 Muchas gracias, gracias por las organizadores, por la invitación, no sé si se oye bien. Estos trabajos realizados en nuestro grupo, llamamos Grupo Mate, en la Universidad Oort, cuyo colaborador es el principal, es Andrés Farragut, que está por ahí atrás, que es el miembro de largo plazo del grupo. Y hay una cantidad de estudiantes que han ido pasando, algunos son estos, que colaboraron con el trabajo que voy a describir. La agenda que tenía prevista es empezar con un precio de prefacio medio personal, mostrando un poco cómo llegué a estos temas y cuál fue mi carrera en esto, creo que puede ser interés para los pibes. Después, focalizarme ya en matemática para Internet, algunas cosas que, una selección de temas de matemática y de sus aplicaciones a Internet. Una mirada más corta, algunas cosas de redes de potencia que estamos haciendo últimamente y después concluido. Entonces, empiezo por el prefacio. Y yo pensaba, cuando me invitaron a esto, me retrotraja cuando entré a esta facultad en 1983, con qué visión venía de lo que iba a hacer. Y mi visión era muy vertical. Yo iba a estudiar matemática con el rigor máximo, después iba a estudiar física con fundamento matemático, después iba a desarrollar ingeniería rival de eso. Eso es lo que me proponía, además, el ciclo básico de la facultad. Y yo he encantado. Yo tenía secundaria con mucha matemática, que tenía Julio Borgo y de profesores. Entonces, yo era un fundamentalista. Quería del épsilón delta justificar todo hasta arriba. Por supuesto, la vida me cascoteó, traté de representar ahí un poco una cosa más entreverada, que es lo que es la mezcla de esta disciplina. Y hay otras también que están afuera en el dibujo. Es imposible axiomatizar la ingeniería de ese nivel. Lo fui descubriendo. Igual la exigencia es alta de rigor en ingeniería, y sobre todo me interesa enfocalizarme de que no todo pasa por la física. Yo sé que hay gente que se dedica a la interfaz de matemática y física, y es muy interesante. Pero para llegar a la ingeniería, la dificultad es a veces no bien de las físicas, sino bien de la complejidad de los sistemas. O sea, con componentes físicas simples y conocidas, unos armas y sistemas muy complicados, y después hay que entender cómo funcionan. Y la dificultad no está en los modelos del pedazo, sino en el modelo del conjunto. Y eso es un poco lo que, más o menos, voy para el tema de echarla de hoy. Bueno, ¿a qué me dediqué con esta...? Bueno, a llegar a la gente. ¿A qué me terminé dedicando? Bueno, terminé haciendo las dos cosas, la matemática. Hice los dos títulos. Me tomé ocho años en las cosas que uno hace de joven. Incluso dentro de la matemática, fui deambulando un poco. Empecé por el análisis funcional. Los cursos quedaba rodeados a los senos cuando acababa de volver del exilio. Algunos con el EVA. Y buscando compatibilidad con la ingeniería. Bueno, eso tiene relación con el tratamiento de señales. En ingeniería eléctrica uno ve las señales como elementos y los sistemas como operadores. Cuando se aplicaba por el análisis funcional, se voló demasiado. Me pasea la probabilidad. Aprendí de Enrique, de Mario Llevar, de Ricardo, de Anciana por ahí, y de Gonzalo Pérez. Hice la monografía y la iniciatura en eso. Y también por el lado de ingeniería, hice telecomunicaciones, que es un lugar que se aplica mucho a las probabilidades. Proceso de tocar. Terminé después igual al tratamiento. El enymer le estaba hace mucho tiempo, donde se utiliza una bien técnica de cuestiones diferenciales y sistemas dinámicos. Recuerdo que Jorge Levoich nos armó una especie de curso a medida para la gente de control, con Eleonora, con PPVA y gente así para enseñarnos un poco de sistema dinámico. Así que, diámbule por muchos lados, en los dos lados del mostrador, hasta que uno se va a ser del otro lado y se acaban las pavadas y tiene que elegir algo en qué focar. Yo terminé en Caltech, que trabajaba en control robusto. Había un matching que yo no había esperado, que es que las técnicas que terminé usando en minutura eran más de análisis funcional que otra cosa, aplicadas al control. Un arterio operador es aplicado al control, incluso en mi tesis hay una forma de aplicar en la versión del termo de jambana a un espacio medio raro para probar una cosa. Curiosamente, lo que primero he empezado fue lo que más terminé usando en mi tesis. Pero después, claro, la vida sigue y uno termina cambiándose de varios temas y entonces, todas estas cosas han aparecido en la vida futura y creo que el mensaje es si uno va a ser matemática aplicada no puede estar casado con una subdisciplina o un pedazo, yo soy un probabilista aplicado y no me levanto acá porque a veces la aplicación pide otra cosa. Y creo que vamos a ver eso en lo que sigue. Bueno, suficiente de introducir, vamos a hablar un poquito de redes. Hoy en día hablar de redes, todo el mundo piensa WhatsApp o algo así, uno dice redes. O sea, un sistema de conectividad alta con una estructura complicada que habría que tratar de entender a través de teorías geológicas de grafos o grafos aleatorios, incluso abundan modelos de cómo se genera espontáneamente la complejidad en base a interacciones locales. Entonces es un área muy fascinante que no desmerezco para nada pero no es el área que trabajamos nosotros. Esto está con redes de ingeniería donde hay más estructura que esa. O sea, estos noditos no son una entidad gente abstracto, sino que son sistemas físicos con sus ecuaciones dinámicas, por ejemplo, en la red de potencia. Los enlaces no son tampoco conectividad abstracta, sino que son caños que tienen capacidad de transporte, por ejemplo. Y la red no surge espontáneamente, por lo menos no solo espontáneamente, sino que hay mucho diseño metido adentro. Entonces, para enfatizar este último punto, todo en, por ejemplo, internet. Entonces, unos mapas de internet que hace Centro Caida. Este es viejo, pero tratan de representar en cada puntito sería, en este caso, un sistema autónomo. Es como Antel, es un puntito acá. Y toda la conectividad es la cantidad entre los operadores de internet. Los que están más hacia el medio son los que están más conectados y los que están en la periferia son menos conexión. Y uno quiere transportar extremo a extremo en ese mundo, ¿no? Parecería, por ejemplo, que podría ser un sistema que se genera espontáneamente a partir de conexiones mutuas. Pero si uno mira adentro hay mucha jerarquía. O sea, hay gente que diseñó sistemas de alta velocidad para adentro, después otros se conectan a esos. O sea, ya empieza a ver cosas que no son puramente espontáneas sino diseñadas. Si uno mira adentro de una de estas redes empiezan a ver una cantidad de estructura, de equipos, enlaces, este, muy complicado. Este. Y también hay componentes físicos variados, ¿no? Hay fibra óptica, en el ámbrico, hay cables. Este. De los cuales uno podría también hay desafíos de modelado, pero como un mensaje de mincharla de hoy es aceptemos que estos problemas de sistemas son entendidos y son extraídos. Igual aún hay una complejidad grande en entender el objetivo y ahí es donde hay desafíos para la matemática. Por eso es un poco la introducción que había pensado. Voy a pasar a hablar de tres temas dentro de esos y distintas técnicas. Y quiero empezar por la teoría de colas porque ahí es donde empezó todo. En sentido de que si uno se remonta 100 años atrás cuando empezaron las redes telefónicas la primera matemática se aplicó es la teoría de cola. Erlang fue el que introdujo la noción de la tecnología teletráfico que es utilizar procesos aleatorios para modelar sistemas que sirven clientes como las telefónicas. Voy a extraer una cola de las colas que se han estudiado que se le llaman la cola MM1 y comentar brevemente qué es. Son las M es una actuación me da rara pero traduzcan M como distribución exponencial. Entonces la primera M quiere decir que los arrivos son un proceso de poason, o sea tienen tiempos entre arrivos exponenciales independientes. La segunda M es el tiempo de servicio de sus suma exponencial independiente y el uno es un servidor solo. Este proceso tocastico se modela sencillamente como una cadena de marco de tiempo continuo cuyo espacio de estado es la ocupación de la cola y que tiene el de aramita de transición de la cadena de marco. No voy a abundar en esto pero es un problema que se resuelve la cadena se ve cuando es estable o orgódica y se puede ocular por ejemplo la distribución de la cola en régimen. Un problema clásico. Bueno uno podría pensar que con esto uno podría armar redes más complicadas redes de colas. De hecho este punto de vista tuvo su influencia en el desarrollo de las redes de datos en particular de internet. Klein Rock es uno de los pioneros de internet en los años 60 era un teórico de colas. Y en particular esta gente abogaba por lo que son las redes de paquetes. Es un teórico de cola. Ya es un teórico de cola. Perfecto, sí. Sigue ahí Klein. Vivo y coleando. Esta gente abogaba por lo que se llama la red de paquetes que es en lugar de reservar conexiones extremo a extremo dividamos los archivos en paquetes y lo vamos mandando en pedacitos y se van mezclando todos los solos en la red y se aprovecha mejor la infraestructura. Hay bastante filosofía de que la aleatoria en esa cabeza de dividir las cosas en paquetes. Sin embargo cuando llega el momento en el que se van mezclando la red de colas de MMM1 no tiene solución sencilla, salvo casos muy simple. Entonces parece que uno no puede hacer mucho con esto. Más aún la tasa de transición que uno asume en general en la cola MMM1 que son constantes resulta que en las redes como internet va a haber que asumir que son variables. Y ahora explico eso. Cuando uno tiene una red como internet y manda paquetes extremo a extremo ¿Cómo sabe esta computadora qué velocidad va a transmitir? Lo más rápido que pueda porque el tipo quiere su archivo lo más rápido posible pero lo más rápido que pueda sin congestionar la red y como la red es muy complicada es difícil saber cómo controlar a todas esas fuentes. Entonces en la ausencia de teoría entran los hackers por allá por los años 90 que había habido algunos episodios en la primera internet de congestión colapso de congestión apareció uno de estos diseños que es un tipo llamado Van Jacobs en el año 90 que propone un procedimiento que es yo voy aumentando la velocidad, estoy afuera voy a poquito aumentando, aumentando, aumentando hasta que detecto que se perdió un paquete, o sea que interpreto que hago congestión y ahí reculo rápidamente y sigo para arriba. Bueno eso más o menos funcionó y por eso tenemos internet y pero no fue diseñado con ninguna teoría atrás se impuso por evidencia experimental aunque después entre otras perspectivas tuvo algunas consecuencias inesperadas de cómo se acinan los recursos cómo andan sin la red muy rápida cómo la justicia entre usuarios todo ese tipo de cosas no fueron diseñadas pero terminan de alguna manera dependiendo de esto. Bien, entonces cómo hacemos para hacer matemática en eso ya le dije que la teoría de colas es más arriba de resolución y pensemos en los llamados modelos de fluido. Tratemos de pensar que los paquetes son como átomos, moléculas y estamos tratando de modelar no el paquete individuario sino en la tasa de transición como si fuera caudal de agua en un caño y entonces una cola en ese sentido es simplemente un sistema que tiene esto que está sin percusión diferencial la derivada de la cantidad de la cola es la tasa de entrada menos la tasa de salida la única complicación menor es que si la cola se vacía ahí hay una discontinuidad porque la cola no se puede volver negativo entonces ahí tomo la parte positiva de R-C pero este modelo natural se aplica también a tasa variable que es lo que queremos entonces visto de más lejos parece que uno podría manejarse en los tipos de modelos si uno viene de la tira de colas y dice como justifico este modelo desde las colas si uno quiere atar los dos mundos hay una cosa que se llama límite de fluido límite de fluido es por escalado donde uno piensa en la cola de MM1 y se dice bueno si la condición inicial es muy grande en una cola y escalo el tiempo también y después renormalizo todo por M el proceso que se genera en la cola de MM1 iniciada lejos en punto M en tiempo MT y dividido por M eso se puede demostrar que uniferamente sobrecompactos en probabilidad a una solución de una opción diferencial como eso o sea que a eso es una forma de atar los dos mundos pero uno no tendría porque para aceptar el modelo de arriba crear el paso de abajo uno podría partir del modelo de arriba bien, que es lo que vamos a hacer que voy comiendo de tiempo porque no tengo reloja la vista bueno entonces vamos a ver si podemos perdón el cambio de idiomas de español por transparencia que fui juntando queremos ver cómo hacer control de congestión que es este método que estamos hablando en una red supongamos que cada fuente sus paquetes van por un suelo camino que es una simplificación pero tomémosla hoy entonces lo que estamos dando de control son las tasas de 30 millones de cada fuente y tenemos un modelo muy sencillo que es decir por un enlace que está por acá dentro pasan una cantidad de estas rutas y yo simplemente agrego los caudales de agua que ponen todas las fuentes que mandan paquetes por ahí esta es la sumatoria que está acá donde la matriz está R, es una matriz de incidencia que tiene uno si cero y dice bueno es uno si el enlace L está en el camino de la fuente Y sumando todo eso tengo una relación que me dice cómo se propaga la transmisión adentro de la red después dentro de cada uno estos enlaces hago un modelo de una cola como que acabamos de ver, un tanque de agua simplemente la capacidad del enlace está fija supongamos lo que entra menos lo que sale saturado es la cola entonces yo me probo la siguiente pregunta cómo podríamos diseñar un control que es una ley realimentada que me dice cómo controlar la fuente R y en base a información pongamos de las colas que yo paso a lo largo del camino de forma de lograr un comportamiento deseado entonces sería sustituir esta función acá y pues sustituir esto acá es como una ecuación diferencial ahí que tiene estado dimensión como tanto como el número de rutas de la red y que tiene esta expresión acá lo único feo que tiene es esta discontinuidad y la F que está por ahora sin definir entonces la pregunta es cómo hacer que esto ande bien y acá viene el punto de vista de los ingenieros que es casi lo opuesto de los dinamistas los dinamistas les encanta que haya una dinámica sencilla que produzca extractores extraños y todo lo demás a nosotros nos gusta una recomplicadísima terminando una dinámica bien aburrida con un punto de equilibrio estable un atractor global eso es lo que nos gustaría pero no cualquier atractor global nos interesa que en el equilibrio por ejemplo que quiere decir que es eficiente que ninguno de los enlaces se desborde eso es natural pero que además no se puede más arriba un enlace por el cual es cuello de botella, no pueden subir más entonces tiene un criterio de eficiencia también nos interesa el criterio de justicia porque no está bueno que una fuente se lleve en la entidad de banda grande y la otra no se lleve nada y lo difícil de esto es que querríamos que esto funcionara sin conocer, sin depender de la matriz esta R que lo da la conectividad porque nadie sabe realmente por dónde van los paquetes de la red de todo el mundo entonces querríamos poner una función F acá que se logra un equilibrio global con todas estas restricciones y para cualquier R ese es el problema de diseño de control de congestión muy bien ese fue el que se aceptó una propuesta y una solución en el fin de los 90 el trabajo de Frank Kelly Frank Kelly es también una persona que viene de Tierra de Colas pero se dio cuenta que para este problema había que hacerlo como modelo de este tipo de fluidos y tomó elementos de la economía matemática el siguiente supongamos que existiese una función que llamamos función de utilidad creciente y cóncava que me dice cuánta felicidad recibe la fuente I por recibir un right array y vamos a suponer que hay alguien que quiere maximizar el bienestar de toda la red o sea sumar las utilidades de todos los clientes sujetas a no desbordar ninguno de los enlaces de la red las restricciones de capacidad de la red este problema ya metida en la eficiencia porque solución a este problema va a ser eficiente y tiene un cierto criterio de justicia en la medida que yo si las utilidades de todos son iguales más o menos hay un cierto criterio de justicia entre todos la pregunta es como hago para llegar a esa solución a ese problema sin que haya un planificador central que le diga a todo el mundo a que estás a transmitir bueno, ahí donde también otra idea de la Tierra económica es usar dualidad de la grancha que es este problema si no hemos visto esto medio rápido pero el aranjeno que creo que todo el mundo a una vez lo vio es sumarle al objetivo las restricciones multiplicadas por multiplicado de la grancha que le podemos llamar precios informalmente precio de cada enlace y el problema se resolvería para precio fijos maximiza en el R y después minimiza en los precios ese problema tiene la misma solución que el problema primal que se que está ahí arriba que además este dichoso de paso tiene solución única y bien comportada bajo hipótesis bueno como es la ventaja de hacer esto? es que si yo recomodo un poco estas sumas y llego a la siguiente expresión lo que tiene que hacer la maximización en la fuente REI tiene dos términos la utilidad de la fuente y el precio total de la ruta por la que pasa esa fuente entonces es una cosa directamente descentralizada si la fuente sabe cuánto cuesta pasar por su camino puede controlar su velocidad y después hay que controlar los precios para lograr el punto de justicia bueno eso es una dinámica acá está lo de la fuente cada fuente es una especie de curva de manda para los economistas y después uno lo que hace es en los precios bajar por gradiente o sea tratar de minimizar el objetivo que es que es converso por gradiente informalmente es un subgradiente y ahí que donde aparece esta proyección no quiero poder hablar mucho con eso pero bajo hipótesis razonables esto converge globalmente donde tiene que ir entonces yo controlo los precios con esta dinámica y después dado los precios controla la fuente con esta criterio y esto va a converger al punto de seguimiento globalmente más aún si miro la dinámica esta veo que se parece mucho a una cola a menos de la constante gama es una cola es la cola que habíamos hablado antes de alimentar la cola otro criterio sería si tomo esta constante gama como uno sobre la capacidad es el retardo de la cola que eso permite implementaciones yo tengo que transmitirle a la fuente cuál es el retardo de cola que tiene en su camino eso es algo que se puede medir de alguna manera y comunicarse o sea que en principio con esta filosofía se podría diseñar un control de congestión que llegue globalmente a un punto justo dinámicamente bueno, antes de eso hay generalizaciones hay otras versiones de la dinámica yo cuando me involucré en este tema fue en el principio de los 2000 fue introducido además el retardo porque este sistema tiene un retardo yo transmito y después recibo la respuesta un tiempo después que eso complica las cosas bastantes porque ahora es una cuestión diferencial con retardo pero algunos resultados globales son más difíciles de obtener algunos locales sí se generalizan pregunta que esto tuvo algún impacto en la ingeniería como aclaré, digamos, tarde los hackers habían venido encontrando la realidad hacia un rato ya bueno, sí sí, no, digamos una cosa, un producto de esta teoría es que se puede interpretar lo que está haciendo el TCP de los hackers como resolviendo un problema de esta otimización de utilidades siempre que una interprete que la probabilidad de para dar paquetes es el precio en vez del retardo de cola como dije acá y eso permite por lo menos que eso es una análisis aproximada pero permite hacer alguna idea por ejemplo de la justicia que tiene o no tiene el protocolo actual lo otro que pasó fue que el protocolo analiano es el actual porque en los años 2000, en esa época se vio que ese protocolo no andaba bien para redes de alta velocidad entonces hubo una especie de carrera para ver con qué lo sustituíamos y los que teníamos base de matemáticos queríamos poner el nuestro y particular estiven el logo que es mi co-doctor de estos trabajos el profesor de Caltech se jugó mucho en la implementación de esto yo participé en las primeras etapas después yo me volvió a Uruguay y ellos siguieron pusieron una empresa que implementó una caja que hacía este protocolo la empresa la terminó comprando acá a May hay quien lo usa lo que pasa es que no se difundió globalmente por razones más que nada de compatibilizarse atrás es difícil cambiar todo el mundo a la vez pero sí hubo otras otras gente, otros hackers que retocaron el protocolo anterior y eso si bien no son de base de matemática como esta, creo que es legítimo decir que fueron influenciados por toda esta discusión de la justicia y la matemática creo que el resultado es que esta es una teoría que tuvo algún impacto muy bien, ese es el primer punto que quería contarles entonces vamos a pasarnos a un segundo punto estoy mirándolo pesé tarde pesé tarde pero voy a terminar sobre la hora del brindis qué es la dinámica de conexiones hasta ahora estemos hablando de la red como conexiones permanentes que vamos a mandar paquetes, paquetes, paquetes pero en la práctica lo que pasa es que hay trabajos que llegan, se transmite, baja el archivo y termina y se va entonces hay una dinámica que es más lenta de una escala más lenta que tiene todo ese asunto de arriba y partidas otra vez del estilo de la teoría de colas entonces parecería que hay que volver a la teoría de colas para estudiar esa dinámica que es más lenta que la otra tiene algunas peculiaridades particular, la disciplina del servicio, no se atienden las conexiones desde aún, sino que están compartiendo los recursos de la red entonces al mismo tiempo estamos atendiendolas a todas las que están presentes en la red en cada momento y la otra tema es el tema del tamaño de los trabajos hasta ahora se vean sumidos exponenciales resulta que esa hipótesis resulta muy restrictiva o sea, no se ha rodado que los trabajos la estadística de los trabajos por internet es una estadística de colas pesadas evité habría que tener una teoría que fuera más general de los trabajos exponenciales bueno, vamos a hablar un poquito de la parte primera dejando por ahora el tamaño exponencial supongamos que tenemos una cola que hay arriba de trabajos por un proceso de pasón de vuelta de tamaño exponencial y ahora la diferencia es que estos trabajos se comparten una capacidad de transmisión y vamos a suponer lo que se llama la cola profesor sharing que es una cola simple donde comparten todos por igual los 5x trabajos presentes en la red cada uno se lleva c sobre x de ancho de van entonces la pregunta es bueno cómo evoluciona cuál es la propiedad etocástica de este proceso resulta que el resultado es el mismo que el anterior otra vez la cola MM1 termina teniendo el mismo profesor sharing es una cadena de marco de tiempo continuo con estados en la cantidad de trabajos y distribución estacionaria geométrica, en fin lo que queríamos generalizar es en dos direcciones por un lado nos gustaría que no fuera solamente un servidor sino que tenemos toda la red como entendimos antes y segundo como les dije, queríamos que los trabajos no fueran necesariamente exponenciales vamos a hablar de estas dos generalizaciones por separado y después juntas empezamos por la red lo que se llama el bandwidth sharing de internet ahora estamos en una situación fíjense tenemos una cantidad de rutas en la red en cada ruta hay una cantidad de trabajos llegando y los que están en la misma ruta van a empezar a compartir el ancho de banda que les den y se van a llevar la misma cantidad de ancho de banda en esa ruta pero los que estén en otra ruta se van a llevar otra cantidad y cómo se determina cuánto se lleva cada uno bueno se determina la etapa que estuvimos hablando antes en control de congestión que hay un modelado como un problema de maximización de utilidades bueno, tomamos ese modelo de variante acá que le puse un X subida porque por cada ruta hay X subida y conexión hay un factor más, pero es la misma cuenta de antes y entonces esa es la sinesión de recursos entonces si ahora le agregamos los arrigos arriba en conexiones poasón en cada lado en forma independiente, con tamaños por ahora exponenciales tenemos un sistema que es una cadena de marcos que ahora vive un espacio N al AD, siendo D el número de rutas que cada una tiene sus arrigos y sus partidas, en ese sentido pero no están desacoplados porque la tasa de servicio que es la que termina las partidas resulta de resolver un problema de optimización acoplado entre todas las fuentes entonces este problema relativamente complicado y no sorprendentemente no tiene solución explícita esta cadena no tiene una distribución estacionada conocida sin embargo se pueden decir algunas cosas esta gente bonal y masuya que trabajaron poco después de que Kelly propuso este modelo tiene un resultado siguiente cuando es estable esta cadena y estable quiere decir que es recurrente positiva, que no explota en los estados sino que estabiliza en una probabilidad estacionaria bueno, bajo una hipótesis que es una familia de función de utilidad que se le llama alfafer que son los que tienen su derivada es una potencia vamos a tomar esa familia en lo mas pero lo siguiente, que es que si esta suma que es la carga media de trabajo que pasa por cada enlace es menor que su capacidad claramente es una condición necesaria en el sentido de que si fuera mas que la capacidad no hay forma de que esta cola se estabilice pero si en ninguna ruta pero en un enlace se viola la condición de que el trabajo que quiere pasar por ahí en promedio es menor que la capacidad entonces este control de conceptión se las arregla para que la cosa quede estable eso es lo que demostraron si vamos al método de prueba curiosamente, otra vez a falta de poder resolver la cadena explícitamente primero hicieron un modelo de fluido donde ahora tomaron los X como variables reales o sea otra vez pensamos que hay muchos trabajos entonces los átomos son trabajos y la población de trabajos es la cantidad y escribieron una opción diferencial ordinaria en rd y hay encontrado una función de Leapunov que mostraba que convergía a cero y con eso se puede después adaptar la prueba a la escala de conexiones con la escala de abajo de asignación de tas bueno y el otro tema que les planteé es el tema de que los trabajos no son exponenciales todos se suponen que hay una G acá quiere decir que la distribución del tamaño de los trabajos es una distribución general y vamos a llamar la G de sigma a la distribución de probabilidad complementaria la probabilidad que el tamaño sea mayor que sigma y el tamaño de los trabajos es una distribución general y la probabilidad que el tamaño sea mayor que sigma la dificultad de estudiar colas cuando no son exponenciales es que no basta con tener el estado el número de conexiones que hay en este momento para saber lo que pasa sino que hay que tener información adicional para tener un estado completo en un proceso de marco en particular hay que mantener los trabajos remanentes como como estado acá por la duda es que es un proceso de marco un proceso de marco tiene un estado tal que si quiero predecir la distribución en T más S y conozco el proceso hasta T me basta conocer el proceso en T ahí está resumida toda la información del pasado para poder determinar la estadística del proceso en T más S bueno, qué tengo que guardar en el estado no me alcanza con saber cuántos trabajos hay tengo que saber además cuánto trabajo pendiente tiene y una forma que se ha encontrado de modelar eso es poner una serie de más y poner la semirreta real positiva sigma y poner una cantidad de deltas de irac más apuntuales en esa reta cuántas, tantas como trabajos hay en el proceso en este momento y en los lugares de ubicación como el trabajo remanente que tiene entonces esta representación me dice las dos cosas cuánto hay y cuánto trabajo les queda por servir si hay un arribo nuevo es una nueva, jueve una nueva delta y por otro lado si hay un servicio de tipo proceso engineering todas las deltas se están moviendo hacia la izquierda a una tasa R que ese sobre X, depende de cuánto son, pero todos por igual entonces se piensen va llegando uno se van moviendo a la izquierda eventualmente cuando llega uno a cero se va y esa es la dinámica del proceso en este caso bueno, se puede hacer algo matemática con esto bueno, por ejemplo la distribución estacionaria de este proceso es conocida interesantemente la cantidad de personas en equilibrio sigue siendo geométrica como en el caso anterior y se puede ver cómo se terminan los trabajos remanentes en estado estacionario también me voy a saltear así que bueno, hay una forma de estudiar estas colas con más con más generalidad pero siempre con un solo servidor y ahora si quiero las dos cosas que sea en una red y que sea trabajos generales, puedo hacer algo pero si hay otra vez la recomendación la receta es pasémonos a modelos tipo fluido, entonces que ponemos en vez de este estado que sea un fluido que me dé la idea de cómo funciona este sistema cuando hay grandes cantidades de trabajos bueno, lo natural es agarrar y decir estos deltas son ahora una densidad distribuida de masa que tiene una total X que es el número de trabajos y esto me dice cómo está distribuido en el trabajo remanente esta es la densidad va llegando, va lloviendo trabajo con distribución G y se va desplazando hacia la izquierda y cuando llega y se desborda por el costado del fluido eso sería la visión de un tío para escribir ecuaciones es más cómodo hacer lo siguiente en vez de trabajar con estos estados trabajar con las integrales de sigma hasta infinito que sería la distribución complementaria en este lado sería una función escalonada que tiene tanta, la altura tiene el número de trabajos y las escalones están en los trabajos remanentes si uno pasa el límite esto con muchos escaloncitos y renormaliza el tamaño de los escalones llega a una cosa que es presumiblemente una función continua que sería la integral de esto de sigma infinito bueno, hay gente que se ha dedicado a estudiar estos procesos a valores medidas y sus límites de este fluido que es este grupo de Gromoli, Williams son temas muy espinosos y muy delicados muy especializados yo no digo conocer todo ese tema, hay algo como mirado pero realmente me pongo gente en el mundo que entiende eso del todo nosotros nos hemos limitado a decir vamos a aceptar que esto se pueda hacer y vamos a ver como quedaría la dinámica en ese mundo y lo cierto es que la dinámica natural acá es una cuestión de veas parciales porque uno tiene este estado f de cima mide de cuánta población hay de trabajos que en tiempo t tienen de trabajo residual más que sigma entonces si yo quiero ver como evolución este estado, tengo que tener en cuenta los nuevos arrigos que ocurren en el intervalito de tiempo esos aumentan el f y después se propaga hacia la izquierda el perfil ese con velocidad r y r a su vez puede depender del estado porque el profesor Schelling tiene esa condición entonces esto sería una cuestión de diferencial que se puede escribir así, se puede justificar a lo físico poniendo diferenciales justificarlo mejor en parte de los procesos es realmente difícil la pregunta es con esta ecuación podemos hacer algo primero que encontramos a hacer y esta ecuación me la planteó Kevin Tan que es un prior de Cornell a ver si podemos hacer algo para este problema justamente que es extender resultados con el emasulier a trabajos arbitrarios y no exponenciales que mucha gente está tratando de hacer desde que surgió el trabajo con el emasulier y logramos hace unos años hacer una generalización usando esta dinámica para este problema y eso se basa en encontrar para esta función, dices el paso yo no tengo ninguna ecuación formada en la ecuación en Ciudad Parcial entonces pusimos a talentear acá a buscar una funcional que pudiéramos mostrar que le apunó de creces sobre las trayectorias y entonces entramos a masajear acá ya aparece un F subi porque hay una funcional de estas para cada ruta que sumaron las rutas y después de muchas vueltas llegamos a una expresión así no voy a contarles que va en cada lado y es el tipo de caso en que uno hace toquetea las cuentas para la hora que le den las cosas sin necesariamente una impresión intuitiva para que siga que con esto nadie iba a hacer nunca nada porque demostraba la conjetura que estaba abierta pero la prueba es tan extraña que nadie la usa ahora pues este año apareció un grupo que tomaron nuestra función y le apunó que hicieron otra cosa con ella lo cual me agradó bastante pero bueno muy bien, entonces ese es el tema el segundo tema y voy a tratar en 5 minutos darle el tercero para ver un poquito de red de potencia más de variación de la capacidad o sea, uno estudia colas mg con otras tasas de servicio la más famosa y vieja es la que se llama la cola de mg infinito que es donde a cada a cada trabajo le hace una capacidad fija al resubser o sea que la capacidad total del sistema tiene que crecer linealmente con la población del momento o sea que llegue un trabajo nuevo le abro una ventanilla nuevo después la cierro donde se va ese es una cola clásica pero hay otras por ejemplo hay un modelo que hicimos del sistema spear to pier este spear to pier son como vittorren, son los que todos ustedes usan para piratear películas se basa en el siguiente criterio hay algunos servidores que tienen la película y están dispuestos a compartirla la dividen en pedacitos y empiezan a repartir pedacitos empiezan a tener una cantidad de leachers o gente sanguijuelas a bajar el archivo pero el protocolo le pide que si usted quiere bajar tiene que al mismo tiempo estar dispuesto a subir otros pedacitos que ya bajó a otra gente entonces mientras están se transforman en servidores la capacidad de servicio tiene una parte fija y una parte variable con la población eso es una característica bastante atractiva a esta red de punto de vista performándose más allá de sus connotaciones de piratería y de una manera es una mezcla bien finita con una capacidad fija de la columna de MG1 que estábamos hablando antes este modelo de la escuelas de la ferra que pide subir lo hemos desarrollado y de hecho termina prediciendo muy bien como volvió en la población de piers todo esto tiene simulaciones de experimentos que no se estoy mostrando porque no hay tiempo pero una cosa más general o más genérica aún es uno podría tener y hoy en día se está usando en los datacenters para poder servir la posibilidad de escalar la capacidad o sea cuántos servidores tienen aprendido en datacenter si los tengo aprendidos me gastan energía entonces sería bueno poder adaptar los que tengo aprendidos a la demanda eso se llama speedscaling y cdx es la capacidad la cantidad de servidores prendidos x es la cantidad de clientes y la tasa de cada uno es cdx sobre x uno podría elegir bien esta función para algún compromiso entre la energía y la performance bueno voy a hablar en situaciones que podemos estudiar la dinámica de estas colas podemos seguir con la dinámica con una de cosas muy diferentes de piedras parciales parecidas a la que mencioné antes donde otra vez la tasa de servicio aparece acá es todo más o menos lo mismo acá lo hice para el caso de trabajos determinísticos todos los trabajos tienen el mismo tamaño que es en las redes piers tu piere es correcto, todos estamos bajando el mismo archivo pero en otros casos pueden ser así suponiendo que la capacidad la capacidad se escala x por x va creciendo con la población y para casos no triviales es cuando la capacidad si estaba así en la cola no alcanza para cubrir la demanda entonces tiene que subir pero si sube suficiente llega a cubrirla entonces en ese caso se establece un equilibrio con una población intermedia de gente y con una capacidad igual a la tasa de arriba y después el perfil de trabajos remanentes sigue la misma estado de que estacionario que habíamos discutido antes bueno, pero antes habíamos discutido un problema que tendía a cero este no, este tiende a un estado estacionario distinto de cero ¿Cuál es la dificultad de eso? yo quiero una buena pregunta y otra vez ambicioso, quiero probar la estabilidad global de esta dinámica a este equilibrio y otra vez sin saber mucho de cuestión de la edad parcial ¿Cuál es la cuestión de la pasión? la cuestión es no muy ortodoxa porque el término este es no colocado o sea, realimenta con el Ft en cero o sea, no es el Ft en el lugar que está entonces no es una la gente que le pregunté que se dedica a la edad parcial no le sonó a nada entonces la pregunta es, ¿podemos probar estabilidad global? le dimos muchas vueltas y terminamos encontrando un camino que es otra técnica que quería mencionar a su topa de los dinamistas que son los sistemas monótonos no sé si es un tema muy conocido el sistema de dinámicos monótonos yo lo descubrí hace tanto hay una monografía de Hirsi Smith Hirsi es el mismo de Hirsi Smail Jorge le voy me hablaba medio mal de él pero decía que él te había mandado una bandida con la luna pero es un tipo muy famoso bueno, esta monografía tiene una cantidad de cosas pero en particular, ¿qué estamos hablando? sistemas que mantienen un orden un orden parcial en un espacio entonces supóngase el orden parcial que estamos considerando para un sistema de dimensión finita sería, por ejemplo, el orden coordenada, coordenada este número es menor que este porque son sus dos coordenadas o menores que sus dos coordenadas formalmente no puede decir que hay un cono de los elementos positivos y la relación de orden es cuando la diferencia de los cosas está en el cono y eso se publica en el espacio de vanas en particular una dinámica se dice monótona cuando preserva el orden después hay fuertemente monótona qué ventajas tiene eso otra vez muestran que las dinámicas son bastante aburridas del mundo de los dinamistas de una manera exagerando es como una dinámica en R1 no puede pasar muchas cosas porque las territorias no se pueden cruzar ese es un orden total un orden parcial es un poco más débil pero igual en la cantidad de cosas que se descarta entonces hay un partido de resultados que dicen por ejemplo, si yo tengo un sistema hay un abierto que es invariante bajo la dinámica y preserva el orden y hay un solo equilibrio en ese punto de dinámica entonces con eso lo que hicimos es aplicar a esto y cuál es el orden natural acá el orden natural de dos perfiles de dos estados de estos es el orden punto a punto la trayectoria de FtCima hasta arriba de la otra si está arriba para todos sin este qué tiene que pedirle uno a la R para que esto sea preservo del orden bueno, lo natural es pedirlo en lo siguiente es que sea decreciente ¿por qué? porque estas dos curvas tienen el mismo empuje hacia arriba que viene dado por los arriba pero el transporte es a la izquierda, si la que está abajo se transporta más rápido entonces nunca la va a alcanzar nunca se van a cruzar estas dos curvas si empiezan en el orden van a seguir en orden entonces te parecería que eso hay que pedirle y eso lo cumple en las redes peer-to-peer y otra cantidad de escalados cumplen eso entonces en estas condiciones parecería que tenemos un teorema de estabilidad global bueno, para un matemático no tenemos nada todavía porque hicimos dibujitos y de hecho, para usar los teorema de Heersmith tenemos que identificar el espacio de vanas hay que ver cual, funciones continuas hay que probar que hay ahoritas compactas que son más complicadas etcétera acá paramos no eso no hemos hecho si hay alguien interesado en hacerlo podría ser interesante nosotros hicimos una versión finita dimensional que es discretizar la dinámica en el eje sigma que al efecto de la aplicación es igualmente bueno escribió una cuestión ordinaria que representa la misma dinámica que la PDE y ahí se hay unas caracterizaciones de cuando un flujo es monótono que son interesantes por ejemplo hay un criterio que dice que el flujo es monótono cuando el jacobiano del campo tiene en non negativo fuera de onal que se llama matrés de Metzler bueno, usando ese tipo de teorema pudimos demostrar un resultado global hace un par de años con esto pero después no nunca mal la seguimos y si hubiese alguien interesado en seguir la versión infinito dimensional sería interesante muy bien, para terminar voy a hacer una rápida pasada por otras redes porque los últimos años hemos dedicado bastante a redes de potencia que no tienen en principio nada que ver con esto es una pequeña introducción a redes de potencia otra vez, es una enorme tan grande como la otra la que ustedes todos conocen de los cables eléctricos pero claro, la física es bastante más complicada en estos nudos hay unos generadores electromecánicos unos equipos que rotan y producen, induce en corriente eléctrica en régimen sinusoidal todas las variables del sistema son sinusóides en principio todas las sinusóides deberían operar la misma frecuencia sincrónica en 50 ciclos en Uruguay y eso ocurre siempre que el sistema está en equilibrio y la energía generada es igual a la consumida el sistema está todo sincronizado a esta frecuencia si hay un desequilibrio lo que termina a pasar es que algunos asociadores si baja la demanda tienden a acelerarse de las máquinas que están generando y entonces producen variaciones de frecuencia para arriba y para abajo entonces es un problema bastante delicado mantener todas las redes sincronizadas las variaciones sincronizan la red se apaga todo es un tema clásico pero muy complicado entonces acá hay una simulación que me pasó un colega que fue el grupo nuestro que estamos trabajando que en realidad no son simulaciones son datos reales de un evento en Estados Unidos acá está la frecuencia nominal, 60 ciclos en todos los nodos de una red eso es verde cuando sube por encima se pone roja, cuando baja se pone azul y esto es un evento que ocurrió en tiempo real y la simulación más o menos mi computadora la corre en tiempo que ocurrió en la realidad hay una perturbación que se pone rojo se propaga el rojo, se viene el azul oscila para arriba y para abajo en la frecuencia de todos esos puntos de alguna manera mantener todo ese sistema controlado es un desafío muy grande y no ocurre sólo en todos estos puntos en distintos puntos de la red hay algunos generadores que usan a cargos de mantener el equilibrio si ven que se van para arriba a la frecuencia actuar bajando su generación o subiendo su generación eso es un problema clásico la matemática no la voy a mencionar pero es complicada e interesante bueno qué otra cosa se podría hacer más modernamente hoy en día está apareciendo lo que se llama las redes inteligentes donde las cargas de la red se podrían modificar en tiempo real, no solamente la generación entonces tal vez en vez de que un generador se genere más o menos se le podría pedir alguna carga que baje o suba su nivel de consumo alguna no, muchas cargas juntas para lograr efectos de regulación un ejemplo por ejemplo es un cargaraje de cargador de vehículos eléctricos si uno piensa un cargaraje de cargas de vehículos eléctricos van llegando autos y si cada uno se enchufa y empieza a cargarse en el momento que llega va a haber un perfil de carga total que va a subir y bajar con la población de autos si se ha pensado ese tiempo que uno podría más forma más inteligente manejar cuando se cargan los autos diferir un poco la carga de algunos o cargarlos más despacito para que por ejemplo el pico sea más bajo hecho el grupo este es el mismo tío en loco trabajando en estas cosas también están haciendo cosas de este tipo en un garage real en California se lo robé en las transparencias pero otra cosa que uno podría hacer con el perfil de potencia es hacer que esta potencia total siga de trayectoria que uno quiera para compensar justamente desbalances que tiene el resto de la red y eso que estamos tratando de mirar con qué herramientas, bueno, acá es donde influenciados por Andrés Ferragut nos metimos a hablar con la teoría de cola este, cuál es el problema tenemos cargas que van llegando por ejemplo autos que van llegando a una tasa lambda a un sistema y tiene una energía que tienen que cargar la potencia nominal a la cual se cargan acá la física es muy sencilla el tiempo de carga va a ser la energía debido a la potencia es el tiempo que necesitan estar cargándose ellos, pero en principio podrían tener tiempo extra le llamamos la actitud, la actitud y que es el tipo va a estar ahí, el auto lo va a dejar 5 horas y con 2 horas lo cargo entonces 3 horas es la actitud entonces llega a la red con un perfil de trabajo para hacer y tiempo extra si yo le empiezo a cargar enseguida a todo trapo va a ir bajando su trabajo remanente y va a mantener su tiempo extra si yo luego esperar es al revés, vas consumiendo el tiempo de esta y no avanza nada en el tiempo de servicio, pero yo podría hacer cosas intermedias podría elegir una carga a una tasa menor u, es una fracción de la cara completa y hacerlo moverse de otras maneras en el diálogo bueno, acá tenemos un problema con las colas nuevas supongan ser que van llegando a cargar el proceso de Poisson cada una con una distribución de servicio y la actitud la ciro con un criterio y después se van cuando llegan a cima o al cero y si pasan por el igual cero ahí perdieron el deadline ahí se les gastó el tiempo extra y podrían pensar en elegirlo suzucar de forma de que el total de energía encargándose si hay algún criterio por ejemplo, reducirle la varianza es una forma de mantener los picos bajos o por ejemplo hacerlo seguir otro señal de control bueno, como andamos de vuelta más o menos entonces, pero si la idea nuestra fue, queremos hacer un modelo macroscópico de esto y mantener el control simple, no gustaría tener una gente que tuviese que decirle a cada auto es de mucha complejidad a qué debe ser cargarse una máquina simple global que pudiese manejar a toda la población entonces, se nos ocurrieron varias esta es la más simple, todo lo que hagamos es una tasa fracción de servicio U o sea, la misma pendiente y que vayan para abajo algunos van a perder el deadline van a pasar a L negativos esta es otra que es lo que se llama el Xlacidifar que es una política que se ha existido hace mucho tiempo que es, yo le cargo a los autos que tienen menos tiempo extra y a los autos los hago esperar claro, van llegando pero mantengo una fracción de U de auto se encarga y el resto esperando también hay alternativas para cumplir las reglas en forma firme, no se pase nadie para abajo, por ejemplo, una es esta que es a cada auto que llega le asigno el AU correcta para que se vaya justo en el momento que se despira el tiempo libre y eso es lo que podría ser el auto mismo yo tengo tres horas y tengo que agarrar tanto elijo la potencia que me va a hacer terminar justo u esta otra que es, lo cargo una cierta fracción U pero cuando se le acaba el tiempo extra lo empieza a pasar a cagar a todo trapo para que no pierda su del bueno, ¿qué se puede estudiar sobre estas cosas? hemos mirado varios temas pero vamos a hablar de uno solo hoy que es estudiar justamente este último caso como un proceso de Markov suponiendo que tenemos arriba o pasón y tenemos exponenciales por ahora en la sigma y en el L el Markov fue en dos dimensiones que se puede resolver en este caso se puede resolver una estacionaria, por lo menos para un fijo pero si quiero variar el U va a ser más interesante estudiar su versión modelo fluido otra vez considerar que las poblaciones son grandes y entonces usar ecuaciones diferenciales en vez de de valores discretas y entonces queda una dinámica así donde UDT es la variable de control N y M son las variables de estado y P es la salida la potencia de salida se puede otra vez validar esto con un límite de fluido a partir de la cadena ahora una cosa más y los dejo ir, cuando uno quiere estudiar estos sistemas que me quiere controlar la varianza, sería interesante tener el macroscopio que no fuese todo determinístico que no tener solamente un equilibrio entonces lo que puede hacer uno es es un límite un refinamiento que es un modelo de difusión que es tomar la teoría central del límite tomar un modelo de ruido alrededor de la territoria fluida y esto formalmente se escribe más o menos así y la forma que toma es una ecuación diferencial estocástica donde están ahora las variables de estado con su drift con su parte determinística pero también excitadas por varios ruidos ruidos que son ruido blanco son biners independientes cuántos biners puse acá el criterio es, pongan uno, por cada transición de la cadena usted ponga un término determinístico WDT y un término estocástico raíz de WDW independiente y eso es el modelo correcto de difusión es un resultado de cursos en los cuantos años que permite tener un modelo estocástico macroscópico pero con varianza la maquinita que leemos todo lo que hacemos con estos modelos esto sigue siendo en un lineal y habría que estudiar transitorios de estos procesos puede ser complicado pero lo que es relativamente fácil de hacer es agarra el equilibrio del fluido y linealice esta dinámica alrededor del equilibrio y eso es lo que dice acá queda una dinámica lineal con una cantidad de términos de de ruido y por ejemplo se puede fácilmente a partir de una cuestión de este tipo calcular la covarianza del estado en tiempo en régimen y si se hace de paso en simulaciones que no estoy mostrando esto anda muy bien se predice muy bien lo que pasa en los temas discretos o puede uno esto se llama es complicado y el último que pongo es decidir como controlar si yo quiero recuerdo ese problema que dije antes me viene una referencia del operador que dice yo necesito que vos controles la potencia a tanto para regular la red yo puedo hacer un diaramita que es así acá está mi sistema de cargas diferibles con su ruido, con su control y un controlador, no importa como se escapa un poco de la charla de hoy para que el error cometido entre lo que me piden y lo que yo hago sea lo más chico posible y de hecho se valida con implementaciones y con resultados concretos bueno termino un poco la pasada y voy a concluir como conclusión creo que ahora he demostrado que la regga ingeniería proviene un caso interesante y también importante para aplicar la matemática más que aparecen aparecen cuestiones diferenciales aparecen utilizaciones con vexia y tira económica aparecen procesos aleatorios distintos tipos, la parte que no mencioné porque no lo hago yo, pero sé que aparece también la tira de grafos y claro las redes son cada vez más proponerantes todos lo sabemos parecía que a futuro habrá una cantidad de oportunidad de seguir haciendo buena matemática y aplicable en estos temas otras líneas que quería comentar para terminar hemos trabajado hace poco en cosas de redes y en las calles que es un tema tiene bastante proceso aleatorio aleatorio ahora está medio parado porque el estudiante se nos fue con Diego Bolsen que está acá adelante y Andrés estamos trabajando en temas de computación en la nube ahí es donde tenemos este sistema de capacidad variable la nube puede uno puede contratarle a un proveedor a Amazon instancias de cálculo y uno puede en tiempo real variar cuántas instancias de cálculo le contratan permite hacer esa capacidad escalable que les hable forma bastante libre cómo debería hacerlo funcionar uno y hay una cantidad de desafío que aparece y eso estamos estudiando con Diego Bolsen y tenemos un nuevo proyecto empezando en esta área y estamos buscando gente si alguien está interesado en estos temas por favor arrímese en redes potencias tenemos una cantidad de cosas también en regulación de frecuencia hay otros temas de optimización con vexa muy interesantes para lo que se llama el flujo de carga óptima eso no lo toqué hoy y también hay temas de almacenamiento de energía con el cual tenemos cierto contacto con la industria local en el tema bueno con eso esto gracias