussions qu'on voit paraître ici est-il un caussion de gq et cette question cette question elle a automatiquement plus de substances puisque en fait plutôt que de se limiter à l'étude des caussions on peut regarder la question qu'est-ce que c'est que ce groupe gq et notre problème qui était un problème inverse de cette façon provient devient un problème direct et on peut même aller plus loin en fait on peut étudier le le foncteur qui a un corps associé le groupe de galois absolu de jq et on peut même encore aller encore plus loin et élargir le problème et dire que c'est un cas particulier du problème qui a un schéma associé son son groupe fondament son groupe fondamentale puisque puisque le groupe de galois absolu d'un corps peut être vu comme le p1 du spectre du corcat bon et ce point de vue dont donc tamash samuelie a beaucoup parlé pendant son exposé bon sera sera très fructueux il sera développé dans les années 70 par gros tandis que notamment alors donc je disais bon pour pour rares pour c c'est facile pour les groupes finis pour les corps finis c'est facile aussi mais pour jq bon quoi dire alors je peux donner une conjecture non pas pour pour jq directement une conjecture qui qui est que le groupe de galois absolu de q abélien tutur abélien de q est un groupe profini profini libre bon ce qui ce qui correspond par un théorème divas avoir à dire que tous les problèmes de plongements de pour le corps q abélien sont résolus on peut toujours résoudre les problèmes de plongements si le corps car ici est q abélien alors c'est évidemment une conjecture qui est hors d'atteinte aujourd'hui pour jq on n'a pas de de conjecture on peut on peut dire il ya une ce qu'on appelle parfois une super conjecture qui est de dire que pour q ou plus généralement pour tous les corps abélien tous les problèmes de plongements cindé c'est à dire ceux pour lesquels cette flèche à une section tous les problèmes de plongements cindé ont une solution bon c'est c'est une des plus des un des élancer les plus généraux du du domaine alors j'en viens alors j'en viens j'en viens maintenant à à l'idée centrale de de l'approche d'aujourd'hui qui qui utilise la théorie des revêtements de la droite projective p1 alors l'idée l'idée c'est de au départ c'est de construire des extensions de cas de thé c'est à dire on ajoute une indéterminée ce qui si vous préférez voir les choses en termes de polynômes revient à construire des polynômes en deux indéterminés et on retrouve l'idée fondatrice de illbert on construit des familles de polynômes qu'on va spécialiser par la suite et un autre une autre façon de voir ces deux choses là c'est c'est de les voir comme revêtements alors quand on dit revêtements on entend toujours revêtements ramifiés il y a toujours un fil de point de branchement donc on peut voir ces objets comme des revêtements de la droite projective bon c'est très simple votre polynôme vous donne une courbe la courbe d'équation p de t y qui est égal à 0 et la première projection t y flèche t vous vous donne vous détermine un revêtement alors le l'avantage de ce point de vue est qu'on va pouvoir utiliser tout toute la topologie toute la théorie topologique des revêtements et l'outil l'outil central qui était déjà mentionné comme joint un rôle un rôle majeur dans toute cette théorie étant la monodromie alors dans ce contexte il y a un résultat un résultat fondateur qui est le théorème d'existence de Riemann alors dont je vais donner commencer par donner une une une conséquence qui plus en rapport avec ce que je dis c'est que le problème de galois inverse est vrai sur c2t c'est à dire quand je prends k et galacé et bien c'est vrai et enfin je dois dire que c'est résultat qui donc qui continue de m'impressionner si vous donnez n'importe quel groupe vous pouvez toujours trouver un polynôme à question dans c2t qui qui réalise ce groupe bon le Riemann ne l'a pas annoncé sous cette forme le le ce qu'on appelle plus exactement le terme avec d'existence de Riemann c'est c'est un énoncé du type les revêtements topologiques de la sphère de Riemann privé d'un lorsque je n'aurai été souligné c'est un ensemble fini ce sont les points à éviter les points de branchement donc les revêtements topologiques de p1 de c privé d'un amphi de points sont algebraiques c'est à dire peuvent être décrits de la façon que je viens d'indiquer bon comment oui fini non mais je l'ai même pas dit merci alors bon il n'est pas difficile de construire un revêtement topologique qui est son groupe d'automorphie dont le groupe d'automorphisme soit soit ce qu'on veut et par la théorie de la monodromie ce groupe d'automorphisme c'est le groupe de galois de de l'extension de c2t qui correspond via le dictionnaire habituel alors c'est vraiment le résultat fondateur l'étape suivante c on arrive en utilisant des principes généraux à passer de c à cubar remplacé c par cubar et donc on transforme de cette façon le problème en un problème de descente il s'agit maintenant de descendre de cubar à c et donc à partir de là la majorité des travaux une grande partie des travaux se sont concentrés sur ce qu'on appelle le problème de galois inverse sous sa forme régulière qui est la question suivante mon même le même groupe g que je me suis donné au départ on se demande si les groupes de galois d'une extension de c2t avec la condition de régularité eux intersectés avec cubar est égal à q ce qui correspond à demander que j'ai soit le groupe des automorphismes d'un revêtement algébrique de p1 avec f galois et défini sur q la condition de régularité garantie que le groupe de galois est le même sur q que sur cubar et donc à la fin de votre descente si vous aviez un groupe au départ celui que vous récupérez à la fin c'est le même ce qui est important pour pour la méthode bien alors là à ce stade je fin je distingrais trois trois grandes méthodes trois grandes idées et je vais essayer de dire un mot de chacune de ces trois idées la première c'est ce que je vais appeler précidité et espace de virvite bon il me faut principalement vous expliquer une notation h indice r de g et de c alors ce qu'on note de cette façon c'est c'est un espace de module l'espace de module des peut-être l'écrire espace de module pour les les revêtements qui ont pour groupe g qui ont r point de ramification r point de branchement et cette cette invariance cette cette notation c c c on limite un petit peu la ramification c c ce sont des classes de conjugaison il y en a r comme le nombre de points de branchement donc il y en a une qui correspond à chaque point de branchement c'est un petit peu plus précis que l'indice de ramification bien donc ça c'est l'espace de module pour tous ces objets là et bien c'est une variété algébrique il y a une construction qui permet de construire un modèle comme modèle algébrique et les points les points de cette espace correspondent aux objets qui sont décrits là et avec la propriété supplémentaire que le corps de de rationalité d'un point sur cet espace correspond à peu près mais disons première approximation correspond au corps de définition de l'objet qui le représente et donc de par ce par ce bien le problème est simplement ramené à trouver des points curationnels sur cet espace bon évidemment je ne semble pas dire d grand chose quoi pour c'est presque tautologique par dehors de la construction il me faut ajouter que bien on a une certaine connaissance des de ces espaces et que dans certains cas cette connaissance qu'on a nous permet de répondre à cette question de trouver des points curationnels donc je vais je vais en donner deux exemples mais l'idée en l'idée en gros c'est que la la géométrie de ces espaces et pour une certaine part la rythmétique sont sont contraints par la topologie et parfois même déterminé alors je vais donner deux exemples le premier c'est ce qui correspond au mot rigidité donc il existe on définit la notion de situation rigide et cette c'est assez simple à comprendre en fait cet espace il faut il faut toujours l'associer avec avec un autre enfin il faut toujours plutôt que cet espace qu'on se introduit une application l'application c'est l'application qui a un revêtement ou à une classe d'hysomorphisme ou point qui est représentatif d'un revêtement associé l'ensemble de ces points de branchement donc l'espace du bas c'est l'espace qui paramètre les les ensembles de air point donc c'est disons je ne vais pas être très précis c'est payé un puissance air moins moins quelque chose puisque vous voulez que les air points soient distinctes bon et nous ici on a affaire à un revêtement c'est là la topologie qui nous l'apprend encore une fois tout ça résulte de la topologie du terme d'existence de Riemann et on a un certain revêtement qui est de degré n et la la condition de rigidité est que ce degré vaut un autrement dit la donnée des points de ramification détermine complètement les revêtements le revêtement dans dans la catégorie étudiée et donc si s'il y en a qu'un et bien il sera forcément définie sur cul par des principes une autre façon de le dire c'est que ici on a alors un isomorphisme bon il y a des petites questions de corde et définition à régler mais le problème est bien engagé alors c'est quand même un miracle quand cela se produit que n soit égal à un mais ce qui est frappant c'est que ce c'est bien ce miracle arrive parfois et bon et ces miracles sont sont un peu ce qui a reviguer le domaine dans les années 70 thompson par cette méthode a réussi à réaliser le groupe le plus gros groupe simple sporadique le ce qu'on appelle le groupe on appelle le monstre en utilisant trois points de branchement bon et ensuite ça a été développé par par frile par matzat et d'autres ensuite bon c'est ça reste très miraculeux donc on a essayé ensuite de de généraliser un petit peu ça et l'idée est de construire des de considérer des des sections des sections de h de l'espace de l'espace de module s'appelle l'espace de urvitz et grâce à des à ces sections et bien on obtient si on c'est des sections hyperplates c'est donc si avec suffisamment d'hyperplans on arrive finalement à des courbes et ces courbes on peut en calculer le genre et là encore parce que le genre c'est une notion topologique donc on n'y a accès c'est parfois très techniquement très compliqué il y a beaucoup de calculs et même parfois il faut recourir un ordinateur mais disons du point de vue théorique le genre est une donnée qui accessible par la topologie et il arrive là encore que par cette méthode on arrive à construire des courbes de genre zéro et là encore le problème est bien engagé pour conclure bon alors il il reste une fois qu'on a fait ça il faut dire quand même que quand ce petit miracle ou ou ce ou celui ci ne sont pas vrais bon c'est pas trop quoi faire on sait pas trop où chercher les points rationnels et en fait il existe bien entendu il existe des situations où on peut montrer que cette ensemble de points curationnels évide pour un pour un groupe g et pour un air fixé par exemple je fais juste donner cet exemple là c'est pas pour des groupes très compliqués vous prenez le groupe d'hédrale d'ordre de pépiscence de pépiscence m ou p est un nombre premier et vous prenez r est égal à 4 ou même d'ailleurs r plus petit que 4 et bien quelque soit les classes de conjugaison que vous choisissez et bien dans ce cas là vous obtiendrez pas de points rationnels sur sur ces espaces ce qui montre que si vous voulez réaliser les groupes d'hédrale de cette façon vous devez au moins vous autorisez cinq points de branchement et en fait conjecture allemand on on pense que la même chose est vrai en remplaçant 4 par n'importe quoi par r0 c'est à dire que pour réaliser tous les groupes d'hédraux il faudra finalement utiliser un nombre de plus en plus grand de points de branchement ce qui semble enfin ce qui semble un petit peu contraire à l'intuition on a l'impression que pour des groupes aussi simples les groupes d'hédraux on pourrait espérer une sorte de réalisation universelle qui marche pour tous ou presque tous et bien c'est pas le cas il y a des contraintes biofonciennes qui sont assez assez assez fortes la raison pour laquelle on obtient l'ensemble de vie d'ici c'est parce que enfin c'est lié au fait que la tour les si vous considérez à tour des courbes modulaires de niveau pépis sans sème et bien les points rationnels disparaissent au delà d'un certain niveau et la la généralisation conjecturale serait une conséquence est une conséquence de la conjecture de sur les ce qu'on appelle la conjecture de torsion forte sur les points de torsion d'une variété abélienne qui est une elle aussi conjecture très difficile mais plausible voilà alors la deuxième grande idée je n'ai la noté l'intitulé recolement et déformation et bien là c'est assez facile à exposer il y a un résultat central qui est dû d'avis d'arbeiteur dans les années 80 qui est que le groupe de galois le problème de galois pardon problème de galois inverse sous sa forme régulière est vrai si le corps qui j'espère le problème de galois inverse je l'ai énoncé pour pour un corps q mais je l'utilise pour je remplace ici le corps q par un corps oui je l'ai pas dit l'autre intérêt du problème de galois du problème galois inverse sa forme régulière est qu'il est tout à fait plausible pour n'importe quel corps c'est un problème géométrique alors que le problème de départ lui dépend fortement de la nature arithmétique du corps donc si le corps de base le corps q est un corps valué complet alors les exemples les exemples les plus frappants sont le corps des péadiques et le corps des séries formelles à coefficients d'encu ça ça veut dire que vous êtes capable de trouver un polinôme si vous si vous si vous considérez le groupe qu'on s'est donné au départ vous pouvez trouver un polinôme en deux intérim deux indéterminés à coefficient d'encuper si sur ce corps vous avez une troisième variable bien alors c'est c'est un résultat qui qui pour moi est enfin rentre très bien dans fin et est un énoncé de théorie inverse de galois c'est parce que la la démarche est constructive on l'idée c'est on se donne des revêtements élémentaires des revêtements cycliques par exemple et l'idée est que l'on peut les on peut les associer et en faire un revêtement dont le groupe sera le groupe engendré par les petits groupes dont on est parti et de cette façon on va pouvoir réaliser tous les groupes donc c'est vraiment une démarche constructive comme le théorème d'existence de Riemann aujourd'hui il y a plusieurs plusieurs preuves plusieurs présentations de la preuve de ce théorème mais il y a toujours cette idée donc on part de revêtements cycliques et arbétheur lui les les en quelque sorte les les recollets par des techniques de géométrie rigide ou formelles et bon il a pour cela besoin du fait que le corps de base soit complet d'une autre façon de voir les choses c'est de c'est simplement d'assembler les revêtements cycliques en faire un revêtement de d'une d'une chaîne de p1 et puis ensuite de déformer plutôt que de recoller on part de quelque chose qui n'est pas pas irréductible et on le déforme pour le rendre réductible bon quoi qu'il en soit ce résultat a eu un rôle majeur dans dans le domaine parce que ses applications vont bien au delà de les techniques sont bien vont bien au delà du domaine donc il était important de le rappeler l'inconvénient c'est que il ne dit rien sur sur cul et les corps les corps qu'on peut obtenir par ce biais reste très gros alors je voudrais c'est ma troisième troisième idée que j'ai dégagé alors l'idée ici est d'étudier et d'attaquer de de front l'étude de l'action de galois de cubar sur cul sur sur les revêtements et de alors tu dis l'action sur le vêtement mais on va les prendre tous ensemble c'est à dire que en fait l'idée est d'essayer d'étudier l'action de galois de cubar sur cul sur sur cette énorme clôture algébrique alors on va limiter un petit peu les choses on va limiter on va regarder simplement les extensions qui sont ramifiées au dessus d'un certain ensemble et pour simplifier comment je vais prendre je ne vais considérer que les extensions qui sont ramifiées au dessus de 0 1 et l'infini donc c'est une partie plus petite de la clôture algébrique mais qui reste bronze alors ce c'est une extension algébrique de cubar de thé et il se trouve enfin que le groupe de galois c'est le groupe le groupe fondamental dont nous a parlé tamash samuelie donc je vais noter t cette entente le groupe et je vais mettre dans sa version géométrique parce que on a en dessous on a également le corps cul de thé et on a un plus grand groupe ici qui lui est aussi un groupe fondamental qui est le groupe fondamental mais dans sa version arithmétique alors on a vous voyez la théorie de galois nous fournit tout de suite par cette présentation là une suite exacte et le quotient c'est le groupe de galois absolu de cul alors sur cette suite exacte on en connaît on en connaît pas mal ici le groupe fondamental géométrique c'est en gros le groupe fondamental que connaît qu'on connaît tous depuis toujours c'est le groupe fondamental topologique et le groupe fondamental topologique c'est le groupe libre à deux générateurs alors c'est dans sa version profini et une autre chose que l'on sait c'est que cette suite exacte est syndée alors d'où vient d'où vient cette section et bien ce corps là que j'ai considéré on peut le le plonger c'est quelque chose de très classique dans le corps des séries de puiseux que je vais noter comme ceci rajouter puiseux le corps des séries de puiseux en t où j'aurais pu prendre les le corps des séries de puiseux en 1 sur t ou le corps des séries de puiseux en t moins 1 ou je peux prendre aussi le corps des séries formelles cette fois en t moins t 0 ou t 0 n'est pas un de ces trois points donc on a on a un univers qui contient tous nos corps sur lequel galois de cubar sur cul agit très naturellement et ce sont ces plongements qui fournissent les des sections alors on obtient de cette façon on obtient de cette façon une action de j'écu dans le groupe des automorphismes du groupe à deux groupes libres à deux générateurs et il se trouve par c'est un autre théorème fameux du domaine que c'est injectir ça c'est ce qu'on obtient en utilisant le le théorème de bélie de bélie qui est dénoncé assez simple il dit que tout tout courbe algébrique définie sur cubar peut être présenté comme comme revêtement de p1 moins ces trois points donc si vous agissez trivialement surtout les surtout les revêtements de p1 moins trois points en gros vous agissez trivialement sur toutes les courbes et c'est ce qui donne l'injectivité mais une autre chose qui qui est qui a fait le succès de la théorie c'est que on a réussi à coincé enfin à trouver un groupe intermédiaire qui contient l'image et c'est ce groupe qui est le fameux groupe de grottin dictage mulaire alors c'est un groupe qui est concret j'ai envie de dire c'est à dire qu'il est il est il est il est donné par des générateurs et des relations tout ça se situe dans un contexte profini donc ce qui complique un petit peu les choses mais on peut le considérer comme donné de façon concrète et ce qui est intéressant aussi c'est que ce groupe existait avant cette théorie ce groupe avait été découvert par dreenfeld dans un autre contexte et ce que je raconte là donc celui qui a découvert l'intérêt du groupe de grottin dictage mulaire pour l'arachymétique c'est c'est hier à ma connaissance bien alors j'arrêterai à ce niveau cette troisième méthode bon on a on a ce groupe évidemment la question qu'on se pose tous c'est est ce qu'on aurait on pourrait avoir égalité entre gq et ceci bon est ce qu'il y a d'autres groupes intermédiaires qui ont été définis mais on sait pas trop lesquels sont distincts lesquels sont égaux bon voilà on en est là mais on a un candidat pour être ou des candidats pour être groupe de pour être gq alors j'en arrive à la fin de de mon exposé donc ces trois idées ont vraiment fait faire des progrès énormes à la théorie mais au bout du compte si on regarde et bien le mystère le mystère initiale reste restent entier et j'ai même envie de dire qu'il qu'il s'était pécis puisque au départ au départ on avait un problème le problème de galois inverse et puis on a introduit le problème de galois inverse sous sa forme régulière donc mystère ici mystère là et ce problème à qui son autonomie quoi son son il a l'intérêt propre indépendamment du problème inverse de galois et même je dirais qu'il y a troisième mystère au niveau de l'implication enfin l'implication c'est elle est due à il vert mais il y a un mystère sur sur l'écart qu'il y a entre ces deux problèmes il y a-t-il beaucoup plus de groupes qui sont groupes de galois sur cul que de groupes qui sont groupes de galois sur cul de thé bien il y en a plus mais combien plus c'est la question et c'est pour moi question très très mystérieuse je termine par par illberte par lequel j'ai commencé je pour moi le thème de illberte au départ c'est vraiment un résultat fondateur et il faut le comprendre comme une comme une machine à produire des extensions avec avec ce terrain vous pouvez produire non seulement une extension de groupes j'ai mais vous pouvez en produire une infinité mais vous pouvez aussi en produire vous pouvez produire des extensions qui ont des propriétés merveilleuses et que parfois vous ne pouvez pas produire d'une autre façon donc le terme de illberte reste d'une grande actualité voilà je vous remercie justement on c'est ce que je ne voulais pas dire même si on savait que le groupe de galois tires muller est égal à gq on ne sait pas si tout groupe et groupes et quotient de jeté chapeau comment oui on oui oui on sait on sait on sait des choses mais on sait on ne va pas jusque là tout sauf un alors ils ont tous été les groupes sporadiques ont tous été réalisés pour le la forme régulière et donc sur la forme sur cu mais en partie donc c'est le résultat le plus fort qui était démontré pour pour celui qui registre c'est le groupe m23 pour les expo dont je peux vous donner l'ordre 10 millions de cent mille 960 m 24 oui enfin sauf sauf erreur c'est m23 l'exception et tous les autres ont été j'ai un commentaire une question le commentaire c'est sur le début sur la méthode de notaire et sur le fait que vous êtes sur 8 ça fait un contre-exemple en fait bon comme tu sais très bien pour les groupes abéliens la méthode de notaire marche il faut la modifier un petit peu donc ça c'est pas vraiment là où ça vraiment était où la méthode de notaire a été fichée en l'air c'est le court c'est l'argument saltman sur les complexes où il fabrique un groupe fini ou le corps des invariants n'est pas transcendant pure c'est d'accord mais c'est parce que le roman des petites variations ça peut encore marcher pas d'espérée ça non la question que j'avais c'est sur le sur la méthode sur la méthode sur le fait que l'espace à cher là n'a pas de point sur les rationnels est-ce que ça se voit par des méthodes péadiques en disant quelque part sur les péadiques à pas de point pour bien pour démontrer qu'il n'y a pas de point rationnel sur ce exemple là l'exemple qui est là là à cher de gc de cul tu as dit ça se voit par des tours par des tours c'est une interprétation en fait c'est c'est juste une tradition d'un résultat dire on interprète les les revêtements de groupes d'hédro avec quatre points de branchement on les associe enfin si on dispose d'un tel revêtement et bien et qu'il soit et qu'il est défini qu'il soit défini sur cul et bien les les éléments du sous groupe d'ordre pépis sans sèm vont fournir des des points des des des automorphismes d'ordre pépis sans sèm qui vont correspondre à des à des points de torsion sur oui le revêtement pour des par la formule de rémanueur vise on voit facilement que l'espace du haut c'est une c'est une courbe elliptique et donc ensuite les les éléments d'ordre pépis sans sèm vont correspondre à des points de torsion d'ordre pépis sans sèm sur cette courbe elliptique et ça ensuite on utilise les résultats qui limitent la torsion sur du courbe elliptique donc c'est on n'a pas de méthode disons pour dire je sais pas si je réponds par ailleurs on peut enfin de façon plus positive on a des techniques pour construire des points pédiques mais là ça va dans l'autre sens pour construire oui oui oui l'autre intérêt de cet exemple c'est qu'il n'a pas de points curationnels mais il y a des points pédiques pour tout payer donc ce qui est pierre est-ce qu'on peut réconcilier le la conjecture de chaffar et viches avec le point de vue grotton dictationneur par exemple essayer de voir comment comment se goupille gq abe donc la question serait quel est le groupe dérivé de gt chapeau par exemple je ne vais pas répondre nettement mais je crois qu'il y a comme je disais il ya des choses qui sont qui sont connues sur gt chapeau comme les éléments de torsion et je crois que le groupe dérivé aussi fait partie des choses qui sont connues mais je préfère ne pas le dire avec certitude alors comme comme il y a le nom de matzah au tableau je voulais signaler une chose c'est que bon dans tout ça on se donne le groupe de galois plus ou moins par l'intermédiaire de la ramification mais arrhythmétiquement d'ailleurs ça avait été vu dans l'explosé précédent il ya quelque chose d'intéressant c'est transformation de frobenius donc on pourrait et en fait comment le seul renseignement qu'on est sur gq c'est que dedans il y a des éléments de frobenius plutôt des classes de conjugaison de frobenius parce qu'on n'est pas dans le carbenien on pourrait se demander bon poser le problème un peu plus fort que je me donne un groupe g et puis pour chaque pas une famille de classe de conjugaison correspondant à ce que je veux être les les frobenius alors il ya déjà un problème d'unicité au matzah puis j'avais travaillé aussi là dessus on a trouvé des exemples alors une icité ça veut dire que on a un corps de nombre et que deux corps de nombre qui ont la même fonction de zeta dès qu'il ne serait isomorphes en ça c'est une question qui était beaucoup développée dans les années 70 par matzah en particulier et on a maintenant des quantités d'exemple de paire de corps de même degrés que la même fonction de zeta et qui ne sont pas isomorphes et le premier exemple bon c'était lié au groupe et c'est le de f7 que qu'on avait travaillé à l'époque et qui était que il ya deux extensions de 2 extensions de dégrés 7 qui ont le même la même fonction de zeta et qui ne sont pas des extensions isomorphes donc c'est un théorème d'unicité plus qu'un théorème d'existence enfin c'est une non théorème d'unicité plutôt qu'un théorème d'existence mais enfin je pense que c'est la peine de signaler oui d'ailleurs je peux dans ce contexte on peut montrer que si on dispose enfin si on dit c'est ce que je peux prolonger la fin de l'exposé sur le sur les avantages du terrain de liberté si on dispose d'une extension de groupes g de groupes de galois une extension de cul de thé de groupes de galois g alors par spécialisation on obtient des extensions de groupes g mais on peut aussi prescrire le les frobénus par la réduction modulo p oui on peut prescrire en un nombre arbitraire de premier p pour vu qu'il soit suffisamment grand par exemple on peut construire une extension qui soit totalement décomposé pour tous les premiers plus petits que x dans la question