 Merci d'être venu. Donc je vais commencer par des rappels de notation, des rappels du dernier cours. Quelques compléments sur la fin de la preuve, je n'ai pas eu le temps d'expliquer au dernier cours. Ensuite, je vais expliquer les relations d'Aichur Shimura et ensuite la construction des opérateurs d'excursion, rapidement leur propriété. Rappeler ensuite comment, à partir des ovateurs d'excursion, construire la paramétriation de l'anglance globale. Donc ça, je vais l'expliquer dans le premier cours. Je ne ferai que le rappeler. Et puis je donnerai quelques courbes mentaires sur le cas des groupes non déployés et des coefficients dans les pourfinies. Donc, voici le rappel des notations. Donc, X sur FQ est une courbe projective lisse. J'ai déployé, pour l'instant, je dirais à la fin ce qui change lorsqu'il ne l'est pas. Et comme toujours, XI est un réseau de Z2A, sur Z2F, où A, c'est les adels de X et F, le corps des fonctions de X. Et N est un... Dans X, c'est un sous-chéma fini. L est promis à Q, une extension finie de F, de QL contenant racine de Q. Et donc, je rappelle la définition de ces faisceaux de... Comrologie d'intersection, en fait, à Super Compact, un des Chutukas, mais... Donc... Bon, par rapport à l'article, il manque beaucoup d'indices, mais j'ai un peu allégé. Donc, ça, c'est R0, P, point d'exclamation en bas, P1, fire amus plutôt, point d'exclamation en bas, du faisceau FN. Je vais expliquer les notations. Enfin, je vais rappeler les notations. NIW, associé à une partition I1, IK2I, restreint à l'ouvert un fire amus dans l'espace de Chutukas correspondant, divisé par le réseau oxy. Voilà. Donc, je rappelle que... C'est un fire... Donc, ça, ce champ de Chutukas, il classifie donc les... ...les suites de modification de G0, GK, isomorphote au G0. Que le fire amus, c'est une troncature de Harder-Naraziman sur G0, que I1, IK2I, c'est une partition de I, que les modifications GJ-1 vers GI, c'est une modification LXI pour I dans IJ, et que le faisceau F-Rondes ici, N, NIW, I1, IK2I, c'est l'image inverse d'un faisceau de... Mercule Villeneuve sur le quotient de la Grasmanianaphyne Bellinson-Brinfeld, divisé par le schéma angruplis G-Sombiani-XI, ou les sections de G sur un voisinage vis-à-ment épécide, IXI. Donc, on a ce morphisme évident, qui a G0, GK, qui oublie les homophyses contre GK et au G0, et puis qui est restreint G0, GK, au voisinage formel de IXI, et qui conserve seulement le G14 restant à la somme des NIXI. Donc, ce morphisme est lisse, on l'avait démontré, et donc, on prend l'image inverse du faisceau de Mercule Villeneuve. Là-dessus, il associe à IW. La représentation IW, donc IW est une représentation, donc I, un ensemble fini, et IW est une représentation du groupe dual G-Chapo à la puissance I. Voilà. Et P, c'est le morphisme des Ch'touka vers... P, c'est le morphisme des Ch'touka vers X-N à la puissance I, qui indique les pattes. Les pattes doivent être hors de N pour pouvoir introduire un niveau en N. Le niveau en N, c'est juste un revêtement galoisien de groupe G2N, c'est la même chose que pour Iwakute Chimura. Juste, on trivialise le Ch'touka sur N fois S, quoi. Voilà. Donc, ce sont ces faisceaux-là, ce sont des faisceaux constructibles et indépendants de Iain Ika. Indépendants de l'appartition Iain Ika, parce que, bon, les morphismes d'oubli de l'appartition sont petits. Enfin, bon, c'est facile à démontrer. Donc, je rappelle que le produit de fusion dans Mercule Villeneuve entraîne, ce que j'appelle ici l'isomorphisme de coalescence, savoir que c'est une état de idangie et d'une application entre deux ensembles finis et delta de zeta de xj dans xi et le morphisme diagonal correspondant. Alors, on a un isomorphisme canonique de delta de zeta étoile, l'image inverse par delta de zeta. Donc, on fait la même chose avec x-n, mais sur la puissance j. Donc, l'image inverse de ça, c'est la même chose avec j et w de zeta, où w de zeta, c'est la représentation de g-chapo puissance j, obtenu à partir de w, à partir du morphisme diagonal de g-chapo puissance j dans g-chapo puissance i. Je rappelle, par ailleurs, qu'on a l'action des frobenus partiels, que j'avais noté f, un 10j, de frob, frob-j étoilant au de ce faisceau, vers lui-même, associé près que mu est remplacé par mu plus qu'a-pa, ou qu'a-pa dépendent de w. Donc, comment c'est morphisme frobenus ? Donc, frob-j, c'est le morphisme de xi dans xi ou de x-n à la puissance i dans x-n à la puissance i, qui envoie une famille xi vers la famille x-i avec x-primi égale x égale, pardon, frob de xi si i est dans j, et x-primi égale xi si non. Donc, comment ces morphismes de frobenus partiels étaient obtenus ? Eh bien, tout simplement, on utilise une construction géométrique, on choisit une partition i1, i4, telle que i1 soit égale à j, et ensuite on utilise le morphisme frobenus partiel au niveau des stoucats qui fait une permutation circulaire de g0, gk. Voilà. Alors... Donc, vous voyez, lorsque w est réductible, ça, c'est simplement la congé d'intersection du sens de stoucats, et donc on l'apprend degré moitié, puisqu'il y a une normalisation perverse relativement à xi, je ne sais pas que j'ai pas dit, donc simplement la congé d'intersection degré moitié. L'intérêt de parler de Mercury-Glennon, c'est que l'isomorface de coalescence est absolument canonique. Bon, par ailleurs, je rappelle qu'une conséquence des morphices d'isomorface de coalescence, c'est qu'on peut contrôler des morphices de création et d'anihilation. Donc, ils sont des notions dérivées, mais très utiles. Donc, si en plus u est une représentation, donc on prend maintenant un autre ensemble à finir xi, donc on va faire la réunion d'i joint avec i, et u est une représentation de gêchapeau puissant j, puis x dans u excit dans u étoile, qui sont invariants par l'action diagonale, par gêchapeau diagonale. Alors, on a deux morphismes qui vont, sans s'inverse, l'un de l'autre, de h, ni, w, inférieur à mu, produit dans ce riel avec le faisceau constant égale à e sur x-n, donc on a ces deux morphismes, vers h, n, i union j, w, produit extérieur avec u, inférieur à mu. Donc, restreint à x-n à la puissance i, fois delta de x-n. Donc, les morphismes sont créations avec un diez, c'est diez indice x, et annihilation indiquée par b-mol, c'est b-mol indice xi. Donc, ce sont des morphismes de faisceau constructible sur x-n à la puissance i, fois x-n, et delta, c'est le morphisme diagonale pour g, c'est-à-dire delta, c'est l'inclusion de x-n. Voilà, delta va de x-n vers x-n à puissance j, c'est diagonale. Donc, je rappelle que simplement ce qu'on fait, c'est comment on construit ces morphismes. J'ai mis les flèches en sens inverse, donc la création va vers la droite et l'annihilation vers la gauche, pendant. Alors, comment, par exemple, on construit la création ? En fait, c'est en trois étapes, je vais pas le réécrire. Le morphisme constant, on dit que c'est la même chose que de rajouter à i un élément, disons, zéro, et de tensoriser w par la triviale. Ensuite, la triviale, on l'envoie par u restreinte à la diagonale, on peut, par x, donc on a maintenant i union zéro et puis w tends u restreinte à la diagonale. Et puis ensuite, ce faisceau, avec i union zéro et w tends u restreinte à la diagonale, il est isomorph à la restriction à la diagonale de i union j et w tends u par l'isomorphisme de coalescence. C'est pour ça que c'est une notion dérivée des morphismes de coalescence. Donc, ça signifie qu'on peut créer des pattes au même point de la courbe au moment qu'on s'est donné un élément, un variant par l'action diagonale de la présentation correspondante aux pattes qu'on s'est créées. Qu'on va créer. Voilà. Bon, donc ces morphismes sont transposés l'un de l'autre pour la forme bilinaire, donc une forme bilinaire naturelle. On ne sait pas si c'est une réalité parfaite, bien sûr, toujours pareil, comme j'ai l'espoir compact, il faudrait bien trop dire que j'ai son support, alors il doit être parfait, donc là, il n'est pas parfait. On a été à une forme bilinaire. J'ai mis le même mu d'à l'aise de côté, mais ça n'a pas d'importance. On pourrait mettre des mu différents vers le faisceau constant, restreint x moins n à la puissance y. Donc, simplement, qu'est-ce que c'est que ça ? Ça, c'est la contragrédiente. Et puis, tordu par theta, où theta, c'est l'involution de chevalet, de gêchapo dans lui-même. Quand W est réductible, W theta, c'est isomorphate W, mais n'est pas functoriellement W, quoi. C'est pour ça que le duale de verdier, des faisceaux d'intersection, c'est pour exprimer le duale de verdier, des faisceaux là-haut, avec W, c'est le même avec W star theta. C'est pour ça qu'on a cette forme bilinaire. Et donc, les opérateurs de création et annihilation sont transposés l'un de l'autre, relativement à scène forme bilinaire, et à la même pour I, I, I, J, I, W, W, W, W, W, W, W. Voilà. Donc, maintenant, je vais rappeler l'énoncé du théorème que j'ai esquissé la démonstration la dernière fois, ce qui est donc V, une représentation irréductible de gêchapo. Petit V, une place. Et puis, donc, on introduit un opérateur, SvV, de H, N, I, W, inférieur à mu, produit extérieur avec EV, le faisceau constant, sur V. Flesh, l'opérateur de création associe à delta V, donc delta V, c'est le morphe de la triviale vers V times V étoiles. Et puis, j'aurai besoin aussi de F20V, le morphe, dans l'autre sens. Voilà, le morphe se met évidemment. Donc, l'opérateur de création associe à delta V, il envoie ceci dans la restriction de cette comologie. Donc, on a créé deux pattes. Il y a un, deux, avec V times V étoiles. Donc, inférieur à mu. Mais donc, ça, il faut le restreindre à X moins N à la puissance I fois delta V. Donc, vous voyez. Donc, c'est la même chose que le plus haut, sauf qu'en plus, on restreint, non seulement on se restreint, les deux pattes créées, on les prend à égal, bien sûr. Mais en plus, on les restera en V, quoi. C'est pour ça qu'ici, j'ai delta V, alors que là-haut, j'avais delta du X moins N. Voilà. Donc là-dessus, il y a le Frobenius partiel qui agit. Donc, je réécris pas tout, mais simplement, je vais le mettre envers le bas. Donc, la même chose, mais inférieur à mu plus qu'à pas. On augmente un peu le mu. Et ici, ce qui agit, c'est le Frobenius partiel associé à la patte I et à la puissance de gré de V, parce que, vous voyez, quand on fait agir le Frobenius partiel sur une des deux coordonnées, pour que ça préserve de gré de V, il faut le mettre à la puissance... Pour que ça préserve delta de V, il faut le mettre à la puissance de gré de V. Et puis ensuite, on a le... Donc, ça, c'était la création. J'ai oublié le dièse. Et maintenant, l'anihilation. Et alors, ce qui se passe, c'est que cet opérateur, donc, a composé des trois, il commute au Frobenius partiel relativement à V, parce que, en fait, si le Frobenius partiel est relativement à V, c'est pareil qu'ici, faire le Frobenius partiel relativement au patte I-II, ça commute au Frobenius partiel relativement à la patte I, donc on a encore ici, Frobenius partiel relativement au patte I-II, puis on retombe sur le Frobenius partiel en V. Et donc, du coup, ça se descend... En SVV, se descend en amorphisme... ...de... ...faisons constructibles sur X-Z, à la puissance grandie. Et là, la proposition qui est absolument cruciale dans l'article, c'est que la restriction de SVV à X-N union V à la puissance I, quand les pattes sont voires de V, est égale à l'opérateur de V-Q, ou à T de H-V-V, donné par la correspondance de V-Q en V, vous voyez, des correspondances de V-Q entre les champs de Chukka, comme pour les varietés de Chimura, et donc ça correspond à cet opérateur de V-Q, mais donc, vous voyez, celui-là, il est défini seulement quand les pattes sont hors de V. Voilà. Et donc, le corollaire, évidemment, ce qui est facile, c'est que tous les opérateurs de V-Q s'étendent en amorphisme de vaisseau sur X-Z et à la puissance grandie, tout entier. Alors, je vais quand même rappeler un tout petit peu sur la preuve de cette proposition. Donc, j'avais dit que la première étape, pour montrer ça, c'est que SVV est de nature locale, c'est-à-dire qu'en fait, elle se calcule au niveau des Chukka restreint, quoi. Et donc, il suffit de démontrer les nancés dans une situation globale différente, mais qui correspond à la même situation locale, et donc, la situation globale la plus simple, qui corresponde à la même situation locale, c'est lorsque degré de V égale 1 et puis, il n'y a pas d'autre patte. Il égale ensemble V, W égale 1. Et donc, maintenant, la deuxième étape de la preuve, c'est de montrer les nancés dans ce cas. Et alors, dans ce cas, je rappelle que j'avais introduit la notation Z1-2, comme la partie du champ de Chukka qui nous intéresse. Donc, les Chukka à deux pattes, 1 et 2, pour le correspondant à la partition dans l'ordre 1 et 2, correspondant à la représentation, évidemment, V extérieur, V étoile, et puis, il reste 1 à delta 2V. C'est d'accord ? Donc, ça, c'était le champ de Chukka. Et alors, on pouvait les représenter. Je vais les représenter sous une forme qui va vous paraître un peu étrange pour le moment, mais qui va s'exprimer. Donc, au lieu de les représenter sous la forme G0, G1, G2, comme d'habitude, je vais changer un peu la notation pour les G-torceurs. Pour l'instant, c'est juste un changement de notation, mais je vais changer le sens d'une flèche. Voilà, j'ai droit de changer la notation, n'est-ce pas ? Donc, voilà, les nouvelles notations. Bon, le but, c'est que G1, G1, G1, G1, G1, G1, G1, G2, G1, G2, G1, G1, G2 aussi, puis on va tout plonger dans le produit de deux coupies de champ de Chukka. Et donc, pour l'instant, c'est juste un changement de notation. Donc, je rappelle que, bon, ici, évidemment, il y a une flèche qui est dénivellée de la première par Frobenius, donc, il va vers Togé-Primain. Et donc, dans ce champ de Chukka, Z1-2, il y avait deux conditions possibles. Soit demander que cette composée-là est un isomorphisme. Soit demander que celle-là est un isomorphisme. Donc, ça donne des sous champs, enfin, ou des sous schémas, d'ailleurs, si on met un niveau N assez grand, avec une troncature, enfin, en fonction de la troncature. Vous voyez, si N est assez grand en fonction de mu, ça va être des schémas, hein. Des champs de l'une même forme, généralement. Donc, lorsque N est assez grand en fonction de mu, il y a des schémas qui nous servira. Donc, il y a ces deux conditions qu'on peut imposer. Et ça correspondait à des sous champs ou des sous schémas Y1 et Y2. Je rappelle. Et en fait, il était le support de correspondance cohomologique. On avait des correspondances cohomologiques entre Z1 et 2. Donc, j'ai noté comme ça les correspondances cohomologiques. Et puis le champ discret, BUNGN de FQ. BUNGN de FQ. Et on avait ces correspondances cohomologiques et supportées par les Y1 et Y2. Et le problème, c'était de calculer la composition. Et on voit, par exemple, que la composée est supportée, évidemment, par le produit fibré des Y1 et Y2 au-dessus de Z1 et 2. Et correspond aux situations où les deux sont des isomorphismes. Mais dans ce cas-là, on voit que G1 égale G2 égale T1. Donc, en fait, G1 et G1 sont des pareils en haut. Donc, G1 et G1 sont définis sur FQ. Donc, ce sont des points de BUNGN de FQ. Et le grain de tout entier donne un élément du champ de FQ définit sur FQ. Donc, oui. On voit que Y1, Y2 au-dessus de Z1 et 2, en fait, c'est ce que je vais noter, et que NV de FQ. Vous voyez le champ de verre, avec la borne donnée pour la modification donnée par V, puis en niveau N. Donc, ça, c'est un élément. Qu'est-ce que c'est que NV ? C'est la donnée d'un jet torseur avec niveau N, avec trigalisation sur N, et donc G1. Et puis, une modification, j'ai pris main de G1 en V. En V, je ne mets pas que c'est en V. C'est entendu. Et borné par la quantisation grand V. Voilà. Donc, il s'agissait de calculer cette composée de correspondance, comologique. Je ne vais pas rappeler ici les correspondances comologiques, mais elles venaient de Merculio Nann. Et... Il s'agissait de calculer leur composée. Alors que le support est déjà connu. Donc, en fait, il faut montrer, c'est que la composée, c'est donnée par la fonction sur... et que NV de FV, qui est donnée, qui vient de s'attaquer, mais en fait, c'est-à-dire la trace de Frobenius sur le faisceau de Merculio Nann. Alors, en fait, il y a un diagramme qui est assez agréable, que j'avais pas eu le temps de dessiner l'autre jour, donc je vais en profiter. Donc, vous voyez, on a Z1-2, puis on a Y1, donc... Et Y2 qui s'envoie dans Z1-2. Et puis le produit fioraire. Donc, on a dit que c'était que... et que NV des points sur FQ. C'est un champ ou un schéma, si on met la troncature. Un schéma discret. Alors, par ailleurs, j'ai dit que je voulais tout plonger dans ce champ et que NV, il faut à lui-même. Donc, vous voyez, dans le premier, il y a G1, j'ai pris main. Je vais dessiner la flèche. Et dans la deuxième copie de... et que NV correspond à la modification G2, j'ai pris M2, d'accord ? Et alors, évidemment, Z1-2, là-dedans, est donnée par... par deux équations, des équations qui apparaissent là. J'ai pris main, égale. J'ai pris M2 et G2, égale. Tau G1. Donc, ça donne envie de dessiner un carré, n'est-ce pas ? Ça. Avec ici, le sous-chéma, si le niveau est assez grand, de... de EQ-NV, il faut EQ-NV, qui est donnée par cette équation. Donc ça, c'est une équation dans Bun-N, dans Bun-GN, quoi. C'est-à-dire qu'il y a un schéma lisse. Donc, si vous voulez, ça, c'est une équation lisse, en quelque sorte. C'est-à-dire, localement, ce produit, au vasinage de ça, c'est le produit de ça par une vérité lisse, quoi. Et voilà. Et comme ça, on peut faire la même chose en bas, avec l'autre équation, qui est G2 égale Tau G1. Alors, ce qui est agréable, c'est que ces deux carré, ça se complète en un grand diagramme, comme ça. Où, ici, c'est simplement la diagonale. EQ-NV. Vous voyez qu'il s'envoie là-dedans par la diagonale. Et en bas, c'est encore EQ-NV, qu'il s'envoie là-dedans par la diagonale. Alors, tous les carré sont cartésiens. Et en plus, toutes ces inclusions, toutes les inclusions qui sont parallèles, sont du même type. C'est-à-dire que l'inclusion qui est là, en quelque sorte, elle est lisse, je ne sais pas comment dire. Enfin, c'est une immersion fermée, quoi, mais tel qu'il y a un fibré normal. Enfin, localement, c'est le produit par une variété lisse. Je ne sais pas comment on dit. Donc, ça, c'est localement le produit par une variété lisse, quoi. L'inclusion d'un point dans une variété lisse. Et ici, au contraire, ça, c'est comme l'inclusion d'un point dans une grâce manienne, dans une strade fermée de grâce manienne. L'ocalement, au voisinage d'un point en bas, au départ, l'espace d'arrivée, localement pour la troupe végétale, ressemble au produit par une strade fermée de grâce manienne. Voilà. Et c'est pareil de l'autre côté. Ça correspond à une grâce manienne, et puis ici, elle est promue par une variété lisse. Donc, tout le carré est cartésien. Et alors, la correspondance... La correspondance qui nous intéresse, c'est ce carré-là. Mais comme ici, c'est des inclusions... comme un produit par une variété lisse, c'est pas dur de voir que c'est la même chose que l'accomposé ici. Et la... Voyez, donc, on sait à dire qu'en fait, il y a des correspondances entre ce champ et... Bon, on va dire petit V, mais ça n'a pas d'important, parce que c'est discret. Les supports sont Y1 et QNV. Et là, vous montrez que l'accomposé est donné par le produit, par la bonne fonction sur QNV de FQ. Et donc, maintenant, on peut encore refaire la... Même chose ici. Donc, finalement, ce qu'on doit calculer, c'est le grand carré. Mais alors, qu'est-ce que c'est que le grand carré ? C'est bien connu. Si je note Y... et QNV... Donc, inférieur à mu, donc comme ça, c'est un schéma. Un schéma qui n'est pas lisse, bien sûr. Et F... Et F, ça va être le faisceau d'intersection dans ce cas-là, mais c'est aussi un faisceau de Mirkoj Vilenan. En fait, c'est aussi l'image inverse. Parce que le QNV, localement pour le hospital, c'est comme le produit de BunGN par une Stratopharméne grâce à Maninafi, donc le faisceau d'intersection, comme Mirkoj Vilenan, a un décalage prêt. Et donc, en fait, on a des correspondances que je vais noter comme ça, mais... Non, c'est pas difficile comme notation. Voilà, je vais noter par une flèche ondulée, ces correspondances. Flèche ondulée, donc du point vers Y fois Y, du Y fois Y, faire le point. Et la première, supportée par la... le frobenusé, la diagonale. C'est-à-dire, tu voulais l'ensemble des Y, taux Y, quoi. Et la deuxième, supportée par la diagonale. Alors, qu'est-ce que c'est que la deuxième correspondance, par exemple ? Et ben, c'est ça. Et oui, et le faisceau au milieu, c'est le produit extérieur de F, et c'est son duale de vernier. Donc, par exemple, qu'il y a une correspondance de ce faisceau vers le faisceau trivial, ici, supportée par la diagonale, c'est évident, parce que l'image inverse de la diagonale... l'image... Là, voyez. C'est donc i, l'inclusion, la diagonale, dans Y fois Y, et pi, la projection. Vous voyez que i étoile en haut de F extérieur dF. C'est F tends dF. Et ça, ça s'envoie vers le faisceau canonique de Y, qui est aussi pi.exclamation en haut du faisceau constant E sur le point. Voilà. Donc, ça a voyé qu'il y a une correspondance comologique de Y fois Y minus du faisceau F tends dF vers le point, minus du faisceau constant, supportée par la diagonale. Alors, en prenant le duale de vernier, on obtiendrait une correspondance comologique de la même façon du point vers Y fois Y, supportée par la diagonale, et puis, en l'an plus, on peut la frobeniser parce que... D'ailleurs, ici, ça serait plutôt taux Y, Y, je crois. Pas simplement parce qu'on a une action de frobenus sur l'F. Il faut y agir. C'est un frobenus partiel, quoi. Il faut un fou. Frobenus par rapport à l'une des deux composantes. Et donc, la composée de ces deux correspondances est supportée, évidemment, par l'intersection de la diagonale avec son frobenusé, avec le graphe de frobenus, c'est-à-dire les Y de FQ. Et il est bien connu que c'est le produit, que la composée des deux, qui est supportée par le graphe de FQ, est simplement le produit par la fonction sur le graphe de FQ, qui est la trace de frobenus sur F. C'est simplement l'énoncé local qui est sous-jacent à la formule et trace de Grottenny-Glöfschedt. Voilà. Donc, j'ai terminé l'exquise de preuve que j'ai pas pu finir la dernière fois, de cette égalité entre SVV et puis la restriction de SVV en dehors de V, et puis l'opérateur de VQ. Et alors, on va voir que, en fait, cette extension, donc finalement, cette extension des opérateurs de VQ, c'est très utile, parce que ça permet d'énoncer la relation d'Aicheur-Chimura. Donc, I, un ensemble fini. W, une représentation de G-chapo, puissance I. V, une représentation irréductible de G-chapo. Petit V, une place de X-n. Et alors, bon, je rappelle que le frobenus partiel en... Donc, je vais introduire une nouvelle patte que j'appelle zéro. Et je regarde le frobenus partiel agissant sur la comologie. Donc, pour I, union zéro, union disjointe, en ensemble de patte, et W, extérieur V, comme représentation. Et donc, je restreins cette comologie à X-n à la puissance grandie, mais sur le foie petit V. Et donc, le frobenus partiel en la patte zéro, à la puissance degré de V, il va envoyer ça vers le même espace, simplement, muet et augmenté de K-pa. Donc, l'énoncer, c'est que c'est un casillon de morphisme, à part que muet et augmenté. Il est tué par un polinôme en les opérateurs de VK, mais les opérateurs de VK en V, mais en la place V. Donc, il faut les étendre, en fait. Donc, on ne pourrait pas annoncer le résultat avec les opérateurs T de HVV avant l'extension. Donc, du coup, je vais annoncer le résultat directement avec les SVV, ce qui a l'avantage, aussi, que vu la définition des SVV, la démonstration est quasiment évidente. C'est une démonstration du Théâme d'Amilton qu'elle est. C'est-à-dire que non seulement la SVV donne une extension facile des T de HVV, mais en plus, ça rend la démonstration de l'Historique Chimera évidente. Donc, l'énoncer, c'est que la somme de I égale 0 à la dimension de V de moins impuissance I fois cet opérateur au menu sparseil, à la puissance de V. À la puissance I, vous voyez, je prends d'abord la puissance de V, puis après, à la puissance I. Composé avec cet opérateur SVV, mais pas pour V, pour le... Je remplace la présentation par une puissance extérieure à la puissance dimension de V moins I. Donc, ceci est égal à 0. Donc, comme morphisme de H, c'est la même chose, de H à MU vers H à MU plus K, mais le K, il a changé entre les deux. Bien sûr, une constante. Il a changé. Voilà. Puisque à la fois S, puis le frebenus sparseil augmente MU, donc le K doit tenir compte. Il doit être assez grand. Donc, c'est un énoncé. Vous voyez, en chaque patin, c'est W joue le rôle du mort, tout se passe en V, on n'a pas de 0, donc, de gré de V, et ensuite, à la puissance I. Voilà, l'opérateur de morphisme, le casion de morphisme qui est tué, c'est F0, à la puissance de frebenus sparseil en 0, mais à la puissance de gré de V. Donc, grâce à la définition de SVV... Ah oui, donc d'abord, une remarque, c'est que, vous voyez que l'opérateur T de H dimension de VI, pareil, masile VV, celui-là, il est défini sur X-N union V, à la puissance grandir, foir, la même chose, X-N union V. D'accord. Ça, c'est l'opérateur du V que non-étendu. Bon, grâce à le S, l'opérateur étendu grâce à le S, il est défini sur X-N à la puissance I, foir, X-N, bien sûr. Et on le restreinte, dans l'énoncé du théorème, on le restreint à X-N puissance I foir V. Vous voyez, le V qu'il a, il n'est pas inclus là-dedans, donc c'était vraiment nécessaire d'étendre, pour que l'énoncé ait un sens, même au point générique, de l'X-Z à la puissance I. Bon, comment ça se démontre, n'est pas difficile, en fait. Donc je suis inspiré d'une preuve que j'ai trouvée sur l'archive à l'article de Petersan, et en fait, donc la référence qu'il cite pour cette preuve, c'est Zvitanovich. C'est une preuve qui, seulement en caractéristique zéro, Cartier Madi, qui avait peut-être sécré en caractéristique, avec des polarisations, mais... Donc ce n'est pas la preuve de Bourbaki. Je préfère... Dans la version en français de l'article, j'ai écrit la preuve avant de passer au Ch'toukka, mais là, pour gagner du temps, je vais passer directement au Ch'toukka, mais vous allez deviner quelle est la preuve d'Amilton Kele, qui est derrière. Donc... On va calculer la composition suivante. Donc une suite d'opérataires sur la compagie de Ch'toukka. Donc on part, évidemment, de i million zéro et w extérieur v, quoi, à part de cette situation-là, bien sûr, avec la patte zéro en v. Avec la patte zéro en v. Puis on crée n perte de patte, n1, pardon, n plus 1, jusqu'à n2n, à l'aide de delta v de la triviale vers v times v étoiles. Donc, si vous voulez, là, on arrive dans h n i union 0, 1, etc., jusqu'à 2n, w times v times v n fois times v étoiles n fois. Et puis, restreint à x-n à la puissance i fois delta 2v. Puis, à l'inférieur, amené. Puis... Donc je n'ai pas encore dit ce que c'était quantien. Puis ensuite, on applique, on antisymmétrisent les pattes zéro jusqu'à n. Vous voyez, toutes ces pattes qui portent la représentation w, la même représentation, donc on peut faire agir une antisymmétrisation sur ces pattes. La moyenne alternée sur les permutations. Puis, on applique le frebenus partiel f0 à la puissance de gris de v, mais sans puissance supplémentaire, petit-i, en les pattes n. Et puis, donc tout ça, ça reste toujours en même espace, à part que, bon, mieux augmente. Et puis ensuite, on fait l'inverse de la première opération, on annihile les pattes n plus 1. Jusqu'à n de z, à l'aide de l'f'indice v, de v times v toile vers la triviale. Première chose, c'est que si n égale à la dimension de v, ceci est nul, parce qu'on a antisymmétrisé n plus 1 patte. Donc, en fait, ça veut dire qu'on a remplacé v times v times v ici par lambda n plus 1 de v, mais lambda n plus 1 de v est nul. Trop antisymmétrisé, quoi. Et le petit b, c'est que pour toute n, en général, donc pour toute n, c'est égal à la somme pour i égale 0 à n de moins-impuissance i, le frebenus, toujours le frebenus partiel en 0, pardon, à la puissance i s la puissance extérieure dim v moins i de v, v, quoi, exactement le nombre de droite, d'accord. Enfin, le nombre de gauche plutôt là. Exactement le nombre de gauche, à part que, ici, je me suis trompé, c'est n moins i, voilà. Donc, je le prétends que c'est pour toute n. Un facteur prêt, donc ça doit être 1 sur n plus 1. 1 sur n plus 1. Pourquoi ? Parce qu'en fait, on va distinguer, donc l'opérateur d'antisymmétrisation, on l'écrit comme moyenne sur les permutations sigma de 0 n, et on va distinguer, suivant la longueur du cycle de zéro, la longueur du cycle contenant zéro que j'appelle i. Donc, d'abord, quand i est fixé, le nombre de permutations dans la longueur du cycle est donné, c'est n factoriel, ça dépend, c'est facile à vérifier, et c'est pour ça qu'il y a ce 1 sur n plus 1, ici. Et maintenant, ce qui reste à démontrer, c'est que quand i est fixé, qu'on fait la moyenne sur les permutations, dès que la longueur du cycle contenant zéro est égal à i, alors on trouve ce n'achat là, sans la 1 sur n plus 1 et sans la somme. Alors, en fait, le cycle contenant zéro, du moment qu'il est longueurie, on peut le prendre à égal à 0, à 1, 2, jusqu'à i, puis revenir à 0. Donc, en fait, la permutation sigma, on va la prendre sous cette forme, de la permutation circulaire de 0 à 1i plus tau, où tau, c'est une permutation de l'ensemble i plus 1n. Et donc, en fait, et alors, la signature de sigma, en plus, c'est moins, évidemment, c'est moins un puissance i, fois la signature de tau. Donc, il reste à démontrer que quand on fait une... Donc, quand on anti-symmétrisse sur tau, quand on fait une moyenne sur tau avec la signature de tau, ce qu'on obtient, c'est exactement ça. Alors, en fait, les pattes entre 0i, d'une part, les pattes entre i plus 1n jouent des rôles différents. Les pattes entre i plus 1n, c'est très simple. On les crée, on crée des pertes de pattes. On anti-symmétrisse les pattes créées qui correspondent à V. On ne fait rien sur celles qui correspondent à V et toiles, et puis on les réunit. Donc, ça, c'est très simple. C'est pareil que si on avait créé une seule pâte, mais au lieu de V, avec lambda n-IV, quoi, le nombre de pattes. Et donc, après, on applique... Donc, ça, c'est la définition de S lambda n-IV. Créer une pâte avec lambda n-IV, enfin, deux pattes avec lambda n-IV, appliquer le frobenus partiel et puis détruire. Voilà. Appliquer le frobenus partiel à celles qui correspondent à 1 et puis détruire. Et donc, ce qui reste, ce qui reste, c'est ce qui se passe avec les pattes entre 0 et i. Donc, là, ce qu'on fait, c'est qu'on crée des pattes 1i et puis des pattes n plus a, n plus i pour V-étoiles. Ensuite, on fait une permutation circulaire des pattes entre 0 et i. Et puis, on détruit les pertes de pattes. Donc, ça, c'est pareil que d'appliquer le... Et puis, il y a le frobenus partiel aussi, sur les pattes entre 20 et i. Mais ça, c'est pareil que d'appliquer le frobenus partiel à la puissance grandie. C'est assez classique d'écrire, vous voyez. On est parti de la pâte 0. On crée des pattes 1i et puis des pattes opposées n plus a, n plus i. Puis, on fait une permutation circulaire et on applique le frobenus partiel, comme ça. Et ensuite, on détruit. Et donc, finalement, ce qu'on trouve, c'est le frobenus partiel à la puissance i. Voilà, vos jeux, peut-être pas mettantes, c'est dans les notes. Donc, l'astuce de la permutation circulaire pour retrouver la puissance i frobenus partiel, c'est classique, c'est dans l'article de Baucho, par exemple, et c'est classique, un peu changement de base cyclique, je crois qu'il cite, chez Ntani. Voilà. Donc, maintenant, je vais passer à la construction des opérateurs d'excursion. Bon, je rappelle qu'un point géométrique dans un schéma y, X bar, c'est un morphisme de spectre du corps K2X bar vers Y. Donc, je suppose, pour moi, point géométrique, ça veut dire que K2X bar est séparable à Moncleau. On ne sert à rien pour la congéitale, demandez. Il soit vrai que Moncleau, d'ailleurs, fait comme ça, dans Régé A4. Alors, le localisé strict de Y, chez ma Y, on a un point géométrique X bar. Donc, c'est la limite projective des voisinages étales bon que tu aies de l'X. Le X bar, pardon. Et si X bar et Y bar sont des points géométriques, une flèche de spécialisation de l'X bar dans Y bar et, par définition, un morphisme de X bar vers le localisé strict de Y en Y bar ou, de façon équivalente, un morphisme du localisé strict en Y bar vers le localisé strict en Y bar. Bon, un tel morphisme existe, si et seulement si, le point Y, sous-jacent à Y bar, est dans l'adhérence de X. Et alors, s'il y a fait un faisceau pour la topologie étale, une telle flèche de spécialisation induit ce qu'elle est appelée homomorphise de spécialisation, étoile en haut, donc c'est dans le vin dans l'autre sens, de la fibre au point spécial vers la fibre au point générique. Donc ça, c'est évident, c'est juste la définition d'un faisceau, parce que la fibre, c'est une section sur un petit voisinage étal. Et donc, justement, X bar, il s'envoie dans ce petit voisinage étal. Voilà. Donc on fixe une fois pour toute, étabar, un point géométrique au-dessus de l'état, qui est le point générique de X. Donc, si vous voulez, état, c'est spec F. Et puis, j'ai déjà introduit F bar, donc F bar est tel que étabar soit spec de F bar. Donc, une groupe de galois de F bar sur F, c'est le p1 de état étabar. Alors ensuite, il est un ensemble fini. Bon, on note delta, comme toujours, de l'exe dans X, le morphisme diagonale. Et on note étai, le point générique de l'exe. Et puis étai bar, un point géométrique au-dessus de l'état, mais là, il y a beaucoup trop d'automorphisme. Donc pour limiter le nombre d'automorphismes, on va se donner en plus. Pour tout, il y a une flèche de spécialisation que je note SP, peut-être qu'il faut remettre un indice, mais bon, SP de état étabar vers delta de étabar. C'est très important, ça limite en quelque sorte l'automorphisme de état étabar. C'est-à-dire que ce qui se passe, c'est que les... Évidemment, nous, on va s'intéresser au faisceau HNIW, qui sont des faisceaux constructifs sur X-n à la puissance I. On n'en sait pas du tout s'ils sont lits en delta de étabar. C'est pour ça qu'on ne veut pas étudier leurs fibres en delta de étabar mais en état hibar. Cependant, il y a des sous-féceaux qui s'étendront naturellement en des faisceaux lits en delta de étabar. Donc l'avantage du choix de cette flèche de spécialisation, c'est que la fibre en état hibar de ces sous-féceaux qui admettent des extensions lits, ça sera canoniquement la fibre en delta de étabar de leurs extensions. Et c'est très important de regarder les fibres en delta de étabar parce qu'elles sont compatibles canoniquement à la coalescence des pattes. Donc si vous voulez, c'est un espèce d'heirsatz de delta de étabar. En fait, on travaille sur l'encélysée de delta de étabar, j'aurais dû me dire comme ça. Est-ce que c'est clair pour les... C'est va ? Oui. Donc il y a un lèvres de dreenfeld, fondamental évidemment, pour ce problème. Bon, les détails de la preuve sont un peu dispersés, un article de Laurent, d'Ecolo aussi. Soit E, un OE faisceau constructible sur, disons, omega ouverdence de Xe, muni d'une action d'effrobenus partiel, c'est-à-dire que pour tout y, on a un morphisme de faisceau de l'image inverse de E par le morphisme de frobenus partiel du Xe vers lui-même, au point générique, sur omega, sur un ouvert assez petit, ou au point générique. Donc ces isomorphismes doivent commuter entre eux en plus et leurs produits doivent être égales au morphisme de frobenus total. Morphisme naturel de Frobétoile de E dans E. Frobétoile et le morphisme de Frobénus total. Alors l'énoncé, c'est alors qu'il existe un ouvert OE, un ouvert U, pardon, un ouvert dense U de X, tel que E s'étende en un OE faisceau lit sur UE. Donc là, la preuve est rédigée dans ça, c'est la première partie du LEM, et je vais déjà donner la démonstration avant de passer à la deuxième partie. Donc là, la preuve est rédigée dans la thèse de E. En fait, c'est simplement qu'on regarde l'ouvert de l'icité maximale, son complémentaire est un diviseur, et il est évidemment invariant par les morphismes frobenus partiels, parce qu'il impose qu'il est vertical dans le sens, voilà. Et donc, on peut trouver U tel qu'il soit dans le complémentaire de UE. De plus, on a une équivalence de catégorie entre les faisceaux E comme ça. Donc cette fois-ci, je suppose vraiment qu'ils sont définis sur UE, U avec U fixé, plus action de Frobénus partiel, équivalence de catégorie avec les représentations du PI1, de U, à la puissance grandie, sur les OE modules type fini. Bon, le foncteur est suivant à un faisceau E. J'associe sa fibre en delta de étabard, qui est donc aussi par la flèche de spécialisation sa fibre en état I bar, ainsi. Puisque, j'ai supposé là que l'E était lisse sur UE. D'accord, donc les deux fibres sont identifiés par la flèche de spécialisation. Donc, c'est une équivalence de catégorie qui, de plus, est compatible à la coalescence, grâce aux faits qu'ils en restent un à la diagonale. Donc, vous voyez, le groupe de Galois, ma chasseur FQ, il s'envoie vers Z chapeau par le degré, quoi. Et en quelque sorte, le Galois, le point générique de UE, il s'envoie seulement vers Z. Vous allez faire Z chapeau, alors que le produit des Galois, la puissance grandie, il s'envoie vers Z chapeau, la puissance grandie. Il faut bénus partiel et ils apportent les Z chapeaux au manquant. Mais c'est plus que ça, bien sûr. Ils montrent aussi que ça se factorise par le produit des groupes de Galois. Ce qui est lié au fait que la ramification est verticale, mais c'est un peu plus fort encore. Donc, on voit qu'on peut appliquer le laine de Rinfeld à tout sous... à tout sous EOE, le faisceau constructif de la... Vous voyez, si on a un sous-OE, le faisceau constructif de cette limite inductive, stape par les morpheuses de Frobenius-Parsiel, alors on peut appliquer le laine de Rinfeld. J'ai créé toute la phrase. On peut appliquer le laine de Rinfeld à tout sous EOE qui est stape par les morpheuses de Frobenius-Parsiel. Bien sûr, j'ai écrit une limite inductive, mais un sous EOE comme ça, il est inclus dans un sol pour un certain muséro assez grand. Il est inclus dans l'image d'un sol, parce que les flèches ne sont pas forcément adjectives. Et en fait, on va construire dans cette limite inductive une partie que je vais appeler écoffini, HF écoffini, c'est-à-dire, stape par les opérateurs de écoffini à coiffier entier. Et on montrera que... Enfin, on va dire que non, pas stape, que les opérateurs de écoffini à coiffier entier enjantent qu'un OEM module est fini. Et on verra, grâce à Echelochimois, comme les Frobenius-Parsiel sont tués par des poliômes à coiffier dans les opérateurs de écoffini entier, en coiffier entier. On verra que ça implique, on verra qu'à l'appart de l'écoffini et une réunion de sous-heuf et sauconsuctif stape par les Frobenius-Parsiel auxquels on peut appliquer le lèvres de Rigfeld, ce qui fait que sur la partie écoffini, sur la fibre, disons, en étail bar, on aura une action de Rume Galois, la puissance grandie. Donc, déjà, je commence par définir la partie écoffini. Donc, si X bar est un point géométrique de X-n à la puissance grandie, bon, en pratique, ça sera delta de Veta bar ou étail bar, vous voyez, point générique de l'allégonal ou point générique de tout entier. Alors, un élément de la limite inductive des fibres d'H-n, IW, inférieure à mu, donc limite inductive sur mu, bien sûr. La limite inductive des fibres restreintes à X bar est dit écoffini s'il appartient à, disons, M, un sous E module type fini stable par les T2F, par tous les opérateurs du Hecke, T2F, pour F à coefficient dans E, donc une fonction sur G2A, divisé par K-n des deux côtés et à coefficient dans E. Alors, c'est assez facile de voir que la partie écoffini, c'est un sous E espace vectorielle stable par les opérateurs de partout et par tous les opérateurs de Hecke, à coefficient dans E. C'est stabilisé aussi par les F-n, à partir que fini aussi, et stabilisé par les Morphys-F-n et par les H-m de spécialisation. Donc, je répète, c'est une notion fit-par-fibre au niveau des points géométriques. Mais, par exemple, les morphys de spécialisation vont d'une fibre dans une autre. Donc, ça a un sens de dire que cette notion est stable par les morphys de spécialisation. Et donc, avant de faire la pause, je veux juste une remarque qui servira beaucoup après, c'est que, si, dans le cas facile, il n'y a pas de patte, je te casse en patte, on aborde cette limite. Donc, là, je prends la fibre sur F-cubar, spéc de F-cubar. Ou alors, on pourrait prendre E égale à un singleton, ou d'ailleurs n'importe quoi, W égale 1, et en ce cas, on prendrait la fibre au point générique, ça ne change rien. D'accord, parce que, du moment que W égale 1, on a des faits au constant. Je te casse, on est gens constant. Les pattes ne jouent plus aucun rôle. Donc, on peut les enlever. Donc, on peut en écrire comme ça. Donc, ça, c'est simplement les fonctions à sport-compathe sur bonne GN de F-cubar divisé par XI à valeur d'E. Puisque, les champs de Ch'touka sont pattes, c'est simplement bonne GN, inférieure à mu sur F-cubar, bonne GN de F-cubar, inférieure à mu. Bon, on divise par XI. On prend, là, pour prendre la comologie. La comologie à sport-compathe, c'est simplement les fonctions qui sont continues à sport-compathe. Et quand on prend la limite sur mu, on obtient toutes les fonctions à sport-compathe. Et alors, la proposition qui va terminer le premier coup, la première partie du coup, c'est que la partie que finit c'est exactement la partie cuspidale. Alors, ça, c'est quelque chose qui doit être vrai en général, la condition d'avoir de définir la comgie cuspidale. Comme va varchasquer à proposer une définition à la comgie cuspidale, il faudrait l'adapter, mais avec une bonne définition, ça ne m'étonnerait pas que ce soit vrai. Bon, la démonstration est assez évidente. D'abord, pour l'inclusion, c'est évident, parce que la partie cuspidale, c'est un ES par vectoriel de type fini. Et puis, on peut prendre le support est borné pour les formes d'autorpe cuspidale à la module oxy. On peut prendre celles qui sont à valeur d'en haut. Donc, ça fait un haut heure et zo, naturellement, dedans, dans cette spectaculaire de dimension finie. Et qui est évidemment stable par les opérateurs de Hecke à couvire en haut. Bon, je vais l'écrire. Vous voyez, cc... On peut définir cc cusp à valeur d'en haut heure, comme l'intersection de cc cusp à valeur d'en haut heure, avec cc à valeur d'en haut heure. Donc, ça, c'est un haut heure module type fini, qui est évidemment invariant par les opérateurs de Hecke à couvissant d'en haut heure. Donc, ça prouve que la partie cuspidale est incluse dans la partie Hecke finie. Parce que ensuite, évidemment, enfin, la partie Hecke finie, c'est un E s par électoriel, bien sûr. La condition, c'est d'être inclue dans un module type fini qui est stable par les opérateurs de Hecke. Donc, c'est une condition qui est invariante par multiplication, par n'importe quel élément d'œuf. Voilà. Et pour montrer l'inclusion dans l'autre sens, on résonne par l'absurde. On dit, si la fonction n'était pas cuspidale, elle aurait un terme constant non-nul. Donc, un terme constant pour un... pour un Lévis M. Et alors, on fixe une place V. Alors, on regarde l'action des opérateurs de Hecke en V. Pour M, sur le terme constant. Donc, on regarde la fonction sur M de V, sur M de O V. Un valeur dans OEuf. Et donc, ça, c'est une adjupe qui est de type fini, qui est fini, même, sur la même adjèvre avec G. D'accord ? Parce que c'est juste la adjèvre avec G, c'est juste des invariants par un peu plus, en brouvant un peu plus les invariants par le groupe de Veil, mais... Donc, ça, je supposais que G était déployée. Donc, il n'y a pas de soucis. Sinon, on peut prendre une place V où G est déployée, de toute façon. Donc, voilà. Donc, ça, c'est une adjupe qui est finie sur la même avec G. Donc, ce qui prouve que la propriété de Hecke finitude pour le terme constant doit être vraie encore, ici. Or, là, c'est pas possible. Parce que il y a les caractères de M, qui sont non triviales. Les caractères de M... Et les... Et... Non, les caractères de M, chapeau, les co-caractères de M. Co-caractères dans le centre de M, voilà. Vous avez le centre de M divisé par le centre de G, qui est non... Et donc, il y a des opérateurs de Hecke qui sont juste des transactions par les éléments du centre de M, à valeur dans FV. Et donc, ça change les deux composantes... Voyons, il y en a des composantes pour le quotient bonne M. Le terme constant, c'est une fonction Aspoir Compact sur bonne M N de FQ divisé par XI. Mais ici, il y a des... Il y a des caractères de M qui sont priviléaux sur le... Sur le centre de G. Et ces caractères, ils donnent des... Ils donnent des commandeurs des composants... Les... Ça correspond aux composantes connexes ou des réductives de bonne M. Et donc, les opérateurs de... De Hecke associe aux éléments du centre de M ils translatent dans ces composantes. Donc, on peut pas avoir un... un sous-module type fini des fonctions Aspoir Compact qui est un variant par translation puisque les composantes disons annexés par Z, par translation, n'y a pas de fonctions à... Je sais pas moi par exemple... n'y a pas de fonctions sur Z, la support finie, un variant par translation. Parce que tels que les translations engendrent un sous-module, t'es fini. Voilà. Bon bah, je ferai la suite après la pause. Qui est réveillé résulté d'achever chez moi. C'est que tout sous... O FSO. Je vais l'appeler, ouais. Vous êtes limite inductive. Bon ça, ça veut dire tout sous A et module de la fibre, de la limite des fibres en état hibar qui est stable par galois, c'est tout. Donc... Donc, qui en plus est stable par tous ces opérateurs de... tous les opérateurs de véco-entier. Donc, un tel sous O FSOA est inclus dans un... sous... J'ai oublié constructible, excusez-moi. Ce qui correspond au fait que le module correspond à la fibre en état hibar et de type finie. Et inclut dans un sous FSOA constructible de cette limite, la même limite, stable par les morphes de frebenus partiels. Donc, auquel on peut donc appliquer le lème de Drinfeld. D'où une action, donc... Donc, je rappelle que... Donc, ce utilde... Donc, je rappelle que sur... Donc, la fin de la... J'ai fini la proposition, là. Maintenant, c'est un commentaire. Je rappelle que sur la fibre de utilde en état hibar, grâce à SP, on a une action de... p1 de u étabar puissance i pour un ouvert u assez petit. Et donc, le corollaire, évidemment, c'est que la partie éco-finie de la... de toujours cette même limite inductive sur omega, sur mu, pardon. Des fibres en état hibar. Donc, la partie éco-finie, comme c'est une réunion de... Par définition, une réunion de sous FSOA, stable par les opérateurs du écart entier. Bon, donc, d'après la proposition, chacun est inclus dans un... Dans un sous FSO constructible stable par les morpholyses four minutes partielles. Et comme en plus, la partie éco-finie était elle-même stable par les morpholyses de four minutes partielles, on en déduit que la partie éco-finie est minée d'une action de Galois puissance grandie. Qui, en plus, donc, dès qu'on se limite à un sous machin constructible, là, c'est l'action spectorise par le p1 de u pour un nouvel... Efficience grandie pour un nouvel u assez petit. Voilà. Donc, vous comprenez bien que cette proposition est le coeur de l'argument. Et alors, voici comment elle se démontre. Donc, on va l'appliquer chez moi. Donc, bon, on peut supposer W réductible, bien sûr. Puis, bon, on peut prendre mu zéro à ses grands pour que Euronde soit un sous FSO de la comologie inférieure à mu zéro. C'est à plus précisément, on choisit d'abord mu zéro à ses grands pour qu'il soit dans l'image de ça, dans la limite additive. Et puis ensuite, on augmente encore le mu zéro pour que ce soit injectif. Voilà, pour qu'il n'y ait pas de quotient. Parce qu'on ne peut pas c'est la limite inductive. Alors, évidemment, il existe un ouvert omega zéro sur lequel cette comologie est... est lisse. Parce que c'est un FSO constructif. Et donc, en particulier, Euronde est lisse sur omega zéro. Enfin, c'est à en un OF et solis sur omega zéro. Et alors, pour appliquer les cheveux en Chimera, bien sûr, il faut trouver un point fermé. Donc, on peut trouver des VI, un point fermé en chaque copie, parce qu'on veut l'appliquer à chaque copie. Donc, on peut trouver des points fermés, VI, telles que le produit des VI soit inclus dans omega zéro. Ça, ça se démontre facilement par recurrence sur le cardinal de UI. On ne demande pas par recurrence, vous voyez que que ça intersecte, quoi, que l'image inverse. On prend un premier V1 telle que l'image inverse intersecte omega zéro et puis après, ça a suffi, quoi. C'est facile. Chaque fois, en fait, on prend un générique, puis je suis venu en générique, puis je suis venu en générique, puis je suis venu en générique, quoi. Euh, voilà. Bon, ça, c'est une réunion finie de point fermé, bien sûr. Deux X, I. Alors, la relation des cheveux chez moi en I dit que... Enfin, dit que quelque soit I, la somme pour alpha égale zéro à la dimension de WI. Avant, c'était I que je sommais sur I, mais bon, j'ai obligé de changer de lettre. Donc, la somme sur alpha du Frobenius partiel en I à la puissance degré de VI. Le tout à la puissance alpha composé avec l'opérateur de l'éco-étendue, donc dimension WI moi alpha WI VI. Donc, ça, c'est égal à zéro. Il y a un signe moins impuissance I, merci. Moins impuissance alpha. Donc, évidemment, le point, c'est que les... ça entraîne une inclusion. F I à la puissance degré de VI. Donc, Frobenius partiel à la puissance degré de VI, à la puissance la dimension de WI, qu'à l'entier. Appliqué, alors là, je laisse volontairement un espace qui est... Je vais vous verrez pourquoi après. Appliqué à E, restreint un produit des VI. Ça, c'est inclus dans la somme pour alpha et à zéro à dimension de WI moi A. Frobenius partiel à la puissance degré de VI. La puissance alpha. Appliqué A et là, je laisse encore un espace. Volontairement, l'Omda. L'Omda. Dimension WI moins alpha WI VI. De... Restreint un produit des VI. Bon, c'est une conséquence d'acheter leur chémorame, c'est sûr, puisque la... la plus grande puissance là-haut, c'est degré de dimension de VI. Donc, on s'exprime en fonction des puissances plus petites. Et pourquoi je laisse un espace ? Parce qu'en fait, cette inclusion qui est dans la fibre en VI, on va l'étendre à... Omega zéro, enfin, en fait, au point générique de Omega zéro. Elle va s'étendre, bien sûr, parce que... E est lisse, ici. Comme ici, on a... En le monde de gauche, on a un faisceau lisse. Cette inclusion s'étend au point générique. Alors bon, le seul truc auquel il faut faire attention, c'est que les Frobenius partiels ne sont pas des morphices de faisceau de E vers E. Il y a une image inverse par Frobenius partiel sur la courbe. C'est pour ça que j'ai laissé un espace. Maintenant que je vais éteindre la relation, je dois rajouter ici le Frobenius E, puissance degré de VI, fois dimension de VI, étoile de... D'accord. C'est l'image inverse. Alors évidemment, ça change rien quand on prend la fibre en produit des VI, puisque c'est un point qui est fixe par ce Frobenius grâce à... puisque il y a un côté degré de VI qui est en l'exposant. Mais néanmoins, je le rajoute pour pouvoir ensuite passer au point générique. Donc ici, de même, j'ai le Frobenius, la puissance degré de VI, fois alpha. Je prends l'image inverse, et je prends l'image inverse de tout ça. Comme ça, quelque chose comme ça. Alors comme les S et les FI sont des morphices de faisceau, et que ce faisceau frobétoile est lisse en produit des VI, qui est un faisceau sur Omega zéro qui est lisse, sur Omega zéro ou sur non, pas sur Omega zéro, sur... Je sais pas, enfin, le... C'est à cause du frobétoile, mais bon, peu importe. Il est lisse sur un ouvert qui contient le produit des VI, en en déduit que cette inclusion s'étend en remplaçant le produit des VI par étail bar ou étail. On va dire que c'est une inclusion de faisceau sur étail. Donc ça, c'est une inclusion dans la limite inductive, ce qui veut dire que l'inclusion a lieu pour Omega zéro, pour mu assez grand, simplement. Et... Et alors, maintenant, le point, c'est que, comme on a restreint en étail, cet opérateur, du coup, ça devient un gars, la T2, T2 H, la même chose. Et je sais par hypothèse que E est stable par ces... Et ça, cette fonction-là, évidemment, elle est de la... Par s'attaquer, je rappelle que s'attaquer, ça marche à coefficient dans OE. Les homorffises sont s'attaquées. Donc, cette fonction, c'est une fonction de G2FVI divisé par G2OVI des deux côtés à coefficient dans OE. C'est un opérateur de écœur entier. Donc ici, en fait, on peut... On peut enlever ça, vous voulez. En regardant juste, puisque E est stable dans l'inclusion, là, maintenant qu'on est en étail, on peut supprimer l'opérateur de l'écœur. Donc, finalement, ce qu'on voit, c'est que quand on applique le AE, le frobenus partiel, la puissance en I, la puissance de G2OVI, la dimension de l'OE, c'est inclus dans la somme des... des... On applique les frobenus partiels à des puissances inférieures. Et donc, on en déduit que... E tilde, que, disons, égale à la somme pour tous les NI avec, pour tout I, NI inférieure à... degré de VI ou à dimension WI-1. Du produit des frobenus partiels en I à la puissance NI impliquée au produit des... frobenus I, sans NI étoiles en haut, de E restreint à étail bar. Bon, là, je n'ai pas le plus commun pour moi de prendre la... Oh, je vais prendre étail. Voilà. Je vais prendre étail. Bon, ça, c'est constructible, bien sûr, puisque la somme est finie ici. Constructible. Et stable par les frobenus partiels, stable par les FI. Par construction, quand on fin... Enfin, non, pas par la propriété, c'est ci-dessus. Non. Voilà. Donc, on peut appliquer l'aménagerie de fèves, etc. Voilà. Bon, la vraie démonstration, ça serait qu'à la comédie cuspidale. Ça constaterait que la comédie cuspidale est un constructible terminé. Donc là, c'est un ersatz, voyez. Je pense qu'il ne finit à la fin, ça sera cuspidale, mais... Bon. La preuve est plus simple. La construction de la comédie cuspidale, c'est vraiment un cauchemar d'esque. Donc, quand même, finiement plus simple de procéder comme ça. Ça n'apporterait aucune simplification à l'article, bien au contraire. Ça a doubléré au moins la longueur. Alors ensuite, il y a un petit point technique dont j'ai besoin pour construire les opérateurs d'excursions, mais ils ne jouent pas du tout le même rôle que... quand même pas le même rôle que cette proposition. Mais enfin, il est quand même nécessaire. C'est que le momorphise de spécialisation, donc, qui va de la limite des surmus des HNIW, inférieure à mur, restreint, en reste delta de état barre, vers la limite restreint à étail barre. Alors on ne sait pas s'il est surjectif. Par contre, je dis que son image contient la partie équefinie, ce qui nous permettra de revenir en arrière. En fait, dans la suite, on notera sp étoile moins 1, qu'à n'importe quelle section en sembliste. Comment ça se démontre ? Bon, je continue avec une notation de la preuve précédente, utilde. Donc utilde, on va dire que c'est un... Comme il est constructif, on le réalise comme soufait. Donc utile, c'est celui qui est tapé par les morphisophroménus partiels, d'accord ? On le réalise comme un soufait saut de HNIW, inférieure à mu 1, pour mu 1 assez grand. Et donc il est lisse sur un ouvert oméga 1. Alors par ailleurs, il y a quelque chose qui est facile, qui doit encore dans la thèse de Heckelot, qui est que quand on prend l'image de la diagonale de delta de état, en général, il y a des diagonales par les produits des phrobenus partiels à la puissance HNI, produit sur I, pour tous les HNI dans grande haine à la puissance I, bien ça, c'est les arrises qui dansent dans XI. En fait, c'est toujours le même argument, parce que si ce n'était pas arrises qui... Enfin, si ce n'était pas arrises qui dansent, l'agérence d'arrises qui serait étape par les phrobenus partiels, et donc vertical, les contradictions, parce qu'un truc vertical ne peut pas contenir d'altat de état. C'est toujours le même argument, en fait. Donc, il existe HNI, comme c'est ça, l'incredence, il existe HNI telle que ce truc, l'image de delta d'état par le produit des phrobenus partiels, tel que ce soit inclus dans omega, appartiennent à omega, si vous voulez, inclus dans omega. Et donc, ça, ça prouve que l'image inverse de E étoile par ce produit des phrobenus partiels, puissance HNI, et dans l'image de, j'appelle l'étoile, c'est se morphisme-là, et dans l'image de se morphisme. C'est-à-dire qu'on sait que la fibre de tilde en le produit en ce point-là, et dans l'image de se morphisme de spécialisation, parce que tilde est lisse en ce point. Donc, la section de tilde dans ce point, l'élément de la fibre de tilde dans ce point où il est lisse, vient de la fibre de tilde au point généré qui est donc à forcerie de ça. Donc on voit que, donc du coup, lors de la fibre de tilde dans ce point, c'est la fibre de l'image inverse de tilde en delta de étabard. Donc on a démontré que la fibre de, pardon, ce que je voulais dire, c'est la fibre en étail bar. Je suis désolé. Donc la fibre en delta de étail bar de cette image inverse est dans l'image de se morphisme. Alors, en fait, ça, c'est pareil que tilde, puisqu'il est apparaît le bonus partiel. Voilà, donc maintenant je vais pouvoir donner la vraie construction des morphes d'excursion et pas celle un peu idéale que j'avais excrissée dans le premier cours. Donc je rappelle que W est une représentation de Géchapeau-Puissance-Granthée. Donc ça, c'est la donnée d'excursion. X dans W, XI dans W étoiles, qui sont invariants par Géchapeau-Diagonal. Et puis les gamaïs dans le groupe de Galois, la puissance-Granthée. Alors, on définit l'opérateur d'excursion comme la composée. Donc ça, c'est, pardon, c'est un endomorphisme de la... Donc ça va être un endomorphisme de la comogique hospital, pardon, de la forme automorphique hospital. Ce sont des fonctions hospitales sur bun gene de FQ divisé par XI coefficient dans E. Donc définis la manière suivante. On dit que ça, c'est la partie éco-finie de la comologie des stucas sans patte, ou alors c'est pareil avec une patte ou un nombre d'arbitraires de patte d'ailleurs, mais pour la plantation triviale. Donc la partie éco-finie. Et puis par l'opérateur de création associé à X, ça s'envoie vers la partie encore... encore la partie éco-finie de la comologie, de la fibre en la delta de étabard. Ça, c'est juste l'opérateur de création. Il se morfise de quoi à l'essence, puis c'est X qui est un morfice de 1 vers W restreint à la diagonale. Et puis, ensuite, on a l'homomorphice de spécialisation, l'espect étoile, qui arrive dans la partie éco-finie de la fibre en delta hibar, en étahibar, pardon. On sait que là-dessus, il y a une action de Galois à la puissance grandie grâce à la proposition, qui est donc le cœur de l'argument. En fait, je ne vais pas réécrire, parce que c'est les mêmes espaces. Donc, l'espace ici, c'est le même qu'au-dessus, d'accord ? Ici, on applique maintenant l'image, la section en sembliste de l'homomorphice de spécialisation que j'ai choisi là-haut, qui ne terminera pas dans le résultat final, on le démontrera. Je suis désolé, il n'y a plus de éco-finie maintenant, donc je vais toujours réécrire. Donc ici, c'est juste la limite sans éco-finie, d'accord ? Donc c'est la même chose qu'au-dessus, mais sans éco-finie. On ne sait pas si cette section a bouti dans la partie éco-finie au-dessus de delta hibar, mais ça n'a pas d'importance. Puis, on a l'opérateur d'annihilation, qui arrive dans la même limite sans éco-finie. Et ça, c'est égal, on l'avait vu, aux fonctions continues, pas nécessairement qu'hospital, sur bun gene de FQ divisé par XI. Vous allez me dire, c'est raté, puisqu'on ne sait pas si ça arrive dans la partie qu'hospital, mais c'est justement ce qu'on va démontrer maintenant. Après avoir justifié que ça dépend pas du choix de la section en sembliste. En fait, la section en sembliste, elle sert juste à montrer qu'on arrive dans les fonctions à sport compact, qui est déjà beaucoup, en fait. Le point technique, en fait, il sert à montrer qu'on arrive dans les fonctions à sport compact. Sinon, comme forme linéaire, c'est assez facile d'obtenir, comme je vais le montrer maintenant, mais point technique sert à ça. En fait, l'intégrale, l'intégrale, bon, en fait, c'est une somme, mais j'interviens pas parce que, comme c'est un champ, genre discrète de l'indemande forme, enfin bon, intégrer, ça veut dire qu'on tient compte des niveaux d'automorphie. Donc l'intégrale là-dessus de H check, l'opérateur S, donc H check, c'est une fonction là-dedans, d'accord. L'intégrale de H check, l'opérateur d'excursion appliqué à H, mais en fait, on vérifie facilement que c'est le produit scalaire entre SP étoile de l'opérateur, cette fois-ci, de création associée à XI. Donc ça, ça, ça vit dans la limite des H, N, I, W, inférieure amus, pas W, mais justement W star theta, d'accord. Parce que la création associée à XI, XI, vous pouvez... C'est un élément de doulevétoile, mais cette fois-ci, on peut le voir comme vecteur de doulevétoile ou doulevétoile theta, c'est pareil. Doulevétoile theta, c'est pareil, c'est là, simplement, on a tordu par l'automorphie de les japonais, Teta, mais... Donc XI, il est là encore là-dedans. Donc il y a un opérateur de création associée qui arrive dans ces limites de comogis et c'est pour compact. Et donc on peut prendre l'accouplement avec espéritole... Voilà. Donc ça, c'est la forme bilinaire que j'avais expliqué ou appliqué au point générique, d'accord. L'accouplement, donc, entre cette comologie-là et puis la même avec W, reste teinte au point générique et taille barre, d'accord. Voilà, donc là, en cette formule, on voit que le choix de la section assembliste de l'espétole n'a pas d'importance. Donc l'opérateur S est bien défini. Alors ensuite, c'est facile de voir que les propriétés de S, par exemple, qu'ils commutent aux opérateurs de VQ. C'est facile. On le voit sur cette formule. Que dans cette formule, on voit que toutes les opérations commutent aux opérateurs de VQ. Et comme l'opérateur d'excursion commutent aux opérateurs de VQ, il envoie la partie VQ finie et la partie VQ finie. Et comme on a démontré que la partie VQ finie finie et la partie VQ finie fonctionne un continuum sport-compact sur le benzene de FQ et de Parxi, c'est la partie cuspidale. Donc finalement, on retrouve que l'opérateur S envoie la partie cuspidale dans la partie cuspidale. Donc c'est un nombre de morphe de la partie cuspidale. Alors pour le visualiser à une façon agréable, ce que j'ai fait dans l'article, c'est que je l'ai créé comme ça. Donc on part de hache. On applique la création. On applique l'espétole. On applique gamma, qui est donc la famille des gamma-i. On applique espétole moins un. Donc là, il y a un choix. Donc ici, il y a un élément que j'ai noté par un trèfle pour indiquer le tirage au sort. Et puis après, on applique l'opérateur d'annihilation. Alors ici, on retombe sur un élément qui, lui, est bien déterminé comme on vient de le démontrer. Mais cet élément-là, il ne sait rien sur lui et il peut dépendre du choix de... c'est que son ensemble liste. Ça n'a pas d'importance. Alors bon, je vais... Oui. Bon, propriété de continuité de cet opérateur quand les gamma-i varient, bon, on l'a déjà dit. Vous voyez que quand x, w, x, y sont fixés, en fait, ça dépend que de l'image des gamma-i dans pien de u et tabard, puissance grandie. Ou u, donc, n'a dépend que de x, de w, y, x, y. Parce que, je rappelle que bon, oui, parce que... parce que la particu-spidale, en fait, elle est de type fini comme module. Donc il suffit de le démontrer pour chaque h dans le particu-spidale. Et à ce moment-là, la classe de comologie créée, vous voyez, là, elle est escalée, enfin, elle est fixée. Et on sait que sur le sous module engendré dans la comologie, l'action de Galois se factorise de manière très bien. Voilà. Ça, ça a permis d'avoir été continuité. Alors, je vais pas démontrer toutes les propriétés. J'ai pas le temps. Toutes les propriétés des obatards d'excursion que j'avais annoncé dans le premier cours. Je vais juste en... en fait, démontrer la plus difficile. La plus longue, enfin, là où il y a, comment dire, il y a un petit argument. C'est que, ce qui implique d'ailleurs la commutativité, c'est que si on a i1, w1, 1 en haut, quoi, gamma 1 en haut, c'est une famille de gamma 1i pour i dans i, d'accord ? On compose ça avec un pareille 2x2, x2, gamma 2, d'accord ? Donc, ça, c'est gamma i1, i2, w1, temps w2, x1, temps x2, x1, temps c2, gamma 1, gamma 2. Donc, ça, ça implique d'ailleurs la commutativité, puisque là, on peut les changer. Alors, bon, comment ça se démontre ? Non, en fait, je vais utiliser cette façon rapide de changer de tableau, quand même, mais... Donc, d'abord, bon, il y a un petit truc technique, c'est que il n'y a pas d'application naturelle de i1, w1, w2, dans i. Donc, en fait, on va remplacer i1 par i1, w1, w1, w1, w2, mais avec la triviale, quoi, en zéro, pour que le diagramme suivant puisse avoir un sens, quoi. Bon. Alors, quel est le fameux diagramme qui va montrer l'égalité ci-dessus ? Bon, on parle d'une classe. On va d'abord appliquer l'opérateur de création en X1, comme j'ai dit, puis sp étoile pour le i1, puis le gamma 1, puis le sp étoile pour i1-1, la section ensemble-iste, avec ici donc cette petite élément que j'avais notée vers un trèfle, et puis à la fin, l'opérateur d'annihilation. Voilà. Et puis, on repart avec l'opérateur de création pour X2, et puis l'opérateur de momorphise de spécialisation qui va au point générique, et puis gamma 2, et puis la section ensemble-iste, le sp étoile, et puis l'opérateur d'annihilation associaxi. Et on veut montrer que la... que ça, c'est pareil que la création pour X1 en X2, la momorphise de spécialisation que je vais noter sp qui est à la fois pour i1 et i2, et puis gamma 1, ou gamma c'est gamma 1 fois gamma 2, et puis excusez-moi, il faut que je fasse un peu plus long, là, comme ça. Ça, le gamma est vraiment au-dessus, celui-là, voilà, gamma. Et puis la section ensemble-iste de l'esp, et puis l'opérateur d'annihilation associé à X1 en X2. Voilà. On veut montrer que le diagramme commute, donc l'idée, évidemment, c'est de le remplir le plus possible. Donc là, évidemment, ça se remplit sans problème. Ici aussi, en bas. Alors ici, on ne peut pas remplir parce qu'on n'a pas envie plus précisément. Parce qu'il y a cette section ensemble-iste. Donc là, je préfère remonter. Et du coup, je sais que ça commute. Parce que si j'applique la section ensemble-iste, puis ici, une création en des nouvelles pattes, et puis que je reviens en arrière pour mon fils de spécialisation, comme cette opération est celle-là commute et que c'est une section, précisément, je sais que le carré... Enfin, ce n'est pas... Il a composé des trois là. C'était le machin au-dessus. Donc ensuite, là, je sais sans malice, à part que la flèche ici est verticale. Donc bon, je prétends que le diagramme commute, juste à présent. Et ici, il y a gama2, vous voyez. Si c'est gama2 et si c'est gama1. Donc tout ça, c'est sans malice. Il reste à montrer que le trapez commute. Tout le reste n'appose pas de problème. Par exemple, le petit carré en bas, c'est-à-dire que l'annihilation en certaines pâtes commute à la création en d'autres pâtes si les deux ensembles sont 10 juins. Bon, c'est rédigé dans les notes, mais c'est assez naturel. Donc il reste à montrer que le petit trapez commute. Mais pour faire ça, on utilise la dualité. Parce que de toute façon, c'est la seule façon de donner un sens vraiment à les manquerables de manière non ambigue. Donc le petit trapez, je vais l'écrire au niveau des espaces du haut. Avec la création, cette fois-ci, associe axie 2, la flèche de spécialisation, espée 2 étoiles. L'action de Galois, alors là, j'aurais pu la mettre dans un sens ou dans l'autre, mais je préfère l'écrire comme ça. Et puis ensuite, maintenant la création associe axie 1, je travaille vraiment avec les dios maintenant. Et puis ici, là, j'ai vraiment espée 1 étoile. Et la façon oblique, c'est la création associée à axie 1 en scie 2. Et puis, après, la spécialisation, il y a un union étoile, espée étoile, et puis encore l'action de gamma 2 sans son moins 1. Alors là, c'est merveilleux, on peut tout remplir, comme il n'y a pas de sections ensemble listes, ce qui prouve que le petit trapez se commute. Donc si vous voulez à la fin des fins, si vous partez d'un élément-là, une forme linéaire ici, l'égalité, comment être démontre, produise galère entre un élément-là et un élément-oops, excusez-moi, et un élément ici. Oula, d'ailleurs, un goulas, c'est pareil, comme vous préférez. En fait, c'est même un peu mieux, c'est un peu mieux ici. Voilà. Là, le cœur d'évralgique entre la limite, entre les deux, dualité en quelque sorte. C'est assez logique, il y a du diagramme, vous voyez. Là, c'est pareil. Ça, c'est des isomorphismes, les actions de galois. Donc en fait, vous voyez, on se retrouve là, ce qui est normal. Alors, maintenant, il y a le laine qui dit que les opérateurs de Heckeu au placement ramifié sont des cas particuliers d'opérateurs d'excursion. Donc ça sert pour montrer la compatibilité à s'attaquer, bien sûr, au placement ramifié. Donc je vais quand même l'écrire, parce que ce n'est pas très dur, mais je vais changer de tableau parce qu'il y a un gros diagramme. Enfin, je changerai de tableau quand j'aurais nancé le laine. Donc le laine, c'est pour V, une place de x-n. Bon, toujours pareil, on plonge F bar dans F et bar 1. On prend un entier D, puis on prend un élément de galois, on va dire qu'il... Je vais... 2°D qu'on plonge dans galois de F bar sur F. Alors, l'opérateur d'excursion, si il y a delta V, FV et gamma 1, l'opérateur d'excursion, là, ne dépend que de D, ne dépend que du degré, que de gamma, quoi, que de D, ne dépend que de D, degré de gamma, et est égal à T de HVV, enfin, ou à SVV, quoi, à SVV, donc à l'opérateur de V, qui est en U, T de HVV, C, D, galois. Alors, ça, c'est pas compliqué, parce qu'on a essentiellement tout démontré. Il faut juste passer de V à étabard, de V bar à étabard, ou donc V bar est un point géométrique au-dessus de V, parce que qu'est-ce que c'est que cette opérateur d'excursion part des formes automorphes hospitales par l'opérateur de création A. Non, je vais écrire l'opérateur d'excursion de manière légèrement différente. Donc, qu'est-ce que c'est, d'abord, que l'opérateur d'excursion j'arrive toujours pareil dans la limite de cette comologie en delta de étabard par l'opérateur de création associé à X. Par qu'à X, maintenant, c'est delta V. Et après, j'applique SP étoile. J'arrive dans la partie écofinie. J'arrive dans pareil avec étail bar. Et après, je vais agir l'élément de Galois, gamma 1, en étail bar. Puis la section ensemble liste, la même limite. Et puis, après, l'opérateur d'annihilation associé à l'évaluation de V étoile temps V dans l'évaluation V qui arrive donc dans ces casques, toujours pareil. Donc, il s'agit de calculer ça. Alors, la remarque, c'est que en fait, on peut introduire ici la fibre en V bar, plutôt en delta de V bar. Et ça envoie par une spécialisation. Ils ont une certaine morphise, on choisit une flèche de spécialisation, SPV, de étabard dans V bar, n'importe comment. Et ensuite, on peut faire court. On a le diagramme qui commute. Ici, la même... C'est-à-dire que l'opérateur de création et d'annihilation peuvent être sont définis sur toute la courbe, sur toute la diagonale, en fait. Pas seulement en delta de étabard, mais sur toute la diagonale. Donc en particulier en delta de V bar. Alors, le point, c'est qu'ici, on a le morphis de Frobenus partiel. Et ce diagramme commute. Spécialisé, puis appliqué gama 1, puis revenir. Parce que j'appelle spécialisé, c'est appliqué le morphis de spécialisation, donc aller au point générique, je vous désolais. Donc aller au point générique, appliquer gama 1 et revenir, c'est pareil que d'appliquer ici. Le morphis de spécialisation, ça, c'est dans la preuve du lendemètre Infel. Comment est-ce qu'on récupère l'action de Galois puissance grandie ? Vous voyez, en l'occurrence, c'est par le Frobenus partiel en V. Bon, le problème, c'est que j'ai pas raconté la preuve, donc je peux pas le justifier ici. C'est pas dû à moi, donc je pourrais que je n'ai pas raconté, mais j'aurais dû. Bon, donc en tout cas, ce diagramme commute, et vous voyez que cette composée ici, évidemment, dépend que de D. Et lorsque D est égal, c'est l'opérateur SVV par définition. Alors maintenant, j'ai presque fini, je prends 5 à 10 minutes de plus. Donc je rappelle, d'après le premier cours, qu'on avait introduit une notation un peu moins encombrante, en notant la notion qu'il couffe sur la matrice associée à X. Donc c'est une fonction sur j'ai chapeau puissance grandie divisé par j'ai chapeau des deux côtés. Et on obtient ainsi toutes les fonctions, et par ailleurs, l'opérateur d'excursion dépend que de cette fonction. Donc, l'opérateur d'excursion, maintenant, on note F, S, I, F, gamma I pour I dans I. Donc l'argument du premier cours montre que ces opérateurs engendrent une sous-agèpe commutative. Une sous-agèpe commutative béronde dans les endomorphismes de la commugie cuspidale. Les fonctions cuspidales sur bunn-gn de FQ divisé par XI. Bon, en endomorphisme, d'ailleurs, qui commute ici, on pourrait mettre à tous les opérateurs de VECA. Endomorphisme comme module sur l'agèpe de VECA. Donc béronde est une sous-agèpe commutative. Donc on a une décomposition spectrale des fonctions cuspidales, etc. avec ou sans dans QL bar ou avec ou sans dans E si quitte à augmenter E comme une somme de caractère pour mu caractère de B. Donc c'est une décomposition spectrale, pas une diagonalisation, à mesure où on sait pas si c'est B diagonalisable mais finalement, ça n'a pas tellement d'importance. Et puis, les arguments du premier cours montrent qu'on a une bijection entre nu caractère de B et puis sigma paramètre de l'anglance. Donc ce que j'entends par caractère de B, la plus précisément, c'est caractère de la jabrape strête engendrée par toutes les opérateurs d'excursion avec les relations que j'avais annoncées dans le premier cours. Donc on a cette bijection qui est caractérisée par le fait que pour toute fonction F et pour tout gamma I, caractère mu appliqué à l'opérateur c'est F de la famille des sigma et de gamma I. Bon. De plus, sigma est non ramifiée mais sigma qui apparaissent ainsi dans la décomposition sigma est non ramifiée hors de N et y a compatibilité à s'attaquer que HVV agit sur l'espace htdma de la décomposition par qui V de sigma de FV. Voilà. Donc en fait c'est assez curieux disons que on a l'impression que la compatibilité à s'attaquer nécessite le fait que sigma est non ramifiée mais en fait on l'a déjà démontré alors qu'on n'a pas encore démontré que sigma est non ramifiée parce qu'en fait ce qu'on a démontré c'est que sigma restera en groupe de calorical et non ramifié a semi simplification près ce qui n'est pas tout à fait pareil. Et en fait il reste à démontrer que sigma est non ramifiée au place de X moins N c'est un argument spécifique que je vais donner maintenant. Je vais dire le... je ne sais pas il y a peut-être un moyen de conserquiter ça mais de toute façon il y a un argument géométrique qui est très joli pour montrer que sigma est non ramifiée mais je ne suis pas sûr que ce soit possible de conserquiter il pourrait y avoir une ramification mais une hypothente Donc voilà c'est un argument pour montrer que sigma est non ramifiée donc tout le reste a déjà été démontré donc pour comment montrer que sigma est non ramifiée donc on choisit une place V dans X moins N donc on veut montrer qu'il est non ramifiée on choisit V une représentation fidèle de G chapeau et puis taux un constituant irréductible de V sigma V tordu par sigma donc sigma il est semi simple ce qui n'est pas le cas forcément de sa restriction en groupe de gare locale mais sigma lui est semi simple par construction par définition d'un paramètre de l'anglance donc c'est vrai comme ça qu'on l'a construit donc V sigma c'est une somme de représentation irréductible comme direct de représentation irréductible et je prends un taux un constituant irréductible de V sigma donc je prends H un élément de H sigma non nul et puis j'appelle Teta cette classe de comologie SP étoile de la création associée à delta V de H donc ça c'est toujours pareil dans la limite sur mu des H n donc I c'est un 2 W c'est V tense V étoile et puis là c'est restreint en état un 2 bar et je prends la partie écofinie donc je prétends que taux extérieurs taux étoiles pardon ça c'est une représentation de Galois de F bar sur F au carré d'accord je prétends que taux tense taux étoiles apparaît comme un sous-caution irréductible de cette représentation tel que identité de taux comme élément de taux tense taux étoiles correspond à Teta ça c'est juste un argument de caractère en fait parce qu'on n'a que des représentations semi simples d'accord c'est juste un argument de caractère on peut calculer le caractère enfin coefficient de matrice avec les éléments diagonaux mais ça correspond à un élément de caractère burto d'accord parce que tout est semi simple donc on et ensuite on prend on remarque ici c'est j'appelle IV le groupe d'inertie donc dans Galois de F V bar sur F V un crew dans Galois de F bar sur F je prétends que que Teta qui est là donc Tata qui est là maintenant que Teta il y a un variant par IV x IV ça ça résulte simplement du fait que Teta c'est une classe qui est vraiment défini sur X-n tout entier c'est une classe de comologie je ne sais pas si la comgistre c'est un système local c'est sûr ça c'est le problème que les stoucas ne sont pas propres mais Teta c'est une classe de comgistre qui est définie sur donc elle vient par spécialisation de V donc vous voyez il est finie sur V ce qui fait que Teta il y a un variant par IV x IV qui inclut dans le groupe de Galois de enfin d'accord dans le produit des bon dans le groupe de Galois carré et donc c'était le cas d'identité de taux et donc on en réduit que taux ils n'ont ramifié en V alors l'argument donc c'est un argument qui est géométrique mais qui n'est en moins n'existe pas que la propreté des stoucas mais sûr encore une ça aide d'avoir plusieurs pattes quand même et puis bon bah dans les 5 minutes qu'il reste je vais faire des petits commentaires d'abord sur le cas des groupes non déployés en fait il n'y a pas grand-chose de nouveau c'est juste que s'attaquer géométrique marche en famille sur une course de façon tordue quand le groupe n'est pas déployé et c'est assez remarquable que ça va s'intervenir à une nouvelle groupe en fait donc parce qu'en fait dans cet aqué géométrique dans l'isomorphisme de cet aqué géométrique l'épinglage de Géchapeau apparaît naturellement parce que ça c'est dans Mercut Gélonon le tord maximum de Géchapeau il vient de de stratification de le terme de Braddon bon de des organisations hyperboliques et puis le surtout le Nilpotent c'est le comme produit le Nilpotent de Géchapeau il apparaît dans Mercut Gélonon j'en rappelle que Mercut Gélonon c'est équivalence de catégorie entre faisceau pervers géodéocévaliant sur la glace moyenne affine et puis représentation de Géchapeau donc le l'élément unipotent de Géchapeau il apparaît dans le cop produit par le fibrer 13 ans sur la glace moyenne affine déterminant la comologie parce que ce cop produit agit sur la comogie totale et la comogie totale des faisceaux géodéocévan sur la glace moyenne affine c'est justement le foncteur fibre utilisé par Mercut Gélonon donc ça ça donne l'élément unipotent donc du coup comme cet épinglage de Géchapeau apparaît naturellement dans Mercut Gélonon et que le L-groupe justement c'est le produit croisé de Géchapeau par le groupe de Galois préservant l'épinglage on obtient assez facilement que l'équivalence de catégorie le foncteur plutôt que j'avais annoncé dans le premier cours et rappelé dans le deuxième cours c'est un foncteur des représentations E linéaire du L-groupe à la puissance I vers les E faisceaux pervers G somme des infini X I équivariant sur la glace moyenne affine cette fois-ci pour le groupe G qui n'est plus déployé donc j'oublie de dire que ici bien sûr on se restreint la glace moyenne affine et sur seulement sur U puissance I où U est un ouvert tel que G soit déployé sur U les pattes restent dans la zone où G est déployé heureusement c'est pour ça que c'est juste une version tordue du cas non déployé les pattes des jetoukas j'aurais toujours j'aurais toujours supposé le niveau tel que X moins Z sont inclus dans l'ouvert U où G met un modèle déployé elle met un modèle réductif je voulais dire merci voilà c'est ça je voulais juste dire on restreint les pattes un ouvert U où G n'est un modèle réductif ce qui explique ce que j'ai écrit là c'est juste mercredi juillet même en famille un peu tordue quoi mais bon voilà bon et bon en dehors de U en fait on choisit pour G un modèle paraourique lisse qui existe toujours par broyatitz ce qui fait que c'est vraiment un modèle qu'il lisse sur la courbe ce qui fait que bunge et lisse etc essentiellement tout marche pareil après les opérateurs d'excursion S, I, F, gamma I ils sont définis pour F une fonction sur L, G à la puissance I divisé par G chapeau à gauche et à droite j'appelle que L, G c'est G chapeau produit semidirect produit semidirect avec galois de F tilde sur F c'est une extension galoisienne finie qui déploie G et puis après tous les arguments sont les mêmes il y a juste une remarque c'est dans le cas où G et anisotropes il n'y a pas besoin de troncature par mu parce que le chandestouca n'est pas forcément propre d'après E. Colombe mais c'est quand même néanmoins un type fini et donc en fait on est plus ou moins dans la situation idéale que j'avais esquissée dans le premier cours parce que finalement les HNIW ils sont lisses sur un nouvel RUI pour U assez petit grâce à l'action d'une formule sparselle on vous voit que c'est vrai et donc en fait on aurait pu appliquer dans ce cas une chose née avec HNIW égal comme ça parce qu'il n'y a pas de mu il reste la fibre en delta de l'état bar et puis sinon je voulais parler du cas des coefficient dans les corps finis donc dans ce cas-là pour avoir le décomposition un coefficient dans les corps finis donc FL bar quoi au lieu de QL bar on va simplement utiliser le fait que le satellite géométrique a été rédigé et utilisé par Guesgoury dans un cas très pro-vino dans la coefficient dans OE dans ZL dans OE en fait même dans Mercolivian on a même rédigé dans la coefficient dans Z dans n'importe quel anneau mais c'est dans un cadre complexe dans le cadre elle a dit que ça serait la coefficient dans OE ou dans ZL donc dans le cas des corps finis dès que FL et des finis sur OE l'opérateur d'excursion préserve le réseau des formes automorphes hospitales de l'OE qui fait qu'on peut tous les réduire tous les opères d'excursion modulo l'idéal maximal de OE et ensuite on est accoutiant dans FL bar on les décompose et donc là les paramètres de l'anglance qui correspondent au caractère de la jambre béron de modulo modulo l'idéal maximal de OE ils sont à valeur dans une extension finie de FL bar et on continue etc. et puis surtout complètement réductibles au sens de l'exposé burbaki de serre c'est-à-dire que si ils sont inclus dans un parabolique ils sont inclus dans un LV voilà, c'est une notion qui passe bien ça c'est la bonne notion en caractéristique L la bonne notion de semisam c'est ce qui est complètement réductible c'est-à-dire que si on est dans un parabolique on est dans un LV et ça ça marche même pour le L groupe parce qu'en fait dans ce cas là les paraboliques du L groupe qui se surjectent sur galois de c'est nécessaire pour contenir l'image de Sigma parce que en fait Borel les a classifiés ils sont en bijection avec les les parties de l'ensemble des rassines simples invariantes par l'action de galois ils sont de Richard Son au sens d'un théorème de Bette-Martin-Rohle donc en fait on peut appliquer leur théorème et c'est ça qui donne le résultat dans le cas dans le cas non déployé et décor finie le parabolique de Richard Son c'est un truc en caractéristique L ça veut dire qu'un groupe de membres de LV c'est le centralisateur d'un coup caractère c'est assez énorme mais c'est quelque chose qui intervient pour les groupes non connexes mais donc ici tous les pour ce groupe LG qui ne sont pas connexes c'est ça le problème en fait donc Bette-Martin-Rohle on est tendu c'est le résultat un groupe non connexe et dans ce cas là il se trouve que tous les paraboliques de LG qui se surjectent sur galois de son de cette forme enfin donc le LV c'est le centralisateur du coup caractère et puis les partis unipotentes là où les enfin les partis contractantes et voilà donc ça démontre le cas non déployé et à corfinie à coincé dans les corfinies bah j'ai fini merci beaucoup