 Je vais continuer avec l'invariant manifold et maintenant je parle de smoothness. Juste avant ça, j'aimerais donner une autre existence de l'invariant manifold dans le centre, mais qui est un peu différente de ce que nous avons discuté le matin. Il permet de réduire la dimension du système, de l'ambiance. Donc ici F est C1, K est invariant et compact, et donc le CRM est comme ça, CRMC. C'était un CRM que l'on a fait avec Christian Bonatti. Assume qu'il y a une décomposition hyperbole avec un constable. Donc il y a un constable fort, maintenant, à quel point K. Et nous inquiétons si ce set est contenu dans un sub-manifold, un unique qui serait tendu à ici. Donc on dit que K est contenu dans Sigma, un sub-manifold tendu à ici. Et on aimerait aussi que Sigma soit invariant. Nous ne savons pas ça, c'est très similaire au cas du plat. Nous avons juste une variante locale, et une variante locale. Donc la variante locale signifie qu'il y a un sub-manifold de K, pour que la intersection du sub-manifold avec Sigma ait une image qui est contenue dans Sigma. Donc pour le sub-manifold de K. Donc nous avons ce set, nous ne savons pas comment c'est. Et nous aimerons le mettre dans un sub-manifold Sigma. Donc ici, il est ici, il est deux dimensionnel. Et transversalement, nous aurons un sub-manifold fort et stable. Ok, donc c'est possible, si et seulement si, pour aucun point dans K, le point fort et stable du sub-manifold intersecte K, seulement à ce point. Donc pour montrer cette direction, c'est un exercice. Et pour cette direction, je ne vais pas le faire, c'est juste pour dire que, on assume cette condition. Donc si vous pensez que les lieux fort et stable vous donnent des coordonnées, vous dites que votre set est un graphe de ce coordonnée. Donc vous êtes, premièrement, une partie géométrique qui dit que K est un graphe transversal. Donc il y a, en utilisant ça, vous savez qu'il y a un sub-manifold containing K, mais peut-être pas en variant. Et donc pour le faire en variant, vous utilisez un argument de transformation de graphe pour obtenir un variant local. C'est un sub-manifold C1. Donc nous allons utiliser ce résultat. Ok, donc je vais parler maintenant de la smoothness. Donc il y a deux choses à discuter. Depuis que nous avons construit les lieux, c'est la smoothness des lieux, et puis le transversal de la smoothness. Donc, premièrement, les lieux. Donc, comme je l'ai dit, si vous considérez que les plagues, en général, elles ne sont pas C2, même si l'informorphisme est smooth. Par contre, pour le stable-manifold, le fort stable, c'était smooth, c'était CK, si l'informorphisme est CK. Donc pourquoi cette différence ? Parce qu'il y a une propriété. Donc ici, on va revenir à la set-up qu'on avait pour les plagues. Donc la domination. Et on dit que E est K dominé. Donc, c'est C et long-da. Donc, pour aucun point, et aucun positif, c'est de la rate. Donc, vous vous souvenez, la domination donne vous cette condition. Donc, la domination K requiert la même chose avec un exponent, mais vous voulez garder la domination. Donc, vous avez aussi la domination normale. Donc, vous avez cette condition. Donc, le résultat. Donc, C&B était sur la plague. Maintenant, vous avez un B' qui dit que si F est CK et E est K dominé, alors, on peut choisir la plague pour être CK. Et ils vary, et ils dépendent continuement sur les points X et F, le déformophisme, pour la CK topologie. Donc, c'est pour la plague. Nous avons une assumption pour accomplir pour avoir la CK smoothness. Mais maintenant, si E est uniformement contracté, alors, cette quantité, ici, au moins si N est large enough, est plus petit que celui-là. Donc, c'est toujours satisfait. Vous avez toujours la domination K. Donc, E est K dominé pour NK. Donc, juste F CK vous donne la CK smoothness. Donc, comment vérifier cela et comment apparaître cette condition. Je vais expliquer peut-être pas pour NK, je vais prendre une particularité, mais qui est en practice, cela couvre beaucoup de cas. Donc, je vais assumer que K est une lamination. Donc, une simple position K est une lamination. Donc, nous savons que, par définition, à chaque point, il existe un certain manifold tendant à E. Donc, le whole manifold est contenu en K. Donc, K est une union une union d'une union d'une ligne en variante. C'est-à-dire que la ligne est sentée à une ligne tendante à E et complète et déjointe. Localement, vous pensez que vous avez quelque chose d'une ligne de C1 mais ça dépend d'une lamination de C1. Donc, pour exemple, si K est un whole manifold, nous avons un si K est un whole manifold, nous avons une foliation et une foliation. Ou un autre exemple, K est un sub-menifold compact plus ou moins contenu en M et c'est un sub-menifold tendant à E. Donc, pour prouver la smoothness, nous allons le faire dans deux études. Le premier étudiant est de vérifier que le espace tendant est de la dépendance d'E. Donc, le homomorphisme est en C1 et c'est possible de construire un exemple où le bundle E n'est continu. Donc, nous devons avoir une smoothness. Donc, proposition. Assurez que F est K plus ou moins et que E est plus dominant. Et puis, la conclusion est que la map X est Lipschitz quand il est restricté à un E de K. C'est l'amination. Donc, il y a un point plus grand. Ok, ok, ok. Ici, ici aussi. Peut-être que c'est possible. Donc, si vous n'êtes pas restricté à un E, assume, par exemple, que vous avez une spécificité dominante sur le whole manifold. Le bundle E, en général, est seulement avec une constance, qui dépend sur la domination, par exemple. Donc, ici, vous avez mieux, parce que vous êtes restricté à un E, et vous avez une certaine assumption. Donc, pour expliquer ça, il y a une computation, qui est la même que ce matin, plus ou moins. Donc, on va essayer de le faire de la manière correcte. Ce matin, je suis désolé, j'ai interrété dans la même direction. Donc, la main idée, qui sera utilisée beaucoup de temps, c'est de prendre un point, donc vous avez un EX et maintenant, prendre un autre direction, un autre plane close à un EX et interrète par F, par DF. Et along the direction E, la zone n'est pas contrôlée, elle sera expandée. Et vous voulez que vous boundez cette expansion. Donc, on va dire, l'angle entre E et E prime. Ok? Donc, pour faire ça, pour measure la différence, vous vous avez besoin d'une vectorité, ici, E et par E, vous avez une vectorie transverse, donc along the transverse cone V et maintenant, vous interrètez et vous avez donc dFn de U et dFn de V. Et donc, la expansion est la taille de dFn de V normalisée par dFn de U et vous voulez que vous boundez. Donc, vous avez norme dFn along F par minimal norme de dFn par E. Ok? Times norme de V par norme de U. Donc, cette quantité bounde oui, la expansion. Je veux, pardon, je veux j'ai besoin de bounder en bas. Donc, je prends la connorme. Cette quantité bounde la expansion dF close à dans le futur. Donc, vous pouvez faire le même, mais dans le passé, ce que vous avez, c'est que les cones vous avez une contraction. Et donc, dFn dFn contract par cette quantité qui est donc, si vous avez des graffes, ce matin, j'ai des graffes et les graffes sont quand vous voulez voir comment la distance entre les graffes est contractée, c'est exactement la même computation, exactement cette quantité. Donc, qu'est-ce qu'il y a de la dépendance des graffes? Donc, vous avez des points. Vous voulez comparer Ex et Ey. Vous ne savez pas. Vous voulez voir la distance dans un sens. Et en fait, vous comparez la distance à l'image. Donc, dF-n de Efnx et dF-n dEfny à Fnx, pardon, pour la front Fny. Donc, c'est formé par vous regardez la distance dF-n de Efnx dEfnx et dEfny mais ici, vous allez prendre la même map plus quelque chose d'autre, ce qui est la différence entre les deux maps peut-être que je le fais juste pour 1 iterate. Je le répète après. Donc, dF-x dEf-1 à Fy. Ok? Donc, ce que nous avons, c'est ici, je vois comment la cône, parce que je prends la même map, comment la cône est contractée par la backward iteration. Donc, je vois cette quantité minimale, non. La distance maintenant entre Efnx et Efnx dEf-y. Plus. Maintenant, j'utilise cette c2. Donc, la distance entre Ffx et Fy. Et puis, ici, on le répète. Nous pouvons l'éterner plus. Et donc, ce qui s'appuie c'est quelque chose comme ça. Donc, il y a un terme ici qui est comme ... Oui. Il y a un produit de normes, mais ok. Il y a quelque chose comme ça. La distance entre Efnx et Efnx dEf-y. Donc, cela arrive plus. Vous voyez que c'est un somme de ce terme. Donc, si cela s'appuie après le step K, j'ai un K qui est K ici. Donc, dEf-G over E après G. Distance entre F Gfx et FG dEf-y. Mais cette distance est bondée par la norme de Df-G. Donc, si je veux juste comprendre la dépendance de E dans le ménifold, ici, j'ai juste la norme de Df-G. Donc, la norme la plus grande est la longue F. Et donc, je peux trouver la condition d'avoir une dépendance de la dépendance du ménifold dans le ménifold, mais ici, je veux juste, dans les lignes, les lignes sont tendantes à E. Donc, ici, j'ai E. Donc, j'ai un somme ici et j'ai besoin de quelque chose de temps, ok. Toutes les distances entre X et Y. Donc, j'ai regardé ce terme et ce que j'ai ici est quelque chose de temps de distance entre X et Y. Et ici, j'ai besoin de quelque chose de temps pour avoir le ménifold. Donc, j'ai besoin de ce somme pour convertir. Et donc, ce qui s'occupe si ce terme est exponentiellement petit. Donc, ce qu'on veut est que ce terme est ici, deux fois, sur ce terme. Et on veut ça être exponentiellement petit. Donc, il devrait être un domicile 2. C'est un domicile 2. Ok. Donc, c'est le ménifold. Donc, pour plus, maintenant, il y a un second part qui est un argument d'induction. Il faut montrer que nous sommes ck. Nous avons réduit à la situation avec un ménifold de quelque chose, ck-1. Et puis, c'est un argument d'induction. Donc, nous devons regarder une autre dynamique qui est une levée de cette dynamique sur le bundle de Grasse-Magnane. Donc, je prends L, la dimension pour le espace que je considère. Donc, le Fiber E. Et donc, le Grasse-Magnane Donc, le espace de des sub-spaces Tm avec la dimension L. Donc, si L est 1, si cette dimension est 1, c'est juste un bundle d'induction projectif. Et donc, dans cet espace vous pouvez acte la action de la map de Tm qui est semi-conjugé de la action de F. Donc ici, F est ck. Cette map ici est ck-1. Et ici, vous avez le set K avec un bundle E. Donc, à chaque point de K, vous regardez le Fiber ici. Ici, il y a un espace d'un espace de dimension L à ces points. Il y a une particularité. C'est E. À un point X, vous avez Ex qui est projectif. Et depuis que ce bundle est invariant, la collection d'Ex. Donc, E, à l'arrière, il y a un espace compact qui est k. Et donc, la map, vous avez encore une domination sur cet espace. Donc, cet espace compact c'est LAMDA. LAMDA a un espace dominant. Vous devez préciser, il y a plusieurs 1s où la dimension E est équal à la dimension E. C'est LAMDA. Donc, pour montrer cela, précisément, vous devez vérifier un critère config. Mais je vais juste faire une picture. Donc, ici, à un point X, vous avez 2 directions, E et F. Et par-dessus, vous devez ajouter des directions qui correspondent aux fibres. Mais les fibres sont invariants par Df. Donc, si vous comparez à l'action de F, c'est une nouvelle collection de direction invariant. Et donc, ici, le bundle est un bundle et vous devez vérifier que vous avez une domination. Vous devez vérifier ce que vous ajoutez. Donc, F doit être quelque chose qui s'éteint F en ajoutant les fibres. Donc, pour vérifier la nouvelle domination, vous devez vérifier que les fibres dominent E. Les dynamismes dans les fibres de votre bundle dominent E. Les fibres, c'est juste de dire que j'ai fixé un point et j'ai changé l'espace près de E. Donc, c'est juste de voir comment Df explique l'angle près de E, de l'espace près de E. Donc, l'expansion dans les fibres, c'est ce que j'ai computé avant. Il est bondé par-dessous de la norme minimale si je l'ai interdit. Et par-dessus de F par-dessus de E par-dessus de E qui est la contraction par-dessus de E est bondée par-dessus de E. Donc, pour vérifier la domination, vous devez vérifier que cette quantité est plus grande que celle-ci, mais c'est juste les deux dominations ici. Une autre chose c'est que maintenant la nouvelle E est K-1 dominée. Bien, donc E élevé par-dessous, E par-dessous était K dominée par F. Donc, vous devez vérifier ce que vous avez fait, les fibres. Donc, vous devez comparer cette quantité à cette quantité. Donc, pour vérifier la domination K-1 dominée, vous devez juste dire que ici, la contraction par-dessus de E par-dessus de K-1 est strictement moins que celle-ci. Mais ce n'est pas plus plus grand que la domination K que vous avez imaginée. Donc, vous avez fait une éduction. Vous avez commencé par quelque chose, c'est K avec une domination K et vous avez construit quelque chose c'est K-1 Donc, par induction, maintenant E, let's me say one more thing. Maintenant, let's remember that K is a lamination so collection of leaves and if you lift the leaves the lift of a leaf the lift of a leaf is a graph over and this graph is leaf sheets leaf sheets just because of what we have checked so it was the first lemma the proposition and now you have so you have a collection of leaf sheets graph which is invariant so you have a graph transform which already have a fixed point and so we knew that as in this morning the graph are K-1 fixed so now you have checked that lambda is a lamination and the graph lambda is a lamination and by induction is K-1 so now when you project you deduce that E is CK-1 along the leaves and so the leaves are CK as what we wanted to do so I will now talk about another smoothness which is a transverse smoothness in the same setting let's say or so maybe here let's assume we have a global dominated splitting so the rule has a global dominated splitting for instance this one we know that at any point a strong stable manifold the strong stable manifold are coherent so this is a foliation so we have a strong stable foliation ok so if F is CK the leaves are CK but it does not it doesn't tell you that the foliation itself is CK so what is a CK foliation it means that a chart which rectify the foliation and the chart is CK ok so to show that we have a smooth foliation or a CK foliation we need a new assumption so we say that the center is let's say K bunched if and only there is C in lambda just for any X in K in M any iterate positive the norm of F along E is smaller than the minimal norm of F along F as usual but divided also by the norm of F along F to the K and with a good contraction so what maybe what's considered oftenly is just to be bunched in this case it's just this brush so what's the conclusion as you guess well I don't know this statement Cushub Cushub Wilkinson so E c is K bunched and at least F is CK but in fact CK plus 1 then the strong stable foliation is CK let's see that and to see how the K bunching appears just one particular case so you see corollary so if F is an anosoph C2 anosoph and EU is one dimensional so anosoph means that M is hyperbolic globally and EU is one dimensional then the strong stable foliation the stable foliation is C1 why so so you have to check the one you need C2 because of this and you need to check the one bunching the bunching so and so you need to check this but since F is one dimensional the minimal norm and here you have a contraction this bundle is contracted so this condition is automatic as an exercise you may check that if you have C3 so a C3 anosoph on on T2 which is conservative so samplectique the foliation almost C2 ok so let's check now the transverse smoothness so again it's proved by lifting the dynamics because so to prove the theorem one has to show that the bundle E is Ck if you have a foliation already but the tangent space is Ck the foliation is so one lift the dynamics again to a grass manian so again L is the dimension of E and so this is a bundle over M so now Df is Ck because F was Ck plus 1 and at any point of M I have space EX so EX et so here we find a section of the grass manian which is lambda and again we check that it satisfies a dominated splitting but not the same as before lambda has a dominated partial hyperbolicity so T lambda tangent space to the grass manian of M decompose like that where here this space is just the tangent space to the fiber of the bundle and so we know that this space is invariant and here what we want is a space that lifts E plus F below so we have to check the expansion here that we computed painfully that it is more than what happens here so what happens here is what happens along E and F below so the expansion EU so the fiber was bounded from below I was the FN of F of the norm of the FN of E right and contraction along E c is bounded above by the norm of the F so the norm of the F along F we show that this one is larger than this one so if you look to this you see that it is the one benching minimum norm along F divided by norm over F is larger than norm along E so we have a partial hyperbolicity E c E c is K dominated by EU sometimes since EU is expanding we sometimes we say that E c is K normally expanding so to check that K so we have to check what that that this is I haven't check on my paper ok this condition which is exactly this one to check that yes ok for the K benching give the K domination so now what to say so we have this invariant set which is a graph lambda it is partially hyperbolic and the expansion occurs along the fibers which are invariant so it just tell you that the fibers are the strong unstable manifold of the set these are collection of leaves invariant and tangent to the stronger unstable space ok and now the fibers intersect the set just at one point so it's exactly the condition of CRMC which tells you that lambda is contained in a locally invariant sub manifold tangent to E c so transverse to the fibers but lambda is already a graph so in fact this sub manifold is just lambda is a sub manifold and this sub manifold is K K dominated so this is a case of a lamination with a single leaf and so lambda is a lamination K normally expanded with a single leaf and so and it's invariant by Df which is CK so lambda is CK but lambda is just the collection of tangent space E of spaces of the bundle E so it tells you that E is CK and so the foliation so E was ES right so the foliation CK ok and that's all for today thank you