 Je voudrais d'abord féliciter les organisateurs pour cette initiative de séminaire grotondique, sporadique et itinérant, si j'ai bien compris, et les remercier de m'avoir invité à parler. Évoquer grotondique dans les murs où il a travaillé est impressionnant. Pour échapper à l'effet statut du commandeur, j'ai choisi un thème qui me laisse assez libre, grotondique et les équations différentielles, assez libres parce qu'on a un certain sens, ce thème est vide, au sens où je n'ai pas trouvé l'expression équation différentielle sous la plume de grotondique. Pour autant, il y a dans l'œuvre de grotondique une matière vaste et profonde qui se rattache au thème des équations différentielles. Et mon propos est d'abord d'en esquisser librement les contours et l'héritage. Mais l'absence de l'expression équation différentielle dans les écrits de grotondique est troublante et appelle commentaire. Je partirai beaucoup plus loin de là. Peut-être quelques-uns d'entre vous. On reconnue qu'il s'agit du secret de Newton. En fait, il s'agit d'avant qu'il n'y ait eu cette querelle de priorité entre l'amnist et Newton. Il y a eu un échange de lettres à l'époque où Newton publiait les principales. 1676, 1677, où il... 1786, pour une sake. Oui, oui, pardon, oui. Mais l'échange a eu lieu un peu avant. Donc vers 1667, il y a eu deux lettres dans lesquelles l'amnist explique ce qu'il s'est fait sur le calcul différentiel et particulier ses notations intégrales, dix, etc. et demande à Newton des précisions sur ses principes et sur ses méthodes. Dans la seconde lettre, Newton répond, c'est toujours par l'intermédiaire de l'invitable Oldenburg, qui était le secrétaire de l'Arroyant de l'Académie, répond avec quelques détails, quelques exemples de ses résultats. Et puis au moment d'arriver à la question clé, quel est le principe, son principe d'investigation, son principe de découverte, il dit qu'il n'est pas question de l'exposer dans cette lettre et qu'il préfère le cacher dans cet anagramme. Alors voilà le principe, écrit en anagramme, donc c'est une phrase où il y a six A, deux C, un D, la dufton A, E, 13 E, etc. J'ai fait des recherches pour savoir qui le premier l'avait déchiffré, je ne sais pas, il va trouver. Enfin tout le monde apparemment s'accorde pour dire que ce rébut veut dire data équationnée, qu'est-ce qu'il veut dire ? Fluxionnais invéniré et vice versa. Ce qu'on traduit de manière grossièrement approximative par la maxime, il est utile de résoudre des équations différentielles. C'est pas du tout ce que dit Newton, mais bon. Ça c'est un anagramme en latin, si vous comptez le nombre de A de la phrase que je viens de lire, Vous trouvez 6A, il y a 2C, etc. En fait, ça ne marche pas tellement bien parce que Newton s'est probablement trompé, il y a 9T au lieu de 8, mais passant. Pardon ? Peut-être quelque chose d'autre. Peut-être quelque chose d'autre. Comment peut-on prouver ? Donc, en tout cas, je m'arrêterai à cette maxime, cette paraphrase grossière. Il est utile de résoudre des équations différentielles, qui, en effet, comme le montre l'immense développement ultérieur de la théorie des équations différentielles, linéaires ou non, suite en gros, cette maxime, en mettant l'accent sur la résolution des équations différentielles, ou du moins sur l'étude des solutions. Alors, si je cite cela, c'est parce que c'est un tout autre point de vue qu'on trouve dans l'œuvre de Grotten Dicht touchant aux équations différentielles. Dans le contexte de la géométrie algébrique, il semble prendre le contropied de cette maxime et plaider qu'il est utile aussi de ne pas résoudre des équations différentielles, mais d'en étudier la structure. Bien sûr, cette tension entre recherche de solutions et structure des équations fête immédiatement pensée au cas de la géométrie algébrique elle-même. On sait comment Grotten Dicht a réussi à dépasser cette tension grâce au point de vue fonctoriel en généralisant la notion de solution ou de point et en identifiant une équation ou une variété algébrique comme ce qui représente le foncteur de ces solutions ou points généralisés. Mais Grotten Dicht n'a rien tenté de telle pour les équations différentielles. Dans le sillage délicatant, une géométrie algébrique différentielle a pourtant été développée par Bouillou, mais d'autres, Pommaré et d'autres personnes dans laquelle les objets sont définis par des équations différentielles algébriques, linéaires ou non. Mais cette théorie échappe encore à la révolution fonctorielle de Grotten Dicht. J'ignore s'il y a une résistance sérieuse, s'il y a une objection pour introduire le point de vue fonctoriel dans une théorie algébrique différentielle. Je commence maintenant par les deux premiers points de la contribution de Grotten Dicht. Contribution aux opérateurs et des modules différentiels. S'agissant d'une équation L y égale 0, une équation différentielle linéaire, donc c'agira surtout du cas linéaire, les deux points de vue en tension dont je parlais se résument par l'accent que l'on met sur l'opérateur différentiel L ou bien plutôt sur la solution Y. Dans le cas légèrement plus général, les systèmes différentiels, le point de vue intrinsèque dépend plus de base et celui des modules à opérateur différentiel et celui des modules différentiels ou encore connexion intégrable et donc dans un langage plus géométrique il s'agit d'une action des champs de vecteurs tangents à une variété S sur un certain module, un festo de module et cette action, l'épargne ou est linéaire, elle vérifie la règle de la glisse et la connexion doit être intégrable, ça veut dire qu'elle respecte le crochet de l'I. Dès lors, une telle action se prolonge à ce qu'on peut appeler l'algebra enveloppant de cet algebe de l'I, opérateur différentiel, variante naïve des opérateurs différentiels et donne Dieu en fait un DS module. Alors, l'apport de Grotelik s'origine dans sa révision du calcul infinité tésimale vu du point de vue des voisinages infinitésimaux de la diagonale et par dualité avec les anneaux structuraux de ces voisinages infinitésimaux, les voisinages d'ordre n, ils définissent les opérateurs différentiels d'ordre n et considérant tous ces opérateurs, on obtient un agèbre filtré. Il est remarquable que Grotelik a donné une définition complètement élémentaire par récurrence de ces opérateurs, comme simplement les endomorphismes qui, quand on prend le crochet avec n'importe quelle fonction, fait suter le degré de 1, donc on définit comme ça par itération d'if n, en fait n-1, f, donc une définition très simple finalement, mais qui n'est paradoxe puisqu'elle s'interprète de manière très naturelle comme en dualité en termes des voisinages infinitésimaux de la diagonale. Un peu de chose fait, c'est échéanment d'être. Beaucoup de gens aussi, cossules, beaucoup d'inquiétants. Alors on a deux anneaux d'opérateur différentiel, le DS et puis le DS, on se fait de cette manière-là. En caractéristique 0, c'est un isomorphisme et en caractéristique P, il n'est ni injectif, ni surjectif. Donc il y en a deux théories complètement différentes, des démodules, selon qu'on considère 7 anneaux d'opérateur différentiel ou plutôt celui-là. Alors ça, c'est ce qui correspond aux dérivés intérêts divisés, disons, de F Kashmik, une théorie développée au début de XXe siècle et tombée un peu en désuétude et puis redeveloppée il y a une vingtaine d'années par des gens qui s'intéressaient à la théorie des problèmes de Galois inverse et redeveloppée pour d'autres raisons, plus géométriques, tant d'autres personnes, particuliers par l'école d'Elleneneau. Alors on a donc deux points de vue, déjà pour une même théorie, les diffs modules en caractéristique P ou les dérivés intérêts de F Kashmik en dimension 1 et puis on a un troisième point de vue qui est équivalent, celui des modules infiniment Frobenius divisible. Alors ça sera un thème de tout l'exposé, que la pluralité des langages et des points de vue peut-être axamment faits comptes quand ils se croisent mais ça peut mener une sorte de tour de babel où les gens ne s'entendent plus. Il y a des blocages. Alors Grotonik restore la bonne version de ce DS en caractéristique P en copiant un petit peu cette définition mais en introduisant des puissances divisées sur l'idéal de la diagonale, voisinage infinitésimaux de la diagonale, en introduisant formellement ces factoriés pour ainsi dire celles qui interviennent dans la formule de Tellor ont construit de la même manière DS, en vrai DS plutôt que DSS. Est-ce que c'est un Grotonik ou plutôt un Bertelor ? Alors je dirais un petit peu après mais c'est Grotonik qui a l'idée de puissances divisées bien de la théorie des cristallines dont je vais parler dans une minute. Effectivement, Bertelor a beaucoup développé ceci. Donc c'est justement ce que je vais dire. C'est qu'entre temps inspiré par les groupes formels et la comogite de Ramm, donc je parlerai bientôt, Grotonik avait initié sa théorie cristalline dont la première annonce se trouve dans la fameuse lettre à Peite de 1966 qui commence par un cristal possède deux propriétés caractéristiques, la rigidité et la faculté de croître dans un voisinage approprié. Donc dans une première version, les voisinages en question sont des immersions fermées localement du potante d'ouvert de la base qui introduit les cristaux à module sur une variété qu'il décrit en termes de ce qu'il appelle la stratification. Alors je trouve c'est très personnel que ce mot est vraiment le terme, le moins heureux qui est introduit Grotonik. J'ai l'impression de voir que Luc est d'accord. En fait, de quoi s'agit-il ? C'est un isomorphisme. Donc P1 et P2 sont les deux projections du complet été formel de la diagonale de S cross S, le long de la diagonale. Donc une stratification c'est un isomorphisme comme ça qui vérifie une condition de co-cycle quand on a trois facteurs. Alors qu'est-ce que c'est ? Alors là on commence, les gens qui ne se sont pas frottés de bonheur à la théorie cristalline commencent à trouver que ça devient un peu isothérique. Mais en fait, qu'est-ce que c'est ? C'est la chose la plus connue du monde. C'est la résolvante de l'équation différentielle. Très bien dit, c'est une matrice fondamentale de solution quand le point bas varie. Donc dans la construction même, il n'y a absolument rien de nouveau, c'est la résolvante. Le point nouveau c'est que cette résolvante, qui est classique, est interprétée comme une donnée de descente. C'est ça le point. Alors ultérieurement, Grotonique introduit, parce que la théorie finalement, si on la décrit comme ça, une stratification, ça revient à se donner à un dif module qui est une théorie qui existe, qui vient de développer, mais qui est un petit peu exotique. La théorie à laquelle pense Grotonique quand il parle de Christo. Et pour ça il introduit les puissances divisées dans la machine, dans la voisine des imaux, et dans le site cristallin. Alors au-delà des aspects techniques, je me ferais cister sur une nouveauté tout à fait remarquable, c'est qu'il aboutit donc à regarder certains systèmes différentiels pédiques comme attachés les systèmes différentiels pédiques en question, ce sont les isochristos comme attachés à une variété comme vivant, c'est une variété de caractéristiques p et non pas pédiques. Alors c'est une simple question de point de vue, mais c'est un changement de la radique absolument fantastique que ça explique de manière géométrique et conceptuelle l'action de Frobenius sur ces modules différentiels pédiques, action de Frobenius que Dwork avait constaté, avait découverte, mais qu'il n'avait pas expliqué de manière géométrique. Revenons à la caractéristique zéro et rappelons que la théorie des modules c'est surtout développé ensuite sous le nom d'analyse algébrique qui en fait la reprise d'un terme antique d'analyse algébrique. À partir non pas de là, mais d'autres traditions comme celle de Sato, Kashiwara ou celle de Bernstein pour citer les fondateurs, avec des concepts clés comme celle de variété caractéristique et d'olonomie le cas où la variété caractéristique est la grand gêne et surtout un point de vue homologique puissant qui intègre le point de vue des solutions je parlais tout à l'heure de la tension point de vue des solutions et point de vue des équations en le dépassant puisqu'il met par exemple sur le même plan le point de vue homologique c'est naturel solution et co-solution il n'y a pas de raison de privilégier les solutions co-solution c'est le co-nouyaud donc on peut dire j'ai envie de reprendre une expression qu'utilisait l'historien Gwit Shardini à propos du calcul de Newton et du calcul de Leibniz équivalent en théorie ou pas équivalent en pratique on peut dire un peu la même chose du point de vue des connexions et du point de vue de l'analyse algébrique des modules qui sont équivalents en théorie caractéristiques zéro c'est la même chose qu'un connexion intégrable mais pas en pratique le point c'est qu'en effet la théorie des connexions se limite en pratique au cas au cohérent au cas de modules qui sont cohérents sur la nostrructurale alors que la théorie des modules n'impose absolument pas une finitude sur O ce n'est pas qu'une question de finitude ou non point de vue plus général que l'autre ou non pas du tout c'est qu'en imposant la haute cohérence on rejette les singularités à l'infini les gens qui travaillent avec des connexions parlent des singularités à l'infini alors que les gens qui travaillent avec les démodules intègrent les solutions dans la variété les singularités dans la variété S ce qui permet d'inclure de travailler avec des par exemple les distributions d'Irak ou des choses comme ça, la théorie est plus riche alors je vais passer justement de faire un petit détour par les singularités c'est une notion puis singularité de une coisson différenciée qui n'apparaît pas dans les contributions d'autonomie en tout cas pas directement mais indirectement sur un point que je mentionnerais plus tard mais pour la suite du discours il me faut qu'il sait l'histoire des singularités donc il y a un adage selon lequel on ne comprend jamais si bien une situation ou un domaine qu'à travers ces crises c'est un peu général toujours pertinent mais c'est extrêmement pertinent dans le cas des équations différentielles comme on dit l'étude des équations d'équations différentielles impose et se nourrit de l'étude du comportement des solutions aux voisinages des singularités alors la théorie classique concerne le cas où les coefficients de l'opérateur différentiel sont méromorphes les singularités si il est unitaire, les singularités c'est juste les pôles des coefficients et donc il y a deux choses qu'on peut faire aux voisinages d'une singularité on peut localiser localiser sur un sur un disque 0 est une singularité et compléter formellement comme on dit, je regarde des coefficients comme des séries de Laurent formelles dans ce cas là la théorie devient très simple on peut montrer qu'elle se factorise en produit d'opérateur d'ordre 1 c'est facile d'expliciter les solutions on peut faire autre chose on peut localiser sur le disque pointé alors là la théorie est complètement contrôlée par la monoreumie autour de 0 donc on a affaire à une théorie et ici une théorie purement topologique ah oui oui, merci après ramification le problème c'est qu'il n'y a pas d'anneau différentiel qui contiennent les deux choses à la fois des séries formelles et les séries les fonctions homomorphes sur des étoiles qui ont des singularités essentielles en 0 donc c'est un problème alors le cas favorable c'est le cas régulier donc singularité régulière c'est une notion dégagée par Fuchs c'est quand la factorisation se fait non pas seulement au niveau des séries formelles au niveau des fonctions homomorphes alors là dans ce cas là les deux théories sont facilement comparables et donnent la même chose local dans le cas irrégulier c'est beaucoup plus délicat la connexie entre les deux points de vue se fait via les développements asymptotiques il apparaît des séries divergentes alors cette dichotomie régulier irrégulier bien sûr c'est extrêmement étudié, c'est une longue histoire le pendant arithmétique de ça c'est la dichotomie entre modéré et sauvage et le fil du conducteur que je viens d'esquisser ne reflète absolument pas le seminement historique qui est incroyablement tortueux je n'en veux pour preuve que le fait par exemple que le point le plus subtil le point clé de la théorie irrégulière c'est ce qu'on appelle le phénomène de Stokes le phénomène de Stokes c'était découvert par Stokes entre 10 et 20 ans avant que Fuchs n'ait dégagé la notion de point singulier régulier vous voyez que l'histoire des mathématiques ne suit absolument pas une logique de ce type là alors le cas favorable qui a régulier une immense fortune la théorie des équations différentielles à point singulier régulier bon titre d'un célèbre mémoire de deux lignes et cette fortune est due au fait que la correspondance donc très locale dont j'ai parlé ici se propage en une correspondance globale appelée Riemann-Hilbert donc dans ce mémoire de ligne à bord de la dimension supérieure et établi entre beaucoup d'autres choses la correspondance de Riemann-Hilbert entre module à connexion intégrable régulier et système locaux sur une variété algébrique complexe lisse la théorie a connu un second souffle avec le point de vue des des modules et une correspondance de Riemann-Hilbert dérivée en termes de faisceau pervers donc de cachioirade et des contributions de Berlinson-Bernstein pour le côté des faisceaux pervers ce n'est qu'assez récemment en revanche que la théorie irrégulière a pris son essor en dimension supérieure c'est des travaux notamment de Saba de Motizuki alors régularité il y a beaucoup de définitions différentes de la régularité dont l'équivalence ne va pas de soi surtout en dimension supérieure de lignes par exemple démontrent l'équivalence entre une définition analytique celle des croissances modérées des solutions aux voisinages des singularités et diverses définitions aux conditions algébriques l'une d'entre elles consistante à se réduire au cas des courbes malheureusement comme certains d'entre vous le savent l'argument est incorrect parce qu'il n'a pas tenu compte de phénomènes de confluence bien tenu au du XIXe siècle qui est que l'irrégularité peut augmenter parce que vous avez si votre courbe passe par un croisement du diviseur polaire par exemple pensez à la connexion dont la solution est 1 sur XIX sur la diagonale vous avez plus de l'irrégularité alors Dolin a proposé le temps après un erratome qui est complètement analytique et la question de donner une preuve algébrique est restée longtemps ouverte la difficulté c'est bien sûr quand le diviseur n'est pas un croisement normaux vous avez un diviseur polaire compliqué j'ai finalement donné une preuve mais qui ne reste pas dans le cadre de la théorie régulière qu'utilise en fait beaucoup de choses de la théorie irrégulière à plusieurs variables par exemple une autre définition de la régularité celle de Cachibouara dans le cadre des modules serait de dire que si vous regardez la variété caractéristique ou plus finement le schéma caractéristique associé à une bonne filtration on doit trouver une bonne filtration pour laquelle cette variété est réduite bon encore un problème de manque de dictionnaire ou dictionnaire tardif l'équivalence en dimension supérieure en tout cas avec les autres points de vue vient d'être à peine vient d'être écrite seulement par de personnes de Padou il y a beaucoup de choses comme ça dans cette théorie points de vue différents qui ne se croisent pas toujours je dis maintenant un mot du cas péadique car c'est là que le point de vue cristallin de Grotonique a joué un rôle décisif dans la conception même de la notion de singularité alors pour Dwork fondateur de la théorie des équations différentielles péadiques qui affrontait le problème typique des équations différentielles péadiques que les solutions ne convergent pas jusqu'vers la singularité la plus proche au général de rayons de convergence et petit Dwork a mis l'étude de ses rayons de convergence au centre de la théorie introduit les notions clés de surconvergence et de structure de Frobenus qui lui ont permis de sélectionner un type d'équation différentielle péadique particulièrement intéressant qui ont été reprises après par Bertelot ce nom d'Isocresto-surconvergent ou F-Isocresto-surconvergent si en suivant Grotonnik on considère non pas comme Dwork ses équations différentielles péadiques comme vivant en caractéristiques p et non pas sur une variété péadique alors une singularité doit être un point mais en caractéristiques p par exemple sur la droite point sur par exemple un fp donc quand on regarde les choses en péadique on trouve en fait une singularité c'est un disque ouvert et la notion de surconvergence de Dwork nous dit que les équations intéressantes en fait se prolongent un petit peu dans le donc on a modulé la connexion ici, cette région que je assure de sorte que l'étude ce que veut dire en péadique étudier le comportement des solutions voisinases d'une singularité veut dire d'étudier les solutions d'une équation différentielle dans une masse couronne au bord intérieur d'un disque ouvert singulier alors c'est ce point de vue qui a été à la base de de grands progrès effectués après Dwork et Robap dans la théorie des équations différentielles péadiques et qui a abouti une compréhension maintenant à peu près complète de la théorie en une variable des équations différentielles péadiques j'aurais dû dire que cette conception qui suit le inspiré par le point de vue de Grotonnik est due à Wecharku alors je reviens à Grotonnik il y a un des points centraux de sa contribution au domaine des équations différentielles Gauss-Mannin dans sa lettre à Tilla de 1963 Grotonnik définit la comogite de Rame algebraique d'une variété algébrique lisse de caractéristiques zéro comme l'hypercomologie du complexe de Rame Algébrique l'objet principal de la lettre est de montrer que c'est une définition raisonnable c'est-à-dire qu'on obtient les bons nombres de bêtis donc le complexe de Rame Algébrique n'est pas vraiment motivé autrement que par le fait qu'il fonctionne bien et donne une bonne comologie et c'est l'objet principal de la lettre mais dans la version publiée cette lettre est accompagnée de 13 notes de battes pages extrêmement riches et foisonnantes et fécondes l'une d'entre elles la plus cryptique est une note qui signale sans l'énoncer une conjecture générale sur la transcendance des périodes on songe un peu au début de Newton et la dernière la dernière note parle de Gauss Manning Postule Gauss Manning donc dans le cas relatif j'aurais dû dire d'abord que la comogite de Rame on te dit qu'observe cette note de battes pages aussi qu'il établit la comparaison la comogite bêtis et la disons Z ou Z et la comogite de Rame et elle observe que l'écovision de la matrice ce qui est appelé classiquement période il le dit à propos des courbes elliptiques il dit que c'est serre qui lui a appris dans le cas relatif c'est à dire lorsque les périodes donc les périodes c'est des intégrales sur des domaines algébriques de formes différentielles algébriques lorsqu'elle dépend d'un paramètre il était connu depuis le 19e siècle que ces nombre ces fonctions en fait du paramètre vérifient les équations différentielles inaires à qu'officiels algébriques appelés de Picard-Fuchs en 1871 avait traité complètement le cas des intégrales abéliennes dépendant d'un paramètre démontré qu'il y avait toujours une équation différentielle inaire avec question poinambiale qui les annulait le prototype étant évidemment l'équation hypergeométrique du Garros qui les croissants satisfaitent par la fameuse intégrale d'Oiler alors juste avant la lettre de Grotonnik Manin venait de proposer une nouvelle construction de ces équations dans le cas des familles de courbes construction algébrique il y a le problème que pose Grotonnik est celui précisément de la construction algébrique d'une connexion construction algébrique d'une connexion dont les solutions sont les périodes en d'autres termes il s'agit de comprendre algébriquement l'intégration dans la fibre ici fondamental à Grotonnik qu'il n'hésite pas à changer la terminologie reçue remplissant Picardfuchs par Gauss Manin pour souligner le changement de point de vue radical mettant ainsi entre parenthèses et même effacents d'un coup de plume 150 ans de recherche sur la question et cela sans avoir encore le moindre résultat proposé mais il avait pourtant raison d'abord peu après il obtenait une belle et bien quelle construction de Gauss Manin algébrique et d'ailleurs ensuite une toute autre construction dans le cas des schémas beliens basés sur le caractère cristallin de l'extension vectorie et l'universel et puis Katzeoda ont donné une construction plus générale à coefficient dans une connexion intégrable quelconque c'était là le début du yoga des coefficients de rames d'opération ga complètement réalisé utérieurement par la théorie des démodules onon mais au fait la connexion de Gauss Manin est-elle bien l'image directe au sens des démodules ressemble bien sûr est-ce que c'est la même chose et bien signe étonnant de la difficile suture des points de vue entre connexion et démodule le dernier quart du siècle dernier on a relégué cette comparaison à un folklore qui ne méritait pas d'être écrit jusqu'à ce que Dimka Mareff, Saba et Saito en 2000 ils mettent bon ordre en prenant le soin d'écrire deux preuves ils sont très loin d'être de routine même dans une version significativement simplifiée ultérieure de Kylo Tofiorok ça reste tout à fait non trivial dans le cadre péadique le problème n'est pas tellement de montrer quelque chose d'étonnisomorphisme le problème est de construire la flèche le reste c'est des calculs locaux assez faciles dans le cas péadique dans le cas de la géométrie rigide Bertelot a réalisé avec sa théorie des dédagues modules une subtile synthèse des points du cristallin surconvergent et des démodules permettant d'énoncer aussi un yoga similaire des coefficients péadiques avec les 6 opérations mais ce n'est qu'en joignant cette approche à la théorie transcendante des singularités péadiques dont j'ai parlé tout à l'heure que de yoga a commencé à fonctionner par exemple dans la version de Caro revenons un point un peu au point d'origine donc Gaos, l'équation hypergeométrique en particulier dans celles de paramètres un demi un demi un qui contrôle la variation des périodes de la courbe elliptique de le gendre on a eu l'occasion d'en discuter avec Luke Leiden où finit l'histoire ou commence le folklore on est habitué à voir dans toutes sortes de cours ou dans l'introduction de tant d'articles les fameuses, les 100 péternels monodromies en 0 ou la monodromie en 1 souvent suivi de la assertion folclorique que ces matrices en gendre c'est bien connu le groupe modulaire principal c'est bien connu mais c'est faux trouver ça dans d'innombrables papiers y compris des papiers dédiés à l'étude des groupes engendrés par des matrices monodromies pour des surfaces, 4, 3 de calabillons etc on a l'introduction, vous avez toujours cette assertion c'est l'une des choses bien connues fausse d'un certain folklore en fait ma 2 c'est le produit de ce groupe et de moins en plus de moins en faute leur cette part de mémoire collective il sert parfois de refouloir alors j'aborde maintenant mon dernier point qui est le point de vue galoisien il s'agit de groupes de galvaux de galois différentiels et ces groupes de galois de galois différentiels ont été introduits par Picard en 1883 étant donné une équation différentielle linéaire, précédemment coefficient disons rationnelle ou l'ombre importe, dans un corps différentiel on peut former l'extension du corps des coefficients engendrés par les solutions y et aussi leurs dérivés le groupe de galois différentiels celle est alors formée des automorphismes de cette extension qui commute à la dérivation c'est un groupe algebraique qui agit linéairement sur l'espace vectoriel des solutions il est étonnant que le grand continuateur de galois qui était grotonique ne se soit pas intéressé à cette théorie lui qui avait pourtant introduit les catégories tanakiennes comme analogues linéaires des catégories galoisiennes en fait ces deux lignes qui plus tard a rendu compte en termes tanakien précisément de la théorie de Picard Vessio peut être est-ce le fait que la théorie classique de Picard Vessio est formulée en termes de corps et seulement en termes de corps qu'il a qui a pu le rebuter par ailleurs il n'a pu connaître la remarquable observation de quartiers et malgrans selon laquelle quitte à remplacer groupes par groupoïdes la monodromie est toujours à risque d'ense donc détect tous les phénomènes algébriques que la théorie étudie on trouve toutefois chez Grotonique deux points de contact entre sa théorie du pient étal et la théorie de galois différentiel le premier concerne curieusement des situations où les deux théories sont vides ou triviales le premier résultat est que si S est une propre hélice sur C dont le pient étal est trivial alors il n'y a pas de démodule non-trivial sur S l'analogue en caractéristique P a été éprouvée récemment par Eno et Meta mais beaucoup plus profond le second point de contact est sa conjecture non écrite des pécourbures qu'on peut voir comme l'analogue galois différentiel du fait bien connu que les groupes de galois des corps de nombre sont engendrés par les Frobenus le problème qui se pose est celui qui a posé Fuchs en 1975 de caractériser les équations différentielles linéaires dont toutes les solutions sont algébriques la conjecture de Grotonique prétend que cela a lieu, si et seulement si cela a lieu modul au P pour presque tout P ce qui se traduit par la nullité des pécourbures pour presque tout P il existe des analogues en égal caractéristique 0 Ruchowski et moi-même en égal caractéristique P Eno et Langer mais la conjecture originale en caractéristique mix est toujours ouverte je conclue par les davantage de points de vue que de résultats le domaine que j'ai abordé est riche en effet la pluralité de points de vue qui se croise souvent mais qui signore aussi parfois faute de dictionner entre les langages au risque que ce qui dans un déland créateur apparaît comme le bon point de vue se mu par la suite en la défense bornée d'une tradition épigonnale comme l'écrivait Grotonique plus encore que ce qu'on appelle les théorèmes clés en mathématiques ce sont les points de vue fécons qui sont dans notre art les plus puissants outils de découverte ou plutôt ce ne sont pas des outils mais ce sont les yeux même du chercheur qui passionnément veut connaître la nature des choses mathématiques merci il y a-t-il des questions ? c'est peut-être plus une observation quand il concerne la jeunesse de la technologie chrysaline quelque chose qui a joué un rôle important il y a l'article de Manin sur les groupes formels la théorie de Dieuvenée et les travaux de s'arrêter sur les groupes élysibles je pense que le achat de la vérité avélienne un achat de rame ce qu'on n'a pas parlé peut-être qu'il n'avait pas le temps mais je pense que c'est au croisement de diverses théories de Gauss Manin et ça a joué un rôle important j'ai juste signé en passant la deuxième construction de Grotonik dans le cas des chemins abeliens par le caractère cristallin ça a joué un rôle plus important Grotonik pensait que ses roues de personnalité sont quelque sorte des conditions motiviques pour le achat et il va y être plus généreux il faudrait faire un petit commentaire historique d'effondre l'école de Kyoto d'abord dire que non non non mais d'abord dire que Sato avait donné une série de conférences à Tokyo en 60 à peu près des démodules mais il a dû arrêter ses conférences sauf de combattants parce que ce n'est pas un très grand communiquant il faut dire ensuite dire quand même que Kashiwara a montré la constructibilité des modules en 75 s'formuler exactement qu'est-ce que c'était que la correspondance d'Horémane-Hilberte en 77 et donner une démonstration mais publiée au séminaire de l'arrangeable depuis le technique en 79 l'article tout entier a été publié en 84 pour diverses raisons tout le monde dit que Kashiwara m'écoute je pense que Kashiwara la fait en 79 il y a aussi constructeur inverse qui est important et plus utile mais il faut donner une démonstration en fait beaucoup plus simple mais moins intéressante à mes yeux puisqu'il n'y a pas la construction du constructeur et en 94 d'autres questions ou commentaires vous remerciez encore