 Donc la semaine dernière, j'avais introduit la notion de sous variété spéciale et faiblement spéciale d'une variété de Shimura et j'avais énoncé, alors je vais mettre une numérotation et j'ai essayé de m'y tenir. Une sous variété algébrique V2S dans une variété de Shimura et faiblement spéciale, si et seulement si, elle est bi-algébrique. Je voulais donner une indication de preuve. Donc il y a des réductions qu'on peut faire tout de suite. Alors de Shimura générale, donc S variété de Shimura, pur, oui mais j'ai pas introduit autre chose encore. Donc S c'est une composante de SHK. Alors j'ai défini ce que c'était que bi-algébrique la dernière fois en expliquant qu'il y avait peut-être plusieurs définitions pour algébrique dans un modèle de X mais que toutes les définitions donnaient la même notion et j'explique ça maintenant. Donc on peut supposer que V est hodge générique. Alors ça veut, je vous rappelle, ça veut dire que si je regarde la plus petite sous variété spéciale qu'on t'en envient, c'est la variété de Shimura tout en tiers. Donc c'est une opération qui consiste à dire que je ferai de travailler avec celle-là. Elle est elle-même bi-algébrique et il n'y a pas de différence si on travaille avec celle-là. Et puis comme finalement l'énoncé que j'ai en vue, vous voyez S c'est le quotient d'un espace hermétien par un réseau et il ne dépend du réseau qu'à commensurabilité près. Donc vous pouvez choisir un réseau à l'intérieur et en fait vous pouvez supposer deux choses pour me simplifier la vie. Donc j'ai adjoint, c'est juste pour me simplifier la vie et gamma, sans torsion ou net, c'est aussi donc c'est des hypothèses donc on prend des sous-groupes d'indisfini du gamma et on arrive à réaliser ça. C'est un peu plus fort que sans torsion. Bon, je pensais sans torsion ici si ça vous, j'y viendrai pour ça, ça joue un rôle à un moment. Oui, c'est indépendant, c'est-à-dire si je suis dans une, enfin la notion d'étalgébrique ne dépend pas du choix que j'ai fait d'un modèle du X. Dizons, si j'ai un S qui serait, enfin je remplace S par la plus petite sous-varieté qu'on en veut donc je, moralement, j'ai un S dans esprit. Donc ça correspond en haut à une inclusion XH, je donne XG si vous voulez et le XG est plongé dans quelque chose. Mais le XH plongé dans ce grand truc c'est aussi un modèle de mon XH et la définition de bialgébrique ne dépend pas du modèle. Les algébriques sont toujours des intersections d'algébriques, un truc un peu plus gros avec ce XH, il n'y a pas de, là il n'y a aucun, il n'y a aucune subtilité je pense. Non, là je fais des rouettements infinis donc je... J'ai un général notion, hein, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai, j'ai. J'ai une définition la dernière fois pour « what is a model ? ». Alors je, bon, je veux bien revenir sur la définition mais c'est, donc j'ai défini un modèle comme donc une sous variété analytique complexe d'un, d'un, d'une variété algébrique telle que il y a une action transitive et semi-algébrique du, du groupe G et telle que elle définisse un biomorphisme avec l'espace symétrique hermétien du groupe G. Et oui, réalisation, oui je préfère réalisation que, que modèle, voilà. Bon, donc c'est ça que je prends comme définition et après on montre que la notion d'être algébrique telle que j'ai dit ne dépend pas de, de cette réalisation. Alors, voilà, donc voilà, donc vous avez, voilà la situation, vous avez votre modèle, vous avez S, vous avez votre sous variété et donc j'appelle Pi l'application d'uniformisation et puis on a une composante V tilde de Pi moins un de V et puis je vais fixer un point en fait S ici que je vais relever en un S tilde ici et je vais supposer que ce point est lisse, dans le lieu lisse et S est hodge générique. Alors je rappelle que ça veut dire que la plus petite sous variété de Chimura contenant ce point c'est S tout entier. Alors dans une variété hodge générique on montre qu'il y a plein de points hodge générique. Alors, donc l'observation et enfin, le principal, finalement c'est que H, si je regarde le stabilisateur dans G2R, alors peut-être la composante neutre de ma composante. Alors cette composante V tilde, elle est algébrique au sens, bon, donc en particulier les semi-algébriques analytiques complexes et on montre que ce stabilisateur est un groupe algébrique. Alors ça utilise le fait que l'action de G sur X est semi-algébrique. Et le deuxième point, là c'est un groupe algébrique. Il est sur R effectivement. C'est le point réel d'un groupe algébrique. Alors, ok, donc ça c'est les points réels d'un groupe algébrique sur R. Bon alors, je prends le stabilisateur dans G et puis après ça, ça définit un groupe algébrique. Bon, je ne sais pas comment. Donc si vous voulez dire que H2R c'est le stabilisateur dans G2R, Bon, alors ensuite vous avez, vous pouvez regarder le stabilisateur dans G. Alors c'est quelque chose qui est, donc ça je vais l'appeler G. C'est contenu. Alors je vais mettre un zéro pour dire l'intersection avec le stabilisateur, enfin cette composante neutre. Et il y a un argument topologique pas trop compliqué qui dit que c'est l'image du pient de la partie liste V dans le pient de SS qui est gamma parce que je me, j'ai supposé que le réseau était sans point fixe ou enfin net, c'est mieux. Voilà. Et l'avantage donc de, donc quand on a ces deux faits, on en déduit que la clôture de Zarizki du gamma V est inclus dans ce stabilisateur parce que le H est algébrique. Et donc en fait on sait beaucoup de choses sur cette clôture de Zarizki. Ça provient de résultats assez généraux de Ligne et André. Alors je vais dire les choses comme ça. On fixe une représentation fidèle Rho qui envoie gamma disons dans GL, dans GL de VZ. Et donc une fois qu'on a fait ça, donc chaque fois qu'on a un élément de X, on a une structure de Hodge sur ce V et la théorite des Ligne est faite de sorte qu'on obtient une Z-Variation de structure de Hodge en fait sur S et même sur disons V-Smooth si vous voulez. Bon et donc il y a une notion de groupes de même fortes têtes génériques de cette variation de structure de Hodge. Alors donc de cette variation de structure de Hodge, je sais pas quoi, et simplement le groupe G et donc c'est là qu'on utilise notre V Hodge générique. Donc alors qu'est-ce que ça veut dire ? Pour chaque X, on a une structure de Hodge sur V et on a un groupe de même fortes têtes. Alors ce groupe de même fortes têtes c'est le plus petit Q sous groupe tel que le X se factorise par ce sous groupe. Et ce qu'on dit c'est qu'en dehors d'une union dénombrable de sous variété strict de V, eh bien le groupe de même fortes têtes qu'on trouve c'est le groupe G tout entier. Et dans cette situation le thérème, donc il y a un thérème de monodromie de Deligne et André, vous dit que le groupe que j'ai appelé Gamavésar, alors peut-être faut mettre une composante connex, est un sous groupe normal de GQ pour voir ce qui se passe. Donc si, exemple, si au départ GQ est simple, vous déduisez directement que Gamavésar cg et ça c'est H. Donc votre composante v est-il stabilisée par tout G et ça ça vous implique finalement V gal S. Donc ça c'est le, donc si vous étiez parti d'un truc qui est en fait spécial et que vous avez remplacé par la plus petite sous variété spéciale le contenant, vous vous attendez de temps en temps à trouver ça. Alors il peut y arriver, il peut avoir une autre situation en général. Donc voilà soit vous appelez H1, le groupe de monodromie, donc peut-être 0 et comme G est adjoint, on a, enfin ça marcherait sans cette hypothèse, mais on a une décomposition G, donc c'est sur Q, il y en a une décomposition comme ça et ce qu'on voit en fait c'est que ça induit que la donnée de Shimura associée est aussi un produit XH1, XH1, 3, H2, XH2 et dans cette situation on vérifie que V est l'image de peut-être une certaine composante croit un point P avec P, Hodge générique dans le deuxième facteur. Donc on retrouve la décomposition en produit qui était dans le théorème de Mounon dans la description de ce que c'était les variétés faiblement spéciales, on le retrouve dans le théorème de monodromie, de lignée André et il est aussi connu dans ce théorème que si le V a un point spécial, en fait ce sous groupe normal c'est G tout entier, donc on retrouve que dans le cas où notre variété au début aurait eu un point spécial, et bien si on la remplace par la plus petite sous variété spéciale la contenant, on retrouve le groupe entier. Voilà la logique de la preuve. On peut simplifier un petit peu au lieu en éliminant l'usage du point S Hodge générique ou de prendre des composantes connexes, en remplaçant le groupe de Mounon fortale générique par le groupe tanakien de la sociale AZ variation structure de Hodge elle-même. Il n'y a pas de point. Et donc ce groupe tanakien n'est pas forcément connexe mais ça est le groupe de Mounon fortale générique et du coup on n'est pas obligé de prendre des composantes connexes. D'accord. Non mais je suis d'accord. Oui c'est plus canonique, c'est d'accord. Mais bon, je pense que, de toute façon le point clé est là, c'est de dire que la monosomie est grosse. Donc d'une manière ou d'une autre c'est ça que vous utilisez. Comment, enfin, ce terme de variation structure de Hodge ? Oui bon, il faut y passer du temps. C'est un terme général dans la, dans la, de variation structure de Hodge. C'est pas particulier ici. Oui, donc je dois dire que pour les composantes connexes je dois mettre plus et pour les géométriques je dois mettre zéro. Je sais pas si j'ai été cohérent mais si j'ai essayé d'être cohérent, les composantes connexes au sens topologique ce sera des plus et les composantes connexes en tant que groupe algébrique ce sera des zéro. Bon, je peux me tromper mais au moins c'est ça que je cherche à faire. Je pourrais faire les deux mais là je prends comme groupe algébrique. Donc j'ai vraiment envie de définir un groupe algébrique. Hodge, j'ai envie de le définir comme un groupe algébrique. Si vous prenez les composantes nettes topologiques, les composantes nettes topologiques dans un groupe algébrique parce que en général les points réels ne sont pas connexes. Oui, mais là j'ai pas fait ça pour l'instant. Alors vous avez fait que c'est quoi ? Hodge, est-ce que c'est ? J'ai un groupe qui agit sur quelque chose de manière algébrique. Il y a une définition de stabilisateur comme groupe algébrique. Alors il faut le faire en termes fonctorielles si vous voulez. Il s'agit sur un truc qui n'est pas... C'est sur le majeur GDR qui agit sur un truc de façon semi-algebraie. On sait que les composantes nettes, les stabilisateurs, c'est un groupe sur le truc donc c'est un groupe de lits, c'est un groupe de lits formatoires. Oui, donc qui est... enfin qui est l'algebraie de lits d'un groupe algébrique. Ok, mais le groupe a pensé que le groupe algébrique, le point réel de ce groupe algébrique, ça pourrait être un groupe non connex ? Oui, d'accord. Ok, donc l'algebraie de lits va correspondre à la partie plus. Mais après il y a quand même un groupe algébrique. Il y a un groupe algébrique, mais est-ce que le H, en question, il faut définir le zéro, qu'il y a d'autres choses qu'il faut appliquer en rotation de zéro. Est-ce que ça veut dire qu'on prend, par exemple, pour gamme avec zéro, est-ce qu'on prend les composantes nettes algébriques ici ? Pour moi je suis à l'intérieur d'un groupe algébrique. Je prends la clôture de Zarisky dans ce groupe algébrique. J'ai éventuellement plusieurs composantes et je prends la composante de l'élément neutre. Ici je ne sais pas quoi faire d'autre. Là je comprends qu'il faudrait commencer par passer par les points réels et faire des algeables de lits, mais là je ne vois pas ce que je peux faire d'autre. Je dis juste que j'ai un sous-ensemble d'un groupe algébrique et je prends sa clôture de Zarisky. Il peut y avoir plusieurs composantes et il y a une composante qui contient l'élément neutre. On peut prendre l'adhérence de Zarisky dans le plongement de Borel. Il peut dire que si Vétil est stabilisé, cette adhérence de Zarisky est stabilisée sous la clôture algébrique de ce groupe. Oui, je pourrais utiliser G2C, je pourrais passer avec... Je préférais ne pas faire intervenir le plongement de Borel là-dedans, voilà. Donc voilà, c'est énoncé de Bielgébricité et un terrain central dans toute la stratégie et une version plus précise de ça, c'est Axlindeman hyperbolique. Donc je suis dans la situation générale où j'uniformise une variété de Shimura par un espace symétrique armissien. Alors je vais donner deux formulations équivalentes de cet énoncé. Soit Y, including X, un algébrique irréductible. Encore une fois, j'ai donné une définition de ça la dernière fois. Alors je prends l'image par cette application transcendante et je regarde la fermeture de Zarisky et l'énoncé, c'est que c'est faiblement spécial. Et l'autre forme qui va être équivalente et peut-être plus directement reliée à la question qu'on se pose ici donc je pars de Soit V, une sous-vailleté... Alors je vais mettre un numéro 2.2, ça m'aidera plus tard. Soit V, une sous-vailleté algébrique de S donc soit A, un sous-ensemble algébrique irréductible depuis moins un de V et maximal parmi les algébriques sous-ensemble algébrique irréductibles depuis moins un de V. Alors la conclusion c'est que alors Pi de A est faiblement spécial. Alors je vais vous faire le dessin de ça pour qu'on se repère. Donc vous avez votre X, vous avez votre S et cette application transcendante qui les relie. Vous avez une sous-vailleté, vous regardez Pi moins un de V et à l'intérieur de Pi moins un de V vous donnez quelque chose qui est algébrique dans X et contenu dans Pi moins un de V et vous supposez qu'il est irréductible et maximal parmi les irréductibles. Vous prenez son image et vous allez construire une sous-vailleté faiblement spéciale de V. Donc on va voir comment on utilise ça dans la stratégie générale. Donc vraiment ces deux énoncés sont équivalents pour des raisons formelles. C'est un exercice, ça vaut la peine de le faire. Celle-là va être plus la manière dont on va prouver les choses et on va même les utiliser. J'apprécie beaucoup celle-là parce qu'on voit que c'est une histoire de flow algébrique et qu'on pourrait s'intéresser d'autopologie dans cet énoncée mais celui-là est plus directement lié à la question. Alors la preuve de ça sera, donc ça fera l'objet d'un cours et ça va utiliser de l'eau minimalité que je dois d'abord introduire. Donc c'est un élément clé de la preuve et j'ai dit que ça a intervené plusieurs fois. Donc juste pour attribuer des choses, Pilat a montré ça pour la cour modulaire à une certaine puissance. Avec Yafa F, on a montré ça quand S est projective. Donc en fait ça veut dire que le groupe algébrique Q, enfin sur Q est anisotrop, puis Pilat et Zimmermann ont montré ça pour AG et enfin il y a une preuve générale avec L'Engler et Yafa F. Donc pourrait ça arbitraire. C'est une composante dans le monde anaétique complexe de les algébriques telles que je l'ai définie. Et a priori les marges, on ne sait pas si la marge est fermée. Non, essentiellement si elle est fermée elle va être algébrique. Si vous partez de quelque chose algébrique telle que l'image est un fermé de V, en fait probablement ça sera algébrique. En général c'est vraiment un truc, l'image d'un algébrique est quelque chose de très compliqué dans le quotient. Enfin j'ai pensé à H sur SL2Z, crois H sur SL2Z. Donc vous avez en haut H, crois H, vous écrivez une équation d'une courbe, puis vous essayez de voir comment ça se comporte en H sur SL2, priori ça va à peu près partout quoi. Maintenant l'opération de prendre une clôture de Zariski c'est très régularisant. Mais malgré tout, là on dit que l'image qui a priori, disons sous cette forme, on dit que l'image qui a priori est un truc très complexe. Malgré tout en prenant sa clôture de Zariski c'est un objet très régulier. C'est le contenu du terrain. Voilà, alors la preuve d'Axin Deman est une grande partie de la stratégie et est liée à des questions de hauts minimalités que je vais introduire. Donc c'est une notion qui a été, je pense, introduite par van den Dris, mais là je parle sous contrôle dans les années 80, qui a énormément développé, c'est à peu près ça. Et donc sa fonction c'est d'essayer de définir des nouvelles géométries dans lesquelles on arrive quand même à contrôler les objets, même si on introduit des fonctions transcendantes dedans. Alors je vais essayer de... C'est un petit point historique, Axin Deman c'est sur les contemporains, mais qu'est-ce qu'il faut faire aux anciens ? Alors, donc van 3 au minimalité et terrain de comptage. Donc voilà, disons préliminaires au minimo. Alors, donc je vais essayer d'être très léger dans les aspects logiques. Alors je fais ça devant Éhout, ce qui est difficile. Mais voilà, donc définition, une structure. Je vais définir une notion générale de structure. Donc c'est la donnée pour toute n d'une collection SN de sous-ensemble de Rn. Alors c'est vraiment sur R. Il faudrait passer par d'autres choses, mais je reste sur R dans tout ce que je vais faire, même si les preuves des choses ici doivent faire intervenir d'autres corps. Telle que... Alors on se met une certaine nombre de règles. Les semi-algébriques sont dans SN, sont des éléments de SN. Donc voilà. Donc en fait, on appelle définissables les ensembles qui interviennent ici. Donc les semi-algébriques sont toujours définissables dans les structures que je regarde. Deuxièmement, on veut que pour toute n, donc SN est une sous-algette de boule de Rn. Alors je veux juste dire en gros que une intersection finie, une union finie et un complémentaire d'objets définissables est définissable. Ensuite, je veux dire que si A est définissable dans Rn et B est définissable dans R puissance M, disons, alors le produit est définissable dans Rn plus M. Et dernière condition, donc c'est si vous donnez... Donc juste la projection sur les premières coordonnées. La projection sur les premières coordonnées. Quel que soit A appartenant à SN plus 1, P2A. Donc la projection d'un définissable comme ça est définissable. – Il n'est pas négatif par rapport aux computations d'obtenir ? – Non, mais tu pourras les trouver par d'autres raisons. Ok. Donc ça c'est juste une définition pour l'instant. Et concrètement pour moi, voilà comment je vais obtenir des structures. C'est toujours quelque chose qui va être constructif pour moi. Donc soit fi, peut-être de Rn i dans R, j'ai un ensemble de fonctions, voilà des fonctions simplement pour l'instant. On définit une structure, je lui donne une notation pour l'instant. Donc R plus x, je mets toujours des signes comme ça. Donc plus x à fait arrière et puis mes fonctions. Alors comment je fais ça ? Tels que les ensembles définissables Z dans un certain Rn sont de la forme, donc sont donnés par une formule. Alors qu'est-ce que c'est une formule ? Donc je dis que c'est l'ensemble des x1, xn dans Rn telle qu'une formule est vérifiée. Alors je fais appel fi de x1 vérifiée. Alors qu'est-ce que je m'autorise pour une formule ? Donc ou fi est une formule. Alors je vais dire que l'on peut écrire, donc avec les quantificateurs, quelque soit il existe, portant sur des variables réelles. Donc je ne peux pas faire une phrase avec quelque soit le sous-ensemble 2 mais je peux faire une phrase comme ça. Les connecteurs logiques et des expressions algébriques faisant intervenir les affis i appartenant à i et on a le droit à des inégalités. Voilà. Bon peut-être. Ok. Et on a le droit aussi à des paramètres réels fixés. Bon. Bon. Donc en on finit. Voilà. Alors, donc il y a... c'est forcément un peu imprécié mais c'est opérationnel. C'est-à-dire quand vous écrivez une formule et que visiblement vous l'écrivez en faisant porter les quantificateurs sur des variables, vous faites des opérations algébriques avec vos fonctions et vous écrivez des inégalités, le résultat de cette formule est quelque chose, c'est ça les définissables de votre structure. Donc l'expression algébrique c'est une expression où on peut composer. On peut composer, on peut prendre des fractions, on peut faire des... On peut faire les opérations algébriques. On peut faire les opérations algébriques. Bon. Donc je vais... Ce qui va être important, donc c'est... Et quand on divise, ce n'est pas plutôt défini, donc il peut faire un convention, qu'est-ce que c'est la division par zéro ? Bon, c'est le lieu où c'est défini. On enlèvera le lieu où c'est... Il faut que ça soit défini. C'est un ensemble de réels où il y a quelque chose qui garde un sens. Si on a divisé par zéro, un endroit où on a divisé par zéro n'est pas dans l'ensemble des finissables. Bon. Alors, en fait, il y a une notion qu'il faut avoir en tête, c'est que, donc, une fonction alpha, disons, de RM, non RM, est définissable si son graphe est définissable. Et ça c'est un fonction pour tout définer ou on peut aussi faire des fonctions. Cet parent, c'est un fonction pour tout définer, pour tout... Il peut y avoir un domaine, un domaine inclus, donc ça peut être défini sur quelque chose. Oui, d'accord. Donc, ça peut être défini sur un ouvert ou sur quelque chose dans RM. Voilà. Voilà. Alors, c'est... Les semis algébriques satisfont à tout ça. Disons, l'idée générale, c'est qu'on fait des choses mais on va rajouter... Donc, typiquement, on va rajouter l'exponentiel réel. Bon, donc... Alors, c'est très... jusque-là, c'est très général. Donc, je vais mettre une définition 3-2. On dit qu'une structure est haut minimale si les ensembles définissables dans R, donc dans cette structure sont les réunions finies d'intervalles et de points. C'est-à-dire qu'il n'y en a pas d'autre que les semis algébriques. Dans R, on définit les mêmes. D'accord. Et donc, ça, c'est la définition. Et... Bon, c'est... Ça a été très étudié et je vais tout de suite dire un fait qui est très important. On montre que dans une structure au minimal, les ensembles définissables dans Rn n'ont qu'un nom fini de composants de connex. Donc, si vous montrez que quelque chose est au minimal, ça veut dire quand même que si vous écrivez une formule avec les fonctions que vous avez introduites et tout ça, vous ne trouverez jamais qu'un nom fini de composants de connex. Ça vous met une restriction très forte, mais bon... Voilà. Alors, le haut vient effectivement de hors d'œur minimal. Donc, il n'y a pas plus ce qui est donné avec le inférieur égale qui vous donne les semis algébriques. Et aussi, si on pote un goulain, je crois qu'il y a le terrain général si on pote un goulain... Il y a des décompositions en cellules. Il y a énormément de choses sur le minimalité. Évidemment, ça aura un rôle peut-être caché dans ce que je dirais. Je dirais deux mots. Mais on sait... Comme je l'ai dit, c'est une théorie que c'est énormément développé. Et... disons, les arrêtes médiciennes sont plus intéressés à cause du terrain des wheelkicks qui va arriver, mais... Bon. Alors... Le... Le terrain profond et crucial dans la suite. Et... c'est... dû à Willky. Alors, j'ai... Ça a été publié en 96, mais je soupçonne que ça existait avant. Donc, j'ai mis ça à 3.3. Donc, la structure RX, donc, qui est... Vous faites les opérations algébriques les inégalités et vous ajoutez l'exponentiel réel. Euh... Non, pour l'instant, je mets l'exponentiel réel. Oui. Donc, est au minimal. Alors, c'est un thérème assez profond, lui, pour le coup. Vous écrivez n'importe quel... formule algébrique en utilisant. Vous pouvez y térer autant que vous voulez des exponentiels avec plein de variables. Et vous regardez le lieu des zéro, par exemple. Par exemple, il y a qu'un enfinit composante. Le connex. Voilà. Alors... Ça, c'est... Euh... Donc... Pour avoir un exemple pas au minimal, euh... Donc, la structure, par exemple, euh... R sin, si vous prenez... vous donnez le sinus. Alors ça, c'est pas bien du tout, n'est pas au minimal. Euh... Bon, pas... Parce que, euh... Par exemple, pz, euh... c'est l'ensemble de x en R tel que sinus x égale 0. Donc, c'est définissable dans R sin. Et puis, bon, c'est pas une réunion finie d'intervalles. Donc... Vous pouvez pas construire d'ensemble, par exemple, d'ensemble réel, infinie, une infinité de points, juste avec des formules faisant intervenir que des exponentiels. Ça, c'est l'énoncé qu'il y a derrière. Alors, pour... Euh... Pour les variétés de Shimura et même pour la théorie en général, on a besoin de rajouter plus de fonctions euh... que juste l'exponentiel, même si euh... Le point crucial est l'exponentiel. Et euh... On va ajouter ce qu'on appelle des fonctions anaétiques restreintes. Alors, je... Euh... Je vous donne une définition. Euh... Une fonction F euh... de Rn dans R est dite anaétiques restreintes. Euh... Si elle est nulle bon, disons, en dehors d'une boîte. Et s'il existe une fonction G anaétiques au voisinage de 0,1 puissance saine euh... Telle que bon, F restreint à 0,1 puissance saine coincide avec G restreint à 0,1 puissance saine. Bon, donc essentiellement on considère des fonctions anaétiques mais sur quelque chose de compact, quoi. Après, le 0,1 puissance saine n'a pas beaucoup d'importance parce que vous faites des opérations algébriques. Mais bon, voilà. Donc c'est ça, une fonction anaétiques restreintes. Et euh... Euh... Vous avez euh... Associe à ça une structure qu'on appelle RnX qui est ce que vous obtenez euh... en rajoutant une exponentielle réelle et aussi euh... l'ensemble de toutes les fonctions anaétiques restreintes. Bon, alors évidemment à chaque fois que vous travaillez... à chaque fois que vous faites une formule ou disiez qu'un nombre fini de ces fonctions anaétiques restreintes et euh... En fait euh... on pourrait limiter un nombre fini de fonctions anaétiques restreintes, mais en fait on peut toutes les... les mettre ensemble. Et euh... TRM 3.4 donc du avandenderie semilaire peut-être... Donc ça vient après Willkie, mais euh... et ça utilise Willkie la structure RnX et au minimal. Ah, donc ils ont utilisé le résultat de Willkie qui a état des dates bien sûr. Même si les dates n'ont pas l'air de dire ça mais je connais pas assez l'histoire c'est des problèmes de... d'aider de publication, je ne sais pas mais évidemment c'est ça ça disons je pense que le point le plus délicat est vraiment le terme de Willkie plus que... cet apport là ou dit, je ne sais pas voilà Il n'y a pas de doute mathématique mais j'ai... J'ai l'air de savoir que oui il savait déjà ça, ils en montrait plus quelque chose dans la direction Non, ils ont... je pense que Willkie a savé faire pour exp il était connu pour Rn et ils ont mis les deux enfin ils ont vu qu'on pouvait mettre les deux ensemble mais le... le plus difficile le plus difficile c'est l'exponential Et pour Rn c'est par la théorie des ensembles sa seasonarité voilà donc ça a été fait, c'était plus simple mais je... bon je ne rentre pas dans l'épreuve de ça c'est... enfin, chaque... chaque chose est... On peut faire ça Alors on peut faire la structure Rn où il n'y a pas l'exponential et je veux dire, si on ajoute des fonctions et qu'on reste au minimal on l'était déjà avant il y a... bon c'est... ça, ça va disons... on sait, je pense au niveau logique, qu'il n'y a pas de structure maximale au minimal donc il n'y a pas un objet préférentiel pour ça mais bon, néanmoins il n'y a aucun par cas des théories au minimal bon et on verra que celle-là, c'est celle qui intervient dans les variétés de Chimura un peu plus tard oui je crois, oui, il y a des exemples c'est pour ça qu'on sait qu'il n'y en a pas de maximale c'est ça la... il y a deux structures au minimal qui ne sont pas telles que la réunion des deux n'est pas au minimal est-ce qu'on peut repenser l'algébrique par exemple l'algébrique, j'imagine non mais il y a les semi-algébriques dans tout ça donc... non mais l'algébrique tronquée oui mais ça c'est des fonctions analytiques enfin, quel est le... non mais c'est bien, si je définissais l'analyse, le remplacement g-analytique par g-algébrique oui on obtient des choses semi-algébriques non mais on obtient des choses oui, oui, bien sûr non mais on peut faire plein de choses ok, alors donc... ce qui a... donc ce qui a popularisé la théorie au minimal dans la géométrie diophancienne c'est... disons peut-être deux choses qu'on va voir c'est que euh... les applications d'uniformisation peut-être des variétés abéliennes euh... quand les restreins d'un domaine fondamental sont définis dans Iran et puis on verra que pour les variétés de Chimura il faut... il y a une définissabilité dans Iran-Exp bon et euh... il y a une deuxième chose c'est le terrain de comptage de Pila Wilky euh... qui... euh... que je vais expliquer et qui va être au coeur de... euh... la stratégie globale donc donc euh... j'avais une... bon j'avais une... besoin d'une notion euh... de hauteur donc soit HGX bon je veux dire la hauteur canonique euh... sur Q bar bon alors euh... il y a plein de... la théorie des hauteurs si dans Q euh... vous écrivez euh... un élément X à sur B et vous prenez le max de valeur absolue de H de valeur absolue de B si vous avez écrit ça sous forme sans facteur premier et vous étendez ça à Q bar de plein de manière différente donc euh... euh... si vous avez euh... euh... euh... donc si vous avez un point dans euh... euh... bon simplement le max des coordonnées bon juste pour fixer des notations et euh... donc euh... donc ce qu'on fait dans le... terrain de... de comptages depuis la Wilkie c'est de... c'est de dire euh... si... j'ai un ensemble qui est définissable disons dans une structure au minimal euh... est-il possible d'avoir beaucoup de points rationnels ou peut-être dans des extensions de de hauteurs bornées et l'idée c'est que ça ne peut être ça ne peut arriver que si il y a euh... une explication dans le monde algébrique donc ça c'est ça le... bon alors je vais essayer de le... vous le formuler correctement donc euh... soit Z un sous-ensemble donc bientôt il sera définissable dans une théorie même une théorie au minimal mais pour l'instant on appelle sa partie algébrique euh... juste la réunion pour c... bon euh... oui on pourrait prendre que des courbes ça suffirait mais c'est pas grave c'est semi-algébrique de dimension positive et euh... c'est contenu dans Z donc on fait l'opération brutal juste prendre la réunion de tout ce qui est semi-algébrique et euh... contenu dans Z de semi-algébrique connex oui euh... connex non il a dit dimension oui alors il faut bon c'est ça non mais il pourrait dire il faut dire c'est avec la dimension bon ok donc je prends que des bout d'arc semi-algébrique ok bon donc je ne fais rien de dimension 0 justement je ne prends que des trucs de dimension positive et euh... donc soit D appartenant et euh... qu'est-ce que je fais été un entier on définit euh... deux ensembles alors donc ce qu'on veut faire c'est compter des points algébriques d'auteurs plus petits que T sur Z et euh... le D va être le degré du corps de définition donc euh... donc Z euh... est inclus dans Rn donc je vais regarder l'ensemble des X1, Xn euh... qui sont dans Z et dont les coordonnées sont toutes dans Q bar euh... telle que même plus précisément le corps de définition de chaque coordonnée et au plus D et euh... la hauteur du point donc celui-là c'est une nauté X ou lignée et plus petit que T donc voilà l'ensemble que j'ai envie de considérer et puis euh... j'ai envie de compter dessus donc j'appelle ça Nd le cardinal oui chaque coordonnée et dans un... oui je veux vraiment que toutes les coordonnées soient de degrés un elles sont dans des corps différents éventuellement mais euh... on veut que le degré du corps de définition lui soit bordé donc le théorème de Pilla Wilkie qui peut être central pour la stratégie euh... et le suivant donc soit Z un ensemble définissable dans une théorie au minimal ça sera vraiment RnX pour la suite mais c'est pas euh... euh... soit epsilon positif euh... il existe une constante euh... bon qui dépend peut-être euh... de Z de D, de epsilon euh... tel que si je compte les points qui ne sont pas expliqués euh... par quelque chose d'algébrique mais il peut pas y en avoir trop euh... il peut y en avoir au plus euh... t puissance epsilon alors euh... donc s'il y a plus que... s'il y a t puissance alpha pour un alpha strictement positif quand t est grand ça veut dire que le lieu algébrique est pas vide c'est comme ça qu'on l'utilise donc en particulier si il existe un alpha positif et euh... un C prime peut-être qu'il dépend de D et Z tel que pour T assez grand vous avez en un sens beaucoup de points sur Z la déduction c'est que euh... Z alg est non vide quoi donc euh... vous... dans un ensemble très... si vous savez qu'il y a beaucoup de points algébriques dans un ensemble même un peu transcendant si vous avez ce contrôle par le minimalité euh... vous fabriquez des algébriques de dimension positif dedans pour l'auteur est... oui parce qu'il y a un propre hauteur de le rythme non c'est pas le garrhythmique c'est la hauteur euh... j'ai vraiment pris l'auteur exponentiel ici donc... donc l'auteur d'un point d'un quiel bas c'est le soupe de... de PQ ou quand on recrise par exemple si vous prenez le polinot minimal euh... vous allez prendre le maximum donc vous écrivez à coefficient dans Z et euh... vous prenez euh... le maximum des coefficients de ce polinot minimal ça va donner une définition raisonnable et il faut normaliser avec peut-être la puissance 1 sur K2.Q enfin... oui... on peut le faire produit sur toutes les places euh... donc... produit sur toutes les places des max de 1 et de valeur absolue et puis il faut multiplier la puissance 1 sur... euh... le... le... le degré c'est une exponentie vous avez des façons que... que si vous avez une extension de corse la restriction est la même oui... ah... oui donc je... bon... vous voulez une formule ? ? j'ai... j'ai l'habitude de travailler avec le log mais ici on travaille bon... ok euh... alors peut-être... euh... un... un mot là-dessus... euh... qui m'avait toujours troublé... donc... quand... euh... si... euh... la... la formulation initiale c'est euh... avec les points à valeur d'encu euh... bon au début on va utiliser ça à des moments mais euh... si vous faites la formulation avec des... des choses d'encu en fait... vous ne détectez pas des courbes de genre supérieur ou égal à 1 vous détectez que des choses rationnelles parce que... si vous comptez le nombre de points de hauteur plus petite que quelque chose euh... sur une courbe alors sur une courbe de genre au moins 2 vous savez qu'il y a qu'un infinite point de courbe elliptique, bon ben y'a euh... c'est peut-être un z module de type finit mais euh... y'a pas assez de points pour que vous le détectiez donc le thérème a l'air... donc en fait le thérème ne détecte que des choses euh... qui sont des... des choses rationnelles maintenant... si vous permettez cette flexibilité euh... de regarder tous les points d'ordre D en fait... vous pouvez toujours construire si vous avez une variété de certaines dimensions un morphisme euh... qui est de... de degré finit sur un espace projectif et là dans l'espace projectif vous euh... les points rationnels euh... vous en avez quelque chose de cet ordre là et ça vous relève des points d'ordre euh... enfin dans... dans des extensions de degré au plus le degré du morphisme et donc en fait le thérème détecte vraiment toutes les trucs algébriques une fois que vous avez pris cette précision de mettre le D voilà... donc c'était quelque chose qui me troublait au début maintenant euh... voilà... alors donc vraiment on détecte les variétés algébriques par cet énoncé essentiellement parce que on détecte le nombre de points sur un espace projectif et que en un sens la théorie des hauteurs fonctionne de telle sorte que euh... euh... pour compter des nombres de points dans des extensions de degré au plus D ça se ramène à des à des points dans un espace projectif sur un corps fixé voilà... ok euh... alors donc je voulais euh... ok y avait euh... parce que... oui y a pas beaucoup de points sur un coordonné mais dans les extensions tu prends une courbe de genre oui... tu prends... tu prends n'importe quelle courbe par exemple pour penser aux courbes tu as un morphisme de degré D vers P1 sur P1Q tu as beaucoup de points qui sont construits dans des extensions de degré D enfin c'est ça qui... voilà euh... voilà euh... alors il faut avoir en tête que des fois donc le... des fois c'est très euh... enfin la partie algebraique c'est pas quelque chose qui vous informe toujours donc je donne des exemples si vous prenez euh... un truc typique euh... donc dans R2 par exemple ce qu'il y a en dessous de la courbe exponentielle X donc ça c'est définissable dans Rx mais... vous pouvez voir que la partie algebraique c'est W tout entier essentiellement parce que c'est un ouvert... enfin vous avez un ouvert de R2 chaque point vous faites passer des des bouts de... des bouts de droite donc... même quelque chose de transcendant vous pouvez avoir une partie algebraique qui est tout c'est... faut quand même avoir ça en tête donc mais dès que votre objet est défini euh... enfin par... enfin devient des hyper surface dans quelque chose avec des équations euh... c'est beaucoup plus subtil euh... ce que c'est que la partie transcendante le point c'est que... euh... en général la partie algebraique euh... même si vous partez de quelque chose de définissable ZH il n'y a aucune raison d'être définissable euh... c'est euh... bon je sais pas... on peut faire un exemple comme ça alors X, Y, Z et puis euh... on peut... on doit pouvoir montrer que ZH c'est l'ensemble des X plus plus quoi qui va pas être définissable c'est pas des objets assez compliqués faut prouver des choses comme ça donc c'est pas un truc... bon ah il faut... c'est sérieux, enfin j'ai pas dit que... enfin on voit bien que cela sont algebraiques mais qu'il y en est pas d'autre et quelque chose il faut quand même... Z, Z, Z, Z, OK Z, Z, OK Z, Z, OK donc j'écris Z de deux manières différentes c'est pas terrible voilà, OK bon j'ai besoin d'un autre annoncé un peu plus précis pour... plus tard donc je vais quand même le donner euh... donc un bloc donc semi-algébrique alors je... ça sera un bloc dans la suite euh... dans une structure bon disons, ça sera toujours au minimal mais c'est pas grave est un ensemble définissable, alors connex alors je veux dire W tel qu'il existe un semi-algébrique B inclus dans Rn donc tel que W est contenu dans la partie régulière de B euh... et euh... je veux dire qu'il coincide bon tel que euh... euh... au voisinage tel que B et W coincide au voisinage de chaque point W bon alors typiquement euh... si vous prenez le W qui est tout en haut euh... vous pouvez dire que R2 c'est un bloc algébrique parce qu'il coincide euh... il contient W avec la bonne dimension et il coincide avec W sur... sur n'importe quel voisinage d'un point euh... voilà donc c'est ça la notion et euh... il y a une version un peu plus précise de Pilla Wilkie de B pour un ensemble semi-algébrique on définit du lieu régulier une notion de régularité ah ce qu'il y a c'est... ce volier de lisse ? oui, ah c'est... W va être régulier en fait oui c'est essentiellement à des ouvertes donc terrain 3-6 donc soit Z définissable dans une théorie au minimal soit epsilon secteur positif donc il existe une constante toujours dépendant des mêmes paramètres euh... tel que... tel que l'ensemble des points de Z d'autor au plus D donc toutes les coordonnées sont dans des corps de de ré au plus D est contenu dans au plus C des puissances epsilon bloc algébrique donc c'est euh... c'est un peu plus précis si y a beaucoup de points en fait les points sont expliqués par des blocs azimais bon alors j'ai pas euh... vraiment de temps pour euh... expliquer les grandes lignes de la preuve du terrain de Pilla Wilkie y a deux choses que... je veux dire y a deux étapes différentes y a une étape qui est... une étape qui est purement structurelle et au minimal qui est dire qu'un ensemble définissable dans une structure au minimal on peut le recouvrir par des paramétrisations c'est à dire des morphismes de classe suffisamment dérivables de 0,1 puissance saine dans euh... la variété dont toutes les dérivées jusqu'à un certain ordre sont bornées et euh... on peut écrire un ensemble minimal comme une réunion finie d'images d'applications comme ça et ça... ça utilise toute la structure euh... au minimal les décompositions cellules de certaine manière enfin c'est... voilà c'est... ça... ça a utilisé le développement de la minimalité sur de longues années et après y a quelque chose qui n'a plus rien à voir avec la minimalité c'est... vous avez quelque chose qui est paramétrisé euh... par des fonctions suffisamment dérivables et euh... avec des dérivées bornées et ben vous comptez les points dans l'image et vous avez ce genre de résultats donc c'est un peu de... je... bon c'est assez long de d'en dire plus donc je n'en dirais pas plus sur comment c'est mais euh... voilà c'est... alors... Est-ce qu'on a besoin des résultats de weakness sur le... les différents résultats de weakness sur la différenciabilité et tout ça alors le terrain de paramétrisation c'est plutôt un résultat de une et gros moff mais euh... après je vais lui voir que ça s'adapte bien là mais euh... oui le fait que... euh... on peut euh... trouver... enfin recouvrir cet ensemble définissable par... des images d'applications suffisamment différenciables de 0,1 puissance saine dans l'ensemble avec des dérivés bornés juste... tous les dérivés jusqu'à un certain ordre bornés par 1 disons c'est euh... une continuation d'une méthode de Yom-Din et Grosvin qui a été fait avant la théorie au minimal oui, pour les semis algébriques voilà on fait 5 minutes de pause de l'application d'uniformisation voilà alors donc il y a donc ma situation préférée depuis le début du cours et euh... là ce qui va intervenir c'est euh... soit F un ensemble fondamental pour l'action du gamma dans X plus et euh... alors je dis ensemble parce que je ne demande pas que ça soit vraiment euh... donc tout ce que je demande si vous voulez c'est que la réunion des gamma F bar ça soit X plus et que... j'ai juste besoin que l'ensemble des gamma tel que gamma F bar inter F bar soit non vide et fini donc c'est ça que j'appelle un ensemble fondamental et euh... ce qui fait le euh... euh... ce qui fait qu'on peut employer tout ce que j'ai raconté pour les variétés de Chimura c'est le thérème suivant alors c'est il existe un ensemble fondamental semi-algébrique ce n'est pas très cher connex tel que PI restreint F soit définissable on a besoin de pas mal de fonctions anaétiques restreintes et de l'exponentiel réel je préfère restreint d'un ouvert mais ça n'a pas d'importance ici ça n'a vraiment aucune importance je peux agrandir un peu c'est... c'est... ce qui n'est vraiment pas vrai c'est que PI soit définissable essentiellement parce que l'image inverse d'un point est infinie c'est pas bon dans une théorie minimale mais l'image inverse d'un point dans un domaine... enfin dans un ensemble fondamental c'est un ensemble finit si j'avais pris un domaine fondamental c'est un point et je préfère l'avoir ouvert ici oui elle fait ouvert ici bon mais ça a assez peu d'importance dans ce que... enfin c'est... c'est parti bon alors euh... je vais... quels sont les références alors pour ce théorème c'est Peter Zil Starchenko pour S égale AG et puis en général donc c'est le même papier c'est le même papier sur Axlinde Man hyperbolique qui fait le truc en général alors je vais... euh... vous traitez un cas euh... où on voit ce qui se passe donc je prends la fonction J euh... de H dans H sur SL2 Z alors je prends essentiellement pas tout à fait mon domaine fondamental préféré mais presque donc euh... je... je borne la composante réelle et euh... je... je suppose que euh... la composante en Y est plus grand que racine de 3 sur 2 alors si je fais un dessin euh... c'est pas tout à fait ce qu'on fait d'habitude mais je prends euh... donc je le coupe comme ça et ça contient votre domaine fondamental préféré mais c'est un peu plus gros euh... et c'est rectangulaire donc c'est fini par les inégalités de l'algebraique alors je prends la fonction euh... donc exponentielle deux épis Z et euh... donc qu'est-ce que c'est que si je regarde donc ça le domaine fondamental Q2F c'est un disque est pointé donc c'est l'ensemble des Z non nul avec module de Z à faire à quelque chose alors je crois que j'espère que je me trompe pas mais quelque chose comme ça voilà alors donc euh... euh... il y a 2 choses euh... d'abord cette application ok ok bon ah ok bon alors il faut ok bon disons je vais prendre comme domaine ça si vous voulez au début voilà prenons ça au début ça sera plus gros mais ça n'a pas d'importance dans ce que je fais si vous voulez vraiment prendre bon ok euh... voilà je dis que Q bon donc faut prendre moins à 1 si vous voulez donc je dis que Q euh... est définissable dans r annex alors bon c'est un peu idiot mais Q2Z c'est exponentiel moins depuis Y facteur de Cossinus depuis X Cinnus depuis X et euh... ça c'est parfait parce que vous êtes dans euh... enfin c'est l'exponentiel réel et ça ça ne vous embête pas parce que vous prenez un Cossinus ou un Cinnus mais euh... votre X est contenu dans un ensemble borné disons moins un donc c'est ça c'est dans RAN oui voilà c'est dans RAN si vous voulez alors alors par ailleurs votre fonction J euh... elle se factorise J disons J restreint à F ça a une factorisation euh... euh... comme ça ou theta et une fonction euh... de theta étoile sur SL2Z qui c'est que vous plongez dans P1 et euh... euh... on montre que enfin une telle fonction s'étend en theta tilde holomorph et ça c'est définissable donc on montre qu'une fonction holomorph sur un euh... pardon vraiment au disque euh... ça c'est définissable dans RAN donc dans RANX donc il y a deux étapes vous découpez votre fonction J restreint à F d'abord Q restreint à F qui est définissable dans RANX et euh... theta s'étend en quelque chose définissable donc theta lui-même est définissable dans RAN alors le euh... la preuve générale euh... utilise euh... toute la théorie des compactifications toroidales des varietés de Shimura c'est un peu pénible donc si j'ai le temps j'en dirais plus un peu plus tard mais euh... pour l'instant je... je... je n'en dis pas plus il arrive l'infinie s'envoie au zéro de ton delta mais tu... alors ici tu peux... il faut me dire qu'il n'y a pas de delta et comme ça il n'y a pas besoin d'un BX peut-être mais en général ce n'est pas le cas non je suis vraiment obligé euh... ouais je suis obligé de... de voir que les seules singularités qui apparaissent quand on fait la théorie des compactifications y a des équations ou certaines des coordonnées sont exactement de cette nature les coordonnées sont disons mon fils mais bon voilà je... euh... c'est assez long de... de rentrer vraiment dans les preuves mais... il y a un question de détail dans la définition d'assembles fondamentales oui est-ce que il faut rajouter l'hypothèse que le réunion de gamme F par localement fini ou est-ce que c'est la conséquence de... bon... je... honnêtement euh... il y a... euh... bon peut-être que ça ne suffit pas il faut que je fasse un peu d'attention parce qu'il y a des ovaires des ovaires pathologiques bon je ne vais regarder que des ensembles de zigolles qui sont très propres semi-algébriques très... bon donc effectivement je... bon euh... donc euh... ok d'accord alors donc... euh... donc un outil qui sera crucial aussi c'est euh... hauteur des points pré-speciaux alors je vais dire tout de suite ce que je veux dire hein donc je vais le faire dans AG euh... donc si je peux donner un point de AG j'appelle AX la variété abélienne paramétrisée et euh... je vais aller voir un paramètre fondamental dans toute la discussion donc je vais tout mesurer par rapport à ça donc DX c'est euh... la valeur absolue euh... du discriminant du centre des endomorphismes de AX alors je vais l'écrire parce que ça va être mon paramètre fondamental donc... donc du centre des endomorphismes de AX et euh... donc vraiment je vais au bout d'un moment essayer de tout compter comme à partir de ça à faire des majorations, des minorations et c'est le paramètre qui jouera le rôle important donc euh... donc euh... théorème alors euh... 3-8 et je vais repiler euh... Timerman euh... donc euh... soit bon je... pas toujours cohérent dans les notations euh... donc j'ai dit qu'il y avait euh... une normalisation euh... de cette application de sorte que si je parle d'un point CAM ici et que je le remonte ici il vit dans des extensions de degrés bornés donc je vais juste dire une application normalisée de sorte que les images inverses des points spéciaux de AG soit dans des extensions ou dans des corps de nombres de degrés bornés alors le théorème c'est que donc il existe un ensemble fondamental bon je vais le noter FG alors c'est le même que celui de l'autre théorème c'est-à-dire tel que pire est-ce un FG définissable dans R annex euh... pour l'action de donc de gamma dans un G et des constantes positives alors alpha qui ne dépend que du genre et c'est aussi tous les deux positives tel que pour tout point CM ouais ben je vais changer de tableau tant pis donc tel que pour tout point CM tout point spécial X dans AX et tout Xield dans l'espace de Zeegell tel que pi de Xield pardon AG égal X merci euh... alors AG interf tel que pi de Xield égal X et bien la hauteur de Xield est plus petite que de X puissance alpha alors AG on l'a vu comme un espace de matrice ça c'est contenu dans MG2C si vous voulez donc il y a les points rationnels enfin les points algébriques vous les voyez dans Q bar puissance G2 par exemple vous avez une hauteur pour ça donc vous voulez dire que si vous remontez dans un domaine fondamental fixé vous pouvez borner la hauteur des points que vous trouvez par le paramètre fondamental qui nous intéresse alors donc c'est dû à Pilat Zimmermann dans ce cadre-là et il y a un énoncé équivalent pour une variété de Shimura générale qui faut modifier mais qui joue le même rôle et que je n'écris pas par Christopher Do et Martine Orre alors je vais vous traiter le cas le plus simple donc il n'y a que les closures fondamentales selon votre convention les traces de ces closures donc dans ce cas vous pouvez imaginer si c'était pour les closures bon on choisirait un ensemble F tel que la réunion des gammes F et l'ensemble tout entier donc on n'a pas besoin voilà on choisira comme ça et cette intersection c'est juste FG pardon pourquoi tu écries un FG ? pardon non parce que je suis mal parti je voulais écrire FG au départ et j'ai écrit HG et après je me suis dit non il faut qu'il soit c'est FG est-ce que c'est indépendant de choisir un ensemble fondamental alors est-ce que une fois que enfin le FG que j'ai pris ici c'est vraiment bon c'est des ensembles de ziggles et c'est des choses comme ça si je change FG par gamma FG je ne change pas c'est énoncé ah donc si on prend sur les ensembles qui sont raisonnables voilà mais un ensemble enfin j'ai dit un ensemble fondamental ça peut être n'importe quoi on peut prendre un bout dans chaque si on part de FG on le recouvre par des ouvertes n'importe comment et on prend on peut le transforter partout enfin on peut faire n'importe quoi oui oui donc ça peut être très moche mais disons pour tout ce qui est raisonnable et tout ce qu'on construit c'est que des choses très raisonnables on prend voilà alors je vous dis juste comment ça marche dans HRSL de 2Z donc donc vous prenez votre domaine fondamental alors là vous prenez vraiment votre préféré oui enfin bon il n'a je sens que on va me dire qu'il faudrait prendre plus gros mais enfin bon donc bon peut-être il faut mettre inférieure régale alors je me méfie un petit peu donc quand vous avez un taux dans F vous avez la courbe elliptique Z plus Z taux et si auto est spécial donc si vous avez taux vérifiés donc une équation du second degré AX2 plus BX plus C avec A, B, C dans Z premier entre eux et puis si vous écrivez ces inégalités ça vous dit qu'en fait B vous pouvez choisir le signe tel que B sont inférieure égal à A c'est inférieure égal à C bon et dans cette situation les endomorphismes c'est Z de A taux et le discriminant c'est B2 moins 4 AC quelque chose comme ça et taux j'aurais mieux fait de l'écrire mais taux c'est 4 AC moins B2 juste comme ça et donc la hauteur la hauteur de taux c'est le max donc des hauteurs des coordonnées donc des hauteurs de B sur 2A et de la hauteur de le signe bon alors je dis que tout ce qui intervient ici est borné en fonction de B2 moins 4 AC c'est pas plus que ça alors la hauteur de B sur 2A le max de A c'est positif bon ça c'est assez facile de voir que c'est plus petit que des taux je vais donner bon je vais expliquer un peu alors comment calculer la hauteur alors ce nombre racine de 4 A2 moins B2 sur 2A est annulé par le polinome moins des taux c'est-à-dire 4 AC 4 AC moins B2 donc il est annulé par ce polinome et dans ce cas là la hauteur c'est le max des coefficients du polinome minimal donc la hauteur de racine de 4 AC moins B2 sur 2A c'est majoré par le je suis un peu confus 4 A il y a 4 A2 donc c'est ici un 2 4 A2 et des taux et ça c'est en fait plus petit que 4 tiers de des taux et la raison c'est que si vous voulez 3 3 A2 c'est inférieur à enfin je dis que c'est inférieur à 4 AC moins B2 parce que c'est 3 AC ça c'est inférieur à 3 AC parce que A est plus petit que C et plus A2 moins B2 qui est positif qui est dans le bon sens donc ça c'est des taux donc en résumé votre hauteur on arrive à quelque chose du genre que la hauteur c'est inférieur à 4 tiers de des taux quelque chose près ouais j'espère que je ne me suis pas trop enfin ça dépend des normalisations mais a priori je ne me suis pas alors le cas de AG et essentiellement de ce niveau-là c'est-à-dire qu'il y a une atterrie de la réduction dans AG il faut savoir un peu plus sur la multiplication complexe mais c'est pas un thème très profond dans là dedans c'est un peu plus pénible même en fait pour avoir les bons paramètres savoir le bon énoncé donc le cas général est un peu curieusement beaucoup plus compliqué que ce à quoi on s'attendait voilà donc j'ai pas du tout fait tout ce que je devais faire mais c'est comme ça à la vie et donc la prochaine fois je donnerai vraiment comment on prouve Andrea Orte la preuve d'accident de man et j'espère que dans le dernier cours je vous expliquerai comment on fait des bornes inférieures pour les orbites au galois deux points spéciaux qui sera le dernier élément clé qui manque pour l'instant à la stratégie donc on va s'arrêter